（基础数学专业论文）带调和势的随机非线性schrodinger.pdf

带调和势的随机非线。i 生s c h r s d i n g e r 方程 基础数学 研究生李姣指导教师张健教授 论文摘要：本文研究如下带调和势的随机非线性s c h r s d i n g e r 方程， t 饥一( t 一i z l 2 t + a l u l 钉u ) = 善 借助于随机分析及偏微分方程的基本理论，通过估计能量泛函的期望得到以 下结论： 1 在排斥非线性项( a 鲁) 情况下，对任意带 负能量的初值，解在概率意义下爆破； 3 二维空间中，对于临界( 盯= 罢) 且吸引( 入 o ) 的随机方程，当初值充分小时， 解是整体存在的 关键词：随机非线性s c h r s d i n g e r 方程调和势加性噪声整体存在性爆 破负能量 第i 页，共2 6 页 o nac l a s so fs t o c h a s t i cn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n w i t hah a r m o n i cp o t e n t i a l m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：j i a ol is u p e r v i s o r ：j i a nz h a n g a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ed e v o t et oi n v e s t i g a t i n gt h ef o l l o w i n gs t o c h a s t i c n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nw i t hah a r m o n i cp o t e n t i a l ， j u t 一( a u l zj 2 钆- b 入j 让1 2 。u ) = b yu s i n gs t o c h a s t i ca n a l y s i sa n db a s i ct h e o r i e so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ，a n dt h e ni nt e r m so fe s t i m a t i n gt h ee x p e c t a t i o no fe n e r g yf u n c t i o n a l ，w e d e r i v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： 1 f o rt h er e p u l s i v ea n ds u b c r i t i c a ls t o c h a s t i ce q u a t i o n ，w ed e r i v et h eg l o b a l e x i s t e n c eo fi t ss o l u t i o n s ； 2 f o rt h ec r i t i c a la n ds u p e r c r i t i c a ls t o c h a s t i ce q u a t i o n ，w ep r o v et h a ta n y g i v e ni n i t i a ld a t aw i t hs u f f i c i e n tn e g a t i v ee n e r g yd e v e l o p st oas i n g u l a r i t yi n f i n i t et i m e w i t hap o s i t i v ep r o b i l i t y ； 3 f o rt h ec r i t i c a la n da t t r a c t i v es t o c h a s t i ce q u a t i o ni nt w od i m e n s i o n s p a c e ，w ed e r i v eg l o b a le x i s t e n c eo fi t