（学前教育学专业论文）36岁儿童平分和初步除法能力发展的研究.pdf

t h e s i sf o rm a s t e rd e g r e ei n2 0 0 7 l丫llllllllilllll7iitll4fll112ltllll9lllll3ffflllllltllll f丫17 4 2 9 31 u n i v e r s i t yc o d e ：1 0 2 6 9 e n r o l l m e n tn u m b e r ：510 7 0 9 0 2 0 35 e a s tch i n ano r m a lu n i v e r s i t y t h e s t u d y o nt h ed e v e l o p m e n to f s h a r i n ga n d d i v i s i o ni ny o u n gc h i l d r e n a g e d 3 - 6 b y j i n gz h o u s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rx i nz h o u p r e s c h o o le d u c a t i o nd e p a r t m e n t ，e c n u a p r i l ，2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文3 一岁儿童平分和初步除法能力的发展研究， 是在华东师范大学攻读硕士学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： f 蚕1 墨日期：沙l 。年芗月加日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 3 一岁儿章平分和初步除法能力的发展研究系本人在华东师范大学攻读学位 期间在导师指导下完成的硕士学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人 同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国 家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东 师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位 论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或 者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密 学位论文， 于 年月 日解密，解密后适用上述授权。 ( 2 不保密，适用上述授权。 导师签名本人签名! 訇显 沙io 年多月u 日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 周晶硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 郭立平教授华东师范大学主席 姜勇副教授华东师范大学委员 施燕副教授华东师范大学委员 论文摘要 本研究的目的是考察3 川岁儿童平分能力以及初步除法能力的发展水平和 年龄特点以及平分能力和除法能力发展之间的关系。被试是从上海市两所一级幼 儿园的1 0 个班级中随机选取的1 8 0 名学前儿童。研究采用的工具是根据弗莱德 曼和陈杰琦等人的研究任务修改而成。测查主要采用个别面试并结合观察记录儿 童在答题过程中的行为来研究儿童的平分能力以及除法能力的发展情况，并对二 者的相关关系进行了分析。 本研究的结果表明：1 3 - 6 岁儿童已经有了一定发展水平的平分能力。 2 3 6 岁儿童的平分能力存在显著的年龄差异，但不存在性别差异，儿童的得 分随着年龄增长而增加。3 不同单位的材料对幼儿的平分能力具有一定的影响， 儿童在一个单位材料的平分任务中的表现好于两个单位材料的平分任务，儿童在 两种单位有颜色区分的任务中的表现好于两种单位无颜色区分的任务中的表现。 4 3 川岁儿童已经有了一定发展水平的除法能力，其初步除法能力随着年龄的 增长而不断提高。5 3 川岁儿童初步除法能力存在显著的年龄差异，但不存在 性别差异。6 有无实物操作对于儿童的初步除法能力的发展有一定的影响。各个 年龄段的儿童在操作后的得分所占总分的百分比与操作前相比有了较大的提高。 7 任务类型( 除得尽与除不尽) 对儿童初步除法能力的发展具有影响。各个年龄 段的儿童在除得尽的任务中的表现要好于除不尽的任务。 