（基础数学专业论文）schrodingervirasoro李代数与非阶化virasorolike李代数的结构与表示.pdf

上海交通大学博士学位论文 s c h r s d i n g e r v i r a s o r o 李代数与非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数 。 的结构与表示 摘要 无限维李代数的结构和表示一直是李理论研究的热点问题之一本文主要对 几类无限维李代数的表示和结构进行了研觅这几类无限维李代数都与理论物理、 量子场论及统计力学等学科有着深刻的内在联系，并与v i r a s o r o 代数密切相关 本文主要分以下几部分： 第一部分：主要研究了一类无限维非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数的表示。这 类李代数( 无中心扩张的情况) 是在上世纪八十年代作为拟多项式环的一阶微分 算子代数被引入的【1 】，九十年代在理论物理的广义对称性研究中产生了同样的代 数结构【2 】由于菲阶化李代数本身结构的复杂性，使得对它们的结构和表示的研 究变得比阶化的情形要困难和复杂很多我们首先证明了在一定条件下c 的不可 约模或是g h w 模，或是一致有界模然后，对c 的一类一致有界模给出了完全 分类，证明了它有且只有七种情况：a 。， 棚a 0 ，a 棚a 1 ，a 川a 1 ，0 ，a ，p ，b 1 ，0 ，a a 0 ，1 ，a ，p ， a o l ，肌最后，我们讨论了c 的一类截断子代数w ，证明了w 没有非平凡的中心 扩张 第二部分：研究了s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数及其扩张m h e n k e l 3 引入 了s c h r s d i n g e r v i r a z o r o 李代数的概念，它在数学物理和统计力学中具有广泛的应 用近些年，在具体的物理研究背景下，j u n t e r b e r g e r 4 】定义了一类s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数的扩张，称之为扩张s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数目前，关于扩 张s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数的结构的许多问题还不清楚首先，我们证明了 s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李代数量扫的泛中心扩张弱的不可约权模或者是最高权模， 或者是最低权模，或者是一致有界模其次，确定了扩张s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 李 代数量b 。的导子代数，证明了它的导子均为内导子，进一步说明了搴d 。是一类无限 维完备李代数，并确定了5 臼。的泛中心扩张。最后，证明了童臼。没有非平凡的不变 双线性型，从而说明了它在l e i b n i z 代数范畴中的泛中心扩张与它在李代数范畴中 的泛中心扩张是致的 第三部分：研究了一类由w i t t 代数和它的密度张量模构成的半直积w ( a ，b ) 中文摘要 及其中心扩张这类李代数自然地出现在超弦理论中，它包含了我们所熟知的一 些代数结构，如w ( o ，0 ) 的泛中心扩张就是经典的扭h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数 我们刻画了w ( a ，b ) 的导子代数，分类了全部的一维中心扩张特别地，这一结果 纠正了文【5 中的一个主要结果最后，我们确定了w ( a ，b ) 的自同构群的结构 关键词v i r a s o r o 代数，非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数，g h w 模，不可约 模，一致有界模，导子代数，中心扩张，自同构群 i i 上海交通大学博士学位论文 t h es t r u c t u r e sa n dr e p r e s e n t a l t i o n so f s c h r o d i n g e r v i r a s o r 0l i ea l g e b r a sa n d n o n g r a d e dv i r a s o r o l i k el i ea l g e b r a s a b s t r a c t t h es t r u c t u r e sa n dr e p r e s e n t a t i o n so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a sh a v e d r a w nm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n