（基础数学专业论文）一类具有连续p（x）增长条件的积分泛函的ω极小点的正则性.pdf

摘要 这篇学位论文主要研究积分泛函 f ( u ，q ) = ，( z ，d u ) d x j n 的u 一极小点的局部h s l d e r 连续性，其中qcr “是任意开区域，：nx p r 是c a r a t h o d o r y 函数，满足 l 一1i z l 出，( 。，。) l ( i + i z 严1 ， 这里p ( x ) 是孬上的连续函数且1 p 一p ( x ) p + l 是常数 本文的主要结果是：若吃? 。( q ) 是f 的u 一极小点，且p ( 茁) 满足条件 l i m s u p 6 一。( 6 ) + 。o 5 0 + 其中口( j ) = s u p l p ( x ) 一p ( 9 ) l ：z ，y n ，l z y i d ) ，则“是局部h 5 1 d e r 连续的 关键词：积分泛函，u 一极小，h 5 1 d e r 连续性，e k e l a n d 变分原理 a b s t r a c t 1 1 t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hl o c a lh s l d e rc o n t i n u i t yo ft h eu m i n i m i z e r so ft h e i n t e g r a lf u n c t i o n a l r f ( u ，n ) = ，( 。，d u ) d x ， j n w h e r eni sa no p e ns e ti n 础，：q 眇_ 琏i sac a r a t h 备o d o r yf u n c t i o ns a t i s f y i n g t h ef o l l o w i n gg r o w t hc o n d i t i o n l 一1l z f 9 。l ( x ，：) l ( 1 十l z i 州。) ， w h e r ep ( x ) i sar e a lc o n t i a u o u sf u n c t i o nw i t hl p sp ) sp + 1i sac o n s t a n t t h em a i nr e s u l ti s ：i f 警净( q ) i sa nu m i n i m i z e ro ff ，t h e n 牡i sl o c a l l y h 6 1 d e rc o n t i n u o u sp r o v i d e dp ( 茁) s a t i s f i e st h ec o n d i t i o n l i m s u p d 一9 ( 6 ) 1 ，l 1 ，p ( x ) 是q 上的连续实值泛函儿1 p 一兰p ( x ) p + 1 的o 一极小的衰减估计 第四章，选取相关的参数，并固定半径风 l ，对任意的咒 _ r 0 ，在b r 上研 究积分泛函的u 一极小的局部h s l d e r 连续性，首先应用e k e l a a d 变分原理，得到泛 函 ， w + f ( ，b 凡) + j d w d v l d x j 口r 的局部极小点 ，这里是依赖于u 一极小 和r 的常数，又证得 恰足泛函 ”一正。( m 旷+ 刚小”) 如 的0 一极小，其中p + = m a x p ( x ) ，再结合第三章中的q 一极小的估计，得卅v 的衰 减估计再比较一极小“和极小”，估计l 。i d u d v v + 如，证出u 一极小“ 的衰减估计最后应用迭代引理，得出u 一极小是局部h s l d e r 连续的 4 第二章 预备知识 2 1 函数空间及重要定义 在本文中我们总假设q 是r ”中的任意开子集对任意的z o q ，r d i s t ( x o ，a q ) ，b ( x o ，r ) = x q ：l 。一x o l 1 设p ( x ) ：豆一( 1 ，+ o 。) 是一个连续实值函数，满足条件 1 p 一p ( x ) p + 札v x 孬，( 2 1 2 ) 其中p 一= m j n p ( x ) ，p + = i r 望x p ( 。) nn 我们首先对要用到的函数卒间作简单介绍记： i 一。( q ) = “：u 是q 上的可测实值两数，且厶l u ( x ) l ，( 。) 如 1 ，q = v ( p 一1 ) ，则 曲s 竺+ 竺 我们经常使用的是y o u n g 不等式的简单变形由a b = a ( e p ) 1 加 b ( e p ) - 1 9 ，e 0 可得 。6 扩+ g b g ，q ：( e p ) - q p h s l d e r 不等式设p ，q 冗+ ，；+ ；= 1 则 fl “( z ) ”( z ) f d z 茎( fl 牡( 茁) i ，出) 1 7 9 ( ：i ”( z ) i a 如) 1 7 。