关键词：学前儿童平分除法 a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i ss t u d yw a st oi n v e s t i g a t et h ed e v e l o p m e n t a ll e v e l sa n dt h e c h a r a c t e r i s t i c si ny o u n gc h i l d r e n sa b i l i t yo fs h a r i n ga n dt h e i ru n d e r s t a n d i n go f d i v i s i o np r i n c i p l e s ，a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea b i l i t ya n dt h eu n d e r s t a n d i n go f t h i sp r i n c i p l e as a m p l eo f18 0c h i l d r e na g e d3 乇w a sr a n d o m l ys e l e c t e df r o m10 c l a s s e si nt w oo r d i n a r yp r e s h o o l si ns h a n g h a i t h ei n v e s t i g a t o ra d a p t e da n d d e v e l o p e dt h et e s t sf r o mf r y d m a na n dj i e q ic h e n i n d i v i d u a li n t e r v i e ww a s t h em a i n m e t h o du s e di nt h i ss t u d y , a n dm e a n w h i l ey o u n gc h i l d r e n sr e s p o n s e si nt h ew h o l e t e s tw a sa l s ou s e dt o i n v e s t i g a t ey o u n gc h i l d r e n sa b i l i t yt os h a r ea n d t h e i r u n d e r s t a n d i n go fd i v i s i o np f i n c i p l e s t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ny o u n gc h i l d r e n s a b i l i t yo fs h a r i n ga n dy o u n gc h i l d r e n sa b i l i t yo fd i v i s i o nw a sa l s oa n a l y s e di nt h i s s t u d y t h er e s u l t si n d i c a t e d ：1 y o u n gc h i l d r e na g e d3 石h a v ed e v e l o p e dt h ea b i l i t yo f s h a r i n gt oac e r t a i ne x t e n t 2 t h e r ea r ea g ed i f f e r e n c e si ny o u n gc h i l d r e n sa b i l i t yo f s h a r i n g ，b u t1 1 0g e n d e rd i f f e r e n c e s y o u n gc h i l d r e n ss c o r e so fs h a r i n ga r ei n c r e a s i n g w i t ha g e 3 y o u n gc h i l d r e n sa b i l i t yo fs h a r i n gi sa f f e c t e db ys h a r i n gm a t e r i a l sw i t h d i f f e r e n tu n i t s y o u n gc h i l d r e n sp e r f o r m a n c ei nt h et e s t so fs h 碰n gs i n g l eu n i t m a t e r i a li sm u c hb e t t e rt h a nt h a ti nt e s t so fs h a r i n gd o u b l e u n i tm a t e r i a l y o u n g c h i l d r e n sp e r f o r m a n c ei nt h et e s t so fs h a r i n gd o u b l e - u n i tm a t e r i a lw i t hc o l o r d i f f e r e n c ei sb e t t e rt h a nt h a tw i t hn oc o l o rd