（基础数学专业论文）关于数论函数的均值估计和smarandache问题.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 众所周知，算术函数的均值估计问题在解析数论研究中占有十分重要的位 置，许多著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得任何实质性进 展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用! 著名的美籍罗马尼亚数学 家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 一生中引入了许多十分有趣数列和数论函数，并提出 了许多的问题和猜想他在1 9 9 1 年发表的( o r g yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ) 一书 中提出了1 0 5 个关于数论函数和序列的问题和猜想，很多学者都在研究这些问题 和猜想，并且有些已经得到了一些十分重要的结果。 本文研究了一些数论函数函数的均值估计问题，以及一些和s m a r a n d a c h e 未解决问题相关的方面，具体说来，本文的主要成果包括以下几方面： 1 研究了些新的数论函数的均值估计问题本文研究了素因子最大指数 序列e a n ) 的性质，并给出关于这个函数的混合均值估计，引入了两个新的数论 函数乃( n ) 和f ( n ) ，并给出了关于这两个函数的均值，得到了一些较好的渐近公 式 2 s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 在初等数论的研究中具有很重要的地位本文利 用初等方法研究了关于s m a r a n d a c h e 函数的几个方程的可解性 3 研究了第二类s m a r a n d a c h e 伪奇数数列和伪偶数数列的均值性质，并给 出他们的一些非常有趣的渐近公式， 4 对于无穷级数的研究是很有意义的本文主要利用初等方法研究一些简 单无穷级数的收敛性质，并给出了一些有趣的等式 关键词：s m a r a n d a c h e 函数；数论函数；渐近公式；均值；伪数序列；无穷级数 a b s t r a c t ( 英文摘要) i t i sw e l lk n o w nt h a tt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fa r i t h m e t i c a lf u n e t i o n sp l a y a ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y , a n dt h e yr e l a t et om a n y f a m o u sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a lp r o g r e s si nt h i s f i e l dw i l lc o n t r i b u t et ot h ed e v e l o p m e n to fa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y a m e r i c a n - r o m a n i a nn u m b e rt h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h ei n t r o d u c e dh u n d r e d so fi n t e r - e s t i n gs e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s ，a n dp r e s e n t e dm a n yp r o b l e m sa n d c o n j e c t u r e si nh i sl i f e i n1 9 9 1 ，h ep u b l i s h e dab o o kn a m e d “o n l yp r o b l e m s ， n o ts o l u t i o n s ! ”h ep r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b l e m sa n dc o n j e c - t u r e sa b o u tt h e s ef u n c t i o n sa n ds e q u e n c e si ni t m a n yr e s e a r c h e r ss t u d i e dt h e s e s e q u e n c e sa n df u n c t i o n sf r o mt h i sb o o k a n do b t a i n e di m p o r t a n tr e s u l t s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ee t u d yt h em e a nv a l u ep r o b l e m so fs o m ei m p o r t a n t a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n ds o m ea s p e c ta b o u ts m a r a n d a c h eu n s o l v e dp r o b l e m s t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 t h em e a nv a l u ep r o b l e m so fs o m ef u n c t i o n sa r es t u d i e d w js t u d vt h e p r o p e r t i e so ft h i ss e q u e n c