（基础数学专业论文）图的密度矩阵的可分性.pdf

摘要 图的密度矩阵是迹为1 的图的组合拉普拉斯矩阵我们的目的是 研究扎= m p q 个顶点上豹图的密度矩阵的三体可分性通过对图的密 度矩阵简单的组合条件( “度数条件”) 判断图的密度矩阵的可分性这 个条件直接与p p t 兴据樱联系诞明了这个度数条俘燕三体态可分的 必要条件，于是猜想它也是充分条件事实上，证明了这个猜想对于最 近点圈是成立的，并通过绘出的例予来验诋所褥的结论 关键词：拉普拉凝矩阵，黼的密度矩薄，霹分态，鲥缠态 a b s t r a c t t h ed e n s i t ym a t r i xo fa g r a p hi st h ec o m b i n a t o r i a ll a p l a c i a z lo ft h e g r a p hn o r m a l i z e dt oh a v eu n i tt r a c e o u rp r o p o s ei st or e s e a r c ht h es e p - a r a b i l i t yo ft h ed e n s i t ym a t r i xo fag r a p ho nn m p qv e r t i c e s w et e s t t h es e p a r a b i l i t yo ft h ed e n s i t ym a t r i xb yr e s e a r c h i n gt h es i m p l ec o n l - b i n a t o r i a lc o n d i t i o n ( t h e “d e g r e ec o n d i t i o n ”) ，t h ec o n d i t i o ni sd i r e c t l v r e l a t e dt ot h ep p t - c r i t e r i o n i ti sp r o v e dt h a tt h ed e g r e ec o n d i t i o ni s n e c e s s a r yf o rs e p a r a b i l i t yo ft r i p a r t i t es t a t e s ，t h e nw ec o n j e c t u r et h a t i ti sa l s os u f f i c i e n t i nf a c t ，w ep o i n to u tt h a ti ti st r u ef o rt h ed e n s i t y m a t r i xo ft h en e a r e s tp o i n tg r a p h a tl a s tw ew i l lg i v ee x a m p l e st ot e s t a u dv e r i f yt h ec o n c l u s i o n k e yw o r d s ：l a p l a c i a nm a t r i x ，d e n s i t ym a t r i xo fag r a p h ，s e p a r a b l e s t a t e ，e n t a n g l e ds t a t e 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成栗。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作晶成果对本文的研究 做鼯重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意 识到本声碉的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 日期：2 0 d 挣6 月f 臼 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解篱都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定枫构送交论文的电子舨 和纸质舨有权将学位论文用于l # 赢利目的髂少量复制弗允诲论文避 入学校图书馆被奄阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密藤 适用本规定+ 学位论文作者签名：壬殇 日期：沩归6 月 日 1 引言 量子态具有嚣经典豹塞子纠缠现象使量子信惠 i 够实现经典信息 不可能实现的新功能，如已经发现的量子隐形传态【l j ，量子密钥f 2 】，量 子编码f 3 l 和量子_ 并行计算四等但是纠缠悉的物理特征和数学结构不 太容易被臻解，因此判断一个态是否可分( 或者j 纠缠的) 是菲常藿要 的问题。