i f f e r e n c e s 4 y o u n gc h i l d r e na g c d3 6 h a v ed e v e l o p e dt h ea b i l i t yo fd i v i s i o nt oac e r t a i ne x t e n ta n dt h e i ra b i l i t yo fd i v i s i o ni s d e v e l o p i n gw i t ha g e 5 t h e r ea r ea g ed i f f e r e n c e si ny o u n gc h i l d r e n sa b i l i t yo f d i v i s i o n , b u tn og e n d e rd i f f e r e n c e s 6 y o u n gc h i l d r e n sa b i l i t yo fd i v i s i o ni sa f f e c t e db ys h a r i n g c o n c r e t em a t e r i a l 7 y o u n gc h i l d r e n sa b i l i t yo fd i v i s i o ni sa f f e c t e db yt h et y p eo ft e s t s c h i l d r e n sp e r f o r m a n c ei nt h et e s t so fd i v i s i o nw i t hn or e m a i n d e ri sm u c hb e t t e rt h a n t h a tw i t hr e m a i n d e r k e yw o r d s ：p r e s c h o o lc h i l d r e ns h a r i n g d i v i s i o n 目录 第一章绪论1 第一节研究的意义l 第二节研究的问题3 第三节论文的结构3 第二章文献综述4 第一节3 卅岁儿章平分能力的文献综述4 第二节3 q 岁儿童除法能力的文献综述1 0 第三节小结1 5 第三章研究方法1 8 第一节研究对象1 8 第二节测试工具和材料1 8 第三节测查程序1 9 第四节数据的收集与处理方法2 l 第五节本研究工具的信度_ 2 1 第四章研究结果与分析2 3 第一节3 川岁儿童平分能力的发展2 3 第二节3 q 岁儿童初步除法能力的发展3 5 第三节3 - - 6 岁儿童平分与初步除法能力的相关分析4 l 第四节小结4 2 第五章讨论4 3 第一节3 川岁儿童平分能力的发展特点4 3 第二节3 - - 6 岁儿童初步除法能力的发展特点4 8 第三节3 - - - 6 岁儿童平分能力与初步除法能力的相关分析5 1 第六章结论、教育建议以及本研究的不足之处5 2 附录测查记录表5 6 参考文献5 8 后记6 5 图1 1 表4 _ 1 1 表4 _ 1 2 表4 - 1 3 表4 1 4 表4 _ 1 5 表4 - 1 6 表4 1 7 表4 - 1 8 表4 - 1 9 表4 1 1 0 表4 1 1 1 表4 1 1 2 表4 - 1 1 3 表4 1 1 4 表4 1 1 5 表4 1 1 6 表4 1 1 7 表禾2 1 表4 2 2 表4 2 3 表4 2 - 4 表4 2 5 表4 2 6 图表目录 除法问题1 2 + 3 模式1 3 3 一岁儿童平分一个单位材料的得分均值及标准差2 3 3 6 岁儿童在各项任务中的通过人数及百分比2 4 3 一岁儿童平分不同数量的得分均值及标准差2 5 3 一岁男女儿童在各项任务中的得分均数及标准差2 6 3 一岁儿章在不同数量任务中的年龄班、性别的多元方差分析2 6 3 一岁儿童解决能够平分的任务时使用的策略频数及百分比2 7 3 一岁儿童解决不能平分的任务时使用的策略频数及百分比2 8 3 一岁儿童提出的建议频数及百分比2 9 3 一岁儿章平分两种单位材料的得分均值及标准差3 l 3 “岁儿童在有无颜色区分任务中得分的差异性检验3 l 3 一岁儿童在两种任务中的通过人数及百分比3 l 3 一岁儿童平分两种材料无颜色区分材料的策略频数及百分比3 2 3 一岁儿童平分两种材料有颜色区分材料的策略频数及百分比3 3 3 6 岁儿童平分一个单位材料与两种单位材料总得分均数与标准 差3 3 3 一岁儿童总体的平分一个单位材料与两种单位材料得分的相 关“”3 4 3 一岁各年龄段在平分一个单位与两种单位材料得分的均数与标准 差”一”3 4 3 一岁各年龄段在平分一个单位材料与两种单位材料得分的相 关”“”3 4 3 一岁儿童对除法原则理解的得分均数及标准差3 5 除法原则的理解能力的任务通过人数及百分比3 6 3 一岁儿童在两种任务中的得分均值与标准差及占总分的百分 比”一3 7 3 一岁儿童在实物操作前后的差异性检验3 8 3 川岁儿童在有实物操作情况下初步除法能力的年龄班、性别差 