ee p ( n ) a n dg i v es o m ea s y m p t o t i cf o r m u l a sw h n ee p ( 几) d e n o t e dt h el a r g e s te x p o n e n to fp o w e rpw h i c hd i v i d e sm 、7 v bi n t r o d u c et w o n e wa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sp d ( n ) a n d ，( n ) ，a n dg i v et w oi n t e r e s t i n ga s y m p t o t i c f o r m u l a 2 s m a r a n d a c h ef u n c t i o ns ( 哟h a sv e r yi m p o r t a n tp o s i t i o ni nt h es t u d y0 f n u m b e rt h e o r y w eu s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d st os t u d yt h es o l u t i o n so fs o m e e q u a t i o n si n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h ef u n c t i o n 3 w js t u d yt h em e a nv a l u ep r o p e r t i e so ft h es e c o n ds m a r a n d a c h ep s e u d o - o d dn u m b e rs e q u e n c ea n dp s e u d o - e v e nn u m b e rs e q u e n c e ，a n dg i v es o m e i n t e r e s t i n g a s y m p t o t i cf o r m u l a ef o rt h e m 4 s t u d y i n gs o m ei n f i n i t ys e r i e si sv e r ys i g n 进c a n t w eu s et h ee l e m e n t a r y m e t h o dt os t u d yt h ec o n v e r g e n tp r o p e r t i e so ft h i ss i m p l ei n f i n i t ys e r i e s ，a n dg i v e s o m ei n t e r e s t i n gi d e n t i t y k e y w o r d s ：s m a r a n d a c h ef u n c t i o n s ；a r i t h m e t i cf u n c t i o n s ；a s y m p t o t i cf o r m u l a ； m e a nv a l u e ；p s e u d on u m b e rs e q u e n c e ；i n f i n i t ys e r i e s i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：逮阻指导教师签名：；荔蛐 2 彤7 年月日锄了年月，日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：剥砖铀 2 嘲年# 只| 日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 数论，是研究数的规律，特别是研究整数性质的数学分支数论形成一门独 立的学科后，随着其它数学分支的发展，研究数论的方法也不断地在发展，现代数 论已经深入到数学的许多分支，在我国，数论也是发展最早的数学分支之一 当自变量竹在某个整数集合中取值，因变量y 取实数值或复数值的函 数可= ，( n ) ，这种函数称之为数论函数，它们在许多数论问题的研究中起着非常 重要的作用尽管很多重要的数论函数的单个取值往往很不规则，然而它们的均 值f ( n ) 却体现出很好的规律性，因而数论中对数论函数性质的研究经常是在 n z 均值意义下进行的i l l 7 i s 算术函数的均值估计是数论尤其是解析数论的重要研究课题之一，是研究各 种数论问题不可缺少的工具许多著名的数论难题都与这些均值密切相关，因而 在这一领域取得任何实质性进展都必将对解析数论的发展起到重要的推动作用 罗马尼亚数论专家s m a r a n d a c h e s 4 在( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 一 书中，提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题对其中的一些问题进行研究，并给以 一定程度上的解决，是有趣并有一定的理论意义的研究课题 基于以上的想法，我们应用初等数论，解析数论等知识对他提出的几个数论 中未解决的问题进行研究，主要研究了数论中一些著名和式的均值性质，以及它 们与一些重要函数之同的联系 1 2主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了一些重要算术函数的均值估计这些成果主要表 现在研究了一些新的数论函数及其均值，包含s m a r a n d a c h e 函数的方程。