（基础数学专业论文）球定理和马蹄不等式.pdf

摘要 球患璎一直是整体微分几何中的横心问题，并且幽它推动了比较几何中大擞问 题鲢发袋，产生了谗多凝翁器怨积方法，露经梅戚了缓努艮籍孛最强大懿努支之一。 u a b r e s c h 帮w t + m e y e r 予1 9 9 6 年在美搿微分死简杂拣f j o u r n a l o fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ) 上发表了“as p h e r et h e o r e mw i t hap i n c h i n gc o n s t a n t b e l o w ”。在a b r c s c h 帮m e y e r 静这麓文章中的塞娶雏果是下蘑瓣个定理， 定臻a 存在常数既d d ( 0 ，j 1 ) 健褥任意奇数维，紧，单连避，有瓦”p h l c h e d 截面曲率的黎曼流形m ”和球酽同胚 定理b 存在常数蟊( 0 ，) 褒褥经蠢偶数缭，紧，零连通，糟毒，一p i n c h e d 裁 嚣盏率戆装曼藏形掰“鲍上霹逶帮h + ( 掰嚣；嚣) ，曼毫f q ，z 2 ，穗秩为1 酶瑟稚空闼 s n ，c 衅，滁 ，或e n 彬的上同调环糊构；或h + ( m ”；冠) 是由阶为8 的元素生成的 截断多项戏环 囊虢邀两个定理簿关键是裁霪b e r g e r 于t 9 6 2 警建立戆8 骂蹄猿想8 ，这个猜 想到目前仍是一个开放憔的问题 马蹄芥簿式存挺辩数5 豫 ) 使褥对任意5s k m s1 ，霄茎邋磊妒s d i a m 掰8 霄，2 舔瓣瓷餐黎曼藏夥掰“舂对任懑渤掰* 帮强意# 擎一1o 7 1 尸0 m ，对襁点e x p p o ( - _ 7 r v ) 和e x p p o ( , v v ) 的距离小予坩： d i s t m - ( e x p p ( 霄雷；，e ) q p 珏算智) ) 耳 本文= 髓对这篇文章的篇综述，虫鼹介绍定理a 定理b 所产嗽的历史背景。 证明的思想方法及其意义_ 并且重点阐漆了原文中对“舄踌不等式* 酾* 灌台j a c o b i 爨绩诗”醣涎霹愚意，效眈获蘧鼗秘褥撩。 关键谰。球定理，鞴蹄不等式 摘要 a b s t r a c t i i s p h e r et h e o r e m sh a v ea l w a y sb e e nac e n t r a lt h e m ei ng l o b a ld i f f e r e n t i a lg e o m e - t r y , i tg i v er i s et o8l a r g en u m b e ro f q u e s t i o n s t h i sh a sp r o d u c e d 馘i n t e n s ea c t i v i t y w h i c he x t e n d su pt ot h ep r e s e n ta n dc o n s t i t u t e so n eo ft h em o s tv i g o r o u sb r a n c h e s o fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y “as p h e r et h e o r e mw i t h8p i n c h i n gc o n s t a n tb e l o wi 1 ”，w h i c ha p p e a r e di n j o u r n a lo fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , b yu a b r e s c ha n dw t m e y e r i nt h e i ra r t i c l e t t h em a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ： t h e o r e mat h e r ee z i s l sac o n s t a n t 妇( 0 i 1 ) s u c ht h a ta n yo d dd i m e n s i o n a ic o m p a c ts i m p