， 反向h i 5 1 d e r 不等式设b 是碌p 中的球，并设 1 ) g 0 ，g l 。( b ) ，q 1 ；f 芝0 ，f 工( 日) ，r 叮； 2 ) 对v z o b 和v r ：0 0 ，0 0 0 和c 0 ，使得 g l l 。( b ) ，v p q ，q + ) ， 而且对v 1 3 rcb ，r r o ，有 ( 五。手如) ；- - e tf ，j ，b r a 。如、1 i 1 + ( z 。尸出) ；， 其中c 和= 依赖丁b ，0 ，n ，g ，r ，而b # 和b n 是同心球 s o b 0 1 e v p o i n c a r 6 ：儆设0 w 1 ，9 ( b r ) ，1 q 礼，贝uu 酽( b r ) ，p 悬，而且有 ( z 。| ”一”a 1 9 a z ) 1 7 ”e ( z 。i 。”l 。出) v 。， 其中t 情= 毛。v d x ，g 依赖丁n ，9 内插不等式设u l ( q ) ，且q p r ，那么 ( ( f “c 。，l ，一) 1 7 ”茎( zj u c z ，l 。d x ) ( r - - p ) p ( r - q ) ( f f ： c z ，l 如) 扫一9 7 一一9 其中鼎+ 揣：；1 兰州大学硕士学位论文 2 3 预备引理 本节，我们将列出几个引理，有关它们的详细证明参见e g i u s t i 1 9 1 第五章， m g i a q u i a t a 1 8 ，i e k e l a n d 7 和陈亚浙 2 8 第九章 引理2 3 1 设z ( t ) ：i p ，捌一 0 ，+ 。o ) 是有界函数且假设当pst 8 r 使 得 z ( t ) o z ( s ) + 西 ；矿+ 曰 这里a ，b ，是正常数且0 0 1 ，那么可推出 z 0 ) 。百可二2 1 i 严+ b ， 这里c 是依赖于口和0 的正常数 引理2 3 2 ( e k e l a n d 变分原理) 假设( x ，d ) 是一个完备度量空间，并设f ： x 一( 一。，+ o 。) 是一个下半连续泛函且满足 一o 。 i n f f 0 及。x 使得 f ) 兰i x n f f + 盯 那么，存在y x 有 d ( x ，y ) 1 ， f ( y ) f ( o ) ， f ( y ) f ( z ) + c r d ( y ，z ) v z x 引理2 3 3 设西：【0 ，r o 】一 0 ，+ o o l ，是非负非减函数，r o 是任意正数，假设 对所有正数o p r r o 有 垂( p ) 冬g ( 瓦p ) 。+ 圣( r ) 十q 舻， 其中c 1 ，岛，q ，p 是正常数满足p n ，( 尺) 是 0 ，1 】上的非负函数，且当r 一 0 + ，f ( r ) 一0 ，那么对所有的0 p r 1 如果对v z b r ( z o ) 和 v p ：0 p d 扛) = r i z x o ) ，有 “酬g ( 南) ”时”q 则对v r ：0 r r ，有“c o , 4 ( 目( 跏) ) 8 第三章准备结果 首先定义泛函： ，( “，n ) = 正( f d 让( z ) f 9 + k 2 ) d x ，札w 1 , q ( r 2 j ( 2 ) j n 、7 其中k o 是常数g 1 本章将研究泛函f 的球面9 极小点的局部高阶可积性和泛函j 的衰减估计 3 1局部高阶可积性 这节我们给出泛函f 的球面0 极小点的局部高阶可积性 因为u 2 “叫( q ) ，所以上 l d u 如) i ( 。) + o 。我们不妨假设对某个常数 尬，有 r | d u ( x ) l p ( 。尬( 3 1 ) je 我们在球b r 上定义： ( r ) ：2 怒p ( 。) ，p 之( 月) ：2 瓣p ( z ) ( 3 2 ) z 口r 。 o 日r 为了方便陈述，我们简记： p 一5 蛎( 兄) ，p + e 珐( 月) 定理3 1 1 假定汐是q 的一个开子集，设u w l , v 。1 ( q ) 是泛函f 的球面 q 极小，其中f ：扩r ”一r 满足( 21 1 ) 以及函数p ( z ) 满足( 2 1 2 ) 和条件( h ) ， 那么，存在正常数c = c ( p - 1 p + ，n ，l q ，m ) ，使得，对任意球b rc c 扩，r 1 ，有， 幻酬p 咄z 。i 学r ， 证明：任取扩中的球b r ，将它划定，对任意的i r t s r 茎l ，选择 截断函数q c 铲( 鼠) 满足0 兰q 1 ，在玩之外q ；0 ，在鼠上q 暑1 ， i d o l 2 ( s 一) 一1 矗：义妒( 。) = q ( z ) ( ( z ) 一“r ) ，9 ( z ) = “( z ) 一妒( 2 ) 注意至0 在 o b s 上g = “，在鼠上g = u r ，所以在b t 上有d g = 0 由“是泛函f 的球面q 一极小，可得 f ( u ，b 。) q f ( a ，b s ) 9 兰州大学硕士学位论文 利用增k 条件( 21 1 ) 宵 厶j 。