（基础数学专业论文）形如n2n1的lucas数.pdf

致谢 本文是在导师蔡天新教授的悉心指导下顺利完成的。在两年半 的研究生学习期间，蔡天新教授的谆谆教导和无微不至的关怀使我 深受其益，在此致以衷心的感谢! 同时也要感谢师母林俐老师给我 的关心和爱护。 在学习和写作本文期间，系资料室的老师们，给予了我的大力 支持和帮助，在此向她们表示深深的感谢! 最后还要向在学习和生活上关一1 5 、支持和帮助过我的同学和朋 友们，特别是康旭升同学表示深深的感谢! 中文摘要 l u c a s 数列“+ 2 = l 。+ l + k ，l o = 2 ，l 1 = 1 它的特征方程是x 2 一z l = 0 本文 研究了可以表示成特征方程左边的形式的l u c a s 数证明了以下主要结果： ( 一) 只存在有限个l u c a s 数可以表示成m 2 一m 一1 的形式； ( 二) 若l u c a s 数k 可以表示成m 2 一m 一1 的形式，则n = 5 、7 或n ；士1 ( m o d1 6 ) 关键词 l u c a s 数；f i b o n a c c i 数；二次非剩余 2 a b s t r a c t t h es o - c a l l e dl u c a ss e q u e n c ed e f t n e da sl r + 2 = l + l + l n ，l 0 = 2 ，l l = 1 i ti sw e l l k n o w nt h a tt h el u c a sc h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o ni sz 2 一z l = 0 i nt h i sp a p e r w es t u d y w h i c hl u c a sn u m b e r sc a nb ew r i t t e na st h ef o r mo ft h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nw ea b t a i n t h ef o l l o w i n gr e s u l t s ：t h e r ea r ef i n i t el u c a sn u m b e r sw h i c ha r eo ft h ef o r mm 2 m 一1 ：a n d i f l n = m 2 一m 一1t h e nn = 5 ，7o rn i 士1 ( m o d1 6 ) k e yw o r d s l u c a sn u m b e m ；f i b o n a c c in u r n b e m ；q u a d r a t i cn o n r e s i d u e 3 形如咒2 一n 一1 的l u c a s 数 第一节引言 1 2 0 2 年，古罗马数学家f i b o n a c c i 在他的重要著作算盘书中由“兔子问题” 引出了下面的整数序列： 一b = 0 ，t 1 = 1 ，一k + 2 = 士h + l + 士k ，n 0 ， 如今，人们把这个序列称为f i b o u a c c i 数列，其中的数称为f i b o n a c c i 数1 9 世纪，法 国数学家l u c a s 研究了整数序列： 上o = 2 ，l 1 = 1 ，工n + 2 = l n + 1 + l n ，n 0 ， 人们把这个序列称为l u c a s 数列，其中的数称为l u c a s 数 f i b o n a c c i 数和l u c a s 数有许多美妙的数论性质和一些极有意义的应用，众所周 知，f i b o n a c c i 数和“优选法”关系密切；由f i b o n a c c i 数的性质可以证明：用欧几里 得辗转相除法求二个正整数m 和n ( m n ) 