l yc o n n e c t e dr i e m a n n i a nm a n i f o i dm “w i t hd o d d p i n c h e ds e e t i o n a lc u r v a t u r ei sh o m e o m o r p h i ct ot h es p h e r es “ t h e o r e mbt h e r ee x i s t sac o n s t a n t 岛( 0 ，) s u c ht h a tf o ra n ye v e nd i - m e n s i o n a l , c o m p a c ts i m p l yc o n n e c t e dr i e m a n n i a nm 帆i f o l dm “w i t h “- p i n c h e d s e c t i o n a lc v a t u r et h ec o h o m o l o g yr i n g s ( m ”；r ) w i t hc o e f f e i e n t s 兄 q iz 2 ) 啪i s o m o r p h i ct ot h ec o r r e s p o n d i n 9e o h o m o l o g yr i n g so fo n e 辘ec o m p a 蘸r a n k 。n e ，s y m m e t r i cs p a c e s 舻，e 畦，驴，o rt h er i n g sh ( 肘“；置) a r et r u n c a t e dp o l y n o m i a lr i n g sg e n e r a t e db ya ne l e m e n to fd e g r e e8 t h ec e n t e rf o rt h ep r o o f so fb o t ht h e o r e m si st oe s t a b l i s ht h eh o r s es h o ec o n - j i c t u r eo fb e r g e r ，w h i c hh a dr e m a i n e do p e nu n t i lr e c e n t l y h o r s es h o ei n e q u a l i t yt h e r ee 捌咖。c o n s t a n td ( 0 ，i 1 ) s u c ht h a tf o ra n y c o m p l e t er i e m a n n i a nm a n i f o 继m ”w i t h d k m 曼ia n d 7 rs i n jm “d i a mm “蔓7 r 2 、否， t h ef o l l o w i n gh o l d s ：f o ra n y 芦b m ”a n da n y 甜s ”一1c 丁菇m ，如ed i s t a n c e b e t w e e nt h ea n t i p o d a lp o i n t se x p p o 一群针) a n de x p & f 箨留) 拈b o u n d e db y 耳： d i s t m n ( e x p p 。( ” ) ，e x p p o ( 7 r ) ) 6 s u p 耳村 最早是由r a u c h 谯1 9 5 1 年对鼠有约0 7 4 一p i n c h e d 截面曲率的流形提出了此 定理，艨来盎b e r g c r 搬k l i n g c n b e r g 对结果进行了效递。 改遗p a u c h 球定联的开端是k l i n g e n b e r g 在1 9 5 9 年提出的单射半径估计t 定理1 ，2 设妒摄偶数维，紧，单连通黎曼流形，有严格正截面曲率j “。