（基础数学专业论文）带有耗散的非线性波动方程的近似对称约化和无穷级数解.pdf

中文摘要 非线性科学已被广泛地应用于数学、物理、化学、经济等领域在研究过 程中我们无法避免地碰到各种各样的非线性方程，这就使我们必须考虑如何求 解非线性系统对应的非线性偏微分方程，探讨非线性系统的解所具有的特性。 众所周知，对称群理论是我们研究非线性偏微分方程精确解的有效方法之一 随着对非线性理论的研究，出现了一些带有扰动项的非线性偏微分方程， 需要我们寻求它们的近似解为了研究扰动偏微分方程，一些以对称理论为基 础的扰动方法相继产生本文使用我们最近改进的近似对称约化方法，对带有 耗散项的非线性波动方程进行研究，结构安排如下： ( 1 ) 介绍相关方程约化的基本知识和近似对称约化方法实际上，近似对称 约化方法是结合l i e 对称和扰动理论产生的 ( 2 ) 给出带阻尼的非线性波动方程的近似对称约化和无穷项级数解 ( 3 ) 获得带有耗散的非线性波动方程的近似对称约化和无穷项级数解 ( 4 ) 给出本文的结论及需进一步研究的问题 关键词 耗散非线性波动方程，近似对称，对称约化，级数解 a b s t r a c t ( 英文摘要) i nr e c e n ty e a r s ，n o n l i n e a rs c i e n c eh a sb e e nw i d e l yu s e di nm a t h e m a t i c s a n dp h y s i c s ，c h e m i s t r y , e c o n o m ya n do t h e rf i e l d s i nt h er e s e a r c hp r o c e s s ，w e i n e v i t a b l ye n c o u n t e ra 诵d ev a r i e t yo fn o n l i n e a re q u a t i o n s w h i c hl e a d su st oc o n - s i d e rh o wt os o l v et h en o n l i n e a rs y s t e mo fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) ，a n dh o w t oe x p l o r et h ef e a t u r e so fs o l u t i o n so fn o n l i n e a rs y s t e m s i ti s w e l lk n o w nt h a ts y m m e t r yg r o u pt h e o r yi so n eo ft h ee f f e c t i v ew a y si ns t u d y i n g e x a c ts o l u t i o n so fn o n l i n e a rp d e s a ss t u d y i n gt h en o n l i n e a rs y s t e m s t h e r ea r es o m en o n l i n e a rp d e sw i t h p e r t u r b a t i o n ，w en e e dt os e e kt h e i ra p p r o x i m a t es o l u t i o n s i no r d e rt os t u d y p e r t u r b a t i o n so fp d e s ，s o m es y m m e t r yp e r t u r b a t i o nm e t h o d sb a s e do nt h el i e t h e o r yh a v eb e e ne s t a b l i s h e d t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ou s i n gt h ea p p r o x i m a t e s y m m e t r ym e t h o dr e c e n t l yp r o p o s e dt ot h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hd i s s i - p a t i o n t h es t r u c t u r eo ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ，w e ： ( 1 ) i n t r o d u c et h er e l a t e dp r e l i m i n a r i e si n c l u d i n gt h ea p p r o x i