的最大公因数时，其除法次数不超过n 的 位数的5 倍正因为如此，这些数列引起了人们的浓厚兴趣研究了f i b o n a c c i 数和 l u c a s 数的各种性质，f i b o n a c c i 数和l l l c a s 数中的平方数，f i b o n a c c i 数和l u c & s 数中 的形数，f i b o n a c c i 数和l u c a s 数对模q 的余数的周期性，等等 我们已经知道f i b o n a c c i 和l u c a s 特征方程都是2 一z 一1 = 0 p i e r of i l i p p o n i 和 o d o a r d o b r u g i a 在 1 证明了对于n 1 0 ”，仅有五l 、三5 、三7 可以表示成m 2 一m 一1 的形式，同时提出了下面的问题：是否还存在别的l u c a s 数可以表示成r 矿一m 一1 的 形式? 为此他们证明了： 定理当n 是偶数时，l u c a s 数厶不能表示成m 2 一m 1 的形式 本文首先根据某些不定方程的整解的有限性证明下面的定理： 4 定理1 只存在有限个l l l c & s 数可以表示成m 2 一”。一1 的形式 其次，运用j a c o b i 符号的运算性质和数列k 对模q 的余数的周期性，证明 定理2 若l u c a s 数三。可以表示成r n 2 一m 一1 的形式，则n = 5 、7 或ni ：e l ( m o d1 6 ) 第二节定理1 的证明 为了证明定理1 ，我们需要下面的引理 引理删整数列“。，若满足 则“。为适合方程 的整数解z 方程 n + 2 = 乱n + l + mn 1 引理2 1 3 n 3 ，设，( 。) 是”次无重根的有理整系数多项式，a 是非零整数，则 只有有限组整数解z 、y ( 3 ) 定理l 的证明令u l = 1 ，u 2 = 3 ，则满足( 1 ) 的整数列“。就是l u c a s 数列，根据引 理1 ，第n 个l u c a s 数k 为适合方程 5 2 2 一z 2 = 2 0 ( 一1 ) “( 4 ) 的整数解z 5 当n 是偶数时，根据定理，k 不能表示成m 2 一r n 一1 的形式 当n 是奇数时，若令l 。= m 2 一r n 一1 ，则4 l 。+ 5 是乎方数设y 。 l 。= 学，由( 4 ) 式得 1 6 x 2 = s ( y 2 5 】2 + 3 2 0 令f ( y ) = s ( u 2 5 ) 2 + 3 2 0 ，则，b ) = 2 0 u ( y 2 5 ) ，显然f ( y ) 和，b ) 没有重根， 理2 ，方程( 5 ) 只有有限组整数解。、y ，也就是只有有限个y 使得4 l 。+ 5 立定理l 得证 第三节定理2 的证明 ( 5 ) 根据引 = y 2 成 我们首先回忆一些熟知的关于l u c a s 数和f i b o n a c c i 数的等式和性质以耳；表 示第n 个f i b o n a c c i 数： l ：= 5 碟+ 4 ( 一1 ) ”，( 6 ) l 2 。= l ：一2 ( 一1 ) “，( 7 ) 2 l m + 。= l 。l 。+ 5 f m r ，( 8 ) 三。+ 。= l 。l 。一( 一1 ) ”l 。一。= 5 日。r + ( - 1 ) “l 。一。，( 9 ) + 。= f m l 。一( - 1 ) “矗一。，( 1 0 ) f 2 。= f n l 。，( 1 1 ) 如果令l 一。= ( 一1 ) ”l 。，凡。= ( 一1 ) n - - i 昂，那么上述的等式对负整数也成立；如果 3 h 那么r 和“是偶数。 由于若k 可以表示成m 2 一m l 的形式，则4 “+ 5 是平方数，因此为了证明 定理3 ，只要找出适当的”( n ) ，使得当n 5 、7 或n 土1 ( r o o d1 6 ) 时，4 三。