（基础数学专业论文）表自然数为一个素数和六个素数立方之和的小区间问题.pdf

_ 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：型篮鸯 e t 期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：型送澧导师签名：哗日 期：上吐巫础 点 ，、 目录 中文摘要i 英文摘要v 符号说明i x 第一章主要结果1 第二章基本引理5 第三章定理的证明9 第四章引理的证明1 8 参考文献2 5 致谢2 7 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t i e n g l i s ha b s t r a c t v n o t a t i o n i x c h a p t e r1 m a i nr e s u l t s 1 c h a p t e r2 f u n d a m e n t a ll e m m a s 5 c h a p t e r3 p r o o fo ft h et h e o r e m 9 c h a p t e r4 p r o o fo ft h el e m m a s 1 8 r e f e f e n c e s 2 5 a c k n o w l e d g e m e n t s 2 7 山东大学硕士学位论文 表自然数为一个素数和六个素数立方之和的小区间问题 刘敬博 ( 山东大学数学学院，济南，山东2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 w a r i n g - g o l d b a c h 问题旨在研究将满足必要同余条件的正整数 表为素数方幂之和的可能性著名的哥德巴赫猜想和v i n o g r a d o v 的三 素数定理就是此类问题在线性情况下的个例解决v 、f ：a r i n g - g o l d b a c h 问 题的一般性方法是h a r d y 和l i t t l e w o o d 的圆法结合v i n o g r a d o v 素变数 三角和的估计 小区间上的w a r i n g - g o l d b a c h 问题也激发了许多数学工作者的研 究热情，在这一方面得到了许多有价值的结果其中，以几乎相等 的素变量g o l d b a c h - v i n o g r a d o v 定理最为著名 w a r i n g - g o l d b a c h 问题主要分为线性和非线性两种情况不同于线 性情形，用圆法来研究非线性情形时需要克服更大的困难这是因 为，我们在应用圆法处理非线性的问题时需要处理扩大的主区间，而 此时s i e g e i - v ：a l t i s z 定理不再成立，从而导致主区间上的积分无法有效 地计算为了克服这个困难，刘建亚教授和展涛教授 1 2 l 首先在广义 黎曼猜想下研究了小区间上二次非线性情形下的w a r i n g - g o l d b a e h 问 题，丑p 在广义黎曼猜想的条件下证明了：每个模2 4 同余5 的大整数 n 可以表示为5 个几乎相等的素数的平方之和，即 i = 者+ + 砖， 1n 居i 职l _ l ，5 有解，其中u = n 一托，6 = 1 2 0 b a u e r 在文章【1 1 中使用m o n t g o n - e r y 和v a u g h a ni i s l 扩张主区间的 t 山东大学硕士学位论文 方法无条件地证明了( 1 ) 式对于u = n 1 2 。成立，这里6 是一个小正 数，其具体值依赖于d e u r i n g - h e i l b r o n n 现象的常数值，丽且难以确定 不使用广义的黎曼猜想或者d e u r i n g - h e i l b r o n n 现象处理增大了的 主区间就成为了研究非线性的w a r i n g - - g o l d b a c h 问题要解决的一个主 要问题1 9 9 8 年，刘和展f 1 3 】找到了处理扩大了的主区间的新方法， 这种方法的引入使得可能存在的s i e g e l 零点对定理不再有影响所 以，d e u r i n g - h e i l b r o n n 现象叮以被避免了用这种方法，他们无条件 地证明了( 1 ) 式对u = n m 一t 5 0 + _ 。