（基础数学专业论文）某些射影平坦的finsler度量和射影相关的randers度量.pdf

摘要 本文分成三章。 第一章，我们首先定义了一个新的f i n s l e r 度量：f = o e ) c p ( 等) + e p ，其 中a 是一个r i e m a n n 度量，口是一个1 形式，为常数，称之为指数f i n s l e r 度量。然 后，我们讨论了指数f i n s l e r 度量为射影平坦的充分必要条件以及指数f i n s l e r 度 量为d o u g l a s 度量的充分必要条件。 在第二章中我们定义了另一个新的f i n s l e r 度量：f = 口+ e 卢+ p a r c t a n 曼， 其中q 是一个r i e m a n n 度量，口是一个1 一形式，e 为常数，称之为反正切f i n s l e r 度 量。我们讨论了反正切f i n s l e r 度量为射影平坦的充分必要条件，并找到了非平 凡特解以及确定了具有常数旗曲率的射影平坦的反正切f i n s l e r 度量。 第三章讨论射影相关的r a n d e r s 度量，给出了两个r a n d e r s 度量射影相关的 充分必要条件，并研究了具有某些特殊曲率性质的射影相关的r a n d e r s 度量。 正如国际几何学大师陈省身先生所说，f i n s l e r 度量是没有二次型限 制的r i e m a n n 度量1 1 】。早在1 8 5 4 年r i e m a n n 在就职演说中就已经涉及这种情 形。f i n s l e r 几何就是研究具有f i n s l e r 度量的流形几何性质的学科f 2 1 。近年 来，f i n s l e r 几何重新得到了重视和发展 3 】 4 】 5 】，在生物学、物理学等方面都有 应用【6 【7 】【8 【9 1 0 1 1 】【1 2 【1 3 】，f i n s l e r 几何已经成为微分几何一个重要的分支。 一个世纪前，德国大数学家h i l b e r t 提出了著名的二十三个问题【1 4 ，其中第 四问题是要特征开区域uc 舻中的距离函数使得直线是最短道路。f i n s l e r 度量 诱导的距离函数可看作光滑的例子，从而h i l b e r t 第四问题在光滑情况下就是去 特征开区域( 厂c 舻上的f i n s i e r 度量使得它的测地线是直线，开区域扩c 形上 的具有这个性质的f i n s l e r 度量称为射影平坦度量。f i n s l e r 几何中的一个基本问 题就是研究定义在开区域uc 曰呻的f i n s l e r 度量为射影平坦的的特征。已经有 许多数学家研究过射影平坦的f i n s l e r 度量f 1 5 1 【1 6 】f 1 7 1 。1 9 0 3 年，g h a m e l 1 8 i 正 明了定义在彤呻开子集u 上的f i n s l e r 度量f = f ( z ，笋) 是射影平坦的充要条件为 e t 矿矿= e ，( 1 ) 根据著名的b e l t r a m i 定理，一个r i e m a n n 度量是局部射影平坦的，当且仅当它 摘要 具有常数截面曲率。因此，这个问题在h i e m a n n 几何中已经解决了。r i e m a n n 几 何中的截面曲率在f i n s l e r 几何中的自然推广是旗曲率。一般地说，旗曲率也依 赖于截面( 旗) 的方向( 旗杆) 。一个重要的事实是流形m 上每个局部射影平 坦的f i n s l e r 度量f 具有数量旗曲率，即旗曲率k = g ( x ，! ，) 是丁m o ) 上的标量 函数。而且，有许多局部射影平坦的f i n s l e r 度量并不具有常旗曲率。因此，对 于f i n s l e r 度量，b e l t r a m i 定理不再成立。所以在f i n s l e r 几何中一个重要的问题是 去研究和刻画具有数量( 或常数) 旗曲率的射影平坦f i n s l e r 度量。 著名的f u n k 度量0 = o ( x ，) 在r “中的强凸域上是射影平坦的且具有常旗 曲率k = 一i 4 。当这个定义域是础中的单位球b n 时，f u n k 度量由下式给定： e = 巫掣学型+ 端 这个度量具有如下形式： 9 = a + 口， 其中，a = 0 ，v l s lsb b o 显然，f 是f i n s l e r 度量当且仅当对任意石m 成立l l 成n 0 f = a - p ； 例f 和p 是局部 以佗d 叫s 兢受量，此时，k = 霄= 0 ； 俐f 和确部等距于凡扎度量，此时，k = 耳= 一v 4 我们还研究y e i n s t e i n - r a n d e r s f j 董量，有如下的定理： 定理o 1 0 设f = o l + 是一个历礼s t e i 破量且a a ( z ) _ 如果万= 西+ 万射 影相关于p = a + 卢，那么。和碳e i n s t e i n f 3 2 量，o 有非正的标量曲率且f 有非正 的r i c c i 曲率 摘要 定理o 1 1 设p = 口+ 和f = - f f + 万是两个历伽e i 艘量且q = a 石假设口不 能被万整除且= 弓= 0 如果f 射影相关于f ，别它们都具有非正兄i 幺曲率 在 3 9 】，z s h e n 已经介绍了母曲率的概念，曲率是一个非常重要的几何 量。对b e r w a l d 度量( 包括r i e m a n u i a n 度量) 来说，曲率消失。最近，在具有数 量曲率的f i n s l e r 度量的研究上曲率已经有了广泛的讨论。在第三章的最后， 我们研究了具有特殊g 曲率性质的射影相关的r a n d e r s 度量。