（基础数学专业论文）递归分形插值函数的变差性质与维数.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 分形插值的概念是在1 9 8 6 年由美国数学家b a m s l e y 首先提出， 它是一种新的插值方法，它在图象压缩、非光滑曲线和曲面的拟合等 研究领域中显示出了独特的优越性，取得了巨大的成功。b a m s l e y 所 提出的分形插值函数是定义在区间上的连续函数，这类函数没有显式 表达式，是由一组映射所生成的吸引子来确定的。因此，研究这类函 数的性质需要一些独特的方法，传统的一些分析方法一般不能直接使 用，必须开辟一些新的方法和理论。这样，分形插值也为函数论的研 究提供了一个崭新的研究领域。递归分形插值是在原分形插值的基础 上发展起来的一种更灵活、更优越的分形插值函数，更能刻画出自然 中复杂的随机性和不确定性。 文 3 介绍了递归仿射分形插值函数的构造，并给出了计盒维数的 计算公式。在此基础上，本文讨论了更加一般的递归分形插值函数问 题，研究了其迭代函数系的构造方法，证明了这类递归分形插值函数 图象的维数定理。同时从研究连续函数变差的性质入手，进一步得到 了递归分形插值函数变差的一些性质，并对这类递归分形插值函数变 差的阶进行了估计。应用这些结论，根据连续函数变差与其图象盒维 数的关系，从另一角度得到了这类递归分形插值函数图象的维数定 理，并且给出的维数公式没有关联矩阵为不可约的限制。用这种方法 构造的递归分形插值函数在实际运用方面的灵活性大大增强，弥补了 一阶递归分形插值函数在计算维数方面的不足，同时使图像模拟更逼 真。 关键词：递归分形插值函数、计盒维数、关联矩阵、变差 江苏大学硕士学位论文 a bs t r a c t t h ec o n c e p to ff r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n sw a sf i r s t l yp r o p o s e db yt h e a m e i r i c am a t h e m a t i c i a nb a r n s l e yi n19 8 6 i ti san e ww a yo fi n t e r p o l a t i n g i t s d i s t i n c t i v ea d v a n t a g ew a ss h o w e di nm a n yr e s e a r c hf i e l d s ，s u c ha st h ec o m p r e s s i o no f p i c t u r e sa n dt h ef i t t i n go fu n s m o o t h e dc u r v e sa n ds u r f a c e s g r e a ts u c c e s s eh a sb e e n m a d e t h ef r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n st h a tp r o p o s e db yb a m s l e ya r ec o n t i n u o u s f u n c t i o n st h a ta r ed e f i n e di ni n t e r v a l s t h e s ef u n c t i o n sh a v en o e x p l i c i t e x p r e s s i o n s t h e y a r ed e t e r m i n e d b y a t t r a c t o r sa n d g e n e r a t e db y as e to f m a p p i n g s t h e r e f o r e ，i t n e e d sd i s t i n c t i v ew a y st or e s e a r c ht h ep r o p e r t i e so ft h e s e f u n c t i o n sg e n e r a l l y , s o m et r a d i t i o n a la n a l y s i sm e t h o d sc a nn o tb eu s e dd i r e c t l ya n d s o m en e wm e t h o d sa n dt h e o r i e sm u s tb eo p e n e du p s o ，i tp r o v i d e sn e wr e s e a r c hf i e l d s f o rt h e o r yo ff u n c t i o n sb yi n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s