u ( 刮州叫出z 。j _ d “( 列州叫如三厶，( z ，。“( z ) ) 如 s q l 上m ，训瑚如 c 秽上( 1 + i 吲洲。) d x t 上m z 朋。 ( ( 1 叩( z ) ) i d u ( z ) l + i u ( 。) 一u ri d 即扛) 1 ) p 。d x + c l b r 州p 如+ c 上一訾如刊剐 西如) p 引如+ c f ；矿上。m z ) 一“扩扛) 如+ c f 嘞 现在将 c | d u ( z ) 1 9 ( 。d x 加到上面不等式链的第一项跟最后项中，然后同除c + 1 ，从面对于口= 者得到： 厶胁( 删p ( x ) d x 0 ，f 鼠i 驯州砷如+ 若寿厶l “( 旷“扩如刊列 应用引埋2 31 令 可得 邵) = 上，i 驯州如， a = c 上。i u ( 旷州甸如 b = c 舻，。= 矿，p = i r ， “嘶矿出sc ( 圹小p 引出刊既 c r p - - p + 厶1 孥r 蚺慨l c ，正。i 牮r 出刊划 c 上。l 学r 如刊附 1 0 兰型盔堂堡主堂垡望茎一 一 在上面第四个不等式中我们应用条件( 日) 可得，这里c 是顸j | 受十p 一，p + ，”，l ，q ，m 的常数 从而有 加酬出钒c 互。l 学r “ 至此茎茎篙1 2 在定理3 1 1 的假设条骶同时假设( 3 1 ) 脏双存在两 定理3 在定理3 的假设条件下，同时假设( 3 - 1 ) 成且，那，厶，仔位州 个依赖于p - , p + ，扎，l ，q ，m ，m 1 ，的正常数c o ，e ，便得对仕蒽嗣6 t o ，8 ) ，。8 。l 扩，r 1 ，有， ( z 。，! z ，“c 。，l ( ) ( 1 + 6 ) 如) 1 + 5 墨c z 。1 z ) 钍c ， 9 ( ) d 茁+ ( 而 ( 3 l 2 ) 证明：因为假设了定理3 1 1 的条件成立，所以可先得到 l r 黔妒氆五。i 孥r 慨1 3 ， 其中c = c ( p ，p + ，乱，l ，q ， f ) 篓二耄篙鬻j ；r a i n 、犀以p - 并雎r 0 ，c o o ，使得对任意的d f o ，) 有肌( z ) f 学三罂+ e ( 如) ，且 ( “酬p 州，如) 南岛厶忡俨如慨 这里c o 和e 依赖于n ，p 一，p 十，l ，q ，m ，m 1 至此定理3 1 2 的证明完成 3 2 几个重要估计 这节我们给出泛函j 的0 一极小的衰减估计式 f 理3 2 1 设u w 1 , 2 ( b r ) 是泛函( 2 ) 的9 极小，r 1 ，那么函数 矗( ) = u ( x o + n y ) k n 是泛函 ( i d v ( x ) l 。+ 1 ) d x j b i ( o ) 的q 极小 证明详见f 6 1 定理3 2 2 设u w 1 ，q ( b r ) 是泛函( 2 ) 的q 一极小，那么存在两个不依赖于 k ，r 和u 的常数o l ( 0 ，1 ) ，c l ，对任意的0 p n 2 ，r 1 ，有 上。脚，l q d x _ c ，( 扩一( z 。脚q d x + k q r ) 征明：首先假设r = 1 ，k = 1 和让w 1 a ( 玩( 0 ) ) 是泛函( 2 ) 在b ，上的q 一极小， 由文献 1 9 中的定理7 7 可知，对任意的0 p l 2 ，有 上，i 。u ( 蚓4 如c ( 。) 矿1 + ”( 上。l 。u i 。出+ 1 ) ， 这里n ( 0 ，1 卜由引理3 2 1 知，以上假设与估计式对面( ) = u ( x o4 - n ) n n 成 立，所以若w l , q ( s r ) 是泛函( 2 ) 的q 一极小，那么对任意的0 p r 2 ，有 上。i 。u ( 。) i qd x _ c l ( 晏) “1 + ”( 上。f 。u ( z ) l qd x + k q r 1 ) 1 2 第四章主要结果及证明 我们的主要结果如下： 定理4 1 发“w ? 。( q ) 是泛函f ( ，q ) 的u 一极小，f ：q p 一豫是 c a r a t h 茸) d o r y 甬数，满足增长条件( 2 1 1 ) ，p ( x ) 是豆上的连续实值函数满足条件 ( 2 1 ，2 ) 和( h ) ，那么u 在n 中是局部h s l d e r 连续的 4 1 相关参数的选取 在证明定理之前，先选取一些相关参数通过定理3 1 ，2 ，我们可在【0 ，) 任意选 取高阶可积指数d ，因此不妨选择6 满足6 p l ，且依赖于( p 一，p + ，l ，q ，m ，m l ，札) 由( 3 1 ) 不妨令 r r l m 1 ：= l 2 ( 1 + l d u ( z ) 1 2 ) 下d x ( 41 1 ) j n 设0 r o 1 ( 将用作半径) 满足盯( 2 ) s ：，其中6 正如上面所述可观察到因为 6 三6 ( p ，p 一，0 ，m ，m l ，l ) ，那么半径场也将依赖于这些参数让0 r 1 + 寻， 固定兄o ，由r 0 ，使 得对任意的6 0 ，) 有 ( z 。