（基础数学专业论文）偏序向量空间中映射的扩张性质.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 经典的h a h n b a n a c h 泛函扩张定理讨论的是受次线性泛函控制的 线性泛函的扩张问题，其算子形式表明：若丁是从向量空间x 的子向 量空间g 到d e d e k i n d 完备的r i e s z 空间l ，的线性算子，且r 受x 上的 一个次线性算子p 的控制，则t 能扩张成x 上的线性算子且还受p 控 制。这个结论可以推广到正算子，即有经典的k a n t o r o v i c h 扩张定理： 从r i e s z 空间z 的控制子空间g 到d e d e k i n d 完备的r i e s z 空间l ，的正 算子能扩充为全空间z 到y 的正算子。正算子是一种特殊的算子，那 么其它的特殊算子是否也有类似的扩张性质呢? b u s k e sg j h m 和 v a n r o o i j a c m 在他们的一篇论文中得讨论了这个问题，他们将r i e s z 空间弱化成偏序向量空间，证明了若工是d i r e c t e d 的偏序向量空间， y 是d e d e k i n d 完备的r i e s z 空间，则从z 的控制子空间g 到y 的弱格 同态算子能扩张成全空间膏到】，的弱格同态算子。按照这个思路，本 文主要讨论正投影算子的扩张问题：即在k a n t o r o v i t c h 扩张定理中将 r i e s z 空间z 弱化为d e d e k i n d 完备的一般偏序向量空间，则定义在x 的控制子空间g 上的一个正投影算子能扩张成全空间z 上的正投影 算子。 后来扩张定理一个重要的研究方向是针对最优化理论等应用方 向的需要，将单值映射的扩张定理推广到多值映射，因此讨论多值映 射在某些条件下的扩张问题就有着非常重要的作用。所谓多值映射， 即在此映射下，一个原象可以对应若干象，若我们将这些所有的象看 成一个象集合，则得到多值映射的一种特殊情况集值映射。本文 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 主要讨论在某些情况下集值映射的扩张问题，给出了当定义域空间是 一个实向量空间，值域空间是由锥k 引入序的d e d e k i n d 完备的偏序向 量空间时，集值映射的一类扩张定理。以及引入局部f u l l 拓扑，使序 结构与拓扑结构相容，从而成为序拓扑向量空间，进而引入连续性之 后，连续集值映射的一类扩张定理。 经典h a h n b a n a c h 扩张定理、k a n t o r o v i c h 扩张定理以及它们的很 多推广定理的条件都要求值域空间是d e d e k i n d 完备的，这是一个非常 强的条件，因而也就一定程度上局限了这些扩张定理的应用。针对这 种情况，本文考虑弱化了这些定理要求值域空间d e d e k i n d 完备这个条 件，讨论了当值域空间是由锥k 引入序的非d e d e k i n d 完备的序拓扑向 量空间时，一类集值映射的扩张问题。 射。 关键词：偏序向量空间；序拓扑向量空间：正投影算子：集值映 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i i 页 a b s t r a c t i h ec l a s s i c a lh a i m b a r i a c he x t e n s i o nt h e o r e mi n d i c a t e st h a t ：i fti s al i n e a ro p e r a t o rf r o mas u b s p a c ego fav e c t o rs p a c exi n t oa d e d e k i n dc o m p l e t er i e s zs p a c eya n dti sd o m i n a t e db yas u b l i n e a r o p e r a t o rpd e f i n e do nz ，t h e ntw i l lb ee x t e n dt oa l i n e a ro p e r a t o r tf r o mxi n t o y ，a tt h es a m et i m e ，d o m i n a t e db yp t h ec o n c l u s i o n c a nb eg e n e r a l i z e dt op o s i t i v eo p e r a t o r , s ow eh a v et h ec l a s s i c a l k a n t o r o v i c he x t e n s i o nt h e o r e m ：e v e r yp o s i t i v eo p e r a t o r sf r o ma m a j o r i z i n gv e c t o rs u b s p a c eo f r i e s zs p a c ei n t oad e d c k i n dc o m