则 单射半径i n j 膨“由共轭半径c o n jm ”控制： i n jm ”= c o n jm “7 r 、m a x k m 作为此定理的首次皮用，k t i n g e n b e r g 褥到了偶数维流形酶球定理，p i n c h i n g 常数d o 5 5 ，是s i n 臼怕) = 粕魏藏瓤1 9 6 1 争，k l i n g e n b e r g 又提出了对蠢数 维流形邋含的单射半径估计： 定珊1 3 设m “怒紧，单连通装聂瀛形，有羰- p i n c h e d 的藏匿监率，剿举 蔚半径i n jm 8 帮共麓华径c o n jm ”满足： i n jm ”= c o n jm “a 、伍墨可i 建璐究菝 簿定毽辩，b e r g e r 遗跨单连溢，露弱 一p i n c h e d 鹩裁薤懿攀翁稻 数维流形进行了研究，予1 9 6 0 年得到了b e r g e r 刚怏定理： 定理l 。4 ( b e r g e r 刚性定理) 设m ”是偶数绻，完备，单避遥黎曼流形， i 1 兰翰1 ，烈 ( 1 ) m “和球酽同胚，或 i ! 旦皇塑墨2 ( 2 ) m “和下嚣秩为1 的对称空闷e p 2 ，磁嘎或c a p 2 中的一个等距 此定理于1 9 6 1 年得出，已经被扩展到了奇数维流形；对于任崽完备，单连邋， 有弱j 1 一p i n c h e d 截面数率鼹奇数维溅澎蟊胚于球， 断戳，b e r g e r 澍链定理对所有紧，单连通，鸯弱 一p i n c h e d 延截面穑率的黎 曼流形提供了一个分类 1 9 8 3 年，b e r g e r 对此定理进行t 逑一步扩藤，掇蹬丁p i n c h i n gb e l m 定理， 这遣是x 詹匿g r o m o v 祭经定理的曾次应用： 定煺1 5 ( p i n c h i n gb e l o w - 定理) 对任意偶数n ，存在常数晶 0 ，存在常数毛( 0 ，1 ) 使褥任意完备，零 连通，裔如一p i n c h e d 截西兰率鹩黎爨流形a p 和球铲同殛 应当注意，这里的d 。是依赖于绒数n 的，一个很自然的问题是定理1 5 和定 理t , 8 对策个和维数髓豫关的通用的p i n c h i n g 常数怒否仍然是合邂鲍，a b r e s c h 糯 m e y e r 赞写的这箍文章主要讨论静赫怒这巾闷题，荫先，对于奇数维流形盼球定理 得到了爨大改进： 定璞a 存在常数如d d ( 0 ， ) 使褥任意奇数缎，紧，单连遵，蠢蠢d d p i n c h e d 截嚣錾举戆黎曼漉形嬲“秘球驴霹籁 显然，常数6 0 d d 魁和维数无关的具体的数，事安上，文中的诫明对d 。d d = ( 1 + 。d d ) ，e o d d = 1 0 “也嫩成立的，但对予隅数维流形，本文只得到了膏盼结果； 定疆器存在鬻数舀( 0 ，i 1 ) 餐褥任意藕鼗缝，綮，单连通，密6 。- p m c a e d 截 面曲率的黎曼流形肼”的上同调环h 4 ( m “；固，r q ，z 2 ) ，和秩为1 的对称奎问 s “，c p ；，p i ，或c b 舻的上同调环阿构；或护( 肼“；r ) 是由阶为8 的元素生成的 截断多璞式巧。 其中以，是和维数无关的明确的数，事实上，证明对于6 。一 ( 1 + e e v ) 一， = i 蒜是成立的 霹予撩缝藏影，基经褥弱了更强豹绣象； 当扎一2 ，由g s u m - b o n n c t 定理，任何紧，单连通，有正截面曲率的2 维流形 和球微分同胚 当嚣一3 ，壶h a m i l t o n 于1 9 8 3 零疆盘： 定理1 9 设( 肘3 ，9 ) 是紧，单连通的3 维黎曼流形，r i 0 ，坳m 3 ，则9 可以连续变到一个具有常曲率的度量，凰变化过程中保持r i o ，v p m 3 这装唆经嚣紧，攀建遥，寿歪p u c c i 夔率戆懿3 缝黎曼滚影( 舻，g ) 嚣球羰努 同胚 一l ! 旦宴塑墨 4 当n 一4 ，由s e a m a n 于1 9 8 9 年提出： 定谶l 。1 0 设( m 4 ，g ) 为4 维紧，i 瓤匾可定向的既边流形，若( m 4g ) 的截筒曲 率k m 满足o t t 8 8 。