ss o l u t i o n sw i t hs u f f i c i e n t l ys m a l li n i t i a l d a t a k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n ；h a r m o n i cp o t e n - t i a l ；a d d i t i v en o i s e ；g l o b a le x i s t e n c e ；b l o wu p ；n e g a t i v ee n e r g y 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师韭鳇熬援 指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引 起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有 学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版 和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索；2 ) 为教学和科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作 为资料在图书馆、资料室等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 论文作者签名： 年月日 1 1 背景介绍 第一章前言 本文讨论的是一类带调和势的随机非线性s c h r s d i n g e r 方程，该方程描述 的是非线性色散波在非奇次或随机介质中的传播( 【1 ，2 ，1 2 1 ) ， i 撕一( u l z l 2 t + a i u f 2 口让) = f ，t r + ，z r _ ，l ，( 1 1 1 ) 这里i = j ；仃 o ；入冗；= e 鑫为肝 - _ l a p l a c e 算子；u = u ( t ，z ，u ) ： o ，t ) 俨q c 是未知的复值函数，0 0 现在我们设本文考虑的时空白噪声为：= 警，其协方差算子是矿事实 上，这个白噪声是一个相当没有规律的过程，处理起来很困难因此，我们必须对 此噪声做一定的光滑性假设在本文中，我们通过一个核k ( z ，可) ，比，y 舒来 定义，即对讹l 2 ( 舻) ，比彤 忆( z ) = j r ( z ，可) u ( y ) d y j 静 此噪声的相关函数为e ( 鬻( t ，z ) 警( s ，y ) ) = c ( z ，可) 区一。，比，y t p ，s 矿， 其中c ( z ，y ) = 厶k ( x ，z ) k ( y ，z ) d z 因此，本文讨论具有上述加性白噪声的随机非线性s c h r 6 d i n g e r 方程( p 0 1 ) i d u 一( t 一l z l 2 t 工+ a i 让1 2 口t 正) 出= d ( 1 1 3 ) 本文着重研究这个随机项的引入将对方程解的存在性产生怎样的影响 1 2符号说明 下面我们对整篇文章中所涉及到的空间符号做一个简要说明： 第2 页，共2 ( j 页 第一章前言 ( 舻) 0 1 ) 是复值的l e b e s q u e 函数空间，其范数定义为川口= ( 岳i v ( z ) l p d z ) ；1 ，口妒( 舻) ； 慝j s o b o l e v 空i f i h 1 ( 俨) = u u l 2 ( 舻) ，v u l 2 ( 舻) ) ，相应范数 为备- ( 肝) = l u l 芝z ( 舻) + i v 乱l 芝2 ( r - ) ； 空间( q ；e ) ( 1 r + o o ) 表示从qn e 的强l e b e s q u e 可测函数空间，即 是说，i u ( 叫) f e l 7 ( q ) ，v l r ( q ；e ) ； 能量空间= u l t h 1 ( 舻) ，i x u i l 2 ( 口) ，并赋予范数川墨= i u l 备z ( 舻) + l x u l 羔2 ( 舻) ； 定义：1 = 明( l 2 ( 舻) ，h 1 ( 舻) ) 为l 2 ( 舻) 到日1 ( 冗n ) 的h i l b e r t s c h m i d t 算 子空间，并赋予范数 ( 工。