p l e t er i e s z s p a c ea l w a y sh a sap o s i t i v ee x t e n s i o n t h er e s u l tw a sg e n e r a l i z e df r o ma p a p e rw h i c hw r i e db yb u s k e sc t j h ma n dv a nr o o 日a c m t h e yw e e k r i e s zs p a c et od i r e c t e dp a r t i a l l yo r d e r e dv e c t o rs p a c e s i tp r o v e st h a ti fx i sad i r e c t e dp a r t i a l l yo r d e r e dv e c t o rs p a c e ，a n dyi sad e d e k i n d c o m p l e t er i c s zs p a c e ，t h e nt h ew e a kl a t t i c e - h o m o m o r p h i s mf r o ma m a j o r i z i n gv e c t o rs u b s p a c ego fxi n t oyc a nb ee x t e n e dt oaw e a k l a t t i c e h o m o m o r p h i s ma l lo fxi n t oy f o l l o wt h ew a yo ft h i n k i n g ，w e w i l ld i s c u s st h ek a n t o r o v i c h t y p et h e o r e m c o n c e r i n gt h ee x t e n s i o no fa p o s i t i v ep r o j e c t i o nf r o mam a j o f i z i n gv e c t o rs u b s p a c ego ft h e d e d e k i n dc o m p l e t ep a r t i a l l yo r d e r e dv e c t o rs p a c exc a nb ee x t e n e dt oa p o s i t i v ep r o j e c t i o nd e f i n e do na l lo fx o n eo ft h ei m p o r t a n tg e n e r a l i z eo fh a h n b a n a c he x t e n s i o nt h e o r e mi s t ot h en e e do ft h ea p p l i c a t i o n s ，f o re x a m p l e ，t h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m s ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 v 页 g e n e r a l i z et h es i n g l e - v a l u e dm a p p i n g t ot h em o r e - v a l u e dm a p p i n g s ot h e d i s c u s so ft h ee x t e n s i o np r o b l e ma b o u tt h em o r e v a l u e dm a p p i n gh a s i m p o r t a n tv a l u e w ec a l lf i sam o r e v a l u e dm a p p i n gf r o mxi n t oy ， i f f o re a c hx e x ，t h e r ea r e m o r ee l e m e n t y l , y 2 ，y ，s u c h t h a t ，o ) = y la n d ，o ) = y 2 ，i f w e t a k e a l ly l , y 2 ，a sas e t ，t h e n w eg e t ae s p e c i a l l ym a p p i n go fm o r e v a l u e dm a p p i n g ，s e t v a l u e dm a p p i n g i nt h i s p a p e r , w ed i s c u s st h ee x t e n s i o nt h e o r e mc o n c e r i n g t h es e t v a l u e dm a p p i n g f r o mav e c t o rs p a c ei n t oad e d e k i n dc o m p l e t ep a r t i a l l yo r d e r e dv e c t o r s p a c ew h i c