b a s eo nf r a c t a li n t e r p o l a t i o n ，t h e r e c u r r e n tf r a c t a li n t e r p o l a t i o ni sb e a e ra n dm o r ef l e x i b l e s t r u c t u r eo fr e c u r r e n ta f f i n e f r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o ni s g o ti nr e f e r e n c e 【3 】，a n df r a c t a ld i m e n s i o no fg r a p ho ft h i sk i n do ff u n c t i o ni ss t u d i e d ，t h ef o r m u l ao f b o x c o u n t i n gd i m e n s i o ni sp r o v i d e d w h a tt h i st e x ti n v o l v e si sm o r eg e n e r a lr e c u r r e n t f r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ，s t u d y st h es t r u c t u r em e t h o do fi t si f s ，p r o v e st h e d i m e n s i o n a lt h e o r e mo fg r a p ho fr e c u r r e n tf r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n f u r t h e r , b a s e do ns t u d y i n gt h ev a r i a t i o np r o p e r t i e so fc o n t i n u o u sf u n c t i o n ，t h ev a r i a t i o n p r o p e r t i e so fr e c u r r e n tf i fa les t u d i e dn e x t f u r t h e r , b a s e do nt h ep r o p e r t i e s ，t h er a n ko ft h eg e n e r a lr e c u r r e n tf i ff u n c t i o n v a r i a t i o ni se s t i m a t e d u s i n gt h i se s t i m a t i o n ，t h ed i m e n s i o nt h e o r e mc a nb ep r o v e d w i t h o u tt h ec o n d i t i o nt h a tt h ec o n n e c t i o nm a t r i xi si r r e d u c i b l ei sg i v e n s or e c u r r e n t f r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o ni su s e dm o r ef l e x i b l ya n dp r a c t i c a l l y s ot h ei m a g ei s m o r er e a l i s t i cs i m u l a t i o n k e yw o r d s ：r e c u r r e n tf r a c t a li n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ，d i m e n s i o n ，c o n n e c t i o n m a t r i x ，v a r i a t i o n i i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权江苏大 学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文 保密口，在年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密囤。 学位论文作者签名：曼弗 孵朋，7 日 小 氛日 售q 轹 明 獬 d 币 师 年 教 分 晕 d 匕日-， 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果除文中已注明引用 的内容以外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担 学位论文作者签名：曼肇 日期：。