（基础数学专业论文）脉冲混合动力系统的稳定性分析.pdf

摘要 摘要 本文主要利用扰动l y a p u n o v 函数法，锥值l y a p u n o v 函数法，分段连续l y a p u n o v 函数法等不同方法，研究了脉冲混合动力系统的各种稳定性问题，并给出了关于它的稳 定性的一些结果，而关于具有时滞的脉冲混合动力系统，由于它的结构比较复杂，遇到 的困难也比较多，还在进一步考虑中 本文包含四部分内容 第一部分主要介绍了课题的研究背景、现状以及本文的主要工作 第二部分给出了脉冲混合动力系统的相对砂。稳定的概念，并利用锥值扰动l y a p u n o v 函数法对其进行了讨论 第三部分给出脉冲混合动力系统的积分o 稳定的概念，并借助锥值l y a p u n o v 函数 得到其稳定性准则 第四部分利用分段连续l y a p u n o v 函数方法讨论了脉冲混合动力系统关于两度量的 最终稳定性，并给出了稳定性判据，最后给出例子加以验证 关键词脉冲混合动力系统扰动l y a p u n o v 函数锥值l y a p u n o v 函数 分段连续l y a p u n o v 函数稳定性 a 1 ) s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，d i f f e r e n ta p p r o a c h e s ，s u c ha sp e r t u r b i n gl y a p u n o vf u n c t i o n s ， c o n e - v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n s ，p i e c e w i s ec o n t i n u o u sl y a p u n o vf u n c t i o n sa n ds oo n ，a r e e m p l o y e dt os t u d yt h es t a b i l i t yo fi m p u l s i v eh y b r i dd y n a m i cs y s t e m s t h i sd i s s e r t a t i o ni sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h eh i s t o r yo ft h es t u d ya n ds o m ep r e s e n tw o r ko nt h es t a b i l i t yo f i m p u l s i v eh y b r i dd y n a m i cs y s t e m sa n dt h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ra r ei n t r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rt h er e l a t i v e 咖。一s t a b i l i t yo f t h et w oi m p u l s i v eh y b r i ds y s t e m sb yu s i n gt h em e t h o do fp e r t u r b i n gl y a p u n o vf u n c t i o n s i nc h a p t e r3 ，u s i n gc o n e - v a l u e dl y a p u n o vf u n c t i o n ，t h ee q u i i n t e g r a l o s t a b i l i t yo f p e r t u r b e ds y s t e mo fi m p u l s i v eh y b r i dd y n a m i cs y s t e mi ss t u d i e d i nc h a p t e r4 ，c r i t e r i o no f ( h 0 ，h ) - e v e n t u a ls t a b l i t yi se s t a b l i s h e df o ri m p u l s i v eh y b r i d s y s t e m sb yu s i n gp i e c e w i s ec o n t i n u o u sl y a p u n o vf u n c t i o n s a ne x a m p l ei sd i s c u s s e dt o i l l u s t r a t et