关 于s m a r a n d a c h e 伪数序列问题，关于一些无穷级数的性质四个方面，内容分布在 第三至第六章具体说来，本文的主要成果和内容组织如下： 1 研究了一些新的数论函数及其均值，这些新的数论函数主要是关于素因子 最大指数岛m ) ，无m 次因子以及k 次补数，还引入了两个新的数论函数功( n ) 和，( n ) ，并给出了关于这两个函数的均值，得到了一些较好的渐进公式 2 s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 在初等数论的研究中具有很重要的地位本文利 用初等方法研究了关于s m a r a n d a c h e 函数的几个方程的可解性 3 ，研究了第二类s m a r a n d a c h e 伪奇数数列和伪偶数数列的均值性质，并给 出他们的一些非常有趣的渐近公式 4 对于无穷级数的研究是很有意义的 次补数和六边形数的无穷级数的收敛性质 本文主要利用初等方法研究了关于k 并给出了一些有趣的等式 第二章数论发展史 第二章数论发展史 2 1数论的发展简况 7 人类从学会计数开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践的需要，数 的概念进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介 于正整数和负整数中间的中性数叫做0 它们和起来口q 做整数 对于整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。其中加法、 减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行也就是说，任意两 个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍然是一个 整数。但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。 人们在对整数进行运算的应用和研究中逐步熟悉了整数的特性。比如，整 数可分为两大类一奇数和偶数( 通常被称为单数、双数) 等。利用整数的一些 基本性质，可以进一步探索许多有趣和复杂的数学规律，正是这些特性的魅 力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论。后来整数论又 进一步发展。就叫做数论了。确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科。 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世 纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没 有形成完整统一的学科。 自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大 公约数、勾股数组，某些不定方程整数解的问题等等。在国外，古希腊时代的 数学家对于数论中一个最基本的问题一一整除性问题就有系统的研究，关于质 数，和数、约数、倍数等一系列概念也已经被提出来应用了。后来的各个时代 的数学家也都对整数性质的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得 到完善。 在整数性质的研究中，人们发现质数是构成正整数的基本“材料”，要深 入研究整数的性质就必须研究质数的性质。因此关于质数性质的有关问题，一 直受到数学家的关注。 到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的知识已经十分丰 富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成熟了。德国数学 家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做算术探讨，1 8 0 0 年寄给了法国科 学院，但是法国科学院拒绝了高斯的这部杰作，高斯只好在1 8 0 1 年自己发表了 这部著作。这部书开始了现代数论的额纪元。 在算术探讨中，高斯把过去研究整数性质所用的符号标准化了，把当 时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分 类，还引进了新的方法。 2 塑! l 奎童堡主童堡堡圣 2 2数论的基本内容 数论形成了- f q 独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方 法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代 数数论和几何数论四个部分。 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研 究整数性质的分支。比如中国古代有名的“中国剩余定理”，就是初等数论中 很重要的内容。 解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支。数学分析是以 函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科。用数学分析 来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过 贡献。解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具比如，对于“质数有 无限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有 关无穷级数的若干知识。二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性 的提出了“三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用。 我国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想”问题中使用的是解析数论中的筛 法。 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支。数学家把整数概念 推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念。 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的。