（基础数学专业论文）局部凸空间中的宽度和某些性质的讨论.pdf

摘要 对于宽度问题人们多是在赋范空间中研究，而赋范空间是一类性质比较好的空间，扇 以有一定的局限性。为了拓展宽度问题的应用领域，本文把宽度的一些问题推广到了局音 凸空间，并得到了一些结果。引言部分介绍了局部空间的有关性质并定义了局部凸空间辟 的几种宽度；正文部分通过系列引理，讨论了局部凸空间中f 一恕一k 宽度的一些类似魅 范空间的基本性质并给出了一个转化定理；同时研究了局部凸空间中关于单位球的宽度； 并将b r o w n 定理推广到局部凸空间，从而对局部凸空间的宽度给出比较全面的结果。 关键词局部凸空间；宽度；转化定理；连续的凸函数。 a b s t r a c t a b s t r a c t w eu s u a l l ys t u d yt h ew i d t h so nt h en o r m e ds p a c e s ，w h i c hh a v i n gg o o dp r o p e r t i e sa n d c a u s i n ga l i m i t a t i o no ft h es t u d y f o rae x p a n d i n go ft h ew i d t ho ft h es t u d y , w eg e n e r a l i z et h e c o n c e p to fw i d t ht ot h el o c a l l yc o n v e xs p a c e sa n do b t a i ns o m en e w r e s u l t s i nt h ep a s to ft h e i n t r o d u c t i o n ，w ei n t r o d u c et h ep r o p e r t i e so fl o c a l l yc o n v e xs p a c e s ，a n dt h ec o n c e p to f w i d t h - i nt h et e x t ，w ed i s c u s sm e 厂一n kw i d t ho nt h en o r m e ds p a c e s a n dw eo b t a i na c o n v e r s i o nt h e o r e m w ea l s oo b t a i no f t h ew i d t ho f t h eu n i tb a l lo f t h el o c a l l yc o n v e xs p a c e s 血dg e n e r a l i z et h eb r o w n 、st h e o r e mt ot h el o c a l l yc o n v e xs p a c e s s ow eo b t a i nt h ep e r f e c t r e s u l t so f t h ew i d t ho b t h et o c a l l yc o n v e xs p a c e s k e yw o r d s ：l o c a l l yc o n v e xs p a c e s ；w i d t h s ；c o n v e r s i o n t h e o r e m ；c o n t i n u o u sc o n v e xf u n c t i o n s 河北大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任伺 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 主l 量日期：坦里年型月- ：= _ _ l 曰 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密。 ( 请在以上相应方格内打“”) ，v 作者签名： ：l 量 导师签名： 鲜l 一 目期：2 型坚年月2 一日 日期：竺! 笠年f 厶月塾l 日 1 引言 1 引言 苏联学者a n k o l n o g o l o v 首先提出并研究了三2 空间内的宽度问题，到5 0 年代， 苏联学者v m t i l l o m i r o v 等人开始了系统的研究工作。