sb e c a u s eo ft h e i rg r e a ti m p o r t a n c ea n da p p l i c a - t i o n s m a n yn o n g r a d e di n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a sn a t u r a l l ya p p e a ri nt h e f i e l d so fc o n f o r m a lf i e l dt h e o r y , s t a t i s t i cm e c h a n i c sa n dh a m i l t o no p e r a t o rt h e o r y i ng e n e r a l ，t h es t r u c t u r e so fn o n - g r a d e dl i ea l g e b r a sa r ec o m p l e x ，w h i c hm a k e s i tm u c hm o r ed i f f i c u l ta n dm o r ec h a l l e n g i n gf o ru st os t u d yt h e i rs t r u c t u r e sa n d r e p r e s e n t a t i o n s i nt h ef i r s tp a r to ft h ep a p e r ，r e p r e s e n t a t i o n so ft h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a ln o n g r a d e dv i r a s o r o - l i k el i ea l g e b r ac a r es t u d i e d f i r s t l y , w ep r o v et h a ta ni r r e d u c i b l e m o d u l eo v e rc ，w h i c hs a t i s f i e san a t u r a lc o n d i t i o n ，i sag h wm o d u l eo ru n i f o r m l y b o u n d e d s e c o n d l y , w eg i v et h ec o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no fac l a s so fi n d e c o m p o s a b l e m o d u l e sa n dp r o v et h e r ea r es e v e nc a s e s ： a o ，a ，p ，a o ，a ，p ，a i ，a ，p ，a i ，0 ，a ，p ，b i ，0 ，a ，p ， a o ，1 ，a ，pa n da 0 ，l ，a ，p f i n a l l y , t h ec e n t r a le x t e n s i o no ft h es u b a l g e b r aw o fci s d e t e r m i n e d i n1 9 9 4 ，m h e n k e l 【3 】3o r i g i n a l l yi n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o no fs c h r s d i n g e r v i r a s o r ol i ea l g e b r a5 臼w h i c hi so fg r e a ta p p l i c a t i o ni nt h ef i e l do fm a t h e m a t i c a l p h y s i c sa n ds t a t i s t i c a lm e c h a n i c s r e c e n t l y , j u n t e r b e r g e r 【4 】d e f i n e da ni n f i n i t e - d i m e n s i o n a ll i ea l g e b r ac a l l e dt h ee x t e n d e ds c h r 5 d i n g e r - v i r a s o r ol i ea l g e b r a 毒d c f e wr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e dr e l a t e dt ot h es t r u c t u r ea n dr e p r e s e n t a t i o no f5 d t i nt h es e c o n dp a r to ft h ep a p e r w ep r o v et h a ta ni r r e d u c i b l er e p r