（基础数学专业论文）同态和导子的稳定性问题.pdf

本人郑重声明：此处所提交的硕士论文同态和导子的稳定性问题，是本人在导师 指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取得的成果论文中除注 明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：苏兰兰日期：乃扣多 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 同态和导子的稳定性问题系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期间，在导师指导 下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得 以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授 权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部 分内容 作者签名：积三兰日期；b fd 多岁 导师签名：j 群i j 于日期：知p 石- 2 曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 同态的稳定性问题最早是1 9 4 0 年s m u l a m 在w i s c o n s i n 大学的数学大会上提出的 1 9 4 1 年，d h h y e r s 在文【2 中考虑了逼近可加映射的情况：设研，易是b a n a c h 空间， f ：e l _ 砀为一个映射，满足不等式 f ( x 十y ) 一f ( x ) 一，( 可) 0 e ，妇，y e 1 则存在唯一的可加映射l ：e 1 _ 场满足i i f ( x ) 一l ( x ) l i e 并且妇e 1 ， t ( x ) ：l i n - - m * o o 掣z 帅 该结果没有考虑连续性，但若( t x ) 对每个固定的z e 1 关于实变量t 是连续的，则 l 是线性的；若，在单个属于蜀的点上是连续的，则l ：e 1 _ 马也是连续的1 9 7 8 年， t h m r a s s i a s 在文 1 1 1 中通过用( i p + i l y l l p ) ，p 【0 ，1 ) 控制c a u c h y 差将条件弱化，从而 成功的推广了h y e r s 定理后来许多数学家对各种多类泛函方程的稳定性进行了研究，得 到了一系列的成果这些稳定性的成果在随机分析、金融数学和精算数学等领域中均有应 用 本文分四章： 第一章研究了在c * - t e r n a r y 代数中c a u c h y - j e n s e n 泛函方程 c a f ( x , y , z ) ：2 f ( ，下a x + a y + a 2 、) 一a ，( 茁) 一入，( ) 一2 x f ( z ) 厶 ( v 入t 1 = p c ：ipl = 1 ) ，y ，名x ) 的同态的模糊稳定性 第二章研究了逼近二次同态问题，针对f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 f ( x ) + 2 f ( y ) 这个二次方程给出 了二次同态稳定性的一些定理及推论 第三章研究了在j c 。一代数中的n - j o r d a n 同态，针对c a u c h y j e n s e n 泛函方程将j o r d a n 同态推广到n - j o r d a n 同态并研究了其稳定性 第四章研究了在l i ec 代数中的n - l i e 同态和n - l i e 导子，针对c a u c h y - j e n s e n 泛函 方程分别讨论了它们的稳定性 关键词：h y e r s - u l a m r a s s i a s 稳定性；c a u c h y - j e n s e n 泛函方程；c + t e r n a r y 代数；二次泛函 方程；b a n a c h 代数；j c + 代数；l i ec 代数 a b s tr a c t i n1 9 4 0 ，s m u l a m 【1 】g a v eat a l kb e f o r et h em a t h e m a t i c sc l u bo ft h eu n i v e r s i t yo f w i s c o 璐i ni nw h i c hh ed i s c u s s e dt h es t a b i l i t yo fh o m o m o r p h i s m s i n1 9 4 1 ，d