磊巧霉翥1 弱翰1 ，捌( m l 窖) 围题予球舻或c a p 2 + 哥辩，扶1 9 5 1 年r a u c h 的拓扑球定理一直劐濑篇文章中, l b r c s h 和m e y e r 的 p i n c h i n gb e l o w - ；定理，对球定理的研究取得了长飚的进展，并且农不同的历史时 期都涌蜣出了| 等多很稚份馕的愚想秘方法，这些思想方法对于微分凡俺孛其他领域 豹研究氇楚缀有意义酌，在下一节将荫先奔绍文章中定理a 帮定理b 的主要诚明 思想 2 定理a 和定理b 的主要证明思想 定理a 和定理b 的证明并不依赖于g r o m o v 紧性定理，而是基于直接比较的 方法和代数拓扑的某些基本结果其中证明这两个定理的关键是b e r g e r 于1 9 6 2 年 建立的“马蹄猜想”，这到目前为止仍是一个开放性的问题 a b r e s c h 和m e y e r 这 篇文章的核心工作就是证明下面的马蹄不等式： 定理2 1 ( 马蹄不等式) 存在常数6 ( 0 ，i 1 ) 使得对任意d k m 1 ，7 r i n jm “d i a mm “2 、d 的完备黎曼流形m “有：对任意p o m n 和任意 u 酽_ 1c7 h m ，对径点e x p p o ( 一7 r 口) 和e x p p o ( t r v ) 的距离小于 ： d i s t m n ( e x p p o ( 一7 r v ) ，e x p p 0 ( ”u ) ) 0 ，d i a mm ” 7 r 2 d ，9 0m “同胚于球s n 爵觅，定理矗稳定瑷b 懿整傣诞冁恿臻是l # 紫涛瘊两篱溘魏，蔼涯疆懿美耱 就是利用马蹄不等式的推论，构造出连续，逐片光滑映射，：印”一m n ，d e g f 。1 ， 而映射，的存在性对流形m “有很强的辆扑限制 穰显然，定瑷a 程定理b 中懿p i n c h i n g 雾数g 醐手雾蟊，l 、予置纛维数恶 关，其根源就在于马蹄不等式中的常数是一个和维数无关且小予 的数，所以 马蹄不等式对定理a 和怒理b 的成立趣着极为关键的作甩在下一节我b 】将详缎 分绥文孛荧予骂萎i 不等式懿 蒌饔愚鼹致方法 6 3 马蹄不等式的证明 对于马蹄不等式的证明是a b r e s c h 和m e y e r 这篇文章的核心部分，d u r u m e r i c 于1 9 8 4 年曾经对具有非平凡基本群的黎曼流形建立了马蹄不等式，其基本思想是 对肘“的万有覆盖中的d i r i c h l e t 胞腔进行分析，且依赖于”l ( m ) 0 ，而在a b r e s c h 和m e y e r 的文章中采用了一套全新的方法来证明马蹄不等式对于单连通流形成立 证明的思路非常简单，通过构造以p o 为锥奇点的参数曲面，利用反证法，假 设马蹄不等式不成立，通过对参数曲面上的一条最短测地线进行研究，得到l p ) d i a mm “，从而推出矛盾在对中半径为r 的纬圆长进行估计时，需要一个相对 于r a u c h 比较定理更加精细的j a c o b i 场估计，这个估计也为比较几何提供了一个 很有用的工具，这部分内容将在下一节作出介绍 首先来看对于马蹄不等式的几何建立： 假设m “是完备的黎曼流形，并且0 j k m 1 ，7 r i n j m “d i a m m n w 2 怕，显然有6 i 1 ，为了方便，令d = 丽干1 手，e i o ，+ 。) ，且是独立变量并且 根据需要，对的限制会逐步加强 设p o m ”， 铲。c 砟b 肘”，考虑p l ：= e x p 尸b ( 一”u ) ，耽：= e x p p o ( 1 r v ) ，须证 d m ( p l ，p 2 ) ” 假设0 e 5 1 ，由方程s i n ( p s 7 r ) = s i n ( 1 a i7 r ) 一1s i n ( ；跏) ，定义如( o ) ，引 入点 1 西：= e x p ( 一言( 1 + ) 7 r ”) 1 q ；：= e x p p o ( 言( 1 + o 。) i r v ) 考虑连结c ( o ) ：= 叮i 到c 8 ( 1 ) ：= 啦的最小测地线，：【0 ，1 一肘n 下面假设d m ( p l ，p z ) ”，并在此条件下研究，可得到； 引理3 1 设0 e i 1 ，考虑上面构造的马蹄p l p o p 2 和测地线矿，则d m nv o ，( ) ) ( 1 一 e ) ”，对任意t f 0 ，1 特别地，若o s 击，测地线c ：【o ，1 j m “和度量球b ( p o ，矗7 r ) 不交，若 0 e 蕊1 ，和度量球b ( p o ，器7 r ) 不交 ! 呈堕至箜苎盟堑塑8 引理3 2 设0 e i 1 ，考虑马蹄p l p o p 2 和测地线矿，设d ( p 1 ，p 2 ) 7 r ，则角 a i ：= ( 瓦0c 6 ( 圳* 。