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第二类v o l t e r r a 型积分方程的解的表示和唯一性 等相关问题 基础数学专业 研究生杨明明指导教师杨丕文( 教授) 论文摘要：本文主要论述了第二类v o l t e r r a 型积分方程的解的表示和唯一 性等相关问题 本文分为两部分， 第一章是背景知识主要综述了积分方程的历史和来源，举例说明了微分 方程可以转化为积分方程，给出了相关的概念和定义，并且给出了在文【1 7 】中 介绍的用逐次逼近法解第二类f r e d h o l m 型积分方程和解的存在性和唯一性定 理1 3 节简单介绍了在c a u c h y 主值意义下的奇异积分方程 第二章在1 2 节的基础上，受到文【3 的启发，我们用与讨论第二类 f r e d h o l m 型积分方程类似的方法，研究了第二类v o l t e r r a 型积分方程的逐次迫 近法，在核是非奇性核和弱奇性核的情况，研究了解的存在性和唯一性，定义 它的迭核和解核j 给出了具体求解第二类v o l t e r r a 型积分方程的例子，并且证 明了它的解核的唯一性，给出了相关的性质最后对v o l t e r r a 型积分方程组的 情形做了简单介绍 关键词：积分方程；f r e d h o l m 型积分方程；v o l t e r r a 型积分方程；解核 第i 页共3 7 页 t h er e p r e s e n t a t i o na n dt h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o no ft h e v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o no ft h es e c o n dk i n da n dt h er e l a t e d p r o b l e m s p u r em a t h m a t i c s w r i t e r ：y a n gm i n g m i n g s u p e r v i s e r ：y a n gp i w e n a b s t r a c t ：t h i sp a p e r m a i n l y d i s c u s s e st h e r e p r e s e n t a t i o na n d t h e u n i q u e n e s so ft h es o l u t i o no ft h ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o no ft h es e c o n dk i n d a n dt h er e l a t e dp r o b l e m s t h i sp a p e rc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，t “sp a p e rs u m m a r i z e st h eh i s t o r ya n dt h es o u s eo ft h e i m e g r a le q u a t i o n s ，a n de x p l a i n st h et r a n s f o r m a t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o nt o i m e g r a le q u a t i o n , a n dg i v e ss o m er e l a t e dd e f i n i t i o n sa n dc o n e e d t s t h e s u c c e s s i v ea p p r o x i m a t i o nm e t h o da n dt h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s st h e o r e m o ft h es o l u t i o no ft h ef r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o no ft h es e c o n dk i n di nf 17 1a l e a l s os h o w n t h es i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o nw i t hc a u c h yk e m e l i ss h o w e di nt h e l a s tp a r to ft h i sc h a p t e r i nc h a p t e rt w o ，s i m i l a rt o 3 ，t h es u c c e s s i v ea p p r o x i m a t i