+ 5 是 6 模w ( n ) 的二次非剩余即可，也就是证明4 k + 5 不是平方数为此我们需要下面的引 理： 引理3 ( i ) 若以t ( q ) 表示数列“对模( 的余数的周期，则有 t ( 5 ) = 4 ，t ( 7 ) = 1 6 ，t ( 8 ) = 1 2 ，t ( 9 ) = 2 4 ， t ( 1 1 ) = 1 0 ，t ( 1 3 ) = 2 8 ，t ( 2 3 ) = 4 8 ，t ( 3 1 ) = 3 0 ， t ( 3 9 ) = 5 6 ，t ( 4 1 ) = 4 0 ，t ( 4 3 ) = 8 8 ，t ( 4 5 ) = 2 4 ， t ( 4 7 ) = 3 2 ，t ( 6 1 ) = 6 0 ，t ( 1 0 1 ) = 5 0 ，t ( 1 5 1 ) = 5 0 ， t ( 2 4 1 ) = 2 4 0 ，t ( 4 0 1 ) = 2 0 0 ，t ( 7 6 9 ) = 1 9 2 ，t ( 1 6 0 1 ) = 1 6 0 t ( 2 2 0 7 ) = 6 4 ，t ( a o m ) = 1 0 0 ( i i ) 若以t ( q ) 表示数列r 的对模q 的余数的周期，则有t ( 4 3 ) = 8 8 这里t ( q ) ，t ( q ) 是最小的正整数，使得当n ；m ( m o dt ( q ) ) ，或n ；r n ( r o o dt ( q ) ) 时，l 。i l 。( m o d q ) ，或e 。b 。( m o d q ) 只需计算厶和f n 对模q 的余数，容易验证 m ； f 2 k 0 = 岽篡篡 l 2 1 k = l 2 ( t 一1 ) k l 2 k 一( - - 1 ) 2 。三2 ( f 一2 ) i l 2 ( 一2 ( r o o dl 2 k ) ， 显然，l 2 t k ；一l 2 ( i 一2 ) k = l 2 ( t4 ) k ；ii l 2 kj 0 ( i n o dl 2 k ) 目i 理5 若k = 0 ( m o d2 ) ，1 ；1 ( r o o d2 ) ，贝0 证明由( 9 ) 式 工2 f + n ；一l 。( m o dl k ) l 2 1 k + n = l ( 2 f 一1 ) k + n l k 一( 一1 ) l ( 2 f 一2 ) + n 三一l ( 2 z2 ) + n ( r o o dl k ) 显然，l 2 l k + ni l ( 2 t 一2 ) k + n = l ( 2 t 一4 ) k + n ；( 一1 ) 。l n ；一l 。( m o dl a - ) 引理6 若n i0 ( r o o d4 ) ，n 0 ( m o d3 ) ，则l 。j 一1 ( m o d8 ) 证明由引理3 知，若n ；m ( m o d1 2 ) ，则l 。；l 。( r o o d8 ) 当n ；0 ( m o d4 ) ，n 0 ( r o o d3 ) 时，n i4 ，8 ( m o d1 2 ) ，而l 4 = 7 i l( r o o d8 ) l 8 = 4 7 1 1 ( m o d8 ) 因此，此时l 。i l ( m o d8 ) 引理7 若k = 0 ( m o d l 6 ) ，k 0 ( m o d3 ) ，则 证明 ( 半)一( 鼍竽) ( 警) = ( 亳) ( 鼍) 当k = 0 ( m o d1 6 ) 时，由引理3 得l 2 il 0i2 ( r o o d 5 ) ，因此( 瓦5 ) 1 3 0 毋k 十5 由( 7 ) 式和引理6 ) 一、( 2 6 f k 2 k + 1 - ) = 一( 急) ( 2 6 马女工 + l ( 皂) = 一( 等) = 一( 鲁) = ， 由( 7 ) 式和( 1 1 ) 式，2 6 f , , z k l k + l k = 2 6 巩l l + l