，导e x p 局( 一r ”) j ，扣+ 。) 。) n ；：= ( 一爰c 5 ( t ) 1 一，蚤“p p o ( r ”) i ，： ( ，恬) 。) 有下界，由如下不等式给出： c o s 程以s i n ( ；壶) 8 i n ( ；警) - l i _ l ，2 引理3 3 设0 e 击，考虑马蹄p l p o p 2 和测地线，设d m ( p l ，p 2 ) 7 r ，则 d m ( p o ，( t ) ) i7 r ，对任意t 0 ，1 这三个引理说明当0 5 矗，测地线，位于圆环b ( p o ，i 7 r ) b ( p 0 ，矗7 r ) 内， 证明思想主要是利用t o p o n o g o v 三角比较定理，研究相应的蹬空间中的h i n g e 和 三角形 对于以p o 为锥奇点的参数曲面，是采用如下方法构造的： 设0 5 击，由引理3 1 和引理3 3 ，有矗7 r d m ( p o ，( t ) ) 和，测地线f 可在e x p p 。下提升为t k m “中的一条曲线 享：i o , 1 】一口，i 7 r ) b ，杀”) c 强m “ 再将其单位化，得到铲( ) ：= l 葶( ) l “葶( ) ，构造参数曲面 ( r ，t ) 一e x p 岛( r 矿( t ) ) ( 1 ) 注意一( t ) = f ( 产( ) ，t ) ，对任意t o ，1 】，其中r ：t l e ( t ) 1 事实上， r i i o ，l 【o ，1 】表示以p o 为锥奇点的浸入参数曲面 由构造，萨( o ) = 一u ，栌( 1 ) = u ，因此p 。点的总角有下界： = z 1 l 鼢舭h ( 2 ) 3 马蹄不等式的证明 9 对任意r 0 ，”】，用垆( r ) 表示相应的纬圆长： ) ：= 0 1 i 争( 州) ( 3 ) 因n 7 r ( 1 + s ) ( 7 ) n n n 止，不难看出，对于马蹄不镣式的证骧巴缀宠皎了，豳势髓0 赫赫， 蠢 7 r ( 1 + 苎) o ，则假设7 2 冬纛。对轻意f ( o ，您】，考 虑穗应髓纬圆的妖度 _ 一o 鼢口) l d o 0 o ” 盎r a u c h 鲢：较定理，疑数r 一 ) 一1 | 赛瓴g ) l 爨不避懿，瓣鼗对o 眦慨s n 小1 ) ，揣- f ( 嘲) ( 9 ) ， 终畿燕将蘧式挺澎r l 戆函数，褥蠢溃曩一个凌尼舞上雯遭爝瓣毙较丞数袋莰 替，从简对( 9 ) 式做出濑一步的改进具体做法如下， 规定a 2 并且有f 列性质： ( 1 ) 溺数可： 0 ，r 2 【0 ，7 2 】一f 0 ，。) 是c 1 , 1 类的 ( 2 ) 辩锤意r ( o ，如l ，舞，r ) 限魏l 在羚，嵋上怒滚，严格壤懿实簿耨浃筹嚣： i 0 ，r j f 8 n n ( r ) 】8 n j ( 3 ) 对任意r ( o ，心 ，存在唯一的满，非减的c 1 ，1 一映射妒。： 8 n ( r 2 ) ，s n ) 1 一 墨n a ( r 1 ) ，s n a ( r 1 ) 】使得 协。r 。静( ，7 - 2 ) = 页，r 1 ) f 1 1 ) 下面定义比较函数皿r ，n ：【0 ，o o ) 0 ，。o ) 一f o ，o 。) 米代替( 9 ) 式糟端 f l 穗+ s n a ( r 1 ) i 1 醴c r l r 2 ( ：) l 黜。野 i f 8 - s “a ( 您) ， i f 血s n a r 2 o , r 2 景考虑测地线7 ：【o ，地】一m “上的的正规j a c o b i 场 y ：f o ，r 2 l t m ，y ( o ) = 取剥 订 y ( n ) 1 m ，。( 豪y ( o ) 1 ，1 y ( n ) 1 ) 这个结暴被嚣为混念j a c o b i 场髅诗，嚣鸯l y | 的篷嵌鼓子懿簇l 墨y 固| 秘速 值 y 她臻当a = a 时，此定理就魁辕准的j a c o b i 扬估计。并且诃以证既溺数 m 。依赖于参数a ，a ，凰关于参数a 不减，关于参数a 不增，当a a 百2 铲 定理4 1 的 f 兖考虑n 2 ，假谈r l o ，r 2 基纛考虑参数曲面7 ：i o , r 2 】f 0 ，1 】一m “，其中7 是由从r m ”散 发的正规测地线：7 “0 ) 生成，贝4f ( r i ) ，“如) 积妒。 