近几十年来，逼近论的宽度理论 有了很大的发展，己形戚了一套比较完整的，带有相当广泛的抽象空间中点集的宽度理 论。本文主要讨论局部空间中关于宽度的一些问题。 设x 和y 是局部凸空间，使 ：x 】，斗x 皤为定义于z 与r 上的数域) ，并且满足：对x 彳，若使任意y y ， - 0 ，则工= o ； 对y y ，如果任x x ， = o ，贝抄= 0 。以o ，勺，分别表示鹃y 上局部拓扑。称 _ ，勺为相容拓扑，如果( 皿o ) 中的连续线性泛函恰有形式 ：x 斗k ，即有( x ， f 。) ya 如果以盯( 盖，y ) 表示盖中的最弱的局部凸拓扑，使( x ，盯( 盖，y ) ) = y 。m ( x ，功 表示m a c k e y 拓扑，则r 上是介于盯( x ，y ) 与m ( x ，n 之间的一种拓扑，以下我们提 到局部凸空间时，总是假设这样的y 存在，并以盖7 记i ，对p 7 ，并以 p ( x ) 表示 。 设x 是局部凸拓扑空间，则这个局部凸拓扑可以由一族半泛数芦= 只 生成。在1 9 8 0 年，s p s i n g h 于【1 p 3 3 0 引入了下面的概念： 设d 是z 的非空子集，p 声，x z ，则令d p ，j d ) = i n f p ( x y ) ，y d j 及 劈0 ) = 函d ：p ( x 一”) = 咖“d ) 。d 称为关于尸为可逼近的，若任x 工有巧( 了) o 。 d 称为星形的，如果存在“o d ，使任z d 及0 t 1 时，( 1 一r ) “o + t x d ，此时，称 。为d 的星形心。映射t ：d ，d 称为p 压缩的，如果存在0 日 0 ，使任x a ，有p ( x ) 地 定义1 5 设x 是局部凸空间，厂是定义于x 上的实函数，a 是j 的子集 ( 1 ) 称“为f 一逼近紧的，若任x e ，及a 中的网p 。) ( 、为某个有向集) ，由 f ( x y a ) 一兀( x ) 得出扣。 有收敛的子网； ( 2 ) 4 称为厂一有界紧，如果任x 正z r 有( x a ) n s 。是紧集； ( 3 ) a 称为f 一五一紧，如果任x x ，则存在五 ( 工) 有 一一) n 只是紧集； ( 4 ) a 称为，一连通的( ，o 一连通的) ，如果任x x ，r 0 ，集合 彳n p 盖：f ( x 一”r ) ( 爿n 扣x ： 一_ y ) 厂 ) 是连通的。 而如果z 是赋范空间，是上的范数，则一下界紧和局部紧是等价的，而它们 全等价于z 是有限维空间。 如上所设置，的意义如注1 ，贝, l j f 一逼近紧即通常的逼近紧。 定义1 6a 是x 的非空子集，称4 为一个厂一5 “雕，若爿是，一可逼近的，且任x ， 存在y 只( x ) 使y t t ( x ，) ( f o ) ，此处x ，= y + f ( x y ) 。若将上述定义中“存在 p ，( t ) ”改为“任意弓( 一) ”，其余不变，则称】，为一个严格，一s u n 。 1 一 嗣北大学理学硕士学位论文 工设为局部凸空间，厂是定义在并的实函数，称，为拟凸函数，如果任 x ，y 鼻，z _ y 及o 五 0 ，只是凸，吸收集s ，上 的m i n k o w s k i 泛函，并且只是连续正齐性和次可加的。 引理1 1 0 ( d v p a i ，p g v i n d a r a z u l a 4 】川) 设厂是x 上非负的连续凸函数，且 厂( o ) = 0 ， 如果厂满足亿) 则对任五，r o ，有 只= ( 1 a ) s p ( ) ，0 = 五弓( z ) ， ( 1 4 ) 且存在r 0 ，使只( z ) = 0 f ( x ) = 0 。 由( 1 4 ) 式，显然有五( x ) = 矗( x ) 。 m 4 ：a ， o ，有p = 叱( 。) ，取任旯 o ，设口= y ( 2 r ) ，于是有： 只= ，- 1 ( a r ) 只。 ( 1 5 ) 在引理1 1 0 中，若无，为非负函数的假设，则最后一个结论未必成立。 