（基础数学专业论文）几类微分差分方程的定性研究(1).pdf

几类微分差分方程的定性研究 摘要 本硕士论文由四章组成，主要讨论一类带阻尼项的高阶非线性中立型差分 方程的正解的存在性，一类差分方程解的振动准则，一类非自治变时滞l o g i s t i c 方程的全局吸引性，一类带有多个时滞微分方程的周期解 第一章讨论了一类带阻尼项的高阶非线性中立型差分方程正解的存在性， 利用k r a s n o s e l s 不动点定理，得到了非振动解存在的若干充分必要条件，这 些结果改进和推广了一些已知的结果 第二章讨论了一类带两个时滞的差分方程解的振动性，给出了所有解振动 的新的充分条件，并将其推广，得到了更一般的具有多时滞的差分方程解的振 动性的准则，我们的结果推广了已有文献的结果 第三章讨论了一类可变时滞非自治l o g i s t i c 方程的正稳态是全局吸引子的 充分条件，所得到的结果推广和改进了相关文献中的结果 第四章利用重合度理论讨论了一类具有多个时滞的微分方程的周期解的存 在性 关键词：非振动解；k r a s n o s e l s l 【i i 不动点定理；l o g i s t i c 方程；全局吸引 性；周期解。 几类微分差分方程的定性研究 i i i a b s t r a c t t h i st h e s i so fm a s t e ri se o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s ，w h i d lm a i n l ys t u d i e d t h ee ) 【i s t e n c eo fn o 小o s c i l l a t o r ys o l u t i o 璐o fac l a s so fh i g h e 卜o r d e rn o n l i n e a r n e u t r a ld i h e r e n c ee q u a t i o n sw i t haf o r c e dt e r m ，o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rac l a l s s o fd i n e r e n c ee q u a t i o n s ，斟o b a la t t r a c t i v i t yf o rac l a s so fn o n a m o n o m o u sv a r i a b l ed e l a 沙l o 舀s t i ce q u a t i o n ，a n de ) ( i s t e n c eo fp e r i o d i cs 0 1 u t i o i l sf o rd i 丑b r e n t i a l e q u a t i o nw i t hs e v e r a ld e l a y s i nd l a p t e ro i l e ，b yu s i n gk r 8 u s i l 0 8 e l s b i sf 奴e dp o i i l tt h e o r e m ，n e c e s s a r y a j l ds u 伍c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee ) ( i s t e n c eo fn o n - o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so fac l a s s o fh i 曲e 卜o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld i 矗- e r e n c ee q u a t i o n 研t haf o r c e dt e r ma r e o b t a i n e d o u rr e s u l t se x t e n dt h er e s u l t so ft h e8 0 m ek n o w nr e s u l t s c h 印t e rt w - o ，s u 伍c i e n tc o n d i t i o n so fo s c i l l a t i o no fa 1 1s o l u t i o i l sf o rt h ef i r s t o r d e rd e l a yd i f i e r e n c ee q u a t i o nw i t ht