e s e n t a t i o no v e r t h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no f 磊i sah i g h e s tw e i g h tm o d u l e o ral o w e s tw e i g h t m o d u l eo ru n i f o r m l yb o u n d e d s e c o n d l y , w es h o w5 口ch a sn oo u t e rd e r i v a t i o n c o n s e q u e n t l y , 5 口ci sa ni n f i n i t ed i m e n s i o n a lc o m p l e t el i ea l g e b r a t h i r d l y , t h e u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n 最o f 毒d i sd e t e r m i n e d f o u r t h l y , w ep r o v et h e r ei s i i i n on o n t r i v i a li n v a r i a n tb i l i n e a rf o r mo n5 d c ，w h i c hs u g g e s t st h eu n i v e r s a lc e n t r a i e x t e n s i o no fs d ci nt h ec a t e g o r yo fl e i b n i za l g e b r a si st h e8 a m ea 8 t h a ti nt h e c a t e g o r yo fl i ea l g e b r a s f i n a l l y , t h ea u t o m o r p h i s mg r o u po f 与t j c i sg i v e n i nt h el a s tp a r t ，w es t u d yt h es t r u c t u r eo ft h es e m i - d i r e c tp r o d u c to f w i t t a l g e b r aa n di t sd e n s i t yt e n s o rm o d u l e ，d e n o t eb yw ( a ，b ) t h e l i em g e b r a sw ( a ，b ) a n dt h e i rc e n t r a le x t e n s i o n sa r ei m p o r t a n ts t r u c t u r e s ，w h i c hn a t u r a l l ye m e 。g e i n 8 u p e r s t r i n gt h e o r y w ( a ，b ) i n c l u d es o m e w e l l - k n o w na l g e b r a s ，s u c h 够t h et w i s t e d h e i s e n b e r g v i r a s o r oa l g e b r aw h i c hi st h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o no fw ( o ，0 ) i nt h i ss e c t i o n ，t h ed e r i v a t i o na l g e b r a s ，c e n t r a le x t e n s i o n sa n dt h ea u t o m o 。p h i s m g r o u p so fw ( a ，b ) a r ea l ld e t e r m i n e d k e yw o r d sv i r a 8 0 r oa l g e b r a ，n o n - g r a d e d v i r a s o r o - l i k el i ea l g e b r a ，g h w m o d u l e i r r e d u c i b l em o d u l e ，u n i f o r m l yb o u n d e dm o d u l e ，d e r i v a t i o n ，c e n t r a le x t e m s i o n ，a u t o m o r p h i s m + i v 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：高么兰 日期：加趵哕月加日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密口，在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密i 以 ( 请在以上方框内打“，) 