异3 8 3 _ _ 6 岁儿童在无实物操作情况下初步除法能力的年龄班、性别差 表4 2 7 表4 2 8 表4 2 9 表4 2 1 0 表4 3 1 表4 3 2 表4 3 3 表4 3 4 异”3 9 3 一岁儿童在两种任务中的得分均值与标准差及占总分的百分 比3 9 3 一岁儿童在两种任务类型之间的差异性检验4 0 3 一岁儿童在除得尽的任务中初步除法能力的年龄班、性别差异分 析4 0 3 一岁儿童在除不尽的任务中初步除法能力的年龄班、性别差异分 析4 l 3 一岁儿童平分能力与初步除法能力总体得分的均数和标准差4 l 3 一岁儿童总体的平分能力和初步除法能力得分的相关4 1 3 一岁各年龄段平分和除法能力得分均数、标准差及占总分的百分 比4 2 3 6 岁儿童各年龄段平分能力得分与除法能力得分的相关4 2 第一章绪论 全美数学教师协会( n c t m ) 在学校数学课程和评价标准中提出，从幼儿 园到小学阶段，数学课程的主要内容之一是推理和证明等数学能力的培养。在课 程焦点文件中规定，在每个年级的课程内容的教学中要伴随着“与逻辑推理证 实相关的程序和解答川。由此可见，数学学习不仅仅包括准确地解决数学问题， 还包括理解解决问题过程中涉及的概念、关系以及原则。而对于数学的理解归根 结底是对事物之间关系的理解，所以后者更能从本质上反映出儿童数学思维的发 展水平。但是在学前儿童的教育中普遍存在着对学前数学教育的歧义理解，把数 学教育理解为算术教育或计算教育，教师和家长看重的是儿童的运算技能，将儿 童能够熟练地进行加减乘除运算作为评价儿章数学能力与水平高低的标准，甚至 是唯一尺度，而忽视了在运算过程中儿童对数概念及其数关系的真正理解。 第一节研究的意义 一、研究的理论意义 儿童对除法的学习是接受学校教育之后才正式开始的，但已有研究表明儿童 在正式学习除法之前己对除法有了初步的感性的认识。如，儿童在日常生活中常 常会遇到分东西的情境，把一定数量的饼干平分给两个人、一块蛋糕分给多个人 等，在这些最初的平分物体的活动中儿童逐渐积累起了有关除法的经验，获得了 有关除法的一些知识和概念。 国外对学前儿童除法能力的研究更多集中在平分能力的发展上，而将平分作 为除法的起源来开展研究。但对于除法的其他方面，如其中蕴涵的概念( 被除数、 除数、商) 及其关系的研究较少，对于解决除法问题的策略研究，关注的也是学 龄阶段的儿童。而国内的文献大多是有关幼儿园教学实践层面的研究，基础理论 方面的研究较少。本研究通过考察学龄前儿童解决平分问题的过程，探讨了儿童 初步除法能力的发展状况与特点，使得我们能更全面地认识和理解儿童除法概念 的发展状况，为学龄前儿童除法概念的研究提供一个更加广阔的视角。因此，本 研究的目的就是在除得尽与除不尽两种情景下，考察儿童除法能力的发展状况， 具体分析儿童对于除法中各个关系以及原则的理解，并通过对有无实物操作的比 【l l 莫由( 2 0 0 6 ) ：美国学校数学课程和评价标准及其课程焦点，载数学教学，2 0 0 6 年第l l 期， e 2 5 1 较，分析儿童的除法能力是否因此而变化。同时，也通过平分材料的变化，考察 儿童在平分的过程中是否真正理解了数量的相等关系。 二、研究的实践意义 儿童的除法能力发展问题是一个很有趣的研究问题，这可以通过两个原因进 行解释。一个是儿童日常生活中常见的活动平分，平分在儿童早期除法概念 的发展过程中起到了重要的作用。平分就是将一些物体分成相等的几份，在这个 意义上讲和除法是相同的，除法也就是将被除数分成相等的几份。教师也经常把 除法问题称作为“平分 问题。在英国，即使是预备班的儿童对“分配”这个 词也是非常熟悉的，在英国的教育体系中，被除、除等词汇在2 年级，也就是7 岁的时候才会介绍给儿童( d e p a r t m e n tf o re d u c a t i o na n de m p l o y m e n t ，1 9 9 9 ) 。 很多研究表明，4 、5 岁的儿童能够使用分配的方式( 一个给a ，一个给b ) 来平 分物体。除了儿童平分的能力，也有研究表明，在接受正式的除法教育之前，年 幼儿童能够使用具体的物体来表征除法问题( c a r p e n t e r , a n s e u ，f r a n k e ，f e n n e m a & w e i s b e c k , 1 9 9 3 ；c o r r e a , 1 9 9 4 ) ，而且儿童最初的策略反应了题目中描述的动 作( m a r t o n & n e u m a n ，1 9 9 6 ) 。儿童能够成功地平分说明了运算图式的存在( p i a g e t ， 1 9 7 2 1 9 4 7 ) ，而这种运算图式是除法理解能力的起源。 另外一个原因是儿童在学校学习除法时，遇到了很大的困难。他们发现除法 要比加减法难很多，即使题目中蕴含的数词都很小( b r o w n 。1 9 8 1 ) 。儿童能够 平分，但是却不能成功地解决除法问题，我们有必要考虑这其中的原因。 