矿年眵月罗e t 江苏大学硕士学位论文 绪论 分形理论萌芽于1 9 世纪末2 0 世纪初，成为一个独立的学科则是在2 0 世纪 7 0 、8 0 年代，是非线性科学中一个活跃的数学分支。其研究的对象是在非线性 系统中产生的不光滑和不可微的几何形体，这些几何体表面上复杂无序，但实际 上都存在着某些内在规律，分形理论为研究分析这些不规则现象提供了新的方 法。因此，近年来分形不论是在理论上还是在应用上都取得了迅猛发展。 在函数论中，函数的插值方法是逼近论中的重要内容之一，它在数值分析、 计算几何、计算机图形学等领域都有着极为重要的应用。传统的函数插值方法( 例 如：多项式插值、有理函数插值、样条插值等等) 所得到的插值函数都是光滑的 或逐段光滑的。1 9 8 6 年b a r n s l e y 1 】提出了分形插值函数的概念，它是一种新的插 值方法，它对于那些自然界中普遍存在的处处连续而又处处不光滑的曲线的拟合 显示出了独特的优越性。函数是刻划事物形貌和运动规律的有力工具，因此函数 分形性质的研究一直受到广泛的重视。文志英【4 j 介绍了平面上连续分形插值函数 的性质并给出平面上连续函数图像的计盒维数的计算公式。1 9 8 9 年，递归分形 插值函数首先由b a r n s l e y 在r e c u r r e n ti t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m s 【2 l 中首先介绍并给 出函数图像的计盒维数的计算公式，提高了实际运用的可变性和灵活性。在此基 础上，沙震、阮火军在分形与拟合【3 】中加以改进，去掉关联矩阵不可约的 条件限制，灵活性进一步提高，从而加强其运用的。本文进一步推广到高阶递归 分形插值函数盒维数计算定理。同时，文志英还引入了变差1 4 】的概念，为计算函 数图像的计盒维数提供了新的工具，本文也对递归分形插值函数的变差进行了估 计并得到递归分形插值函数的维数定理。 本文主要做了以下两个方面的研究工作：一在文1 3 】讨论递归仿射分形插值函 数的构造的基础上，推广到更加一般的递归分形插值函数的问题，研究了其迭代 函数系的构造方法，证明了这类递归分形插值函数图象的维数定理。从而增强了 递归分形插值函数运用的灵活性和实用性。二从研究连续函数变差的性质入手， 得到了递归分形插值函数变差的一些性质，并对一类递归分形插值函数变差的阶 进行了估计。应用这些结论，根据连续函数变差与其图象盒维数的关系，得到了 江苏大学硕士学位论文 这类递归分形插值函数图象的维数定理，并且给出的维数公式没有关联矩阵为不 可约的限制。用这种方法构造的递归分形插值函数在实际运用方面的灵活性大大 增强，弥补了一阶递归分形插值函数在计算维数方面的不足，同时使图像模拟更 逼真。 全文部分共分为四章。其内容安排如下：第一章，介绍了分形基本理论与基 础知识。第二章介绍了分形插值函数及其构造方法。第三章介绍了递归分形插值 函数及其构造方法，给出了维数定理，并在此基础上构造出高阶递归分形插值函 数，并给出计盒维数的计算方法。第四章，对这类高阶递归分形插值函数变差的 阶进行了估计，应用这些结论，根据连续函数变差与其图象盒维数的关系，得到 了这类递归分形插值函数图象的维数定理，并且给出的维数公式没有关联矩阵为 不可约的限制。第三、四章是本文的主要研究成果。结束语中我们对本文的主要 工作内容进行了简要总结，并展望了将来有待进一步深入的课题和研究方向。 2 江苏大学硕士学位论文 第一章分形基本理论与基础知识 分形几何的研究对象为自然界和社会活动中广为存在的复杂无序，而又具有 某种规律的系统。分形理论为研究具有自相似性特性的物体和不规则现象提供了 新的方法，使人们对于诸如布朗( b r o 、n ) 运动【5 1 ，湍流( t u r b u l e n c e ) 等大自然中的 众多复杂现象有了更加深刻地认识，并在物理学、生物学、动力学、化学等多个 学科中被广泛应用，作为当前三大前沿学科之一的分形理论被誉为大自然的几何 学，近年来，不论是在理论上还是应用上都取得了迅猛的发展。 分形维数是分形的基本理论，分形维数包括h a u s d o r f f 维数【6 】、计盒维数、 填充维数等等，最常用的是h a u s d o r f f 维数和计盒维数。 1 1h a u s d o r f f 维数 令fc r ”， ) 是f 的可数个直径不超过万的覆盖， of = u u ，川表示坼 i = l 的直径， h ；( f ) = i n f 1 1 5 ， 吩) 为f 的万一覆盖) ( 1 i 1 ) i = l 易知硪是随着万的减小而增大，因此l j i + m 。硪存在。 定义1 i i 称娥硪( f ) = 日( f ) 为f 的s 一维h a u s d 。r f r 测度4 1 。 容易验证日，满足测度的三公型5 1 ，h 。