w od e l a y sa r eo b t a i n e d ，a n dw eu s et h e c r i t e r i at ot h ed i 矗e r e n c ee q u a t i o nw i t hs e v e r a ld e l a y s 0 u rr e s u l t se x t e n dt h e k n o w nr e s u l t so fm a l i l ya u t h o r s c h 印t e rt h r e e ，s m c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df b rt h ep o s i t i v es t e a d y s t a t eo ft h en o n a u t o n o m o u sv a r i a b l ed e l a y l o g i s t i ce q u a t i o nt ob eag l o b a l a t t r a c t o r ，w h i c he ) ( 七e n da n di m p r o v et h er e s u l t si nt h ek n o w nl i t e r a t u r e i nt h e1 a s tc 1 1 a p t e r ，b yu s i n gc o i n c i d ed e g r e et h e o r y ，t h ee ) 【i s t e n c e so fp e r i o d i cs 0 1 u t i o nf o ral ( i n do fd i h - e r e n t i a le q u a t i o nw i t hs e v e r a ld e l a 沪a r eo b t a i n e d k e yw b r d s ：n o n - o s c i l l a t o r ys o l u t i o 璐；k r a s n o s e l s k i i s6 x e dp o i n tt h e o r e m ； d e l a y - l o 舀s t i ce q u a t i o n ；西o b a la t t r a c t i 、r i t y ；p e r i o d i cs o l u t i o n 几类微分差分方程的定性研究 绪论 1 问题产生的历史背景 数学中大量的微分方程都来源于诸如生态学、光学控制、通讯理论、几何 学、物理学、力学、天文学、电子技术、现代生物学、人工神经网络动力学、 生物工程、电路信号系统、自动控制以及经济学等抽象出来的数学模型，当考 虑到事物本身的复杂性和精确性时，往往导出时滞微分方程或称为泛函微分方 程但生产实际和科学研究中所遇到的微分方程尽管导出了时滞微分方程但仍 然很复杂，在很多情况下都无法给出解的解析表达式，为了现代工具( 数值模 拟) 处理的需要，有时又要把方程加以离散化，经过离散化后的差分方程往往 更具有实际应用价值另外，人们发现，在解的振动性、全局吸引性及周期解 等定性研究方面，微分方程及其形式离散化后所对应的差分方程在许多结果上 虽然相似、相近或平行，但也有很多本质区别如l o g i s t i c 方程 个，+ 、 z 讹) = r z ( t ) ( 1 一= 学) 俺 的每个解单调，但它的离散类似 z n + l = n z n ( 1 一z n ) 当a = 4 时却有混沌解由于微分差分方程应用的广泛性，微分差分方程已成 为数学研究特别是动力系统中的一个重要分支，具有重要的理论意义和应用价 值 对于差分方程模型，目前为止有很大一部分工作是围绕研究它的所有解的 最终性态出发的，在最近3 0 年中，差分方程理论有了迅速的发展，国际文献中 也相继发表了许多论文，如差分方程振动性( 见 1 2 2 ， 4 1 5 9 ， 6 2 】) ，全局 吸引性( 见【2 3 3 0 ，【6 1 】) 和周期性( 见 3 1 4 0 】， 6 0 ) 等，并陆续出版了一系列 专著( 见 6 3 6 7 】) 广泛的应用背景促使这一理论迅速而深入的发展 本文研究了几类差分方程和微分方程的振动性和全局吸引性以及周期解， 得到了一系列解振动和全局吸引性以及周期解的充分条件及充要条件这些结 果有的是新的，有的推广或改进了已有结果 硕士学位论文 下面就本文研究的问题产生的历史背景作一些简要概述 一带阻尼项高阶非线性中立型差分方程的正解存在性 在一些模型中，由于实际意义的需要，往往要求探讨一类差分和微分方程 正解的存在性在这方面已发表了许多有代表性的论文【5 ，6 ，7 ，9 ，l o 】，其中文 5 作者研究了一类一阶线性中立型差分方程 ( z 。