获得了如下结果： 定理o 1 2 设f = o r + 卢和f = 百+ 万具有数量旗曲- 率- 且s = j 0 ) - ，口( z ) 0 ，d a 西那么，f 与f 射影相关的充要条件是它们的旗曲率是零且口和万是平 行的 关键词：f i n s l e r 度量，射影平坦，指数f i n s l e r 度量，反正切f i n s l e r 度量，r a n d e r s 度 量，射影相关 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ed e f i n ean e wf i n s l e rm e t r i cb yf=q e 印( ! ) + e 口， w h e r eq = i sar i e m a n n i a nm e t r i ca n dp = 6 t 矿i sa1 - f o r m ，ei sa c o n s t a n t w h i c hi sc a l l e da i le x p o n e n t i a lf i n s l e rm e t r i c w eg i v et h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra ne x p o n e n t i a lf i n s l e rm e t r i cf t ob el o c a l l yp r o j e c t i v e l y f i a ta n do b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra ne x p o n e n t i a lf i n s l e r m e t r i cft ob ead o u g l a sm e t r i c i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed e f i n ean e wf i n s l e rm e t r i ca l s ob yf = 口+ e 口+ a r c t a n ：，w h e r e 口= 、反丽j sa r e m a n n a nm e t r i ca n d 卢= 6 f 矿i sa 1 - f o r m ， ei sac o n s t a n t ，w h i c hi sc a l l e da na r c t a n g e n tf i n s l e rm e t r i c w eg i v et h es u f f i c i e n t a n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o ra na r c t a n g e n tf i n s l e rm e t r i ct ob el o c a l l yp r o j e c t i v e l y f i a ta n do b t a i nt h en o n - t r i v i a ls p e c i a ls o l u t i o n w ec o m p l e t e l yd e t e r m i n et h e l o c a l l ys t r u c t u r eo fp r o j e c t i v e l yf l a ta r c t a n g e n tf i n s l e rm e t r i c sw i t hc o n s t a n tf l a g c u r v a t u r e i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d yp r o j e c t i v e l yr e l a t e dr a n d e r sm e t r i c sa n d o b t a i nt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt w or a n d e r sm e t r i ct ob ep r o - j e c t i v e l yr e l a t e d w ea l s oc o n s i d e rp r o j e c t i v e l yr e l a t e dr a n d e r sm e t r i c sw i t h s o m es p e c i a lc u r v a t u r ep r o p e r t i e s a ss , s c h e n ，t h ei n t e r n a t i o n a lf a m o u sg e o m e t f i s t ，s a i dt h a tf i n s l e rm e t r i c s 9 x ej u s tr i e m a n n i a nm e t r i c sw i t h o u tq u a d r a t i cr e s t r i c t i o n l l ，w h i c hw a sf i r s t l y i n t r o d u c e db ybr i e m a n ni n1 8 5 4 f i n s l e rg e o m e t r yi st os t u d yt h eg e o m e t r i c p r o p e r t i e so fam a n i f o l dw i t hf i n s l e rm e t r i c 2 1 r e c e n ts t u d i e so nf i n s l e rg e o m e t r yh a v et a k e no nan e wl o o kf 3 】 4 】f 5 】a n df i n s l e rg e o m e t r yc a nb ea l s oa p p l i e d t ob i o l o g ya n dp a y s i c s 【6 】1 7 9 】【1 0 【1 1 】【1 2 1 3 】，f i n s l e rg e o m e t r yh a sb e c a m ea i m p o r t a n tb r a n c ho fr i e m a n n i a ng e o m e t r y a b s t r a c t o n ec e n t u r ya g o ，g r e a tg e r m a nm a t h e m a t i c i a nh i l b e r ta n n o u n c e dh i sf a - m o l l s2 3p r o b l e m s t h