（基础数学专业论文）奇异积分交换子的若干问题.pdf

中文摘要 中文摘要 本文共分三章，主要讨论了良型c a l d e r d n z y g m u n d 奇异积分算子的多线性 交换子和具有齐性核的奇异积分算子的多线性交换子的加权估计 第一章主要介绍了乒型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子及其交换子和满足一类d i n i 型条件的奇异积分算子及其交换子的研究背景、意义及其进展，并提出了本文将要 研究的问题 第二章讨论了良型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子t 与b = 帆，b 2 ，6 m ) ( o 踞邳朋，1 歹m ) 生成的多线性交换子的加权估计当0 p 1 ) 的奇异积分算子，i 表示 与5 = ( 6 l ，6 2 ，k ) 生成的多线性交换子，其中b b m o ( 融) ( 1 j m ) 在q 满足类d i n i 型条件的假设下。证明了当u 锄一时，i 是从汐 ) 到 2 ( w ) 有界的；当矿a 1 时，建立了相应的加权l ( 1 0 9l ) 仇一型弱型估计 关键词。奇异积分算子；多线性交换子；极大函数；b m o 函数；如权函数 黑龙江大学硕士学位论文 i i i_i iiii_i i a b s tr a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s ，a n dd i s c u s s e sm a i n l yt h ew e i g h t e de s t i - m a t e sf o rt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r so ft h e0 - t y p ec a l d e r s n z y g m u n do p e r a t o r s a n dt h es i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o rw h i c hk e r n e lf u n c t i o ns a t i s f y i n gak i n do fd i n i c o n d i t i o n s i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t i o n ，s i g n i f i c a n c ea n dd e v e l o p m e n to ft h e 0 - t y p ec a l d e r d n - z y g m u n do p e r a t o r s ，t h es i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o rw h i c hk e r n e l f u n c t i o ns a t i s f i e sak i n do fd i n ic o n d i t i o n sa n dt h e i rc o m m u t a t o r s ，a n dp u tf o r w a r d t h eq u e s t i o nt ob es t u d i e di nt h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，t h ew e i g h t e de s t i m a t e sf o rt h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s g e n - e r a l i z e db yp t y p ec a l d e r 6 n - z y g m u n do p e r a t o r sa n db = ( b l ，6 2 ，k ) ( b o s c e x p l r # ，1 歹m ) a r ed i s c u s s e d t h ew e i g h t e db o u n d e d n e s sa r ee s t a b l i s h e d w h e n0 p 1 ) a n d 若t h em u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r sg e n e r a t e db y a n d 云= ( 6 1 ，b 2 ，k ) ，w h i c h b m o ( r n ) ( 1 歹m ) i nt h es u p p o s eo f qs a t i s - l y i n gak i n do fd i n ic o n d i t i o n s ，i ti sd e d u c e dt h a t 若i sb o u n d e d n e s sf r o m 口( u ) t oj 夕( u ) w h e nu a p 。