p 。z r ( 。) ) + ，( 礼，z ，( 。) ) = g n ，n n o ( 1 1 ) 正解的存在性，得到了方程( 1 1 ) 正解存在的充分条件 如果方程( 1 1 ) 推广为高阶的，则方程应修正为 ”( z 。一z 1 ( 。) ) + ，( 佗，z 仃( 。) ) = ，扎扎o ( 1 2 ) 其中m 2 ；7 - ，盯：_ 且1 i m 盯m ) = + 。，l i m7 - ( 佗) = + o 。，是正整数 n n _ 列； 和 q n 是实数列；，：r r 是连续函数 这时我们自然会有下面的问题 问题l方程( 1 2 ) 非振动解存在的充分必要条件是什么? 二一类差分方程解的振动准则 事实上，研究差分方程解的振动准则，已有许多文献，如文献f 1 2 2 ，4 1 5 9 ，6 2 中，建立了许多解的振动性准则文献 1 1 为带一个时滞的差分方程 z n + 1 一z n + p t l z n 一七= 0 建立了振动性准则 如果方程( 2 1 ) 被推广为两个时滞的，则方程应修正为 ( 2 ，1 ) z 。+ l z 。+ 鼽。z 。一+ q h 而。一6 = 0 ( 2 2 ) 其中 o ， 及其初始条件 ( s ) = 妒( s ) o ，s 【一丁，o 】，7 - = m a x ( 7 1 ，匏，) ，妒c ( 一7 - ，o 】，r + ) ，妒( o ) o ， ( 3 2 ) 的全局吸引性，获得了如下结果 定理a 设 r t，o 。 l i 嬲p z 一，r ( s ) d s 1 ，上r ( t ) 出= ，r + ，t r，0 则方程( 3 1 ) 任一满足初始条件( 3 2 ) 的解( ) 满足熙( ) = + ，銎玩= 击但对 掣刊删1 一姜州) 】，川， ( 3 3 ) 中的瓦( ) 的情形还没有讨论因此我们自然会有下面的问题 问题3方程( 3 3 ) 的全局吸引的充分条件是什么7 四带有多个时滞微分方程的周期解 在这章我们利用重合度理论讨论了一类具有多个时滞的微分方程 m z + o i z ( 亡一鼽) + ，( z ( t 一6 ) ) z ( t 一6 ) + p ( t ) 9 ( z ( t 一 0 ；若存在正整数m 使得z n 0 对礼( m ) 时， 则称 z 。) 为最终负的 定义2一个差分方程的解 z 。】关于0 振动，或者简单地说振动是指 z 。) 既不是最终正的，也不是最终负的；否则，称 z n ) 是非振动的 z n ) 是 严格振动的，如果对每个n o ，有佗l ，n 2 ( 伽) ，使得z 。z n 。 o 来说，存在有一个整数0 使得 翰一奶i o 引理1 2 1 ( 离散a r z e l a a 5 c 0 1 i s 定理【2 】) z o 。的一个有界，一致柯西子集 q 是相对紧的 引理1 2 2 ( k r a s n o s e l s l ( i i s 不动点定理1 3 】) 令x 是一个巴拿哈空间， q 是x 的有界闭凸集， 死，乃是q 的两个算子，对每对属于q 的z ，可有 乃z + 疋可q 如果噩是压缩映射，乃是完全连续的，那么方程 噩z + 乃z = z 在q 里有一个解 在这章里，我们将用到下列条件： ( 上h ) l ，( 礼，z ) i l ，( 他，可) l ，如果i z i i 可l ； ( 上如) 对每一个闭区间d = 【d l ，d 2 】，( o d l d 2 ) ，存在有d ( n ) 使i ，( n ，z ) 一 厂，可) i d ( 扎) i z 一i ，z ，y d ，以及罂伽d ( i ) o ( z o ) ； ( 凰) 罂加i ( 仇。) 佗。使得当 n n 1 n o ， f ( n ) n o ，盯( n ) n o 时， 南黑( m - 1 ) m 叫( i 巾棚q i i ) m i n c 1 “川仆c 1 ) 和 d ( i ) 苦 成立，其中0 d 1 c 1 i d | 如果螺表示具有模忪i i = s u pi z 。l 的所有有界实数列z = z n 墨州 n ，) n 0 那么饶是一个巴拿哈空间现在我们定义壤上一个闭的、有界的凸集q 如 下： q = _ z = z 。) 2 磊：d 1 z 。l d i ，n 礼o ) 定义两个算子噩和乃：q 一甓如下： 五z 。