（基础数学专业论文）群上亚同态的又一些性质.pdf

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1 ) = f ( x ) f ( y ) f 2 0 ) 一，g x ，y g ( 1 3 ) 这个解的形式来自下边的想法 设0 是半单l i e 群g 上的一个c a r t a n 对合，记k 是9 的不动点集，p = x a l o ( x ) = x - i 】，罚为p 中单位元所在的连通分支，则有g = p o k ，且在对称空间6 r 与局间 的一一对应妒触) = y o ( y ) - i ，y g 下，g 在局上的作用x ( y ) = x y 0 ( 功- i , x g ，y 功与g 在c k 上的左平移作用是等价的由此即得到( 1 2 ) 式 我们称群g 上满足1 3 式的映射厂为群上的亚同态由定义可知，群的同态一定 是亚同态；但不是同态的亚同态也是大量存在的，文献【5 】和【6 】给出了一些群上亚 同态的例子例如“f ( x ) = j _ l ”；称它及同态为平凡的亚同态，我们大多研究非平 凡的亚同态所以，亚同态是比同态弱一点的一种映射对这种映射的性质和在某 些特殊群上亚同态分类的讨论，会引出许多有意思的命题 第一章绪论 1 2 本文的主要工作 在群上亚同态的概念给出以后，有关的工作大量的集中在以下两个方面：一 是群上亚同态的性质，二是特殊群上亚同态的分类本文吸取了关于群上亚同态性 质已有的若干结论其中文献【2 】不但给出了有关群上亚同态的一些最基本和重 要的性质，而且给出了有限单群上的亚同态的分类另外，在文献【4 】中给出了a b e l 群上亚同态的一个重要性质以这些结论为基础，可以更深入的研究群上亚同态 的性质本文将对文献【3 】和【4 】中的性质进行推广，分别在一般群和a b e l 群上讨论 有关群上亚同态的一些新性质，其中一般群上亚同态的新性质作为本文的第二 章, a b e l 群上亚同态的新性质作为本文的第三章 本文中，记g 是群，p 是群g 中的单位元，n 为自然数集 2 第二章一般群上亚同态的新性 第二章一般群上亚同态的新性质 2 1 可乘性 定义2 1 若，是群g 到群g 的映射，它满足如下的等式 f ( x y f ( x ) 一1 ) = f ( x ) f ( y ) f 2 ( x ) 一1 ，v x ，y g( 2 1 ) 则称，是群g 上的亚同态 从群上的亚同态的定义出发，可以得到群上亚同态的以下两个等价的定义 式： 厂0 1 玎) = 厂一1 厂( ) ，) 厂2 ) ，v x ，y g( 2 2 ) f ( x y ) 厂2 0 ) = 厂 ) 厂( ) 矿 ) ) ，v x ，y g( 2 3 ) 定义2 2 设，是从群g 到群g 的映射，x lx 2 ，x n g ，若 f ( x l x 2 x n ) = f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，) 则称f f f l ( x l ，x 2 ，砌) 是可乘的 显然，厂是同态的充分必要条件是对任意的工l ，x 2 ，x n g ，在( x l ，x 2 ，) 是 可乘的 引理2 3 【3 】设厂是群g 上的亚同态，z n ，则 ( 1 ) f ( x y ) f 2 0 ) f 2 ( ) ，) = ， ) 厂( y ) 厂( 厂 ) ，( ) ，) ) ，v x ，y g ( 2 ) 尸( x y f ( x ) - 1 ) = 尸 ) 尸( y ) 尸l + 1 ) 一，v x ，y g 命题2 4 一般情况下，引理2 3 结论( 1 ) 的逆命题不成立下面为一反例 侈i j 2 5 令g = ，则s 3 为群若在群s 3 上定义 映射，它满足f ( x ) = 工b ，x s 3 ，则厂为群s 3 上的亚同态，且jx o s 3 ，n o n 使 得尸1 0 陌1 ) = 尸l o ( 和) ，但，临1 ) ，) 证日月对于群s 3 上的映射，( 石) = j b ，x s 3 ，任取x ，y & ，有 f ( x y f ( x ) 一1 ) = f ( x y b 一1 x ) = 工一1 b y 一1 x 一1 b ， 