，a n dt h a tt h e ys a t i 8 f yc o r r e s p o n d i n gw e i g h t e dl ( 1 0 9l ) m - t y p ee s t i m a t e sw i t hu 一a 1 k e y w o r d s ：s i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r ；m u l t i l i n e a rc o m m u t a t o r s ；m a x i m a lf u n c - t i o n s ；b m of u n c t i o n s ；如w e i g h t i i 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名t 且罐织 签字日期：加年5 月 7 a 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名； 卫磅织导师娣旅蒺9 伊k 签字日期。砒年占月7 7 日 签字日期：冲年期夕日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编； 第1 章绪论 1 1 引言 第1 章绪论 调和分析是现代数学的重要分支，在自然科学、社会科学和信息科学等领域都 有广泛的应用背景，特别是对近代数学、物理、工程技术、电子信息产业都产生了 深远的影响调和分析的思想方法已经渗透到数学的众多领域，如偏微分方程、复 分析、位势论、算子理论、非线性分析和概率论等 奇异积分算子理论是现代调和分析的核心内容之一1 9 5 2 年，c a l d e r 6 n 与 z y g m u n d l l l 在研究椭圆型偏微分方程时引入了奇异积分的概念，并证明了其存在 性1 9 5 5 年，c a l d e r 6 n 与z y g m u n d 【2 】研究了类卷积型奇异积分算子，在一定 条件下证明了其p ( r - ) 有界性自此，奇异积分算子理论就成了现代调和分析的 核心内容，与奇异积分算子相关算子的研究成了调和分析中最为活跃的课题之一 奇异积分理论在当代调和分析中占据着不可替代的地位，其重要性不仅因为它 的发展对偏微分方程及相关领域的研究起到的具大的推动作用，而且还因为调和 分析中的许多其它重要算子的研究受到了奇异积分理论的影响，如：分数次积分， m a r c i n k i w e i c z 积分、交换子、多线性算子、伪微分算子和f 0 u r i e r 积分算子等( 3 - 1 1 1 ) 1 9 7 6 年，c o i f m a n ，r o c h b e r g 和w e i s s 发表了关于交换子的著名文献【1 2 】，并 建立了奇异积分交换子的有界性交换子是与c a l d e r d n - z y g m u n d 算子密切相关的 一类重要算子，它不仅与偏微分方程、c a u c h y 积分有密切的联系，同时也是调和 分析中第一类非卷积型的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，因此，对奇异积分算子与适当 函数生成的交换子的研究一直受到人们的重视，见【1 3 - 2 7 】和相关参考文献 由于高阶交换子和多线性交换子是交换子的一种重要推广，最近几年有关各种 重要算子的高阶交换子和多线性交换子的研究引起了众多学者的兴趣，如文【1 3 ，2 8 ， 2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 】 奇异积分以及相关算子的研究具有十分重要的理论价值和应用背景，与偏微分 方程、复分析和小波分析等有着密切联系因此，我们选择奇异积分算子及其交换 子的有界性问题作为本论文的研究内容是十分有意义的 黑龙江大学硕士学位论文 1 2 p - 型c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子及其交换子 舯上的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子及各种推广得到了广泛的研究，如文陆8 ，3 3 ， 3 4 ，s s 1 9 8 5 年，y a b u t a 8 1 研究c o i f m a n 和m e y e r 7 1 的某些伪微分算子时，把具 有标准核的c a l d e r d n - z y g m u n d 算子作了推广，引入了良型c a l d e r 6 n - z y g i n u n d 算 子 定义1 1 【8 