： q 慨研， 砼m 【2 i z n l ， 犯os 他 n 1 ( 1 3 2 ) 骗： 踹剐卜卅一1 懈 ( 1 ) ) - 鳓， 吃m ， 【2 j z s 礼 ( 1 3 3 ) 硕士学位论文 ( i ) 对任何z ，y q ，我们将证明五茁+ 疋可q 实际上，对每个z ，可q 和礼佗1 来说，我们可以得到 噩z 。+ 死c 1 + m + 而且，我们有 c l + 骱i d i + ( m 1 ) ! ( m 一1 ) ! 一礼+ 仇一 t = n 1 ) ”一1 ( i 厂( 砒b ( ) ) f + ) ( i + m 一1 ) ”一1 ( 1 ，( i ，d ) l + i 哦f ) l = n 1 c l + ( 1 一r ) j dj + ( rj dj c 1 ) = 正z 。+ 死c l 一 因此 c l 一 ( m 一1 ) ! ( m 一1 ) ! c 1 一( c l d 1 ) = d l t = n 1 i n + m 一1 ) ( m 一1 ( ，( i ，蜘( t ) ) + 吼) ( i + m 一1 ) ”一1 ( 1 厂( i ，d ) i + l 吼1 ) d l 丑z 。+ 死i dj ，扎礼o 这样我们证明了对任何z ，q ，死z + 易q ( i i ) 下面我们将证明乃是一个在q 上的压缩映射实际上，对任何z ，可 q 和礼礼1 ，我们有 这意味着 乃z 。一乃。i l p 。( z ，( n ) 一3 b m ) ) j p 。is u pi z 。一协； n n o ( 1 一r ) l i z y i i 孔z 一乃可i l ( 1 7 ) i i z 一可l i 因为r ( o ，1 ) ，0 1 一r 0 ，由( 1 3 1 ) ，有 礼2 礼1 使得 志曼( 咖1 ) 叫d ) i o 根据( 1 3 2 ) 和( 1 3 3 ) ，我 们知道不动点z 满足 轳 q + 斛+ 器墨小枷棚。) 。机刊舵 【( 乃+ 正) z n l ， 几o 几 o 、 证明由( 日4 ) ，( 日6 ) 和( 1 3 1 ) ，我们可以找到一个充分大的n 。 n o 使得 当礼礼1 礼。时， 7 - ( 礼) 扎o ，仃( 礼) 佗。以及 南点( 一1 ) 。坝瓦驯讹i ) c z _ d r ( 1 - 洲， 和 登d ( i ) ；， i = n 1 - 几类微分差分方程的定性研究 1 1 其中d 1 + ( 1 一r ) i d i c 1 o 的非振动解 d 0 ，n n o 令鲰= z 。一加z ，( 。) 0 则有 ”= 一，( n ，z 。( 。) ) 1 2 硕士学位论文 反证法假设( 1 3 1 ) 不成立，对上方程从礼。到n 一1 求m 次和，我们可以得 到 。i ( 一1 ( 吼一， ，z 。( e ) ) ) l = n 0 o o i ( - 1 ( i 吼i l ，( i ，d ) i ) 一，n _ o o 则有瓤玑= 一o o ，很显然矛盾证毕 引理1 3 2 假定( 日1 ) ，( 上b ) ，( 上以) ，( 日5 ) 和7 i ( 他) n ，竹扎。成立那 么引理1 3 1 的结论是正确的 证明 假定z 。d o ，扎n o 是方程( 1 1 1 ) 的一个非振动解反设 ( 1 3 1 ) 不成立，和引理1 3 1 证明一样我们有瓤= 一则z n 是无界的 因此存在一个满足熙佗七。o o 的序列 犯忌) 使得z n t2m n - 那么 。k = z 。k z ) n k z ，( n k ) ( 1 一p t 培) z 。k o ， 矛盾定理证毕 结合上面的结论我们可以得到 定理1 3 3 假定( 日) ，( 日2 ) ，( 凰) ，( 上) 和( 日6 ) 成立那么( 1 3 2 ) 是 方程( 1 1 1 ) 满足条件l 诬想fl z n i o 的非振动解 z n ) 存在的充分必要条件 定理1 3 4 假定( 历) ，( 凰) ，( 风) ，( 凰) ，( 风) 和7 - ( n ) 礼，礼札o 成 立那么( 1 3 2 ) 是方程( 1 1 1 ) 满足条件i 钽蜜fi z n i o 的非振动解 z n 存在 的充分必要条件 现在我们讨论方程( 1 1 1 ) 的p 。是振动的情况 定理1 3 5 假定( h 1 ) ，( 日2 ) ，( 日4 ) ，( 日7 ) 和( 1 3 1 ) 成立那么方程( 1 1 1 ) 有一个满足条件1 钽蜜fi z n l o 的有界的非振动解 ) 证明设 z = z 。) f 嚣：d l z 。