k = 2 6 扎l 2 女+ 5 2 巩+ l k ，因此 ( 警三 蒿l 2 k 兰( 一5 2 f k + l k ) = ( 赢) 3i 上j ：( 嘉) ( 筹瓮) 由r 圭1 ( r o o d2 ) 和引理6 得( 赤) = 一1 由( 6 ) 式得 f 丝二11 5 2 g + k ：7 522f+k+5龙lk、j=，丽5礤一52巩仇 三；彰鹣-2709fklk、13 芸3 0 1 ) = ( 丽瓦) ( 赢毛) 时圳 工剞( 趔、 2 5 鼎5 2 f k + l k 臻羞 ：( 1 r ) ( 罂竽) 当k ! 。( m o d l 6 ) 时，由引理6 得， 5 2 n + k ；5 2 f 0 + l 。；2 ( m 帆因而 ( 骂皿) ：1 ，于是 类似地，可以证明 ( 1 3 0 f 2 k + 5 、i l 2 k 俾墨垒1 4 3 ( 掣) = 一( 掣 引理8 当n i 5 ( m o as ) 时，4 l ”+ 5 是平方数，则必有” 5f r o o d 】2 0 0 ) 证明当n i5 ( m o d 8 ) 1 寸，等价于n ；5 或1 3 ( m 。d 1 6 ) ，由于当“5 1 3 9 时，l 。il 1 3 ；3 ( r o o d7 ) ，因此 ( 丁4 l n + 5 ) = ( 耸掣) = ( 等) 从而4 l 。+ 5 是模7 的二次非剩余，即4 l 。十5 不是平方数，于是，若4 l 。+ 5 是、f 方 数，则必有n15 ( m o d l 6 ) 当n ；5 ( r o o d1 6 ) 时，等价于n ；5 、2 1 或3 7 ( r o o d4 8 ) ，由于当n ；2 1 或 3 7 ( m 。da 8 ) 时，“= 三。- 或l 3 7 ；4 或8 ( m 。d 2 3 ) ，因此此时( 鸣乒) = ( 笔竽) 或 ( 警) = ( 丽2 1 ) 或( 两3 7 ) = 一1 于是，若4 l 。十5 是平方数，则必有n = 5 ( , n o d 4 s ) 当n j5 ( r o o d4 8 ) 时，等价于n15 、5 3 、1 0 1 、1 4 9 或1 9 7 ( i i l o d2 4 0 ) ，由于 当n i5 3 ( r o o d2 4 0 ) 时，l ”；5 3 4 ( m o d l l ) ，此时 ( 掣) = ( 学) = ( 订2 1 ) 一- ； 当n 11 0 1 或1 9 7 ( r o o d2 4 0 ) 时，l 。= 三1 】或l 】7 ；1 3 或6 ( m o d3 1 ) ，此时 ( 可4 l a + 5 ) = ( 学) 或( 学) = ( 筹) 或( 詈) 一- 当ni1 4 9 ( m o d2 4 0 ) 时，l 。；l 2 9 ；6 ( r o o d4 1 ) ，此时 r 4 k + 5 、 l 玎一 r 兰：! 曼、 4 l ( 箬) 一- 于是，若4 k + 5 是平方数，则必有n ；5 ( m o d2 4 0 ) 当7 t ；5 ( r o o d2 4 0 ) 时，等价于n ；5 、2 4 5 、4 8 5 、7 2 5 或9 6 5 ( m o d1 2 0 0 ) ，由 于当r t i4 8 5 或9 6 5 ( r o o d1 2 0 0 ) 时，l 。il 3 5 或l 1 5i5 0 或5 1 ( r o o d1 0 1 ) ，此时 ( 可4 l n + 5 ) = ( 笔喾) 或( 等) = ( 2 川0 5 ，) 或( 圳2 0 9 ) 当n i 2 4 5 ( m o d1 2 0 0 ) 时，l nel 4 5e1 4 0 ( r o o d1 5 1 ) ，此时 ( 一4 l + 5 ) = ( 掣) = ( 需) 当i7 2 5 , n o d1 2 0 0 ) 时，三。；l 2 5 i2 7 0 6m 。