几何 数论研究的基本对象是“空间格网”什么是空间格网呢? 在给定的直角坐标 系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空闯格网。空 间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。由于几何数论涉及的问题比较复 杂，必须具有相当的数学基础才能深入研究。 2 ，3 数论在数学中的地位 数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究 状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用。但对于大多数人来讲并不清楚 它的实际意义。 ， 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用。比如在 计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究 成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子定理”来进行测距，用原根和指 数来计算离散傅立叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似 分析、差集合、快速变换等方面得到了应用。特剐是现在由于计算机的发展， 用离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能。 数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数 论是数学中的皇冠”因此，数学家都喜欢把数论中一些悬而未决的疑难问 题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。下面简要列出几颗“明 3 第二毒数论发展史 珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完全数 问题 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪三十年代开 始，在解析数论、刁藩都方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华 罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家。其中华罗庚教授在三角和估值、堆 砌素数论方面的研究是享有盛名的。1 9 4 9 年以后，数论的研究的得到了更大的 发展。特别是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界领先的 优秀成绩。 特别是陈景润在1 9 6 6 年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为 一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”以后，在国际数学引起了强烈的 反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点至今，这仍是 “歌德巴赫猜想”的最好结果 4 西北大学硕士学位论文 第三章新的数论函数及其均值 3 1关于e ，( 礼) 的均值 3 1 1引言 设p 为任一给定的素数，对于任意正整数n ，我们用数论函数e p ( n ) 来表示 能够整除佗的p 最大指数也就是说，如果矿i n 且矿+ 1t n ，则有( n ) = n 对于任意正整数，我们称礼的_ | 次补集6 ( 珏) 是指能够满足菇b k ( 竹) 恰好是 个k 次幂的最小正整数在文献删的第6 8 和2 8 问题中，罗马尼亚著名数论专 家f s m 缸粕d a c h e 教授要求我们研究( n ) 和k ( n ) 的算术性质本节的主要目 的是利用解析方法和初等方法研究乏：e p ( b k ( n ) ) 的均值性质，经过比较我们发现 n o a ，当6 026 0 ，6 0 , 7 0 + b ， t 1 及z 1 时有： ( 由茹正整数时， 三咖矿”碥i 栅b + i t 帅s ) 等幽+ 。( 掣掣) + 。e h 难胁( - 等) ) + 。卜h ( n ) r a i n ( t ，南) ) 其中n 是离z 最近的整数扛为丰奇数时，取= z 一 ，i iz1 1 = l n x h ( 的。= 正整数时， 忡却 去e 。刊等凼n x n - s o = v- + 。( 塑掣) + 。( n i - # o h c 2 n 岫( t ，警) ) 这里0 常数仅和，6 0 有关 3 1 3 定理的证明 下面我们用初等方法给出定理3 1 的一个既精确而又简单的证明首先我们 注意到在从1 到m 的川个数中，恰好被p m 整除的数共有f h i j l i 舟1 个 当1 m 膏时，若p ”i i 乱，则勺( k ( n ) ) = 七一m 若m = s k + t ，则当p m 时， 有印( 6 k ( n ) ) = 后一t ，于是由这些性质我们有 勺( k ( n ) ) n 朋 、驴，= 熹z ：蟛( 雩) 将上式积分线移至r es = ；+ e 处，于是取t = z 可得 乏b ( 州= ( 南一面1 2 北z + 熹z 扣+ 。- 柑i t 耶) 等幽+ 。e ；和) t ( 南一p l _ 1 ) 2 x t n x + c ( 肿c _ + e 1 刊高疵) 叫 = ( 蒜一南) 2 幽z 堋z + 。( 痧) 这就完成了定理3 2 的证明定理3 2 的误差项显然不如定理3 1 精确，是否对 定理3 2 能得到类似于定理3 1 的误差项是一个有待于进一步研究的课题 3 2 关于无m 次因子 3 2 1 引言 对于任意正整数，l ，有，l = , u m u ，其中口是m 次f r e e 数令口。