学位论文作善签名：# 马云兰 日期：脯弓月加日 ：羞掣致 第零章绪论 o 1 背景 李群及其李代数，通常称之为李理论，从其产生至今已有了非常巨大的发展， 并日益显示出与理论物理，量子物理及统计力学等学科的深刻联系及广泛应用 因而，自二十世纪以来，已成为当代数学中不可或缺的重要分支之一 十九世纪末，挪威数学家s l i e 在研究微分方程解的对称性时引出了李群的 概念当时，受g a l o i s 理论的启发，数学家们将变换群的思想推广到几何与分析 领域，发现几何或分析领域的自同构变换群其本身通常也会具有自然的几何或分 析的结构，李群正是这样的一种结合体李群理论是随着微分方程用积分求解的 可能性问题以及连续变换群的研究而发展起来的由于李群运算的可微l 生，使得 可以考虑它在无穷小层面上的线性化，从而得到一种无穷小群的结构，这种结构 后来就被称为李代数李的基本定理告诉我们，李代数完全决定了李群的局部性 质由此出发，李群的局部结构问题就转化成了纯粹且相对简单的代数问题 1 9 3 4 年，h w e y l 正式引进了李代数这一术语，并指出李代数具有独立的研 究价值，而随后数学的发展证实了这一点李代数的经典理论的重要性在于它对 李群的应用 w k i l l i n g 和e c a r t a n 对于可解李代数，半单李代数等结构的研 究取得了丰富的成果经过e c a r t a n 的工作和h w e y l 等人的完善，特征为零 的域上的有限维单李代数的分类问题已经获得了圆满的解决随着时间的推移， 李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升到2 0 世纪5 0 年代以 后，李代数已不再仅仅作为研究李群的代数工具，它已经成为一个独立的数学分 支并取得了飞速发展 自二十世纪六十年代末，v g k a c 和r v m o o d y 各自独立地引入无限 维k a c - m o o d y 代数以来，李代数及其表示理论的研究进入了新的发展阶段k a c - m o o d y 代数及其表示理论有着广泛应用，并与数论，组合以及数学物理等各个领 域有着密切联系，例如数论中的模形式和模函数，组合数学中的g - 级数，r o g e r s - r a m a n a j a n 恒等式，拓扑学中的l o o p 空间和l o o p 群，q u i v e r 表示，奇异点， 孤立子方程等 1 9 0 9 年，法国数学家e c a r t a n 给出了彬s ，日，k 四类无限维李代数，其中 最简单的一类是m ，后来被称为w i t t 代数，本文中记为w w i t t 代数是由圆 上海交通大学博士学位论文 环s 1 上的向量场构成的李代数的复化，可以看作是由复数域上l a u r e n t 多项式环 c 陆，- 1 】上的微分算子厶= t i 羞构成的李代数w = o m zc l m 满足 f l m ，l 。】= ( m n ) l 。+ 竹， m ，n z 二十世纪六十年代，物理学家v i r a s o r o 介绍了一类无限维李代数一v i r a s o r o 代数 v i r ，作为w i t t 代数的泛中心扩张v i r = w o c 既满足 l n 】：( m n ) l 帅+ 如帆。竺q ， m ，n z ， 【v i r ，既】= 0 v i r a s o r o 代数及其表示理论在数学和物理的众多领域有广泛的应用关于v i r a s o r o 代数的结构与表示，其中最重要的研究工作之一当属m a t h i e u 6 1 的关于v i r a s o r o 代数的不可约表示的完全分类的工作近些年来，有很多与v i r a s o r o 代数的结构 和表示密切相关或v i r a s o r o 代数的结构和表示的推广工作，如高阶v i r a s o r o 代数 【7 ，8 ，9 】，v i r a s o r o - l i k e 代数及其q 一类似【1 0 _ 【1 2 】，仿射一v i r a s o r o 李代数【1 3 ，1 4 ，1 5 ， 1 6 】，扭h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 李代数【1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 l ，2 2 】等等 在研究v i r a s o r o 代数的不可约模分类【2 3 ，2 4 ，2 5 】的过程中出现了一类比较 重要的表示：密度张量模( 也称为中间序列模) k ，p f 2 6 】给定两个复数a ，p ，k 卢= 0 七zc v k 满足 l m v k = - ( k + 及+ p + 卢识) + 奄，m ，七z 在无限维李代数中，由v i r a s o r o 代数和它的密度张量模构成的半直积是一类 重要的李代数结构在本文中，我们主要研究了三大类这种李代数的结构和表示： 非阶化v i r a s o r o - l i k e 代数，s c h r s d i n g e r - v i r a s o r o 代数以及w ( a ，b ) 型代数 o 1 1 非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数 定义0 1 1 设g 是一个加群，李代数g 称为g 阶化的，如果它满足 g = 曰g 。