o nm e t h o do ft h e s o l u t i o no ft h ev o l t e r r ai n t e g r a l e q u a t i o no ft h es e c o n dk i n di ss t u d i e d t h e d e f i n i t i o no ft h ek e m e lo ft h ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n so ft h es e c o n dk i n di s o b t a i n e d t h ee x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s st h e o r e mo ft h es o l u t i o no ft h e v o l t e r r ai n t e g r a l e q u a t i o no ft h es e c o n dk i n d w i t hn o n w e a k l ya n dw e a k l y s i n g u l a rk e m e l i si n t r o d u c e d s o m eo ft h em a i np r o p e r t i e sa l ed e r i v e d a tl a s t s y s t e m so ft h ev o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n sa r es i m p l yi n t r o d u c e d k e yw o r d s ：i n t e g r a le q u a t i o n s ；f r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o n ；v o l t e r r a i n t e g r a le q u a t i o n ；k e r n e l 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师 扬丕塞 指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而弓 起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有 学位论文的部分使用权a p 1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版 和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检索： 2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位 论文作为资料在图书馆、荧料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全 文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 栖明坍 签字日期：伽p 年千月8 e l 导师签名： 辇字目勘解年月弘 j l “一 日i j 吾 数学作为现实世界的数量关系和空间形式的科学，它的发展历史可以说和 人类自身的发展历史一样长初等数学以静止的观点在数学的发展历史中占有 重要的地位，其代表是欧氏几何以严密的逻辑推理和极强的实用性一直受到 世人的称赞本世纪初在中国北京召开的世界数学家大会就以勾股定理作为会 徽，由此就可以看出它的重要性法国数学家笛卡尔引入了平面直角坐标系的 概念，以后数学由静止的观点转换为运动的观点，数学也由初等数学完成了向 高等数学的过渡，一些重要思想深刻地影响了数学的发展n e w t o n 和l e i b n i t z 各自独立完成了微积分的奠基工作，l e i b n i t z 注重其外在形式的表达，n e w t o n 更 加注重实际运用，如第二运动定律：f - - m a 微分方程由此处开始而得到迅速发 展，与此相比，积分方程作为数学学科的一个分支，发展稍迟些，在十九世纪 三四十年代，才零星露面，有时候只是作为微分方程的另外一种阐述形式直 到十九世纪最后几年，才由瑞典数学家i f r e d h o l m 和意大利数学家v v o l t e r r a 成功地开创了两种类型线性积分方程理论的先河从此以后，这两类积分方程 就以他们的名字命名，积分方程也就成为数学分析方面的一个重要方向，不少 数学家致力于这个方向的研究，做出了各种创造性的推广。