纠缠是种有用的信息资源，可以说，量子信息研究的目的在 很大程度上就是开发和利用量予纠缠这一新的信息物理资源霆此对 量子纠缝的深入研究无论是对量子信息的基本瑾论还是未来潜在的实 际应用都其有十分堕要的意义 量子纠缠最早是e i n s t e i n ，p o d o l s k y , r o s e n ( e p r ) 和s c h r s d i n g e r 在1 9 3 5 年提出的，露艇决嚣p r 阂题的一个突破性进步是b e l l 在1 9 6 4 年做出的他以不等式( b e l l 不等式1 的形式证明了弱域憔限制自旋关 联的预测关于纯态的可分性问题已经得到解决，对于混合态有蓑各种 备样的判据，这熊判据有可操作的必要性判据，如p p t 判据，约化判 据、重排判据等，还有不可操作的充要判据，如正映射判据等但是这 魏潮据还没有最终彻底解决一般态的可分性闯题，因戴这个问题有镣 于进一步的醭究 最近，图的挝瞽拉辫矩阵已经作为密度矩阵来磷究潮，文献 5 1 中首 先给出了图的密度矩阵的定义这个定义是由隧的j ：夔普挝婿矩阵驭遮 为1 面得到的文献阎中还给出了图的密度矩阵是纯态的定义令g 为 t t 个顶点上的胬，游g k 2v l 圈睨秽v n 一2 ，其中v l ，v 2 ，? j n 一2 为g 中的n 一2 个顶点，则图g 的密度矩降为纯态给出了图的混合 态密度矩阵是纯态密度艇降的线性组合，予是对窝的密度矩阵的讨论 就变得鬟为简单了通过定义图的张量积来讨论图的密度矩阵的两体 可分性 文献嘲中定义了加权圈豹推广的拉謦拽薪矩阵的密度雉阵，阎隧 也给出了相应的密度短阵缝态帮混合态的定义最重要的是根据图的 张量积给出了与狠广的拉酱拉觏矩阵相联系的m 体爨子态可分的充要 判据 文献 7 1 也是磷究加权图的推广韵拉普拉斯矩露作为密度矩阵豹可 分性给出了推广的拉普拉斯矩阵和对角占优矩阵的可分性的充要条 件为矩阵的行元素和与它的部分转置矩阵行元素耦相等、并且给蹬了 在矩阵的行元素和为0 的情况下，该矩阵部分转鬣正定是c 2 固c q 系 统中可分的充要条件 将图的密度矩阵与p p t 翔据联系起来已经成为研究量子态的可 分性的一种新的方法 8 】文献 8 】中首先给出了图的度数矩阵与转置图 的度数矩阵攘等楚n = p c l 个顶点上图的密度矩阵在口oc q 系统中 可分的必要条件，然后证明了这个必要条件对于最近点图和完全匹配 图的密度矩阵来说也是它两体可分的充分条伟。我们将这个充要条伟 推广到”= m p q 个顶点的图上去即证明它是图的密度矩阵三体可分的 充要条件+ 事实上，本文证明了这个充要条件对予最近点图的密度矩阵 来说是成立的 2 2 1态空间 2 基本概念 量子力学系统中态由h i l b e r t 空间中的矢量描写，称表示量子态的 矢量为态矢量。h i l b e r t 空间就是态矢量张起的空闻，在量子力学中称 为态空间严格说来，量子力学中的态空间是扩充了的h i l b e r t 空间， 因为在量子力学中除去包括有限矢量外，还包括长度无限的矢量，而这 些矢量在数学h i l b e r t 空阀中是没有的 由于量子态从数学上讲可以用h i l b e r t 空间的复矢量表示d i r a c 9 l 弓l 餍一个称为右矢( k e tv e c t o r ) 的符号表示态矢量：i 妒) 妒是表征 具体态矢的特征量或符号，i ) 表示这是一个向量d i r a c 还引进符号“ 称为左矢( b r av e c t o r ) 。左矢移l 是矢量l 妒) 鲍共辘向量弓l 避共辘向 量后，态矢空问两矢量| 妒1 ) ，j 忱) 的内积记为似1 i 讹) 量子态的内积满 足下面的性质 1 0 1 ： ( 1 ) 线性的 妒l 嘲= 妒 i i ( 2 ) ( 妒li 妒2 ) = ( ( 如l 妒1 ) ) + ( 3 ) ( 妒1 1 ；f | ) 0 等号成立当且仅当i 妒) = 0 ( 4 ) 1 1 1 簪 1 l 三妒l 妒) 最简鹧的量子力学系统为一个量子位即二维h i l b e r t 空间记二维 h i l b e r t 空闯的蘸个互襁独立的态分剐为j 0 ) $ - i 1 1 ) 一个量子位可以处 在叠加态 i 妒) = a o ) + 6 1 1 ) 中其中n 和b 是复数条件i 妒) 是一个单位向量，( 妒j 妒) = 1 ，等价于2 + 1 6 | 2 = 1 渺l 妒) = 1 称作态矢量的5 臼一化条伟 3 2 2 