，d i m g 口 日t 笺e 日z 2 口 朱林生和孟道骥在文【7 3 】中直接利用f 4 4 】中的方法证明了v i r a s o r o 代数无外 导子这里，由引理1 1 4 和推论1 1 6 和我们所得到的结果，我们马上就可以确 定v i r a s o r o 代数v i r 的导子代数和自同构群。 d e r ( v i r ) = i n n ( v i r ) ，a u t ( v i r ) 髦c xz 2 1 4 第二章非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数 近几十年来由于非阶化李代数在共形场论，统计力学以及h a m i l t o n 算子理 论中的广泛应用，对非阶化李代数的研究引起了越来越多的专家和学者的兴趣 由于非阶化李代数结构本身的复杂性，人们通常不能用以往阶化和线性的方法来 研究它的结构和表示目前尚未有一套完整的方法研究非阶化李代数的结构和表 示，因此我们只能通过研究某些具体的非阶化李代数的结构和表示，从而归纳出 一套行之有效的方法用之于研究一般的非阶化李代数本章，我们主要研究了一 类非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数的表示 设c 是复数域上的向量空间，有一组基( l 。，p ，ci 口，z ，并且对任意的 q l ，p l ，o t 2 ，侥z 满足下列方括号运算： 【l 。1 ，卢。，l 。2 ，伪】= ( a 2 一a 1 ) l 。，+ 。2 ，卢l + 历+ 1 + ( 仍一f 1 1 ) l 。1 + 口2 ，卢1 + h + 击如。+ 。 妇。+ 励，一3 q ；+ 3 如，+ 虎，一2 ( 卢+ 1 ) n ； ( 2 0 1 ) + 3 ( f z 。+ 成，一l p l ( 卢l + 1 ) l + 如。+ 庞，o 卢1 ( p 一1 ) 】c ， 【l 虬芦。，c 】= 0 容易验证，在上述方括号运算下构成一个李代数显然，它是非阶化的基于 它和v i r a s o r o 代数的密切联系，我们称之为非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数 2 1 非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数c 的g h w 模 本节，我们首先来研究c 的g h w 模，进而给出在一定条件下c 的不可约模 的分类 定义2 1 1 设o i l ，0 1 2 z z ， q l ，q 2 ) 称为z z 的一组z 基，如果对每 一个o z z z ，都存在，k 2 z 使得n = k l a z + o r 2 本节我们总是假设c 模v = 0 ，j zk 。满足d i mw 。 0 令 q l = ( n m 一1 ) e 1 + t t 2 e 2 ，0 1 2 = 仇2 e l + ( m n + 1 ) e 2 ， 易知 q 1 ，a 2 ) 是z z 的一组z 一基因为 【l m ，n ，l 。一1 ，n 】= - l 2 。一1 ，2 n + 1 ， 【k ，n + 3 ，l m 一1 丹- - 3 】= 一l 2 m 一1 ，2 n + l 一6 l 2 m 一1 ，2 b ， 所以l 2 。一1 ，2 t l ，l 2 m 一1 ，2 。+ 1 岛根据 l m ，n ，l 。一1 ，n 一3 】= 一l 2 仇一1 ，2 t i 一2 3 l 2 m 一1 ，2 。一3 ， 【l m 一1 ，n ，l m ，n 一3 】= l 2 m 一1 ，2 住一2 3 l 2 m 一1 ，2 n 一3 ， 我们有l 2 m 一1 ，2 n 一2 ，l 磊一1 ，2 n 一3 品运用下列关系 【k ，n ，l m 一1 ，n + 3 】= 一l 2 m 一1 , 2 n + 4 3 l 2 m 一1 ，2 n + 3 ， 【l m 一1 ，他，l m ，t l + 3 】= l 2 m 一1 ，2 n + 4 3 l 2 m 一1 ，2 n + 3 ， 可以推得l 2 竹l 一1 ，2 n “，l 2 卅1 ，2 n + 3 因此， 类似地，我们有 l 2 m 一1 。2 忆+ i 忌= - 3 ，- 2 ，0 ，1 ，3 ，4 ) 冬i ，n 岛m ，2 n + k ，三2 。+ l ，2 n + 膏 七= - 3 ，- 2 ， 一般地，对k 3 可得， ( 2 1 2 ) 0 ，1 ，3 ，4 冬品弦( 2 1 3 ) l 七m + ，七n + j l i = - 1 ，0 ，l ；- 3 ( k 一1 ) j a ( k 一1 ) ) & ，。 