，：l 。“c z ，1 9 ( 。) ( 1 + 如) 可再sc z 。l 。“c z ，1 9 ( z ) a z + c ， 其中c 和s 依赖于n ，p 一，p + ，厶q ，m ， 以如上所述，选取6 0 ，c o ，对任意的如c cq ，0 p 州2 ，r 0 ，使得对任意的0 p r 2 ，r 凰 1 ，有 驴啦胪钒c ( 扩矿岬h ( z 。脚胪饥彬”z 静) 卅2 a ) 第二步 比较q - 极小和极小 由第一步戋，对任意的0 p n 2 ，有 上，l 。钍( 圳矿妇sc 厶j 。”( 训p + 如+ c 上。j 。“( 。) 一。 p t 如 sc ( 晏) “一9 + + ”+ “( z 。1 。u c z ，l ，十a 。+ n v + l ( v + - 1 ) r n ) + c 厶吼( 圹m ( 如 5 ) e ( 扩矿却吒( 厶脚妒伽q ，舻) + c 厶，2 | 仇( 小伪( 硎矿出， 为了完成证明，我们需甍估计( 4 2 ，5 ) 中的最后一项，在f l ，s l 上应用内差不等式 1 6 = 三型至型三量堡堕墨 日( o ，1 ) 满足：+ 1 0 = 专，s ( p + ，p 十( 1 + d 4 ) ) ，由性质( i ) 与的定义得 上。胁( 小州删矿如 s 训旷训刮5 如) 擘( l , v d u ( x ) - d v ( x ) d x ) u 卅矿 s c ? d j ； ，( j 一目) p + ( z 。尸u ( x ) - d v ( x ) l * d z ) 譬( z 。，尸u ( x ) - d v ( x ) l d x ) 1 一。p + c 舻( z 。，f 。“c 。，一m c 刮8 如) 擘( z 。，尸u ( x ) - d v ( x ) d x ) n 卅咖+ s c r “( uc r ，( z 。( ) 。“t z ， ，+ + ，) a 01 7 p + ) “一9 + ( z 。，! 。“e z ，一。c 。， s a 。) 笔二 c r “c u c r ，1 日弦+ ( z 。( 1 。n c z ，f 9 + + - ) d z ) 1 一。( z 。，! d u ( x ) - d v ( x ) r d z ) 等： ( 缈) 矿山， ( 点。，p “c 刮3 如) 矿加( z 。宁u ( ) l p + l j + 6 4 ) d x ) 吖。q 1 ( z 。! t + i 。uc 善，f c z ，c ，+ a ，t t c s 丑，a z ) 。7 n + ； ( 小删删m ) 鬻 ( 加删刮出忙) 粼( 船删矧矿) 如) 8 c ( 船佃如妒+ ) 如) 8 ， 1 7 一一 兰型奎堂堡主堂垡堡塞 所以由( 4 2 3 ) 得到 ( 础d u o ：) - d v ( x ) 1 5 d x ) 驴加 s c ( ( 勘d u ( x ) 1 8 d zo p + s - k ( 桫js ) c ( ( z 。( z 邶心胪+ 卜o + n 。v + ( v + - 1 ) ) ， 由n 和c r 的定义得 ，v 。p + ( p + 一1 ) = c ( z 。( 1 z ，c z ，1 9 + + - ) a z ) 。， 胁加俐p*dxcrlbr2( 郴) 尸如。z 。( 胁( + ，) 如 j j b n ， 第三步 建立u 极小的哀减估计 由前两步的证明得到，对任意的0 p r 2 ，有 c ( 扩矿桫。( 上。忡妒+ 彬扩叫钟) + cf i d u ( x ) d v ( z ) l + d x j b r 忆 c ( 是) “一9 + + 9 + “( 上。j z ，“c z ，i + d z + z 。( f 上，“c z ，f 9 + + ，) 出) + c ( u ( r ) ) “卵矿b ，( d “( z ) l 矿+ 1 ) 出jr c ( ( 夤) “一+ + 9 + 。+ ( u ( r ) ) l 一日) p + ) z 。( i 。“( z ) l p + + 1 ) d x 令r = ( 1 一o ) p + = 专军，我们可得命题4 2 1 的结论 定理4 1 的证明固定0 口 q ，r 风 1 ，由命题4 21 得 由( 纠c ( ( 晏) “1 + + ”+ + ( 兄) ) 7 ) 西( 兄) + c r “一，十+ 印+ 1 8 兰州大学硕士学位论文 这里圣( p ) = i d u ( x ) l d x ，0 p r 风 1 因为p ( r ) ) 7 是非负函数，且 当r 一0 + 时，( r ) ) 7 0 ，所以e h 6 1 理2 3 3 得，对任意的0 p r r o 1 ， 有 。“( z ) f 9 + 妇c ( ( 夤) ”+ + | 却+ 上。