投影算子 假设彬是d 维态空阗矿的一个k 维子态空阅，惩g r a m - s c h m i d t 方法可以构造v 的正交纂1 1 ) ，1 2 ) ，l 由使得1 1 ) ，j 2 ) ，l 话) 是 豹正交基定义 p 曼眺 i = l 为子空闻缈上的投影算子令q 兰i 一只很容易看出q 楚由 i 南十1 ) ，| k + 2 ，| 毋张成的孑空阕上的投影算予 投影舞子有性质： p 2 = p 2 3 张量积 张囊积就是把蔫于个离量空闯敖在一起成为一个更大的空闯这 种构造对予理解多体量子系统是非常重要的f 1 0 1 设矿和w 分别是m 和n 维的态窆闻，为方使起见可以假定 v 和w 是h i l b e r t 空间，则y o 是一个m n 维的态空间y o 渺 的元素怒y 中的向量i ) 与中的向最| 谢) 的张量积l v ) ol ) 的 线性组含特别地，若l i ) 和b ) 分别是态空间y 和w 的正交基，那 么f i ) $ l j ) 是y8 的正交基我们可以将张量积i v ) 圆 w ) 简记作 i 口) l 叫) ，h 掰) 或者i 伽) 例如，若y 是基为i o ) 和i 1 ) 的二维向量窑闻， 则 0 ) o1 0 ) + 1 1 ) 岱| 1 ) vo 驴 峦定义张量积满足下列基本性屡： ( 1 ) 对任意的标鳖石和y 中豹| 暂) ，中的i w ) 有 z ( i v ) i 叫) ) = ( z l v ) ( 1 删) ) = i ”) 圆( z l w ) ( 2 ) 对矿中钓f 钳1 ) ，l 睨) ，巾的l 蜘) 有 ( | 啦) + | 吨) ) 固| 脚) = | v 1 ) 固l 埘) + 1 吨) p l 埘) 4 ( 3 ) 对y 中的i 甜) ，中的 伽1 ) ，i w 2 ) 有 v ) 圆( 1 圳1 ) + l 缸2 ) ) = i v ) oi w l ) + i ) l w 2 ) 对于矩阵来说，设a 为m 竹的矩阵，b 为p q 的矩阵，则矩阵 静张量积五圆露可定义作 a9b = a m l ba m 2 b a m n b 其中a 订酋为p q 的矩阵，因此a ob 为m p n q 的矩阵 例如，向量( 1 ，2 ) t 与向量( 2 ，3 ) ? 的张量积为 ( ：) ( i ) = ) = ( | ) 。 矩阵x = o ：) 与矩阵y = o 苫) 的张量积为 x 。y 。f 0 ： 1 y0 y 2 4 密度矩阵 密度算子为描述不宪全确定的态的最子系统提供了更为简单的方 法 主o 】。密度算子也经常称馆密度矩薄 一个算子p 是耀应于某个系统 敬，| 魄) 的密度算子渴且仅当它满 足下列条件 10 ： 5 嚣8 仲 n l 2 一直口尽 ” 船 a a嚣嚣 n 甜 a a 、lll， 一 o 0 o o 1 0 o o 0 q o o o 0 0 ，。 ( 1 ) ( 迹条件) t r ( p ) = 1 ； ( 2 ) ( 正条件) p 是一个正算子 密度矩阵有一些简单的性质： ( 1 ) 幺正不变性：蒋p 是密度矩阵，则u p u t 仍是密度矩阵，其中u 是 幺正矩阵， ( 2 ) 凸性：若p l ，p 2 是密度矩阵，则却1 十( 1 一a ) _ p 2 仍是密度矩阵 0 a 1 。 ( 3 ) 转置不变性：密度矩阵的转置仍是密度矩阵 ( 4 ) 张量积不变性：两个密度矩阵的张量积仍是密度矩阵 2 。5 缝态鞠混食态 有了密度算子的定义，可以给出纯态与混合态的一个更明确的剡 两下面两个定义是等价的 定义1 对密度矩阵p ，若t r ( p ) = 1 ，则称p 是纯态；若t r ( p ) 1 ， 则称p 是混合态， 定义2 若p 2 = p ，则p 是纯态；若p 2 p ，则p 足混合态 通常混合态只能魇密发矩阵盼谌言来刻画，面不能用态矢量的语 言来刻画，即不能说f 妒) 是一个混食态另一方面，纯态经常用来指一 个态矢量l 妒) ，而不用密度矩阵p 表示实际上，密度矩阵的最深刻的 应用在于它是描述复合量子系统的予系统的一个非常好的工具 2 。