应用也随之大量涌 现v o l t e r r a 在f r e d h o l m 对第二类f r e d h o l m 型积分方程进行研究前的18 9 6 18 9 7 年，就从讨论某个生态平衡问题出发，首先提出并开始系统研究积分上限可变 的积分方程，即后来以他名字命名的v o l t e r r a 积分方程一般认为v o l t e r r a 在 1 8 8 4 年至1 8 9 6 年所做的工作和f r e d h o l m 在1 9 0 0 年到1 9 0 3 年所做的工作，奠 定了积分方程的基础伟大的数学家h i l b e r t 和s c h m i t 也对积分方程的发展做 出了巨大的贡献2 0 世纪4 、5 0 年代，在前苏联格鲁吉亚学派的推动下，奇异积 分方程得到了极大的发展 微分方程可以转化为积分方程转化以后，其初值条件自动满足，形式十 分简洁，能够更方便和更美观地讨论解的存在性和唯一性这样就不需要求出 所有的微分方程的解，再利用定解条件来确定最终的解，而是形式紧凑地把方 程与定解条件写在了一个积分方程当中，使讨论数学问题更加容易区域上的 微分方程化为积分方程后，降低了维数，缩短了计算时间，节省了费用还有 一些反映扩散现象的物理问题，比如说中子的迁移理论，不可以用微分方程来 表示，就只能用积分方程来解决它以上等很多方面都是积分方程这种数学工 具突出的优点 随着电子计算机技术的同新月异的发展，积分方程已经广泛地应用到自然 科学的几乎所有方面现代生物、中医、经济、博弈论等学科中都渗透了积分 方程的应用，可见其应用面之广它在传统的物理科学，如力学、热学、电 第1 页共3 7 页毕业论文 前言 磁学、量子理论中的应用更加广泛 本文分为两部分 第一章是背景知识，主要综述了积分方程的历史和来源，举例说明了微分 方程可以转化为积分方程，并且介绍了导出积分方程的一个生活中间的实际 问题进一步给出了相关的概念和定义，并且给出了在文 1 7 中介绍的用逐次 逼近法解第二类f r e h o l m 型积分方程和解的存在性和唯一性定理由于奇异积 分方程经常在物理和数学中用到，在1 3 节简单介绍了在c a u c h y 主值意义下 的奇异积分方程，由于篇幅限制，关于详细的结论可参考文献 2 ，4 第二章在1 2 节的基础上，受到文 3 的启发，我们用与讨论第二类 f r e h o l m 型积分方程类似的方法。研究了第二类v o l t e r r a 型积分方程的逐次迫 近法，在核是非奇性核和弱奇性核的情况，研究了解的存在性和唯一性，定义 它的迭核和解核，给出了具体求解第二类v o l t e r r a 型积分方程的例子，并且证 明了它的解核的唯一性，给出了相关的性质最后对v o l t e r r a 型积分方程组的 情形做了简单介绍 第2 页共3 7 页毕业论文 第一章背景知识 1 1 积分方程的历史与来源 积分方程是现代数学的重要组成部分，微分方程、计算数学、随机分析、 近代泛函分析都与之有密切联系 1 7 8 2 年，l a p l a c e 提出积分变换 f ( x ) = 【p 啊。烈) ，) 咖 1 8 2 2 年，f o u r i e r 指出， 厅。 烈j ) 。昙点8 i n x y f ( x ) 出 是 的解相似的 是 的解其中f ( x ) 是己知函数，烈y ) 是未知函数 k l e i n 认为，首先正确认识和应用，以及求解积分方程的数学家是a b e l 参 考文 1 8 】 a b e l 在研究力学的时候，提出了a b e l 方程 r 器妒压m ) 在18 2 3 年，a b e l 指出 巾) 2 擎一罢d tdfa等ts r 出万 f 一 ” 是a b e l 积分方程 第3 页共3 7 页毕业论文 咖 叼 啪 坳 坝 肭 y 略 叹 烈 钟 咖 卜 州 妣压呖 。， 卜 后 删 镛 舯 第一章背景知识 g ( s ) = i 去d t ，( 0 口 o ) p ( t ) 表示在时间区间0 0 使得 r ) 1 2 d x = d 2 核k ( x ，s ) 关于x ，s 平方绝对可积，即 r 肚( 圳。d x d s = b 2 其中胗。 而且绝对值平方关于单变量积分是有界的，即 f ，k ( x ，s ) 1 2 d s 0 第9 页共3 7 页毕业论文 第一章背景知识 应用逐次迫近法得剑近似解 纸( x ) = ( x ) + 芝五”r 如( 五s 矿( s ) 出 当刀一o o 的极限函数是 烈x ) = 厂( x ) + 五”f k ( 邵矿( s ) a s 已经得到结论：当h 土b 时一致收敛，所以给了出方程的解具体可参考 文 3 特别地，设k ( x ，s ) 在a x ，s b 内连续，f ( x ) 在口x b 内连续，所以有 界。 i k ( x ，s ) i m ，i 厂( x ) i n ，m 和n 是正常数 文 1 7 中得到结论： 对于充分小的a ，h 面云鬲时也可以用逐次迫近法求解 本文在第二章叙述了第二类v o l t e r r a 型积分方程的逐次迫近法，在核是非 奇性核和弱奇性核的情况，研究了解的存在性和唯一性，定义了它的迭核和解 核，给出了具体求解第二类v o l t e r r a 积分方程的例子，并且证明了它的解核的 唯一性 1 3 奇异积分方程的简单介绍 积分区间是无限或者在积分的区间上的核是无界函数的的积分方程就 称为奇异积分方程比如 三f 盟如：饨) 7 1 - i f f o 一。 