ht h eo r d e ri si n d u c e db yc o n ek a n d w h e nt h ev e c t o rs p a c e e n d o w e dw i t hal o c a l l yf u l lt o p o l o g i c a l ，b e c o m eao r d e r e dt o p o l o g i c a l v e c t o rs p a c e ，t h ee x t e n s i o np r o b l e mo ft h ec o n t i n u es e t v a l u e dm a p p i n g 1 1 i ec l a s s i c a lh a i m b a n a c he x t e n s i o nt h e o r e m k a n t o r o v i c he x t e n s i o n t h e o r e ma n dm o s to fi t 、sg e n e r a l i z a t i o nh a v eav e r ys t r o n gn e e dt h a tt h e v a l u es p a c em u s tb ead e d e k i n d c o m p l e t ev e c t o rs p a c e w ea l s os h o w t h a t ae x t e n s i o nt h e o r e mc o n c e f i n gs e t v a l u e dm a p p i n gt h a tt h ev a l u es p a c ei s ap a r t i a l l yo r d e r e dv e c t o rs p a c ew h i c ht h eo r d e ri si n d u c e db yc o n ekb u t n o tad e d e k i n gc o m p l e t ev e c t o rs p a c e k e y w o r d s ：p a r t i a l l yo r d e r e d v e c t o rs p a c e ，o r d e r e dt o p o l o g i c a lv e c t o r s p a c e ，p o s i t i v ep r o j e c t i o no p e r a t o r , s e t v a l u e dm a p p i n g ， 西南交通大学学位论文使用授权书 一系本人在西南 交通大学攻读蹲十硕士学位期问，丁年一一月在导师的指导下完成的学位论文。本人 完全了解“西南交通大学图f 0 馆关丁| 保存、使用学位论文的规定”，同意： ( 1 ) 按照学校要求提交学位论文的印刷版利电子版本。 ( 2 ) 图书馆按规定保存所提交论文的印刷版和电子版。 ( 3 ) 本人授权西南交通大学图f ；馆可以采用影印、缩印或其他复制了三段保存论文。授权西南交 通大学图 5 馆为教学年u 科硎：的目的，可以将公开的学位论文( 包括解密后的学位论文) 作为资料 、 在我校图书馆、资料室等场所或本校的校同刚以及部分和我校存在馆际合作关系的高校的用户进 行阅读和浏览。 作者签名 指导教师签名 说明：本授权1 s d l 5 j l 究生在办理离校r 续时交到圈 5 馆 h 期：年 月日 ( 有密级要求的需提供学校相关部门的定密审查结沧，在解密后遵守此规定) 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 第1 章绪论 1 1 本文的写作背景 众所周知，在泛函分析及其相关应用中，h a h n b a n a c h 扩张定理有 着非常重要的地位以及广泛的应用。其常用的一种形式是受次线性泛函 控制的线性泛函的扩张。对于这一结果，已进行了形式多样的推广，如 受凸泛函控制的线性泛函的扩张【5 1 等。而更进一步的推广是将线性泛函 推广到线性算子，即有h a h n b a n a c h 扩张定理的算子形式：若r 是从向 量空间z 的子空间g 到d c d e k i n d 完备的r i e s z 空间y 的线性算子，且 受z 上的一个次线性算子p 控制，即r o ) 墨p ( d ，0 e g ) ，则r 能扩 张成全空间z 上的线性算子丁且还满足：r 0 ) p 0 ) ，( x e x ) 。而正 算子作为一类重要的线性算子，其扩张有经典的k a n t o r o v i c h 扩张定理， 指出：若x 和y 是两个r i e s z 空间且l ，是d e d e k i n d 完备的，g 是工的 一个控制子向量空间，而r 是从g 到y 的一个正算子，则r 能扩张成整 个x 到y 的正算子，在此基础上的一个重要推广就是当t 是石的一个 控制r i e s z 子向量空间到y 的格同态算子时，它也能扩张成整个石到y 的格同态算子【i l 。