h h y e r s 【2 】c o n s i d e r e dt h ec a s eo fa p p r o x i m a t e l ya d d i t i v em a p p i n g s ，：西易b e t w e e nb a n a c h s p a c e sw h e nfs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t y i i f ( x + y ) 一f ( x ) 一f ( y ) l l e f o ra l lx , y 毋i tw a ss h o w nt h a tt h e r ei sau n i q u ea d d i t i v em a p p i n gls a t i s f y i n g l i f ( x ) 一l ( x ) j i el i m i ta n dl i sg i v e nb y 砸) = 恶掣，比叫 n oc o n t i n u i t yc o n d i t i o n sa r er e q u i r e df o rt h i sr e s u l t ，b u ti ff ( t x ) i sc o n t i n u o u si nt h e r e “v a 面a b l etf 研e 础f i x e dz e 1 ，t h e nl i sl i n e a r ；i ffi sc o n t i n u o u sa tas i n g l ep o i n to f 毋，t h e nl ：毋一e 2i sa l s oc o n t i n u o u s 1 9 7 8 ，t h m r a s s i a s 1 1 】s u c c e e d e di ne x t e n d - i n gt h er e s u l to fh y e r s t h e o r e mb yw e a k e n i n gt h ec o n d i t i o nf o rt h ec a u c h yd i f f e r e n c e c o n t r o l l e db y ( 蚓i p + i l y l l p ) ，p 【0 ，1 ) t ob eu n b o u n d e d l a t e r ，m a n ym a t h e m a t i c i a n s h a c o n s i d e r e dt h es t a b i l i t yo fd i f f e r e n tk i n d so ff u n c t i o n a le q u a t i o n s t h e s er e s u l t s h a v e a p p l i c a t i o n si nr a n d o ma n a l y s i s ，f i n a n c i a lm a t h e m a t i c sa n da c t u a r i a lm a t h e m a t i c s t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s ： t h ef i r s tc h a p t e ri n v e s t i g a t e sf u z z yh o m o m o r p h i s m ss t a b i l i t yo ft h ef o l l o w i n gc a u c h y - j e n s e nf u n c t i o n a le q u a t i o ni nac 一t e r n a r ya l g e b r a 2 f ( ，垒学+ 入0 ：入m ) - i - a f ( y ) a - 2 ，k f ( z ) ， 4 f o ra l la t 1 = p c ：ipi = 1 ) a n df o ra l lz ，y ，z x t h es e c o n dc h a p t e rs t u d i e st h es t a b i h t yo fa p p r o x i m a t eq u a d r a t i ch o m o m o r p h i s m s a b o u tt h eq u a d r a t i cf u n c t i o n a le q u a t i o n ，( z + 可) + ，( z y ) = 2 f ( x ) 4 - 2 f ( y ) a n dw eg i v es o m et h e o r e m sa n dc o r o l l a r i e s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d yt h en - j o r d a nh o m o m o r p h i s m so ft h ec a u c h y - j e n s e n f u n c t i o n a le q u a t i o no nj c 。