始m 胁咖。t 孚出叫r ) 第1 0 页共3 7 页 毕业论文 第一章背景知识 厅。 二ls i n ( x t ) ( o ( t ) d t = 妒( x ) y 万砌 都是奇异积分方程 几乎在二十世纪早期，也就是在和f r e d h o l m 型积分方程的理论形成的同 一时期，一维的奇异积分方程的理论也建立了起来在1 8 7 3 年，俄国数学家 s o k h o t s k i i 就开始讨论这种方程，在研究潮汐理论的时候，法国数学家p i o n c a r e 导出了奇异积分方程在研究解析函数的边值问题的时候，德国数学家希尔伯 特也导出了奇异积分方程最早对一维的奇异积分方程解的理论进行系统的 研究的是德国数学家n o e t h e r 在1 9 2 1 年进行的，他后来提出了著名的n o e t h e r 三大定理。这样就为奇异积分方程的理论铺起了坚实的基础在二十世纪四十 年代以后，奇异积分方程在静电学、弹性力学、工程学、电磁学，复变函数理 论等方面的广泛应用，使其得到非常繁荣的发展 一般来讲，通常是指带有柯西核的情形，它的一般形式是 k 缈- - - a ( r ) 纵r ) + 掣f 粤d 甜f 。k ( t ，咖( 砒f = 们) ( 1 1 0 ) 方程的系数是口( ，) 和6 ( f ) ，已知的函数是七( f ，f ) 和f ( t ) ，未知的函数是烈f ) 流体力学、静电学、弹性力学、工程学、空气动力学、潮汐理论等都可以 最终归结到奇异积分方程( 1 1 0 ) ，现在一维奇异积分方程的理论已经非常完 整，是解决数学、物理等学多学科问题的重要工具，已经发挥出它的巨大作用 德国数学家索霍茨基、法国数学家庞加莱和德国数学家希尔伯特，以及前苏联 的数学家h m 穆斯海里什维里都对奇异积分方程的理论作出过重大贡献 f 1 2 1 定义1 3 1设厂( f ) 定义在光滑曲线三上，对任意，f “l ，恒有 f ( t ) - f ( t ”) f al ，一f ”l 口0 c r l ，a 、口是常数 就称厂( f ) 在上满足o l 阶h o l d e r 连续条件记为 f ( t ) h 口( 工) 定义1 3 2设l 是平面上一条光滑的j o r d a n 曲线。 即) = 芴1l 尝沈 ( 1 第1 1 页共3 7 页毕业论文 第一章背景知识 称为以f ( t ) 为密度的c a u c h y 型积分 我们考虑当z 趋近于l 上一点乇时，f ( z ) 的极限问题，也就是c a u c h y 积 分的边界值问题但是一般来讲在f 。处，积分l 警折是发散的为此，可以 类比实函数定义积分主值的方法来定义c a u c h y 积分主值 定义1 3 3 一设气是的一个内点，以t o 为圆心，为半径作圆，交三于 f ，t ”，用y 表示曲线在圆内的弧如果极限 存在，就定义 娥，h 等出 ，t 等衍2 娥，等以 为积分l 丢譬折在点的主值 研究c a u c h y 型积分 壶，。璺d f 的边界的性质x 寸；b - 程( 1 1 0 ) 的解决起了关键作用 定义1 3 4 【16 1 脚兰脯) + 等j 。等加巾) ( 1 - 1 2 ) 称为( 1 1 0 ) 对应的特征方程 定义1 3 5 6 1g ( r ) 是连续函数，且不为零，是简单有向光滑闭曲线，整 数 r 2 - 去x a r gg ( ，) 】c 定义为g 的指标，记作 第1 2 页共3 7 页毕业论文 第一章背景知识 i c = i n d g ( t ) 】 表达式中【l 的含义是当f 沿曲线正向周后，括号里面函数的增量 由定义，我们把 r = 斗揣l 称为方程( 1 1 0 ) 的指标 求解特征方程( 1 1 2 ) 可以借助r i e m a n n 边值问题的求解 定理1 3 1 一设是一条光滑的j o r d a n 闭曲线，分平面成d + 和d 一两个 区域，d + 是内部区域，d 一是外部区域，厂( f ) h 口( ) ，o 口 1 ，t el 用 f + ( ，) 表示当z 从d + 趋近于f 时，c a u c h y 型积分( 1 - 11 ) 的极限值用f 一( f ) 表 示当：从d 一趋近于f 时，c a u c h y 型积分( 1 1 1 ) 的极限值，则成立下面的 p l e m e l j s o k h o t s k i i 公式： 或 lf + ( f ) 一f 一( f ) = 厂( f ) h w ，= 舢等d f “。1 4 值得注意的是，以上的理论是在复数域上建立的如何将这二维的理论推 广到高维的空间，使其在数学和物理研究中发挥更大的作用，有不少学者从事 了这方面的工作杨丕文教授在c 2 空间中定义了c a u c h y 型积分，建立了高维 的p l e m e l j s o k h o t s k i i 公式等数学理论具体内容可以参考文 8 下面简单介绍如何把特征方程( 1 1 2 ) 转化为解析函数的边值问题 设是一条光滑的j o r d a n 闭曲线，正向使有限区域总在的左侧，原点在 第1 3 页共3 7 页毕业论文 ， ， 一2一2 产b 产b d d 塑。