k a n t o r o v i c h 扩张定理以及格同态的扩张都是在r i e s z 空间上给出的，那么在一般偏序向量空间上会有怎样的推广呢? b u s k e s g j h m 和v a l lr o o i ja c m 在1 9 8 9 年的一篇论文中则将r i e s z 空间弱 化为偏序向量空间，证明了若z 是d i r e c t e d 的偏序向量空间，y 是 d e d e k i n d 完备的r i e s z 空间，则从工的控制子空间g 到y 的弱格同态算 子能扩张成x 到y 的弱格同态算子。那么在偏序向量空间上对算子的其 它特殊性质是否也有相应的扩张定理呢? 若有，扩张后是否仍能保持算 子原来的性质昵? 比如保不交算子、保带算子、紧算子等等。基于这种 思路，本文主要考虑：若在k a n t o r o v i t c h 扩张定理中将r i c s z 空间石弱 化为d c d c k i n d 完备的一般偏序向量空间，则定义在z 的控制子空间g 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 上的一个正投影算子能否扩张到全空间上，并且还是正投影算子? 我们先回忆一下仿射映射的定义，若z ，l ，是实向量空间，r 是 从z 到y 线性的映射，若存在向量y e y ，使得日( 功一r g ) + y ， ( 工工) ，则称h ：x y 为z 到y 上的仿射映射【”，简单的说，仿射 映射也就是线性映射的平移。对于仿射映射，c h 锄g y 和c r a v e nb d 在1 9 9 0 年指出 4 1 ，设z 。是拓扑向量空间石的一个真子空间，1 7 是一个 d c d e k i n d 完备的偏序向量空间， ：x 。一y 是一个连续的仿射映射。若 存在x 的一个非空凸子集c 以及定义在c 上的一个向量值映射，满 足：x on c o r e c - 妒且对任意x e x on c 有，( 力- h ( 砷e k 成立，则存 在连续仿射映射z ：x y ，使的：( 1 ) z ( 力i h ( x ) ，( x e x o ) ，( 2 ) ，o ) 一z o ) k ，( x e c ) 。我们知道，向量值映射以及前面讨论的线性 泛函等都是单值映射，( 即在此映射下，一个原象只能对应于一个象) 。 那么对于多值映射( 即在此映射下，一个原象可以对应于多个象) ，有 没有类似的结论呢? 并且我们知道，若将多值映射的一个原象对应的所 有的象看成一个象的集合，则得到一类特殊的多值映射集值映射， 而集值映射在最优化理论等应用方面的讨论中也是非常重要的，那么讨 论集值映射在某些条件下的扩张问题也有着非常重要的理论地位。2 0 0 5 年，p e n g l w ，l e e h w j , r o n g w d ，y a n g x m 作了新的研究，得出了 一个受锥凸集值映射控制的仿射映射的扩张定理”，指出若瓦是实向 量空间x 的一个真子空间，y 是一个d c d e k i n d 完备的偏序向量空间， h ：x 。一y 是一个仿射映射。若存在z 的一个非空凸子集c 以及定义在 c 上的锥凸的集值映射f ：c 一2 7 ，满足：z 。n c o r e c 一妒并且对任意 x e x 。a c 有f 0 ) 一h ( x ) c k 成立，则存在仿射映射f ：x y 满足： 。 ( 1 ) f o ) i h ( x ) ，( x e x o ) ，( 2 ) f ( 力一z ) c k ，( x e c ) 这个定 理讨论的是受集值映射控制的仿射映射，事实上也就是单值映射的扩 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 张，还不是完全的集值映射的扩张，那么针对集值映射，自然会问：是 否有一样的扩张呢? 若有的话，那么再加入相应的拓扑后，连续集值映 射是否也有相应的扩张定理呢? 另外，我们知道，在经典的h a h n - b a n a c h 扩张定理、k a n t o r o v i c h 扩张定理以及它们以后的很多推广定理的讨论中，都有一个共同点，那 就是定理条件都要求值域空间是d e d e k i n d 完备的r i e s z 空间，而要求值 域空间的d e d e k i n d 完备性是一个非常强的条件，因而在某种程度上也 就局限了这些扩张定理的应用。王苏生1 9 8 6 年在应用数学学报上 发表了一篇文章，其中一个定理证明了在值域空间非d e d e k i n d 完备的 条件下，向量值映射的扩张定理。按照这个思路，那么我们可以考虑当 值域空间是非d e d e l d n d 完备的偏序向量空间这个条件下，关于集值映 射能否也可以做相应的扩张? 1 2 本文的具体工作 本文通过讨论偏序向量空间的结构，主要作了如下工作： 1 、考虑正投影算子的扩张问题，即证明了若x 是一个d e d e k i n d 完备的偏序向量空间，g 是x 的一个控制子空间，而只是定义在g 上 的一个正投影算子，则最能扩张成整个x 上的正投影算子。 2 、证明了当定义域空间是实向量空间，值域空间是d e d e k i n d 完 备的偏序向量空间时，集值映射的一类扩张定理以及在序拓扑向量空间 上证明了连续集值映射的扩张。 