h et h e o r e m k e y w o r d si m p u l s i v eh y b r i ds y s t e mp e r t u r b i n gl y a p u n o vf u n c t i o n sc o n e - v a l u e d l y a p u n o vf u n c t i o n p i e c e w i s ec o n t i n u o u sl y a p u n o vf u n c t i o n s t a b i l i t y i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名：燮丞垫日期：丝12 年厶月上l 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密盯。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为日扫帜锄挺冼链徽秀坼的学位 论文，是我个人在导师钐落黝指导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 作者签名 樱永艳 锄滟 导师签名： 日期：丑d 月丛日 日期：型翌年笪月丛日 日期：盟年上月立日 第1 章绪论 第1 章绪论 本章介绍了脉冲混合动力系统在众多领域中的广泛应用，说明了研究该类问题的理 论意义与实用价值简要地介绍了脉冲混合动力系统稳定性理论的发展和研究概况同 时列出了本文取得的主要结果 1 1 课题背景 随着科技的发展、社会的进步，在交通运输、航空调度、工程技术、生物生态学等领 域出现了许多复杂的系统这些系统往往既包含连续型动态又包含离散型动态，因而称 之为混合动力系统( h y b r i dd y n a m i c a ls y s t e m s ) 混合动力系统的研究分析是一个横跨应 用数学、系统科学、控制科学和计算机科学等学科的交叉研究领域【1 - 3 目前，混合系 统已引起国内外学者的广泛关注y e 等人【2 和m i c h e l 3 在度量空间上定义了一般意 义上的混合动力系统，并且给出了不变集上的一致稳定和一致渐近稳定的判断准则l i 等人【4 】给出一些判别拟循环混合动力系统稳定性的充要条件 由于脉冲动力系统在机械，生物人口数量的控制，质量控制以及非光滑最优化问题 等方面的广泛应用，脉冲动力系统定性研究一直以来都受到了人们的高度重视并取得很 大进展( 见【5 9 】) 在很多自然现象中，都是量变积累到一定程度，才会突然发生质变的 在这种情况下，人们需要切换到新的系统，而控制这一系统的方程需要考虑到顺时扰动 的脉冲影响这一系统同时体现了连续时刻的动态切换和脉冲跳跃现象，此系统通常被 称为脉冲混合动力系统脉冲混合动力系统作为混合系统的重要类，由于其广泛的代 表性，更成为广大学者研究的焦点之一本文所讨论的脉冲混合动力系统是一类特殊的 但很重要的具有可变结构的脉冲微分系统，该系统的特点就是后一时间段的微分系统依 赖于前一时间段末时刻的状态比如给厂房配电，不同时间段内电流所满足的微分方程 是不同的这时，人们需要将系统切换到一组新的微分系统，新的微分系统要依赖于前 一时间段最后一时刻电流的值l a k s h m i k a n t h a m 等人在文献 1 】中给出此系统的数学 模型并对此系统做了详细介绍，并给出比较原理和关于此系统稳定性的判断准则 众所周知，稳定性问题是人们研究各种动态系统( 包括工业系统，自然界存在的各 类系统以及社会经济系统等) 所面临的最基本也是最重要的问题之一，是任何系统分析 都必须首先考虑的问题稳定性概念最早起源于力学，一个刚体或一个力学系统具有某 种平衡状态，在有微小干扰的作用下，这种平衡状态或者保持，或者受到破坏，这就是 河北大学理学硕一 ：学位论文 稳定与不稳定的雏形最早的稳定性原理是t o r r i c c l l i 原理，即物体仅受重力作用时，当 重心处于最低位置的平衡是稳定的，反之是不稳定的后来逐步发展到运动稳定性的研 究，由于运动无所不在，因而，稳定性的研究便大大地超出了力学范围而进入多种领域 虽然，l a p l a c c 、l a g r a n g c 、m a x w e l l 、t h o m s o n 和t a i t 等人都曾经使用过稳 定性的概念，但都没有给予稳定性以精确的数学定义1 9 8 2 年，俄国著名数学力学家 l y a p u n o v 在他的博士论文”运动稳定性的一般问题”中给出了渐近性理论中运动稳定 性的严格数学定义和用来讨论渐近性行为的一般的数学方法他从类似系统总能量的物 理概念得到启示，提出了后来被人们称为l