a l g e b r a t h e nw es u c c e e di ne x t e n d i n gt h er e s u l to fj o r d a n h o m o m o r p h i s m s u 1 1 1 第一章c ，c t e r n a r y 代数中的同态的模糊稳定性 1 1引言和预备知识 1 9 4 0 年，s m u l a m 在w i s c o n s i n 大学的数学大会上作报告，在文 1 】中提出一些尚未解 决的问题其中包括以下关于同态的稳定性问题 设( g 1 ，) 是群，( g 2 ，车) 是度量群，具有度量d ( ，- ) 给定e 0 ，必存在6 0 使得如 果映射h ：g 1 一g 2 满足不等式d ( h ( x 秒) ，h ( x ) 木九( 秒) ) 0 ，则称 z n ) 收敛到z ，z 是_ ) 的极限，记为n l i m x n = z n _ 0 0 定义1 1 5 在x 中序列 z n ) 称为c a u c h y 列，如果对每个 0 和t 0 存在n o 是得 v n n o ，p 0 ，有n ( x t l + p z n ，t ) 1 一e 众所周知，在模糊赋范空间中的每个收敛列是c a u c h y 列如果模糊赋范空间x 中每 个c a u c h y 列是收敛的，则称模糊范数是完备的，并称x 为一个模糊b a n a c h 空间 定义1 1 6 按照文 7 】，具有三元运算【j ，】：gx gxg _ g 的非空集合g 被称为三元群 组，记作：( g ，【 ，1 ) 三元群组( g ，【7 ，】) 是交换的，如果【：g l ，x 2 ，x 3 】= z 盯( 1 ) ，z 口( 2 ) ，z 仃( 3 ) 】， 坛1 ，z 2 ，z 3 g ，盯为1 ，2 ，3 所有置换 如果定义在g 上的二元运算o ，使得 z ，y ，纠= oy ) oz ，比，y ，z g ，则称 ，】由 。导出若运算 ，】是结合的，即对妇，y ，2 ，“，秽g ， f k ，y ，z 】，乱，v 】= 陋，陌，名，叫，钞】= 【z ，秒， z ，钆，叫】 成立，则称( g ，【，】) 是三元半群( 见【8 】) 2 叫 ， 一 0 仉上l ，ii-j、_iil 曲阜师范大学硕士学位论文 c 三元代数是b a n a c h 空间，记为a ，且具有从a 3 到a 的三元积( z ，y ，z ) 叶ky ，刁， 其中对外变量是c 线性的，中间变量是共轭c 线性的，且具有结合律使得 【z ，y ，【z ，w ，叫】= z ， 伽，z ，可】，u 】= z ，y ，z 】，w ，钉】， 满足i i z ，y ，z l i l i = l i i l y l i i i z l i 和l ib ，z ，z 】| i = 忙1 1 3 ( s e e 【7 】， 9 】) 每个左h i l b e r tc 。一 模是c + - 三元代数，通过三元积陋，y ，z 】= ( z ，秒) z 若c 一三元代数( a ， 7 ，1 ) 有单位 元，i e ，元素e a 使得v x a ，z = p ，e ，e 】= 【e ，e ，z 1 ，且a 满足z oy = i x ，e ，y 】和 矿= e ，z ，e 】，则称a 为有单位元的c + 一代数相反的，若( a ，o ) 是有单位元的c 一代数， 则称 z ，y ，z 】= zoy oz 为a 到a 的c + 一三元代数 假设x 是复线性空间，( y ，n ) 是模糊b a n a c h 空间给定映射，：x _ y ，定义 a m 幽z ) = 2 ， t a x + a y + 入z ) 一矾z ) 一州沪2 州巩( 1 1 1 ) 其中v a t 1 = p c ：ipi = 1 ) ，v x ，y ，z x 引理1 1 7 1 4 1 设x 和y 是复线性空间若，：x _ y 是可加映射，使得v x x ， p t 1 = p c ：ipi = 1 ) ， ，( p z ) = p ，( z ) ， 则映射，是c - 线性的 证明因为，是可加映射，所以对v k n ，比x ， s ( k z ) = 七，( z ) 在( 1 1 2 ) 中令p = - 1 ，可得比x ， s ( - x ) = 一，( z ) 