（基础数学专业论文）有关ishikawa迭代的收敛性和微分方程mild解的存在性.pdf

摘要 用迭代序列逼近非线性算子r 的不动点问题一直是个非常活跃的问题，因为它 有很多实际的应用，如求方程的近似解，优化论中求函数的近似最大( 小) 值等。因 此对迭代序列的强收敛性问题的研究是很重要的。 时滞半线性发展方程的研究起始于上世纪七十年代，自从t r a v i s 和w e b b 巾研 究了一类时滞半线性发展方程的解的存在性和稳定性后，时滞半线性发展方程就 得到r 广泛的关注和研究。由于时滞半线性发展方程在描述自然现象比没有时滞 的半线性发展方程更为有效，因此对时滞半线性发展方程m i l d 解的存在性的研究 是具有重要意义的。 本文主要讨论改进的c q s h i k a w a 迭代的强收敛性问题和时滞半线性发展方 程m i l d 解的存在性问题。所得结果主要如下： 第一章主要考虑改进的c qi s h i k a w a 迭代的强收敛性阀题。 本章利用x u h o n g k u n 引入的投影算子斥改进c q i s h i k a w a 迭代，把相应结 果推广到光滑的一致凸b a n a c h 空间，得到了带误差项的迭代相应的结果。作为应 用，我们还得到了m 一增生算子零点的迭代逼近。同时我们运用乃馏k y uk i m ， l ig a n g 有关逼近不动点的结论得到了t 为渐近非扩张映射时改进的c ql s h i k a w a 迭代的强收敛性，解决了x u 1 0 n g k u n 提出的问题：对b a n a c h 空间中渐近非扩张 映射r ，c p s h i k a w a 迭代有没有相应的强收敛结论。 第二章考虑时滞半线性发展方程m t l d 解的存在性。 本章在无穷维b a n a c h 空间x 中，在稠定算子a 生成的半群 t ( t ) ：f 0 ) 失去 紧性的条件下，我们利用非紧测度性质、s c h a u d e r 不动点定理和半线性微分方程 的理论，得到了时滞半线性发展方程整体解的存在性。且用非紧测度性质、 s c h “d e ，不动点定理和半线性微分方程的理论可以对t ( t ) 是紧半群映射，或者映 射是紧映射或者是l i p s c h i t z 连续等情形进行统一处理，并推广和改进了已有的 址；结果。 关键词：1 f 扩张映射： s h i k a w a 迭代；m 增生算子；h a u s d o r f f 非紧测度：时滞半线性发 展方稗：m i l d 解。 a b s t r a c t i t e r a t i v em e t h o d sf o rf i n d i n gf i x e dp o i n t so fn o n l i n e a ro p e r a t o rta r e8 1 1i m p o r t a n t a n da c t i v er e s e a r c ha r c & a n dt h e yh a v er e c e i v e dv a s ti n v e s t i g a t i o ns i n c et h e s em e t h o d s f i n da p p l i c a t i o n si nav a r i e t yo fa p p l i e da r e a so fi n v e r s ep r o b l e m s ，t h ea p p r o x i m a t e s o l u t i o n so fe q u a t i o n sa n dm i n i m i z a t i o no faf u n c t i o n s ot h er e s e a r c ho nc o n v e r g e n c e o fi t e r a t i v es e q u e n c ei sv e r ym e a n i n g f u l t h er e s e a r c ho fs e m i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a yb e g a ni nt h e 19 7 0 so fl a s tc e n t u r y t h ep i o n e e r i n gw o r ko ns e m i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t h i n f i n i t ed e l a yi sd u et ot r a v i sa n dw e b ba n di th a s b