6可分态翻纠缠态 首先用态矢量的语言描述： 对两体纯态l 妒) h 1o 飓，如果存在| 妒1 ) 炳和l 忱) 凰，使 得i 蝴= i 妒1 ) i 母2 ) ，则称i 妒) 为可分态，否则称 妒) 为纠缠态、 例如，老( 1 l 。) + 阻) ) = 1 1 ) - - 击2 ( 1 0 ) + m ) 为可分态 6 霜密度矩阵的语言来描述： 纯态p = j 妒) ( 砂i ，1 妒) h 10 - 2 ，如果存在i 妒1 ) 壬h 和1 妒2 ) 凰， 使得p p lo p 2 一| 妒1 ) ( 妒l o 锄) ( 锄i ，虽| 称p 为可分态，否则称为纠 缠态 显然上述辨释定义是等价的 以上讨论豹复合量子系统是由两个子系统构成的如果复合量子 系统是由n 个子系统构成的，即h h 1o 点ko o 王，则上述定义 可以自然地推广如下： 纯态i 妒) h ，如果存在i 咖) 皿，i 一1 ，2 ，n 使得j 妒) 一 f 审1 ) o 妒2 ) o ol ) ，则称j 妒) 为可分态，否则成为纠缠态 纯态p = i 妒) ( 妒i ，i 妒) h ，如柴存在l 他) 玩，i = 1 ，2 ，n 使得p p 1 8 p 2 固p 。= | 妒1 ) ( 妒l l l 也) ( 锄l o 国 ) ( | 则称p 为可分态，褥刘称为纠缠态 纯态是矗积态当且仪当它是可分态+ 因此，直积态可以看成是可分 态的特殊情况 以上介缨的是缝态可分，下蓊介绍混合态可分 首先用系综语畜来描述： 设有两体混合态p h 1 圆h 2 ， p = a f 砒) 咖| 一藏i 渡) ( 蟊 ， 其中l 讥) ，陬) i 圆- 2 和用密度矩阵的凸性，可以证明上式的分解 方式有无穷多种如果存在种分解，使得对其中出现的任意i ，i 砒) 都是霹分灼，别称p 为哥分态，否则称p 为纠缠态。 酗e r n e r 还给出了可分态和纠缠态的定义f l l l ： 对嚣体混合态尹h ao h b ，鲤果存在| 妒鲁) 巩秘 西 h b ，磁0 ，i p i = 1 ，使褥 p = 箴联a 拶肫b = 张| 锻) 蛾| 。| 妒刍) ( 拓l ， ；i 其中砰= 媛) ( 螈l 是上的密度矩阵，谚= l 惦) ( l 是上的 7 密度短终，则称p 为可分态，否则称p 为纠缠态 显然。：述两种定义是等价的，关于混合态可分的以上两种定义也 可以推广到多体h = h 1 0 h 2 0 o 编的情形。 设混合态p h ， p = 轨i 识) 峻i = 燕 磊) ( 磊 ， 其中l 慨) ，l 渡) h 如果存在一种分解，使得对其中出现的任意i ，l 他) 都是可分的，剿称p 为可分态，否则称p 为纠缠态 设混会态p h ，如果存在i 织) 玛，j 一1 ，2 ，竹和 p l 芝0 ，i p i = 1 ，使得 p 一鼽赢。詹圆。露= 觑l 训i 八l l w i 2 八2 i 圆 孵) ( 馆 ， ii 其中虞= i 蛾) ( 嵋l 是马上的密度矩阵，则称p 为可分态，否则称p 为 纠缠态 2 。7 可分的必要性判据一一p e r e s 判握 对于混合态的可分性，并不像纯态的情形那么简单历史上，第一 个剡别条传应该是b e l l 不等式，但是最初并不是为了研究w 分性面得 到的b e l l 不等式，是w e r n e r 1 1 】第一次指出可分态应该满足所有可能 的b e l l 不等式因此b e l l 不等式是可分性的第一个必要性条件事实 上、关于可分性翔剐的第一个突破成该是p e r e s 的工作。下面就介绍著 名的p e r e s 判据 p e r e s 判据是笑于可分性的一个必要性条件，它是一个非常简单两 又非常强的判据f 1 2 】 设p 王玖固l i b ，为定义部分转置我们先将p 的矩阵元用直积基 的形式表示： p = m l ( p l 珏) o | 扩) ， 其中m 和n ( p 和p ) 对应第一( 第二) 个h i l b e r t 空间 8 0 于是 定义p 的关于第一个子系统的部分转置如下： ，崭t a 此n f = p n p ，m p 类似地可定义对第二子系统的部分转置： p m t b p ， v = p m p ，n 肛 p e r e s 判据若p 可分，则它的部分转置，o 0 ，p t 8 = ( p t a ) t 证明：设p 可分，则p 可写成 七七 p = 乳俐五) ( e i 俐= p ( 氐l 圆l 五) ( i 0 1 = 1i = 1 七 严= p 舳) ( e i l ) 玖。j 五) ( 五 i = 1 七 = 鼽( e ：1 ) 。l ) ( i = 鼽l e ；， ) ( e l j 0 i = 1 由于a t = ( a + ) t 第二个等式是成立的 注： ( 1 ) 可分态关于它的任何子系统的部分转置矩阵都是半正定矩阵 ( 2 ) j d n 0 和p 码0 等价，事实上，p t b = ( ，) 死= ( p r a ) r ( 3 ) 部分转置矩阵为半正定的态称为p p t 态f p o s i t i v ep a r t i a lt r a n s p o s e ) ，否则称为n p p t 态p e r e s 判据也称为p p t 判据 ( 4 ) p p t 性质具有可加性 1 2 ：若两个态都是p p t 的，则它们的张量 积仍是p p t 的 ( 5 ) 在c 2o 伊和c 2 固g 3 系统中，j d 乃0 是p 可分的充要条件【1 3 】 9 ( 6 ) 在两体以上的量子系统中会出现更复杂的情形例如p n 0 但 是p 码 0 ，p w 1 ) 相对应，u l u l w 2 与l u l v 1 ) l w 2 ) 相对 应，u m v p w g 与l t 。) i 铷) f 蛳) 相对应连同这些定义，我们可以利用 密度矩阵的部分转置的概念讨论任一个n 个顶点o t l ，口2 ，n 。