塑吖 厂一f一f 。一执。一撅 i i i i f f 第一章背景知识 有限区域内口( f ) + 6 ( r ) 0 ，口( r ) 、6 ( f ) 、厂( f ) h 口( ) ，r = i n d g ( t ) 】 令 盼筹t 篇t 口il 十d lj 引入分片解析函数o ( z ) ( z ) = 芴1l 盟t - - z j f ( 1 - 1 5 ) 由p l e m e l j s o k h o t s k i i 公式( 1 - 1 4 ) 得到 巾+ ( f ) 一m 一( r ) = 烈，) ( 1 1 6 ) 并且再设 舯菇 于是特征方程( 1 1 2 ) 转化为解析函数的r i e m a n n 边值问题 巾+ ( ，) = g ( f ) 一( ，) + g ( t ) ( 1 - 1 7 ) 这里要注意，( 1 1 5 ) 可以知道，( 1 17 ) 的解需要满足条件一( 一) = 0 这样( 1 1 7 ) 的解和( 1 1 2 ) 的解就对应了起来 综上所述，( 1 1 7 ) 的解代入( 1 1 6 ) 就得到( 1 1 2 ) 的解 对于特征方程( 1 1 2 ) 跏兰脚) + 等l 害咖们) 区别不同的指标情况，在文 1 6 中我们可以得到结论： ( 1 ) 当r 0 的时候，方程( 1 1 2 ) 在函数类h ( l ) 里可解( 对任意的自由项 厂( f ) 日( ) ) ，所有属于函数类h ( ) 的解表示为： 训们) 一学品胬m 枷必) 第1 4 页共3 7 页毕业论文 第一章背景知识 其中彳( r ) = 鼎；b ( r ) = 揣 一r 一腼唧鼬掣d 士 ，r _ ( f ) 是次数为r - 1 的任意多项式x ( 2 ) 当r 0 ，则齐次方程k o 妒= 0 恰好有j f 个线性无关的解 ( 2 ) 如果r 0 ，则齐次方程k o 缈= o 没有非零解 ( 3 ) 如果r 0 ，则非齐次方程k o 妒= 厂( f ) 对右边任意的自由项厂( f ) 都有解 ( 4 ) 如果r x 是恒等 于零，这时称它为v o l t e r r a 型方程因此v o l t e r r a 型第二类方程有以下形式： 烈x ) 一五f k ( x ，s ) 以s ) a s = 厂( x ) ( 2 1 ) 其中烈x ) 是未知函数，名是参数，自由项( x ) 是【以，b 上的平方绝对可积函数， 即有正常数d 存在，使得 r i m ) 1 2 d r = d 2 下面应用逐次迫近法解第二类v o l t e r r a 型积分方程为此先将方程写成下 面形式： 烈x ) = 厂( x ) + 五f k ( x ，s 为叹j ) d s ( 2 2 ) 然后将自由项厂( 工) 作为零次近似解 c o ( x ) = 厂( x ) 将编( x ) 代入方程( 2 2 ) 的右端，并且把结果作为一次近似解： 仍( x ) = 厂( x ) + 五f k ( x ，s ) ( s ) 凼 再将这一近似解代入( 2 2 ) 的右端，得到 仍( x ) = 厂( x ) + 彳r k ( 郴泐( s ) d s 依次类推，般地，若已得，z 次近似解饵( x ) ，则将这一近似解代入( 2 2 ) 的右 端，而取所得结果为刀+ 1 次近似解织+ 。( x ) 于是逐次迫近法由下面的递推关 系来确定： 纯+ 。( x ) = 厂( x ) + 五r k ( 邵概( s ) a s ( 2 - 3 ) 第1 6 页共3 7 页 毕业论文 第二章第二类v o i t e r r a 型积分方程 如果逐次迫近法所得到的一列近似解一致收敛于某极限，则这个极限函数 就是方程( 2 1 ) 的解如果极限不存在，则逐次迫近法失去意义 注意到递推公式( 2 3 ) ，我们有 记 上式又可以写成 仍( 戈) = 厂( x ) + 五f k ( x ，s ) 厂( s ) d s 仍( x ) = ( x ) + 五j ：k ( x ，s ) f ( s ) d s 一 + 五：ek ( 工，t ) d tfk(t，s)厂(s)凼a 瑚 f t k 2 ( x ，s ) 。j ：k ( x ，t ) x ( t ，s ) 出 仍( x ) = 厂( x ) + 五f k ( z ，s ( s ) 凼+ 五2r k ( 矗s ) 厂( s ) d s 依次类推，可以得到近似解织( z ) 的一般表达式： 纯( z ) 2 厂( x ) + 薹彳”r 疋如，s ) 厂( s 汹 ( 2 4 ) 其中k ( x ，s ) 由下面递推关系确定： k l ( 五s ) 2 k ( x ，s ) k ( x ，s ) 2i ，k ( x ，r ) k l ( f ，s ) d t m 。 