第二章一般群上亚同态的新性质 f ( x ) f ( y ) f 2 ) = 工一1 b y 一1 b 一1 b 一1 x b = x 一1 b y 一卜x 1 b 从而f ( x y f ( x ) 一1 ) = f ( x ) f ( y ) f 2 0 ) ，即厂为群上的亚同态 由f f f ( a 一1 ) = ，( 口2 ) = a b ，0 ) 一1 = 地且动b a ，则f ( a 一1 ) ，( 口) - 1 , 即，在以不 可逆 而f 2a - 1 ) = f ( a b ) - - a ，f 2 ( 口) 一1 = f ( a - 1 6 ) 一1 = 口，则厂2a 一1 ) = f 2 ( 口) - 1 , 即尸在 a 可逆 从而n o = 2 ，x 0 = 口时，结论成立 口 定理2 2 0 【3 】设，是群g 上的亚同态，f ( e ) = e ，x 0 g ，n o n 若 尸l o 陌1 ) = 尸1 0 ) - 1 删严( f m ( x 0 ) 一1 ) = y o 俨) ) ，vm n 推论2 2 1 设厂是群g 上的亚同态，f ( e ) = e ，x o g ，n o n 若 产陌1 ) = 尸1 0 ) - i , 则产陌1 ) = 产) ，v k n 证明由于厂是群g 上的亚同态，且尸l o ( x f f l ) = 尸幻( x o ) ，可得 当k = l 时，命题已经成立 当k = 2 时，根据定理2 2 0 得 n o 阿1 ) = f n o ( f n o ( x f f l ) ) = 严( 严( 如) 。1 ) = 产) 假设足= m 一1 时，命题已经成立，l 【i f ( m 一1 ) n o ( x 0 1 ) = ，仲一1 ) n o ( x o ) 则当k = m 时，根据定理2 2 0 可得 严临1 ) = 严( m - 1 胁( x f f l ) ) = f n o ( f ( m 一1 ) 如( 如) 一1 ) = 严( ，( m 一1 m ) ) 一1 = f o ) 一 因此命题成立口 定理2 2 2 【3 】设厂是群g 上的亚同态，可e ) = p ，x o g ，m ，n n 若尸珂，尸l 在和 可逆，则厂( 埘，九) 在如可逆，其中( m ，n ) 为m 与，l 的最大公因数 定理2 2 3 设厂是群g 上的亚同态，且厂( f ) = e ，x o g ，m ，n n 则尸，尸均 在x o 可逆 = 号，( m ，n ) 在劢可逆，其中( m ，n ) 为m 与，l 的最大公因数 证明 “仁 ：记d = ( m ，以) ，贝归k l ，k 2 n ，使得m = k i d ，n = k 2 d 根据题意尸( x f f l ) = 尸( 如) - i 及推论2 2 1 , 筷4 尸) = 广, d ( x a l ) = 卢一d ) _ 1 = 尸) ， 1 2 第二章一般群上亚同态的新性质 尸l ) = 产d 俯1 ) = 产d ) = f n ( x o ) 即尸，尸l 均在如可逆 “穹”：由于d = ( m ，1 ) ，则j1 , 1 ，v n ，使得d = u m 一聊或d = u n f m ，不妨 设d = u m 一珊 根据尸( 9 0 1 ) = 尸2 ( x o ) 一，f ( x 0 1 ) = 尸) 一1 及推论2 1 4 , 徒j t 广小( 百1 ) = f u r a ( x o ) - i ，f v n ( 9 0 1 ) = ，m ) 根据定理2 9 得 f u m 一埘( x o 工0 1 ) f u m 一忧+ 1 ( x o ) f u m 一埘+ 1 ( 9 0 1 ) ，堋一埘( ，m ( x o ) ) f u m 一研( 厂研i x 0 1 ) ) = f u , n 一惭) 广m m 阿1 ) f u m 一埘+ 1 ( x o ) f u m 一研+ 1 ( x 0 1 ) 尸一m ( ，埘( x o ) f m ( x 0 1 ) ) = f u m 一埘( x o ) f u 坍一研( 9 0 1 ) f u m 一珊+ 1 ( x o ) f u m 一埘+ 1 ( x 0 1 ) ，。