】设口是( 0 ，o o ) 上的非负非减函数且詹o ( t ) t _ 1 d t o o 称定义在 p 殂p ( z ，z ) ：z 融) 上的可测函数g ( x ，箩) 是个良型核，如果 ( i ) 当z y 时，l k ( z ，y ) i g l z v l n ； ( i i ) 当2 i z z l i z 一i 时， 沪脚鼬，圹k ( y , z ) l c i x - - y r p ( 高) 称线性算子t ：夕( ”) _ 夕7 ( r - ) 是良型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，如果 ( i i i ) t 能扩张成从l 2 ( p ) 到其自身的有界线性算子； ( i v ) 存在个良型核k ( z ，掣) ，使得对所有的f c 字( 珏p ) ，成立 ， t f ( x ) = k ( z ，y ) f ( y ) d y ，v z r n s u p p f , - ，p 其中印( 舯) 为时上具有紧支集的无穷次可微函数空间 y a b u t a 在文【8 】中证明了良型c a l d e r d n - z y g m u n d 算子的如下性质t 定理1 f 8 】设口是( 0 ，o o ) 上的非负非减函数且詹o c t ) t - 1 d t o o ，t 为良型 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，则t 有如下性质t ( i ) 对任意权u 4 ，1 p 入) ) 兰半) 0 川l t 沁) ； ( i i i ) l l t f l l v ( r n ) q 1 日，) ； ( i v ) l l t l l b m o t a ) c l i f l i l * c r ) 之后，人们研究了乒型c a l d e r d n - z y g m u n d 算子在各种函数空间中的有界性 ( 见文献【3 6 】，f 3 7 】，【3 8 】，【3 9 1 ，【4 0 】) 用t 表示奇异积分算子， 1 9 7 6 年，c o i f m a n ，p c h b e r g 和w e i s s 在文【1 2 】中 引入了奇异积分算子交换子的如下定义t 【b ，刀，( $ ) = t b f ( x ) = b t ( f ) ( x ) 一t ( b f ) ( x ) = j ( ( 6 ( z ) 一6 ( 可) ) k ( z ，v ) f ( y ) d y - ，r n 其中k 表示满足标准c a l d e r 6 n - z y g m u n d 估计的核 一2 一 第1 章绪论 奇异积分算子t 与适当的函数b 生成的高阶交换子定义为： 2 p ，( z ) = ( 6 ( z ) 一6 ( 可) ) m ( z ，y ) f ( y ) d y ，m n 2 0 0 2 年，p d r e z 和t r u j i l l o - - g o n z i l e z 在文【2 8 中研究了c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算 子的多线性交换子，类似地可以定义以型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的多线性交换 子 设t 为良型c a l d e r d n - z y g m u n d 算子，向量b = ( b l ，6 m ) ，其中幻为局部 可积函数，1 j m ，把良型c a l d e r d n - z y g m u n d 算子与6 生成的多线性交换子 定义为t t d ( 垆厶翼( 嘶) 刊b 们) k ( x , y ) f ( y 众所周知，奇异积分算子交换子既不是从l 1 ( r - ) 到l l , o o ( r - ) 有界的，也不是 从h 1 ( i p ) 到l 1 ( r - ) 有界的1 9 9 5 年。p d r e z 2 s l 建立了c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子 与b m o 函数生成的交换子的ll o gl 型的弱型估计1 9 9 7 年，p d r e z 4 1 1 建立了 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算q ：- qb m o 函数生成的高阶交换子当0 0 ，有 忙引【6 聊圳 枷却l 。