由于m 2 ，根据( 2 1 2 ) ( 2 1 4 ) ，分别考虑庇= 礼和七= m 的情况可得， 【l 。m 一1 一，l 。n ，n 2 ，l m 2 + l ，m n + 1 ，l m 2 ，竹m + l t s 南，n 1 6 ( 2 1 4 ) 第二章：非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数 故而容易得到，对任意的口= k l 0 9 1 + k 2 0 e 2 + k ( 1 一以。k 。，o ) e 2 ，有l 。s m m 其中 k 1 ，k 2 z + ，0 k k 1 + k 2 由定义2 1 2 知，此引理成立 c a s e2 m 0 ，n ，n 因此，对任意的o z = 七l a l + k 2 嘞+ 七( 1 一民。幻，o ) e 2 ，有。冬岛m 其中幻，k 2 z + ， 0 k 惫1 + 乜 对于m 0 的情形，令a l = ( 1 + n m ) e l + n 2 e 2 ，0 1 2 = - m 2 e 1 + ( 1 一r i m ) e 2 ， 则 【l n m + l ，。2 ，l 。，。2 ，l m 2 ，一。m + 1 ，l m 2 1 ，一m n + 1 ) 疏，n 当m ： k ，j ) j _ 一j - _ 一 i = - - 1 ，0 ，1j = - 3 ( 2 1 5 ) c a s e2 1 m i = 1 ，n 0 由引理2 1 4 ，对任意的0 口s - m 一。u o ) 类似于情形1 的证明，我们有。 6 d i m v , ，n ( d i m v t ，j ) i ：- i ，0 ，1j = - 2 ( 2 1 6 ) c a s e3 m = 0 ，几0 或m o ，n = o 如果仇= 0 ，几0 ，根据引理2 1 4 ，对任 意的o u v o 朋有s 1 一n 口 o ) 故而， 6 d i m v o ，。( d i m v i ，j ) i ：0 ，l ，2j = 一2 若m 0 ，n = o ，类似地，我们有 ( 2 1 7 ) 4 d i m v , , ，o ( d i m ) ，i m l 2 ， ( 2 1 8 ) = 一1 ，0 ，1j = 一4 5 ，( d i mv钳)dim 0 d i m ， ：( ：， = 一1 ，0 ，1j = 一3 由( 2 1 5 ) ( 2 1 9 ) 知，y 是一致有界的，矛盾 1 8 im | = 1 ( 2 1 9 ) 口 第二章：非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数 2 2 非阶化v i r a s o r o l i k e 李代数c 的一致有界模 在本节中，我们总是假设c 模v = o z 诈，。满足d i mk ，。 ，并且 l 。 b k 芦k + 。s + 6 + l + k + 。，。+ 6 ( 2 2 1 ) 引理2 2 1 设v = 0 邸zk 一是满足偿2 纠的c 模，则c 在y 上的作用 是平凡的 证明：在( 2 0 1 ) 中，令o t l = 一a 2 ，夙+ 岛= k ，然后分别取k = 一3 ，一2 ，一1 ，0 ， 则由( 2 2 1 ) 和( 2 0 1 ) ，对任意的m ，钍z ，我们有 o c ，。冬n ( 0 坛卅t ) = o ) k = - - 3 奄曼t + 2 ， 于是，此引理成立 口 对任意的l m ，n c ，根据假设条件( 2 2 1 ) ，对每一个t ，k 。，都存在u l v r + m , s + n + l ，u 2 诈+ m 计n 使得 l m n u = 口1 + v 2 定义m ：w ，。一k + m ，卧n + 1 和q 。，n ：k 。_ k + m ，卧。如下： 名。n 影= v l ，q m 。n 。= 0 2 于是，l ，n ，。= 只。一+ q 。，n 引理2 2 2 设v = 0 zk ，。是满足俾2 。砂的c 一模对任意的h ，k ，r ，s z ，我们有 【v h ，七，只，。】= ( r 一危) p k + r ，+ 。+ l ( 2 2 2 ) 【p h ，k ，q ，一+ 【q ，七，只_ = p 一 ) q + ，七+ 。+ l + ( s 一七) p + ，知+ 。，( 2 2 3 ) 【q l i ，七，q 即】= ( s k ) q h + r 七+ 。 ( 2 2 4 ) 特别地，p - 1 = s p a n p m ，一1lm z ) 和q o = s p a n q o ，nin z ) 都是无中心 的v i r a s o r o 代数，并且对任意的m ，n z ， 蜡= 0 棚瞪= 0 k ，n s e z r e z 分别是q o 模和p - 1 模 1 9 上海交通大学博士学位论文 下面我们讨论c 的不可分解模v = o zw ，满足( 2 2 1 ) 且d i mw 。