姗一协( 厂( x o ) f m 0 叼) 一1 ) 整理上式可得广小一吼) 广m - 埘) - 1 = e 从而可得f u m 一研( 9 0 1 ) = 尸m 一埘( x o ) 即厂( m ，刀) 在和可逆 口 2 3 结论 通过前面两节的讨论，我们以群上的亚同态已有的一些基本性质和重要定理 为基础，得出对一般群上的亚同态厂及任意的自然数m ，n ，f m 与尸均在某点可乘或 可逆的充分必要条件是厂( 小，n ) 在该点可乘或可逆另外，我们还将有关一般群上亚 同态的可乘性和可逆性的其他结论做了进一步的推广这些结论的得出将为我们 以后更深一步的研究和应用群上亚同态的概念提供方便 1 3 第三章a b e l 群上亚同态的一些新性质 第三章a b e l 群上亚同态的一些新性质 3 1a b e l 群上亚同态的一些新性质 定义3 1 设，是群g 上的亚同态，且厂e ) = 岛 讹( ，) = a gx - - + f ( x ) a 是g 上的亚同态，v x g 】，g r , a ( f ) 为f 的相关子 群再记丁( 厂) = f - 1 ( ，) ) = f gf ( t ) a ( 厂) ) ，则丁( ，) 为g 的子群 引理3 2 【2 】【7 】设厂是群g 上的亚同态，则 ( 1 ) a ( f ) = a gi 盯0 ) 盯a ) = x a f ( x a ) ，v x g ) = a gf ( x a ) = a - i f ( x ) a f ( a ) ，v 工g ) ( 2 ) a ( ，) 是g 的子群 ( 3 ) a ( ，) 是厂( g ) a ( 厂) 的正规子群 引理3 3 【2 】设厂是群g 上的亚同态，且，( p ) = b 则 ( 1 ) 对于任意的f g ，t 丁( 厂) 的充分必要条件是f ( t y ) = ，( ) ，) 厂( f ) ，v y g - ( 2 ) r ( ，) 是g 的正规子群 在以下讨论中，我们假设g 是a b e l 群若考虑g 上的亚同态，并且，满足f ( e ) = p ，则 a ( f ) = t ( f ) = a g l f ( x a ) = f ( x ) f ( a ) ，v x g ) 显然，f l r f ) 是自同态 定理3 4 4 1 设g 为a 施z 群，为群g 到自身的映射，则，为g 上的亚同态兮映 射，可定义成如下形式： f ( s t ) = s h ( s ) t p ( t ) ，vs s ，v t t 其中，为g 的子群，s 为的陪集代表系且j i z 为s 到的映射，9 为r 上的同态 定理3 5 设g 为a 易p f 群，为群g 上的亚同态，v ，l n 则 ( 1 ) 尸为g 上的亚同态 1 4 第三章a b e l 群上亚同态的一些新性质 ( 2 ) 若f ( s t ) = s h ( s ) t p ( t ) ，vs s ，vt e 其中， 为g 的子群，s 为的陪集代袁 系，且j l z 为s 到的映射，9 为- 上的同态则 尸l ( s t ) = s h 一( j ) 9 n 0 ) ，v s s ，v t t ( 3 1 ) 其q eh n ( s ) = 磁三3 矿( j i l ( s ) ) 证明根据定理3 4 得，若证命题( 1 ) 成立，只需证命题( 2 ) 成立即可 ( 2 ) 若厂为a 6 “群g 上的亚同态，且，( 盯) = s h ( s ) t p ( t ) ，v s s ，v t t ，其中r 为g 的 子群，s 为的陪集代表系且h 为s 到，的映射，9 为t 上的同态贝0 当n = l 时命题已经成立 当n = 2 时，由定理3 4 可得 尸( s t ) = ，( 砌( j ) 9 ( f ) ) = s h ( s ) t p ( h ( s ) ) t p 2 ( f ) ) = s h 2 ( j ) 妒2 ( f ) ，vs s ，v t t 由 为s 到 的映射及妒为 上的同态可得 2 为s 到r 的映射，妒2 为 上的同态因此 由定理3 4 ! j l f 2 为群g 上的亚同态并满足( 3 1 ) 式 假设n m 时，命题( 2 ) 已经成立，即有尸_ 1 为群g 上的亚同态，且 尸一1 ( s t ) = s h m - 1 ( s ) q o