厶掣1 + l o g + 掣) n 2 0 0 1 年，p 6 r e z 和p r 8 u d 0 h n i 【鹞】采用c a l d e r 6 n - z y g m u n d 分解理论，建立了 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子和b m o 函数生成的高阶交换子在p = 1 时的加权弱型 估计2 0 0 5 年，张和徐推广了【4 1 1 ，1 4 2 和【4 3 】的主要结果，建立了良型 c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的高阶交换子的加权尖锐估计 定理3 1 3 0 1 设t 为良型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子且口满足片e ( t ) t - 1ll o gt m d t o o ，又设0 0 ，存在不依赖于六u 和a 的常数c 0 ，使得 u ( z 时：i t 矿bf ( z ) i 入) ) sc 卜m ( 掣) 耽( 1 0 9 l ) 一u ( z ) 缸 ，p 、 ，、 7 2 0 0 6 年，文【4 4 】研究了良型c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子与b m o 函数生成的交 换子在h a r d y 型空间及h e r z 型h a r d y 空间中的有界性 1 9 9 5 年，p a l u s z y f i s k i 在文【4 5 】研究了奇异积分算子与l i p s c h i t z 函数生成的 交换子的( 口， ) 有界性以及从p ( 舻) 到t r i e b e l - l i z o r k i n 空间的有界性 2 0 0 6 年，文【4 6 】把【4 5 】的结果推广到了满足一定条件的乒型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子 2 0 0 8 年。x i e 和s h u 4 7 把【4 6 1 的结果推广到了良型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的多 线性交换子，证明了良型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子与l i p s c h i t z 函数生成的多线性 交换子的( 汐，l q ) 有界性以及从2 ( r ) 到t r i e b e l - l i z o r k i n 空间的有界性，并建立 了在原子h a r d y 空间中的有界性与此相关的更多结果。见文献 4 8 】，【4 9 】 本文第二章将建立乒型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的多线性交换子的加权估计， 在0 满足詹0 ( t ) t _ 1 ll o g t m d t 0 ) 且满足厶一。q ( z ) 曲( z ) = 0 ，具有齐性核的奇 异积分算子定义为 酬z)-pv厂掣舳(i-i)jrni 山一y i 称q 满足l 一d i n i 条件，如果 卜w o 妥( 5 ) d 5 ( 。( 1 - 2 ) 其中“k ( 6 ) = s u p i f 2 ( x ) 一q ( ) i ：i z 一i 最z ，y s n 一1 ) 由文【5 0 】可知，当q 满足式( 1 - 2 ) 时，是弱( 1 , 1 ) 型和强，p ) 型的( 1 p 划鲴1 6 | i 。上。t i f ( x ) l ( 1 + l o g + 掣) 衄 并证明了【6 ，】是从h 1 ( 舯) 到弱三1 ( 舻) 有界的和从磁( 舻) 到l 1 ( 舻) 有界的， 并把这些结果推广到了高阶交换子的情形 对于适当的函数6 1 ，6 2 ，k ，类似于【2 8 】中的多线性交换子，可以如下定义 与云= ( b 1 ，6 2 ，6 m ) 生成的多线性交换子 v = 厶酗垆删矧触 文睁q 利用极大函数，讨论了具有l 一d i n i 型核的奇异积分算子与0 8 c 呻驴 函数生成的多线性交换子i 的加权有界性，并要求核满足如下条件t f ow o o ( 6 ) - ( - o s - ；) m d 6 1 ) ，如果s z l 8 【譬1 ) 且满足 z 1 学狄o o ，( 1 - s ) 其中( 6 ) = 1 8 l l , 0 1 1 p 6 ( j 一i q ( 肛) 一q ( 。) 1 8 曲( z ) ) “。，p 为s n 一1 上的旋转， i l p l l = s u p z 弘一li p x z i k u r t z 在文【5 5 】证明了核满足二8 一d i n i 条件的奇异积分算子的加权白，p ) 有界性和弱f 1 。1 ) 有界性 当q 满足 z 1 华蚝1 o 。