1 根据引理2 2 2 以及v i r a s o r o 代数的表示，我们可以假设对任意的u y m 一1 ， 其中入，弘c 是两个固定的复数 对任意的m ，n ，h ，k z ，设 r ，k v m ，n = f h ，k ( m ，n ) v h + m n + + l ，q k v m ，n = g h ，( 7 n ，礼) z n + h ，n + 七 梗据中的定义关系及模的定义，我们可得下列三个关系式： f h ，七( m + r ，礼+ s + 1 ) ，r ，。( m ，n ) 一 一( + 仇，k + n + 1 ) f h ，( m ，礼) = p h ) f r + h ，。+ k + 1 ( m ，礼) ， ( 2 2 6 ) f h ，k ( r + 仇，s + n ) 缈一( 仇，n ) + g h ( m + r ，8 + n + x ) l ，。( m ，n ) 一 ，。( + 仇，k + n ) g h 。七( m ，礼) 一夕r ，。( m + h ，k + n + 1 ) f h ，( m ，n ) ( 2 2 7 ) = ( 7 一h ) g h + ，知+ 。+ l ( 7 n ，礼) + ( s 一七) f h + ，七+ 。( r n ，n ) ， g h ，知( m + r ，s + 礼) 夕r ，。( m ，n ) 一夕r ，。( m + h ，n + k ) g h ，七( m ，礼) = ( s k ) g h + ，k + 。( m ，礼) 由( 2 2 5 ) 知， f o ，一l ( m ，- 1 ) = a + m ，g o ，o ( 0 ，n ) = p + n 引理2 2 3 对任意的m ，n z ，我们有 f o 。一1 ( 仇，礼) = 入+ m ，g o 。o ( m ，n ) = p + n 证明：在( 2 2 8 ) 中令m = r = s = 七= 0 ，则对任意的竹，h z ， 鲰。o ( o ，n ) g o ，o ( 0 ，n ) = g o ，o ( h ，n ) g h ，o ( 0 ，n ) 在( 2 2 6 ) 中取k = 一1 ，8 = r = = 0 得， 厶，一l ( m ，n + x ) f o ，o ( m ，礼) = y o ，o ( m ，n ) f o 一l ( m ，n ) 若对每个h z 都存在n z 使得夕 ，o ( 0 ，礼) 0 ，则由( 2 2 1 0 ) 即可得 g o ，o ( m ，n ) = p + n 2 0 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 、， 522 ，-l 、， n + p，、 = 0oq u 、l ，m +一 ，并且对所有 的i ，j z 满足 a 。b ：l i v j = ( a + 觇+ j ) 移i + j ； a ( a 7 ) ：l i v j = ( i + j ) v i + i ，歹0 ，l i v o = i 【1 + ( i + 1 ) a 7 】仇，a t c ； j e i ( ) ：l i v j = j v i + j ，j - i ，l i v 一= 一i 1 + ( i + 1 ) 0 7 】蛳，a r c ； a ( o 。) ：l t = ( i + j ) 哦钾，歹0 ，l i v o = i ( i + 1 ) v i ； b ( ) ：l = j v n j ，j - i ，l i v i = 一t + 1 ) v o ， 其中v i r a s o r o 代数的中心元c t 在这些模上的作用是平凡的 根据v i r a s o r o 代数的中间序列模的上述形式，本节我们将分两小节给出定理 2 2 4 的详细的证明 2 3 1 定理2 2 4 的证明i 在本小节中，我们总是假设 q o ，。，n = ( a r a s + p + n ) ，n + ， ( 2 3 1 ) 2 2 第二章：非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数 只，一i v m ，。= ( 6 。? + a + 7 1 1 ) 移m + ，。，( 2 3 2 ) 其中o m ，k c 事实上，若p 0 或a 0 ，由于蝶= 0 。zc ，札与 蜡= 0 。zc t h ，佗分别是q o 模与p - 1 模，则，。或b ，一l 必有( 2 3 1 ) 或( 2 3 2 ) 的形式 ， 引理2 3 1 对任意的m z 有a m = a ，即 9 0 ，s ( m ，住) = 8 s + 弘+ n ， m z 证明；由【岛，“l r ，一1 】= r o ，一1 和( 2 2 9 ) 得， g o ，一l ( m + r n ) l ，一l ( m ，他) = 9 0 ，一l ( m ，扎) 一l ( 仇，孔一1 ) ( 2 3 3 ) 从而，对任意的m ，f , ，r z ， ( p + n o 。+ r ) ( 6 n r + a + m ) = ( p + n 一) ( 6 n l r + a + m ) ，( 2 3 。