y a p u n o v 函数的概念 1 0 一1 3 ，从而建立了稳定 性理论的框架，奠定了动力系统稳定性理论的基础 近年来，稳定性理论得到了国内外学者的广泛关注，已经积累了十分丰富的成果， 这一领域取得了长足的进展随着研究的深入和研究现象的变化，李雅普诺夫稳定性已 经衍生出了许多新的概念，它们具有非常重要的研究价值如： 1 9 6 9 年，l a k s h m i e u n t h a m ，l c c l a 在其著作 1 4 中对常微分方程引入了相对稳定 性、积分稳定性和最终稳定性等概念 1 9 7 7 年，l a k s h m i k a n t h a m ，l c c l a 首次提出了锥值和锥值l y a p u n o v 函数方法，发 展了微分不等式理论 1 5 ；随后a k p a n 等人在锥值l y a p u n o v 函数理论的基础上，对常 微分方程引入了o 稳定性的概念，并建立了关于o 稳定性的充分和必要条件【1 6 1 9 8 6 年，d a n n a n 和e l a y d i 研究了非线性微分方程的l i p s c h i t z 稳定性 1 7 ；随后 k u l c v 和b a i n o v 将l i p s c h i t z 稳定性概念推广到脉冲微分系统 1 8 ，1 9 2 0 0 1 年，在锥值l y a p u n o v 函数和比较原理的基础上，e l s h e i k h ，s o l i m a n 和a b d a l l a 讨论了非线性常微分方程的相对西。稳定和部分o 稳定【2 0 紧接着w a n g 和g c n g 又 把相对西。稳定这一概念发展到了泛函微分系统 2 1 2 0 0 2 年，s o l i m a n 把最终稳定性的概念推广到脉冲微分系统，利用l y a p u n o v 直接 方法和比较原理研究了扰动的脉冲微分系统的的最终l i p s c h i t z 稳定性 2 2 ；随后张瑜和 孙继涛用分段连续l y a p u n o v 方法得到了脉冲微分系统的最终稳定性结果 2 3 】 2 0 0 7 年，s o l i m a n 介绍并拓展了微分系统的积分稳定和o 稳定的概念，紧接着给 出了积分o 稳定的概念，利用锥值l y a p u n o v 函数建立了关于积分o 稳定性的充分和 必要条件【2 4 】 另外，还有实用稳定性 1 7 ，2 5 、严格稳定性 2 6 等等 还有一种稳定性理论，就是关于两度量的稳定性理论，它是将多种已知的稳定性概 第1 章绪论 念统一起来，为研究各种稳定性理论提供了一个统一的理论框架 2 7 】 1 2 国内外研究状况 脉冲混合动力系统是脉冲微分系统的推广，当不同时间段内微分系统相同时就简化 为脉冲微分系统，因此对脉冲混合动力系统稳定性的研究可以从脉冲微分系统稳定性的 研究中得到启发 2 8 - 3 1 ： ( 1 ) v l a l 娼h m i k a n t h a m 1 】介绍了脉冲混合动力系统的概念及其模型并研究了脉冲 混合动力系统的稳定性问题 ( 1 1 ) 其中，c 兄+ r “r m ? 肿】，h o r n ，r n 】儿c 【r “r 】，k = 0 ，1 ，2 ，在文献 【1 】中，v l a k s h m i k a n t h a m 利用纯量l y a p u n o v 函数和比较原理对脉冲混合动力系统进 行了分析，并得到此系统的一些稳定性判据 ( 2 ) o a k i n y c l c 3 2 】在文献 1 】的基础上考虑了脉冲混合动力系统( 1 1 ) ，利用锥值 l y a p u n o v 函数对脉冲混合动力系统( 1 1 ) 的稳定性问题进行了研究，给出了系统( 1 1 ) 的新的比较结果，对 1 中的结果进行了拓广 ( 3 ) p g w a n gf 3 3 考虑了时标上脉冲混合动力系统的稳定性问题 ( 1 2 ) 这里，：r + k k k ，当t ( t k ：t k + 1 时，连续，且对每一对z ，y 当( t ，7 7 ) _ ( 妄，z ，) 时，有l i m f ( t ，f ，7 7 ) = ，( ? z ，y ) 存在，厶：k _ k ，f c r d 1 r kxk ，k p g w a n g 利用锥值l y a p u n o v 函数讨论了时标上脉冲混合动力系统( 1 2 ) 的稳 定，利用比较原理给出了系统( 1 2 ) 的一些o 稳定判断准则，最后用实例对所得结果进 行了说明 ( 4 ) 郭飞在其硕士毕业论文 3 4 中讨论了脉冲混合动力系统( 1 1 ) ，利用l a p u n o v 函 