是一个测度。 定义1 1 2 d i m 何f = i n f s ：日5 ( f ) = o ) = s u p s ：h 5 ( f ) = ) 112 为f 的h a u s d o r f f 维数。即 叭n = 豫三慕譬 如果s = d i m 日f ，则h 5 ( f ) 可以为零或者无穷，或者满足： 3 ( 1 i 3 ) 江苏大学硕士学位论文 0 日5 ( f ) 0 ”， ( 1 ) 若f 为l i p s c h i t z 变换，则 则有 d i m ( 厂( f ) ) d i m 打f ( 1 1 5 ) ( 2 ) 若厂是双l i p s c h i t z 变换，即存在常数o c l c 2 0 0 ，有 q i x - y 1 5 l 厂( x ) 一厂( y ) i c j i x 一夕i ，v x ，y e f ， d i m h ( 厂( ，) ) = d i m f ( 1 1 6 ) 从以上定义可以看出，计算分形的h a u s d o r f f 维数是相当的复杂的，为了简 化计算，人们又引进了另一种维数：计盒维数( b o x d i m e n s i o n ) 1 2b o x 维数( 盒维数) 盒维数是应用广泛的维数之一，主要是由于这种维数的计算及经验估计相对 容易些它的研究可追溯到2 0 世纪3 0 年代，并有多种称呼：闵可夫斯基( m i n k o w s k i ) 维数、容度维数、度量维数和信息维数等【9 1 【1 0 】1 1 1 1 。 命题一【1 2 1 设f 是r ”上的有界子集，m ( f ) 是最大直径为万可以覆盖f 的 4 江苏大学硕士学位论文 集的最少个数，则称： 为f 的上计盒维数。 而l o g n , ( f ) ：而b f 占一o - l 0 9 8 ( 1 2 1 ) 地掣：一d i m b f ( 1 2 2 ) 石石一l 0 9 6 。 、7 为f 的下计盒维数，如果上下计盒维数相等，则称计盒维数存在，记作d i m 口f ， 即 烛掣= d i m b f (123)l 艿呻。 一o g 万 、7 由于计盒维数用的是相同形状的覆盖，计算起来比较的简单。在某些情况下， 分形的h a u s d o r f f 维数和计盒维数是相同的，我们称h a u s d o r f f 维数和计盒维数相 同的集合为正则集。可以证明，式中m ( f ) 可以是下面的五个数中的任意一个： ( i ) 覆盖，的半径为万的最少闭球数。 ( i i ) 覆盖，的边长为万的最少立方体数。 ( i i i ) 与f 相交的万一网立方体的个数。 ( i v ) 覆盖f 的直径为万的集合的最少个数。 ( v ) 球心在f 上，半径为万的互不相交的球的最多个数。 定理1 2 1 设f c 口”，则有 d i m nf d i m s f d i m b f ( 1 2 4 ) 当然，盒维数也具有h a u s d o r f f 维数类似的一些性质，例如有限点集的盒维数 为0 ，直线段的盒维数为1 ，单位圆盘的盒维数为2 还有 1 。单调性，若ac b ，贝, l jd i m 丑a d i m 口b ； 2 。d i m 占( au b ) = m a x d i m 口a ，d i m 占b ) ； 5 江苏大学硕士学位论文 3 。设f c 口”，映射厂：f 一口”是双l i p s e h i t z 变换，则 d i m 矗( ( f ) ) = d i m b f 1 3 分形函数图像的维数 讨论函数图像的分形性质在理论和应用上都具有很强大终于性。 则 下面讨论几类典型的函数图像的维数。 1 外尔斯特拉斯函数 设形( f ) = 兄卜2c o s ( 五t ) ，1 l ，1 s 2 k l d i m h r ( 曰，) d i m 丑r ( b ，) l + 。l i ，r a 。i n f ( s 1 ) l 。( g s 五- 1 + ) ( 1 0 2 9 一2 s 丽 3 拉德马赫尔级数b ( f ) = r ( ，) ，o f _ 1 。现在引入记号r i x , ，而】表示在区间k ，而】上的振幅，即 q i x , ，叠】_ s u p f ( x g - f ( x ) l ( 1 3 1 ) j 一e h 而】 引理1 3 1 旧设：【0 ，1 】一口连续，又设0 万 1 ，m 是大于或等于6 一的最 小整数，用以表示6 坐标网正方形与g r a p h ( f ) 相交的正方形个数，则有 6 江苏大学硕士学位论文 m lm - i 万一1 r f i a ，( f + 1 ) 卅m 0 ，有 则有 则有 l 厂o - ) 一f ( x * ) l - c l x 一x ”1 2 - , l s ( s ) 时，有d ( 4 ，i ，4 1 ) 占 我们已经知道( 日( x ) ，办) 是一个度量空间，事实上它还是一个完备的度量空 间。 