成立2 0 0 3 年，刘建亚教授f 9 】9 在主 区间的计算中引入迭代法，这个方法可以更好地处理主区间上的积 分问题，现在已经被成功地运用到许多素数的加性问题中，具有十 分重要的意义目前上述问题指数值的最好结果为刘建亚教授、吕 广世教授和展涛教授【1 1 】给出的6 = t 2 0 在本文中，我们将证明 定理1 对于每个充分大的整数n 兰1 ( r o o d2 ) ，方程 ln = p + p | + 一+ 碟， ii p 一等i 厕，卜污i 鲰，6 ， 对于掣= n 1 7 5 4 + s 有解 此定理的证明是应用圆法得到的我们将 1 q ，1 + 1 q 】表示成主 区间和其余区间的并然后证明主区间上的积分产生主项，而余区 间上的积分只对余项有贡献 我们首先引入几个参数 p ：v 7 ，2 7 只= n 1 1 5 ， q = n 1 9 2 7 ， q + = n 8 9 托 令主区间为 朋：= n = 罟+ a i t ns 口s 见巾埘= 圳邪嘉) 山东大学硕士学位论文 余区间为朋在【x q ，1 + i l q 】中的补区间，并将其分解为c ( 朋) 与冗 的并，其中 c c 蛳= n = 詈+ a lp 。 成立这里s ( n ) 和r ( a ) 为相应的素变量指数和，其定义详见第一章 在处理主区间m 时，我们将应用【9 】中的迭代法及混合均值估计 磊量f r i f ( 知x ) 卜 等丁咏rt 1 i x 3 i o x i 2 卜x 来得出相应的渐近公式，即 命题2 设主区间朋如上定义则对任意的a 0 ， 其中 奇异级数 厶t ( a ) s 6 ( q ) e ( 一n ) 如= 嘉娲6 ( a r ) + 。( y 6 l - a ) ， p o ：= ( m 1 m 6 ) 。2 7 3 y 6 ， m + ”l lf ”e = v n ；，t 皑m l 。 ji m i c m 、 j r h e r e ：s ( q ) a n dt ( a ) d e n o t et h ec o r r e s p o n d i n ge x p o n e n t i a ls u m so v e rp r i m ev a r i - a i , l e s w h 琳e i ( i p f i n i t i o n s ( ；a l lb ef o u n di nc h a p t e r1 、7 h e nh a n d l i n gm a j o ra r c s 朋w ea p p l yt h ei t e r a t i v em e t h o da n dt h ef o l l o w i n g h y b r i dm e a n - v a l u ee s t i m a t ei n 【9 】 萎。吖傩棚卅 等丁知rt i 2 x 3 1 0 x i 2 ) l o g c x t oe s t a b l i s ht h ef o l k m i n g 捌s y m p t o t i cf o r m u l a ， p r o p o s i t i o n2 k m6 ed e f i n e d a b o v e t h e n ，1 0 7 a u ya 0 w h e r e 厶t ( q ) s 6 ( n ) e ( 一q ) d 。= p 0 6 ( a r ) + d ( y 6 l - a ) ， p 0 ：= ( m t m 6 ) 以7 3xy 6 ， m + m 1 + + m 6 = n f s m l s 芎m l s m _ s f 2 v i i 山东大学硕十学位论文 a n dt h es i n g u l a rs e r i e s 6 c 仆薹帮 8 f l t i , q f i e a1 6 ( n ) 1 o rn 兰l ( m o d2 ) i ne s t i m a t i n gi n t e g r a lo v e rt h em i n o ra r c s ，t h ef o l l o w i n gn e we s t i m a t ef o re x o p o n e n t i a ls u m so v e rp r i m e si ns h o r ti n t e r v a l so fl i u - l i i - z h a n 【11 】 ( 1 0 9 p ) e 驴n ) ( 口z ) 5 i - q 1 1 2 2 y 三_ _ _ 。