( 札) 是正整 数n 的m 次f r e e 部分e p ( 竹) 表示所有整除i o , 的素因子的最大指数对任意正 整数k 1 ，我们定义另一个函数如( n ) 如下： 颤( n ) = m a x 似：d i n ，( d ，k ) = 1 由以( 凡) 的定义，我们很容易推断氏( n ) 是一个完全可乘函数本节主要来研究 新的数论函数勺( 口m 机) ) 和氏( o 。( n ) ) 的均值性质，并且得到了两个有趣的渐近 公式即就是证明下面的定理 定理3 3 ： 设p 为给定的素数，m 为任意给定的正整数则对任意实 数z 1 ，我们有渐近公式 薹制枷= ( 南一筹) 刖) ， 其中f 为任意给定的正数 9 里三童堑塑鍪篁里塑垄塞塑堡 定理3 4 ：对任意实数z 1 ，我们有 薹，= 萼器暴螽南+ d ( 疹) n s z引k ”7 其中f 为任意给定的正数，( ( s ) 为r i e m a n nz e t a 函数 3 2 2 定理的证明 在本节中，我们利用解析的方法完成定理的证明 对任意的复数s ，r e ( s ) 1 ，设 肌、一虽勺( o 。( n ) ) ，( s ) 2 半产 ；1 于是由数论函数e p ( n ) 和口。( n ) 的定义我们容易推出当n = 矿n l ，l ，p ) = 1 时 e p ( n ) ) = 勺铲竹- ) ) = 印( o 。妒) ) 于是由上式及e u l e r 积公式可得 设 邝) ：妻唑掣 一虽虽e p t a , 舻d ”：ff a 一- - - o 盖昌 矿n i ( n l , p ) = l 刮州一；，薹学 a ：子垒堕鲨2 = 歹1 + 声2 + + 孑m 磊- = i 再1 + 刁鬲1 辅商+ 刁磊2 干互万+ + 刁m 丽- 1 = 歹+ 声+ + 孑磊= i 再+ 刁鬲辅商+ 孑磊干互万+ + i 丽 12 m 一1 + + i 硒+ 刁而+ + p ( u m + m - 1 ) s ，t ? i - 1 ；r 土f 二 名p 鲁 = 毒f ；1 ( 菩一詈) 1 0 西北大学硕士学位论文 则有 邝卜薹掣= ( 尚一筹) 一 其中e ( s ) 为r i e m a n nz e t a 函数，并在s = 1 处有1 阶极点，留数为1 ，而，( s ) 譬 在s = 1 处也有一阶极点，留数为( 面一哥m ；q - - 1 ) z 在p e r r o n 公式【2 | 中 取8 0 = 0 ，b = ；，t 1 ，可得 薹咖卜熹z 馋，知。( 譬) 将上式积分线移至r e5 = 4 - e 处，于是取t = z ，可得 三咖，= ( 尚一筹卜+ 熹z = 加，知。( z j =(南一筹)(协1i删i 高a、 ( 矿一1 ) ( p 一) p m 一1 l ，- t i 。、2 。“7 i l + i fj “ + d g 扣) = ( 篱舄1 一筹) z + o ( 疹) ( p ，l 一1 ) ( p 一) p m 一1 k 4 。 这就完成了定理3 3 的证明 定理3 4 的证明：我们同样可以利用解析的方法来完成定理3 4 的证明对 任意的复数8 ，r e ( s ) 2 ，设 邝，= 薹掣 对于正整数n = 矿，由6 k ( n ) 和o 。( n ) 的定义，可得： 氏( 0 r n ( 佗) ) = 以( o 。( p 。) ) = 1 ，p l 七， 以( 0 t r i ) ) = 以( n t ，l ( p a ) ) = 矿，n 三卢r o o d m ，0 卢 1 ，可得 “ 氏( d ，i ( n ) ) = 菰1j ：；3 + 盯4 t ，( s ) 芋幽+ df 譬) 将上式积分线移至r es = ；+ e ，于是取t ：z ，可得 如( n ) ) = n 嬲娶端萼+ 嘉z = 删等如+ 。 虿+ 丽六“一盯，( 5 ) 予如+ d ( z ；牝) 知汜协3m ) 高刁 = c 。( 2 m 。) i m i 南南萼+ 。 这就完成了定理3 4 的证明 3 3 关于一个新的s m a r a n d a c h e 可乘函数 3 3 1引言 对于任意正整数n ，( 扎) 是一个s m a r a n d a c h e 可乘函数，它满足，( n ： 1 2 西北大学硕士学位论文 m a x ( ，( o ) ，( 6 ) ) ，( a ，= 1 对于任意素数p 和任意正整数q ，取，( 矿) = a p 对于n 的标准分解 式n = p n l 跨2 露，我们定义函数，( 礼) 为： 我们定义r ( n ) 为 歹( 砖2 。m 她a x 。 f ( p ? ) ) 2 跫鉴 蝴) 岛( n ) = d = n 掣， 甜n ( 3 1 ) 其中d ( n ) = f 1 是d i r i c h l e t 除数函数 d i n 本节的主要目的是研究，( p d ( 礼) ) 的均值性质，并且获得一个有趣的渐近公 式即就是证明下面的定理： 定理3 5 ： 对于任意实数z 2 ，我们有渐近公式 乏纰，= 磊盖形熹+ 。( 鑫) ， 舯g = 暴+ ；薹学是一个枫 3 3 2 一个引理 y g - j - 完成定理的证明，我们需要下面一个引理 引理3 2 ： 对任意正整数t l ，令n = 西1 艿2 p n 为n 的标准分解式， p ( n ) 2 1 m 。a 。x k0i ) 如果存在p ( n ) 满足p ( n ) 、，伍，则有恒等式 ( n ) = p ( n ) 证明：由p 协) 的定义和条件p ( 霸) 、，伍，可得 ，( p ( n ) ) = p ( n ) 对于，l 的任意素因数( 1 ts ka n d 风p ( ”) ) ，有 ，( 2 孽) = n 锄 现在我们分三种情况来讨论，( 露) 的上界： ( i ) 当o t i = 1 ，有，( 肌) = 鼽何 ( i i ) 当啦= 2 ，有，( 刃) = 锄2 n s 面 1 3 ( 3 2 ) 篁三重堑墅壑篁塑壑星墨塑堡 ( 1 1 1 ) 当啦3 ，有，( 露) = q p i 啦n 瓯n 袁而这里用 到口s 啬当矿n 综合考虑( i ) 一( i i i ) ，我们很容易得到 ，) 、丽( 3 3 ) 由( 3 2 ) 和( 3 3 ) ，我们很容易得到得到 ，( 礼) 2 燃 、历 利用e l d e r 求和公式，我们可以得到 ，慨( 力) p ( 啪( 珏) 伺z g ( 3 ，4 ) 对于这个和式的另一部分，因为p ( n ) = p ，设n = p j ，其中p z ，p ，z ) = 1 可得 忍m ) = n 掣= 0 f ) 掣：( p t ) d ( o 则 ( p d ( n ) ) = f ( ( p 1 ) d ( o ) = ，( 。) = d ( 1 ) p ， 由上式我们有 ，( p d ( n ) ) = n b p d ( z ) + p d ( d 面白立l ( ；p 讧l p 薹p 邮，+ 。