， ( 1 - 6 ) 文( 5 6 】研究了b m o 函数与奇异积分算子t o 生成的一阶交换子的加权有界性，当 研究m 阶交换子的加权有界性时，要求q 满足 z 1 华( o g 吾) n d 6 o o ( 1 - 7 ) 本文第三章将研究当核函数满足d i n i 型条件( 1 - 7 ) 时，奇异积分算子的多 线性交换子的加权有界性及相应的加权l ( 1 0 9 二) m 弱型估计 一5 一 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章良型c a l d e d r 6 n z y g m u n d 算子多线性交换子 的加权估计 2 1 引言与结果 设t 是具有标准核的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，19 7 6 年，c o i f m a n ，r o c h b e r g 和w e i s s 1 2 】如下定义了奇异积分算子的交换子； 死，( z ) = f ( 6 ( z ) 一6 ( ) ) ( z ，y ) ( y ) d y 当b b m o ( r ) 时，c o i f m a n ，r o c h b e r g 和w e i s s 1 2 】证明了死是驴( r n ) 有 界的( 1 p o o ) 1 9 9 5 年，p 觚z 例建立了死当p = 1 时的三1 0 9 l 型的弱型估 计 交换子是与c a l d e r 6 n - z y g r o u n d 算子密切相关的类重要算子，有关交换子的 研究已取得了丰富的成果，如文【1 3 - 1 6 】及相关参考文献对于非负整数m ，把t 与 b b m o ( r n ) 生成的m 阶交换子定义为 研，( z ) = j f ( 6 ( z ) 一6 ( ) ) m k ( z ，y ) f ( y ) d y ， 显然，当m = 0 时，霹为c a l d e r 6 n - z y g m u n d 奇异积分算子t ；当m = 1 时， 霹= 死 1 9 9 7 年，p & e z 4 1 l 建立了霹。当0 p 0 0 时的加权估计2 0 0 1 年，p & e z 和p r a d o l i n i l 4 a 采用c a l d e r d n - z y g r o u n d 分解理论，建立了交换子在p = 1 时的加 权弱型估计，仅要求权函数为非负局部可积函数 1 9 8 5 年。y a b u t a 8 1 在研究c o i f m a n 和m e y e r r 的某些伪微分算子时，把具 有标准核的c a l d e r d n z y g m u n d 算子作了推广，引入了良型c a l d e r d n - z y g m u n d 算 子 定义2 1 1 8 1 设口是( o ，) 上的非负非减函数且詹o ( t ) t 一1 d t o o 称定义在 珏px r n ( z ，z ) ：z r n 上的可测函数( z ，y ) 是个乒型核，如果 ( i ) 当z 矽时，i k ( x ，y ) i c l z 一掣l _ n ； ( i i ) 当2 1 x z i i z y i 时。 瞰钏) 叫( 硎+ 瞰舭) 一k ( y , z ) l 鲴卜圹叼( 翻) 称线性算子t ：夕( 时) 一夕7 ( r n ) 是良型c a l d e r d n - z y g m u n d 算子，如果 一6 一 第2 章0 一型c a l d e d r 6 n z y g m u n d 算子多线性交换子的加权估计 ( i i i ) t 能扩张成从l 2 ( 郧) 到其自身的有界线性算子； ( i v ) 存在个良型核k ( z ，秒) ，使得对所有的f 掣( 舻) ，成立 ， t f ( x ) = k ( o ，v ) f ( v ) d y ，v z r - s u p p f ， ，r n 其中印( p ) 为r 竹上具有紧支集的无穷次可微函数空间 2 0 0 2 年，l i u 和l u 4 2 ) 把文【2 9 】中的l 1 0 9 l 型的弱型估计推广到6 i i 型 c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子的一阶交换子，他们要求口满足片o ( t ) t _ 1il o gt l d t 2 0 0 5 年，张和徐把文【2 9 】、【4 1 】和【4 2 】的主要结果推广到了良型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的高阶交换子，并要求p 满足 卜o ( t ) ll o g t l m d t ( ，o t 。 ( 2 - 1 ) 另方面，2 0 0 2 年。