数研究了系统( 1 1 ) 关于两度量的稳定性和有界性其中利用比较方法给出了该系统关 于两度量的积分稳定性结果 = m i | 砒啪 几0 + l 巩= 裂警蛳 1 l i “孤 = ， h 砖 ，t ， “剐 们忽 * t l ， j 0 ，” 抖= a 墙b 扛b z厶跏舡 篓麓一 i |啪k、“uo 河北大学理学硕士学位论文 由于脉冲混合动力系统系统是脉冲微分系统的推广，因此在理论上，用于研究脉冲 微分系统稳定性的方法也同样适用于脉冲混合动力系统，这样就极大地丰富了脉冲混合 动力系统的研究成果 尽管已经有很多的学者对混合动力系统和脉冲动力系统进行了广泛的研究，但是目 前对脉冲混合动力系统的研究还不够深入混合动力系统的稳定性问题目前还只是一些 非常基本的结果，许多新的稳定性的概念少有涉及没有揭示脉冲对混合系统稳定性的 影响由于脉冲混合动力系统能够更准确地反映现实世界中的模型，因此对脉冲混合动 力系统的稳定性的研究具有广阔的前景 1 2 本文的主要内容 本文的研究对象是脉冲混合动力系统，即一类特殊的具有可变结构的脉冲微分系统， 它的特点就是不同时间段内微分系统可以不同，并且后一时间段的系统依赖于前一时间 段利用扰动l y a p u n o v 函数，锥值l y a p u n o v 函数等不同方法，讨论了脉冲混合动力系 统的稳定性问题本论文研究的内容概述如下： 第二章考虑了如下两个脉冲混合动力系统的相对砂。稳定的问题： 0 1 ，1 2 ( 1 3 ) 其中假设 ，厶c r + r ”r ，r n ，且满足以下两个条件 ( i ) 0 t o t l t 2 七且l i m o 。l k = 。， ( i i ) l k ，以c ( r “，r ”) ，入七，p 七c r ”，r ”。 给出了脉冲混合动力系统( 1 3 ) 相对稳定和相对o 稳定的概念，利用锥值扰动l y a - p u n o v 函数方法给出了关于相对砂。稳定的充分和必要条件 第三章研究了脉冲混合动力系统( 1 1 ) 及其扰动系统： 其中r ，t + r “，r “】，p k c ( r ”，妒) z ) ，t ( t k ，七+ 1 】 x k ) + r ( z 自) ，k = 0 ，1 ，2 ，( 1 4 ) 吉) = x o 一4 】：o l： h 七 z d = 嚣翥 钆才皖 ii r i ! 咄删咄鼍| o + 铷o + 妣 m砜=眈挑i| =曲饥=曲地扣扣k从肌站碳z斗、门秒+k一： 肌蝴脚黼 1渤i一。嘲= 引钆烈弧 冰 “+ 铷 h = 掣蒿 k 对d他= 川 1 = 以钆 ，j(1i【 第1 章绪论 同样给出了系统的积分咖。稳定的概念，利用比较方法给出了该系统的积分西。稳定 性结果 第四章研究了脉冲混合动力系统两度量最终稳定性，给出了脉冲混合动力系统关于 两度量的最终稳定性的定义，利用分段连续l y a p u n o v 函数，得到了脉冲混合系统关于 两度量的一致最终稳定性的结果，最后用实例对所得结果进行说明 第2 章脉冲混合动力系统的相对九稳定 本章针对两个脉冲混合动力系统，首先给出了脉冲混合动力系统的相对稳定和相对 九稳定相关的基本概念，紧接着选取适当的锥，在锥上利用扰动l y a p u n o v 函数讨论了 脉冲混合动力系统平凡解的相对九稳定和渐近相对o 稳定 2 1 预备知识 考虑脉冲混合动力系统，即 其中 ， c r + 冗几r m ，r n ，且满足 ( i ) 0 t o t l t 2 t k 且l i m k - - o ot 七：o 。， ( i i ) 厶，以c ( r n ，r “) ，儿，p 七c r ”，r m 系统( 2 1 ) 的解z ( ) = z ( o z o ) ，y ( ) = 秒( t ，t o ，y o ) 我们可以用以下形式表述 秒cz，=篓；篆茎；茎茎+，j z 七7 = ( ，z 膏，a 女( z k ) ) ，x k - 1 i ：) = z 七， 七7 = ，2 ( t ，七， ( 七) ) ，y k - 1 ( ，七) = 可七， ( 2 1 ) 2 l 2 仉 1 = 0 “轧印=如掣嚣等训啪们扮 ，l，l(，“ 咄慨蚓咄 加o 班驴一阻时刊孤j|0i|0如扣航鼻m坼从瞻帕肌吲蛳挑吼黼 =啪=气|j 扛埘筹蛾舻 1+ l 2 七 一 一 一 t t 一 一 o 1 t ， ， 、l，、l、 t ，i，l，l 怕研 一 ，、 = 、l ， ，l z 第2 章脉冲混合动力系统的相对c _ ，稳定 对每一个k = 0 ，1 ，2 ，和t k t t k + 1 我们假定当t t o 时，系统( 2 1 ) 的解存在且 唯一同理系统( 2 1 ) 的最大解1 7 ( ) ，秒+ ( f ) 