定理2 1 5 0 7 1 ( h ( x ) ， ) 是一个完备的度量空间，即如果 4 是( 日( x ) ，办) 中的一个柯西序列，则存在a h ( x ) ，有h ( a ，4 ) - - - ) o ( n - - - ) o o ) 设( x ；d ) 是一个完备度量空间， 五) 墨。是xj x 的一族连续函数。我们称 x ；，刀= 1 ，2 ，) 是一个迭代函数系。在不引起混淆的情况下，有时也简称 石) 丝。是一个迭代函数系。 1 1 江苏大学硕士学位论文 定义2 1 3 设x x ，称a ( x ) = l i m ( x ) 是 x ；石，正，厶) 的( 对应x 的) * 吸引子( a t t r a c t o r ) ，其中极限的定义是：点a a ( x ) 当且仅当对a 的任意一个s 邻域 d ( 口；占) ，存在无穷多个k ，使得 o ( a ；e ) f l f ( x ) o 就是说，a ( x ) 是 厂( x + ) ) 乙的极限点集。 定理2 1 6 若( x ；d ) 是紧度量空间，则吸引子a ( x ) 是紧集，且它关于厂是 不变的，即f ( a ( x ) ) = a ( x ) 当定理中的吸引子a ( x ) 与x 的选取无关时，可用记号a 代替a ( x ) ，这种 情况将是我们接下去研究的对象。 引理2 1 3 设厂是完备度量空间( x ；d ) 上的压缩映射，s 是压缩因子，定义 f ( b ) d f ( x ) lx b ) ，b 日( x ) ， 贝, l j f 是h ( x ) 专h ( x ) 的压缩映射，并且压缩因子也是j ，即 办( ( 彳) ，厂( b ) ) s h ( a ，b ) ，v a ，b h ( x ) ( 2 1 6 ) 定理2 1 7 设五0 = l ，2 ，n ) 是完备度量空间( x ；d ) 上的一族压缩映射， 压缩因子0 s n 1 ，刀= 1 ，2 ，n 定义变换f ：( x ) 专日( x ) 如下： f ( b ) v 1u z ( b ) ，bel l ( x ) ( 2 1 7 ) n = l 则厂是( 何( x ) ，h ) 上的压缩映射，压缩因子是s = m a x s 。 构成一个双曲( h y p e r b o l i c ) 迭代函数系。以后常用记号 x ；z ，刀= 1 ，2 ，n ) 来表示该迭代函数系。 1 2 江苏大学硕士学位论文 定理2 1 8 设 x ；z ，刀= 1 ，2 ，) 是完备度量空间( x ；d ) 上的双曲迭代函 数系，则存在唯一的非空紧集ac x ，使得 彳= 厂( 彳) = u 厶( 彳) ， n = l 且 ”( 鸽) 彳，其中心是日( x ) 中任一元素。 集合a 称为迭代函数系的不变集或吸引子。 2 2 仿射变换和相似变换 ( 2 1 9 ) 玎维欧氏空间口”中的仿射变换是一类重要的变换，在迭代函数系 口”；五，z = l ，2 ，) 中，映射z 在实用上多是采用仿射变换。 设厂是口刀_ 口刀的仿射变换：对任意x = ( 而，x 2 ，矗) r 口”，有 厂( 功= 血+ f ， ( 2 2 ：1 ) 其中a = ( 嘞) 是力刀非奇异矩阵，= ( r l ，乞，乙) r 是常向量。 用归0 表示矩阵彳的范数，它的定义是 由( 2 2 1 ) 式，我们有 i i a l l = m 阡a 。x , x i ( 2 2 2 ) f ( x ) - f ( y ) = 血一砂= a ( x - y ) 由( 2 2 2 ) 的定义，可得 i 厂( x ) 一f ( y ) l - l l a i i i x y i ， ( 2 2 3 ) 于是若i i a i l 1 ，那末由( 2 4 1 ) 式所定义的仿射变换厂是一个压缩变换。 定理2 2 1 设，了是口上的两个闭区间，记x = i x j ，设变换f k 专口2 定 义如下 1 3 江苏大学硕士学位论文 i l x y = ( 孟鼢 亿2 q 假定存在常数口，y 满足0 口 1 ，0 ，0 厂 l ，使得 ( 1 ) i 三( 五) 一( x ：) l 口i 五- x 2 ，v 而，x 2 j ， ( 2 ) l f ( 而，y ) - f ( x 2 ，y ) l i 而一吒l ，v x , ，而el ，ve d ， ( 3 ) i f ( x ，y 1 ) - f ( x ，儿) l 7 i m - y 2 ，v x ei , v y , ，赐j ， 则存在口2 中度量口： 日( ( 要 ，( 芰) 口i 而一而i + 9 i 乃一儿i ，其中臼是某正常数，使变换厂在该度量 下是压缩的。 推论2 2 1 给定仿射变换【1 8 】 厂( ； = ( ：三 ( ；) + ( ； ， 如果l 口l l 且h l ，则在某度量下是压缩变换。 