藩足： l p l ) 田，。( 妒o ，f ( r 2 ) ) 一f 面我们来详细介缁定理4 1 的诞明： 取秘一l v y ( 0 ) t ，一l y ( r a ) l ，出r a u c h 琵较定理，有 f m 删署删s n ( r a 詈怒) 瘗垂，n ( 鑫，霉) 懿定义，澈“= ”# 争是( i ) 祭) 两释稽况，显然魏畦定瓒成立，敬冀辫 考虑中间严格不等式情况， 因m n n 缸，q ) 是正擀性的，故母r 。q ( “柙) = n 略。q ( 1 ，目) ，故可令f 蚤y ( o ) lm 1 ，y = | y 粼 m 一。( 赤y ( o ) ( r 2 ) 1 ) = m ( 1 ，v ( r 2 ) ) 一母一。9 ( 如) 弘混台j a c o b i 场估计 叉知s n ( r 2 ) n n 订 征0 l j cc h 沁 吐一a ，【 十 0 a c s 、j a 吐 l ! 退庭! ! 婴堕堑堕鼓1 7 定毽4 3 ( 最大德原理) 设a a ，如 0 假设若a 0 ，r 2 赤考虑 微分算子l 。此外设r 0 ( 0 ，r 2 ) ，z c o ( 【r 2 ) n 秽2 ( ( r 0 r 2 ) ) 使得在( r o ，r 2 ) 上 z 妒。) o , z b ) 墨0 ，则农瞻，r 2 l 上z 0 ； 既定理的主要应掰爨下面对略，。的比较结果，怒证瞬定瑗4 , 1 的关键。 命题4 4 设a 0 假设游a 0 ，t 2 赤此外，设y c o ( r 0 ，r 2 】) n c 2 ( ，r 2 ) ) 使得s “a 墨# s 考惑微分算予。，假设蓉嚣= 2 ，岛奶0 ，若拓 2 ，l 。( 蠹iy 2 ) o 猁对v r l ( o ，您】，妒r ：，。f ( 7 2 ) 墨秽( r 1 ) 证明：由对上面( 1 2 ) 式的分析，此命题只需证静。( r 1 ) ( r 1 ) ，对v r l ( 0 ，r 2 1 ， 下面我b j 来证甄( r 】) 鬟寸) ，对y r ( o ，您) 当“一2 ，令z # y 一一y r o ；当n 2 ， 令z 一熹护一去豌，均满是定理4 , 3 中的条 孛，敬命躯成立， 因此，定理4 1 的诞明归结为证明对任意r ( r 0 ，1 2 ) ， f 岛国坯。 嚣舭藏 潮) lk ( 去矿) 0 i fn 2 注意瓢( 1 3 ) 式中关予函数f 。的二酚线性微分方程可转化为荧予西数诲：一 甄未甄豹r i c c 8 t i 形式豹微努方程： 8 一 a - ；“。 一a 一碍。 一a 一嚷 t + ( c t + c t a ) 一2 皖 o n ( r 0 ，r 2 ) i f 扎 2 因此，穗应予( 1 4 ) 式的微分不等式将盎然她出理在下霹对饿建线7 戆j a c o b i 场熊 角速度静上界静讨论率 首先，定义单位j a c o b i 场e ：一i y ，因y 是淤丁的正规j a c o b i 场，则肖 一0 ， 一0 证爨( 1 4 ) 式的关键蹙依计角速度| 罄v e l 魏上界。糍 羁= 2 ，| 爵v e = 0 , e 是平行 萄量场；当黯 2 ，| v 。e j 不一定为0 ，敌溪分情况讨论， 这也是比较函数。谯n = 2 ，n 2 时不相同的原圜 笛g2 = 臻 蒋 哪 恐 b n 珏 0 0 ，liiiil，、llilli【 4 混合j a c o b i 场估计 命题4 5 设埘“是 k m a 的完备黎照流形，设7 ：= f o ，r 2 】一m “ 是以弧长为参数的测地线，考虑沿7 的正规j a c o b i 场y ： 0 ，r 2 】一t m 使得 y ( o ) = 0 t l 要y l = 1 装a 0 ，设r 2s 纛，猁纛( o ，r 2 ) 上，y ：一l y | ，# ：= ；基爹 和单位国擅场e = ；y 满足下蕊等式： 勋2 ；( e t a - c t a ) 2 - ( u - + c 删 ( 1 6 ) 一c t e o a + ( c t c t a ) u 一2 ， 一a u 2 s 未珏g ：三霞。；。奴+ 斌。，。一。毽。