4 ) 在( 2 3 4 ) 中分别用一r 代7 ，m + r 代仇得， ( 弘+ 几一) ( 一k r + a + m + r ) = ( p + n a m + r ) ( 一k 一1 r + a + 仇+ r ) ( 2 3 5 ) 根据( 2 3 4 ) 与( 2 3 5 ) ，我们有( 6 n + k 一1 1 ) r ( + r a m ) = 0 于是， k + k l = 1 或a m + r = a m ，礼，m ，7 _ z 若对任意的n z 都有k + k l = 1 ，则 b 2 k = b o ，b 2 + 1 = 1 一b o ， k z 在( 2 3 4 ) 中分别取仃= 2 k 和仡= 2 k + 1 ，则对任意的k ，m ，r z ， ( 2 5 0 1 ) r ( 肛+ 2 k a m ) = ( b o r + a + m ) ( + ，一0 m ) ， ( 2 5 0 1 ) r ( p + 2 k + 1 一+ r ) = ( b o r + a + m ) ( 一+ r ) 由( 2 3 6 ) 与( 2 3 7 ) 得， ( 2 6 0 1 ) ( 2 p + 4 k 一1 一口，l a m + ，) = 0 ， k z ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 不难看出，对任意的m ，7 z 总是存在k z 使得( 2 # + 4 k 一1 一一+ r ) 0 于是， 6 0 = 互1 因此，对任意的n z 有k = 丢由( 2 3 4 ) 得， ( 三r + a + m ) ( 一+ ，) = o ，m , re z ( 2 3 8 ) 上海交通大学博士学位论文 在( 4 2 3 ) 中取m = 0 得， ( 互1 r + a ) ( 咖一0 r ) = o ： 如果入g 兰2 z ，那么对任意的r z 有n ，= n 0 如果a 兰2 z ，由( 4 2 3 ) 得， n r = a o ，7 一2 a 在( 4 2 3 ) 中令m = 一2 入，r 0 ，r 2 a ，则a 一2 = a o 因此， 由【l r i - 1 ，l o ，j a 仇= a ， m z = - r l r ，。+ ( s + 1 ) l ”一l 得， 口 ( 6 n + 。+ i t + a + m ) f o m ，n ) 一( 6 n 7 + 入+ m ) f o ，。m + r ，礼) = - r l ，。( m ，佗) ，( 2 3 9 ) ( 6 n + s + l 一6 佗) r ( 。s + p + n ) + 如，s ( m ，n ) 夕r ，一l ( m ，n + s + 1 ) f 2 3 1 0 ) 一办，一l ( m ，? 2 ) f o 一( 仇+ r ，佗一1 ) = 一r 肌，。m ，几) + ( s + 1 ) f r ，。一l ( m ，n ) ， 、 g r ，一l ( m ，n + s ) ( n s + p + n ) 一g r ，一l ( m ，n ) ( 口s + p + 礼一1 ) = ( s + 1 ) 跏一一l ( m ，n ) ( 2 3 1 1 ) 再由【l o ，一1 ，l r i - 1 】= r l r 一1 g r ，一x ( m ，礼) ( p + n 一1 一a ) = 9 r 。一l ( m ，礼一1 ) ( p + 礼一o ) ( 2 3 1 2 ) 另外，由( 2 3 4 ) 知，如果对任意的n z 都有p + n a 0 ，那么k = b 引理2 3 2 设对任意的礼z 都有p + 几一n 0 ( 1 ) 若b 0 1 1 。铽a = b 丑 三二：二：三： 俐若b o ，1 ) ，则a o ，1 ) 证明：( 1 ) 根据( 2 3 9 ) 一( 2 3 1 0 ) 我们有， ( 打+ a + m ) ( o ，s ( 仇，礼) 一 ，。( m + r ，n ) ) = - r l ，。，n ) ， ( 2 3 1 3 ) ( 2 3 1 4 ) 第二章：非阶化v i r a s o r o - l i k e 李代数 ，o ，s ( m ，n ) 肼，一1 ( m ，n + s + 1 ) 一夕r ，一1 ( m ，礼) 如，a ( m + r ，n 一1 ) ( 2 3 1 5 ) = 一r g r , ；( m ，佗) + ( s + 1 ) f r 一一i ( m ，n ) 。 由( 2 3 1 2 ) 以及对任意的n z 有p + n a 0 ，我们可以假设 了g r , - l ( m , n ) ：鼍g r 塑旦型1 ：， m n z ，一l 【m ，n 一)，叼 。一一一一 ， 弘+ 馆一a弘+ 1 , 一1 一a 。7 注意到对任意的m z ，k o ，。= 1 由( 2 3 1 1 ) 得， 夕r ，。( 仇，n ) = ，m ( o s + p + n ) ，s - 2 由( 2 2 8 ) 得，对任意的r ，m ，h 7 , ， k r 。k r ，。+ r = 1 ， 白k m + r b ，m = 七，m + h k h ，m = k h + r ，m ( 2 3 1 6 卜一 ( 2 3 1 7 ) 从(