上的 图g 的密度矩阵在a mqc 节。凹中的可分性，其中n = m p q 我们考 虑作用在空间c m o 伊。口上的一个m p q m p q 的密度矩阵p a b c 令 u 1 ) ，l u 2 ) ，l 钍m ) ) ， l 1 ) ，f 也) ， 吻) ) ， i z g l ，l 叻) ，l ) ) 1 2 分别是空间c 2 ，和铝上的正交归一基p a b c 关于系统a ，b ，c 的部分转置均为m p q m p q 的矩阵，分别记为j 口t a a b g ，p 盈g ，j d t j 4 c 口e ，且 矩阵元为 【p 盈g 】 ，j ，t 以j ，一蚴v j w k l p a b c u i v j ，山，) p 盈c kj ，州，= ( u i 叼w k l p a b c l u i ，v j w k ，) p t a v b g i ，矗ki ，忍，= ( u i v j w k ，i p a 口g 札i ，t 南) 其中1si ，i 7 m ；1 j ，j 7 p 和ls 七，忌7 口关于p a b c 的可分 性有下面的判据： p e r e s 判据【1 2 若p 是作用在c ”o c p o c q 上的可分的密度 矩阵，则p 致，9 码，p 殆都是半正定的 3 3 纠缠边 令g 是n = m p q 个顶点口1 ，口2 ，上的图，g 的第七 条边 o 奶) 所对应的密度矩阵p ( i 口“) 一l a j 。) ) 】，其中o t i 。= 1 札i ) 1 ) l 叫女) 且。= l “r ) l 。) l 毗) ，这里i l = ( i 一1 ) p q + 0 1 ) g + 七，血= ( r 一1 ) p q + ( 8 一1 ) q + t ，l i ，r m ，l j ，s p ，1 k ，t q 向 量 i u ) ) ， j 吻) ) ， i 加) ) 分别是g “，c r p ，伊的正交基当i _ j s ，k t 时，边 啦。a 血 称为纠缠边 令g 为竹= m p q 个顶点上的图，g 的每个顶点可由? l l v l w l ，u 1 v l w 2 ，u 。，伽口表示，我们将这n 个顶点放在长方体中形成一个长方体网 格，如图示： 1 3 图1 令a 为图g 的邻接矩阵，它所对应的顶点如图1 通过立体几何 的方法，我们可以看到图中有三种形式的边： 一种称为棱( 如边 牡l v l w l ，钍1 t ，l 伽2 ) ) ， 另一种称为面对角线( 如边如1 ”l 叫l ，u 1 2 1 1 2 ) ， 第三种称为体对角线( 如边 ? z l v l w l ，u 2 v 2 w 2 ) 一个图g = ( ve ) 的关于a 空间的部分转置，记作g r a ；( ve 7 ) 是 一个图，若 撕伽，l s r v s l j ) t e 有 u ，呦”，缸i r o t e 7 类似地， 可得到图g r b ，g r c 由图论，我们也可以通过如下方式由图g 得到图 g n ，g n ，g r c 首先关于任何一个h i l b e r t 空间部分转置不会改变棱， 但是部分转置以后面对角线、体对角线都会发生改变对于面对角线来 说分为三种情况： 对于上下面上的面对角线对a 空间转置不变，对于b ，g 空间的 转置是关于该边中点作水平( 或垂直) 的反射 对于前后面上的面对角线对b 空间转置不变，对于a c 空间的 转置是关于该边中点作水平( 或垂直) 的反射 】4 对于左右面上的面对角线对g 空闯转蕊不变，对于a ，b 空间的 转舞是关于该边中点作水平( 或垂篮) 的反射 对于体对角线来说也分为三种情况 对a 空闯部分转置是在过该线且垂寰予上下瑟的平面上，关于该 边中点作水平f 或垂蛊) 的反射 对b 空阔郝分转要是在过该线。阻垂燕予翦赢蘧豹平面上，关于该 边中点作水平( 或垂直) 的及射 对c 空间部分转置是在过该线艇垂囊于左右面的平颟上，关于该 边中点作水平( 或垂蛊) 的反射 3 4 最近点图 考虑个如整l 的礼= m p q 个矮点的长方体溺格，使得每个平瑟 上阏行同列的摆邻两个颈点之间豹距离为1 最近点图是颈点为阏格 。