m a t es y m m e t r y m e t h o d a c t u a l l y , t h ea p p r o x i m a t es y m m e t r yr e d u c t i o nm e t h o di st h ec o m b i - n a t i o no fb o t hl i es y m m e t r ya n dp e r t u r b a t i o nt h e o r y ( 2 ) o b t a i nt h ea p p r o x i m a t es y m m e t r yr e d u c t i o na n di n f m i t es e r i e ss o l u t i o n f o rt h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hd a m p i n g ( 3 ) o b t a i nt h ea p p r o x i m a t es y m m e t r yr e d u c t i o n sa n di n f i n i t es e r i e ss o l u t i o n f o rt h en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t hd i s s i p a t i o n ( 4 ) d r a wc o n c l u s i o n so ft h i sp a p e ra n dg i v es o m et o p i c st ob ec o n s i d e r e d 1 址e r k e y w o r d s d i s s i p a t i v en o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ，a p p r o x i m a t es y m m e t r y , s y m m e t r y r e d u c t i o n ，s e r i e ss o l u t i o n 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：趣迳 指导教师签名： 咖6 月p 日游月伽 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：起迢 o 降彭月1 日 西北大学硕士学位论文 1 1 背景 第一章绪论 随着物理、化学、航天等领域的发展，不可避免的会遇到许多非线性现象， 因而对非线性科学的研究也在不断地深入研究非线性数学物理方程，对揭示 非线性现象的一些本质有着重要意义在我们关注非线性现象的同时，有一些 学者对扰动现象也非常关注一些物理现象在经过较小的扰动后会出现一些变 化，物理学家想研究这些现象在小扰动下会有哪些变化，就把较小的扰动作为 参数加进方程里就有了扰动方程 对于非线性问题尤其是非线性偏微分方程，精确解有着非常重要的价值， 它不但可以解释许多非线性系统的现象，而且可以检验我们对于非线性偏微分 方程数值解算法的精确性和正确性但是非线性偏微分方程求解问题，难度比 较大，而且只有在特殊的情况下，才可能得到其显式精确解 s o p h u sl i e 提出了微分方程的对称，后来被称为l i e 群，微分方程的l i e 对称 群本质上是一个变换群，它可以将方程的一个解变为一族解随着l i e 对称理 论的深入发展 1 叫，l i e 对称理论在我们研究偏微分方程过程中被广泛应用，其 中一个就是求解非线性偏微分方程的精确解不必直接求解非线性偏微分方 程，而是先解出它允许的l i e 对称群通过它的不变解，从而减少自变量的个数， 把偏微分方程约化为常微分方程求解常微分方程，把常微分方程的解代入不 变解中可以得到偏微分方程的特解，当然也不是所有的l i e 群都能得到群不变 解，关于这一点的判断准则可以参看【5 】随着计算机的普及和数学软件的发展， l i e 对称群理论被广泛的应用于数学和物理研究中，同时也产生了许多新的对称 概念，如广义条件对称1 6 1 ，条件约化【7 】等 扰动分析为我们求解扰动偏微分方程，提供了有力的工具 s - l o 随着对于 扰动方程的深入研究，已产生许多方法对扰动方程进行讨论，如近似势对称 i 去 1 1 1 ，近似条件对称法【1 2 | ，近似李群技术【1 3 1 和近似一般条件对称方法【1 4 _ 17 1 等 1 第一章绪论 等结合l i e 对称理论有两种不同的近似对称方法一种是由b a i k o v 等 1 8 - - 2 1 提出 的近似李点对称法，来约化求解扰动方程另一种是f u s h c h i c h 等 2 2 】提出的近似 