我们可以用如下形式表述 f 丁( t ) = 【 f y + ( ) = 【 z ；( z i ( t z ；( 蛎 y ： 珙 ，o t tx ，1 t t 2 ，七 t t k + x ， ，o t ，1 ，t l 0 ，存在关于 t o 连续的j = 5 ( t o ，e ) ，使得下列不等式成立 i ix 0 一y oi i 6 蕴涵 i | x + ( ) 一秒4 ( ) i i e ，t t o ， 即 i iz o y o | | 6 蕴涵| iz ：( f ) 一可：( z ) i l 0 ，存 在关于t o 连续的6 = 5 ( t o ，) ，对o ，使得下列不等式成立 ( o ：z o y o ) 6 蕴涵( 砂o ，z 4 ( ) 一y + ( ) ) e ，t t o ， 即 ( o ，x 0 一y o ) 0 和t = t ( t o ，三) ，使得 ( 0 0 ，f 0 一g o ) 5 0蕴涵( 西o ，8 ( t ) 一+ ( ，) ) 0 定理2 2 1 假设西o 心，存在( ，x ，y ) c n + xs ( p ) xs ( j d ) ，k 和竹( x ，y ) c r + z ，k ，使得当t ( t k t k + 1 】时满足下列条件： ( a 1 ) ( ，z ，y ) 关于z 和y 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件，( 0 ，0 ) = 0 且 j d + ( o ( t ，z ，可) ) ( o ，夕l ( t ，( ) ，o k ( ( 七) ) ) ) ，t t k ， ，o 们 1 ( 旭( t 去一j ，y 声) ) ( 砂o ，巾( ( t 知) ) k = 0 ，1 ，2 ， - 叫 其中g l c ( n + k k ，r 军) 且g l ( t ：0 ，盯k ( k ) ) = 0 ，圣七c ( k ，r 华) ，o k c ( k ：k ) ( a 2 ) 町( t x ，y ) 关于t 和y 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件，k ，1 ( ，0 ，0 ) = 0 ，使得 b l 【( 咖o ，x ( t ) 一秒 ) ) ( 西o ，k ，t 7 ( ，z ( f ) ，y ( ) ) ) n 1 ( 西o ，x ( t ) 一y ( ) ) 】，a l ，b l k( 2 3 ) 且 ， j ? + ( ：m 譬) ) ) ( 咖0 9 2 ( ：? ( ) ，仇( m ( 南) ) ) ，t k ，( 2 4 ) i ( o ，m ( f 吉) ) s ( 庐o ，皿女( ”l ( t 七) ) ) k = 0 ，1 ，2 ， 、7 其中m ( t ) = ( z ，y ) + i 乞川( f ，x ：y ) ，9 2 c ( n + k k ，r 华) 且9 2 ( t ，0 ，k ( 膏) ) = 0 ， 皿七c ( k ，罩) ，砂膏c ( k k ) ( a 3 ) 脉冲混合动力系统 f u 7 g l ( t ，u ，盯k ( t 七) ) ，t ( t k t k + 1 】， u ( t ：- ) = 西k ( 札( t 七) ) k = 0 ，1 ，2 ， ( 2 5 ) iu ( t o ) = u o 0 是砂。稳定的，且脉冲混合动力系统 i u 7 9 2 ( t t f 饥( t 七) ) ，t ( t k t k + l 】， u ( 去) = 皿k ( u ( 舟) ) 后= 0 ：1 ，2 ， ( 2 6 ) 【v ( t o ) = v o 0 河北大学理学硕十学位论文 是一致咖。稳定的 则脉冲混合动力系统( 2 1 ) 是相对九稳定的 证明：令0 0 ，存在6 0 = 6 0 ( ) 使得当o 缁时 ( 西o ，v 0 ) 南蕴涵( o ， ( f ；t o ，v o ) ) 0 和5 2 0 使得，当o k ；时 ( 。，札。) 如蕴涵 ( 九，u ( t ；t o , u o ) ) 0 使得，当o 埔时 ( 西o ，x 0 一o ) 6 1 蕴涵( 咖o ，( o ，z o ，y o ) ) 6 3 ， 显然成立，我们令j = m i n ( 6 1 如) 现我们需要证明系统( 2 1 ) 的零解是相对西。