l d i ，n 礼o ) ，其中o d 1 ( 2 r 一1 ) 旧根据( 1 3 2 ) 和( 1 3 3 ) 定义两个算子乃和乃，其中d 1 + ( 1 一r ) i d 广 几类微分差分方程的定性研究 1 3 c l r 例，可以找到一个充分大的礼l 使得当扎n l 礼。时，7 _ ( 佗) n o ， 仃( n ) 钆。以及 南三( 一1 ) 一1 坝t d ) l ) o 的非振动解 z n ) 存在 的充分必要条件 最后，我们考虑条件( 风) 定理1 3 7 假定( 日1 ) 和( 上b ) 成立又又假定7 - ( 竹) 递增，且对很大的 扎有丁( 佗) 礼，以及 叫巾，d ) i o 。，d o ， 。( 1 3 8 ) i = 0 和 。 叫q l i ， ( 1 3 9 ) i = n 0 成立，那么方程( 1 1 1 ) 有一个有界的非振动解 证明令 7 - o ( 扎o ) = 礼o ，7 _ n + 1 ( n o ) = 丁( 7 - n ( 礼o ) ) ，礼= o ，1 ，2 ， 7 - ”一1 ( n o ) = 7 - 一1 ( 7 - ”( 礼o ) ) ，仇= o ，一1 ，一2 ， 1 4 硬士学位论文 由一个已知的结论，见【7 ，引理2 3 ，我们知( 1 3 8 ) 和( 1 3 9 ) 等价于 0 0o oo o 扩1 l 巾，d ) i 扩_ 1 j = o 扛r 一，( n o )j = o 扛r j ( n o ) 根据( 1 3 1 1 ) ，我们可以找到一个充分大的n 使得 和 薹雾、纠巾d ) i 丢， i 一1 i 巾，d ) i 言， j = ol = r j ( ，善1 ) o 。 i 一1 j = o 治r 一m 1 ) 风= 降：鬟棚枷 很明显，凰：_ 冗 定义 玑= = 0 日r t ( 。) ， 易发现一辨( 。) = 风，礼7 - - 1 ( n o ) 和 由 丢 0 1 ，他他1 n 礼l q = 【z 。 cx ：o z 。可。，礼n 1 ) 定义一个序列qcx 和一个在q 上的算子s 如下： s z n ( 1 3 1 0 ) ( 1 3 1 1 ) ( 1 3 1 2 ) n n 1 ， 7 - ( 佗1 ) 礼 礼l ， n o 当他礼。时， u 。= 鼠。，也即， 让一勘) + 踹墨( h + m - 1 p ) ( ，心以训刊 故有m ( 乱。一u ，( 。) ) + ，( 礼，乱，( 。) ) = 定理的证明完毕 几类微分差分方程的定性研究 - 1 7 第二章一类差分方程解的振动准则 2 1引言 近几年来，一阶时滞微分方程 z 。+ l z 。+ m z 。一k = o ，佗= 0 ，1 ，( 2 1 1 ) 的振动和非振动解的充分条件被广泛研究参看文献【1 1 1 8 】及文章里的参考 文献除了它的理论价值外，在实际应用方面差分方程的振动性也很有研究价 值其中 p 。) 是一个非负的实数列，后是一个正整数 e r b e 和张【1 2 】首先证明了方程( 2 1 1 ) 的所有解振动，如果 k l i m s u p 一i 1 ，- j 。 n 。o o 信0 ( 2 1 2 ) 或 l 触f 肌 两条， ( 2 1 3 ) 以及如果 l i 嬲p 加 ( 南) 南t 1 ( 2 1 5 ) l = ：t l 一托 其中条件( 2 1 2 ) 和( 2 1 5 ) 在各种差分方程的振动性的研究中已经被广泛的利 用，请参看文献【1 2 2 ，4 0 一5 9 ，6 2 以及其参考文献 后来s t a v r o u l a l ( i s 【17 从不同的角度出发考虑了当条件( 2 1 2 ) 和( 2 1 5 ) 之 一不满足，方程( 2 1 1 ) 的所有解的振动性，如果 知 l 骢群p n i m o i = 1 1 8 硕士学位论文 l i m s u p p 。 1 一( 等) 2 ( 2 1 6 ) 再后来，条件( 2 1 3 ) 被唐先华和庾建设【1 8 1 9 ，2 1 2 2 】改进为：如果 ，蔓p ( 击广1 ， ( 2 1 7 ) 鼽( 击) 蚪1 ， ( 2 1 7 ) l = ，l 一片 其中正整数佗充分大，以及 量p n ( ( 1 一昙( ；参一( 击广1 ) ) - 1 ) 一 ( 2 1 8 ) p 。( ( 1 一去( 鼽一( 击) 抖1 ) ) 一1 ) = 。 ( 2 1 8 ) n = 七蛐t = n 一知 l 工 在2 0 0 0 年，申建华和罗治国【1 l 】为方程( 2 1 1 ) 的所有解的振动性建立了 一些更好的充分条件 在这篇论文中。