对称扰动方法通过两种方法的比较，可知近似扰动方法较为优越，它包含了第 一种方法得到的结果，而且较容易计算【2 3 2 4 1 最近，我们在近似李点对称法基 础上进行了改进，得到近似对称约化方法通过近似对称约化方法研究扰动的 偏微分方程，已经得到了一些较好的结果 2 5 - - 3 1 】焦小玉博士，楼森岳教授等人 在扰动方法和直接法的基础上提出近似直接法 s 2 - 3 4 1 2 相关知识 本部分列出将要用到的部分预备知识和关于扰动方程的近似对称扰动理论 知识，一些定理本章将不给予证明，只列出其出处 定义1 2 1 元素间具有二元运算，且满足下面公理的集合g 称为群 1 ) 封闭性：对于g 中任意元a 和b ，有( 口，b ) g ； 2 ) 结合性：对于g 中任意元a ，b ，c ，有( n ，( 6 ，c ) ) = 砂( ( n ，6 ) ，c ) ； 3 ) 单位元：存在e g ，对于g 中任意元a ，有痧( n ，e ) = 砂( e ，a ) = 口； 4 ) 逆元：对于g 中任意元a ，都有a - 1 g ，使得( 口，a _ 1 ) = 砂( 口，a ) = e 定义1 2 2 设z = ( x l ，x 2 ，) 位于区域dc 舻中若依赖于集合scr 中的 参数e ，具有二元运算咖的变换集合 矿= x ( z ；e )( 1 1 ) 称做d 上的单参数变换群，如果满足下面条件： 1 ) 任意的e s ，( 1 1 ) 是d 到d 上的一对一映射； 2 ) 集合s 在二元运算妒下构成群； 3 ) x ( z ，e ) = z ，其中e 是s 的单位元； 4 ) 如果z = x ( z ；e ) ，矿+ = x ( 矿；万) ，那么x ”= x ；( e ，6 ) ) 定义1 2 3 若d 上的一个变换群还满足下面的条件，那么单参数变换群称为单 参数l i e 变换群： 2 西北大学硕士学位论文 1 ) e 是连续参数，即s 是r 上的一个区间； 2 ) x 关于z d 是无穷次可微的，关于e s 是解析函数； 3 ) ( e 1 ，e 2 ) 是c l ，e 2 的解析函数，其中e 1 ，2 s 设单个因变量让椰个自变量z = ( x l ，2 ；2 ，昂) 的单参数l i e 变换群为 z + = x ( x ，牡；) ，仳+ = u ( z ，t 正；e ) ，r ( 1 2 ) 定义1 2 4 将单参数l i e 变换群( 1 2 ) ( 设e = o 为恒等元) 在e = o 处展开 记 甄。= 让幸= u + e ( 各邸址：。) + 丢( 器蚶地：。) + = u + ( 磐叩儿：。) + 0 ( a 已( z ) = 瓦a x e i z ；e ) | e = 0 ( z ) = 瓦o u ( z ；) b ( 1 3 ) ( 1 4 ) 其中变换兢+ e 已( z ) 和u + e 晚( z ) 称为l i e 变换群( 1 2 ) 的无穷小变换& ( z ) 和砂( z ) 称 为l i e 变换群( 1 2 ) 的无穷小 定义1 2 5 算子 y 制掣) 毫州掣) 晏， ( 1 5 ) 其中已( z ，牡) 和( z ，让) 为l i e 变换群( 1 2 ) 的无穷小，则称该算子为单参数l i e 变换 群( 1 2 ) 的无穷小生成元 定理1 2 6 单参数l i e 变换群等价于它的无穷小变换或无穷小生成元 从而l i e 变换群( 1 2 ) 可以写成 z ：= x ( x ，t 正；e ) = z i + e & ( z ，u ) + d ( e 2 ) ， = l ，2 ，p ， 仳= u ( x ，u ；e ) = 乱+ e ( z ，让) + d ( e 2 ) ，( 1 6 ) 3 + 、， =uz 咒丁 铲石l ，一孑 p 西以 + + 一、 l i = 让 u z 正 咝珧垡& + + z z 第一章绪论 其中e 是一个无穷小参数，& ( z ，牡) ，( z ，u ) g 关t z ，乱的光滑函数 定义1 2 7 全导数算子定义： d t = a 乱出瓦， 其中j = ( j l ，j 2 ，a ) ，i j i = k ，1 五p ，= 0 ，k ， o u j 乱出。面。 胪+ 1 仳， c o x i o x l l 8 z j 。 定义1 2 8 无穷小生成元( 1 5 ) 的佗次延拓为下面的式子： 其中 ( 哟y = y + 3北删刍， 矿( 训n ) = d j ( 咖一已) + 毛仳m 口 j = ( j l ，j 2 ，a ) ，有1 五p ，厶= 1 ，c ，1 k 死， o u j泸+ 1 牡， 牡卸2 面2 瓦瓦忑o x 4 ， 0 茁id z i o z “。 对于g v o r p 个自变量的方程 d j = d j 。岛。 