平分是学前儿童儿童同常生活中经常有的经历，也有研究表明，学前儿童 能够在平分的任务中获得成功，但是儿童在平分不同的数量( 非连续量与连续 量) 和不同单位的物体时表现是不同的。很多研究者将平分作为j 下式的除法的 起源，将平分看作是一种非正式的除法形式。而学前儿童的数学学习正是把非 正式的数学学习和正式的数学学习结合的一个起点，是在生活的过程中学习数 学的。因此，在学前期开展平分和有关除法的活动，既可以适合整合课程的特 点，又能很好的建立儿童对于除法的好奇心，并为入小学后正规的除法学习提 供丰富的平分经验。 在此，对本研究中所指的初步除法能力进行界定：儿童的初步除法能力， 是指儿童在平分任务中所表现出的对除法中蕴含的三个概念( 被除数、除数、 商) 及其关系的理解能力，而非我们熟知的解决具体的除法题目( 如8 4 ) 的 2 能力。 第二节研究的问题 本研究拟解决的主要问题有： l 、3 川岁儿童平分能力的发展状况以及年龄特点是什么? 2 、3 _ - 6 岁儿童平分能力是否具有年龄差异、性别差异? 3 、3 - - 6 岁儿童初步除法能力的发展状况以及年龄特点是什么? 4 、3 川岁儿童初步除法能力是否具有年龄差异、性别差异? 5 、3 - - 6 岁儿童初步除法能力在不同单位的材料下是否存在差异? 6 、3 川岁儿童初步除法能力在有无实物操作的情境下是否存在差异? 7 、3 - _ 6 岁儿童初步除法能力在除得尽与除不尽两种情景下是否存在差异? 第三节论文的结构 本论文共分为6 各个部分： 第一部分：前言。主要阐述本研究的研究背景和意义、研究的目的、以及本研究 重点解决的问题和论文结构。 第二部分：文献综述。从研究理论和研究方法上对有关平分和除法能力发展的已 有研究做重点回顾，分析已有研究的不足，在此基础上提出本研究的研究问题。 第三部分：研究方法。介绍被试的选择，通过预实验对策查工具进行的修改，数 据的收集与处理方法，测查的信度以及效度问题。 第四部分：研究结果与分析。具体内容包括：3 一_ 6 岁儿童平分能力的发展状况 和年龄特点；3 川岁儿童初步除法能力的发展状况和年龄特点；3 川岁儿童平 分能力和初步除法能力发展的相关分析等等。 第五部分：讨论。具体内容包括：3 - 娟岁儿童平分能力发展的年龄特点；3 _ _ 6 岁儿童初步除法能力发展特点；3 _ 6 岁儿童平分能力和初步除法能力发展的关 系等等。 第六部分：本研究的结论和教育建议。总结本研究得出的结论，在此基础上提出 教育建议。并对本研究的特色和不足之处进行总结和反思。 3 第二章文献综述 第一节3 m 6 岁儿童平分能力的文献综述 平分是同常生活中常见的现象，年纪很小的幼儿也有分东西的生活经验。它 是指将物品分成几个部分，而分开的每个部分的数量相等( 参考等分概念：林福 来，黄敏晃，1 9 9 3 ；吕玉琴，1 9 9 6 ) 。 可能有很多人会认为平分不一定是数学活动。很多年来，共同分享都被认为 是建立在社会生活的基础之上的一种活动( b a l u ，1 9 6 4 ；c o o l e y , 1 9 2 2 ；d o u g l a s ， 1 9 7 8 ；m e a d ，1 9 3 7 1 9 6 1 ) ，费斯克( f i s k e ，1 9 9 1 ，1 9 9 2 ) 认为共同分享是四种基本 的社会交往形式之一。然而，也有人认为平分中带有数学的成分，比如说当“一 个给a ，一个给b 的时候其中蕴含的一一对应等等，以及平分后每个子集合中元 素数量的相等( f r y d m a n & b r y a n t ，1 9 8 8 ) 。很多研究者开始考虑儿童的平分能力 与其他的数学能力之间是否存在联系，比如说儿童的平分能力与数数能力 ( p e p p e r & h u n t i n g ，1 9 9 8 ) 以及除法能力( c o r r e a , n u n e s & b r y a n t ，1 9 9 8 ) 之间的 关系等等。 有几点理由可以解释为什么我们对儿童非正式的学习经验、知识、策略等等 如此感兴趣。第一，非正式的知识可能是学习j 下式的知识的一个非常关键的基础 ( b a r o o d y , g a n n o n ，b e r e n t & g i n s b u r g , 19 8 4 ；c a r p e n t e r , f e n n e m a & f r a n k e ，19 9 6 ； h u g h e s ，1 9 8 6 ) ，儿童能够在非正式的和正式的推理之问建立联系，这对他们的 学习是非常重要的( n u n e s ，s c h l i e m a n n c a r r a h e r , 1 9 9 3 ；s e h o e n f e l d ，1 9 9 1 ) 。