e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y e q u a t i o n sw i t hd e l a ya r eo f t e nm o r er e a l i s t i ct od e s c r i b en a t u r a lp h e n o m e n at h a nt h o s e w i t h o u td e l a y t h e r e f o r ei ti ss i g n i f i c a n c et os t u d yt h ee x i s t e n c eo fac l a s so fs e m i l i n e a r e v o l m i o ne q u a t i o n sw i t hu n b o u n d e dd e l a y t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st od i s c u s st h es t r o n gc o n v e r g e n c eo ft h em o d i f i e d - i s h i k a w ai t e r a t i o na n de s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n so ft h es e m i l i n e a r e v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t l li n f i n i t ed e l a y t h er e s u l t so b t a i n e da r ep r e s e n t e da sf o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r , w em a i n l yd i s c u s st h es t r o n gc o n v e r g e n c eo ft h em o d i f i e d i s h i k a w ai t e r a t i o n i nt h i sc h a p t e r , w ee m p l o yt h ep r o j e c t i o n 最i nx uh o n g k u nt 0i m p r o v et h e l s h i k a w ai t e r a t i o n , a n dt h e ne x t e n dt h er e s u l tt ot h er e a ls m o o t ha n du n i f o r m l yc o n v e x b a n a c hs p a c e ，w eo b t a i n t h ec o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n so fi s h i k a w ai t e r a t i o nw i t h t h ee r r o rs e q u e n c e s a sa na p p l i c a t i o n , w eo b t a i nt h ec o n c l u s i o n so fa p p r o x i m a t i n gt o t h es e t so fz e i 0 so fm - a c c r e t i v eo p e r a t o r a a l s o ，w ee x t e n dr e s u l tf o rn o n e x p a n s i v e m a p p i n g s i nr e a ls m o o t ha n du n i f o r m l yc o u v e x b a n a c hs p a c et ot h e c a s eo f a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w em a i n l yd i s c u s st h ee x i s t e n c eo fm i l ds o l u t i o n so ft h e s e m i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a y i nt h i sc h a p t e r , w ep r o v et h ee x i s t e n c eo f t h em i l ds o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sw