m - i ( f ) ，v s s ，v t t ， 其中胪一1 为s 到， 的映射，q o m - - 1 为上的同态 则当疗= m 时，由定理3 4 可得 尸，l ( s t ) = ，( f m _ 1 ( s t ) ) = ，( - 1 ( s ) q o m - 1 ( f ) ) = s h ( s ) q o ( h m - i ( s ) 妒m - i ( f ) ) = s h ( s ) q ) ( h m - i ( s ) ) 妒( 9 m 一1o ) ) = $ h m ( s ) t p m ( f ) ，vs s ，vt t 由 为s 到，的映射及妒为- 上的同态可得胪为s 到- 的映射，矿为，上的同态因此 由定理3 4 得尸，l 为群g 上的亚同态并满足( 3 1 ) 式 由此命题得证 口 命题3 6 定理3 5 的结论( 1 ) 的逆命题不一定成立，下面为一反例 1 5 第三章a b e l 群上亚同态的一些新性质 一二一 例3 7 令g = e ，口，b ，a ba 2 = p = 6 2 = ( 动) 2 】- ，则g 为群在群g 上定义映射厂满 删= b 三 则，不是群g 上的亚同态，但，2 是群g 上的亚同态 刷= b 三： 可得- f 2 ( x ) = p ，x g 当耶奴= a b ，y = 6 时， f ( x y f ( x ) 一1 ) = f ( a b b f ( a b ) 一1 ) = ，( 口) = 易， f ( x ) f ( y ) f 2 ( x ) 一1 = f ( a b ) f ( b ) f 2 ( 口6 ) 一1 ) = p 显然，矿( 为一1 ) # f ( x ) f ( y ) f 2 ( x ) - 1 , 即，不是群g 上的亚同态但 f 2 ( x y f 2 ( x ) 一1 ) = ，2 ( 矽) = p ，v x ，y g ， f 2 ( x ) f 2 ( y ) f 2 ( f 2 ( x ) ) 一1 = 户( p ) = e ，vx ，y g w f 2 ( x y f 2 ( x ) 一1 1 = f 2 ( x ) f 2 ( y ) f 2 ( f 2 ( x ) ) 一，v x ，yeg ，即厂2 为群g 上的亚同态口 定理3 8 设g 为a 易“群，为群g 上的亚同态，贝1 j a ( f ) q a ( 尸1 ) ，vr t n 进而有a ( ，) 司a ( 尸1 ) q a ( ，h ) 司a ( ，2 2 n ) q a ( 尸n ) qg ，v 七，n en 证明由于厂为a 抛，群g 上的亚同态，贝j j a ( f ) = r ( ，) 司g 根据定理3 4 得 v n n ，尸是g 上亚同态，因此4 ( 尸) = 丁( 尸) 司g 由于对于任意的口a ( 厂) = r ( 厂) ，有，) = f ( x ) f ( a ) ，v 工g 1 6 第三章a b e l 群上亚同态的一些新性质 又群g 为a b e l 群且根据引理3 2 的结论( 1 ) 可得，对任意的n n 有 ， ( 口) ) = ，( 尸一( 订) 一1 尸一1 ( a ) x f n ( a ) ) = 尸( 口) 一1 厂( 啊一1 ( a ) x ) f n + 1a ) = f n ( a ) 一1 ，( 尸一2 ( 口) 一1 尸一2 ( 口) 对啊一1 ( 口) ) 尸+ 1a ) = f n ( a ) 一1 f n 一1 ( 口) 一1 ，( 尸一2 ( 以) 曲尸( 口) 尸+ 1a ) = 尸一1 ( 口) 一1 厂( 尸l 一2 ( 口) 工) 尸+ 1 ( 口) = 尸( 口) _ 1 f ( f ( a ) x ) f n + la ) = f 2 ( 订) 一1 f ( a 一1 n 置厂( 口) ) 尸+ 1a ) = f 2 ( n ) 一1 ，( 乜) 一1 f ( a x ) f 2 ( 以) 尸+ 1 ( n ) = 厂( 口) 一1 ，( 锻) 尸+ 1a ) = 厂( 口) 一1 f ( a ) f ( x ) f n + la ) 一i 厂 ) 尸l + 1 ( 订) ，v x g 则由引理3 2 得尸la ) a ( f ) = r ( ，) 又由，l 的任意性可得口，厂( 口) ，a ( f ) = 丁( 门 则当咒= 2 时，对于任意的口a ( f ) = r 汐) 都有 尸0 汜) = 厂( 厂0 ) 厂( 口) ) = 厂2 ) f 2 ( 口) ，vx g 因此 ae a ( f 2 ) = r ( f 2 ) 由以的任意性得a ( ，) q a ( f 2 ) 假设当，l = m - l 时，命题已经成立，即a ( 门, q a ( f m 一1 ) 则当，l = m 时，由于对于任意的口e a ( f ) = r ( ，) ，都有广a ) e a ( f ) = r ( 厂) ，v k n ，从而可得 广) = f ( f r n _ 1 ) ) = 厂( 尸- 1 ) 尸一1 ( 口) ) = 尸 ) 尸a ) ，v x g 因此日a ( 尸) = 丁( 尸) 由以的任意性得a ( 厂) q a ( 尸) 1 7 第三章a b e l 群上亚同态的一些新性质 又根据定理3 5 得若，为a 抛z 群g 上的亚同态，则对于任意的尼，hen ，尸，f 2 n , f 2 2 n 尸n 均为群g 上的亚同态因而可得 a ( 厂) , q a ( f n ) l a ( f 2 开) l a ( f 2 2 n ) a ( f 2 k n ) ig ，vk ，l n 引理3 9 4 1 设g 为a 沈，群，厂是群g 上的亚同态，_ e f ( e ) = b 则 x - i f ( x ) r ( f ) ，v x g 推论3 1 0 设g 为a 6 p ，群，是群g 上的亚同态，_ e f ( e ) = b 则 j 一1 尸x ) t ( f ) ，v x g ，vn n 口 证明由于f ：是a b e l 群g 上的亚同态，则对于任意的工g ，根据引理3 9 得 x - i f ( x ) 丁( 厂) ，从而厂 ) - 1 f 2 ) ，尸 ) - 1 户0 ) ，尸_ 1 ) 一尸 ) t ( f ) ，其中，l n 又丁( ，) 为群g 的正规子群，因此 x - i 厂 ) 厂( z ) - 1 厂2 ) 厂2 ) - 1 f 3 ) 尸l - 10 ) _ 1 尸l = 工1 尸 ) t ( f ) ，其中，z n 口 定理3 1 1 设g 为a b e l 群，为群g 上的亚同态，则 f k ( x y f ( x ) 一1 ) = 广0 ) ，素( ) ，) ，素+ n 0 ) 一1 ，v x ，y g ，vk ，咒n ( 3 2 ) 特别的。 f ( x y f n ( x ) 一1 ) = f ( x ) f ( y ) f n + l0 ) ，v x ，y g ，vn n 证明下面我们首先证明 f ( x y f n ( x ) - 1 ) = f ( x ) f ( y ) f n + l ) 一1 ，v x ，y g ，v n n 由于f 为a b e l 群g 上的亚同态，, 贝l j f 满足 f ( x y f ( x ) 一1 ) = f ( x ) f ( y ) f 2 ( x ) ，v x ，y g ( 3 3 ) 则显然当n = l 时，命题已经成立 1 r 当，l 假设当n 则当n = = f ( x ) f ( y ) f m + 1 ) 一，v x ，y g 因此可得 f ( x y f n ( x ) 一1 ) = f ( x ) f ( y ) f n + 10 ) 一1 ，v x ，y g ，vn n 成立 下面再来证明( 3 2 ) 式成立r h g ) k j a b e l 群且厂是群g 上的亚同态，则可得，满足 f k ( x y f ( x ) 一1 ) = 广0 ) 广( y ) f k + 1 ) ，v x ，y g ，v k n ( 3 4 ) 1 9 第三章a b e l 群上亚同态的一些新性质 因此根据( 3 4 ) 式可得 广m ) _ 1 ) = 广( 习旷 ) - 1 厂 ) 厂 ) _ 1 ) = f k ( x ) f k ( f ( x ) y f n ( x ) 一) 广“ ) 。