_ 1 1 2 - + q l 2 z l 2 三l 6 + 可l 2 2 3 l 。+ p l a y sa l li m p o r t a n tr o l e a c t u a l l yw ew i l le s t a b l i s ht h ef o l l o w i n g p r o p o s i t i o n3 l e tc ( m 1a n d 冗b e a b o v e t h e n t o eh a v e s u pl s ( n ) i y a 2 n 1 6 一 a e c ( a 4 ) u 冗 k e y w o r d s ： c i r c l em e t h o d ；w a r i n g - g o l d b a c hp r o b l e m ；e x p o n e n t i a ls u l i i so v e r p r u n e s i i 南丝抄 p l ，p 2 ， ln ，优 ( o ：b ) f n b ，仁】 e ( z ) r r i ，( n ) ，l ( n ) a ( n ) 山东大学硕士学位论文 符号说明 素数 整数 d 与b 的最大公约数 o ，b ，c 的最小公倍数 e 2 7 r i z l o g n r r 2 r e u l e r 函数 m s b i u s 函数 俩nm a n g o l d t 函数 i x t 山东大学硕士学位论文 第一章主要结果 w a r i n g - - g o l d b a c h 问题旨在研究将满足必要同余条件的正整数表 为素数方幂之和的町能性著名的哥德巴赫猜想和v i n o g r a d o v 的三素 数定理就是此类问题在线性情况下的个例解决w a r i n g - - g o l d b , l c l a 问 题的一般性方法是h a r d y 和l i t t l e w o o d 的圆法结合v i n o g r a d o v 素变数 三角和的估计1 9 6 5 年以前的结果已经总结于华罗庚的堆垒素数 论一书中此后，尤其是近些年来，圆法，筛法和指数和估计的 新思想不断地被运用到w a r i n g - c c j l d b a c h 问题中，并得到了许多显著 的成果 小区间上的w a r i n g - g o l d b a c h 问题也激发了许多数学工作者的研 究热情，在这一方面得到了许多有价值的结果其中，以几乎相等 的素变量g o l d b a e h - v i n o g r a d o v 定理最为著名 w a r i n g - g o l d b a e h 问题主要分为线性和非线性两种情况不同于线 性情形，用圆法来研究菲线性情形时需要克服更大的困难这是因 为，我们在应用圆法处理非线性的问题时需要处理扩大的主区间，而 此时s i e g e l - w a l f i s z 定理不再成立，从而导致主区间上的积分无法有效 地计算为了克服这个困难，刘建亚教授和展涛教授【1 2 】首先在广义 黎曼猜想下研究了小区间上二次非线性情形下的w a r i n g - - g o l d b a c h 问 题，丑p 在广义黎曼猜想的条件下证明了：每个模2 4 同余5 的大整数 可以表示为5 个几乎相等的素数的平方之和，即 有解，其中u = n m 。