i t h i n f i n i t e d e l a yb y 邺i n gt h eh a u s d o r f f m e f 坞u r e o fn o n c o m p a c t n e s si ni n f i n i t e - d i m e n s i o n a lb a n a c h s p a c e ，w h e nt h es e m i g r o u p r 9 ) ：f o g e n e r a t e db yt h e d e n s e l y d e f i n e d o p e r a t o r al o s e st h e c o m p a c t n e s s t h ec o m p a c t n e s s o f t ( t ) ：， o o rfa n dt h el i p a c h i t zc o n d i t i o no ffa l et h es p e c i a l c a s eo fo u r c o n d i t i o n s ，w ec a ne x t e n da n di m p r o v es o m er e l a t e dr e s u l t s k e yw o r d s ：n o n e x p a n s i v em a p p i n g ；l s h i k a w ai t e r a t i o n ；m - a c c r e t i v e p e r a t o r ； h a u s d o r f f m e a s u r eo fn o n c o r a p a c t n e s s ；t h es e m i l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sw i t hi n f i n i t e d e l a y ：m i ms o l u t i o n s 宝下有关l s k a k a w a 迭代的收敛性和微分方程m i l d 解的存在性 ! 第一章口幽空间中西矗黼口迭代逼近非 线性算子不动点的c q 方法改进 1 1 引言 设x 是实b a n a c h 空间，c 为x 的凸闭子集，t ：c c 为非线性算子，用迭 代序列逼近非线性算子丁的不动点问题一直是个非常活跃的问题，因为它有很多实 际的应用，如求方程的近似解，优化论中求函数的近似最大( 小) 值等。常用的有以 下三种迭代过程，第一种是由h a l p e r n ( 见【l 】) 引入的，定义为：任取e c ， “= + ( 1 一) z n = 0 , i ，2 其中 ) c 【o ，l 】：第二种是熟知的m a n n 迭代( 见【2 ) ，定义为：任取x o c ， x n “= o t , x , + ( 1 一) 2 k n = 0 ，1 ，2( 1 1 2 ) 其中 篇c o ，i 】；第三种是所谓的矗 f 乇鲫口( 见【3 】) 迭代，定义为：任取而e c ， n = 0 ，l ，2( 1 1 3 ) 其中 口。) ：。， 成) ：。c o ，1 】a 一般说来，迭代过程( 1 1 1 ) - - ( 1 1 3 ) 生成的迭代序列以 不一定收敛，但当石具 有一些好的性质时，我们就可以讨论它们的收敛性了。当x 为h i l b e r t 空间或者是 一致光滑的b a n a c h f h j ，若数列 ) 满足( 1 ) 1 挚= o ，( 2 ) 乏2 0 0 ，( 3 ) 薹k 一+ - i o 。或溉未2 l ，则迭代( 1 r 1 1 ) 具有强收敛性口 尽管确编钟口迭代( 1 1 3 ) 比拗晰迭代( 1 1 2 ) 更广泛，但研究的重点更多地在 于 缸h h 迭代，原因在于 缸h 栉迭代比砌f 克删口迭代简单，且当 孱) 满足一定的条 件时，m a n n 迭代( 1 i 2 ) 的收敛可以导致z 踊i 乇删口迭代( 1 ，1 3 ) 收敛。慨h i k a w a 迭 锰p 艄篆泛 k e - e有关i s h i k m c a 迭代的收敛性和微分方程m i l d 解的存在性 三 代有它自身的特点。事实上，在h i l b e r t 空间中，对于l i p s c h i t z 伪压缩映射的 l s h i k a w a 迭代序列是强收敛的，但是m a n n 迭没有强收敛性( 见 4 】) 。 一般情况下，对于非扩张映射，m a n n 迭代( 1 1 2 ) 和l s h i k a w a 迭代( 1 1 3 ) 只有 弱收敛性( 见【5 】) ，例如r e i c h ( 见【6 】) 证明了当x 具有f r 6 c h e t 可微范数且一致凸， 序列 ) 满足a ( 1 - a ) = o o 时， 缸m 迭代序列 ) 弱收敛于r 的一个不动点。 