例1 1 1 设伊是x 上非零实线性泛函，如果令：r 斗r + ，( ) = 五，显然 妒( 瓜) = p ( 五) 妒( x ) ，由于存在x ，使p ( x o ) 0 ，可设p ( x o ) o 有( p ( x o t ) 0 o ) ( 22 ) 证明：( 1 ) ( 4 ) 参见( s 。n gw e i l l l u a 6 p 2 7 ) ，下面只证( 5 ) ，由于，是非零泛函， 存在x o 互，使厂( x o ) 0 ，对任意丑 0 ，有 即有，( v o a ) = 1 。 设g = 矿( 丑) ，芦 设口= ，。( 丑) ，芦 ，( ) ：f ( 五喜x 。) = p ( ) f ( j 。) = p ( 兄) p ( 1 五) f ( x 。) p - 1 ( 1 且) ， 则有 p 。( 】z ) ，则有 2 正文 1 = p ) ，( ) = p ) ( 1 t z ) j p ( 1 口) = p ( ) 口= 1 口 j 妒- 1 ( 五弦_ 1 ( 1 五) = 1 定理2 。2令翼是局部凸空间，a 是爿的有界子集，是满足( 只) 的连续凸函数， 且f ( 0 ) = o ，若l 厂= t z h ( 口 0 ) 。则有 ( 1 ) d 。( 厂，a ) = t ：r d 。( ，爿) ， ( 2 3 ) ( 2 m 对于，与h 有相同的极子空间。 证明：( 1 ) 设以( 厂，a ) = d ，那么任s o ，存在g ，d i m g = n ，使 e ( f ，a ，g ) d + 占 由于f = a h ，那么有 所以有 又由于h = 二，即有 t 2 则有 e ( a h ，a ，g ) d + 占 e ( ，4 ，g ) 生+ 三 口口 d 。( ，彳) 蔓d c c a d ( 矗，a ) d 。( ，a ) 巩( 厂，爿) 茎耐。( ，4 ) 矾( 厂，a ) = c r 翻1 ( h ，a ) 由于( 1 5 ) 式有d 。( 只，a ) = p - 1 ( 兄，) d 。( 只，a ) 。 ( 2 ) 设g 是爿对于厂的极子空间，则以( ，爿) = e ( f ，a ，g ) = d 由( 2 3 ) 式有d 。( ，4 ) = d c ：，若g 不是a 对于h 的极子空间 9 ( 2 4 ) 河北大学理学硕士学位论文 贝0 e ( h ，a ，g ) d 口，即e ( a h ，a ，g ) d 这与g 是4 对于，的极子空间矛盾，所以g 是4 对于h 的极子空间，同理可知，a 对 于h 的极子空问，也是对于，的极子空间。 而且任a ，r 0 ，由( 1 5 ) 式，子集一对于p 与只有相同的极予空间。 下面我们给出局部凸空间中f - , 1 - k 宽度的一些基本性质。 定理2 3令翼是局部凸空间，爿是鼻的子集，是非负连续的凸函数， f ( o ) = 0 , 0 撵 o ，以( f ，删) = y ( 口) 以u ，爿) ， ( 2 6 ) ( 3 ) 对4 的圆包f ) ，有以叮，r ( 4 ) ) = d 。( 厂，爿) ， ( 2 7 ) ( 4 ) 对a 的凸包c o ( 4 ) ，有d 。坼c o ( 4 ) ) = 以4 ) ， ( 2 8 ) ( 5 ) 如( a ) d 1 ( ，a ) 或够a ) ( 2 9 ) ( 6 ) 若爿紧，则有l i m 以( 厂，a ) = 0 ， ( 2 1 0 ) ( 7 ) 女口果d i m ( 妒口，“) = 7 ，习b 么 以( f ，a ) = d 。( f ，a ) 一一0 a( 2 1 1 ) 证明：( 1 ) - ( 5 ) 从略，下面证明( 6 ) ，( 7 ) 。 ( 6 ) 若a 紧，任s o ，驰的，一s 一网扛x ，k 令g = s p a n x 1 x n x 对任算a ，有 氍厂( x - g ) ，m 。i n 。f ( x - - x i ) 0 ，使d 。( 0 ，a ) = o ， ( 3 ) 任意r 0 ，使d 。( 0 ，a ) = 0 证明：“1 j2 ”设以( 厂，a ) = 0 ，则对任占 o ，存在g ，d i m g = 玎， 使得 e ( f ，a ，g ) 0 ，存在g ，d i m g = n ，使 e ( 只，4 ，g ) s ， 那么对任意x a ，存在g ( 巧g ，使 p o 一、g ) ) g 则 只仁型) 1 由( 2 2 ) 式及引理2 4 ，和z ，占的任意性，得到 f ( x - g ( x ) ) 0 ，有 d 。