d3 0 0 1 ) ，此时 ( 等) ：( 1 4 - 2 7 矿0 6 + 5 ) = ( 婴3 0 0 1 ) 一i 丽，2 面万一一1 于是，若4 厶+ 5 是平方数，则必有；5 ( r o o d l 2 0 0 ) 引理8 得证 引理9 当n i7 ( m 。d1 6 ) 时，若4 厶十5 是平方数，则必有n 5 7 ( 1 “d2 4 0 f j ) 证明当n i7 ( , n o d1 6 ) 时，等价于ni7 、2 3 、3 9 或5 5 ( r o o d 6 4 ) ，由于当 ；2 3 ( m o d6 4 ) 时，l 。；l 2 3 ；1 8 ( r n o d 4 7 ) ，此时 ( 学) = ( 学) = ( 面7 7 ) 一- ； 由于当n ；5 5 ( m o d6 4 ) 时，l 。il 5 5 = 2 1 3 1 ( r o o d 2 2 0 7 ) ，j 比时 ( 绁2 2 0 7 ) = ( 丝2 2 型0 7 ) = ( 婴2 2 0 7 ) 一 于是，若4 l 。+ 5 是平方数，则必有n ；7 或3 9 r o o d6 4 ) 当ni7 或3 9 ( r o o d6 4 ) 时，等价于n ；7 、7 1 、1 3 5 、1 9 9 、2 6 3 、3 9 、1 0 3 、 1 6 7 、2 3 1 或2 9 5 ( m o d3 2 0 ) 由于当n 17 1 或2 3 1 ( m 。d3 2 0 ) 时，均有l ，zil 3 i ；6 ( m o d4 1 ) ，此时 当n 1 3 5 、2 9 5 当n ；1 9 9 、3 9 ( 掣) = ( 等) = ( 碧) 一，； f m o d3 2 0 ) 时，均有；l 1 3 5 ；3 4 4 ( r o o d l 6 0 1 ) ，此时 ( 面4 l n + 5 ) = ( 笔笋) = ( 面1 3 8 1 ) 一；i i i 石r j 。五i i 一j 一两o l 一“ ( m o d3 2 0 ) 时，均有巩e l a 91 1 1 9 1m 。d1 6 0 1 ) ，此时 ( 一4 l n + 5 1 6 0 1 ) ：( 业1 6 必0 1 ) = ( 竺1 6 0 1 ) 一 ， 当n i2 6 3 、1 0 3 ( m o d3 2 0 ) 时，均有工。l 3 = 4 ( m o d1 1 ) ，此时 ( 掣) = ( 等) = ( 罟) 一t 1 1 于是，若4 厶；+ 5 是平方数，则必有n i7 或1 6 7 ( r o o d3 2 0 ) 当n ；7 或1 6 7 ( m o d3 2 0 ) 时，等价于n ；7 、3 2 7 、6 4 7 、1 6 7 、4 8 7 或8 0 7 ( m o d9 6 0 ) 由于当n ；3 2 7 、8 0 7 ( r o o d9 6 0 ) 时，均有l 。；l 2 7 i 4 ( r o o d6 1 ) ，此时 ( 4 l n + 5 、 6 1 f ! ：! 塑1 6 l f 一2 1 1 ：一1 6 1 当ni6 4 7 、1 6 7 ( r o o d9 6 0 ) 时，均有l 。jl 1 6 7 ；1 9 8 ( m o d2 4 1 ) ，此时 ( 等) = ( 学) = ( 等) 于是，若4 k + 5 是平方数，则必有i i i7 或4 8 7 ( r o o d9 6 0 ) 当n ；7 或4 8 7 ( r o o d9 6 0 ) 时，等价于n ；7 、9 6 7 、1 9 2 7 、2 8 8 7 、4 8 7 、 1 4 4 7 、2 4 0 7 、3 3 6 7 或4 3 2 7 ( m o d4 8 0 0 ) 由于当ne9 6 7 、3 3 6 7 ( m o d4 8 0 0 ) 时，均 有l 。i l l 7e3 6 ( m o d l 0 1 ) ，此时 ( 一4 l n + 5 ) = ( 掣) = ( 器) 当n ；1 9 2 7 、4 3 2 7 ( m o d4 8 0 0 ) 时，均有l 。