匕的点，边的长度为1 ，、趸和5 的圈 3 , 5图的密度矩阵可分的必要条件 文献两中给如了托= p q 个颈点购墅的密度矩阵的可分性判据我 们将这个可分性判据推广到竹= m p q 个顶点的图上，即得到 定理1 令p ( a ) 是n = m p q 个顶点上的闰g 的密度矩阵，若p ( a ) 在c mo c v 圆c q 上是三体可分的，则( g ) = a ( a r 一) = ( g r 8 ) 一 a ( 萨。) 证明：与( f 8 】定理1 ) ，证明类似 我们已经给澎了最近点图的定义，文献【8 】中给出对于他= p q 个顶 点上的最近点圈g 的度数矩阵与匿( 声。的度数愆阵相等是图的密度 矩阵两体母分的充分必要条件我l f 】将该结论推广到三体的情形 1 5 3 。6最近点凿的密度矩阵可分的充要条件 下酾不作特殊说明我们所说的图都是在礼一m p q 个顶点上的圈 我们已经得到a ( a ) = a ( a r * ) 一a ( c r 。) 一a ( c r c ) 是任意图的密度 矩阵三体可分的必要条件，因此它同样也是最近点图g 的密度矩阵 p ( v 1 三体可分的瑟要条佟下箍证明该条俘也是最近点图g 媳密度矩 阵p ( a ) 三体可分韵充分条件。首先，我们给潦一个引理： 弓l 理2 萨2i p 壶2 ( 1 i j k ) 一| r s 2 ) 】+ i p 丧2 ( i i j v 。) 一l r s 惫) ) 】十 。t i p 【老( 陋南) 一 巧t ) ) 】+ i p 壶2 ( 1 r j k ) 一i i 8 t ) ) 】是密度矩阵且是三体可 分的 证明：我们知道投影算予是半暖定的，因此盯也是半正定的通过 计算可以得到t r ( a ) = 1 ，故仃是密度矩阵下面我们令 扩) 。壶( i ) 土，旷) 2 壶( i j ) 土，旷) 3 壶( 1 七) 士m 通过计算我们霹以得鹫 盯= 妄p f 珏+ l 寸一) l 轧，+ 】十；p h u + ) i + ) 钳一) 】 + i p h u 一) 一) | 叫一) 】+ ；p f | 牡一) + ) i 枷+ ) 】， 从蕊可褥盯是三体w 分的。 定理3 若g 是乳= m p q 个顶点上的最近点图且a ( a 1 一 ( g r ) = a ( g r ) 一z l ( a r c ) ，剥密度矩阵p ( a ) 是三体可分的 证明：令g 是n = m p q 个顶点，条边上的最近点图我们 联系正交基 h ) ：= 1 ，2 ，田一 i 毪8l t 。) o | 峨) ： 一 1 ，2 ，m ；歹一1 ，2 ，p ；知一1 ，2 ，窜 ，其中 i u # ) ：i 一 1 ，2 ，m ) 是g 臀的一组正交基， 1 ) ：j = 1 ，2 ，p ，是锩的 一组正交基， l 婊) ：i = 1 ，2 ，以是璐的一组正交基+ 令i ，r 1 ，2 ，m ) ；j ，8 l ，2 ，p ；尼，t l ，2 ，孽) ，- k i j k ，r s t o ，1 ) ，其中i ，盂k ，r ，s ，t 在最近点图书满足下歹n 几种情况： ( 1 ) i = r ，j = s ，k = t + 1 1 6 ( 5 ) i r + 1 ，j = 8 + 1 ，k = t 蛔m ，删= 1 f 羹 ：黧篡：毫：；盏 昌： 令p ( g ) ，p ( g r 4 ) ，p ( g r 。) ，p ( g r 。) 分别是图g ，g r “，g p ，g i 、。 p ( g ) 一 z x ( a ) 一a ( g ) ) ，p ( a 。4 ) = 去( ( g 。“) 一a ( g f ) ) ， p ( a r e ) = 去( ( g r 8 ) 一a ( g r 8 ) ) ，p ( a ) = 去( ( g 。) 一a ( g 勋) ) 令g 1 是由g 的所有纠缠边组成雏g 的予图，蓉i r ，j 8 ，k t ， 边u i v j w ，u ，毗) 是纠缠的，并且令g 是g n 的所有纠缠边组成 的g r a 的子图，g b 是内g r 的所有纠缠边组成的g r b 的子图，钾 水，) = 手萎m 讪m ，涩p 2 砺1 1 ) | 蝴陬却圳酬删 + 专( a 卜顼 ) l ，伊2 ) 2 。鼻2j 。