我们主要考虑了下面带两个时滞的差分方程 z n + l z n + p n 。，l 一七+ ( h z n 一6 = 0 ( 2 1 9 ) 的振动性准则，其中 ，) 是非负的实数列， 尼，6 ) 是正整数并且我们把 这准则推广到了具有多时滞的差分方程 m z n + l z 。+ p t ( 佗) z 。一= o ，礼= o ，1 ， = l 我们的结果推广了【1 1 】的已知结论 2 2主要结果 定理2 2 1假定存在某个正整数f 使得 其中k = m i n ) 2 、副 2 扣0 + 眵 州n 间 k 汹 h 一 + 打 叫 + 钾 1 囟 k 触 k 渤 + 吨 + k 础 p 罂 h 几类微分差分方程的定性研究 1 9 从i = l 到t = k 对上述方程两边求和可得 k z t l k = z n + p n t z n 一一 + t = l 根据方程( 2 1 9 ) ，对任意的正整数j 和t ，有 k 一隔一 = 1 当歹或者t = i 时，将( 2 2 3 ) 代入到( 2 2 2 ) 可得 z n k = z n + 墨1 一t z n 一七一i + 1 + 答l 一t z n 一6 一i + 1 + 篓1p n i g n 一一t z n 一6 一i 一七+ 篓l 一轨一6 一 z n 一6 一七一i + 签1p n t p n k t z n 一2 k t + 墨1q n i q n 一6 一i z ，l 一2 6 一i 当歹= i + 后或者t = z + 6 时，将( 2 2 3 ) 代入到( 2 2 4 ) 可得 z 他一k = z n + 墨lp n i z n 一七一i + 1 + 篓1g n i z n 一6 一“1 + 篓l 一t 一一i z n 一6 一t 一七十墨1g n t 一6 一 z n 一6 一南一t + 篓1p n 一护n k i ( z n i 一2 知+ 1 + p n t 一2 知z n t 一3 + g n i 一2 z n 一6 一i 一2 知) + 篓1i 一 l 轨一6 一t ( z n 一 一2 j + 1 + p n 一 一2 j z n i 一2 d 一+ q h i 一2 6 z n t 一3 6 ) 接下来，重复这种迭代过程，由归纳法，我们得到下面的式子 z n k = z n + 墨1p n t z t l 一七一t + l + 篓lp n t p n 一七一 z n 一2 七一i + 1 + + 篓1p n i p n 一知一 p n z 一t z n 一( f + 1 ) 七一 + 1 + 篓lp n 一护n 一知一t p n 一( f + 1 ) 七一 z n i 一( f + 2 ) 七 叁1 一i z n 一6 一件l + + 答1g n 一 一6 一t 一( 1 + 1 ) 6 一i 一i 一( f + 2 ) j 。 去掉上式的若干项，我们有 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) z 。一k 【z 。+ 签1m i z 。一一件l + 嚣o 篷lz 。一( 。+ 2 ) 一冲1n 封肌一j k t + 篓1g n t z 。一6 一件l + 箍o 答lz 。一( m + 2 ) 6 一件1 兀蒿1p 。一j 6 一d ( 2 2 7 ) 由( 2 1 9 ) ，我们有 z n + j + 1 一z n + j + p n + j z n + j 一+ q n + j z n + j 一6 = o ，j = o ，1 ，2 ，k 一1 ( 2 2 8 ) “ 卜 蚪 一 胁 铀 一 射协= 2 0 硕士学位论文 对上式两边从j = 0 到j = k 一1 求和，我们有 k 一1耳一1 z 礼= z n + k + ”z 。卅一七+ 钾z 。钾一d ( 2 2 9 ) j = 0 因为z 。是最终递减的，于是有 j = 0 一1一lk 一1k 一1 z 。 陬柳z 。卅一k + + j z n 抑一6 ( 钾+ g n 埘) z 。- 1 ( 2 2 1 0 ) j = 0j = 0 因此，同时有 kk j = oj = 0 z 。+ 1 ( m + j + g 州) z 。= 【如+ q n 却) 】z 。 j = lj = 1j = 1 又由( 2 1 9 ) ，我们有 z n = z n + l + p n z 他一+ i z n 一6 i = o j = l ( p n t + j + ( n t + j ) z 。