1 = 广 ) 广( f ( x ) y f n ) - 1 f 2 0 ) 尸 ) - 1 ) 广+ 1 协) _ 1 = f k ( x ) f k ( f ( x ) y f n ( x ) _ 1 f 2 ) ，( ，) - 1 ) 广+ 1 ) - 1 = 广 ) 广+ 1 ( x ) f k ( f 2 ) y ：n ) 1 ) 广州仃 ) ) _ 1 广“ ) - 1 ) = 卢 ) 广+ 1 ( x ) f k ( f 2 ( x ) y f n ( x ) 1 ) 广+ 2 ) 1 广+ 1 ) - 1 ) = 广 ) 广( f 2 ( x ) y f n ( x ) _ 1 ) 广+ 2 ) 。1 = 广 ) 广( 尸1 ) ) 尸 ) _ j ) 广+ n - 1 ) - 1 = 卢 ) 严( 尸_ 1 ( x ) y f ( f n - 1 ( 工) ) _ 1 ) 广+ n - 1 ) 1 = 广 ) 广( 尸_ 1 ) ) 广( y ) 卢+ 1 ( 尸- 1 ) ) - 1 广棚_ 1 ) - 1 = 广 ) 广( y ) 广+ n ) 一1 ，v x ，y g ，k ，n n 由此命题得证 口 对于群g 上的亚同态厂，我们引进一个新的符号，【叫 ) = f ( x ) f 2x ) 尸1 0 ) ，v x g ，其中，l n ，则厂m 为群g 到自身的映射，在一般情况下，虽然，【叫不是群g 上的 亚同态，但它却有下面一些比较好的性质 定理3 1 2 设g 为a 沈，群，厂为群g 上的亚同态，则 ( 1 ) f ( x n y f n ( x ) 一1 ) = ，0 ) 以，( ) ，) ，陋】( 厂 ) ) 一1 ，v x ，y g ，v ，l n ( 2 ) f t ( x y f ( x ) 一1 ) = 厂陋 ) ，k 】( y ) 厂【n ( ， ) ) 一1 ，v x ，y g ，vn n 证明( 1 ) 由厂为a 6 讲群gi - 的亚同态，贝, t j f 满足 f ( x y f ( x ) 一1 ) = f ( x ) f ( y ) f 2 0 ) ，v x ，y g ( 3 5 ) 当n = 1 n ，命题已经成立 第三章a b e l 群上亚同态的一些新性质 当，l = 2 时，由( 3 5 ) 式可得 ，p 玎【2 】 ) 。1 ) = ，p 炉( 工) 一1 厂 ) 。1 ) = f ( x x y f 2 ( x ) 一1 厂 ) 一1 ) = f ( x ) f ( x y f 2 ( x ) 一1 ) f 2 ) 一1 = f ( x ) f ( x y f 2 ( x ) 一1 ， ) ，一1 ) f 2 0 ) 一1 = 厂，f ( f ( x ) y f 2 0 ) 一1 ) f 2 ) 一1 f 2 一1 = f ( x ) f ( x ) f 2 ( x ) f ( y ) f 3 ( x ) 一1 f 2 ) 一1 f 2 ( 工) 一1 = ， ) 2 f ( y ) f 3 ( x ) 一1 f 2 ) 一1 = 厂 ) 2 厂( y ) 厂【2 】( 厂 ) ) 一，v x ，y g 假设当n = m 一1 时，命题已经成立，即 厂一1 玎 m 一1 】0 ) - 1 ) = f ( x ) m - l f ( y ) f m - 1 】( 厂 ) ) ，v x ，y g 则当t l = m 时，根据定理3 1 l 可得 厂晰驯 ) 一1 ) = f 0 ) 一1 尸一1 ) 厂0 ) 一1 ) = f ( x x m 1 刃嗍一1 ( 工) 一1 尸一2 ) ，( ，0 ) ) 一1 厂 ) 一1 f m ) 一1 ) = f ( x e n 一1 y f m 一1 】0 ) 一1 f m ( x ) 一1 ) = f ( x ) f ( x m 一1 玎【m 一1 】 ) 一1 ) 尸+ 1 ) 一1 = 厂 ) ， ) m - i f ( y ) f m 一1j ( f ) 一1 广+ 1 ) 一1 = ， ) 肌f ( y ) f m _ 1 ( ，0 ) ) 一1 尸”一2 ( 厂 ) ) 厂( ， ) ) 一1 尸+ 1 ) 一1 = 厂 ) m f ( y ) f m ) 一1 尸一1 ) 厂0 ) 一1 尸+ 1 ) 一1 ：厂0 ) m 厂( y ) 厂旧 ( 厂0 ) ) 一l ，vz ，y g 因此命题( 