，日- ) = 打圣+ 圣= k e n 同理，定义l 妒= 明( 弘( 毋) ，l 2 ( 舻) ) ，l o 口 第3 页，共2 6 页 圣e 七i 备- ； = l o ( 驴( 册) ，e ) 第二章随机非线n ! s c h r 6 d i n g e r 方程解的整体存在 本章讨论带调和势的随机非线性s c h r s d i n g e r 方程( 1 1 3 ) ，首先建立了解的 适定性理论和质量能量恒等式；最后通过估计能量泛函的期望得到解在排斥非 线性项或次临界情况下是整体存在的 2 1局部存在性和质量能量恒等式 本节首先给出方程( 1 1 3 ) 解的局部存在性定理 定理2 1 1 假设0 盯 老，n 3 或者0 盯，n = 1 ，2 并且l o p ， 则对任意凡可测并扭中取值的初a g u o ，存在一个停晰+ ( 咖，u ) ，使得方 程f ，j j 圳存在定义在随机区间f o ，r ( t o ，u ) 】上的难解缸，其轨道在中取值，并 满足： 或者 丁( 咖，u ) = + o 。 1 晒、i u ( ) i = + o o t _ + r + ( t 0 ，u ) 。 证明这里，我们只提供证明的思路，详细的证明过程就留给读者 参照文( 【4 】) 的结论，并i e i _ n 用d eb o u & r d 和d e b u s s c h e ( 【1 0 】) 中证明不带调 和势的随机方程所提供的方法，我们容易证明定理2 1 1 口 再来定义质量和能量泛函，并计算其恒等式 质量泛函 m ( 钍) = l u l b ( , 弘1 ，缸 第4 页，共2 6 页 第二章随机非线性s c h r 5 d i n g e r 方程解的整体存在 能量泛函 日( u ) = 壶l v 钆i 至。( 舻) + 壶i z u l 羔。( 舻) 一荔三忑i u 咿2 0 a + + 2 ：( 舻) ，u e 在文( 【4 】) 中我们已经知道上述两个泛函在经典n l s p 弓 程( 1 1 2 ) 中是守恒 量，但是加上随机项的作用后，它们将不再守恒，本节中我们利用i t 6 公式来计算 质量和能量式 推论2 1 2 假设伽，盯和毋满足定理2 j j 所给出的解也和任意的停晰 r + ( 咖) ，我们几乎必然有： m ( u ( r ) ) = m ( 乱。) 一2 i r a l 盯厶厕z 粥( s ) + 7 至：，。( 2 1 1 ) 而且对任意的k n ，存在考亨耋曼印七0 ，使得 e s u p t 【o ，r 】m 七( u ( 洲q k e m 七( 咖) 】 ( 2 l 2 ) 和 h ( 让( 7 - ) ) = h ( u o ) 一i m 厶片( 祝+ 入i u i 幻f t ) d w d x + 2 盯厶i v 妒e f l 2 d x d s 一害 石厶 i u l 幻i c e t l 2 + 2 盯l u l 2 0 - - 2 ( r e ( 面矽e 1 ) ) 2 d x d s + i m f 局厝阡f t c e z d a ( s ) d x 第5 页洪2 6 页 ( 2 1 3 ) 第二章随机非线性s c h r s d i n g e r 方程解的整体存在 证明根据文( 【1 0 ) 的方法，这个推论的证明应该依赖于一个光滑序列的逼 近这里，我们省略这个过程，直接利用i t 6 公式来验算 d m ( u ( s ) ) = ( m 7 ( u ) ，- i a u ) d s + ( m 7 ( u ) ，i l x l 2 u ) d s + ( m 7 ( 钆) ，一i 入i u i 幻u ) d s + ( m ( 灶) ，一i d w ( s ) ) + ；t r ( m ( 让) ( i ) ( 如，) + ) d s ( 2 1 4 ) d m 七( u ( s ) ) = ( ( m 七( u ) ) 7 ，- i a u ) d s + ( ( m 七( u ) ) 7 ，i l x 2 u ) d s + ( ( m 七( u ) ) 7 ，- i a l u l 勿u ) d