第 二，通过研究儿童非正式的策略，我们可以更好地了解概念性知识和程序性知识 之间的联系( c a r p e n t e r , f r a n k e ，j a e o b s ，f e n n e m a e m p s o n ，19 9 7 ；h i e b e r t ，19 8 6 ； h i e b e r t & c a r p e r t e r , 19 9 2 ；r i t t l e - j o h n s o n & s i e g l e r , 19 9 8 ) 。有研究表明，在儿童 学习标准的算法之前，允许儿童使用其在非正式知识基础上发明创造的策略，并 鼓励儿童对数学问题进行解释，这些儿童要比那些一开始就学习正式算法的儿童 更容易接受新知识( c a r p e n t e re ta 1 ，1 9 9 7 ) 。总体而言，我们对于儿童早期的经 验与儿童在阅读方面取得的成功之间的关系已经有了很多了解( b r a d l e y b r y a n t ，1 9 8 5 ) ，但是，我们对于儿童在数学方面的非正式的经验与他们在学校 接受的正规的数学教育之间的联系所知甚少( b r y a n t ，1 9 9 7 ) 。 我们有充足的理由将平分和除法联系在一起。在除法中一个主要的不变量是 被除数被分成的子集合中元素数量是相同的。所以，儿童应该理解除法就是将一 4 个数量分成大小相等的数量。有可能当儿童获得了平分的运算图式的时候，他们 已经理解了除法。4 、5 岁的儿童已经能够成功地平分非连续量( d a f i s & p i 墩e t h l y ， 1 9 9 0 ；f r y d m a n b r y a n t ，1 9 8 8 ) 并且意识到当使用一一对应的方法进行平分时， 每个接受者获得的数量是相同的。这里所谓的一一对应即“一个给a ，一个给b 这种方法。他们还能够将平分和数数这两种行为有效地结合( m i l l e r , 1 9 8 4 ) 并声称 平分后的数量就是所数的最后一个数。很多研究者将平分看作是除法的一种非正 式的形式，认为这种非正式的学习经验对于儿童学习正式的除法知识是十分重要 的。 一、关于儿童对平分意义理解的研究 有这样一种可能，即儿童能够平分但是并没有意识到平分的数学意义。弗莱 德曼等人( f r y d m a n & b r y a n t ，1 9 9 8 ) 在一项研究中，成功地区分了那些机械地平 分的儿童和那些对平分的数学意义有所了解的儿童。他们让儿童把巧克力( 塑料 方块) 平分给2 个玩具娃娃，一个娃娃只能分到一个单位的巧克力，而另外一个 只能分到两个单位的巧克力。这个任务就是将巧克力分给两个接收者，每个接受 者的数量相同；因此，如果儿童能够理解平分的数学意义，他就能够在这样的任 务中获得成功，而没有成功的儿童在平分时只是机械地“一个给a ，一个给b ”， 没有考虑因为单位的不同所导致的数量上的差异。研究结果发现，5 岁的儿童能 够调整自己的行为，最终使两个接受者获得相同数量的巧克力，但是4 岁的儿童 不能这样做，他们平分后的结果就是一个接受者的数量是另外一个的2 倍。 弗莱德曼等人还在研究中考察了儿童是否理解平分后每个子集合元素数量 的相等。他们要求儿童在平分后数第一个子集合的数量，然后问儿童第二个子集 合的数量( 如果儿童数第二个子集合，用手将它挡住) 。研究结果发现，5 岁的 儿童能够推断出第二个集合与第一个集合的数量相等，但是仅有不到一半的4 岁 儿童能够成功地回答这样的问题。 这个实验显示5 岁的儿童确实对平分的数学意义有了一定的理解，并将之运 用到除法的学习中。实际上，很多教师也把除法问题介绍为“平分问题 ( “e b e e k 1 9 9 0 ) ，当儿童将一些物体平分给一定的接受者时，接受者的数量就是除数，每 个接受者得到的数量就是商，此时的儿童只是不会用这几个除法概念进行思考而 已。 有研究者认为，即使平分可以作为除法的起源，但是除法是一种不能完全等 5 同于平分的运算，平分和除法之间的区别也不应该被忽视，因为儿童会发现除法 更难。两者间的差异包括除法要求儿童理解除数和商之间的逆反关系( c o r r e a , n u n e s ，b r y a n t ，1 9 9 8 ) ，理解不同类型的除法问题以及有能力通过运算得到数学 答案。在平分中，儿童只要考虑平分后的数量相同即可，而不用考虑其他的关系。 相反，在除法中包含一系列的概念的理解，比如说被除数、除数和商之间的关系， 当然也要考虑子集合元素数量的相等。而且，儿童必须理解被除数被分成的子集 合数量越多，每个子集合中元素的数量越少。对于正整数来说，当除数保持不变 时，被除数越大，商就越大。当被除数保持不变，除数越大，商越小。 科雷亚等人( c o r r e a , n u n e s b r y a n t ，1 9 9 8 ) 在1 9 9 8 年进行了一项研究，试 图了解有效地平分是否可以作为儿童理解除法三个概念之间关系的保证。他们设 计了一系列实验，检验能够平分非连续量并且理解平分后的数量之间在基数上是 相等的那些儿童是不是同样理解除数与商之间的逆反关系。