稳定的，即 ( 2 9 ) ( ：x ，y ) 是连续 ( o jx o y o ) 5蕴涵( 矽o ，z 4 ( ) 一! ，( ) ) e ，t t o ， 其中t ( t k ，t k + 1 】如若不然，则存在系统( 2 1 ) 的解x ( t ，t o ，x o ) ，y ( t ，t o ，g o ) ，当( 西o ，x 0 一 y o ) 6 ，且对某些七，当t k t t “ 七+ 1 时，有下式成立 腻缫麓 t o g o ) ) a s ( 6 2 ) ， + ，t o ，y o ) ) a s ( e ) ， y o ) ) s ( e ) n s 。( j 2 ) t t + t ”】 7 7 ，( ，) = ( t ，。，g t ) + k ，”( ，i ，拶，t k ) ，t 【t + ，+ 4 】， ( 2 1 0 ) 第2 章脉冲混合动力系统的相对o c ，稳定 我们取o 名， d + ( 砂o ，7 n ( ) ) ) ( o ，9 2 ( ，r e ( t ) ，妒女( m ，( 女) ) ) ，t t ，”】，( 2 1 1 ) 且满足( o ，r n ( 1 4 ) ) ) s ( 妒o r 2 ( t + t o ，。，0 ) ) ，其中r 2 ( t ，t o 0 ) 是系统( 2 6 ) 的最大解由( 2 2 ) 和( 2 1 1 ) ，我们可得 ( o ，7 n ( t ) ) ( 咖o ，7 2 ( t t o t ，o ) ) ， t 4 ，。】 另外，我们有 ( 妒o v l ( t ，z ( ) ，y ( ) ， ) ) ( 咖o r 1 ，o ，u o ) ) i 6 0 ， ( 2 1 2 ) 其中r l ( ，t o ，u 0 ) 是系统( 2 5 ) 的最大解 由( 2 3 ) ，( 2 7 ) 和( 2 1 0 ) ，可得 ( 。川( t ，z ( + ) ，秒( + ) ，t ) ) a l ( o ，z ( + ) 一y ( t + ) ) 口1 ( 6 2 ) 6 0 ， ( 2 1 3 ) 通过不等式( 2 1 2 ) ，( 2 1 3 ) 和( 2 3 ) ，( 2 7 ) ，( 2 1 0 ) 以及0 可推导出矛盾b l ( e ) 6 1 ( ) 因此，脉冲混合动力系统( 2 1 ) 是相对驴。稳定的口 定理2 2 2 假设咖o k ；，存在i ，1 ( ，z ，t k ) ( ，? 【月+ s ( ) xs ( p ) ，k 和i 乞，( ，z ，y ，i k ) ( ? r + xz ，k ，使得，当，( ，t k + 1 时， ( a i ) 定理2 2 1 中的假设( a 2 ) ，( a 3 ) 成立； ( a ! ) ( z ，y ) 关于z 和y 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件，( ，0 0 ，t k ) = 0 且 | d + ( 0 v l ( t , x ，y ) ) + ( 札h ( _ t , xy ) ) s ( 九，g l ( 六v l ( t ) z k ( v i ( 知) ) ) ) ，( 2 1 4 ) i ( 0 0 ，( ，去，j ：去，y 声) ) + ( 砂o ，正? h ( t ，ly ) d i ) ( 咖o ，西k ( ( t - ) ) k = 0 ，1 ，2 ， 7 其中9 1 c ( r + xk xk ，r 罩) 并且g l ( t 乱，盯 ( t 七) ) 关于u 是单调非减的，圣 ：( u ) 关于u 是单调非减的，h c ( r + xs ( p ) s ( p ) ，r 至) 关于z 和y 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件， d + h ( t ，z ，y ) 是有界的，并且( 西o ，h ( t t ，y ) ) b 2 ( o ，x ( t ) 一秒( f ) ) ，b 2 r 则脉冲混合动力系统( 2 1 ) 是渐近相对咖。稳定的 证明：由定理2 2 1 可知系统( 2 1 ) 是相对o 稳定的令= - y ，显然有下式成立 ( o ，z o y o ) 5 0 ( t o ，7 ) 蕴涵( o ，_ j 4 ( t ) 一夥( ，) ) ，y t ( t k ，t k + 1 现在我们要证明，当( o f o 一o ) 6 0 ，f _ 。时，有下式成立 ( 砂o ，z + ( ，) 一y + ( ，) ) 一0( 2 1 5 ) 河北大学理学硕f ：学位论文 由于危( ，z ，) 是正定的，想要证明( 2 1 5 ) 成立只需证明熙 ( ，z ，可) = 0 现在，假设 当( ，x o y o ) 0 ，存在两发散的序列 。) ， t ：) ，使得 ? 5 ：j ，z ! ：。，z 。) ，可5 j ，。，y 。) 