( 只，一) = 矽_ 1 ( 1 r ) d 。( 0 l ，4 ) = 0 引理2 6 局部凸空间爿中，a 为有界子集，厂是满足条件( e ) 的连续凸函数，d 0 ， 则有 d 。( 厂，a ) = d 铮d 。( 只，a ) = 1 ， 证明：必要性，设矗( 厂，a ) = d ，任意s o ，存在g ，d i m g = ，z ，使 所以对任意x a 有 e ( f ，a ，g ) d + 占， 2 正文 i n f ( x g ) d + 占， 存在g = g ( x ) g ，使f ( x g ) d + 占，则有 只+ 。( 工一g ) = ，- 1 ( d d + 占) b ( 工一g ) 1 ， 即 p a x g ) ，。仁善) ， a 所以有 以( 岛，4 ) p 一1 伴) ， a 因为躲p 。1 ( 生笋) = 1 ，得矾( b ，4 ) 1 。 又由于以( 厂，4 ) = d ，那么任意g ，d i m g = n ，使 e ( f ，a ，g ) d ， 那么，对任意0 占 o ，存在g ，d i m g = n ，使 e ( 只，4 ，g ) 1 + s 对任意x a ，存在g g ，使 只( x g ) 1 + s 1 3 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 一一 河北大学理学硕士学位论文 e 女! ! 目! ! s ! ! 目! ! ! 自! _ e ! ! s ! ! 自! ! ! ! ! ! ! 目! ! s ! 丁1 x - g ) p e ( x - g 1 而 l 由( 1 5 ) 式，得 f 1 0 g ) 1 由引理2 4 ，得 f ( x 一粤) 却( 1 + 占) 即有以( ，一) 咖( 1 + 占) ，因为。l + i m 。+ 咖( 1 + s ) = d ，得反彳) d ， ( 2 1 4 ) 又由于吱( 局，a ) = 1 ，对任意g , d i m g = 以，有 五( 只，a ，g ) 1 ， 那么，对任意0 o ，那么有以够彳) = 删( 破( 只，彳) )( 2 1 6 ) 证明：由引理2 5 ，当以( 厂，a ) = 0 时，结论成立。 当0 以( 厂，彳) o o 时，设以够一) = d ，由引理2 6 ，对r = d 结论成立。由( 1 5 ) 式 和( 2 - 3 ) 式有 或( p ，a ) = p 。1 ( d r ) ( 2 1 7 ) 即有p 。1 p d ) 一( p ，彳) = 1 ，i 圭1 ( 2 2 ) 式得删( 或( p ，) ) = d ，即有结论 2 正文 以( f ，a ) = 咿( 以( 尸r ，一) ) ， 由( 2 1 7 ) 式及引理2 6 有 以( ，a ) 0 ，则集合一对于冉p 有相同的最佳 维极子空间。 证明：h h ( 2 4 ) 式，对任意r ，五 o ，a 对p 和只有相同的珂一维极子空间。从而只需要j 存在， 0 ，彳对，与只有相同的，z 一维极子空间即可。 当d 。够a ) 0 ，由于对于任意g g ，有： ，( 佩) = v ( a ) f ( x ) s v ( a ) f ( x g ) = f l a x d 笞) 兰f l a x 9 1 )( 9 1 = 口g g ) 所以有0 p z ( a x ) ，下面用x 上g z o 弓( x ) 。 为了得到下面的结论，假设条件： 1e 刈北大字埋学坝士字位论叉 ( f 2 )f 满足( 曩) ，并且厂( - x ) = 一厂( z ) 。 引理2 9 局部凸空间工中，g 1 ，g ：是x 的线性子空间，且 d i m g l o ) 为一个范数，下面证明引理对只成立。 由i v e ns i n g e r 7 可知，在任意范数下结论成立。所以存在y g 2 o k 在帆i i 下， yj - g 1 ，于是任意 o ，, e y 上g l 。 下面取占= 一，则存在_ y 。