他们发现，尽管能够 成功地平分的儿童并不理解除法三个概念之间关系的两个原则。一个原则是相等 原则：被除数相等，除数相同，则商相等。只有2 3 的5 岁儿童意识到，如果两 次把相同数量的物体平分给相同数量的接受者，第二次每个接受者得到的数量和 第一次是相同的。另外的1 3 儿童不能理解这条相等的原则。这个结果颇令人惊 讶，因为当要求这些儿童只平分一次这些数量的时候，他们能够成功地平分并对 平分后的数量是否相等做出推测。第二个原则是除数与商之间的逆反关系。只有 5 0 的儿童意识到接受者数量越多，他们得到的数量越少。研究者改变了平分的 数量，在保证每个接受者得到的数量不变情况下，问儿童接受者数量有什么变化。 这就增加了问题的难度：只有1 5 的儿童的得分在机会分以上。这是一个负面的 研究结果：能够成功地平分不一定理解除法。 但是这些结果也可以是积极的：尽管年幼儿童没有接受过正规的除法教育， 多于6 0 的6 岁儿童，大部分7 岁的儿童意识到，如果平分的数量不变，接受者 数量越多，他们能得到的数量越少。在这个年龄段，大约一半的儿童意识到，平 分后每个接受者获得的数量越大，接受者的数量越少。有可能有关平分程序的知 识有利于儿童对于除法情境中三个概念之间关系的理解。 科雷亚( c o r r e a , 1 9 9 4 ) 在1 9 9 4 年的一个试验中考察了儿童的平分程序与儿 童对除数和商之间逆反关系理解之间的联系。实验被试为卜7 岁的两组儿童( 实 验组和控制组) ，两组儿童都被问到除数和商之间的逆反关系。控制组的儿童只 需回答关于接受者数量和得到的数量之间的关系的问题，实验组的儿童在回答问 6 题之前，允许动手操作，即平分。所有年龄段的实验组儿童对于除数与商之间逆 反关系的问题的表现要明显好于控制的儿童。因此，她得出这样的结论t 在解决 一个关于除数和商之间逆反关系的非运算的、逻辑的问题时，允许平分的操作过 程可以提高儿童的表现。索菲安等人( s o p h i a n ，g a r y a n t e s & c h a n g , 1 9 9 7 ) 修改 了这个研究任务和平分的程序，但是得出了相同的结果。他们要求儿童在回答问 题之后再动手平分，这样平分就可以作为几章回答的反馈。在他们的数据分析中， 他们对儿童在后面任务中的表现和之前的表现进行了比较，由于在之前的任务中 进行了平分操作，儿童在后面的任务中的表现很一致并有所提高。 从以上的文献中可以看出，以往的研究结果表明，在平分非连续量时，如果 允许实物操作，几章的表现会好于没有实务操作的表现。这似乎说明了，实物操 作的程序影响了儿童平分能力的发展。这些数据可以为我们理解程序性知识和概 念性知识是如何联系的提供新的视角，因为儿童在平分非连续量的任务上很成 功，但是在平分连续量的任务上表现很差。因此，有必要研究儿童是否能够把他 们在非连续量的任务中获得的有关除法原则的知识运用到连续量的任务中来。当 他们不能有效地平分的时候，是不是能把在非连续量中获得的对原则的理解迁移 到连续量上来。 二、对儿童平分连续量相关研究 对现有的文献进行分析发现，研究儿童的平分都基于两种情境：非连续量和 连续量。非连续量是指多个独立分开的个体，比如说1 2 颗纽扣，2 4 个苹果等。连 续量则是指一个连续性的整体，如1 根巧克力棒，一个蛋糕等。布瑞腾等人( b r i t t o n & b a r b a r a l ，2 0 0 7 ) 指出存在三种模式：面积、长度、组合；帕萨等人( p a s s a n t i n a & b a i l e y , 1 9 9 7 ) 同样指出存在三种模式：面积模式、线条模式、复合模式( 转引 自张新华，2 0 0 8 ) 。 以上的一系列研究针对的都是儿童对于非连续量的平分能力，下面将对儿童 平分连续量的相关研究进行梳理。 很多研究结果显示，4 - 5 岁的儿童能够有效地平分非连续量并得到相等的数 量( d a v i s & h u n t i n g , 1 9 9 0 ) ，但是在平分连续量的任务上表现很差。因此，有必 要研究儿童是否能够把他们在非连续量的任务中获得的除法原则的知识运用到 连续量的任务中来。当他们不能有效地平分的时候，是不是能把在非连续量中获 得的对原则的理解迁移到连续量上来。 7 很多研究表明，儿童在平分连续量时存在很大问题。皮亚杰等人( p i a g e t ， i n h e l d e r s z e m i n s k a ，1 9 6 0 ) 在1 9 6 0 年的实验中要求儿童把圆形的和j 下方形的 “蛋糕”( 用纸来代替) 平分给2 、3 、4 、5 个玩具娃娃。他们发现儿童在尝试之 后能够将正方形平分成2 份。在分成三份的任务中，大部分儿童所犯的错误是， 他们认为必须要将正方形切三次，这样每个玩具娃娃都可以获得一份。但是这样 的分法就会剩下一块，儿童对待这块剩下的正方形有两种做法，一是继续切，然 后再分；二是放在一边不去管它，这两种做法都是除不尽的。