3 、弱化条件，证明了当值域空间是非d e d e l d n d 完备的序拓扑向 量空间这种情况下，集值映射的一类扩张定理。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第2 章偏序向量空间 我们知道，对于一个实向量空间，其空间结构主要有代数结构、 拓扑结构和序结构，我们主要讨论这些结构的性质以及相互间的关系。 并且我们知道，如果在向量空间工上定义一个拓扑f ，使得向量结构和 拓扑结构是相容的，则称暖，f ) 为拓扑向量空间，并称f 是z 上的向量 拓扑。赋范空间则是一类特殊的拓扑向量空间。如果在向量空间石上 定义一个偏序“”，使得向量结构与序结构是相容的，则称伍，s ) 是偏 序向量空间。如果在偏序向量空间x 上再定义一个拓扑f ，使得向量结 构、拓扑结构以及序结构都相容，则称z 为序拓扑向量空间。 在本章中我们将尽可能的收集一些偏序向量空间中的基本概念、 基本性质，这些均是我们在以后的讨论中将要用到的。未经解释的术语 可参看文献【1 ，2 ，2 3 。 ， 2 1 偏序向量空间的一些基本概念 定义2 1 1 t 2 l 设石是一个非空集合，x 上的一个二元关系r 叫做 一个偏序，如果满足：对x 中的任意元素石、y 、z 有 1 ) 自反性：x r x ： 2 ) 传递性：若x r y ，y r z ，则斌z ； 3 ) 反对称性：若x r y ，y r x ，则x y 则把( x ，r ) 或x 称为一个偏序集。为方便起见，在不至于引起混淆的情 况下我们把坶写成x 量y 或y 石。此时称x 与y 是可比较的。如果对 任意x ，y e x ，x ，y 都是可比较的，则称工是一个全序集。 定义2 1 2 1 2 l 设z 是一个偏序集，a 是x 的非空子集，e x ， 如果对任意的) ，爿，有ys x o ，那么称是a 的一个上界。如果是 a 的一个上界且对4 的任意上界工7 ，都有工。x 7 ，那么称是a 的上 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 确界或最小上界。记作x o 1 s u p a 或x o - 蛐p ) ，：y e a 由偏序集的反对称性知，偏序集如果有上确界，则上确界必唯一 类似可定义下界、下确界。如果y 。是y 的下确界，记作y 。1i n f y 或 y 。1i n f 抄：ye y ) 。并且如果如果有下确界存在，则下确界也必唯一 定义2 1 3 2 l 设x 是一个偏序集。 一 1 ) 如果z 的任意有上界的非空子集都有上确界，则石称为d e d e 】( i n d 完备的 2 ) 对于z 的任意有限或可数子集，如果有上界就有上确界，则x 称 为盯一d c d c k i n d 完备的。 3 ) 如果z 的每一个包含两个点的子集都有上确界和下确界，则称x 是一个格。 定义2 1 4 【2 1 设z 是实向量空间，如果在x 上定义了一个偏序关系 “s ”使得向量结构与序结构相容，即下列条件被满足： i ) 对任意x , y e x ，如果x y ，则x + z s y + z ，0 x ) ； ) 对任意工，y e x ，任意实数口 0 ，如果石s y ，则饿缈 则称z 是偏序向量空间。此外，如果x 关于偏序还是一个格，则z 叫 做砒e 鸵空间或向量格。 由上述定义知础c 钇空间事实上是一类特殊的偏序向量空间，即x 是m e s z 空间当且仅当z 是偏序向量空间并且对任意的j ，y x ， s u p x ，_ ) ， ，i n f x ，y 都存在。若z 是m e s z 空间，我们用x v y 和x y 分 别表示s u p 仁，) ， 和m f x ，) ，并且对于任意的x e x ，我们分别把 x + 一工vo 、工一1 ( ) v o 和h 毒v ( ) 称为石的正部、负部和绝对值。 性质2 1 9 1 】：若z 是一个偏序向量空间，且对任意x e x ，x + 都存 在，则z 是一个m e s z 空间。 若a 和占是z 的两个子集，沿用【4 】中定义，则有： 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 a4 - bt 缸6 l 口e a ，b 曰 定义2 1 6 1 2 1 设x 是实向量空间，x 是z 的非空凸子集，称k 是z 的锥，如果k 满足： ) k + k k ； ) 对任意实数口七0 ，祓k ； v ) k n ( 一k ) - o 设置是偏序向量空间，容易验证z 一缸e x ：了o ) 是z 的锥，称 z + 为z 的正锥。相应地称x 一0 为工的负锥。另一方面，如果k 是 向量空间的非空子集，且满足条件) 、) 和v ) ，则石y 9 y 一工e k 定义了z 上的一个偏序关系“”，使z 成为一个有正锥足的偏序向量 空间，或称为由锥k 引入序的偏序向量空间。 注：在本文以后的讨论中，为方便叙述，我们用( x ，x ) 来表示z 是 偏序向量空间，而其序则由锥k 引入。 下面我们给出几个偏序向量空间以及r i c s z 空间的例子 例2 1 7 对任意的实向量空间x ，定义工y 工- y ( 慨，y e x ) ， 容易验证z 是一个偏序向量空间但不是砒e 钇空间。