瞳p l p ) 1 + 。睦p 邮，1 p 9 f ；b 茎讧b 沂f ( ： = 互p 邮h 。叩，荟p 一瞳p 1 c 量础，1 p 西l ( ； l s 讧 “p ! 面坯扫 、 +o l p d ( z ) l 匹讧l p 1 4 、 + o i p d ( f ) l p s 面k ； 删 鹭脚 啦 = p她 簧 = 加烈 丕堋 西北大学硕士学位论文 ( 3 5 ) 我们由定理3 1 7 1 可得 撕) = x l n x + 铆- 1 ) 外o ( 伺 1 且七不是素数，则由初等数论中的结果可知必存在一素数p 使得七p 2 k 设p 一后= z ，其中1 f 七若令m l = 耽一= m j = 2 ， 舰+ 1 力7 9 + 2 一m 奄= 1 且s o ) = 1 ，s ( 2 ) = 2 ，则我们有 和 s ( m 1 ) + s ( m 2 ) + + s ( m k ) = 2 l + ( 七一1 ) = f + 女= p s ( m l + m 2 + + m ) = s ( k + z ) = s ( 力= p = s ( m 1 ) + s ( m 2 ) + + s ( m ) 成立。因此“1 = ”2 = = m l = 2 ，m l + l = m f + 2 - = 竹礓= 1 ，满足方程 综合以上两种情况，我们立刻得到至少有一个解满足方程 这就完成了定理4 2 的证明 1 7 第四章包含s m a r a n d a c h e 函数的方程 4 2 一个新的方程 4 2 1引言 设n 为任意正整数，我们定义数论函数s ( n ) 如下： s ( n ) = m i n m ：m n ，h i m ! 用集合a 表示所有满足方程，l = s ( 礼) 的正整数礼的集合本节的主要目的是 利用初等方法研究方程n = s ( n ) 的解数问题，并给出关于这个方程的解数的的 渐近公式。即就是证明了下面的： 定理4 3 ：设n 为任意正整数，七为任意给定的正整数，则对任意实 数z 1 ，方程n = s ( n k ) 的解数满足渐近公式 吣) 2 荟t = 丌( ；) + 。( ，) 2 矗+ 。( 击) 4 。2 2 定理的证明 下面我们用初等方法给出定理4 , 3 的证明我们首先设n = 硝1 砖2 露。 是n 的标准素因数分解式，那么就有 s ( n ) = 四婪 s 慨“) ) = s ( 矿) 1 二； 5 对于方程n = s ( n ) 的解，我们分三种情况讨论： 、 ( i ) 如果k = 1 ，那么方程就成为n = s ( ，1 ) ，我们很容易得到n = 1 和n = p 是方程的解 ( i i ) 如果= 2 ，那么方程就变为n = s ( n 2 ) ，即s ( n 2 ) = s ( 妒) = m 很容易 发现行= 1 显然是方程的解，如果n 1 ，我们可以分三种情况讨论： ( a ) 如果口= 1 ，s ( n 2 ) = s ( p 2 ) = n = n i p ，且( n l ，力= 1 ，当p 2 时， s ( p 2 ) = 印= n i p ，那就可得7 1 1 = 2 ，因此当p 2 时，n = 2 p 即是方程的解 ( b ) 如果o t = 2 ，s ( n 2 ) = s ) = n = n l p 2 ，且( n 1 ，p ) = 1 ，当p 4 时， s ( p 4 ) = 卸= n l 矿，就可得n i p = 4 ，这与p 4 矛盾，因此这时方程无解 当p = 2 ，s ( 矿) = s ( 2 4 ) = 6 2 2 ，所以n = 4 不是方程的解当p = 3 ， s ( p 4 ) = s ( 3 4 ) = 9 = 3 2 ，所以p = 3 即n = 9 是方程的解 ( c ) 如果q 3 ，且p 2 时，s ( n 2 ) = s ( 护o ) s2 a p 2 0 p ，所以此时s ( n 2 ) n ，这时方程无解 综上所述，当k = 2 时，方程n = s ( n 2 ) 的解是凡= 1 ，n = 9 ，和佗一劬 ( i i i ) 如果k 3 ，那么我们来讨论方程n = s ( 舻) 的解，凡= 1 显然是方程的 解，如果n 1 ，设n = p ? ，砖z 醒t ， 1 8 塑! l 奎耋堡圭堂堡篁塞 s ( n ) 2 l m k a f p l ， 衍1 砖2 醒 k 舻 k a l p l 因此s ( 矿) = p 口1 谬p n = k a t p t 要保证等式硝1 硝2 p = k a l p t 成立，啦= l ，这样我们很容易得到佗：后研 就是方程的解我 f i dn = p 时，当p 足够大时，方程n = s ( n k ) 的解是n ：1 和n = k p ，最多有有限个解遗漏经过以上讨论，我们, - i d a 推导出方程r t ：s ( n k l 的解的个数的渐近公式为： u ( 功一1 = 1 + d ( 七) n 向，2 n 6 a 向 = 1 + o ( 七) p 詈 向 = 丌( ；) + d ( 后) = 击k i n + 。( 壹) z v 、1 n 2 z ， 这就完成了定理4 3 的证明 1 9 第五章关于s m a r a n d a c h e 伪数序列问题 第五章关于s m a r a n d a c h e 伪数序列问题 5 1 引言 对任意一个偶数。如果将其各位数字置换所得数字是个奇数，那么这个数 称为第二类s m a r a n d a c h e 伪奇数例如：1 0 ，1 2 ，1 4 ，1 6 ，1 8 ，3 0 ，3 2 ，3 4 ，3 6