eg 2 o ，使l l y i i ，= l ，且在| h | ! 下) ，。上g 1 ，由于五是有限维 n “ 的，通过取子列，在范数| h | 。下，不妨设咒斗y ，m j l l y l l ，= 1 ，所以y 0 ，又由于g ：是有限 维的，故g 2 是闭的，可知y g ：，对v g g 1 ，因为 i | y 。| | ；= p ( y 。) + 丢i l y 。i i 。 ：只( y 。) + 一1 i l y 。- g l l ! = p ( 乩一g ) + 去l l y - g l l ， 令n j0 0 ，则有p a y ) 只( y g ) ，即y j _ g 1 ，引理得证。 2 正文 定理2 1 0 局部凸空间z 中，x 。删聆+ l 的维子空间，是满足( e ) 的连续 凸函数，且当x x 。+ 1 o ) 时，( x ) 0 ，则有： 以s 。) = 1 ( 2 1 8 ) 证明：令g 是任靠, 维子空间，由引理2 9 ，令g 1 = g ，g 2 = x 。，则存在 y o 瓦。 o k 使y o 上g ，于是对垤e g ，有 则有 _ g ) = 南，( y o - 叮( ) ) 志，( 厂( ) = 1 1 汹厂屯。，g ) 器，赢g ) = 1 即得到占( ，s 正g ) = 1 ，由于g 是任意玎一维线性子空间，所以有 以( s ，j ) 2d 艇。e ( f ，s x g ) = 1 即定理得证。口 由定理2 1 0 和( 2 9 ) 式，容易得到下面推论。 推论2 1 1在墨f 与定理2 1 0 同样的条件下有 d o ( s 以+ 。，x ) = d l ( s 以。，聊= = 以( s 以+ 。，翼= 1 下面我们来证明球宽度定理对于，n g 宽度也成立。 定理2 1 2 设兄厂的条件如定理2 1 0 我们有 d ”( 司= 1 证明：设g ”是内n 余维线性子空间，则它在工内有”一维线性补，所以： 。l + 。n g ” o 贝0 存：t 臣。爿j 。n g l ，x 0 ，不妨：i 殳厂( x 。) = 1 ， 一1 7 一 河北大学理学硕士学位论文 那么s u pf ( x ) 厂( ) = 1 ，即定理得证。 i e 以+ l n 2 ，3 局部凸空间中的b r o w n 定理 首先设，是满足条件( e ) ，并设存在x x ，使厂( 工) o ，对任意s ，t 0 ，由于 ( j r ) f ( x ) = f ( s e x ) = p ( s ) f ( 肛) = p ( s ) ，( f ) f ( x ) 有p ( s f ) = y 0 ) ( f ) 。 引理( 2 1 3 ) 令j 是局部凸空间，是x 上满足条件( e ) 的连续凸函 数，0 = 厂( o ) 厂( x ) ， o ) ，s ，= 扛：，( 0 使得 s u p 型! 蛐：l1 一= l z 茹 ，( d ( 2 1 9 ) 证明： 由于d = 每：p ( x ) l o ，使得 s ，m d ，所b 【厂( z ) 1 1 时| 妒( x ) f m o + s u p 妒q 妒( x ) 1 ) = p ， ，( j ) = 】 显然有0 p 0 使得f ( a x ) = p ( 丑) ，( x ) = 1 ( 可令 兄= 一( 1 ，( x ) ) ) ，于是对于任意x 0 ，有 幽! 剑! ：! 鲨匣! 型! ：! 鲨! 幽! ! 型! 。 厂( z )厂( 矿1 ( 1 工) )y ( a 一1 ) f ( 五x ) 一 令：等号掣= 号掣确酬，圳灿， 此处r = 妒- 1 ( 风) ，则有 p ( r i 妒 ) 1 ) 哿瞢那x u p * o，茹 ，( z ) p ( r ) p 0 妒( 刮) 一 f ( x ) 2 正文 则引理2 1 3 得证。 引理 2 1 4设x ， 妒如引理2 1 2 ，厂满足( f ) ， 且 厂( 缸) = y ( 川) 厂( z ) ，h = 扛：妒( x ) = 口 是超平面 ，假设 哿等砂。船融x 有 使得 办( z ，日) 2 万1 ，( 扫( x ) 一口1 ) 证明：对任意y h ，我们有 f ( x - y ) 削1 伊( 工一_ y ) ) = 万1y ) 一甜1 ) ， 即有办( 以) 吉p ( i 伊( x ) 一口i ) ，另一方面，若。 ( 一s ) 厂 一y ) ，则有 口l z ) f ( x - y ，雩掌 由s 。的任意性，y ，我们有办( x ，奶万1 尹p ( x ) 一a 1 ) ，所以引理得证。 在局部凸空间中，如果a 是一个有界闭的圆凸集，显然对于任意五 0 ，州也是一个 有界闭的凸圆集，并且a ( z a ) = 删。因为我们可以假设x 削，存在两个点列 x 。a ，y 。硅a ， 并且 斗x ，y 。_ y ， 显然 缸。斗触，砂。_ 勿， 并且 触。 埘，缸k ) 崔触，于是有缸o ( z a ) ，也就是o ( z a ) 3 删，由此可得0 a i a ( 州) 五， 即有a ( 朋) , 4 d a ，显然a ( 五4 ) = , i d a 。所以我们容易得到 引理2 1 5 令x 是局部凸空间，f 是上满足条件( e ) 的连续凸函 数，0 = ，( o ) 厂 ) ， o ) ，爿是一个有界闭的圆凸集，0 1 r i m 。那么s 。a 等价于对于 任茁f t o a 有f ( x ) 1 。 证明：必要性， s c _ a 。如果存在x a a ，使得0 ) l ，那么x i n t s x 与s f 一 矛盾。所以对于任意x o a ，f ( x ) 1 。 充分性， 设0 f ( x ) 1 ，0 i n m 。则存在0 五 1 ，使, t x a ，令 2 0 = s u p 0 五1 ：2 x 4 l 由于爿是闭的，可知厶x a 。如果；t o = 1 ，则z a ；如果 0 厶 厶并且以_ 厶，以x ga ，则九x 0 a ，即有 f ( 2 0 x ) = 矽( ) 厂( z ) o 满足船，a ，于是品 4 ，由引理2 1 5 ，对任意x 础，有 f ( x z ) 1 ，于是，( x ) p ( 旯) ，贝4 有 sup2。p ( 乃焉厂蛾 0，珥c “ 另外，令。i n 。f ，( x ) 2 p o ，对任意0 o x d ，5 删 至此引理得证。 我们记( 2 2 1 ) 式为p ( ，口) ) ，则有r ( a ) s 。a 。 其中，如果是有限维空间时，( 2 - 2 1 ) 式中毯，( x ) 下确界可以得到，所以 a ( r ( 爿) s x ) n 3 a 0 并且若0 i n t a ，必存在一个厶 0 ，使得厶以a 。 定理2 1 7 令z + 。是月+ 1 维局部凸空间，是瓦+ ，上满足( 巧) 的连续凸函数， 0 = f ( 0 ) 9 ) 。则有 ( 1 ) d 。( 厂，a ) = 峨( ，一) ， ( 2 m 对于厂与h 有相同的极子空间。 定理2 3令爿是局部凸空间，a 是爿的子集，是非负连续的凸函数， ，( o ) = 0 , 0 sr l o ，以( f ，a a ) = ， ) 矾( 厂，4 ) ， ( 3 ) 对彳的圆包r 口) ，有d 。( 厂，f ( 爿) ) = d 。，4 ) ， ( 4 ) 对a 的凸包c o ( 4 ) ，有d 。( ，c o ( 4 ) ) = d 。够4 ) ， ( 5 ) d 。够一) d l 够4 ) 巩( 4 ) ( 6 ) 若彳紧，则有l i m 以( f ，a ) = 0 ， ( 7 ) 如果d i m ( s p a r t a ) = ，z ：那么d 。( 厂，一) = d n + l u ，4 ) 一一0 。 定理2 7 在局部凸空间中x ，是满足条件( e ) 的连续凸函数，a 是的x 子集， 对任意r o ，那么有d 。够4 ) = 件( d 。( p ，彳) ) 定理2 1 0 局部凸空间中，瓦+ 。删n + 1 的维子空间，厂是满足( f 2 ) 的连续 凸函数，且当x 卫。 o ) 时，( x ) 0 ，则有： d 。够s ) = 1 。 定理2 1 7 令瓦+ 。是，z + 1 维局部凸空间，厂是以+ 。