由( 1 1 3 ) 和( 1 1 4 ) 得，对v k z ，v z x ，( 七z ) = 七，( z ) 由 m y ( z ) = ，( 仇z ) = ，( 礼i m z ) = 佗，( 罢z ) ， 可得，( 等z ) = 等，( z ) 对于v a c ，比x ，可分为下列几种情况 情形一：当i 1 时，必存在m z ，使得i l 茜i i l ，再由情况一得 f ( a x ) = ，( m 面az ) = n 他) 综上所述，是c - 线性的 口 引理1 1 8 【1 3 】设x 和y 是复线性空间假设f ：x _ y 为一个映射，使得比，y ，z x ， a t 1 = 入c ：i 弘i = 1 ) ， a ，( z ，y ，z ) = 0 ( 1 1 5 ) 则映射，是c - 线性的 证明在( 1 1 5 ) 中，令x = y = z = 0 ，可得f ( o ) = 0 在( 1 1 5 ) 中，令z = 0 且用2 z ，2 可 分别代替z ，y ，则得v 入t 1 ，比，y x ， 2 f ( a x + 入可) 一a ( ，( 2 z ) + f ( 2 y ) ) = 0 ( 1 1 6 ) 在( 1 1 6 ) 中令z = y ，可得对v 入t 1 ，比x ，有f ( 2 a x ) = a f ( 2 x ) 故v a t 1 ， 比x ， f ( x z ) = 入，( z ) ( 1 1 7 ) 在( 1 1 5 ) 中令z = y = z ，再由( 1 1 7 ) ，可得 i x x ， f ( 2 x ) = 2 f ( x ) 下面证比，y x ， f ( x + y ) = f ( x ) + ，( 可) 在( 1 1 6 ) 中令入= 1 ，即得 ，( z + y ) = ，( z ) + ，( 秒) ， i x ，y x 再由引理( 1 1 8 ) 得映射，是c 一线性的 口 定义1 1 9 设a ，b 为b a n a c h 空间h ：a _ 曰为一个c 一线性映射若比，可，z a ， 日( z ，y ，z 】) = 日( z ) ，日( 可) ，日( z ) 】， 则称日为俨三元代数同态 4 曲阜师范大学硕士学位论文 1 2 主要内容 本节研究在c * - t e r n a r y 代数中关于c a u c h y - j e n s e n 泛函方程( 1 1 1 ) 的同态的模糊 稳定性 定理1 2 1 设x 是一个复线性空间，( z ，n ) 是一个模糊赋范空间，o t 是一个常数且0 0 ， n ( c a f ( x ，y ，z ) ，t ) ，( 妒( z ，y ，z ) ，) ， ( ，( z ，可，z 】) 一【，( z ) ，( 可) ，( z ) 】，s ) 7 ( 妒( z ，y ，z ) ，s ) 则存在唯一的伊一t e r n a r y 同态h ：x _ y 使得比x ， 0 ， 附圳圳刈( 警字，亡) 证明在( 1 2 3 ) 中令a = 1 ，z = y = z 可得比x ，v t 0 ， n ( 2 f ( 2 z ) 一4 f ( x ) ，t ) n 7 ( 妒( z ，z ，z ) ，t ) 对( 1 2 1 ) 利用归纳法得比x ，v t 0 ， ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) n o ( 2 n z ，2 n x ，2 n z ) ，t ) n o n 妒( z ，z ，z ) ，t ) ( 1 2 7 ) 在( 1 2 6 ) 中用2 n - l x 代替z ，再由( 1 2 7 ) ，则得比x ， 0 ， n ( 2 f ( 2 n z ) 一4 f ( 2 n 一1 z ) ，t ) n 7 ( q n 一1 妒( z ，z ，z ) ，亡) ( 1 2 8 ) 由( 1 2 8 ) 得 ( 掣一一f ( 2 n - l x ) ，两t ) 刈( 知忍吐丽t ) 因此，对v n 1 ，z x ，t 0 ， ( 掣一掣，( 扩t ) 刈( 知忍nt ) 5 - 邶_ ，( 矾蛇m ；n ( 砷) 一下f ( 2 n x ) ，主) ，( 掣叫吐料( 1 2 加) 在( 1 2 1 0 ) 中令n o 。