eh i l b e r t sf o u r t hp r o b l e mi st oc h a r a c t e r i z et h ed i s t a n c e f u n c t i o n so na no p e ns u b s e ti n 矽s u c ht h a ts t r a i g h th n e sa r es h o r t e s tp a t h s d i s t a n c ef u n c t i o n si n d u c e db yaf i n s l e rm e t r i c sa r er e g a r d e da ss m o o t ho n e s t h u st h eh i l b e r t sf o u r t hp r o b l e mi nt h es m o o t hc a s ei st oc h a r a c t e r i z ef i n s l e r m e t r i c so na no p e ns u b s e ti n 舒w h o s eg e o d e s i c sa r es t r a i g h tl i n e s f i n s l e rm e t - t i c so na no p e nd o m a i ni n 彤w i t ht h i sp r o p e r t ya r es a i dt ob ep r o j e c t i v e l ym m e t r i c o n eo ft h ef u n d a m e n t a lp r o b l e m si nf i n s l e rg e o m e t r yi st os t u d yt h e c h a r a c t e r i s t i co fp r o j e c t i v e l yf l a tm e t r i c so na no p e nd o m a i nuc 毋p r o j e c - t i v e l yf l a tf i n s l e rm e t r i c sh a v eb e e ns t u d i e db ym a n ym a t h e m a t i c i a n s 【1 5 1 s 1 7 i n1 9 0 3 ，g h a m e l ( 1 s tf o u n das y s t e mo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s r t 矿! 。= f ( 1 ) w h i c hc h a r a c t e r i z ep r o j e c t i v e l yf l a tm e t r i c sf = f ( z ，y ) o na no p e ns u b s e tu 舻t h ew e l l - k n o w nb e l t r a m i st h e o r e ms t a t e st h a tar i e m a n n i a nm e t r i ci s l o c a l l yp r o j e c t i v e l yf i a ti fa n do n l yi fi ti so fc o n s t a n ts e c t i o n a lc u r v a t u r e t h u s t h i sp r o b l e mh a sb e e ns o l v e di nr i e m a n n i a ng e o m e t r y t h ef l a gc u r v a t u r ei n f i n s l e rg e o m e t r yi san a t u r a le x t e n s i o no ft h es e c t i o n a lc u r v a t u r ei nr i e m a n n i a n g e o m e t r y i ng e n e r a l ，i ta l s od e p e n d so nt h ed i r e c t i o n ( f l a gp o l e ) i nt h es e c t i o n ( f l a g ) h o w e v e r ，e v e r yl o c a l l yp r o j e c t i v e l yf l a tf i n s l e rm e t r i cf o nam a n i f o l d mi so fs c a l a rf l a gc u r v a t u r e ，i e ，t h ef l a gc u r v a t u r ek = k ( 。，g ) i sas c a l a r f u n c t i o no nr m o m o r e o v e r ，t h e r ea r eal o to f l o c a l l yp r o j e c t i v e l yf l a tf i n s l e r m e t r i c sw h i c ha r en o to fc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r e t h u s ，t h eb e l t r a m i st h e o r e m i sn ol o n g e rt r u ef o rf i n s l e rm e t r i c s t h u so n eo ft h ei m p o r t a n tp r o b l e m si n f i n s l e rg e o m e t r yi st os t u d ya n dc h a r a c t e r i z ep r o j e c t i v e l yf i a tf i n s l e rm e t r i c s w i t hs c a l a r ( o rc o n s t a n t ) f l a gc u r v a t u r e t h ew e l l k n o w nf u n km e t r i c0 = 