f ( x l ，x 2 ，唧，牡，u , x i ，u x 即，1 窭吆王) = 0 ， 其中i 1 ，i 2 ，i 取自于 1 ，2 ，p ) 容许的l i e 对称 当且仅当 h 如砉+ 咱u ) 去讹札) 嘉 p r ( 住) y ( ) i ：o = 0 ， 其中= f ( x l ，z 2 ，却，札，地i ， 函数 4 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ，；，嘞。) ，& ( z ，牡) 和( z ，让) 为待定 j脚 旦如 西北大学硕士学位论文 定义1 2 9d 上的光滑函数f ( 。) 是单参数l i e 变换群( 1 2 ) 的不变函数( 不变量) ， 如果对任意的z d ，e s 都有 f ( 矿) 兰f ( z ) 定理1 2 1 0 设y 是单参数l i e 变换群( 1 2 ) 的无穷小生成子，f ) 为d 上的光滑函 数是l i e 变换群( 1 2 ) 作用下的不变函数，当且仅当 v f ( x ) 三0 ， 对于任意的z d 成立 函数日( z ) 关于( 1 9 ) 是不变函数当且仅当口( z ) 满足 即p 0 ) 满足特征方程 y ( u 一口( z ) ) = 0 ， 如ld x 2如口d u 一= 一= = - = 一 l 已 岛 定理1 2 1 1 函数p ( z ) 是方程( 1 8 ) 的不变解当且仅当 ( 1 ) p ) 是方程( 1 8 ) 的解； ( 2 ) p ( z ) 是( 1 9 ) 的不变函数 ( 1 9 ) 如果p 1 ( z ，乱) ，如( z ，t ) ，红1 ( z ，让) ，毋( z ，u ) g e ( z ，牡) 札o 是求解特征方程( 1 9 ) 得到的几个独立不变解，则方程( 1 8 ) 关于l i e 对称( 1 9 ) 的群不变解u = 口( z ) 可以 隐式表示为 秽( z ，仳) = 妒( p 1 ( z ，t | ) ，0 2 ( z ，u ) ，一1 ( z ，乱) ) ， 其中妒是任意函数 下面我们对近似对称约化方法做进行介绍 5 第一章绪论 1 3 方法介绍 我们考虑含有小参数e 扰动的2 个自变量的k 阶偏微分方程 f ( z ，t ，t 正，仳i l ，i 2 ，“；e ) =r ( z ，t ，牡，t 正t l ，t 2 ，“) + c g ( x ，t ，t ，。j 2 ，函) ， ( i 1 0 ) 其中i l ，i 2 ，氓j l , 歹2 ，歹p 取自于集合t 正，t ) 利用近似对称扰动方法求解方程( 1 1 0 ) 的近似对称约化和无穷级数解的关 键步骤如下： 步骤1 ：对于方程( 1 1 0 ) ，假设其解的形式为 o 。 牡：fe n ( 1 i i ) 一 行= 0 将( 1 1 1 ) 带入程( 1 1 0 ) 然后根据e 的次数合并同类项，并且令其系数全为零，于是 便得到下面的方程组 d ( c 0 ) 0 ( e 1 ) d ( e 2 ) ：f 0 ( z ，t ，t l o ，t | 0 ，i l ，i 2 ，缸) = 0 ， ：n ( 乱1 ，u i , i l , t 2 ，“) + g o ( “o ，u o d l 廊，d p ) = 0 ， ： 尼( t 正1 ，u 1 ，1 ，t 2 ，“) + o l ( u l ，让l j l j 2 ，函) = 0 ， 0 ( e n ) ：r ( ，t 。，i 2 ，“) + g n i ( u l ，一1 j ，j 2 ，函) = 0 ，( 1 1 2 ) 其中，d ( ，) 所对应的方程称为第亿阶近似对称方程 步骤2 ：使用l i e 对称理论解出方程组( 1 1 2 ) 允许的l i e 对称为 y ：x 未+ 丁未+ 妻去d z饥。c ，让n 然后，求解其特征函数 n - - 2 - o d z 托出i nd 仳1d z n i2 亍5 瓦2 酉一一。瓦一一xtu l u n ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 西北大学硕士学位论文 得到( 1 1 2 ) 的相似解， = a ( x ，t ) + ( ) 6 ( z ，) ，( 7 1 , = 0 ，1 ，) ，( 1 1 5 ) 其中= c ( z ，) 步骤3 ：根据( 1 1 1 ) ，我们得到( 1 1 0 ) 的级数约化解为 u = e n ( 口( z ，) + k ( ) t ) ) - 一 、 n - - - - - 0 再将( 1 1 6 ) 带入( 1 1 0 ) ，并且合并同类项，可以得到尼阶常微分方程组 e o ( y o ，y o x ，y o ，e ，f ，毒) = 0 ， 毋( ，毒，f ，f 加f ，k ，专矗毒) = 0 ， e ( y o ，k ，v o ，k 石，f 矗怎，k ，铽，毒) = 0 ，( 1 1 7 ) 可以通过( 1 1 7 ) 分别求出，k ，k ，n = 2 ，3 ，从而得到( 1 1 0 ) 的解 7 第二章带有阻尼的非线性波动方程的近似对称约化和无穷级数解 第二章带有阻尼的非线性波动方程的近似对称约化和无 穷级数解 本章中我们讨论带有阻尼的非线性波动方程【3 5 】 毗+ e 饥一( m u m - i ) 。