在分成5 份的任务 中，儿童也表现出相似的困难。 对早期分数概念的一系列研究也得出了相似的结论。亨廷( h u n t i n g ，1 9 8 3 ) 指出，3 4 岁的儿童已经表现出对相对复杂的整体与部分的关系的理解能力。 早起分数的原始概念来自于分东西的早期的生活经验，分饼干、切西瓜等，分割 物体对儿童来说是一个关键的经验来源( 张新华，2 0 0 8 ) 。亨廷等人( h u n t i n g s h a r p l e y , 1 9 8 8 ) 指出，4 _ 7 岁的儿童能够分切圆形的蛋糕给不同数量的布娃娃， 这说明儿童在进入小学之前已经能独自处理与连续量有关的问题。亨廷等人的研 究选取了2 2 个来自日托中心的低收入家庭的幼儿，年龄从3 岁1 0 个月到4 岁 1 0 个月。这些儿童要将方形的布、圆形蛋糕、绳索、容积、纸杯形蛋糕、香肠 六个物体分别分给2 、3 、4 个布娃娃。研究结果表明，7 名儿章能j 下确的平分 方形布，但是没有折叠一类的预期动作；1 个儿童j 下确地解决了三个布娃娃的 问题：1 4 名儿童采用一直分下去，直到分到最后为止的方法来平分圆形蛋糕；6 名儿童采用大约的分割方法来分割香肠，采用重复分割方法的儿童有4 名，1 2 名儿童把香肠分成小的块数，然后，再分给各个娃娃。 我国台湾学者许慧欣( 1 9 9 8 ) 指出，大班幼儿分割连续量的能力存在一定差 异：无法全部答对2 份分割问题的幼儿占2 1 7 17 5 8 的儿童能够答对全部2 份分割问题，却不能答对全部4 份分割问题，答对全部2 份分割与4 份分割问题 的幼儿只占2 5 。而且，按照分割份数的不同，儿童的表现也存在差别，儿童 的表现由高到低排序依次为：二份、四份、三份。 平分非连续量时，能够采用“一个给你，一个给我 的程序。与之相比，平 分连续量时，不存在这样的程序，在平分之前，儿童要预期自己要做什么。然而， 儿童似乎缺少预期的图式和检验的程序，而这两者对于有效地平分连续量是很重 要的( h u n t i n g s h a r p l e y , 1 9 8 8 ；m i l l e r , 1 9 8 4 ) 。恩普森( e m p s o n ，1 9 9 9 ) 指出， 如果不是将连续量分成两份或者重复的两份，6 岁儿童在分割连续量时也存在困 8 难。在测试的1 5 个儿童中，只有4 个可以解释他们是怎么将2 根糖果棒平分给 3 个儿童的。这些儿童解释说，可以把第一根糖果棒分成三份，然后分给三个人， 再把第二根分成三份，分给三个人。尽管他们在实际操作上可能不一定成功，也 没有使用正确的分数表达( - - 分之一) ，但是他们有一种预期的图式，使得他们 能够说明如何平分。剩下的9 个儿童( 6 0 ) 把糖果棒分成了两份或者四份，但 是还有剩余，1 个儿童使用了图符来表示分割后的每一份，3 个儿童没有解决这 个问题。因此，恩普森验证了皮亚杰1 9 6 0 年的发现，即儿童不能像平分非连续 量时，通过简单的“一个给你、一个给我”的平分过程来平分连续量，儿童必须 在预期的图式中协调接受者的数量以及每个接受者得到的数量。 对儿童平分连续量的文献中可以看出，儿童能够成功地平分非连续量，但是 平分连续量时却遇到很大的困难。如果说是平分非连续量的程序支持了儿童对于 除法中逻辑关系的理解，当被除数是非连续量时，5 7 岁的儿童能够理解除法 中的逻辑关系，他们是不是能够运用相同的逻辑来解决被除数是连续量的任务 昵? 答案是否定的。儿童不能采用“一个给你、一个给我 的平分程序在平分连 续量的任务中获得成功，所以我们不得不重新审视“程序 对儿童平分能力的影 响，不能单纯地认为就是“程序 影响了儿童的平分表现。 三、平分策略的相关研究 儿童在平分不同类型的材料时的表现水平是不同的。有研究表明5 7 岁儿 童分三种材料( 连续、分离、复合) 给他的两个或者三个朋友时，复合材料的成 绩是最不好的( 转引自张新华，2 0 0 8 ) 。林福来等人( 林福来，黄敏晃，1 9 9 3 ) 1 9 9 3 年的研究中有这样一个案例：研究人员向一名二年级的男生出示4 块正方 形积木、2 块长方形积木和2 块三角形积木，要求他拿出其中的一半，结果这名 男生拿出4 块正方形积木，认为这就是一半。这个研究显示，儿童只注意到要分 成的二堆中物体个数的相等，但忽略了两堆中物体的量的相等。也有研究显示， 大部分的儿童在平分分数板时，只注意数板分割成的块数，而忽视了分割后的每 一块数板的大小是否相等( b e r g e r o n & h e r s e o v i c s ，1 9 8 7 ) 。弗赖登塔尔 ( f r e u d e n t h a l ，1 9 8 3 ) 指出，儿童在判断分割后的部分是否相等时，也只是采取 视觉的估计或者简单的对折等直观的方式来判断，而不考虑量的相等。 在平分非连续量的策略方面，很多研究都表明3 岁的儿童就已经能通过一一 对应的方法进行平分( d e s f o r g e s & d e s