0 ( z ，y ) o nas t r o n g l yc o n v e xd o m a i ni n r ni sp r o j e c t i v e l yf i a tw i t hc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r ek = - 1 4 w h e nt h ed o m a i n t h eu n i tb a l lb “t h ef u n km e t r i ci sg i v e nb y e = v ( 11 - x 习z ) t y p 广+ ( x 一, y ) 2 + 器1 ， 1 一2一 a b s t r a c tx w h i c hi si nt h ef o r i l l e = 矗+ p ， w h e r e 五= 近型1 型- 1 z l 坐2 业i sa m e m a n n j 柚m e t r i ca n d 口= 潞i sa1 f o r m w ec a l li tar a n d e r sm e t r i ci faf i n s l e rm e t r i cfc a l lb ee x p r e s s e di nt h ef o r m f = q + 口，w h e r eoi sar i e m a n n n i a nm e t r i ca n d 卢i sa1 - f o r m i ti sk n o w n t h a t ar a n d e r sm e t r i cf = 口+ 口i sp r o j e c t i v e l yf i a ti fa n do n l yi foi sp r o j e c t i v e l yf i a t a n d 卢i sc l o s e d z s h e n 【1 6 h a sc l a s s i f i e da l lp r o j e c t i v e l yf l a tp a n d e r sm e t r i c s w i t hc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r e l b e r w a l d 【1 9 】c o n s t r u c t e dap r o j e c t i v e l yf i a tm e t r i c w i t hz e r of l a gc u r v a t u r e o i lt h eu n i tb a l lb “，w h i c hi sg i v e nb y 口：( 近三亚匡至竺型： ( 1 一l z l 2 ) 2 v ( 1 一l 。1 2 ) l y l 2 + 2 w h e r ey 瓦b “兰口b e r w a l d sm e t r i cbc a nb ee x p r e s s e di n b ：坐善壁， 口 w h e r ea = 1 ( 1 一i z l 2 ) ，ai sr i e m a n nm e t r i c ，pi sa1 - f o r m z s h e na n dg c i v i ly i d i r i m 【2 0 lh a v es t u d i e da n dc h a r a c t e r i z e dl o c a l l y p r o j e c t i v e l yf l a tm e t r i ci nt h ef o r m ： f ：( 竺圭业呈 8 t h e yh a v ea l s oc o m p l e t e l yd e t e r m i n e dt h o s ew i t hc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r e s u c h m e t r i c se x c e p tm i n k o w s k i a nh a v eb e e nc o n s t r u c t e db yx m oa n dc y a n gf 2 1 】 b e s i d e s ，x m o ，z s h e na n dc y a n g 2 2 h a v ea l s os t u d i e dl o c a l l yp r o j e c t i v e l y n a tm e t t i c si nt h ef o r m 口2 f = q + e 口+ k 生 a b s t r a c t r e c e n t l y , y b s h e na n dl ，z h a o 【2 4 】h a v es t u d i e da n dc h a r a c t e r i z e dl o c a l l y p r o j e c t i v e l yf i a tm e t r i ci nt h ef o r m f = 8 + c f l + 2 k r q 2 一等 a n do b t a i nt h en o n - t r i v i a ls p e c i a ls o l u t i o n t h ea b o v em e t r i c sa r ea l ls o - c a l l e d ( q ，卢) 一m e t r i c s ，w h i c hc a nb ee x p r e s s e d a s ，= r e ( s ) ，s ：皇， “ w h e r eo l = o “矿矿i sar i e m a n n i a nm e t r i c ，卢= b i y i sa 1 - f o r m 驴= 妒( 5 ) i sa c 。p o s i t i v ef u n c t i o no na l lo p e ni n t e r v a l ( - b 。，b o ) s a t i s f y i n g 砂( s ) 一s ( s ) + ( b 2 一s 2 ) 7s ) 0 ，驯sj sb 0 ，g ，pa n d0a l ec o n s t a n t s ，a n do 舻i sa c o n s t a n tv