3 p 【杰( k 1 ) k i ) 一例一2 ) ) 1 1 7 + a ( 洲2 p 【麦( ) 障1 ) 一俐吩) ) 】) + 专( a ( ) 1 ( 2 ( 心) p 【壶( ) l u l ) l 叫k - 1 ) 一删u 2 ) k 2 ) ) 1 + a ( 圳( m p 【麦( i u 洲 1 ) k 1 ) 一俐眈) ) 】) 弓妻a ( i - 1 ) l q , i 2 ( q - 1 ) p - - 去( u 淞圳嘞) 斗圳酬咐) ) 】 + 专( a ( _ 1 ) 舭) ( 州) p 【壶( i u 圳圳咄) 一一2 ) 悱1 ) ) 】 + 址l 忡脚( q 1 ) p 【砺1 ( k 1 ) 睁1 ) 一i 札i ) 俐一1 ) ) 】) 弓薹沁_ 1 ) 椭_ 1 ) 沪t ) p 老) 悱a ) 制叫) ) 】 + 毒( a ( “) p 睁1 ) 妇叫( m ， p 【击( 1 u 卜1 ) l 唧) i 叫一，) 一i 啦) i 勘一1 ) i 埘k 一2 ) ) 】 + 址孵1 m 一1 删覆1 ( i 缸圳勘) i w k - 1 ) 一i u i ) ) ) ) 弓霎a ( i - - 1 ) p l , i ( p - 1 ) 2 p - - 去2 ( 圳) 却圳) l 伽。) ) 】 + ( a ( m - 1 ) ( m ( 坤) ( 啪) p 历1 ( i 地一1 ) | q t ) i 钏k - 1 ) 一l u l ) l 吻一2 ) i 叫 一2 ) ) 1 8 呐删m - 1 ) ，砌叫洲击( 札f _ 1 l v j 圳睢，) 一i 岫b 2 ) 恢) ) 】 呐) ( 州m _ 1 ) ，吲瑚) p 击( 怯剖q 刮叫) 一m i j i 睢。) ) + a “一1 ) ( j 一1 ) ( 而一1 ) ，巧七p 【历1 ( | 一1 ) 一1 ) i 叫南一1 ) 一1 ) i q ) i 叫而) ) 】) 分别将投影算子第一，二，三空间的基交换可以得到p ( g i ) ，p ( a f ) ， p ( a t ) 我们还可以得到 ( g - ) = 专岫z 。硎u - 删1 ) ，q + 寺( h ( 2 2 ( 籼) + h ( 2 2 ) p u l v l w k - 1 ) 。k = 3 1 + 可 l + 可 2 2 ( g 一1 ) p h u l v l w 口) 】 2 ( p 一1 ) ( g 一1 ) p 1 u l v p w 口) 】 ( a 1 u 一1 ) q ，2 0 一2 ) ( g 1 ) + a i ( j 1 ) g ，如一1 ) ) p j u l t 。一1 口) ( a 1 p ( 女一1 ) ，2 ( p - 1 ) ( k 一2 ) 十a l p ( k 一1 ) ，2 ( p - - 1 ) ) p n u l v p w 一1 ) 】 + 亏1a 1 p l ，2 。一1 ) 2 p i 钍1 呦删1 ) 】 1p + 去( a 1 ) 1 2 呻) 2 + a 1 ) l ，巧2 ) p 叫1 ) 】 。j = 3 + 万1a 。毕1 ，( 。一1 ) ( p - 1 ) 2 p i u 。枷1 ) 】 + 丢( 讪批( h 肛1 ) 2 + 讪) p l 刊啪呻叫1 ) 】 。i = 3 1 9 岫 卿 入 a 。一玎，一可 + + 学脚 + 三- _ a m p 玑( ”，一1 ) ( p 1 ) 抽一1 ) p n u m v p w q ) + 去( a ( ( 肛1 ) ( q - 1 ) + a ( 玩洳砒_ 1 ) ) p 悻1 ) + 赤a m l q ，( m - 1 ) 2 ( g 1 ) p 1 u m t ，1 w q ) + 去( a ( ) 1 “嗍( 州) + a ( i - 1 m ，吲州) ) p 1 u i - l v l ) 】 + 行1a m l l ，( m 一1 ) 2 2 p 1 u m v l w l ) ( i - 2 ) 2 2 + a ( i 一1 ) 1 1 ，m ) p 1 u i l v l 锄i ) + 行1 ( a 。1 ( m 嘲柚) + 胁一l 脚俳。u l - 1 ) 】 口 + 开1 ( a 啡一1 m l 岬忡) + a m p ( 一1 ) ，( m - 1 ) f p - 1 ) k ) p 1 u m 吻叫一1 ) + 去( a 。) 1 ( m _ 1 m - 2 ) 2 + k ( 川) l ( 。- 1 ) j 2 ) p 1 u m v i - l w l ) j = 3 1 p + 去( a 。) g ( 叫m 砒_ 1 ) 。