如果近似解( 2 4 ) 是收敛的，则它的极限给出了方程( 2 1 ) 的解，并表示为以 下无穷级数的形式： 纵x ) = 厂( x ) + 五”r k ( ”v ( s ) d s ( 2 - 5 ) 其中前 项和就是识( x ) 我们也可以按下面的步骤求第二类v o l t e r r a 积分方程的解 设方程( 2 1 ) 的解存在且可展开为关于五的幂级数： 纵工) = i 甄( z ) + 奶( x ) 五+ 炊( x ) 旯2 + + ( x ) 五”+ 第1 7 页共3 7 页 毕业论文 第二章第二类v o l t e r r a 型积分方程 = ( x ) 名册 ( 2 - 6 ) m = 0 把( 2 6 ) 代入方程( 2 1 ) ，两端五的同次幂的系数该相等，得到 ( x ) = ( x ) ( x ) 2 上k ( x ，s ) c o ( s ) d s ( x ) 2 上k ( x ，s ) e 4 ( s ) d s ( x ) 2 上k ( x ，s ) e m t ( s ) d s ( 2 - 7 ) 于是，式( 2 6 ) ，( 2 7 ) 给出了方程( 2 1 ) 的解 当求得( x ) ，奶( x ) ，( x ) ，( x ) ，代入级数( 2 - 6 ) ，该级数对 任意五绝对收敛和一致收敛( 2 3 节证明) ，于是积分方程( 2 1 ) 对任意彳存 在唯一解，且由式( 2 - 6 ) 给出如前所述，而我们在对第二类f r e d h o l m 型积分 方程运用逐次迫近法时候彳并非任意而是必须满足一定条件时近似解才收敛 2 2 第二类v o l t e r r a 型积分方程的迭核和解核 与第二类f r e d h o l m 型积分方程一样，可以引入第二类v o l t e r r a 型积分方程 的迭核 由( 2 7 ) 甄( x ) = 厂( x ) 令 则 奶( x ) 2 上k ( 工，s ) c o ( s ) d s 2j ：k ( x ，s ) f ( s ) d s “ 一 致( x ) = r k ( ，) 奶( ，) 出= r k ( 五，) f k ( f ，s ) 厂( s ) 出 西 = f i r - , 圳m 渺k 灿 墨( 邵) = r k ( x ，t ) k ( t ，s ) a t 第1 8 页共3 7 页毕业论文 第二章第二类v o i t e r r a 型积分方程 ( x ) = f 叠( 郴) 厂( s ) a s ( x ) = j ：k 。( 五s ) f ( s ) d s ( 2 - 8 ) 式中 k m ( x ，s ) 2ik ( x ，r ) k l ( f ，j ) 出 ( 2 9 ) 定义2 2 1 k ( x ，s ) = f k ( x , r ) k l ( f ，s ) 坊称为第二类v o l t e r r a 型积分方程 ( 2 1 ) 的核k ( x ，s ) 的m 次迭核 在以上推导中要注意，按定义，当x x 时，积分号下第一个因子为零；而当f x ，则必有r x 或f s ，则积分号下函数仅当 s t x 时不等于零，这时有 k 2 ( 邵) 2 上k ( x ，t ) k ( t ，s ) d t 可以用数学归纳法证明对任意m 的情况，( 2 9 ) 式同样成立 下面给出第二类v o l t e r r a 型积分方程迭核的性质： 命题2 2 1 k ( x ，s ) = r 墨( 工，f ) 蚝一，( f ，s ) d t ， ( 2 1 0 ) 这里厂是小于聊的任意自然数 证明用一：( x ，s ) 来表示( 2 - 9 ) 中的核k 一。( x ，s ) ，代入( 2 9 ) 中，得到 p x k m ( x ，s ) 5 i 上k ( 石，f t ) k ( f ，如) 秭一2 ( 乙，s ) 出d t z 第1 9 页共3 7 页毕业论文 第二章第二类v o l t e r r a 型积分方程 核k 册一2 ( f ，s ) 又司以用k 一3 ( f ，s ) 表不，等等连续这样运算有限次以后，就叫以 得到表达式 k ( ”) - - f r k ( 蹦) k ( t l ，f 2 ) k ( t m _ , , s ) d t 。d t 2 丸一。 将对于t r 的积分提出，又注意到 卜f k ( x ，t i ) k ( t , ，乞) k ( o ) 幽d t r 一。= 群( x 一) 和 f k ( ，r ，f ，“) k ( t r 小o ：) k ( 乙h ，) 衍川一，= k 一，( t r ，s ) 有 。