；l 2 7 ；5 6 ( m o d1 0 1 ) ，此时 ( 警) = ( 等) = ( 需) 当n ；4 8 7 、2 8 8 7 ( m o d4 8 0 0 ) 时，均有l 。；l 3 7 ；8 3 ( r o o d l 5 1 ) ，此时 ( 等) = ( 等) = ( 鬻) 一， 当n = 3 8 4 7 、1 4 4 7 ( r o o d4 8 0 0 ) 时，均有l 。il 4 7i1 4 7 ( m o d1 5 1 ) ，此时 ( 等) = ( 学) = ( 器) 于是，若4 三。+ 5 是平方数，则必有7 或2 4 0 7 ( r o o d4 8 0 0 ) 即n ；7 ( m o d2 4 0 0 ) 引理9 得证 引理l o 当n ；9 ( m o d1 6 ) 时，4 l 。十5 不是平方数 证明当n ；9 ( m o d1 6 ) 时，等价于n 1 9 、2 5 或4 1 ( m o d4 8 ) ，由于当n ；9 ( m o d4 8 ) 时，l 。；l 9i4 ( m o d8 ) ，4 l 。+ 5 ；5 ( i n o d8 ) ，此时4 l 。+ 5 不是甲方数； 当n 三4 1( m o d4 8 ) 时，l n 三l 1 7 三7 ( m o d9 ) ，4 l n + 5 三4 - 7 4 - 5 三6 ( r o o d9 ) j 匕时 4 k + 5 也不是平方数因此，若4 k + 5 是平方数，则n i2 5 ( r o o d4 8 ) 当ni2 5 ( m o d4 8 ) 时，等价于ni2 5 、7 3 、1 2 1 或1 6 9 ( m o d1 9 2 ) ，由于当 ni 2 5 、1 2 1 m 。d1 9 2 ) 时，均有k ；l 2 5 ；1 8 ( m 。d4 7 ) 此时 (型)=(坐塑)=r一77、=-1；474 7 4 7 当n = 1 6 9 ( m o d1 9 2 ) 时，l nil 4 li2 1 3 1 ( r o o d2 2 0 7 ) ，此时 ( 一4 l n + 5 ) = ( 笔笋) = ( 器) 一； 当n e 7 3 ( r o o d1 9 2 ) 时，l nil 7 312 5 2 ( m o d ( 譬) = ( 警) 因此，当n 2 5 、7 3 、1 2 1 或1 6 9 ( r o o d1 9 2 ) 时，4 + 5 也不是平方数 引理1 0 得证 引理1 1 当n ；3 ( r o o d8 ) 时，4 k 证明当n 主3 , n o d8 ) 时，等价于n 时，l ，。! l 1 l 3 ( r o o d7 ) ，此时 + 5 不是平方数 ；3 或1 1 ( r o o d1 6 ) ，由于当 i1 1 ( m o d1 6 ) ( 竿) = ( 半) = ( 导) 一， 因此，当n ；儿( m o d1 6 ) 时，4 “+ 5 不是平方数， 当n ；3 ( m o d1 6 ) 时，等价于n ；3 、1 9 或3 5 ( m o d4 8 ) ，由于当n ；3 或3 5 ( m o d4 8 ) 时，l 。；l a 或l 3 5i4 或8 ( m o d2 3 ) ，此时 ( 掣) = ( 学) 或( 警) 2 1 、厂, 3 。7 ) 因此，当n z3 、3 5 ( r o o d4 8 ) 时，4 “+ 5 不是平方数 当n 三1 9 ( m o d4 8 ) 时，l n 三l t 9 三3 4 ( m o d4 5 ) ，4 l 。十5 三4 3 4 + 5 三6 ( r o o d4 5 ) ， 若4 三。+ 5 是平方数，则4 l 。