= 0 ，( 2 1 ) 的近似对称约化和无穷级数解，其中较小的实数，m 为大于1 的任意整数 根据扰动理论，任意扰动方程的解可以表示成为含较小参数的级数形式 因此，我们可以假设方程( 2 1 ) 有如下形式的解 o o 牡= e 住， ( 2 2 ) ，i = 0 其中是z 和t 的函数 将( 2 2 ) 带入方程( 2 1 ) ，然后根据e 的次数合并同类项，并且令其系数全为零， 于是便得到下面近似方程组 d ( c 0 ) d ( e 1 ) ：伽，托一m ( m 一1 ) u o ( m 一2 ) t 3 # 仇舻q 伽，嚣= 0 ， ： t 1 ，t + u o ，t m ( m 1 ) 【( m 一2 ) u o ( m - 3 ) 乱1 碡口+ 2 t 正0 ( m ) u o 声i t l ，茁】 一m 【( m 一1 ) u o ( m 一2 ) 札1 伽芦+ 毋一1 ) 让1 弦】= 0 ， d ( ，) ：，越+ 让( 铲1 ) ，t m ( m 一1 ) 地。地。讹( 一：) 地忡- 1 ) 声声 i t + i 2 + + t m = n t 一m 畅颧。- 1 ) ，船= 0 ， ( 2 3 ) j 1 + 斑+ + j m = i 其中o 如，j k 亿，七= 1 ，仇和札一1 = 0 8 西北大学硕士学位论文 2 1 带有阻尼的非线性波动方程的近似方程组的对称群 假设近似方程组( 2 3 ) 允许的l i e 变换为 z 叫z - i - e x t _ t + c t , 一+ e ，竹= 0 ，l ， 这里的 x ，z ) 是_ z ，t ，) 的待定函数该l i e 变换所对应的无穷小生成元为 y = x 昙+ 丁击+ 薹巩毫 仁4 ， 为了得到无穷小生成元( 2 4 ) ，根据方程组( 2 3 ) ，对( 2 4 ) 进行二阶延拓 其中 川= y + 薹善彘+ 薹船忐 + 争毫+ 薹托忐， 仁5 ， 2 = 声- t - x 芦+ 舢 船= 鼬+ x 嬲+ ，删， = o n ，t + y 一+ t ，t t ， 越= ，托+ x t 正，l 砧+ 丁，t t ，n = 0 ，1 ，( 2 6 ) 令o n 兰一x 声一，t 将p r ( 2 ) y 作用方程组( 2 3 ) 上，并化简整理得 o 0 ，统一m ( m 一1 ) 【( m 一2 ) o o 札o ( m - 3 ) 诧。+ 2 u o ( m - 2 ) a o 声t 正。声】 一仇【( m 1 ) a o u o ( m - 2 ) u o ，缸+ 毋) a o ，】= 0 ， 盯1 ，托+ a o ，t m ( m 一1 ) 【( m 一2 ) ( m 一3 ) u o ( m - 4 ) a o u l 碍口+ ( m 一2 ) u o ( m 一3 ) a r l u 0 2 互+ 2 ( m 一2 ) u o ( m - 3 ) “1 t 正0 ，芏印，2 + 2 ( m 一2 ) u o ( m - 3 ) a o ，z t 正0 ，z t l 声 口 第二章带有阻尼的非线性波动方程的近似对称约化和无穷级数解 + 2 u o ( m - - 2 ) a o 声心1 声+ 2 u o ( m - - 2 ) 仃1 声呦声+ 4 u ( m - 2 ) a l 彤】一m 【( m 一1 ) ( m 一2 ) u o ( m - 3 ) a o u l t 0 泓+ ( m 一1 ) u 0 ( m - 2 ) 仃l t 正o ，站+ ( m 一1 ) u o ( m - - 2 ) 乱l 印，船 + ( m 一1 ) 妒) a o u l 芦+ 妒一1 盯l ，嚣】= 0 ， ，扰+ 盯( n 一1 ) ，一m ( m - 1 )h l t t t ( 仇- 2 ) 札i ( 州垆声 1 + i 2 + + t m = n + 讹1 几2 地佃一2 ) 讹( m 一1 ) 声声+ + 地1 地2 佃一2 ) u i 。一1 ) 声声】 一m 【乃，2 呦( m _ 1 ) 芦+ 吻。吻( 一。) 芦 缸+ i 2 七+ j m - - - - n + + 吻。吻阳一，。，船】= 0 ，( 2 7 ) 直接通过方程组( 2 3 ) 和( 2 7 ) 来计算无穷多x ，佗= 0 ，1 ，2 是非常困 难的因此，可以先考虑讨论有限个方程的情况 首先我们在方程组( 2 3 ) ，( 2 6 ) 和( 2 7 ) 中限制扎的范围为伽ln = 0 ，1 ，2 ) ，便 可得到x ，l ，巩和沈是x ，t ，伽，l 和u 2 的函数将三一x 声一t 。