一j f 将( 2 2 1 2 ) 代入( 2 2 7 ) ，利用( 2 2 1 1 ) ，且 z 。) 是递减的，我们有 ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 。n j f 【z 。+ l + p n z n k + 口n z n 一6 + 篓1p n i z n 一女一i + 1 + 篓1 ( n t z n 一6 一 + 1 + 矬o 答1 一( 。+ 2 ) k 一件ln 为1 鼽。一批一t + 键o 签1z 。一( m + 2 ) j 一件1r 写笺1p 。一j j d 【兀篓o 釜1 ( p 。一件j + 一件j ) 】z n k + p 。z 。一k + z 。一k + 签lp 。一i z 。一k + 签1g n 一 z 。一k + 是oz 。一( 。+ 2 ) 七兀封一j 知一t + 键o 签lz 。一( 。+ 2 ) jn 纣一j 6 一 ) ( 2 2 1 3 ) 将z 。一( m + 2 ) 七z 。一k 和z 。一( m + 2 ) d z 。一k 代入上面的不等式，我们有 一k 医 z 一1k i = o + t n = o t = l m + 1 n 一+ j = 0 t = o j = l f f ：_ 一：- 一 m = o t = 1 一t 啊+ 一i + j ) m + 1 n 砺划一t k k ) j = o 上面不等式两边同除以z 。一k ，当n _ o 。时，取上极限，导致矛盾证毕 定理2 2 2假定存在正整数2 ，使得 l 一1k + m = 0 i = 1 k l i m s u p 囟。一t + 一t 】+ n 。 仁1 r n + l 哪一t + 一j 】) 1 j = 0 ( 2 2 1 4 ) k + 、， +吨 np， + + 十n k 烈 k ! l 几类微分差分方程的定性研究 2 1 则方程( 2 1 9 ) 的所有解振动 证明 在定理2 2 1 的证明中，有( 2 2 7 ) 和( 2 2 1 0 ) 式成立，由( 2 2 1 0 ) ， 我们有 k k 。 i = l j = l ( p n i + j + i 孙一i + j ) 】z 。一k 将( 2 2 1 4 ) 代入( 2 2 7 ) ，且 z 。) 是递减的，我们得到 kkk z n k ( 一t + g 。一t ) ) + = 1 扛= 1j = 1 囟。一件j + g h 一件j + z 一1k f f m = 0 t = 1 ( 2 2 1 5 ) m + 1 洳n j k t + g 。一j 6 一t z n k j = 0 ( 2 2 1 6 ) 上面不等式两边同除以z 。一k ，当n _ o o 时，取上极限，导致与( 2 2 1 4 ) 矛 盾证毕 考虑具有多时滞的差分方程 2 3 推广 m z 州一z n + t = 1 鼽( n ) z n h = o ，n ( o ) ( 2 3 1 ) 其中 娥( n ) ) 是非负的实数序列， m ，) 是正整数，i = o ，1 ，m ，以及 k = m 讯 惫l ，乜，一，k 定理2 3 1假定存在某个正整数z 使得 l i m s u p n + o o km kkz l 鼽( n 一歹) + n 胁( n 一歹+ s ) + j = o = 1j = ds = 1 那么( 2 3 1 ) 的所有解振动 证明过程与定理2 2 1 类似 k 口+ l ” 鼽一j ) 肌一歹一s 尼) 1 q = 0 j = 1s = 0 t = 1 ( 2 3 2 ) 定理2 3 2假定存在某个正整数z 使得 l i m s u p n o o kmkk z 一1kg + 1 鼽( n 一歹) + 鼽( 扎一j + s ) + 鼽( 礼一j ) p t ( 佗一歹一s 后) 1 j = 1 扛1= 1s = 1 那么( 2 3 1 ) 的所有解振动 证明过程与定理2 2 2 类似，故略 q = 0 j = ls = 0i = l ( 2 3 3 ) 几类微分差分方程的定性研究 2 3 第三章非自治变时滞l o g i s t i c 方程的全局吸引性 3 1引言 众所周知，l o g i s t i c 方程 掣= 州 1 _ 掣 0 ( 3 1 1 ) 通常作为唯一生物种群的模型之一被人们考虑，其中r 和k 是正参数，r 是 一个种群的内在的或潜在的生长率，这个种群由( 3 1 1 ) 中的( t ) 所表示，k 表示种群栖息地的容积由于( 3 1 1 ) 的解是t 的单调函数，这一点在现实中几 乎很难实现，因此( 3 1 1 ) 已经被修改为 掣= 州 1 一半 0 ， ( 3 m ) 其中7 是一个正时滞方程( 3 1 2 ) 已经被大量的学者所研究后来，为了引入 环境的负反馈效应，方程( 3 1 2 ) 被推广为如下形式 掣= 呻渺咱邮一n ) 飞即一训，t 0 ， ( 3 1 3 ) 文献 2 3 研究了非自治l o 舀s t i c 方程 掣训删1 一薹6 川) 】， ( 3 1 4 ) 其中玩，兀( o ，。