上满足( 曩) 的连续凸函数， 0 ：，( 0 ) 厂( x ) ，0 0 ) ，a 是一个有界闭的圆凸集，0 i n t a ，贝l j d ( a ，以+ ) = f i r ( a ) ) 4 参考文献 4 参考文献 【l 】s p s i n g h ，s o m er e s u l t so nb e s ta p p r o x i m a t i o n i nl o c a l l yc o n v e xs p a c e s ，j a p p r o x t h e o r y ( 1 9 8 0 ) 2 8 ， 3 2 9 3 3 2 【2 】e e n f l o ，a c o u n t e r e x a m p l e t o t h ea p p r o x i m a t i o n p r o b l e m , a c t a m a t h ，( 1 9 7 3 ) 1 3 0 ，3 0 7 3 1 7 3 】r t r o c k a f e l l a r , c o n v e xa n a l y s i s ，p r i n c e t o n ，u p ，p r i n c o t o n ，n z ( 1 9 7 2 ) ，2 8 3 5 4 】d v p a i & e g o v i n d a r a z u l u , o ns e t - v a l u e df - p r o j e c t i o n sa n df - f a r t h e s tp o i n tm a p p i n g ，j a p p r o x t h e o r y ( 1 9 8 4 ) 4 2 ，4 - 1 3 【5 】孙永生，函数逼近论，北京师范大学出版社( 1 9 8 9 ) ，第一版，5 6 1 6 1 【6 】s o n gw e n h u a ，t h ea p p r o x i m a t i a oo nl o c a l l yg o n v e xs p a c e s ，a p p r o x t h e o r ya n d i t sa p p l ( 1 9 9 4 ) v o 1 0 ，n o ，1m a t , 2 6 3 3 i v e ns i n g e r , b e s ta p p r o x i m a t i o ni nn o r m e dl i n e a rs p a c e sb ye l e m e n t so fl i n e a rs u b s p a c e s ，s p r i n g e r , b e r l i nh e i d e l b e r g ，n e wy o r k ( 1 9 7 0 ) ，9 5 1 8 6 【8 】pg o v i n d a r a z u l u , o ns i m u l t a n e o u sa p p r o x i m a t i o ni nl o c a l l yc o n v e xs p a c e s ，i n d i a njp u r ea p p l e ( 1 9 8 5 ) 1 6 ( 6 ) ，6 1 7 - 6 2 6 9 】k b o r s u k ，d r e is a t 7 mu b e rd i en - d i m e n s i o n a l ee u k l i d i s l h es p h a r e ，f u n d m a t h ，( 1 9 3 3 ) 2 0 ，1 7 7 1 9 1 10 】p g o v i n d a r a z u l u & d v p a i ，o np r o p e r t i e so fs e t s r e l a t e dt of - p r o j e c t i o n , j m a t h a n n a p p l e 0 9 8 0 ) 7 3 ，4 5 7 - 4 6 5 d1 】s o n gw e n h u a , t h ea p p r o x i m a t i o n o nl o c a l l yc o n v e xs p a c e s ，a p p r o x t h e o r ya n di t sa p p l ( 1 9 9 4 ) v o l l on o 1m a r , 2 6 - 3 3 【1 2 a n k o l m o 9 0 1 0 v u b e rd i eb e