此时，称这个偏序 。”为z 的平凡序。 例2 1 8 在2 维欧氏空间e - 瓜2 ( 其中瓜表示全体实数，在本文 以后的表述中皆用腰表示全体实数) 中，定义 瓴，工2 ) s 饥，y 2 ) 。y 1 - - x l o 且y 2 - - x 2 0 ， 容易验证e 在此偏序下是偏序向量空间，且是坐标面的第一象限 ( 不包含边界) 。但e 不是黜e 昵空间。事实上，取工1 ( o 山，y 1 ( o ，0 ) ， 则对任意z 一0 l ，z 2 ) 0 ，x + z 1 ( z l 1 + z 2 ) 是x 与y 的上界，但s u p 协，y 不存在。 例2 1 9 函数空间是一类经典的r i c s z 空间。所谓函数空间，是指 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 定义在集合q 上的所有实值函数所成的向量值空间，并且e 满足对任 意f 。g e ，w e q 。 ，vg ( 回- m a x ( ，占( 印 ， g ( 讲) 一m i n f f ( o 口) ，g ( 奶 都存在。显然，每个函数空间在逐点序( 即在e 中，f g 当且仅当对 所有的q ，都有( c o ) 量g ) 成立) 下，都是r i c s z 空间。， 例2 1 1 0 工。空间是另一类经典的r i e s z 空间。 由定义我们知道，在向量格中z 中任意两个元素都存在上、下确界 并且还在x 中但对一般偏序向量空间而言则没有这个性质，因而在 某些讨论的时候，我们在偏序向量空间中引入d i r e c t e d 集的概念。 定义2 1 1 1 t l 设z 是偏序向量空间，a 是盖的一个子集，若满足 对任意对元素工，y e a ，都存在元素z e a ，使得x z 和y z 都成立， 则称集合a 为偏序向量空间石的d i r e c t e d 集，有的书上也称为有向集， 本文仍然使用d i r e c t e d 集这种称呼。 下面我们回忆一下控制子空间的定义及性质， 定义2 1 1 2 1 1 设z 是偏序向量空间，若它的子向量空间g 满足： 对每一个x e x ，都存在“e g ，使得x s u 成立，则称g 是工的控制予 空间。 注：由控制子空间的定义不难看出，若g 是z 的控制子空间，则对 每个x x ，都存在l g l ，h 2e g ，使得“l z 球2 成立。 最后我们来回忆一下偏序向量空间的子集是f u l l 的概念。 定义2 1 1 3 2 j 设x 是一个偏序向量空间，a 是x 的子集，如果对 、 任意工l ，工2 彳且毛z 2 ，则有b ”工2 】- 缸z ：x t 量工量x 2 c _ a ，则称4 是石的f u l l 子集，或简称a 是f u l l 的。 注：偏序向量空间的子集是f u l l 集的概念在有的文献中又被称为是 序凸集，但f u l l 集与凸集有比较大的差别，为了避免误会，本文中还是 沿用f t l u 集的称呼。 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 2 2 序拓扑向量空间 下面我们给出序拓扑向量空间的概念，注意到所谓序拓扑向量空间 实际上是在偏序向量空间上定义了一个局部f u l l 的向量拓扑，使得向量 结构、拓扑结构以及序结构都相容。 定义2 2 1 【2 】设z 是一个偏序向量空间，f 是定义在x 上的一个向 量拓扑。如果存在z 中原点的一个由z 的f u l l 子集形成的邻域基，则 称f 是局部f u l l 的向量拓扑。若给偏序向量空间x 赋予一个局部f u l l 的 向量拓扑，则称工为序拓扑向量空间。 下面这一定理给出了偏序向量空间上局部f u l l 拓扑的的特征。 定理2 2 2 t 2 l 设z 是一个偏序向量空间，f 是z 上的一个向量拓扑。 则下列命题等价： 1 ) f 是局部f u l l 的； 2 ) 存在原点的一个邻域基( o ) ，使得对任意的【，( 0 ) ，有性质： 如果0 茗墨y g y e u ，贝u z u ； 3 ) 设仁d ) 翘和 ) ，j ) 她是x 上的两个网，g o 毛y 6 ( v 6 e a ) ， 若y 6 一o ，n x d 一0 。 ， 2 3 正线性算子 在偏序向量空间中讨论算子的性质是非常重要的一项研究，有着重 要的理论价值以及广泛的实际应用。而本文主要也是讨论某些特殊算子 在一定条件下的扩张性质，因而本节我们先回忆一下算子的一些基本概 念。 定义2 3 1 t 2 l 设z 是向量空间，】，是偏序向量空间，p 是从x 到l ， 的一个映射。如果p 满足下面两个条件： 1 ) p 0 1 + x 2 ) sp 0 1 ) + _ p 0 2 ) ( 垤l ，石2 x ) ； 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 2 ) p ( 似) - 卯o ) ( v a 芑o , v x a x ) 则称p 是次线性算子。若p 满足 p ( w q + 肛2 ) 卯0 1 ) + , e p ( x 2 ) ( v 五，工2e x ) ，则称p 是线性算予。 