o ) ，i = l ，2 ，m ；r ( t ) c ( _ l ) ，r + ) ，r ( t ) o ， 及其初始条件 ( s ) _ 妒( s ) o ，s 一7 - ，o 】，7 - = m a ( n ，恐，) ，妒c ( 一7 i ，o ，r + ) ，妒( o ) o ， ( 3 1 5 ) 的全局吸引性，获得了如下结果 定理a 设 r c，。 l i 熙p z 一，r ( s ) 如1 ，以r ( 。) 出= ，7 + o oj t rj o 2 4 硕士学位论文 则方程( 3 1 4 ) 任一满足初始条件( 3 1 5 ) 的解( t ) 满足熙( t ) = + ，罂l6 i = 上 在这篇文章中，我们主要关注可变时滞非自治l o 酉s t i c 方程 掣刊删l 一薹6 川) j 川 ( 3 1 6 ) 及其初始条件 ( 日) = 妒( 口) o ，移 一7 ，o j ，7 - ( t ) = s u p ( 丁1 ( t ) ，丁2 ( t ) ，五。( t ) ) ， 妒c ( 一7 - ，o ， o ，。) ，妒( o ) o ( 3 1 7 ) 的全局吸引性 这里，我们总假设下列条件成立： ( 日1 ) r ，7 - c ( 【o ，) ，r + ) ，r ( t ) o ，7 - ( t ) 一1 用z ( t ；o ，妒) 表示( 3 1 9 ) 式的满足初 始条件( 3 1 1 0 ) 的解，简记为z ( t ) 通过积分并由初始条件易知方程( 3 1 9 ) 任 一满足初始条件( 3 1 1 0 ) 的解z ( t ) 在 o ，) 上存在且对一切t o ，z ( ) 一1 文献【2 8 研究了如下方程 z ( z ) + 1 + z ( t ) f ( t ，z ( ) ) = o ，t o ， 几类微分差分方程的定性研究 2 5 零解的全局吸引性，得到了很好的结果，改进了许多已有结论，但是由于 m f ( t ，z ( ) ) = 一r ) 玩z 一瓦( t ) ) 】 i = 1 不满足文【2 8 】中的条件( 2 ) ，故他的结果不能应用于方程( 3 1 6 ) 本文在去掉 文【2 8 的条件( 2 ) 后来研究方程( 3 1 6 ) ，得到了一个新的结果，推广和改进了 文 2 3 】的主要结论，即上述定理a 3 2基本引理和主要结论 引理3 2 1 【2 8 1 如果存在正常数m 使得最终有 厶，r ( s ) d s m ， 则方程( 3 1 9 ) 与( 3 1 1 0 ) 的解最终满足 一1 + e x p ( 一m ( e m 一1 ) ) z ( ) e m 一1 引理3 2 2 【2 8 】不等式组 l n ( 1 + z ) y 一丢可2 ，一l n ( 1 一y ) z + 丢z 2 在区域 ( z ，秒) ：z o ，o 1 ) 内只有唯一解z = = o 为方便起见，我们引入下列记号9 ( t ) = t 一丁( t ) ，9 i ( 亡) = t 一九( t ) 定理3 2 1 假设条件( 日1 ) ，( 凰) 成立如果 如果对充分大的t 有： z o 。r ( t ) 班= 1 i 恕p 氏r ( s ) d s 品， ( 3 2 2 ) 其中如= 1 4 6 2 是超越方程 z + e 一。= 1 + l n 2 ( 3 2 3 ) 2 6 硕士学位论文 的根，则方程( 3 1 6 ) 任一满足初始条件( 3 1 - 7 ) 的解满足熙( t ) = + ，銎16 t = 1 ” 证明由变量变换( 3 1 8 ) 知，只需证明( 3 。1 。9 ) 与( 3 1 1 0 ) 的零解全局吸 引即可设z ( ) 是( 3 1 9 ) 与( 3 1 1 0 ) 的解当z ( ) 非振动时，由( 3 2 1 ) 式容 易证明 卫巴z ( t ) = o ( 3 2 4 ) t _ o 。 、 7 因此只需证明z ( t ) 是( 3 1 9 ) 与( 3 1 1 0 )