k o ( x ，s ) = f k ，( x ，) k 二一，( t r ，s ) d ，r 将r ，换成f ，得到( 2 1 0 ) 式 我们由式( 2 - 6 ) 和( 2 8 ) 可以得到： 烈x ) = 厂( x ) + n t = l 五”r 疋，( x ，s 矿( s ) 凼五” 2 m ) + 五r m = l k ( 郴矿( s ) 幽 = 厂( x ) + 五r r ( ”；力矿( s ) d s 定义2 2 2i 溅r ( x ，s ；允) = 2 ”1 疋，( x ，s ) 称为第二类v o l t e r r a 型积分方程 m = l 的解核 2 3 第二类v o i t e r r a 型积分方程解的存在唯一性 定理2 3 1 如果第二类v o l t e r r a 积分方程( 2 1 ) 的自由项是绝对可积的， 则对于一切值力，这个方程的近似解序列( 2 5 ) 是一致收敛的，它的极限函数 就是方程( 2 1 ) 的解 证明先证明有界核的情形 第2 0 页共3 7 页 毕业论文 第二章第二类v o l t e r r a 型积分方程 设 故 k ( x ，s ) i o ，x ，s e 口b 如( 圳= 旧卿，f ) 聊，s 胁i m 2 ( x s ) 州一碘瑚i 掣 下证对任意自然数聊2 有不等式 朋= 2 己证 假设m = ，z 时成立即 则m = , + 1 时， k m ( x , s ) m m 可( x _ s ) m - i 酏刮 等 m 肘1f x s 1 ” ，z ! 即所= 刀+ 1 时不等式( 2 1 1 ) 也成立 由数学归纳法知，对任意自然数m 2 ，迭核恒有不等式( 2 1 1 ) 再用b a 代替x s 得到 i x o ( x , 4 e r a 瓦( b 可- a 广) m - i 于是级数( 2 5 ) 的一般项的绝对值不超过 警胍) 陋( 所一1 ) ! 山卜，r 第2 l 页共3 7 页 ( 2 1 1 ) 毕业论文 d 咯 训 卜 o ，f、 刚 八 r 一： = m 一 、，一 s a 一万 ， _ r 掣而 c 第二章第二类v o l t e r r a 型积分方程 又己知( x ) 是绝对可积的，所以r i ( s ) b 是个有限数，故级数( 1 4 0 ) 对于任 意值彳是绝对收敛和一致收敛的这个级数给出方程( 1 1 ) 的解 如前所述，这个解可以通过解核写成如下形式： 钗x ) = 厂( x ) + 五f r ( x ，s ；五) 厂( s ) d s ( 2 1 2 ) 如果核k ( x ，s ) 是弱奇性核，即 2 等 式中1 日( x ，s ) i m ，m 是正常数，o 口 l ，口是常数 此时方程变为 一 州一五r 咎蛐洲姒删 下证对任意值名，级数( 2 5 ) 是绝对收敛和一致收敛的 首先，由1 日( 五s ) i m ，有 对于积分 k ( x ，s ) i = o 吣，g ) = 篇p 0 , q 0 r ( x ) = f e - 广1 d x 工 0 ( 6 一口) 卜? 一声f ( 1 - f 1 ) r ( 1 一口) r ( 2 - g - f 1 ) n k g i 墨( x ，s ) i m 2 ( x s ) 卜2 口 ； 圭葛 下面证明对任意自然数，z 2 有不等式 i 些蔫 ( 2 1 5 ) m = 2 己证 假设m = r l 时成立，即 s ) i 业篙妄型 则m = n + l 时由( 2 9 ) 和( 2 1 3 ) 得至0 i k + l ( 五s ) l _ | rk ( 刈) k ( 柚沙j 黜fi 1n t z 卜矿w 叫，l - 船出 k 一- j 一，-i ，一y l ，j ， ( 一 ) 、 7、7 第2 3 页共3 7 页毕业论文 第二章第二类、v b l t e r r a 型积分方程 阱邵，i 等等。型焉紫 m 肿1 f x s ) ”m 卅旭r 肿1 ( 1 一口) f ( n + l - ( n + 1 ) c r ) 由数学归纳法知，对任意自然数m 2 ，恒有不等式( 2 1 5 ) 成立 因为0 2 0 在式( 2 1 5 ) 中用6 一a 代替x - $ ，得到级数( 2 - 5 ) 的一般项 的绝对值小于 丝2m可mm(b-a)-m-打m口f(1-or)上(,)陋(216)mr ( 一聊口) 。 七1 由s t i r l i n g 公式 r ( p ) = 下p c - p + 南，o 秒 1 有 r ( m - m 口) = 志 r e ( 1 - a ) 删刊_ 州l _ c r l ( 1 - 刚舯 0 o m x 时，r ( x ，f ；五) = o 所以原方程的解是 烈工) = 厂( x ) + 五r r ( 工，t ；2 ) f ( t ) d t = 厂( x ) + 五f e ( x - 1 ) l a + 1l f ( t ) d t = 厂( x ) + 五【 下面证明第二类v o l t e r r a 积分方程的解是唯一的 引理2 3 1 ( 交换积分次序的d i r i c h l e t 公式) 区域d 由直线x - a ，y = 6 ，y = x ( a b ) 所围成，如果函数f ( x ，y ) 在区域 d 上可积，则 r 硝m ，y ) d x = r d x f f ( x , y ) d y 第2 6 页共3 7 页毕业论文 第二章第二类v o l t e r r a 型积分方程 y b o 口 6x 图2 3 1 证明如图2 3 1 ，根据公式左边的二重积分可知积分区域为d ： ：器，即 区域d 由直线x = a ，少= 