t 带入 到( 2 7 ) 中去，并结合( 2 3 ) 化简整理后，可以得到非常多的关于z ，t ，u o ，乱l 和u 2 的 决定方程组 从这些决定方程组中，找出关于丁的最简的方程组 瓦= = 死。= = 0 ，( 2 8 ) 从而有t = 丁( 亡) 通过( 2 8 ) 可以化简决定方程组，找出关于x 的最简的方程组 五= = 丘，= = 0 ， 有x = x ( z ) 进一步化简决定方程组，并找到，巩，观的最简的方程组 v o 芦2g o ，乜1 = v o ，锄5 ，t o t o = 0 ， v l 声= v l ，t l o = 仉，t 2 = 巩，u l u l = 0 ， u 2 声= u 2 ，t o = u 2 ，u 1 = u 2 ，地也= 0 ( 2 9 ) 1 0 西北大学硕士学位论文 方程组( 2 9 ) 的一般解为 v o = o ( t ) u o4 - 6 0 ( ) ， 巩= 凸l ( ) u l4 - 6 l ( t ) ， 巩= n 2 ( ) 坳4 - 6 2 ( t ) ( 2 1 0 ) 通过将( 2 1 0 ) 带入决定方程组并且进一步化简，再找出与丁( t ) ，x ( z ) ，如( t ) ， 口l ( t ) ，眈( ) ，6 0 ( t ) ，6 1 ( t ) ，6 2 ( ) 相关的决定方程组 根据上式解得 = 0 ，死= 0 ， 6 0 ，t = 0 ，b l , t = 0 ，b 2 ，t = 0 ， 知( t ) 一熹( k 一互) = o ， 州t ) 一熹五一m m 一- 3 1 t 产o ， n 2 ( ) 一熹咒2 m m 一- 1 4 t 。产o x = ：1 x4 - c 2 ，t = c 3 t + c 4 ， = ( 一熹c s + 熹c ) 坳， 巩= ( 1 - 熹) 铅+ 击c ，卜 如= ( 2 _ 熹) 仍+ 熹c 卜 c 1 ，c 2 ，c 3 和c 4 是任意常数 同样，可以限制方程组( 2 3 ) ，( 2 6 ) 和( 2 7 ) 中n 的范围为 佗in = 0 ，l ，2 ，3 ) ，就 有x ，e ，巩，踢和玩是z ，t ，u o ，u l ，乱2 和“3 的函数类似于上面的计算步骤，求 解得 x = c l x + c 2 ，t = c 3 t + c 4 ， = ( 一熹仍+ 击c ) 蛳， 1 1 第二章带有阻尼的非线性波动方程的近似对称约化和无穷级数解 巩= 熹) c s + 击c ，卜 = ( 2 _ 熹) c s + 击c ，卜 观= ( 3 - 击) c s + 熹c 卜 不断增加佗的范围，使用类似的计算步骤，得到关于x ，t 和，几= 0 ，1 形式一致的规律 x = c l x + c 2 ，t = c 3 t + c 4 ， = k 击) c s + 击c 卜 眨 故近似方程组( 2 3 ) 的l i e 对称群为 y = ( c l x + 晚) 未+ ( c 3 t + c 4 ) 晏 + 薹忙击) c s + 忑2c 去 江 2 2 带有阻尼的非线性波动方程的近似对称约化和无穷级数解 通过求解近似方程组( 2 3 ) 的特征方程组 如d td u o d 一= 一= 一= = 一= x丁 得到它的相似解，来约化近似方程组( 2 3 ) 从而达到近似对称约化带有阻尼的 非线性波动方程，进而得到其无穷级数解根据c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 我们可以分为四种情 况来讨论 ( 1 ) 当c l c 3 o 时： 做这样的变换c 1 一c 1 c 3 和c 2 叫c l c 2 c 3 改写( 2 1 1 ) 为 x = c l c 3 ( x + c 2 ) ，t = c 3 t + c 4 ， v o - - c 3 ( 一熹+ 熹c ) 伽， 1 2 西北大学硕士学位论文 特征方程变为 u 1 - = c 3 ( 1 一熹+ 击c z ) 巩= 铅( n 一熹+ 熹c - ) ， 如dt d u o 一：=-一=-_-_-一 c c 3 ( z + c 2 ) c c 3 十c 2 ) c 3 ( 一击+ 嘉c ) 咖 l c 3l 亿一 求解( 2 1 3 ) ，它的不变解为 嘉+ 嘉c ) ，z ) = f = 而x + c 2 ， 而( z ，t ) = v o = u o ( x ，t ) ( c a t + c 4 ) i 2 - - 2 彳。i ， 厶( 。