扣，：f = 1 2 0 b a u e r 在文章【l j 中使用m o n t g o m e r y 和v a u g h a n 1 8 】扩张主区间的 方法无条件地证明了( 1 1 ) 式对于u ：n 1 2 一一成立，这里j 是一个小 正数，其具体值依赖于d e u r i n g - h e i l b r o n n 现象的常数值，而且难以确 定 q k = 嘲叫 一 一 n 居 | i 一 ，ii，、-l-， 山东大学硕十学位论文 不使用广义的黎曼猜想或者d e u r i n g - h e i l b r o n n 现象处理增大了的 主区间就成为了研究非线性的、v a r i n g - - g o l d b a c h 问题要解决的一个主 要问题1 9 9 8 年，刘和展川找到了处理扩大了的主区间的新方法， 这种方法的引入使得可能存在的s i e g e l 零点对定理不再有影响所 以，d e u r i n g - h e i l b r o n n 现象呵以被避免了用这种方法，他们无条件 地证明了( 1 1 ) 式对u = n i l 2 - 1 5 0 + = 成立2 0 0 3 年，刘建亚教授1 9 】9 在 主区间的计算中引入迭代法，这个方法町以更好地处理主区间上的 积分问题，现在已经被成功地运用到许多素数的加性问题中，具有 十分重要的意义目前上述问题指数值的最好结果为刘建亚教授、 吕广世教授和展涛教授【1 1 1 给出的6 = 1 2 0 关于三次非线性的w a x i n g - - g o l d b a c h 问题，孟宪萌教授【1 6 】首先证 明了在广义黎曼猜想下每一个足够大的奇数都町以表示为九个几乎 相等的素数的立方之和，即 fn ：p 3 + + 砖， b 污i 以江1 ，9 ， u 。 有解，其中u = n 1 3 一肌，6 = 1 1 9 8 后来，孟【l7 】无条件地证明了( 1 2 ) 式当石= 1 4 9 5 时成立2 0 0 7 年，吕广世教授和徐云飞【1 5 】证明了孟 在广义黎曼猜想下的结果无条件成立 在本文中，我们将证明 定理1 1 对于每个充分大的整数n 兰1 ( m o d2 ) ，方程 l = p + 衍+ + 谣， ii p 一邬v 隔n2 ，卜污l 鲰江1 6 ， 对于剪= n 1 7 5 4 + s 有解 我们将应用圆法证明定理1 1 设n 为充分大的正整数，满足 n 三1 ( r o o d2 ) 我们定义 2 r ( a t ) = ( 1 0 9 p ) ( 1 0 9 p t ) ( i o g p 2 ) ( 1 0 9 p c ) ， v = p + p i + + p 0 j p n i te 析而亍而1 p i 一寻而l ! 山东大学硕士学位论文 其中p ：p 为素数，江1 j 6 我们首先引入几个参数令 z = c h i t ) 1 3 ， 可= n 1 7 5 4 + 5 ， x ：n | 飞。y = 心| 甘喝y 。 n 1 = z 一玑v 2 = z - t - 暑，m 1 = x k 尬= x + y ( 1 3 ) 定义指数和 s ( n ) ：= ( 1 0 9 p ) e ( p a a ) 1 3 山东大学硕十学位论文 余区间为朋在 1 q ，l + 1 q i 中的补区间令 c ( 朋，：= n = 芸+ a p qs q ，。鲰( n 埘= 1 | 邪去) n 陆，1 十a 显然朋和c ( m ) 是不相交的我们把余区间分解为c ( 朋) 与亿的并， 其中冗为朋和c ( m ) 在 1 q ，1 + 1 q i 中的补区间所以 i 1 q ，1 + 1 硎= 朋uc ( 朋) u 冗 这样公式( 1 4 ) 可以写成 叫) = 厶+ o + 上 ( 1 7 ， 定理1 1 的证明归结为如下两个命题的证明 命题1 2 设主区间m 如上定义则对任意的a 0 ， 六dt ( q ) s 6 ( n ) e ( 一n 口) d a = 壶e o e ( u ) + 0 ( 扩l a ) ：i m 其中 p o ：= ( m 1 啪6 ) 吨7 3 y 6 ， n s m 。s 叼m i5 m 曼 6 ( ) 是奇异级数，由( 2 3 ) 式给出，而且对满足n 三1 ( r o o d2 ) 的正整 数v ，l 6 ( v ) 1 命题1 3 设c ) 和冗如上定义则我们有 s u pi s ( n ) i y a 2 n 一1 6 一。