给定映射s ：口”专口”，若存在正常数c ，有 ( 2 2 5 ) l s ( x ) 一s ( y ) i = c i x y i ，v 父，y e n 打， ( 2 2 6 ) 其中1 | 表示口打上的某种范数，则称s 是口”上的相似变换，c 称为相似比。 设s ，是，晶是口”上的一族相似变换，相似比o q 1 ，i = l ，2 ，n ，那么 口玎；墨，i = 1 ，2 ，n ) 组成一个双曲迭代函数系。由定理2 3 3 知存在吸引予么，使 得 | a = u s ( 么) 从上式可见，吸引子彳是由个较小的部分拼装而成，且每个小部分都是 与整体a 相似的，因此我们称么是一个自相似集。 1 4 江苏大学硕士学位论文 在一定的条件下，自相似集的h a u s d o r f f 维数和盒维数是容易确定的。现在 假定在彳= u s ( 么) 中， s ( 爿) ) 彼此间“几乎不相交”，就是说， s = d i m 日a 时， i = 1 有下面等式成立。 nn h 5 ( 么) = h 5 ( s ( 爿) ) = c ；8 h 5 ( 彳) 若再假定0 h 5 ( 彳) 0 0 ，这样从等式( 2 4 7 ) 可得 v ，s 一1 厶l i h i = 1 解这个关于s 的方程，就可得到a 的h a u s d o r f f 维数。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 定理2 2 2 i 发s j ( 1 f ) 是口”上的相似变换。其相似比为q 假设开集条 件满足。设么是其吸引子，则有 。d i m ha = d i m h b = s ， 其中s 是方程( 2 2 6 ) 的解，并对于这个j 值，有0 h 3 ( 彳) 0 0 2 3 分形插值函数 给定闭区间，= 【口，b 】令口= x o 而 x n = 6 是，的一个分划，其中n 2 令y o ，乃，蜘是任意一组实数记k = i x 3 记= 【而巾一】，i = 1 ，2 ，n 令厶是，- - - y 的一个压缩同胚，满足条件 厶( ) = 誓一l ，厶( h ) = 而， ( 2 3 1 ) 并且对某个0 1 ，有 i 厶( “。) 一厶 ：) i s t l 砘一材：l ，v z i ，材：， ( 2 3 2 ) 令e 是kj 口的连续函数，满足条件 f , ( x o ，y o ) = 乃一l ，f f ( x n ，蜘) = 舅 ( 2 3 3 ) 并且对某个0 g j 1 ，有 1 5 江苏大学硕士学位论文 i e ，b ) 一只( 甜，屹) i 吼i v , 一心i ，v u ，m ，吃el - 1 ( 2 3 4 ) 定义映射哆：k k ： q 睁黝名以 亿3 匀 则 k ；哆，i = 1 ，2 ，n 构成一个迭代函数系 定理2 3 1 存在，上的连续函数，使得f 的图像 g = g r a p h ( f ) 1 3 ( x ，f ( x ) ) l x e i 是迭代函数系 k ；q ，i = 1 ，2 ，n ) 的不变集，即 g = u ：。哆( g ) ，并且( ) = 咒，i = 1 ，2 ，n 我们称这样的f 是对应于 k ；q ，i = 1 ，2 ，n ) 的分形插值函数( f r a c t 甜i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ，简称f i f ) 证明用c q ) 表示，上的所有连续函数所组成的集合。任取g c ( i ) ，令 l g l 。= m a x i g ( x ) l lx ， 表示g 的范数，则( c ( ) ；| q 。) 构成一个帛备摩量空间。令 c o ( ，) = g c ( i ) ig ( x o ) = y o 且g ( x n ) = y n ) ，显然c o ( ，) 是c ( ，) 的一个闭子空间， 从而( c ( ，) ；i q 。) 也是完备度量空间。定义c o ( ，) 到c o ( ，) 的映射丁： ( 殆) ( x ) = e ( 厶_ ( x ) ，g ( 厶。( x ) ) ) ，如果 记g _ m 。a 。x q t ) ， v g , ，9 2ec o ( i ) ，由( 2 2 4 ) ， i 强一r g ：i a o = 恶紧 i e ( 厶一1 ( x ) ，岛( 厶一1 ( x ) ) ) 一鼻( 厶一1 ( x ) ，g ：( 厶一1 ( x ) ) ) 卜) 器蓊 g j l 蜀( 厶一1 ( x ”一岛( 厶一1 ( x ) ) 卜) g i g l 9 2 l 。 因此t 是( c q ) ；i q 。) 上的压缩映射，由b a n a c h 不动点原理知，存在唯一的 f c o ( ，) 满足r f = f ，即 f ( 厶一1 ( x ) ，厂( 厶_ ( x ) ) ) = 厂( x ) ，如果x 五( 2 3 6 ) 1 6 江苏大学硕士学位论文 可得 现在令g = g 唧办( 门口 ( x ，f ( x ) ) x e i ) ；表示厂的图像，由( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) nn u q ( g ) = u ( 厶( 功，只( x ，f ( x ) ) ) l x e i ) i = li = i = u ：。 ( z ，只( 厶一1 ( 对，厂( 厶一1 ( x ) ) ) ) i 工 = u 飙x ，厂( x ) ) i z ) = g 所以g 是 k ；哆，i = 1 ，2 ，n ) 的不变集。 由c o ( z ) ，n - i 9 i lf ( x o ) = y o ，厂( h ) = 蜘当f 1 ，2 ，n - i ) 时，由( 2 3 6 ) 和( 2 3 3 ) ， ( 薯) = e ( 4 。1 ( 葺) ，f ( 4 。1 ( 葺) ) ) = e ( h ，厂( h ) ) = e ( h ，蜘) = 乃 口 特别当厶( x ) 和e ( x ，y ) 都取为线性函数时，( 2 3 5 ) 可写成如下的形式 。： ( ； - ( ，z = = ，2 ， 这时有厶( x ) = q x + 岛，e ( x ，力= q x + 4 y + f i 由条件( 2 3 2 ) 和( 2 3 4 ) 知 又由 可得方程组 o l a , i 1 ， l g ( x o ) = x j l ，厶( h ) = x j ，e ( x o ，y o ) = 乃一l ，互( h ，蜘) = m ， 解方程组，得到 q 而+ q = 薯一i ， a n 七e t 2 x t q + d y o + 石= 乃一l ， c i x n + d i y n + 氕2 y i 1 7 ( 2 3 7 ) q q ， = 、， x y ，一 畔 江苏大学硕士学位论文 a , = cx t - - x _ 一1 ) l ( x ，- x o ) ， e q , = ：( ( x m n x , m _ i 一- - lx o x , ) ( x ，- - x o ) ) ( x - x o ) - a , ( y n - - y 。) ( x j - x o ) ， ( 2 3 8 ) q = ( m m lo ， 。7 z = ( h m l x o y , ) l ( x - x o ) - a , ( h 一而蜘) ( h 一) e h ( 2 3 7 ) 式可知2 2 中推论2 2 1 的条件满足，因此 哆) 都是压缩仿射变换， 于是 k ；哆，忙1 ，2 ，n ) 构成一个双曲迭代函数系。由该迭代函数系所确定的分 形插值函数，我们将它称为自仿射分形插值函数。 定理2 3 2 设是对应于迭代函数系 k ；o j ，f - 1 ，2 ，n 的分形插值函 数，g = g r a p h ( f ) ，则对于任意a h ( k ) ，有 l i m h ( t o ”( 彳) ，g ) = 0 ( 2 3 9 ) 从而分形插值函数是惟一的 例2 3 1 令i = 【o ，l 】，取 n = 3 ，( x o ，蜘) = ( o ，o ) ，( 五，m ) = ( 1 3 ，1 ) ，( 而，儿) = ( 2 3 ，1 ) ，( 而，y 3 ) = ( 1 ，0 ) ， 并取4 = 吒= 以= 1 3 。1 t i ( 2 1 8 ) ，可得对应的迭代函数系为： 鸭2 洮 ， 撇 + 撇 + m 斜 采用随机算法1 6 1 7 1 求 q ，q ) 的吸引子，就可以得到该自仿射分形插值函 数的图像( 见图2 1 ) 。 1 8 奶彬o ，i，一， = i i 、，、， x y x y q 吐 江苏大学硕士学位论文 图2 1 4 = g = 以= 的一个自仿射分形插值函数 f i g 2 1 匾= 畋= 吃= s e l f a f t i n ef r a c t a li n t e r p 。l a t i o nf u n c t i 。n 现在回到式( 2 3 8 ) 我们注意到每个变换q 的表达式中，都尚有一个自由变量 4 ，由式( 2 3 7 ) 知，它应满足条件o l 珥l 1 ，此时( 2 4 3 ) 的解s ( 1 ，2 ) 对于任意给定的p ，q r 以及行f l ，我们称r - 【p ，p + 占】【g ，口+ s 】为一个占 i e ：y 形设cr ：g 的一个覆盖，如果的元素都是s 正方形，则称是g 的一个s 正方形覆盖用拌表示中的元素个数，记 ( s ) = m i n 叫是g 的一个占正方形覆盖) 由盒维数的定义，可知 渤肛l 。i 川m 鬻， ( 如果这个极限存在) 对于自仿射分形插值函数的盒维数，( 占) 不容易估计，因此我们需要引入一 种新的覆盖 对于任意给定的p ，q r 以及，n ，我们称矩形r = 【p ，p + 占】 g ，g + 刀g 】为 一个占柱，称刀为r 中的g 正方形个数，记为n ( r ，s ) 给定两个g 柱局，坞，如果 r = 【b ，只+