p 6 r e z 和t r u j i l l o - g o n z h l e z 在文【2 8 】中建立了具有标准 核的c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的多线性交换子的加权尖锐估计和p = 1 时的加权弱 型估计 以下用t 表示乒型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子，对局部可积函数b a 3 = 1 ，2 ，m ) ， 记舌= ( , 1 ，k ) 类似于【2 8 】中的多线性交换子，我们形式地把乒型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的多线性交换子定义为 ， m 搿( 茁) 5 厶( ( z ) 一b ( 可) ) k ( x , v ) f c y ) 曲( 2 - 2 ) 本章的目的是建立良型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的多线性交换子的加权估计， 在0 满足詹o c t ) ll o g t l m t - 1 d t 。的情形下，把【2 8 】和【3 0 】的若干结果推广到良 型c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的多线性交换子 为叙述本章的结果，首先介绍几个记号及定义 对r 1 和任意的，三】o c ( 舭) ，记，b = i 引_ 1 厶f ( x ) d x ，定义 州i o 工，= s u pi j ，一厶i i e x p l - , 口= s u pi l ，一扫l i e t r l ，b ， 其中上确界是对所有包含z 的球体j e i 取的用0 ，一如0 e x p 工r , b 表示，一向关于 y o u n g 函数圣( ) = e q 在球体b 上的平均，详细定义见第二节令 0 s c e , , t r = 【，l k ( r n ) ：i o 旷 1 时，b m o ( r r ) 严格 包含o s c e x p 上，且当r l 时，对b o s c 呻扩，有i i b l l c l l b l l 0 8 c 田, p 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 对b = ( b l ，6 m ) ，o s c ( , p l 7 和巧2l ( j = 1 ，：m ) ， ；1 2 i 1 + ! 和1 1 8 12 四训吆( 2 - 3 ) 本章结果如下： 定理2 1 设0 p 0 ，使 l t i f ( x ) v w ( x ) d x c l l 两j pu 帆陋d l ，r ( ，) ( 。) ( z ) 如 ( 禾4 ) ，p，p 对任何具有紧支集的有界函数，成立 由于吩1 0 = 1 ，2 ，m ) ，所以耽o o g 二) t r 点态小于耽o o g 驴且耽( 1 0 9 工p m m + 1 ( 见文【2 9 】的( 2 1 ) 式) 由此可以看出，定理2 1 包含了【3 0 】中的定理1 2 事 实上，在定理2 1 中取= b b m o ( r ) ，巧= 1 0 = 1 ，2 ，m ) ，即可得到文【3 0 】 中的定理1 2 再反复使用m 的加权有界性，可以得到下面的结论 推论2 2 设1 0 ，存在不依赖于，和入的常数c 0 ，使 州可舯：i t i f ( y ) l c 厶圣( 掣) 岫) 曲( 2 - 5 ) 对任何具有紧支集的有界函数，成立 注2 ：定理2 1 推广了p d r e z 4 1 l 的定理1 ，定理2 3 推广了p d r e z 和p r a d o l i n i 4 s i 的主要结果 注3 ：不难看出，本章的定理2 3 包含了文【4 2 】的定理1 事实上，注意到 口，b 0 时，圣( 曲) c 西( n ) 圣( 6 ) ，在式( 2 5 ) 中，令m 兰1 和u 三l ，便得到l i u 和 l u 建立的估计式当u a 1 时，式( 二5 ) 可以写成 u ( z e 破：刚训 0 圣( 1 1 哥1 1 ) z 圣( 掣) 岫) d y 一8 一 型i2 章i p - 型i c a l d e d r 6 9 。坐唑盟i 翌i i 塑塑坚业幽些i 一 i ；i i i i ；i 一_ i i _ i 一 本章后几节是这样安排的在2 2 中介绍若干预备知识和引理，并建立多线性 交换子的s h a r p 函数估计；在2 3 中给出定理2 1 的证明；在2 4 中将证明定理 2 3 2 2 预备知识与引理 定义在p 上的非负局部可积函数称为权函数称权函数u a p ( 1 0 ，使对任意的球体bc ”，有 高以u ( z ) 出c i n b f u ( z ) ，8 e x er n 把满足上面不等式的最小常数c 称为u 的4 权常数，记为p 】山由j e n s e n 不等 式，有a p 1 定义钆：u l 纵如按照通常的记号，记0 ，l i p = ( j 0l ，( z ) i ( z ) 出) v p 