胞 定理和命题的证明将在第三章给出，下一章我们先给出几个重 要的引理 4 山东大学硕士学位论文 第二章基本引理 设x 是模q 的d i r i c h l e t 特征，我们定义 嘶，= 毫又e ( 警) ，c 垆毗吐 锨= 熹又e ( 警) 川舭m r 舳 其中d ( q ，n ) 是r a m a n u j a l l 和当( 口，q ) = 1 时我们有d ( q ，o ) = 肛( q ) 设肌，x 7 是模q 的d i r i c h l e t 特征，我们定义 和 剐删= 妻e ( 等) 毗- ，n ) c f ( 脚) 似删，( 2 ，) b ( n ，q ) = b ( q x o ，x o ) ， 6 c 班薹裂 设n 1 ，镌：m 1 ，如( 1 3 ) 中定义，我们再定义 其中 令 h ( a ) = e ( m ) ，( a ) = e ( m 3 a ) ， j ，l m 肘j n i m s 匕 w ( x 入) = ( i o g p ) x ( p ) e ( p s ) t ) 一奴i 三( a ) ， n l s p s n 2 ( 2 2 ) ( 2 3 ) u ( x a ) = o o g p ) x ( p ) e ( 以) 一6 y ( a ) ， ( 2 4 ) t l l p f 2 ff 1 x = 天o ， 奴2 to 龇 ? 2 0 ，我们有 ( 1 0 9 p ) e ( p k t ) c 口z ，5 q l 2 y e l 2 + q l 2 l 2 三l 6 + 材l 2 护l 。+ 其中中暗含的常数只依赖于和忍 证明参见【1 1 ，定理1 1 】 引理2 7 令x2y 之2 7k 为一个正整数， 赋( n ) ：= e ( n 七o ) x y 一 n 0 和1 s j | ；：，我们有 证明参见f 8 ，引理4 1 】 罐( a ) p 如x 5 ，学 引理2 8 当( n ，q ) = 1 时，对于任意的d i r i c h l e t 特征x 模q ，有 c ( x ，n ) l 2 q 1 2 d ( q ) 2 7 南 丝抄 山东大学硕士学位论文 证明参见 2 0 ，c h a p t c rvii0 下面这个引理，在证明t ，( d ) 和k ( 回的估计中非常重要 令x 2 5 y x ，m ，m l o 为正整数，并且满足 咖，= 銎_ 盖 触- x ) = l r f t 邑i 掣m i 善r。rx m o d 胡f ( 知久) | d 等t + d - 而rt i l 2 x 3 1 0 + x 2 1 l o g 。x 证明参见【9 ，引理2 1 1 口 引理2 2 - 2 5 在使用【9 】中的迭代法处理主项时起着非常关键的作 用其中，引理2 2 和引理2 4 的证明我们将在第四章中给出，而引 理2 5 的证明与【1 5 】中引理3 3 的证明方法类似，我们不再赘述细节 8 山东大学硕十学位论文 第三章定理的证明 在这一章中我们先来证明定理1 1 ，然后再给出命题1 2 和命题1 3 的证明 定理1 1 的证明由引理2 7 得 以及 小( 酬8 如z 1 瞰砷a 3 矿 陬q ) | 2 如z 1 i 州酬2 d a n 咿3 剪 利用命题1 3 ，我们有 7 沁) 妒( “) e ( 一n ) 破。 ，g ( m ) u 冗 l 罱一跏，收胁酬8 d n ) 1 2 f o ll t ( a ) 1 2 d o v 2 ( y 3 2 n 一1 6 一。2 ) 2 ( 53 矿) 2 ( 5 n 2 j 3 ”) 1 2 y 6 n 一5 3 y 6 l a 再由命题1 2 我们可以得到 定理1 1 即证 ，( n ) ：委6 ( ) o ( y 6 la + o ( y 6 l ) 掣6 ，( n ) 2 素6 ( ) ) 矿 在证明命题1 2 之前，我们先来证明奇异级数的正性质我们有 如下结论 引理3 1 设奇异级数6 ( 人，) 如( 2 3 ) 式所定义则当n 三i ( r o o d2 ) 时，有 1 6 ( n 1 1 9 山东大学硕十学位论文 证明我们令 则 由引理2 8 可得 帆沪帮， 6 ( ) = a ( q ) q = l o o i a ( n ，q ) l q = l q - - - - 1错薹q 讲 即6 ( ) 绝对收敛我们接下来证明6 ( v ) 1 实际上，若( 口l ，口2 ) = 1 ， 令h = h i q 2 + h 2 q l ，则有 q l q 2 c ( q l q 2 ，n ) = 又因为，当a q ) = 1 时 一t ( h q l 蛇) = l 厂a h 3 、 ei l q l q