，再由( 6 ) 得v x x ，v t 0 ， n ( h ( x ) 一，( z ) ，t ) ( 下f ( 2 n x ) 卅n 兰) ( 去妒c z ，z ，z ，南 圳( 掣 6 一 下面证日是c 一线性的由 ( a g ( x ，可，z ) ，) m i n 曲阜师范大学硕士学位论文 ( n 4 ) 得协，y ，z x ，耽 0 ， ( 2 日( 半批) 一 一入掣，吾) ，( 堋小 ) - 2 a f ( 善z ) - ，吾) ，( 刍a ， n f ( 2 忭 二一 ( 叁业2 + 入z ) ) c 2 n z ，2 n 可，2 n z ，言) c 1 2 1 1 ， 在( 1 2 i i ) 中令n _ o o ，且由( 1 2 2 ) 和( 1 2 3 ) ，可得比，y ，z x ，v t 0 ， ( a 日( z 幽巩t ) 一l i m ( 去a ，( 2 n z ，2 2 嘲，言) 恕7 ( 去、2 巩吾) = 1 故v a t 1 ，比，y ，z x ，c x h ( x ，y ，z ) = 0 由【1 0 】中的引理2 2 得h ：x _ x 是c 一线 性的由( 1 2 4 ) 得比，y ，z x ，v s 0 ， n ( 日( k ，y ，彳】) 一 日( z ) ，日( 可) ，日( z ) 】，8 ) ( 【日( z ) ，日( ! ，) ，日( z ) 】) n ( 2 3 竹( 川2 n z ，2 n ! ，2 n 掣，鼢3 2 他 l ，( 2 ，言) ) ( 1 2 1 2 ) 在( 1 2 1 2 ) 中令礼_ o o 且由( 1 2 2 ) ，得比，可，z x ，v 5 0 ， ( 日( 陋，可，z 1 ) 一【日( z ) ，日 ) ，日( z ) 】，8 ) l i mn ( 2 - 3 ( ，( 2 n z ，2 y ，2 n 2 1 ) 一【，( 2 n z ) ，f ( 2 n y ) ，( 2 竹z ) 】) ，三) l r t - - + o o、 o ， _ n l 。i mn 72 0 0一3 n 妒( 2 n z ，2 竹! ，2 n z ) ，言)n - ， = 1 因此比，y ，z x ， 日( 陋，y ，2 i ) = 日 ) ，日 ) ，日( z ) 】 现在，设h 7 ：a _ a 是另个满足( 1 2 5 ) 的c * - t e r n a r y 同态，则比x ， 0 ， ( 日( z ) 一日( 。) ，) = l i r a n - - - * o o ( 去( ，( 2 n z ) 一日7 ( 2 n z ) ) ， 、么 f1 l i mn 7f 三 ? t - - - * o o 2 n = 1 ， 7 、l-、 t 一5 、一5 们一 n 一住 2 2 八一 入 、， z 扛 虱 日 址 一 一 第一章在c * - t e r n a r y 代数中的同态的模糊稳定性 故日i x ) = 日( z ) ，即日具有唯性 口 推论1 2 2 设x 是具有”i | 的赋范空间，( ，y ) 是模糊b a n a c h 空间记为例1 1 2 假设0 0 ，p 1 ，0 a 0 ， w 埘杀 证明设妇，y ，z x ， 妒( z ，可，名) = o ( 1 l x l l p + i l y l l p + i i z l l p ) ， 由，的定义，则比，y ，名x ，耽 0 ， ( 2 z ，2 可，2 z ) ，亡) 2 鬲砸币而丽厕 再面币i x 万l l p 习i 丽i yi 再p 币两 一t + q 口( 1+ z l l p ) = 7 ( q 妒( z ，秒，z ) ，亡) ， 即满足( 1 2 1 ) ，l i mn ( 1 妒( 2 n x , 2 n y , 2 n z ) = n l 。i m 再丽两研茄习而= 1 ， 即满足( 1 2 2 ) 由定理1 2 1 ，可得存在唯一的c + - t e r n a r y 同态h ：x _ y ，使得x ， v t 0 ， w 叫圳刈( 每挈，z ) = 石 口 定理1 2 3 设x 是一个复线性空间，( z ，n 7 ) 是一个模糊赋范空间q 是一个常数且a 2 设妒：x 3 _ z 是一函数满足对v a ，b ，c x ， 0 ， 7 ( 妒( 兰，耋，三) ，) c 妒c 口，6 ，c ，q t ， 1 1 2 1 3 ) n 1 i m 。n 7 ( 2 n 妒( 刍，羞，云) ，t ) = 1 ( 1 2 1 4 ) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 设( y ，) 是模糊b a n a c h 空间且，：x y 是奇函数使得比，y ，z x ，v t ，s 0 ， n ( c a f ( x ，y ，z ) ，t ) n ( 妒( z ，y ，z ) ，) ， ( ，( 【z ，y ，z 】) 一【，( z ) ，( 可) ，( z ) 】，s ) n 7 ( 妒( z ，y ，z ) ，s ) ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) 则存在唯一的c 屯t e m n 阿同态日：x _ y 