s + ( ( m 知( u ) ) 7 ，一i d ( s ) ) + ；打( ( m ( u ) ) ( t 砂) ( i ) ) d s ( 2 1 5 ) 考虑到在确定性n l s 方程( 1 1 2 ) 中，m ( u ( t ) ) t f f l h ( u ( t ) ) 是守恒的因 此( 2 1 4 ) 中除了随机项以外的其余项均为零，这样就简省了大量计算过程 而且，根据文( 【1 0 】) 中的推论3 2 ，对( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 我们只需计算多出来的一 项 ， ( m 协) ，制2 u ) = 2 r e u ( 一制2 f i ) d x = 0 j 静 ， ( ( m 七( 札) ) ，i 2 u ) = 2 r e m k - 1 ( 乱) u ( 一i 即f i ) d x = 0 j 静 由于上述两项均为零，根据( 【l o ) 中推论3 2 的证明过程，得 到( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 成立 同理可证( 2 1 3 ) ，因此，可以得到推论2 1 2 口 注记借助于大量不等式，例如：h s l d e r 不等式，m i n k o w s k i 不等式，鞅不等 式，我们对( 2 1 1 ) 和( 2 1 3 ) 式中随机项的期望进行估计，可以得到它们是有限的， 因此质量和能量恒等式是有意义的 第6 页，共2 6 页 第二章随机非线性s c h r 6 d i l l g e r 方程解的整体存在 2 2 整体存在性 利用推论2 1 2 ，下面我们给出具初值u ( 0 ) = u o 的方程( 1 1 3 ) 整体解存在的 一个充分条件 定理2 2 1 除了定理2 f f 的假设之外，再烈= 一1 或者盯 o 和任意停时7 ，其中7 i n f ( t o ，7 + ( 咖) ) ( 几 乎必然成立) ，我们有 e ( s u p t 下i 乱( t ) 睦) c ( t o ，e ( i 咖i 蔷丽) ，e ( 日( 咖) ) ) ( 2 2 1 ) 下面我们分两种情况讨论： 1 当入= l ，仃 o ，根据文( 1 0 】) 中定理3 4 和 推论3 2 ，运用鞅不等式( f 6 1 ) 可得 e ( s u p t r 他日( 札( ) ) ) e ( 日( 咖) ) + 5 i 臣! ，。+ 3 e ( ( f o 他i 矿( 面+ a i 让l 幻西) l 至z d s ) ) + 3 e ( ( i o 怖杪( 衅西) i 笔：幽) ) ( 2 2 2 ) 由的假设，我们知道妒是从+ 映到l 2 ( 冗n ) 的有界算子，其算子范数 为例工! 推出 i + ( i z l 2 西) i l 。i 咖1 l o ，a i z u l l 。 结合上面讨论，再利用y o u n g 不等式，则( 2 2 2 ) 的最后一项有 (，1豫l+2瓦)i羔。ds)c()+互13e(ixl e ( 厂r 他l z 让l 至z d s j o )( 1 +2 瓦) i 羔。d s ) ) c ( ) + 百e ( l z 让睦z) i 窘7 y i 盐2 6 页 吐j o 第二章随机非线性s c h r s d i n g e r 方程解的整体存在 由d eb o u a r d 禾 d e b u s s c h e ( 1 0 ) ，从而得到 e ( s u p t r r r 日( 让( t ) ) ) e ( h ( u o ) ) + c ( t o ，e ( j 咖i ；2 - t r n ) ) r l q 口 + e ( s u p t 1 - 下r ( 百1v 。u 1 2 l 2 + 虿1l 。u 1 2 l 2 ) ) 对盯 鲁，利用g a 9 1 i 舭d 争n 曲e r g 不等式和y 0 u n g 不等式，有 万1 + 2 1 2 l a 2 ，+ + 2 2 c i 也i 翟+ 2 一叽l v u i 嚣 ( 2 2 3 ) i 1l vu 睁2 4 - c 嵫而 根据上述不等式( 2 2 3 ) 和推论2 1 2 中的式( 2 1 2 ) ，有 e ( s u p 日( t 上( ) ) ) e ( 日( 钍。) ) + c ( 蜀，e ( i u 。