，t ) = = ( z ，t ) ( c 3 t + c 4 ) 2 丽- - r i m 丁一， 竹+一2 c 1 把k ，n = 0 ，1 可以看成关于的函数，我们得到方程( 2 3 ) 相似解 其中相似变量为 = 篮) ( c 3 t + c 4 ) 蒜广，死= 0 ，1 - - n - - 2 t t m - p 2 c l ， + f = 面x 丽- i - c 2 我们就可以把方程( 2 1 ) 的解约化为 乱= e n k ( f ) ( 西+ c 4 ) 学， n = o ( 2 1 3 ) 第二章带有阻尼的非线性波动方程的近似对称约化和无穷级数解 相似纫化刀程刀 d ( e 0 ) 砖磅基+ ( c 2 1 c 暑+ c l 鼋- 2 c - 鼋等) + 露 ( 等) 2 一岽竿 一m ( m i ) v o ( 删喂一m 语一v o 舻0 ， d ( e 1 ) ：c 2 。c 3 2 2 ，铤+ ( c ；鼋+ c ，秀一2 c - 鼋二兰竽) 走 + 孝 ( - 3 + m + 2 c 1 ) 2 - m - 1等卜c s 等 一c l c 3 v o , f - m ( m - 1 ) ( m 一2 ) v o ( m q ) 2 ，+ 2 ( m ) v o ，d m 一1 ) v o ( 一2 ) v w o ，篾+ 曙一1 ) v l 艇1 - 0 ， d ( c ”鼋留+ ( 鼋鼋+ c l 鼋一2 郴；竺半) + 鼋 ( - n - 2 + n m + 2 c 1 ) m c l2 一竺学 k + c 3 尘型鼍芒 幽垫c 1 仍哪 m 一上 、 一 - m ( m - - 1 ) m 。k 。k ( 一。) k ( 一。) 点石 i l + i 2 + + i m = n m 巧( 一) ，篾= 0 ， j 1 + j 2 + 十j m = n 其e p o i k ，靠n ，k = 1 ，m 和仳一1 = 0 ( 2 1 4 ) 从而把o ( ，) 所对应的方程相似约化为二阶的常微分方程，并且k 可以通 过，k ，k 一1 来解出：把方程( 2 1 4 ) 改写为 c 2 ，c s 2 2 k ，篾+ ( 聋鼋+ c c ；一2 c - 鼋二竺二弓竽) f k 善 + 鼋 ( 竺警) 2 一竺半 - m ( m 一1 ) 2o v o v o ，f k ，f + m - 2 ) w 。3 哝吲 一m k ，艇昭- 1 + ( m 一1 ) w 一2 ，毖 = 厶( f ) ，佗= 0 ，l ， 这里厶只是【，h ，k 一1 ) 的函数， 胀) 勒刚n - x ) , e - c 3 尘丑高等业些 西北大学硕士学位论文 一m ( m - 1 ) 一m i 1 + i 2 + + t m = n ，k 2 k 忡一2 ) k ( 。一1 ) ，f 毒 v j ，巧：巧( 删v j g t g ，毖， j 1 + j 2 + + j m = n 其中如，靠f , ，七= 1 ，2 ，仇 ( 2 )当c 1 = 0 ，c 2 c 3 0 时： 做这样的变换c 2 一c 2 c 3 重新改写( 2 1 1 ) 为 特征方程为 x = c 2 c 3 ，t = c 3 t + c 4 ， = ( 一砉c s + 熹c ，) 铷， 巩= ( 1 - 熹) c s + 熹c ，卜 = 击) c 3 + 击c 卜 如 c 2 c 3c a t + c 4 求解( 2 1 5 ) ，进一步得到( 2 3 ) 相似解为 其中相似变量为 t | ，l = ( ) ( c 3 + c 4 ) 警，佗= 0 ，1 ， = z c 2l n ( c 3 t4 - c 4 ) 因此，可把方程( 2 1 ) 的解相似约化为 u 2 少k ) ( c 3 t + c 4 ) = 墨挚， n = o 1 5 ( 2 1 5 ) 第二章带有阻尼的非线性波动方程的近似对称约化和无穷级数解 这里k ( ) 满足 谚c ；k 基+ c 2 鼋( 1 2 鲁) k , - - c 2 c 3 v ( n - 1 ) 石 + 鼋l f ，型m - 1 ) 2 一鱼掣 k + c s 垒! 学k 一- - m ( m - - 1 ) k 。k 。k ( 。一。) k ( 。一。) ，f m 巧，巧细- 1 ) k 。，篾= 0 ，n = 0 ，1 ，2 ( 2 1 6 ) j 1 斗0 2 + 十如l = t l 其中0 i k ，靠佗，七= 1 ，仇和心一1 = 0 可以把o ( ) 所对应的方程相似约化为二阶的常微分方程，并且k 可以 由，k l 来解出把方程( 2 1 6 ) 改写为 砖鼋+ q 鼋( 1 2 鲁) + 球n m m - 1 _ z _ n - 三) 2 一i n m - 丁n - 2 卜 - m ( m 一1 ) 2 v o = 一2 v o ，f ，f + ( m 一2 ) v o m 一3 k 矗k 一mf k ，跬昭_ 1 + ( m 一1 ) 昭- 2 善吲= 厶( ) ，n = 0 ，1 ，2 ， 这里的厶只是 ，k 一1 ) 的函数 胀) = c 2 c 3 v ( n - - 1 ) , - - c 3 坚篙导卜 + m ( m 一1 ) 。