使得比x ，耽 0 ， w 叫蝴，( 絮掣，t ) ( 1 2 ) 证明在( 1 2 1 5 ) 中令入= 1 ，z = y = z 得比x ，v t 0 ， n ( 2 f ( 2 x ) 一4 f ( x ) ，t ) n 7 ( 妒( z ，2 7 ，z ) ，t ) ( 1 2 1 8 ) 对( 1 2 1 3 ) 利用归纳法得比x ，v t 0 ， 7 ( ；，羞，云) ，t ) 7 ( 妒( z ，z ，z ) , a n t ) ( 1 2 1 9 ) 在( 1 2 1 8 ) 中用素代替z ，再由( 1 2 1 9 ) 得比x ，v t 0 ， ( 2 ，( 刍) 一4 厂( 刍) ，亡) 2 沁( 叫，z ) ，扩亡) ( 1 2 2 0 ) 由( 1 2 2 0 ) 得 ( 2 ，( 嘉) 趔，( 云) , 2 n - 2 t ) ，( 去出 z ) , o t n - 2 t ) 因此，对v n 1 ，z x ，t 0 ， ，( 南) 趔堠) ，( 圹芒) o ( x , z , z h ) 故 ( 2 n 堠) 桫堠) ，k 妻。( 圹 = ( 知嘉，( 2 k ，( 毒) ( 嘉) ) ，七毫。( 兰) 2 刈( 去加，t ) 9 第一章在c 木一t e r n a r y 代数中的同态的模糊稳定性 所以v n m 0 ，z x ，t 0 ， ( 2 n ，( 云) 一2 m ，( 刍) ，t ) ( 去妒c z ，z ，z ，主南) c 1 2 2 1 ， 固定z x 在( 1 2 2 1 ) 中，由于 熙( 孑1 比，叩) s ) = 1 且墨o ( 鲁) n 收敛，可得 2 n f ( 署) 】在( k ) 中是c a u c h yo j 因为( k ) 是模糊b a n a c h 空间，所以存在一点h ( x ) y ，使得 2 n f ( 芳) ) 收敛于日( z ) 故定义日：x _ y 且 比a 日( z ) = - n l 。i m 2 n ，( 刍) n z ” 下面的证明与定理1 2 1 的证明类似 口 推论1 2 4 设x 是具有i i 的赋范空间，( ，y ) 是模糊b a n a c h 空间记n 7 为例1 1 2 假设0 0 ，p 1 ，o t ( 2 ，o o ) 且2 v 0 1 设，：x _ y 是一个奇函数，使得v x ，y ，z x ， v t ，s 0 ， n ( c y ( z ，可，z ) ，t ) n ( o ( 1 l x l l p + i 旧i | p + i i z l l p ) ，) ， ( ，( p ，y ，z 】) 一【，( z ) ， ) ，( z ) 】，s ) n 7 ( o ( 1 1 2 1 1 p + l 旧| i p + i i z i i p ) ，s ) 则存在唯一的c * - t e r n a r y 同态h ：x y 使得比x ，t 0 ， ( ，卅石 证明令比，y ，z x ， 妒( z ，y ，z ) = o ( 1 l x l l p + i p + i p ) 由7 的定义，得比，y ，z x ，v t 0 ， 7 ( 妒( 詈，互y ，主) ，t ) 。f ；1 厂( i 暖可歹j 三丽 两砜0i 所i 蒜而i i q t + ( z l l p + i i ”| i p + z i i p ) = ，( 妒( z ，y ，z ) ，q ) ， 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 则存在唯一的二次同态h ：a _ a 使得比a ， i i h ( z ) 一，( z ) | i 丢妒( z ，z ) ( 2 2 5 ) 证明在( 2 2 2 ) 中，令y = z 则得 1 f ( 2 x ) 一4 ，( z ) l | 妒2 ( z ，z ) ( 2 2 6 ) 在( 2 2 6 ) 中两边同除以4 可得比a ， i jf ( q 2 x ) 一，( z ) i i 丢妒2 ( z ，z ) ( 2 2 7 ) 利用归纳法得 i i 掣叫圳l 2 ，v e 0 假设妇，y a ， l i m 2n-*oo2 n 妒( 云，羞) = o二一二一， 对比，y a ，若 i f ( x y ) 一f ( x ) f ( y ) l i 妒( z ，可) ， l i f ( x + y ) + f ( x 一夕) 一2 f ( x ) 一2 ，( 可) i l e l l y l l p ( 2 2 2 0 ) 则f 是二次同态 证明在( 2 2 2 0 ) 中，令y = z ，则得比a ，e 0 ， 1 f ( 2 x ) 一2 2 f ( x ) i e l l x l l p ， 故f ( 2 x ) = 2 2 f ( x ) 利用归纳法得比a ，n n ， m ) - 2 2 几，( 云) 由定理2 2 5 ，定义映射h ：a _ a ， 日( z ) = 规2 2 竹，( 嘉) 是二次同态因此，由( 2 2 2 1 ) 得f = h 故，是二次同态 1 8 ( 2 2 2 1 ) 口 第三章j c * 代数中的n - j o r d a n 同态 3 1 预备知识 假设是有单位元e 的c 一代数且有范数l i i l 给定映射f ：_ ，定义 c a f ( 删纠- 2 ，( 半批) 叫叫锄化) 其中入t 1 = ( p c ：lpl = 1 ) ，z ，y ，z 定义3 1 2 设是有单位元e 的c + - 代数若对比，可衫，具有j o r d a n 积x o y = 兰垃2 则称为j o r d a nc + 一代数或j 9 一代数( 见【1 3 】) 定义3 1 3 设为j 9 一代数，h ：一为个c 一线性映射若对v a l ，a 2 ，a n 刃，h 浦是 h ( a loa 2o oa n ) = h ( a 1 ) oh ( a 2 ) 0 og ( a n ) 则日称为礼一j o r d a n 同态 3 2 主要内容 这一节主要研究在j c 一代数中关于c a u c h y - j e n s e n 泛函方程的n - j o r d a n 同态 定理3 2 1 设为j 伊一代数，妒：3 _ 【0 ，】，妒：n 一【0 ，】是泛函，使得 比，y ，z ，t , i ，i = 1 ，2 ，n ， 砸) = 薹刍妒( 2 r e x , 2 r e x , 2 r e x m ，l i m2 1 驯2 m x , 2 m y , 2 m z ) _ 0 ，( 3 2 1 ) o 骢去帅m ，2 仇引= o 假设f ：一满足v 入t 1 ，比，! ，z ，兢，i = 1 ，2 ，n ， c a f ( x ，y ，z ) l l 妒( z ，y ，z ) ， 1 9 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) m ) 一日( 刮i 去砸) ( 3 2 5 ) 证明在( 3 2 3 ) 中令z = y = z = 0 ，则得f ( o ) = 0 在( 3 2 3 ) 中令入= 1 ，z = y = z ，可 得比， 1 1 2 f ( 2 x ) 一4 ，( z ) i i 妒( z ，z ，z ) ( 3 2 6 ) 若在( 3 2 6 ) 中用2 r e x 代替z 且两边同除以2 m + 2 ，则得比，任意非负整数m ， 丽1 们m + l x ) 一刍m 吲恼两1 、2 、2 嘲 ( 3 2 7 ) 因此，v 囊，任意非负整数m k 0 ， 丽1 朋州z ) 一去坤硼：l l m 【而1 ，( 2 州z ) 一去，( 2 钏i 壹l | 嘉他m z ) 一面1 ，( 2 刎 去一i i 2 i - - z ，2 z ，2 z ) ( 3 2 8 ) 一4 勺7 一”一”一厂 r 由( 3 2 1 ) ，( 3 2 8 ) 知 嘉，( 2 m z ) ) 是c a u c h y 列，因为是完备的，所以 击f ( 2 m z ) ) 是收敛的故比，定义h ：_ 日( z ) 。熙亩，( 2 仇z ) m _ o oz 在( 3 2 8 ) 中令k = 0 ，m o 。，则得( 3 2 5 ) 由( 3 2 1 ) 知，v z ，y ，z ， 1 l l a h ( x ，y ，z ) i l = l i m 丧 1 e a f ( 2 m z ，2 m y ，2 m 2 ) l | l _ z 熙刍妒( 2 r e x , 2 m 可，2 m z ) = 0 故v 入 i f l ，v z ，y ，z ， g h ( x ，可，z ) = 0 曲阜师范大学硕士学位论文 由【1 3 中引理2 2 知h ：一是c - 线性的由( 3 2 2 ) 和( 3 2 4 ) ，得妇1 ，z 2 ，z n 盛 1 i h ( x lox 2o o2 7 n ) 一h ( x 1 ) oh ( z 2 ) o oh ( x n ) l i d 2 3 氅刍i i f ( 2 m z 。2 r e x 2 o o2 m z n ) 一f ( 2 m x l ) 。f ( 2 m x 2 ) 。伸m z 亿) 怯 恕而1 妒( 2 m z l ，2 m z 2 ，2 m 2 7 n ) ：0 因此，v z l ，x 2 ， h ( 2 7 10x 20 0 ) 2h ( x 1 ) oh ( x 2 ) o 0h ( x n ) ， 故h ：_ 是n - j o r d a n 同态 现在，令q ：_ 是另一个n