l 2 mq 2 f f j ：jj ：j h 1 二i ( h i q 1 ) = l h 2 二二l ( h 2 ，钯) 一i f f ：jj ：j h i l ( h i q 1 ) = i h 1 = l ( h 1 q 1 ) - l 2 一i ( h 2 ，口2 ) = i e a ( h l q 2 + h 2 q 1 ) 3 q l 口2 e ( 案) e ( 警) e ( a 4 1 h 2 ) 善q 2 e ( 警) c ( q l ，口谚) c ( 口2 ，n q ) 吡叫= 尸 令n = n l q 2 + 口2 口l ， 1 0 于是我们有 q l q 2 b ( n ，q l q 2 ) = n = l d ，q l q 2 ) = 1 i f 口= 1 ， i f q = p i p 2 p 5 ，p i 1 9 2 饧 0 ( 3 1 ) p c 1p c l 令m ( p n ) 表示同余式 z l + z ；+ + z 7 3 = ( r o o dp ) ，0 0 ： 即 ( 1 + a ( n ：p ) ) c 3 0 ( 3 3 ) 3 p _ c l 综合( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的结果，我们即可得出，对于任意充分大的n 三1 ( r o o d2 ) ， 山东大学硕十学位论文 其中( a ) ，( a ) ，u ( x a ) ，( x ，a ) 如( 2 4 ) 中定义所以 l t ( o t ) s o ( a ) e ( 一n q ) d a ， = ( 8 l + 口2 ) ( 6 1 + 6 2 ) 6 e ( 一n ) d r ， j 朋 = ( 0 1 6 6 + 6 a 1 6 i 6 2 + 1 5 a 1 6 4 醒+ 2 0 a 1 6 3 碹+ 1 5 a l 砖磅+ 6 a l b l b ；- 4 - a l 磋+ n 2 礴 j m + 6 a 2 磕6 2 + 1 5 a 2 6 ：6 ；+ 2 0 a 2 b a l b g + 1 5 n 2 6 醴+ 6 a 2 b l b ；+ n 2 6 2 ) e ( 一a ) 机 = i t o + 6 i t i + 1 5 1 1 2 十2 0 3 + 1 5 4 + 6 1 1 5 + 1 1 6 其中 + 2 0 + 6 2 l + 1 5 饬+ 2 0 i 2 a + 1 5 如4 + 6 如5 + k ， 亿2 轰而1 。聂q 。嘶m 扩(了a n ) 瞄呻蚋a ， 。蠹魄，卜删 朦帅，怪跏职) ) x 锹州，卜 我们将证明主项由1 1 0 给出，其它项将产生余项我们先来计算 j r l o 由【6 】中的引理8 8 ，我们有 ( a ) = e ( u 3 a ) d u + d ( 1 ) ：百1 ：n ；v - 2 1 a e ( v a ) d v o ( 1 ) 5 厶 1 ) = 丢研三哪等删 高 邸 = 扬 山东大学硕士学位论文 所以我们有 枷1 nb ( n , q ) f l t q 酬q ) ( 竹曩叼型m u l s 、j6 ( 肘：三胁删卜删枞 + d i b ( v ：q ) l 妒7 ( q ) 朦坯叼筹眦，曩删时 将积分区间扩大到f 一1 1 2 ：u 2 1 ：我们有 一a 。z b ( n 州, q ) f 吼2 ( n ，三咐型7 n 2 3 、6 ( 晒 r n ：t l , 1 2e c 删) e ( _ + 。瞳帮患怪埘拱忆渤尬e ( m m + 。( 轰掣c = m 曼明筹n ，三咖” 为了估计大0 项，我f f l 和j 用熟知的估计 和 可得 w 冬m 曼 筹m m ( 材：南) 聂以)幽niay,而1)ml s m j ，2 ”“7 ，i o = 壶r 篆帮+ 0 ( ( 酬一) + d ( y 6 n 。- i s 肘) 习lp , 。善帮删 = 嘉昂6 ( ) + d ( 批一4 ) ， ( 3 4 ) 其中，岛如命题1 2 中所定义，6 ( ) 如( 2 3 ) 中所定义 对于其它项的估计，我们以最复杂的项为例进行估计，其它 项的处理方式与其相似，我们不再处理了因为模q 的每一个 1 4 鹋 - 山东大学硕七学位论文 特征x 都可以表示为x o ，其中是模，的一个原特征，r | q ，x 0 是 模q 的主特征由此我们可以得到 i2 志x 三y 三州4 洲 v 帕l | ( x 。