6 ，y = x ( a b ) 所围成因此，可以表示积分区域为d ： ：兰将公式左边的二重积分改变积分次序，先对少再对石积分，得到公式右 边的二重积分所以 f 方肌x ，y ) d x = f ，办f ，似，y ) d y 定理2 3 2 第二类v o l t e r r a 型积分方程以x ) 一五厂k ( 五s m s ) 出= ( x ) 的解 是唯一的 证明方程 缈( x ) 一五厂k ( x ，s ( s ) 出= 厂( x ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 7 ) 的齐次方程是 纵工) 一五ik ( x ，s m s ) d s = 0 ( 2 1 8 ) 第2 7 页共3 7 页毕业论文 第二章第二类v o l t e r r a 型积分方程 只需要证明齐次方程( 2 1 8 ) 只有零解 否则设仍( x ) 和仍( x ) 都是方程( 2 1 7 ) 的解，且e l ( x ) 鲠( x ) ，有 仍( x ) 一五r k ( 五s 溉( s ) 西= 厂( x ) ( 2 1 9 ) 仍( x ) 一五r k ( 邵搬( s ) 凼= 厂( x ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 作差，得到 仍( x ) 一致( 石) - 2 f k ( x ，s ) 仍( x ) 一鲠( s ) 】出= o 而仍( 工) 一经( x ) 0 这与齐次方程只有零解矛盾 设w ( r ) 是齐次方程( 2 1 8 ) 的解，即州f ) 满足方程： w ( t ) 一彳ik ( t ，s ) w ( s ) d s = 0 而 w ( x ) = 名fk ( x ，t ) w ( t ) d t = 五2f 出 k ( x ，t ) k ( t ，s ) w ( s ) 出 由郴 由引理2 3 1 ，上式等于 名2fw ( s ) d sf k ( x ，t ) k ( t ，s ) a t = 五2f k ：( x ，f ) “s ) d s 这样递推下去，得到 以x ) = 五”r k ( x ，s ) w ( s ) 出 所以 1 w ( x ) - i 五l ”孙m 小a x 川i 疋，( x ，s ) | r l w ( s ) 陋 进一步 r i 以x ) 防h ”( 6 一口) ”m 印a x 6 j i k m ( x ，s ) i r l w ( x ) 胁 有 第2 8 页共3 7 页毕业论文 第二章第二类v o l t e r r a 型积分方程 1 一h ”( 6 一口) 震髓】l k ( 五s ) | r l w ( x ) 陬。 上式子左端括号内的项当聊足够大时候恒大于零，所以 f ) 陋= 0 即 证毕 以工) = o 2 4 解核的一般定义和解核的唯一性 定义2 4 1 如果对于一个值兄和任意自由项f ( x ) ，第二类v o l t e r r a 积分方 程有唯一解，且解可以由烈x ) = 厂( x ) + 五r r ( 五s ；五矿( 5 ) 凼表示，则称对于这已 知值五，第二类v o l t e r r a 积分方程有解核f ( x ，s ；2 ) 定理2 4 1 如果第二类v o l t e r r a 积分方程解核存在，则解核必是唯一的 证明设对于力= 凡，方程有两个解核：f i ( x ，s ；凡) 和r ：( x ，s ；矗) 因为当 五= 凡时，方程有唯一解，所以对任意的函数( 工) 有下列恒等式： 厂( x ) + 元r r ，( x ，s ；五) 旷( s ) d s = 厂( 石) + 五r r ( 工，s ；九) 厂 ) d s 记 u ( x ，s ) = r l ( x ，s ；磊) - r 2 ( _ s ；矗) 就有 f “( x ，s 矿o ) d s = o 出 又由于厂( s ) 是任意的，对于固定的x ，可取厂( s ) = 丽，这样就有 似圳。d s = o 于是u ( x ，s ) = o ，即r l ( x ，s ；气) = r 2 ( l s ；磊) 证毕 命题2 4 1 解核满足下面两个积分方程： 第2 9 页共3 7 页毕业论文 第二章第二类v o l t e r r a 型积分方程 f ( x ，s ；五) = k ( x ，s ) + 五f x ( x ，t ) f ( t , s ；2 ) d ( 2 2 1 ) r ( x ，s ：彳) = k ( x ，s ) + 五r r ( x ，t ；2 ) k ( t ，s ) 出 ( 2 2 2 ) 证明式( 2 2 1 ) 可用解核的定义来证明： r ( x ，s ；五) = 五”1 k m ( x ，s ) = k ( x ，s ) + 五f k ( x , t ) k j ( f ，s ) 出+ 五2f k ( x ，f ) k ( f ，s ) 西+ 一 。 由 一 = k ( x ，s ) + 五f k ( x , t ) k l ( t , s ) +