l 葛番i ) ) + 昙e ( ；u p ( 日( 乱o ) ) ) ) 显然当r _ + o o 时，强_ 7 - * ( ) ，再根据g a g l i a r d o - n i r b e r g 等式和推 论2 1 2 ，即有( 2 2 1 ) 式成立 2 当入= 一1 ，仃 南时，由d eb o u a r d ，d e b u s s c h e ( 1 0 ) 和推论2 1 2 ，得到 e ( s u p 。r 日( 乱( t ) ) ) e ( 日( u o ) ) + c ( t o ，咖) + 去e ( s u p t ri v u l 羔z ) + 南e ( s u 仇r 。 2 a + 2 ， l + 3 e ( ( f o 强l 驴( i x l 2 - ) l 呈。幽) ) se ( 日( 咖) ) + c ( t o ，) + e ( s u p t r 怖日( u ( t ) ) ) 同理，我们可以证明( 2 2 1 ) 成立，解整体存在性得到证明口 第8 页，共2 6 页 第三章 随机非线 f i s c h r s d i n g e r 方程解的爆破 本章讨论的是如下带调和势的吸引随机非线性s c h r 6 d i n g e r 方程， i d u 一( a u l z l 2 + i u l2 u ) d t = d w( 3 0 1 ) 首先建立了方程( 3 0 1 ) 解的适定性理论和泛函恒等式；进而我们得到在盯 鲁时，对任意具负能量的初值，方程( 3 0 1 ) 的解会产生爆破 3 1 局部存在性和泛函恒等式 本节首先给出方程( 3 0 1 ) 解的局部存在性定理 定理3 1 1 假珈仃 矗，n 3 或翻仃，礼= l ，2 并且l o ”， 则对任意r 可测并扭中取值的初g u o ，存在一个停晰+ ( 咖，u ) ，使得方 程p 0 f j 存在定义在随机区闻 o ，7 4 ( 咖，u ) 上的唯一解u ，其轨道在中取值，并 满足： 或者 广( 咖，u ) = + 。 1 咖、i 乱( t ) i e = + 。o t _ r ( u o ，u ) 。 证明这里，我们只提供证明的思路，详细的证明过程就留给读者 参照( 【4 】) 的结论，并且沿用d eb o u a r dn l d e b u s s c h e ( 【1 0 】) 中证明不带调和 势的随机方程所提供的方法，我们容易证明定理3 1 1 口 下面我们对以下四个泛函计算其恒等式 质量泛函 m ( “) = i 乱l 兰。f r n l ，u 第9 页，共2 ，6 页 第三章随机非线性s c h r 5 d i n g e r 方程解的爆破 能量泛函 日( 钍) = 互1i v 训至。( 朋) + 互1i z 钆i 至：( 舻) 一 动量泛函 变分泛函 c ( u ) u 2 a 州+ 2 ( 伊) ，乱 = ，m 厶巾) x - v t 2 ( z ) 如，u y ( 札) = i z 训至z ( 彤) ， u 推论3 1 2 假设咖，仃和满足定理了f 所给出的觎和任意的斧晰 丁。( ) ，我们几乎必然有? m ( u ( 丁) ) = m ( u o ) 一2 j m 2 石厶面驰粥( s ) + 丁佻0 i o ( 3 l 1 ) 和 日( u ( 7 ) ) = h ( u o ) 一j m 厶盯( 面+ i u l 2 口面t ) d w d x + e l 片ki v c e , 1 2 d x d s 一壶l v 盯厶 1 u l 灯l c e l l 2 + 2 盯i u l 2 a - 2 ( r e ( f t 4 b e z ) ) 2 d x d s + i m l 邑ni 融l t2 f t c e t d 届t ( s ) d x ( 3 1 2 ) 证明根据文( 1 0 ) 的方法，这个推论的证明应该依赖于一个光滑序列的逼 近这里，我们省略这个过程，直接利用i t 6 公式来验算 d m ( u ( s ) ) = ( m 7 ( u ) ，一i a u ) d s + ( m 7 ( u ) ，引z 1 2 u ) d s + ( m ( u ) ，- i l u l 幻u ) d s + ( m 7 ( 也) ，一i d w ( s ) ) + t r ( m ( u ) ( i 妒) ( ) + ) d s 第1 0 页，共2 6 页 第三章随机非线性s c h r 6 d i n g e r 方程解的爆破 考虑到在确定性n l s 方程( 1 1 2 ) 中，m ( u ( t ) ) 和日( u ( t ) ) 是守恒的因此上式 除了随机项以外的其余项均为零，这样就简省了大量计算过程 而且，根据文( 1 0 】) 中的推论3 2 ，我们只需计算多出来的一项 ( m 铷) ，i 评让) = 2 r e 让( 一i 旰f i ) d x = 0 j 静 同理可证( 3 1 2 ) ，因此，可以得到推论3 1 2 口 按照同样的方法计算g ( u ) 和v ( u ) ，得到 推论3 1 3 假定满足推论舅j 2 中的假设，对任意的停肘7 - 丁+ ( 让o ) ，有 g ( 让( 丁) ) = a ( u o ) + 4 片h ( u ( s ) ) d s + 哿盯l u i 庐2 a + + 2 ：d s 一4 石v ( u ) d s + i m l nj 咿琵z v c e l c e l d s d x + n r e 【n5 咿琵u 而d j 3 t ( s ) d x + 2 r e f 厶石獬v 翮( s ) 出 ( 3 1 3 ) 和 y ( u ( 丁) ) = y ( 乱o ) + 4t oc c u ( s ) ) d s + 2 i m f 厶了i x l 2 f i c e l d j 3 l ( s ) d x + 盯ki x l 2 i c e d 2 d x d s ( 3 1 4 ) 注记借助于大量不等式，例如：h s l d e r 不等式，m i n k o w s k i 不等式，鞅不等 式，我们对( 3 1 1 ) ( 3 1 4 ) 式中随机项的期望进行估计，可以得到它们是有限的， 因此上述泛函恒等式是有意义的 结合推论3 1 2 和推论3 1 3 ，通过简单的计算可以得到推论3 1 4 推论3 1 4 以m ) ) = ) + 4 g ( u o ) r + 8 h 汀2 + 善z 小1 2 修e 2 1 2 如d s 第1 1 页，共! f j 页 4 i r a r j ：j l 一8 一1 6 7 2 8 y ，d s 如+ 4 2 一口死 盯+ 1 。f ：t 卜嗡帆蛐幽+ 8 f o o 。i 啊2 0 - t - + 2 ：删s + z 7z 8z 扪l i v e 矛出幽。凼，幽 吾z of 胁1 2 + 2 巾严2 ( 喇e 1 ) ) 2 】恻s l d s + 1 6 z m f o rz 。f 厶川2 碱z d w ( s ：出+ 4 礼觑z r 0 8 厶讹删c s ，幽 + 8 r e 若z fz 8 厶懈v 泓粥c s - ，如+ 2 j mr 厶蚓2 面d x d w ( s ， 娟，m z r z 。f 厶( 讲i u i 如州s 。) d s l d s 3 2 解的爆破 本节我们证明了对方程( 3 0 1 ) 有类似确定性n l s 方程( 1 1 2 ) 的结论，对任 意具负能量的初值，临界或超临界随机方程的解会产生爆破( 【4 】) 定理3 2 1 假定锄，盯榔满足定理7 j j 中的条件且盯。2 ，u o 三2 ( q ，) n 三幻+ 2 m ，三妇+ 2 ( 舻) ) ，尼是有界算子，并且嵇0 ， e ( v ( u o ) ) + 4 e ( g ( u o ) ) + 劬f + s e ( h ( u o ) ) + 2 m 曲】尹+ m 币尹 0 证明下面我们采用反证法进行证明 第1 2 页，共2 6 页 第三章随机非线性s c h r s d i n g e r 方程解的爆破 首先假定定理3 2 1 不成立，且p p ( r + u 0 ) 刁= o ，也就是说，几乎处处 有f 7 - ( 撕) 根据以上假设，把7 - = 云代入推论3 1 4 中，得到 y ( u ( d ) = y ( u o ) + 4 g ( u o ) t + 8 h ( u o ) 产+ l e n i t l j 0j 静 i x l 2 z1 2 d x d s 一1 6z 。