i 。( 。) 1 9 + 如+ ，“一p + + j 日p + ) 茎c ( r ) 矿一p + + 却+ c ( 冗) 矿。，+ 然后应用引理2 3 4 的h 6 1 d e r 连续的m o r r e y c a m p a n a t o 的积分特征，得到“是 局部h s l d e r 连续的至此我们完成了定理4 1 的证明 1 9 参考文献 1 1 】1 e a c e r b ia n dg ，m i n g i o n e ，r e g u l a r i t yr e s u l t s 加rac l a $ 8 可扣n c t i o n a i sw i t hn o n s t a n d a r d g r o w t h ，a r c h r a t i o n m e c h a n a l ，2 5 6 ( 2 0 0 1 ) ，1 2 1 - 1 4 0 【2 】e a c e r b ia n dg m i n g i o n e ，r e g u l a r i t yr e s u l t 31 0 rs t a t i o n a r ye l e c t r o r h e o l o g i e a lf l u i d s , a r c h r a t i o n m e c h a n a l ，1 6 4 ( 2 0 0 2 ) ，n o 3 ，2 1 3 2 5 9 1 3 1g a n z e l l o t t i ，o nt h ec k or e g u l a r i t y 0 ，u ( r ) 一m i n i m ad ，q u a d r a t i cf u n c t i o n a l s ， b o l l u m i ，( v i ) 2 ( 1 9 8 3 ) ，1 9 5 _ 2 1 2 【4 】g c u p i n i ， n f u s c oa n d r p e t t i ，h s l d e rc o n t i n u i t y0 ，l o c a lm i n i m i z e r s ， j m a t h a n a la p p l ，2 3 5 ( 1 9 9 9 ) ，5 7 8 5 9 7 【5 j e d eg i o r g i ，s u l l ad i f f e r e n z i a b i l i t 5el a n a l i t i c i t hd e u ee s t r e m a l id e g l ii n t e g r a l im u l t i p l i r o g o l a r i ，m e r e a c c a d s c i t o r i n o ，3 ( 3 ) ( 1 9 5 7 ) ，2 5 4 3 6 】6 a d o l c i n i le s p o s i t oa n dn t h l s c o ，g 0 1 0 r e g u l a r i t yo fu m i n i m a ，b o l lu mi ，( 7 ) 1 0 一 a ( 1 9 9 6 ) ，1 1 3 1 2 5 7 】i e k e l a n d ，n o n c o n v e xm i n i m i z a t i o np r o b l e m s , b u l l a m m a t h s o c ，( 3 ) 1 ( 1 9 7 9 ) ，4 4 3 - 4 7 4 f 8 1m ，e l e u t e r i ，h d l d e rc o n t i n u i t yr e s u l t sf o rac l a s s 。，f u n c t i o n a l s 埘冼n o ns t a n d a r d g r o w t 几( s ) r - b ( 2 0 0 4 ) ，1 2 9 - 1 5 7 9 j 9l e s p o s i t oa n dg m i n g i o n e ，ar e g u l a r i t yt h e o r e my o ru m i n i m i z e r so ，i n t e g r a l 血n c t i o n a l 8 k e n d i c o n t i d im a t e m a t i e a ，1 9 ( 1 9 9 9 ) 1 7 _ 4 4 1 0 】x f a n j s h e n a n dd ，z h a o ，s o b o l e v e m b e d d i n gt h e o r e m sf o rs p a c ew k , p ( x ( n ) ， j m a t h a n a la n da p p l ，2 6 2 ( 2 0 0 1 ) ，7 4 9 - 7 6 0 【1 l 】x f a na n dd z h a o ，r e g u l a r i t yo m i n i m i z e r s 。