j = 3 + a m ( j 1 ) q ，( m 一1 ( q 一1 ) ) p 1 u m t 0 一l w g ) 】 1 + 可 p q j = 3k = 3 ( a i ( j 一1 ) ( 一1 ) ，2 ( i 一2 ) ( 一2 ) + a i ( j 1 ) ( 女一1 ) ，2 ( j - 2 ) + a i ( j 1 ) ( 女一1 ) ，巧一2 ) + a i ( j 一1 ) 一1 ) ，2 y k ) p 1 u w j 一1 w k 一1 ) lo + 开l 。j = 3 k = 3 ( a m 0 1 ) ( 女一1 ) ，( m 一1 ) 0 2 ) ( 一2 ) + a m 0 1 ) 晴一1 ) ，( m 一1 ) ( j 一2 ) nhq 。：l 。一可 + + a m “一1 ) ( k 一1 ) ，( m - 1 ) j ( k 一2 ) + ) t m ( j 一1 ) ( k 1 ) ，( m - 1 ) j k ) p i u m v j 一1 叫k 一1 ) mp + 土2 f ( 址1 ) 。一1 ) 1 ，( 瑚) 。一2 ) 2 + 址1 ) ( 川l ，( 1 - 2 ) 2 i = 3j = a + a ( t 一1 ) 0 一1 ) l ，j 一2 ) 2 + 天g 1 ) ( j 一1 ) 1 ，西2 ) i p 【i 缸t l 丐一1 w 1 ) 】 mp + 去( k ( 删哪) + 天( 一) q ( 嗍 。i = 3j = 3 + a o 一1 ) 0 1 ) 吼i ( j 一2 ) ( q 1 ) + a ( i 1 ) o 一1 ) 吼i j ( q 1 ) ) p ( 1 讹一l v j 1 w q ) 】 + 去( ( ( 吣( 嗍( m ) + 入( “) 1 ( 娜( 蝴 z = jk = 3 + a “1 ) 1 ( 一1 ) ，i 2 ( k 一2 ) + a o 一1 ) l ( k 一1 ) ，i 2 k ) p m l v l ，3 ) k 1 ) 】 m q + 去( a ( 嘞( 吣( p 瑚叫+ a ( 孵1 ) ，( 油- 1 ) 。2 = jk = 3 + a g 一1 ) p ( k 1 ) ，i 。，一1 ) ( 一2 ) + a s 一1 ) p ( k 一1 ) ，i o o , k ) p t u 一l v p w k 1 ) 】 ， mp q + 去( a ( ) ( j - 1 ) ( h m 叫嘲( 啪) 。l 赢3 j = 3k = 3 + a 0 1 ) 0 一1 ) ( 女一1 ) ，( i - 2 ) 一2 ) k + a ( i 一1 ) 0 1 ) 一1 ) ，( i - 2 ) j ( k 一2 ) + a 0 1 ) 0 一1 ) ( 一1 ) ，( i - 2 ) j k + a ( i 一1 ) ( ，一1 ) ( k 一1 ) i ( j 一2 ) ( 一2 ) + # 一1 ) 0 一1 ) ( 盎一1 ) ，i ( j 一2 ) 老+ a 箨一1 ) 0 一1 ) ( 奄一1 ) ，玎洙一2 ) + a ( i 1 ) u 一1 ) ( 一1 ) ，i j ) p 1 u i 1 一l 伽一1 ) 】 分另将a 标志第一，二，三空闯的下标交换可以得到( g ) ， z x ( a f ) ，a ( e l c ) 根据已知条件度数矩阵相等，可以得到相周的投影算 予的系数攘等，从瑟遥过计算得到 a 订七，r 盯= ) 、r j k ，拈t 鉴a 妇惫，州t = a 玎t ，r 船 2 1 对所有的i ，r 1 ，2 ，m ；j ，s 1 ，2 ，p ；蠡，t 1 ，2 ，q ) 由此我们可以看到若g 中有纠缠边 u i v j w k ，u r v s w t ， 则g 中一定有纠缠边 嘶v j w k ，i t i ? ) s w t ，u i v s w k ，嘶吩t j ， m v j w t ， t 如t 甜女) 令 p ( i ，j ，r ，s ，t ) 111 2 i ( p 竞( 粥叫) l 蜥姚) ) 】+ p 【丧( 吻桃) 一l 抛钺) ) 】 + p 去( i f v s w k ) 一l u c v ，w t ) ) 】+ p 去( 1 乱l 叼脚) 一j “r 叫 ) ) 】) v4v 根据弓l 理2 ，我们可以褥到p ( i ，j ，拓r ，s ，t ) 在c o c 疗岱c 。中是三 体可分的对于满足第( 1 ) 。( 6 ) 种情况的边由度数矩阵相等显然可得它 假靛密度矩阵霹分 定理4 若g 是佗= m p q 个顶点上的最近点网，则密度矩阵p ( a ) 足可分的充要条传为a ( c ) = a ( g r a ) = a ( g r s ) = a ( c r c ) 证醌：由定理1 和定理3 得 推论5 若图g 中存纠缠边 链吩峨，u