ja)w(x2a)w(xr，a)e(一nx)dajt( ( x l ja ) ，a ) e ( 一 j ，一 q o 1 + + r 1 f x l m o d r lr 7 ( 1 x 7 m o d r 7 口s ! r oj q l b ( n 口x l o x 7 妒) j 妒7 ( q ) 厂1 7 桕”l 厂( x l y 0 a ) l l w ( x 2 妒a ) l i w ( x 7 x 0 ，, x ) l d , x ， ，一t ( q q 1 其中x o 是模q 的主特征，r o = h ：r ，1 ，。遍历所有的原特征当 口只，m p 地或者a ，l ! p ! 舰时，我们有( q ，p ) = 1 利用这个性 质和式( 2 4 ) ，对上面的原特征b ，我们有 w ( x j x o a ) = u ( x ，a ) ，u ( x l 久o a ) = u ( x l ja ) 所以由引理2 1 ，我们得到 1 2 6 r l p x l m o d r l萎型习地，7 p k 7 1 1 | o d r 7q s 7 r l ( r o o + ) x i u ( x i a ) l l w ( x 2 l w ( x t ，, x ) l , t x ，一1 ( * o q + ) r i 纠2 托 r l p 、1 m o d r t，。7 s rx 7 t m t o d r 7 r l ( r o q ) f i u ( x i 一x ) l l w ( x 2 l w ( x 7 ，a ) i d a j 一1 ( 巾q j 在最后一个积分中，我们将i u ( x l ：入) i ，i w ( x 2 ：a ) | ，i w ( x 5 ，a ) l 拿到积分 号外，然后使用c a u c h y 不等式，得到 i 戛+ l 入 h 滕q ) i u ( x “) r l p t 、l m o d r l ”。 r 2 p y 2 m o d r 2 i n a x 1 w ( x 2 ，入) lx 刈s l ( r 2 q j 。 山东大学硕士学位论文 。，n 瞪i w ( x 5 ，a ) l 毒= 奠x ；：= 孟鸭i n s l r 5 q ) 。“ x 。邑。、1 ( r 6 q * ) 删2 烈) v 2 秽x ，量( 嬲1 2 似5 ， 我们将利用迭代法来估计上式我们首先利用引理2 4 来估计( 3 5 ) 式 中关于变量r 7 的求和因为 r o = 【r 1 ，r 7 】= 【r 1 ，r 6 】，r 7 】， 所以( 3 5 ) 式中关于变量r 7 的求和 = ，驴确一2 枢( 朦l w ( x t , 入) 1 2 x t m o d r ， 1l2 r 7 曼j 气v 7 v7 再次应用弓| 理2 1 可以得出( 3 5 ) 式中关于变量r 6 的求和 【r i ：r 5 一5 7 2 + 。y n 一2 3 。 由上面的估计以及引理2 2 和引理2 5 ，我们得到 划 y n - 2 3 l c ，。e 妣e 删一* 啦m a ，x q ) i 咻划 m a ：x 、l w ( x 2 ，a ) l r 基x 2 - m o d r 2 刈s - ( r 2 q + ) 。 “ ，p r 5 | - 5 2 + z x 。急r * 刈然q ) i 吣“) lr 5 ，j x 5 m o d r 5 加2 借，暑n 5 2 + e x 。f 急r i | * 刈踹q ) | 划r l p x l m o d r i 。“ y 6 l a ( 3 6 ) 一2 x - 兰x + 矿x m 由引理2 6 我们得到，若q 冗。，则 鼬5 迹n 1 6 + n 1 1 6 q 1 2m 胪w 删。