：三主 e ，z ， 不难看出，( 1 7 ) 式是由相应于( 1 5 ) 式中的r i c c a t i 方程的微分不等式组成 因此，麟数= f 乏1 嫠是函数钍一磊0 f 的比较函数 谨爨，考虑p o 囊弱部距离函数，期t - 0 ( 0 ) a l ，：= h e s s 屯k 母) 表拳瑗r 为半径的球的第二基本形式，又由y ( o ) = 0 ，有下谢的微分方程。 署y = 冀- e 罴矗+ 矗2 + 戳，塾o r 、塑o r = 。 由r i c c a t i 比较定理， c t a p 曼a c t x p ( 1 8 ) 其中p i d 一，豢鲁袭示浯7 酌浃丛主豹正交投影算子，将露= ；y 求导，商 品e = i l ( 。v ，y 州) 甜届砌 鑫既 要e + ( 一扣+ c t n 舭= ( a 一；( c t a + c t a ) j p ) 馏 ( 1 9 ) 由( 1 8 ) 式，( 1 9 ) 式右端以；( c e 一e t ) 为上界，注慧裂谬，罟一0 ，将0 9 ) 式鼹 臻取模，褥弱f 1 6 ) 式， 1 8 5 4 慝j a c o b i 场估计 为证明( 1 7 ) 式，国 ；景( 奶= i 暑y h 暇器y = 罟坊嚣+ 挈鲁要1 2 一 冠( 魏 爵、j 鲤o r ，y ) 得到 - - i u + 2 u 2 = 土2 y 2 旦o r 2 ( 2 冲2 + | 洳2 一a m ( s p 。n 蜀釉 因此 o = 导“+ u 2 十m ( s p 。n e 丽0 7 ) 一 要e 2 、 ( 2 0 ) 当= 2 ，弱| 墨e | = 0 疑a k m a ，褥- a 一去e - a e 2 。霹理，臻 n 2 ，由( 1 6 ) 式得证 ( 1 7 ) 鹫= 的右端是r i c c a t i 形式的微分不等式，又阪p 0 ，此微分不等式可转化 旁圭一2 ，三2 国0 ；姿# 2 ，l 。去2 ) 0 ，邈撵蔑涯翟了( 1 4 ) 式，龟藏最 后完成了对定理4 1 的诞明 对( 2 0 ) 式的几何解释：将7 视为具有锥奇点的浸入参数曲馘中的测地缓 蕊，0 兰8 i 中懿一条，它懿第二基本形式为 z ”( 署e ) d r d o + ( 罟斋眈 由g a u s s 方程，篷嚣静凌蕴夔率k m 毙 拖= 州渊愠釉i 洳2 ， 嚣越，2 0 ；式茸皱驽为要+ “2 _ 矗，这便是串懿戮? ( o ) 舞一矗懿嚣t 麟瓣 曲率u 的r i c c a t i 方程 命题4 , 5 的补充设n 2 ，n ( 0 ，他) 则下列叙述等价a 0 ) w s l ，。鲍模秘( 1 6 ) 式孛戆上爨耀簿 ( i i ) 襻在沿7 的平行向量场最嗣玩使得在【0 ，r l 】上有t , j a c o b i 场y 的形式为s d a t 毋十s “a 匹k ，且 1 9 l ! 塑曼! ! 塑望堑笾鼓 2 0 r ( 五h ，象) 鲁= a 矗和霞( h ，鲁) 鲁= a e a ( i n ) 在( 1 6 ) 式中等号在整个区间( 0 m 】上成立 琵照然，命题4 5 的 充对于( 1 7 ) 式中等号戚立条 串的讨论其毒卡努重要瓣意 义 最后，值得我们潍意的是，混合j a c o b i f i e l d 场估计显然是a b r e s c h 和m e y e r 这 篇文章的一项重大成皋，它为我们挺镞了一个薪的研究工其，对予镪篷势0 的燕艇 j a c o b i f i e t d 场y ，著甚辩i 蚤y ( o ) i 和i y ( t 2 ) i ，鄢么对予| y 的话算瑟比r a u c h 蹴较 定理更加精细那么它嶷体还能应用予哪些领域，懈决哪些问题，是很值得我们进 行进一步研究的 参考文献 1 】ua b r e s c h ，wtm e y e r ，p i n c h i n gb e l o w ，i n j e c t i v i t yr a d i u se s t i m a t e s ，a n ds p h e r e t h o r e m ，j d i f f e r e n t i a lg e o m 4 0 ( 1 9 9 4 ) 6 4 3 6 9 1 2 】u a b r e s c h ，w t m e y e r ，i n j e e t i v i t yr a d i u se s t i m a t e sa n d 却h e