，v a r i a t i o n a li n t e g r a l sw i t hc o n t i n u o u s p ( z ) g r o w t hc o n d i t i o n s 。c h i n e s ea n n m a t h s i n i c a ，1 7 a ( 5 ) ( 1 9 9 6 ) ，5 5 7 - 5 6 4 1 1 2 】x f a na n dd z h a o ，t h eq u a s i - m i n i m i z e ro y i n t e g r a l f u n c t i o n a l sw i t hm 俐一g r o w t hc o n d i t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l ，3 9 ( 2 0 0 0 ) ，8 0 7 - 8 1 6 【1 3 xf a na l l dd z h a o ，ac l a s so d eg i o r g it y p ea n dh d l d e rc o n t i n u i t y ，n o n l i n e a ra n a l ， 3 6 a ( 1 9 9 9 ) ，2 9 5 - 3 1 8 f 1 4 1x f a na n dd z h a o ，o nt h eg e n e r a l i z e do r l i c z s o b o l e vs p a c ew m , p ( 。j ( q ) ，j g a n s u e d u c c o l l e g e ，1 2 ( 1 ) ( 1 9 9 8 ) ，1 - 6 ， 【15 】v f e r o n ea n dn f l l s e o ，c o n t i n u i t yp r o p e r t i e so ，m i n i m i z e r s0 ，i n t e g r a l s 血n c t i o n a l s 讥 o l i m i t ( w e f j f ，j m a t h a n a l a p p l ，2 0 2 ( 1 ) ( 1 9 9 6 ) ，2 7 - 5 2 ， | 1 6 1n f u s c oa n dcs b o r d o n e ，s o m er e m a r k so nt h er e g u l a r i t y0 ，m i n i m a0 ，a n i s o t r o p i c i n t e g r a l s ，c o m m p a r t i md i f f e r e q u a t i o n s ，1 8 ( 1 9 9 3 ) ，1 5 3 1 6 7 1 7 】m g i a q u i n t a ，m , u l t i p l ei n t e g r a l si nc a l c u l u sd ，v a r i a t i o n sa n dn o n l i n e a re l l i p t i e s i s t e r n s ，a n n , so fm a t h ，s t u d i e s ，1 0 5 p r i n c e t o nu n i v p r e s s ，1 9 8 3 1 8 】m g i a q u i n t aa n de g i u s t i ，q u a s im i n i m a ，a n n i n s t h p o i n c a r 6a n a l n o nl i n 6 a i r e ， 1 ( 1 9 s 4 ) ，7 9 1 0 7 1 9 1e g i u s t i ，m e t o d id i r e t t in e lc a l c o l od e l l ev a r i a z i o n i ，um i b o l o g n a ，1 9 9 4 兰州大学硕士学位论文 f 2 0 o a l a d y z h e n s k a y a ，u r a l t s e v aa n dn n ，l i n e a ra n dq u u s i l i n e a re l 坳t i cw q u a t i o n s ，2 n dr u s s i a ne d ，n a u k a ，m o s c o w ，1 9 7 3 1 2 1 】fl e o n e t t i ，o nt h er e g u l a r i t yo f u m i n i m a ，b o l l u m ib 5 ( 1 9 9 1 ) ，2 1 3 8 2 2 】ww i e s e r ，p a r a b o l i c 印- m i n i m aa n dm i n i m a ls o l u t i o n