+ 丽n 4 1 5 + 丽n i l 3 ) y 3 1 2 n 一1 ，6 8 p 若值冗2 ，则有 只 口 p 三n 2 3 y ，q - - n q 一1 + p n 2 3 y 一 再次应用引理2 6 得， s 陋) n 5 矿2 n 一1 6 5 2 + n l l 6 q 1 1 3 ( q 三) 1 6 + y l 2 1 l o + j n 4 万1 1 5 + 综合( 3 7 ) 一( 3 9 ) 我们证明了命题1 3 下一章我们将给出引理2 2 和引理2 4 的证明 ( 3 8 ) ( 3 9 ) 1 7 坐 磐 y 一 ，、【 山东大学硕七学位论文 第四章引理的证明 在这一章中，我们将先证明引理2 4 ，然后再给出引理2 2 的证 明 引理2 4 的证明令 彬( x a ) = 那么 ( a ( m ) x ( m ) 一奴) e ( m 3 a ) n t m n 2 w ( x ，a ) 一t v ( x ，a ) l o g p n 1 加 ( 4 1 ) - v l 曼s 心 ”兰2 令( d ，厂) = l ，则犯小= d r l ( d ，r ) = d r 1 我们有 驴矿胁e+(f罴卅附炉d入112xmodr r s r 。，”v 删“6 薹刚山肛托南 r j ， 、7 d 一5 2 十5 l 6 ( ( + ) 一l 2 ( 手) 一5 7 2 + 5 r l 2 d 一5 2 + 5 1 6 ( q + ) 一l 2 ( 丁r ) 一5 7 2 + 5 r l 2 l 、， 一j o l i df7 d 一5 2 + 5 n 1 ，6 ( 0 + ) 一t 2 p t + 下 其 1 8 山东大学硕七学位论文 其中 ( 志) 2 璧旧，萎坳m m ) - 刚1 2 如 q m 3 s r + r q n 3 m 3 s 2 ( 赤) 2 璧旧iy 丕x c a ( m ) x ( m ) - 奴，卜 3 ， y = m a x ( v 1 3 ，啊) ，x = m i n ( ( 钉+ r q ) 1 3 , 赴) 当r = 1 时，r = 1 ，x 。= x o 我f 有 所以有 ( a ( m ) x ( m ) 一奴) i l ( a ( m ) 一1 ) i ( 义一，) l y m x 1 y t o 时， x l l 2 + i t y l 2 + i tx 1 2 1 ，1 2n t l 6 _ 矿可育可 1 9 山东大学硕士学位论文 总结以上两个结果，我们有 可xi2-l-it_yi2-,-it妇(篇，箐)弋西f m mi 茹，可j 取t o = 1 2 丌n ( r q + ) ，可得 所以有 心m ，罴k 懈) | d t 川胚厶s ? 懈慨) 肾沪 - “l 。( r o 、) l ( r o 膨划2 一旷1 l 2 肾( 3 纠t oi f ( 知肌1 、2”i i + 研n y l 2 0r 皆( l t ) 胁 + 面砰皆厶 i t l t | ，l 互却扎x 夕l 刚 因此 ( 4 4 ) 驴一2 押x 盖卜f 叭( , 刚o ) ir i z ( x , x ) 1 2 d , x ) v 2 妒l 2 俨z 皆p r 】- 班托x m u d r 也i h 0 怜铷x ) 卜 r r ” 二 1、7 + 笋嘴驴l - 5 2 + 量k 曼丁枷媚 + 【d ，r | - 5 肼5 r r x m o d r - n l 3 y i 2 l 1 2 由引理2 9 可以得到，当0 乃t o 时 擎一托剧f ( 扭x ) 卜 r rx ”l 、 1modr d - 5 2 托；( 矿2 + 5 荐x r o o d ，序( 扣x ) 卜 ( 4 5 ) 山东大学硕十学位论文 一2 + 。丢( 圹8 磊互种( 扣x ) 卜 d - 5 2 + ei 2 r ( 托( 孚n 甸r ：t 。i 2 nl 1 0 n n 6 ) r d - 5 2 枉 r 1 托t t + r 1 2 + t t t 2 n 1 1 0 + v 1 6 。 d - 5 2 托1 6 酽 当晶 矗时，有i t + 6 7 r a v l i t l 2 因此我们有 呶i l t o y 胪眦x 如州，x ) 卜 川咿一il i t l 5 岛m )，亿， 纛i2。， 川。m n i a x k r 吣m ) ，赢，l + l f l ：2一， 斗y n 一5 p ， 。r i l i n 。i t + 6 7 r a t ， s ”蝣 ( 4 1 0 ) 与引理2 4 的证明方法相似，我们呵以得到，当0 乃时，有 蛩r | - 5 2 + e 量ef n ) i 比舭w 吁心 当 t 2 磊时，