z o 这个结果可以推广到i s h i k a w a 迭代( 见 7 】) 。为了得到m a n n 迭代序列的强收敛性， n a k a o n ：和t a k a h a s h i ( 见 8 ) 弓1 a c q 方法修改m a n n 迭代，即： x 0 c 儿= + ( 1 一) 巩 q = z c ：l 一= 0 l k z 略 ( 1 1 4 ) q = z c ：怯一z ，而一x ) z o 稚i = 幺, x = x o 其中乓为x 到其凸闭子集丘上的度量投影。他们证明了当z 为h i l b e r t 空间， t 为非扩张映射，序列( ) 满足适当的条件时， x 2 强收敛于r 的一个不动点 随后c a r l o s m a r t i n e z y a n e s 和x u h o n g k u n 【9 】用c o 方法改进l s h i k a w a 迭 代如下： c 以= + ( 1 一) t z z n = 成+ ( 1 一成) 巩 e ；f ，c ：i i 咒一z l l 2 8 而一z i l 2 + o 一x l l 磊l | 2 9 矗1 1 2 + 2 ( 矗一三，v ) ) ) 0 l s ) q = v c ：( 矗一v ，一矗) o + l = 只二他而 他们证明了当x 为h i l b e ，f 空间，丁为非扩张映射，序列 ) 鼠) 满足适当条件时 k 强收敛于r 的一个不动点。最近靓h o n g k u n ( 1 0 】引入新的投影& 改进 塞琵每薹竺些竺迭代的收敛性和微分方程卅埘解的存在性三 ( 1 1 4 ) ，把【8 1 中结果推广到光滑的一致凸b a n a c h 空间中。 但对b a n a c h 空间中渐近非扩张映射r ，迭代( 1 1 5 ) 有没有相应的强收敛结论， 至今仍然是未解决的问题( 见【1 l 】) 。本文利用x uh o n g k u n ( 见 1 0 1 ) 引入的投影 改进( 1 1 5 ) ，把【9 】中结果推广到光滑的一致凸b a n a c h 空间，得到了带误差项的 l s h i k a w a 迭代的相应结果。作为应用，我们还得到了加增生算子零点的迭代逼近。 同时我们运用d o n gk y uk i m ，l ig a n g ( 见【1 2 】) 有关逼近不动点的结论将上述结果 推j “到7 1 为渐近非扩张映射的情形。 1 2 预备知识 设爿是实b a n a c h 空间，z 。为其对偶空间，c 为x 的非空凸闭子集。称 t ：c 寸c 是非扩张映射，如果坛，y e c ，i i t x - t y l l - 0 ，定义a 的预解式：x d ( a ) 为以= ( 1 + r a ) 一，如果4 是m 一增生的， 塞匿寅l s h i k a w a 迭代的收敛性和微分方程m i l d 解的存在性 一4 则以：z 专d ( 爿) 是非扩张的且v ， 0 ，f ( 以) = s 。 瓴 c x 称为丁的逼近不动点序列，如果1 睁8 毛一r x , l l = o 称b a t c h 空日j x 为一致凸的，如果v 占 0 ， 颤( 占) ：i n “l i i x i y l _ _ j i ：i i | 1 l s l ，i i y i i 1 ，i 卜一y i i 占) o ， 其中文p ) 为x 的凸性模。 在x z 上定义泛函妒：妒( 工，y ) = b u 2 - 2 ( x ，s y ) ) + t l y l l 2 ，x , y x ，显然 l j - l l y l l ) 2 妒( y ) d + 叫f ) 2 。对给定的y ，矿( ，y ) 是x 上的一个连续严格凸泛 函，故存在唯一的z c 满足伊( 毛力= l i n 伊( x ，力，工e c ) ，此时定义投影算子( 【l o 】) 足：x 呻c 为足y = z ( 1 2 1 ) 注意到当x 是厅渤p 空间时，j = i ，妒0 ，y ) = 肛一川2 ，弓是x 到c 上的度 量投影。 下面介绍最的一些性质： 命题1 2 1 【1 0 l 设x 为光滑的一致凸b a n a c h 空间，c 为x 的非空凸闭子集 ( 1 ) 对x 中给定的序列 毛) 以 ，若 ) 儿 其中之一有界，则 妒( ，) 斗。铮阮一一0 一o ； ( 2 ) 给定y x ，z c ，则z = p c y 兮( v z ，( z ) 一j ( y ) ) 2 0 ； ( 1 2 2 ) ( 3 ) 下列不等式成立：垤c ，y z ，t p ( x , 足力+ 烈层y ，力烈x ，y ) 。 ( 1 2 | 3 ) 我们记： 1 兰专为弱收敛，一为强收敛。 2 钆( ) = x ：屯士x ) 为 的弱极限点集。 引理1 2 1 【1 3 lx 是光滑的一致凸b a n a c h 空间，c 为x 的非空凸闭子集， l ：宝- 匠 有关l s h i k a w a 选代的收敛性和微分方程m i l d 解的存在性 t ：c 寸c 是非扩张的且f ( 丁) a ，贝j j z - r 是半闭的，即，如果存在工，y ， x ，( i - r ) 矗寸y ，有( i - t ) x = ) ，。 引理1 2 21 1 0 l 设x 是实光滑的一致凸b a n a c h 空自j ，茁为x 的非空凸闭子 集， c x 有界，u e x ，令q = p x u ，假设序列 满足下列条件( 1 ) ( ) c k ， ( 2 ) 妒( ，“) 妒( g ，u ) ，v n ，贝有k - + q 。 引理1 2 31 1 4 l 设x 是实光滑的一致凸b a n a c h 空间，t 是c 上的渐近非扩张 映射，则存在一个连续严格增泛函，：寸足+ ，( o ) = o ，使 4 r 嘻q 一一喜q r ”_ l - 0 + 口( 聊”，一( m a x ( i k y , 1 1 - 1 1 r ”x , - t ”m 0 + m ( m ) ) ) ， v 埘n ，门1 ，q o ，i = 1 ，捍，q = l ，五矗e c ，其中d = 2 s l 】p 到x 0 ：x c ) 。 1 3 丁为非扩张映射 这一节我们主要讨论的是：在x 是实光滑的一致凸b a n a c h 空间和r 是非扩张 映射时，l s h i k a w a 迭代和带误差项的l s h i k a w a 迭代的强收敛性。 定理1 3 1 设x 是实光滑的一致凸b a n a c h 空间，c 是x 的非空凸闭子集， t ：c 寸c 是非扩张映射且f ( 丁) a ， ) ， 成) 知是【o ，1 】上的实数列， 乙( o ，1 ) ，当打一o o 时- - 9 0 ，由下列算法定义： ! ! 兰!笪差丝i 壁! 堡丛塑堕墼丝塑堡坌壅堡曼型竺鲍壹丝! 而c 儿= 矗+ ( 1 一) 砜 磊= 成+ ( 1 一孱) 玩， g = 磊 v c ：卜r d - o 喜 “a 则 h 剖斗。一驯+ 除柏，4 + i i 喜丑巩一r c 喜 h ，0 + l l 丁c 妻丑一，一z k + 1 ( 2 + ，7 ) 岛+ 1 , - 1 ( 霉臀拈一_ 8 一h 一玑8 ( 2 + 叩) 。+ y ( 。m a x ，8 v , 一酬+ 忆一州) ( 2 + r d t + y “( 2 ，7 厶) 斗0 ，( n 斗o o ) 由定义纯) 是t 的逼近不动点序列。 i ：兰玉鱼叁丝! ! 竺竺迭代的收敛性和毽分方翟m i l d 解的存在丝苎 第四步证明k 强收敛于气，函。 出引理1 2 、l 我们有吃瓴) c f 留) 。令q = p ，c r f * ，由( 1 3 3 ) v n ， 伊( 瓦，x o ) 妒( q ，) 。令k = f ( d ，运用引理1 2 2 ，则矗呻昂( ”x o 。证毕。 当尼。l 时，则有v 疗，乙= 矗，咒= + ( 1 一) t x 就是坛聊迭代，故我 们有下列推论： 推论1 3 1 设x 是实光滑的一致凸b a n a c h 空间，c 是x 的非空凸闭子集， r ：c _ c 是非扩张映射且f ( r ) a ， 知是【o ，l 】上的实数列，( o ，1 ) ，当 疗哼m 时厶叶0 ，玩j 由下列算法定义： x o c = o r n x n + ( 1 一) z k g = 历 v c ：卜刊i - t 1 l y 一矾吣 q = v e c ：( 靠一v ，( ) 一，( 矗) ) o “= 毛，电而 则 矗j 是r 的逼近不动点序列且魄) 强收敛于斥( ，而。 下面，我们给出带误差项的l s h i k a w a 迭代的强收敛性结论： 定理1 3 2 设x 是实光滑的一致凸b a n a c h 空间，c 是z 的非空凸闭子集， 7 ：c _ c 是非扩张映射且f ( t ) a ，( 墨。，( 。 屈 乙，碱 乞，f 以 ， ( 以 是【o ，l 】上的实数列，满足+ 属+ 以= 7 + 屈+ 以7 = l ， ) ，n 是误差 序列， m l l 一l l = 1 母忆8 = o ，n = 1 c o ，善靠 0 ，再由命题1 2 1 ( 1 ) 我们有i k - x + 。0 _ o 。 第三步证玩) 是丁的逼近不动点序列。 令0 是c 的一个有界凸闭子集且包含 只， r y o ，v n ，令叩= d i a m ( c ) 。 