定义2 3 - 2 【2 1 设z ，y 是偏序向量空间，t ：x y 是从工到y 的 线性算子，如果满足对任意工石，都有t x 0 ，则称r 是正线性算子， 或简称r 为正算子，记为t 0 。 下面我们回忆一下格同态算子和弱格同态算子的定义， 定义2 3 3 m 设盖，y 是r i e s z 空间，t ：x y 是从z 到1 ，的线性 算子，如果满足对任意茗，y z ，都有 z ( x v ) ，) r ( 力v r o ，) ， 则称r 是x n y 的格同态算子。， 注：显然，格同态算子一定是正算子 由定义2 3 3 我们可以看出，格同态算子的定义域空间x 是r i e s z 空间，那当x 不是r i e s z 空间时，我们引入下边关于弱格同态算子的定 义。 定义2 , 3 4 t 3 1 设z 是d i r e c t e d 的偏序向量空间，y 是r i e s z 空间， t ：x l ，是从石到y 的线性算子，如果满足对任意x , y e x ，都有 r 0 0v t r y ) - i n f t ( v ) ：v e x ，工v ，y 量v ， 则称r 是z 到y 的弱格同态算子。 注：若z 是r i e s z 空间时，弱格同态算子就是格同态算子 最后我们回忆一下投影算子和正投影算子的定义， 定义2 3 5 t 2 l 设z 是偏序向量空间，t ：x x 是线性算子，如果 满足t 2 - t ，则称r 为投影算子。 定义2 3 6 诩设z 是偏序向量空间，若线性算子t ：x j 是正算 子同时又是投影算子( 即r 满足t 苫0 且t 2 一t ) ，则称r 为正投影算子。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 第三章正投影算子的扩张 在h a h n b a n a c h 泛函扩张定理及其一系列推广中，算子的扩张是一 个较早的问题：即在什么条件下，能把一个子空间上有一定性质的算子 扩充到整个空间上去，并且还保持原有的性质。经典的h a h n b a n a c h 扩 张定理之算子形式指出：如果石是实向量空间，y 是d e d e k i n d 完备的 r i e s z 空间，r 是定义在x 的子空间g 上的一个线性算子，并且受一个 工上的次线性算子p 控制，则2 能扩充成全空间工上的线性算子并且 还受p 控制。而k a n t o r o v i c h 扩张定理则指出：若z 和】，是两个r i e s z 空间且y 是d e d c k i n d 完备的，g 是x 的控制子空间且t ：g l r 是一个 正算子，n t 能扩充成全空间z 上的一个正算子。注意到k a n t o r o v i c h 扩张定理是在r i c s z 空间上给出的关于正算子的扩张定理，因此我们自 然会问，在一般的偏序向量空间上，算子的扩张定理会有怎样的推广 呢? h m b u s k e s 和a c m v a l lr o o i j 在1 9 8 9 年则将r i e s z 空间弱化， 证明了若石是d i r e c t e d 的偏序向量空间，y 是d e d c k i n d 完备的r i e s z 空间，则从x 的控制子空间g 到y 的弱格同态算子能扩张成x 到y 的 弱格同态算子，这是偏序向量空间上弱格同态算子的扩张问题。那么在 偏序向量空间上对算子的其它特殊性质是否也有相应的扩张定理呢? 若有，扩张后是否仍能保持算子原来的性质呢? 比如保不交算子、保带 算子、紧算子等等。基于这种思路，本文主要考虑：若在k a n t o r o v i t c h 扩张定理中将r i c s z 空间z 弱化为d c d e k i n d 完备的一般偏序向量空间， 则定义在x 的控制子空间g 上的一个正投影算子能否扩张到全空间 上，并且还是正投影算子? 本章将对这个问题做出了肯定的回答。 由于在本章定理的证明中将会频繁的用到z o r n 引理，因而我们首 先回忆一下z o m 引理， 定理3 1 ( z o r n 引理) 刚设a 是一个偏序集，如果爿的每个全序 子集都有上界，则a 有极大元。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 1 页 在k a n t o r o v i c h 扩张定理的证明过程中，通常要用到如下定义的特 殊映射 p 0 0 - i n f 7 0 ，) ：y e g ，x e x ，x s ) ， ， 其中g 是z 的控制子空间，r 是定义在g 上的正算子，并利用这个映 射是次线性的性质证明了该定理。本节中，假设g 是d e a i c k i n d 完备的 偏序向量空间z 的控制子空间，p o ：g g 是定义在g 上的一个正投影 算子，由于z 是d e d c k i n d 完备的，我们类似的可以定义两个映射如下： 对任意x e x ， 只o ) - s u p p o ( u ) ：u e g ，h 对，最g ) 一i n f p o ( u ) ：g ，“对 下面我们给出关于这两个映射的一些性质， ， 性质3 2 当工g 时，显然有只- 晶g ) 最( 力一晶g ) 成立。 