+ 5 = ( 3 b ) 2 ，从而3 b 2 i 2 ( m o d1 5 ) ，这是不可能的因此 当n ；1 9 ( m o d4 8 ) 时，4 + 5 也不是平方数引理1 1 得证 引理1 2 当札i5 ( m o d 8 ) 时，仅有n = 5 使4 l 。+ 5 足平方数 证明根据引理8 ，只需考虑n ；5 ( m o d1 2 0 0 ) ，当n 5 时，记n ：2 3 ” 7 ”5 2 2 3 9 + 5 = 2 1 k + 5 ，其中fi1 ( m o d 2 ) ，k 0 ( r o o d3 ) ，k 0 ( m o d7 1 ， i0 ( m o d8 ) ，u l ，v 0 根据引理5 和引理6 令 r 4 k + 5 、 l t 4 l 5 + 5 饥 f = 3 “7 0 5 2 ，k = 2 3 9 ，当9 ；2 、5 ( m o d7 ) f = 3 “- 7 ”- 5 ，k = 2 35 9 ，当9i1 、5 6 ( r t l o d7 ) 1 = 3 “- 7 ”， k = 2 3 5 2 9 ，当9 ；3 、5 4 ( r o o d7 ) 以上3 种情况均满足k 1 6 、4 0 ( m o d5 6 ) ，而当ki1 6 ( m o d5 6 ) 时，l il 1 6 ；2 3 ( r o o d3 9 ) ，当女i4 0 ( r o o d5 6 ) 日寸 l k l 4 0 ；2 3 ( r o o d3 9 ) 因此，对以上3 种情况均 有 ( 警) = ( 面l k ) = ( 西2 3 ) 一 这就证明了当n 5 ，且n 15 ( r o o d l 2 0 0 ) 时，4 + 5 不是平方数 当n = 5 时，4 l 。+ 5 = 4 l 5 + 5 = 4 9 是平方数引理1 2 得证 1 4 ， =、， n 一生 p一，i 羔七 = 一工、些兰“， 引理1 3 当= 7 ( m o d l 6 ) 时，仅有n = 7 使4 五。+ 5 是平方数。 证明根据引理9 ，只需考虑n = 7 ( r o o d2 4 0 0 ) 当7 时，记n = 2 3 8 1 1 7 5 2 2 4 9 + 7 = 2 t k4 - 7 ，其中1 1 ( m o d2 ) ，女0 ( r o o d3 ) ，女0 ( r o o d1 1 ) i0 ( r o o d l 6 ) ，s 魄r 0 。 、1 ( i ) s 与r 的奇偶性相同，令 ? = 3 8 1 1 7 5 2 ，= 2 a g ，当9 i3 、6 、7 、9 ( m o d l l ) | = 3 5 1 1 5 ，k 一2 45 9 ，兰擘；4 、5 、8 、1 0f r o o d1 1 ； j = 3 5 1 1 ，k 一2 4 5 2 野当9 i 1 、2 ( m o d l l ) 以上3 种情况均满足f ! l ( m o d4 ) ，k = 8 ， 引理7 ( 警) = ( 等喾) 2 4 、4 8 、5 6 ( m o d8 8 ) + 根据日f 理4 和 (2l2tkl7+lof2tkf7+5l2e) = 1 3 0 f 2 k + 5 l 2 k ) = 一( 坠4 垫3 而当kz8 、2 4 、4 8 、5 6 ( r o o d8 8 ) 时，相应地5 2 段+ l k = 2 1 、6 、9 、1 6 r o o d4 a ) ， ( 一5 2 f k + l k ) 一( 筹) ，( 去) ，( 砉) ，( 装) = t ， 因此当罕8 、2 4 、4 8 、5 6 ( r o o ds s ) 时，( 必l 2 k ) 一乩 ( i i ) s 与r 的奇偶性相反，令 l = 3 8 - 1 1 7 - 5 2 ，一2 4 9 ，当g ；文6 、7 、9 ( r o o d1 1 j f = 3 8 - 1 1 5 ，k 一2 r5 9 ，当g = 4 、5 、8 、1 0 ( m o d l l ) l = 3 8 ，1 1 7 ， 女= 2 4 5 2 9