( f s ) y 似) d s + 4 丽2 - - o r t 厶f 。( f s ) i u i 翟托如+ 4 ，m 吾序叫厶邮砀础蚺4 4f o l f 小叫2 厶l v 细慨 o t f - s ) 2 厶【垆z 2 + 2 0 i 矿- 2 ( 酬礅c ) ) 2 d s + 8 m o ( 云一s ) 2 厶i z l 2 面d z d w ( s ) + 4 n r ef o 。( f s ) 厶面出d w ( s ) + 8 r e l o l f s ) 厶伽v c e l d x d b t ( s ) + 2 ，m 。厶旰i 面d x d w ( s ) 一8 i r a ( 云一s ) 2 ( 面- 4 - i u 2 f i ) d x d w ( s ) j 0jr n 下面，我们希望可以通过估计e ( y ( 让( d ) ) 得到矛盾注意到当仃罢时，上式 中第五，第六和第九项是非正的，因此可以忽略不计 为了区分y ( u ( d ) 中的随机项和非随机项，定义函数y ( u ( 亡，r ) ) ，t ，r o 为 y ( 缸( ，r ) ) = y ( u o ) + 4 g ( u o ) t + 8 h ( u o ) t 2 + 4 i m - 1 6 。( t 8 ) m ) 幽+ 4 2 一口佗 盯+ l 小叫厶邮郦e 删s + 4 豺厶 x 1 2 l c e l l 2 d x d s 尿帅懈2 a 州+ 2 蚺 z 小- s ) 2 厶i v 蛔舢 一4 吾小- s ) 2 口砰w e 2 1 2 砌l 让阳酬酬) 2 】删s 第1 3 页，共2 6 页 m 第三章随机非线性s c h r 5 d i n g e r 方程解的爆破 埘m 0 7 ( ) 2 厶 h 2 删帅) + 4 n r e j 厂o ( t - s ) 厶础酬s )j 静 + 8 m 吾z c t s ，厶v 而如m c s ，+ 2 ，m z 7 厶 2 f i d x d w ( s ) 一8 i m ( t s ) 2 ( 豇+ i 乱i 幻面) d x d w ( s ) j o r n 显然，上式满足y m ( 刁) = y ( 缸( 云t - ) ) 为使随机项有意义，定义停时 亿= i n f s 【0 ，t - ，i 乱( s ) l e 后 ，庇n 假设t f ，下面我们对y ( t ，) 中的随机项进行期望估计 e ( i 口( t s ) 2 厶”面z d x d w ( s ) 2 ) = e ( l 口i ( t s ) 2 厶评f i c e t d x 2 d s ) = e ( 口 一s ) 4 杪( i x l 2 面) i 羔。d s ) 由于矿是从到l 2 ( 舻) 上的有界算子： 桫( i x l 2 面) i l 。i 西1 l ：，。i x u i l z 于是 e ( i 口( t s ) 2 厶i x l 2 f i d x d w ( s ) 1 2 ) = e ( f o 。( t s ) 4 眺批u 1 2 z d s ) 删1 2 中k 2 萨 显然不等式右边是有限量当r = 亿时，第一个随机项就平方可积，因此它的期望 为零 同理当r = 时，第四个随机项的期望也为零 第1 4 页，共2 6 页 第三章随机非线性s c h r s d i n g e r 方程解的爆破 对第二个随机项，利用h 6 1 d e r s 不等式，有 e ( i 口( t s ) b 五d x d w c s ) 1 2 ) = e ( e 剧口i ( t s ) 厶豇e z d z l 2 d s ) e ( l 口( 亡一s ) 2 m ( u ) i c e _ f 1 2 l 。d s ) 艄吩。尹 于是当r = 亿时，第二个随机项的期望为零 第三个随机项而言， e ( i l 口( t s ) 厶“z v 面出粥( s ) 1 2 ) e ( 口( t s ) 2 恻2 。m c ，d s ) m 西驴尹 根据仇毋= l ，三l 护，于是第三个随机项的期望为零 注意到ql 幻+ 2 ( 酽) 且矿是从l 精( 舻) 到三2 ( 舻) 上的有界算子： 妙( 衅4 u ) i l 。