2 2 暑 ( 2 1 6 ) ( ：，z ( ：t o ，x o ) ，y ( ：，t o ，y o ) ) = a 、7 芸h ( t ，x ( t ，o ，z 。) ，y ( t ，。，夥。) ) s 。f 陋t ，： ，i = 1 ，2 ， 假定d + h ( t ，z ，y ) m 则：d + h ( s ，z ，y ) d s ，( t ；一t ) 蕴涵 对每一个i ，有 卜t i 而o l ( 2 1 7 ) 我们令n ( t ) = k ( z ，z ，! ，) + 芘h ( s ，z ( s ) ，( s ) ) 如且满足n ( t o ) = v 1 ( t o z o ，可o ) = u o 由条件 ( 鹪) ，可得 i d + ( 咖o ，佗( z ) ) s ( 咖o ，g l ，( t ) ，盯七( 七) ) ) ) ( o ，9 1 ( t ，n ( t ) ，盯( 礼( t ) ) ) ) ，t t k ， l ( 咖o ，礼( t ； ) ) ( 砂o ，q b k ( n ( t k ) ) ) 忍= 0 ，1 ：2 ， 由文献 3 2 中的定理2 4 可知 ( 砂o ，n ( ) ) ( o ，r l ( t ，t o ，u o ) ) t t o ， 即 ( 妣哪皿川+ ( 她“邺州州以) ( 妣州l , , 1 , 0 , t t o 独 因此 。( 帅 州州。吣一s ) 州s ) ) 幽) ( 砂o ，r 1 ( t ，t o ，u o ) ) 0 ( 咖o ，( ，z ，剪) ) ( 九嘣t , t o , 乱0 ) 邓。郴“s ) 洲s ) ) 如) i 0 0 一善銎，( 卜i i 0 0 一詈焉 o 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件) ； k = 厶t i n + xr ，雠】：b ( 0 ) = 0 ：b f f ) 关于7 严格递增) ； c r = 6 t i n + xr ，r + ，b ( t ) n 对于，+ ； 尸= ( 6 c o p ) ，r + 】：b ( o ) = 0 6 ( r ) 关于r 单调非减) 定义3 1 1 ( 【3 2 】) 令v c r n ，k 】( t ，z ) ( t k ，t k + 1 ) ，z y r ”时，定义 1 d + y ( ：z ，y ) 。拦器s u p 云 1 ( z + h f ( t ，z ，a k ( y ) ) 一y ( z ) 】 为了进一步的研究，需要以下比较引理 引理( 3 2 】) 假定尼是一锥，并且满足下列条件： ( i ) v c 肝， ， ，v 在锥k 上关于3 满足局部l i p s c h i t z i a n 条件，且 d + v ( t ，z ，y ) kg ( 1 ，y ( z ) ，吼( y ( s ，) ) ) ，t ( t k ，l k + 1 ) z ，y s ( p ) ， 其中s ( ，) ) = j 。r ”：i i o ) ，o r k f 【k ，k 】，c 【r + xk k ，疗+ 】， ( i i ) 存在垂膏c ( k ，k ) ，满足 v ( x + 厶( z ) ) k 圣七( y ( z ) ) ，z s ( p ) ，k = 1 ，2 ， ( i i ) 纯量脉冲混合动力系统( 3 2 ) 的最大解r ( t ，t o u o ) 在 t o 。) 上存在， 则对系统( 3 1 ) 满足v ( x o ) 0 ，t o r + ：存在 p ( 。略c n ，使得对系统( 3 1 4 ) 的解z ( ) = z ( ，。，z 。) ，当i l z o i i q ，对任意的t 0 ， s u pi lr ( s ，j ) 0d s 仃且 l | ri | o 时，有 j , oz s ( 口) o 兰耋五+ 丁 i | zi i 0 ，t o r + ，存在 p ( o ，q ) c r ，使得九瑞，对系统( 3 1 + ) 的解x ( t ) = x ( t ，t o ，x o ) ，当( 九，x o ) q ，对任 意的t 0 o + t s u pi ir ( s ，z ) l | a 且乏二i ip kiids a r ( s ，z ) l | a 且 ： a j t o 惦s ( 卢) t o 0 ，t o r + ，存在t = t ( t o ，a ，e ) 和7 = 7 ( t o ，a ，) ，使得咖o k ；，对系统 ( 3 1 + ) 的解x ( t ) = x ( t ，t o ，x o ) ，当( o ，x 0 ) n ，且对t 0 ， 厂幻+ t 、i ir ( s ，z ) i i 7 ， 11sup d s i ip k 7j r ( s ，z )