k 。k ( 一：) k ( 仇1 ) ， i l + i 2 + + i m = n + m 巧，巧：巧、 m , - - i ) ，篾， j 二- _ _ 一 ，j 。， j ，” j 1 斗j 2 + 十如i = n 其中让，a 七= 1 ，2 ，m ( 3 ) 当c 3 = 0 ，c l c 4 o 时： 作这样的变换c 1 _ c l c 4 和c 2 啼i ：1 c 2 c 4 重新改写( 2 1 1 ) 为 x = c l c 4 ( t + c 2 ) ，t = ：4 ， ：丝咖， m 一上 阢：娑u 。， f i t 一1 西北大学硕士学位论文 特征方程为 = 鲁， m 一上 上=石dt：一duo-：甄dunc 一 ( 2 1 7 ) 1 c 4 ( x 卜c 2 )u o2 五2 一一2 瓢一一 7 ) 求解( 2 1 7 ) ，进一步得到( 2 3 ) 相似解为 2 c l t = k ( f ) e 蒲，毒= ( z + c 2 ) e c 1 ，佗= 0 ，l ， 方程( 2 1 ) 的解相似约化为 这里( f ) 是由 宣f 2 k ，艇+ ( 1 一磊与) 蠢k 善+ 面兰b 鼋k + 示马c k 一 一e l f v 一1 ) 名一m ( m 一1 )k ，k ( m - 2 ) ( 仇一1 ) ，e 毒 i 1 + i 2 + + i m - - - - - - n m b - k ( 。- 1 ) ，毖= 0 ，他= 0 ，1 ， ( 2 1 8 ) 来决定，其中0 如，靠n ，k = 1 ，m 和牡一1 = 0 从而可以把方程组( 2 1 8 ) 写为关于k ( f ) 的常微分方程组 鼋2 k ，篷+ ( 1 一磊乌) 鼋f k 正+ 面兰杀聋k - - m ( m 一1 ) 2 v o m 一2 v o ，f k 毒+ ( m 一2 ) v o m 一3 k 丧k 】 一m 【k 基咿1 + 一1 ) v o m o v o ，艇k 】= 厶( ) ，n = 0 ，1 ， 其中a 是 v o ，k 1 ) 的函数 厶( f ) = c k n - 1 ) 毒一砉c 。k n - 1 ) 毒 筹 扣 ， 脚 i i 让 第二章带有阻尼的非线性波动方程的近似对称约化和无穷级数解 + m ( m 一1 ) k 。k 。k 似一：) k ( 一。) ，f ， + m i 1 + t 2 + + i m = n v j ，v j 2 巧( 叫巧枨， j 1 + j 2 + + | j m = = n 其中如，办n ，k = 1 ，2 ，m ( 4 ) c 1 = 0 ，c 3 = 0 ，c 4 o 时： 我们作这样的变换c 2 一c 2 c 4 重新改写( 2 1 1 ) 为 特征方程为 x = c 2 c 4 ，t = c 4 ， u o = 0 ，巩= 0 ，= 0 ， 如d t d u o 一= 一= 一= = 一= c 2 c 4c 4 00 求解( 2 1 9 ) ，进一步得到( 2 3 ) 相似解为 = ( ) ，= z c 2 t ，n = 0 ，1 可把方程( 2 1 ) 的解相似约化为 这里k ( ) 可由 0 0 u = e n k ( f ) n = o ( 2 1 9 ) 奄k ，篾一c 2 k n 一1 ) 走一m ( m - 1 )e( 。k 。v i i i _ 2 ) k ( 。一。) 毒 i l + i 2 + + t m = n ，f ) 一仇 v j 。v j 2 ( 一) 基= 0 ，n = 0 1 ( 2 2 0 ) j 1 斗j 2 + + 如l = n 来解出，其中o i k ，a n ，k = 1 ，m 和t t 一1 = 0 把方程组( 2 2 0 ) 改写为 c ；k ，铤一m ( m - 1 ) 2 昭- 2 ，f k ，f + ( m 一2 ) 昭3 哝k 】 一m k ，篾昭一1 + ( m 一1 ) v o m - 2 联k = 厶( ) ，死= 0 ，1 西北大学硕士学位论文 这里厶是 ，k 一1 ) 的函数 厶 ) = c 2 k n 一1 ) + m ( m 一1 ) + m k 。佃一。) k ( 。一。) 毒毒 t l + t 2 + + t m = n v j 。v j 2 u j , m - 1 , v 3 m 五十j 2 + + j m = n 其中魂，九佗，七= 1 ，2 ，m 第三章带有耗散的非线性波动方程的近似对称约化和无穷项级数解 第三章带有耗散的非线性波动方程的近似对称约化和无 穷项级数解 本章讨论带有耗散的非线性波动方程【1 8 】 锄+ e 饥一( ) z = 0 ，( 3 1 ) 的近似对称约化和无穷项级数解，其中e 较小的实数，m 为大于0 的任意整