眺州, , 2 一o + 1 z 于是，有 e ( 1 口 一s ) 2 厶x 磁x d w ( s ) 1 2 ) = e ( l 口i ( t s ) 2 忌v 讲7 毋e t d x l 2 d s ) e ( 刚口0 一s ) 4 l v 妮。i v e l l 2 ：d s ) m 西七2 尹 一a y 和 e ( 1 口( 一5 ) 2 厶l 让 2 口面d x d w ( s ) 1 2 ) = e ( 口 一s ) 4 l + ( i u l 2 4 面) i 至z d s ) 因此当r = r k 时，最后一项期望也为零 k 2 l l l ：尹 第1 5 页，共2 “页 第三章随机非线性s c h r s d i n g e r 方程解的爆破 根琚上还诃论，得到 ， 以以以厶哟”如”“耳g ( 训+ 8 以叫2 佃( 善z 上。k 1 2 d 2 删s ) + 4 e ( 慨吾z 。( 汹) 厶。，v 融：出删+ 4 e ( 吾z ( 汹) 2 厶i v 酬2 如如) 而且， 耳吾z 小1 2 协f 1 2 捌s ) 纠； 4 e ( i m l f o ( t s ) f 二z v 石石匆e z d x d s ) 4 e ( 1 j ( t s ) i z 矽e l i ；：i v 加l i ；。d s ) 2 m c , q 毋t 2 ； 4 e ( 善小_ s ) 2 厶l v 蚓2 批) p 4 一 对任意后n ， e ( y ( t ( t ，亿) ) ) e ( y ( u 。) ) + 【4 e ( g ( 咖) ) + 】亡+ 【8 e ( 日( 咖) ) + 2 仇爹p 2 十j 4 m 毋矿 令亡= 云显然靠一故k 一+ o o ) 于是根据f a t o u 引理和y ( 缸( 乃) = y 扣( 云刁) ， 可以推断 e ( y ( u ( d ) ) e ( v ( u o ) ) + 4 e ( g ( u o ) ) + 劬】f + 8 e ( h ( u o ) ) + 2 m 妒】严+ 芸m 妒尹 根据定理3 2 1 中的条件，即是说e ( y ( 让( 刁) ) so 但是v ( u ( t - ) ) = i 铡：l 羔：是非 负量，这样就产生了矛盾 因此，定理3 2 1 成立口 注记( 1 ) 露( z ) 和鲸不依赖于 e l l 的选取p 三少是通过一个 核k ( z ，y ) l 2 ( 舒x 册) 定义的) 第1 6 页，共2 ( j 页 第三章随机非线性s c h r s d i n g e r 方程解的爆破 ( 2 ) 限制以( z ) 和醵有界是合理的( 因为咖是从三2 ( r n ) 至i j h l ( 舻) 上 的h i l b e r t s c h m i d t 算子，根据s o b o l e v 嵌入定理日1ql ；并且，矽l o 口 和ql ) ( 3 ) 满足( 3 2 1 ) 的堤可以取到的( 若日( 咖) 0 并且噪声项非常微弱) 第1 7 页，共2 6 页 第四章 临界的随机非线。n ：s c h r 6 d i n g e r 方程的整体解 本章在二维空间中讨论如下带调和势且具立方非线性项的一类随机非线 性s c h r 5 d i n g e r 方程， i d u 一( 钍一i z l 2 u + l 训2 u ) d t = d w , , 4 0 ) = u o( 4 o 1 ) 按照z h a n g ( 【1 9 】) 及c 缸l e s ( 【5 】) 给出的在临界状态下，方程( 1 1 2 ) 整体解存在的 一个充分条件本章证明了在初值充分小时，临界方程( 4 0 1 ) 的解也是整体存在 的 4 1 局部存在性和质量能量恒等式 我们首先对问题( 4 0 1 ) 解的局部存在性作如下假设( 4 ，l o ) 定理4 1 1 设l o ”，则对任意局可测并扭中取值的初值咖，存在一个 停时7 + ( 蛳，u ) ，使得仇乱c 幻f 可题心o i ) i g e 定义在随机区阅【o ，7 - ( u o ，u ) 】上的唯 一解让，其轨道在中取值，并满足： 或者 丁( u o ，u ) = + o o 1 i m ，、i u ( ) l = + o o t 吖( t 0 一) 。一。一 现在我们对以下质量能量泛函计算其恒等式， 质量泛函 m ( u ) = i u