1 ) 成立 ( 2 ) f l ：t t - f f f ；j a b e l 群g 上的亚同态，根据定理3 1 1 可得 f k ( x y f ( x ) 一1 ) = f k ( x ) f k ( y ) f k + 1 ) 一1 ，v j ，y g ，v k n ( 3 6 ) 2 1 假设n = m l 时，命题已经成立，即 f r n 一1 】) = 口一1 f m 一1 】 ) 忉一1 】( 口) ，v xeg ，vaea ( f ) 2 2 ，) = a - l f ( x ) a f ( a ) f ( a ) 一1 f ( f ( x ) a ) f 2 ( a ) f 2 ( 订) 一1 f 2 ( f ( x ) a ) f 3 ( 日) 尸一1 ( n ) 一1 尸一1 ( f ( x ) a ) f ma ) = a - l f ( x ) a f ( f ( x ) a ) f 2 ( f ( x ) a ) 尸一1 ( f ( x ) a ) f m ( a ) = a - ! f ( x ) a f m 一1 】( ， ) 口) 尸( 口) = a - i f ( x ) a a 一1 厂【m 一1 】( ，( x ) ) 订，旧一1 】( 口) 尸( 口) = a - i f ( x ) f m 一1 】( 厂 ) ) 日， m 一1 】( 口) ，( 口) ：a - 1 厂嘲 ) 口厂f 小 ( n ) ，v x g ，v 口ea ( f ) 从而( 3 7 ) 式成立 当g 为a b e l 群时， 由此命题得证 ，m ) = a - l f n l ( x ) a f 忍 ( 口) = ，m 0 ) ，m ( 口) ，v x g ，v ae a ( f ) 口 3 2 结论 通过对a b e l 群上亚同态的性质的讨论，我们得到对- t - a b e l 群上亚同态厂及 任意自然数，l ，尸仍是该群上的亚同态，并且由厂的表达式可得出尸的表达式另 外，由a b e l 群上亚同态厂及任意自然数n ，我们引进了一个新的映射厂，并得出厂【n 】在 该群上的有关亚同态的一些性质由这些性质可以看出，虽然在一般情况下，厂m 并 不是群上的亚同态，但就某些性质而言，该映射却与亚同态有相似性因此，本章所 得出的有j e , a b e l 群上亚同态一些性质结论，将为以后的研究做铺垫 参考文献 参考文献 【1 】d r i n f e l dv g o ns o m eu n s o l v e dp r o b l e mi nq u a n t u m t h e o r yp 1 l e c t u r en o t e si n m a t h ，1 5 1 0 ，n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 2 ：1 - 8 【2 】顾沛集合上的y a n g b a x t e r 方程的又一个解与”群上的亚同态”叨科学通 报，1 9 9 7 ，4 2 ( 5 ) ：1 0 6 2 1 0 6 5 【3 】g up e i s o m ep r o p e r t i e so ft h em e t a h o m o m o r p h i s m so ng r o u p s 【j 】a d v a n c e si n m a t h e m a t i c s ，1 9 9 8 ，2 7 ( 2 ) ：1 8 9 1 9 0 【4 】d i n gl o n g y u n ，g up e i ac h a r a c t e r i c a t i o no fm a t a h o m o m o r p h i s m so na b e l i a n g r o u p s 【j 】n o r t h e a s t m a t h j 2 0 0 6 ，2 2 ( 4 ) ：3 7 9 3 8 2 【5 】林磊，顾沛群上亚同态的一些例子 j 】华东师范大学学报，2 0 0 0 ，3 ：7 11 【6 】顾沛关于群上亚同态的几个例子【j 】南开大学学报，1 9 9 8 ，3 1 ( 2 ) ：7 1 7 3 【7 】丁龙云，顾沛群上亚同态的一个结