关于4 权的更多内容见【3 ，4 】 用b 表示i p 中的球体，t b 表示球体b 的t 倍同心扩张对任意的6 0 ， 定义 m 占c f ) = m ( i f l 嘲枷= ( 骝高加训占d 泸 删( ，) = m n ( i f l 5 ) ( z ) ， 其中m 为h a r d y - l i t t l e w o o d 极大算子，m n 为f e f f e r m a n - s t e i n 的s h a r p 极大函 数，其定义为 m 4 ，( z ) = s b u j p 霉i 譬下1 f sl f ( ) 一c i 曲s b u p 茹，f b i ( 秒) 一厶i 曲 下面介绍f e f f e r m a n - s t e i n 型不等式 引理2 1 2 s l ( a ) 设u 如，妒：( o ，。o ) _ ( 0 ，o o ) 具有双倍性质，则存在依赖于 妒的双倍条件的常数g 0 ，使得 s u p 妒( 入) u ( 暑，瞅：m a f ( y ) 入) ) sc i l i a 。畔p 妒( 入) u ( y r n ： 露，( y ) a ) a o a o 对所有使匕式左边取有限值的函数厂成立 一9 一 黑龙江大学硕士学位论文 ( b ) 设u a ，0 。：面1 上垂( 掣) d y s1 ) 把相应于y o u n g 函数垂的极大函数定义为 如( ，) ( z ) = s u pl i f l l 圣，b ， b z 其中上确界是对所有包含z 的球体b 取的 当圣( 亡) = e t r 一1 时，把f 在球体b 上的圣- 平均与相应于圣的极大函数分别 记为l | 1 1 呻p ，b 与m 茹l r 当圣( t ) = t l o f ( e + 幻时，f 在球体b 上的圣- 平均与 相应于圣的极大函数分别记为i i 崦工) r , b 及 屯0 0 9 工) r 对任意的r 0 ，有m f c m l ( i o g l ) r ，；对任意的非负整数m ，有 死陬工) m m 删1 ( 见文【2 9 】的( 2 1 ) 式或【4 1 】的( 2 1 0 ) 式) 引理2 2 1 2 s 1 设b 为舯中的球体，r 1 ，化，1 且1 r = l r 1 + + 1 则下面的广义h s l d e r 不等式成立t 南止i ( z ) 厶( z ) 夕( z ) i 出c i i f x l l 呻n , 一。厶。呻伽，b 吲i 厶帆驴r ，日 引理2 3 1 4 2 设0 6 1 ，t 是乒型c a l d e r d n - z y g m u n d 算子且口满足 片o c t ) t 一1 i l o g t l d t 0 ，使得对任意的f c 字( p ) 和o 眇有 喇( t 似z ) c m f ( x ) 注1 ：从文【5 7 的定理2 1 不难看出，只要0 满足詹o ( t ) t _ 1 d t o o ，就有引理 2 3 的结论成立 引理2 4 a o l 设0 p 且u a 又设t 是良型c a l d e r 6 n - z y g m t m d 算 子，则对任何具有紧支集的光滑函数，有 j i t f ( x ) l p u ( z ) 出c p 】乞j ( 【m ，( z ) 】( z ) 如 第2 章0 - 型c a l d e d r 6 n z y g r r i u n d 算子多线性交换子的加权估计 引理2 5 嘲设t 为护( 舻) ( 1 p o 。) 到一可测函数空间的次线性算子，若 t 是弱p ，p ) 型的，则对所有0 r 0 ，使 ， i r ，( 圳7 d x c l e l l _ r l l f l l ； je 为建立多线性交换子的点态估计，需要引入几个记号 给定任意正整数m 和歹且1 j m ，我们用伊= 矿( 1 ) ，仃( 2 ) ，盯( j ) ) 表示 1 ，2 ，m ) 中歹个不同元素组成的集合，用川表示口中元素个数，并记 筑p = 盯：口= 矿( 1 ) ，盯o ) ) ，ls 歹m 对任意的盯守，记其补集，= 1 ，2 ，m ) v 设妨o s c e x p 册u = 1 ，2 ，m ) ，若= ( 6 1 ，6 2 ，6 m ) 对任意的1s 歹m 及仃= 盯( 1 ) ，盯( j ) ) 审，记磅= ( k ( 1 ) ，b ( 2 ) ，k o ) ) ，b = k ( 1 ) b ( 2 ) b 口) 和玉= ( k 叶1 ) ，k ) 对满足i r 矿= i r 矿( 1 ) + + 1 r 矿的，记 1 0 5 c 呻肌= 帆1 ) i i o 二( ，) 怫洲o 一 对任意的仃锣，记 ，m i - i m ) 2 上娶( k ( z ) 一( 们) k ( 础) ，( 管) 曲 当盯= 1 ，2 ，m ) 时= ，强，= t 引理2 6 设如式( 各2 ) 所定义且口满足式( 2 - 1 ) ，巧1 ，b o s c 唧l 勺g = 1 ，2 ，仇) 又设r 和侗i 如式( 2 - 3 ) 所述，则对于满足0 6 0 ，使 喇( 搿) ( z ) g l i 两l 吮慨甜，( ，) ( z ) + i o 加尬( 强，似z ) ， j = 1 口贸” 。 ( 2 - 6 ) 对任何具有紧支集的有界函数，成立 证明。先考虑m = 1 的情形此时只须证明对r 1 和6 o s c e x p l r ，有 删( 死烈z ) o i i b l l o , c 唧工，【舰( 蛾工) - r ( ，) ( z ) + ( 吖) ( z ) ) 上式在文【4 2 】的引理3 已经得到证明，因此，我们只需证明m 2 时的情形 黑龙江大学硕士学位论文 对任意的天= ( a - ，a m ) ，对盯= 盯( 1 ) ，盯( 2 ) ，仃( 歹) ) 锣和瓦= ( b ( 1 ) ，k ( 2 ) ，b o ) ) ，记( i 一两口；卉( b ( ) 一a 口( i ) ) 类似于【2 8 】中的方法，把 作如下分解 ，( z ) = f ( 6 ( z ) 一6 l ( 可) ) ( k ( 茹) 一6 m ( y ) ) k ( z ，y ) f ( y ) d v = 【( 6 - ( z ) 一a - ) 一( b x ( v ) 一入) 【( 6 m ( z ) 一k ) 一( 6 m ( 剪) 一a m ) k ( z ，y ) f ( y ) d v =(一1)州(翰一两口厶(取y)一两一k(训(y)曲j=oa e 钞 。“。 把( 砍可) 一两一= 【( 玟y ) 一取z ) ) + ( 取z ) 一两】一代入上式，得出 f ( x ) = ( b l ( x ) 一入，) ( k ( z ) 一k ) t ，( ) + e e留。(一1)m叫(砍z)一两口厶(取!，)一蝴一k(础)m)dyj= la e 卯 。“。 + ( 一1 ) m t ( ( b l a 1 ) ( h k ) ，) ( z ) = ( 6 1 ( z ) 一a ) ( 6 m ( z ) 一k ) t f ( x ) + j ( 取z ) 一两口礓，他) ，j = l 盯謦尹 + c - - 1 ) m t ( ( 6 1 一k ) ( 6 m k ) ，) ( z ) ， 其中c m j 为依赖于m 和歹的常数 固定z ”，对任意常数g 和球体b = b ( z ，r ) 由0 6 i ，得 ( 高上呦训5 一i o o i 6 i d y ) v 5 冬( 高上阶) _ o o l a d v ) v 5 ( 高上i f1(蛐m)t舳)m肛j=l + 萎善( 柳蚴一两强，i s ( v ) 1 5 d 力蛳 + fff 去l ( 灰y ) 一和砰。d y ) 叫。 一、hj l o ，。， ，= l 口百： 一 + ( 高肌垂( 刊趴沪岛m 下面我们分别考虑，j 和i i i 取= ( 妨) 2 b 为在2 b 上的积分平均 o = 1 ，2 ，m ) 第2 章口一型c a l d e d r d n z y g m u n d 算子多线性交换子的加权估计 i li i iii n - - 先考虑j 对任意1 q l ( j = 1 ，2 ，m ) ，使1 q 1 + + 1 + 1 q 。1 ，使用h s l d e r 不等式并注意到1 1 幻1 1 c 惰j i 魄冲l r j ，有 c j f i = z ( 高么似们一知1 6 q ，d y ) v 嘞( 高上i 吖( 洲6 q d y ) v 的 g 面讪p l 。m 6 q ( t f ) ( z ) ( 2 7 sc 尬( 玎) ( z ) 类似地可以证明 m - 1 j ，c o l 印尥( 屯，) ( z ) ( 2 8 ) j = 1 矿甲 下面估计i i i 把f 分解为，= + 厶，其中 = 觑2 b ，五= ，一f l ，则 s c ( 高肌耍c b 一, x j ) f o ( 们m 肛 + c ( 南加( j f i = l ( 叫，2 ) 一岛m v 矗 = i i h + i i l 2 对j ， ，由于t 是弱( 1 ，1 ) 型算子，使用引理2 5 和引理2 2 ，有 m 高z b 1 6 j ( 可) 一w ( 可) i = 1 c j = l 物一训i 唧工r j ，2 占i l f l l l o o g l ) l r ，2 b协9 ) c f i l ，吮( 1 0 9 驴m ) ，= 1 冬c l l 5 i i m l o o , l ) t r ，( 2 ) 最后估计i i l 2 ，选c o = p ( 耍( 一沁) 如) b ，于是 最后估计 ，选 = l t ( 兀( 一沁) 如) i 。，于是 啦5 高肌亟”螂沪p ( j f l = l 旷洲8 d y 高么l 厶跏，垂c 训俐彬 - r