令见= v c ：l l v n 8 厶0 咒一巩1 1 ) ，则e = 一c o d n 。 固定肌q ( 对v v q 有0 v n 忙可，则v v 乜有： - t m v i i - o ，口可由有限个半径为r 的小球覆盖 。 引理2 1 1 2 4 y 是b a n a c h 空阃，及c y 有界，则有： ( 1 ) b 是相对紧的营屏( b ) = o ； ( 2 ) p r ( b ) = 屏( 西= f l , ( c o n v b ) ，其中百和蒯分别是占的闭包和凸包； ( 3 ) 若b c ，则屏( b ) 屏( c ) ； ( 4 ) 屏( b + c ) s 屏( b ) 坞( c ) ，其中b + c = 缸+ y ，i e 曰，y c ； ( 5 ) p e u c ) 吼x 屏( b ) ，屏( c ) ) ； ( 6 ) f l y ( 丑b ) = i 丑f 屏( b ) ，v 五r ； ( 7 ) 如果映射q ：d ( q ) y 斗z 是l i p s c h i t z 连续的，其l i p s c h i t z 系数为k ，则对 d ( q ) 的任何有界子集b ，有岛( q b ) k p y ( b ) ，z 是b a n a c h 空间； ( 8 ) 所( b ) 2 i n f d y ( b ，c ) ：c y 相对紧) ，其中d r ( b ，6 3 表示b 与c 在y 中 h a u s d o r f f 距离： ( 9 ) 如果 形 z 是】，中的一列递减序列的非空有界凸闭子集，且嫩屏( 呒) = o ， 则n 睨是非空紧的。 我们记是z 的h a u s d o r f f 非紧钡9 度，记尼是c ( 【0 ，b ；x ) i 均h a u s d o r f f 非紧测 度。 引理2 1 2 2 4 如果w 量c ( 【o ，6 】；j ) 有界，则v f 【o ，6 】，( ( f ) ) s 屏( ) ， 王宝玉 有关l s h i k a w a 迭代的收敛性和微分方程m i l d 解的存在性 1 8 其中( f ) = 越( f ) ：群主z 。进一步，若驴在【o 6 】上是等度连续的，s j j p ( w ( t ) ) ( o , b 】上连续且屈( 矿) = s u p p ( w ( t ) ) ：t e o ，6 】j 。 引理2 1 3 2 5 若( 乙cl ( o ，6 ；z ) 一致可积r 则卢( u “。( f ) ) 是可测的且 雕9 f 啦胁q 啪) ) ( 2 1 4 ) 称强连续线性算子半群r ( f ) 是等度连续的，如果对x 的任何有界集b ， v t 0 ，t - t ( t ) x ：x e b ) 是等度连续的。 下面的引理显然成立： 引理2 1 4 若半群丁( f ) 是等度连续的，且r l ( 0 , b ；r + ) ，v t e o ，6 】，则 f7 o j ( s ) 凼，肛( s ) 0 s ，7 ( s ) ，v a 矗f e 【o ，明) 是等度连续的。 2 2m i l d 解的存在性 本节中我们利用h a u s d o r f f 非紧测度工具以及半线性微分方程的理论和方法， 给出方程( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) m i l d 解的存在性。我们作如下假设： ( h a ) 由a 生成的c o 一半群r o ) 是等度连续的，且肘= s u p 丁( ，) ：，【o ，6 】) 。 ( e 矿) ( 1 ) 厂：【o ，b x c ( - r ，o 】；x ) 一x 满足。糟踟幻如y 条件； 郎跏e c ( 卜，o 】；彳 ，f ( - ，v ) ：f o ，b 卜 x 强可测；对v 伍幺t 【o ，b 】， f ( t ，) ：c ( - r ，o 】；x ) 斗x 连续； ( 2 ) 存在函数h ：【o ，b x r + 专r + ，使得v s e r + ， ( ，j ) l ( o ，b ；r + ) ， f 宝乇有关l s h i k a w a 迭代的收敛性和微分方程m i l d 解的存在性 1 9 妣f 【0 ，b 】，h ( t ，) 是单调增的，且对c i e t e 【o , b 】，v v ec ( - r ，o k x ) ， i l ( f ，v ) 0 j l z ( f ，m l 卅】) 。又设对任何常数x o ，t e o ，6 】，标量方程 r e ( t ) = m k + mf h ( s ，m ( s ) ) a s ( 2 2 1 ) 由 至少存在一个解m ( t ) 。 ( 3 ) 存在，7 l ( o ，b ；r + ) ，使得对a a g f ，s o ，b 】，对c ( 卜，o 】；x ) 中任何有 界集b 有f l ( t ( s ) f ( t ，b ) ) t l ( t ) s u pp c b ( o ) ) ， ( 2 2 2 ) 其中b ( e ) = v ( 占) ，v b ) 。 现给出本章的主要结论： 定理2 2 1 如果假设( m ) 、( 奶成立，则对任何矿c ( _ ，o 】；x ) ，方程( 2 1 1 ) ， ( 2 1 2 ) 至少存在一个m i l d 解。 证明令m ( f ) 是方程m ( t ) = m i l 矿( o i i t _ , o , + m f h ( s , 所( j ) ) 凼的解，映射 r ：c ( 卜，6 】；x ) 一c ( 卜r ，6 】；x ) 定义为： f 矿( o ) ，t 卜，o 】 x 0 2 卿) 十肌埘m ，t ) a s 巾【o ，明 v x c ( - r ，6 】；j ) 。易证r 的不动点就是方程( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的埘删解下面我们 用s c h a u d e r 不动点定理证明r 有不动点，首先，由常规方法( 见 2 6 2 7 1 ) 可证r 是 连续的。 现在，延拓坍( f ) 至卜，o i - # 7 m ( t ) = 1 1 妒 0 ) 1 1 川，v t - r ，o l ，仍然记为脚o ) 。 我们记= 工c ( 卜r ，6 】；彳) ，s u p 8 x ( r ) | f 辫 ，刚甄c ( 卜，6 】；x ) 是有界 i一，i r 卦， 凸闭的。 记彤= c o n v r ( 形o ) ，因为r ( f ) 是等度连续的，且c ( 卜，b l ；x ) 是有界的， e 宝玉有关i s h i l w n _ 口选代的收敛性和微分方程m i l d 解的存在性 由引理2 1 4 和假设( 彤) ( 2 ) 失1 1 暇c c ( - r ，棚；x ) 是非空凸闭的，且在卜，b 】上是等 度连续的。 搬，我们有： 当f 【- ，o 】时，| f ( h ) ( f ) | | = 8 声( o | s 哪( 磅； 当f 【o ，胡时，i ( n ) ( f ) | s 肘惨删+ 材f 矗( f ，忱i 川) a s f 0 妒( o ) 4 + 吖f ( f ，m ( s ) ) a s s m ( r ) - 故有r 亡睨。即w 。 我们记孵。= c o n v f ( 睨) ，n = 1 , 2 。由上面舶证明可知 形 二l 是c ( - r , b l ；x ) - - 列递减的非空有界闭凸非空子集，且v 肝，呒等度连续的。 由于x 是可分的b a n a c h 空间，故存在形的稠密子集 气) 二，使得 屏= 疋( 艟 ) 由引理2 ，1 1 及引理2 1 2 ，v t e 【o ，川有： 多暇。= p ( 磐眠叫) 卢h 删十q 胁叫郧川出) ) ， 箕中= ( 气) ，。 由引理2 1 1 及引理2 1 3 tv t e 【o ，6 】有： ( ( f ) 脚旧肌叫们，) 西) ! 兰!塑茎生竺! ! 竺堡垡塑坚墼丝塑塑坌塑堡! 塑蟹的理垒性 型 s f ( 丁小耍 户， 再t h ( 2 2 2 ) 式，v t 【o , b 】，我们有： 觚门) ) s f 删j 墨q 以。徊弦 胁，矍妒( q 删) 凼 j ：删。s u pf l c w ( 7 ) ) 出 ( 2 2 3 ) 令z ( f ) = s u p ( ( ) ) ，因为对拧是递减的且等度连续，故由引理2 1 1 知 舰z ( ，) 存在，设舰a c t ) = 厂( ，) ，则显然有v ，f - r , o ，( f ) = o - 对不等式( 2 2 3 ) 两边同时取上确界，则有z + 。( f ) s u pe 刁( s ) z ( j ) 凼= ，7 ( j ) z o ) 凼，f o ，胡。再 一，立w w 令盯斗。o ，我们有，( f ) f 町。矿( j ) 凼，t e o ，6 】由此可得八f ) = o ，【o ，6 】。 因此，v te 卜r ，b 】，( r ) = 0 。 由引理2 1 2 我们推得溉尼( 形) = o 。再由引理2 1 1 我们知= 壹呒是 c “o ，地j ) 中的非空凸紧集，且r g 矽，则由鼢b 船如r 不动点定理，方程( 2 1 1 ) ， ( 2 1 2 ) 至少存在一个m i l d 解。证毕。 注2 2 1 ；若r ( f ) 是紧半群，或者映射，是紧映射或者是l i p s c h i t z 连续，则 ( 彤) ( 3 ) 自动成立。 由于 r ( f ) ：f