性质3 3 对任意的善z ，有最o ) s 芹 ) 置o ) 最 ) 成立。 证明：若u g g i u 工，由性质3 2 可得墨o ) 最 ) 墨墨o ) ，因而 有只2 0 ) 置2 ( d ，又由于砰 ) 一碍 ) 一p o ( - ) ，所以有昂o ) - p ：o ) ， 对此不等式左边关于口量善取上确界，即得最( 力量砰o ) 对“g g k u 工同样方法讨论可得霹( 力s 最 ) 。另外，由定义知 对任意x g x ，只( 力s 最( 力，再由只与马的单调性( 单增) ，可得 只假 ) ) s 只仍o ) ) s b ( 只o ) ) ，即芹 ) 只2 0 ) 引理3 a 设x e x 、g 。令矗- g + i r 工，则对石中某一个满足条件 置( 力s ys 昱的元素y ，定义b 上的算子p 如下： p + 似) 一p o ) + c o ，其中h e g ，口腰， 则算子p 是正算子。 注：引理中的元素) ，确实存在，比如y 一只。 证明：算予p 显然是线性的，下证p 是正的，事实上，令h + 缎苫0 ， 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 2 页 若口- 0 ，p 显然是正的。若a - 0 ，先设口，o ，则有x 一，由置的 单调性可得只( 功只( 一) 一p o ( 一形) - 一0 嘭彳) ，而) ，2 丑 ) ，所以 y z 十鼍名) ，即脚+ 嘲一t o ( u ) + a y 0 ，即证算子p 为正算子； 当口c 0 时，利用只的性质同理可证算子p 是正算子。 接下来我们考虑所有从z 到z 并且满足下面三条性质的映射妒 组成的集合垂， ( 1 ) 驴l 。一p o ；( 2 ) 只 ) s 妒( 力巴 ) ；( 3 ) 妒单增且妒2 ) 妒 ) 。 在中中考虑逐点序，即对任意办妒m ，若对所有x e x ，有 妒( x ) 妒( z ) 成立，贝0 庐s 妒。 注：集合m 非空，比如只即是垂中元素。 在文献 2 3 1 第1 章第1 5 节中，利用z o m 引理证明了线性算子的扩 张，按此思路，下面也利用z o m 引理证明对本文主要定理的证明非常 重要的一个引理。 引理3 5 在集合中中存在元素妒满足2 - 妒。 证明：考虑集合西中一个链 ) 日，因为工是d e d e k i n d 完备的偏序 n t e f u qg p l ( 力识o ) s 足0 ) ，所以i n f 协o ) ：i e l 存在，我们不妨 i a y g v , ( 力，显然置( 力主妒( 力s 足( 力，则妒满足( 2 ) 。又由于对每个i ， 谚k - p 0 ，所以妒满足( 1 ) 。下证妒满足( 3 ) ，事实上，妒单增显然， 另对所有f ，且工z ，妒g ) 量识o ) ，则 识( 妒0 ) ) 魂 ) ) - 卵g ) 墨虫， 上式两端关于i 取下确界，即得妒2 g ) 蔓妒0 ) 。所以妒西，由z o r l l 引 理知垂存在极小元，记为毋。 如果我们再证得驴2 m ，由妒2 0 ) j 妒o ) 而驴是中的极小元，则一 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 定有妒2 一矿事实上，由妒i 。- p o ，容易得妒2l g p o ，即妒2 满足( 1 ) 由妒满足( 2 ) ，利用性质3 3 及只与昱的单增性，有 丑0 ) 只2 丑p g ) ) s 妒2 0 ) 最 0 ) ) 只2 0 ) 最， 所以妒2 满足( 2 ) 而由于妒单增，妒2 也单增，再由驴2 ( d 墨爹o ) ，则 矿5 矿墨妒2 ，即4 g ) 薯币2 ， 所以妒2 满足( 3 ) 。因此妒2 垂，即证。 下面我们来看本节的主要定理，即正投影算子的扩张定理， 定理3 6 若x 是一个d e d e k i n d 完备的偏序向量空间，g 是工的一 个控制子空间，而晶：g g 是定义在g 上的一个正投影算子，则昂能 扩充成x 上的正投彩算子。 证明：本定理的证明分两个步骤， 首先，证明如条件所设的最能扩充成严格包含g 的工的子空间g 。 上的正投影算子只。 设z 是z 、g 中的元素，考虑引理3 5 中的庐o ) ，令y - 妒 ) ，分两 种情况讨论， 1 、若y - 妒( 力e g ，令g l - g + i r z ，定义g 1 上的映射p 如下： e ( u + 饿) - e o ) + a y - p o ) + 口( 声) 因为只o ) s 妒0 ) s 最o ) ，由引理3 4 知p 是正的又由于妒k - 昂且 妒o ) g ，有 妒( z ) 一妒2 ( 力一妒( 妒0 ) ) = 最( 妒o ) ) ， 因而有 p ( p + 似) ) 一p ( p o ) + 却0 ) ) 一e o ( p o o ) + 却o ) ) - 碍 ) + 哦 o ) ) 也就是 ， 尸2 + 似) 一昂 ) + 却o ) 一v ( - + 饿) ， 即证p 是g ，上的正投影算子。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 2 、若y - 妒( 力芒g ，此时令g l - g + 侬y ，即g l