（基础数学专业论文）关于无界非线性项二阶josephsontype系统周期解的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文主要利用变分方法中的极小作用原理，极小极大方法和鞍点定理在适当的条件 下研究了二阶j o s e p h s o n 系统中周期解的可解性 第一章绪论：介绍了变分方法的发生，发展及本文将要研究的内容 第二章相关知识简介；主要介绍本文将要用到的数学基本概念和定理，给出了证明二 阶h a m i l t o n 系统中周期解的存在性的一些基本的定义和基本的定理，以及求二阶h a m i l - t o n 系统中周期解的一般方法 第三章主要介绍二阶h a m i l t o n 系统在次线性条件下的一些定理，并系统地介绍了 利用极小作用原理和鞍点定理得到的关于二阶h a m i l t o n 系统中周期解的若干存在性结 果具体研究了在一类次线性条件和推广的a h m a d - l a z e r - p a u l 条件下j o s e p h s o n - t y p e 系统的一些周期解存在性定理 关键词：变分方法；a h m a d l a z e r - p a u l 条件；二阶h a m i l t o n 系统；j o s e p h s o n - t y p e 系统；鞍点定理 大连理工大学硕士学位论文 r e s e a r c ha b o u tp e r i o d i cs o l u t i o n st os e c o n do r d e r j o s e p h s o n - t y p es y s t e mw i t hu n b o u n d e dn o n l i n e a r i t i e s a b s t r a c t t h ea i mo ft h i st h e s i si st os t u d ye x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fs e c o n do r d e r j o s e p h s o ns y s t e m su n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n sb yv a r i a t i o n a lm e t h o d ss u c ha 8i n i n i n l a x p r i n c i p l e ，m i n i m a xm e t h o d s ，a n dt h es a d d l ep o i n tt h e o r e m c h a p t e r1i sd e v o t e dt ot h ee v o l u t i o na n dd e v e l o p m e n to fv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，a n d t h ep r o b l e m st h a tw i l lb es t u d i e da r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c es o m ee s s e n t i a ld e f i n i t i o n sa n dp r e l i m i n a r yt h e o r e m sd e - l a t e dt ot h i st h e s i sa n daw a yo fr e d u c i n gs e c o n do r d e rh a m i l t i o ns y s t e m sp r o b l e m st o f i n dp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rf u n c t i o n a i s i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c es o m et h e o r e m so fs e c o n do r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m s w i t hs u b l i n e a rc o n d i t i o n s ，w es y s t e m a t i c a l l yi n t r o d u c es o m ec l a s s i c a le x i s t e n c er e s u l t s o b t a i n e db yt h el e a s ta c t i o np r i n c i p l ea n dt h es a d d l ep o i n tt h e o r e mi nv a r i a t i o n a lm e t h o d s w eo b t a i ns o m er e s u l t so fj o s e p h s o n - t y p es y s t e m ，a n dp r e s e n ts o m eo t h e rt h e o r e m so f p e r i o d i cs o l u t i o n su n d e ra k i n do fs u b l i n e a rc o n d i t i o n sa n dg e n e r a l i z e da h m a d - l a z e r - p a u l c o n d i t i o n s k e y w o r d s ：v a r i a t i o n a lm e t h o d s ；a h m a d - l a z e r - p a u lc o n d i t i o n s ；s e c o n d o r d e rh a m i l t o n i a ns y s t e m ；j o s e p h s o n - t y p es y s t e m ；s a d d l ep o i n tt h e o r e m i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名：查i 圭日期：2 竺堕兰! 璺兰日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解 大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文 作者签名： 导师签名： f 月：l e l 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 引言 非线性泛函分析综合地运用分析的、代数的和几何的观点和方法，研究分析数学、现 代物理和现代工程技术提出的许多问题非线性泛函分析的根本任务，是解决具有的无穷 维空间之间各种算子( 映象) 方程的求解问题利用变分方法研究非线性二阶j o s e p h s o n 系统的周期解是本文的中心内容变分法的关键方程是欧拉一拉格朗日方程它对应于 泛函的临界点 在拉格朗日力学，最小作用原理以及量子力学中，变分法都有着重要的应用变分 法提供了有限元方法定的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具微分几何中的 等周问题，测地线问题及极小曲面问题都可以看成关于某个泛函变分问题最优控制的 理论也与变分法密切相关 1 2 变分方法的产生、发展和理论基础 变分问题就是将问题转化为求解某个泛函临界点的问题古典变分法的起源可以追溯 到f e r m a r t ，n e w t o n ，b e r n o u l i 兄弟以及e u l e r 的工作历史上第一个变分问题是由n e w t o n 提出并解决的，他在巨著自然哲学的数学原理( 1 6 8 7 年) 中研究了在轴向以常速度 运动而使运动阻力最小的旋转曲面必须具有的形状j o h a n nb e r n o u l l i 提出了著名的最 速降线问题，因此j o h a n nb e r n o u l l i 常被认为是变分法的发明者在1 7 4 4 年，e u l e r 出版 了关于变分法的第一本著作，他提出了一个寻找满足最大值或最小值的曲线的方法到 了十八世纪，e u l e r ，l a g r a n g e 等人的工作，逐渐形成了一个解决数学物理问题的数学分 支一变分法 1 关于无界非线性项二阶j o s e p h s o n - t y p e 系统周期解的研究 变分方法即临界点理论与微积分的产生同步发展我们知道在有限维空间中紧集上 的连续函数必然下方有界，而且可以达到下确界因为自反的b a n a c h 空间中的有界集是 弱列紧的，从而又由弱连续的定义，就可以解决有界集上泛函的极值存在问题由此得 出了一个重要定理一极小作用原理然而，临界点不一定是极值点因此由于弱下半连 续泛函与强制性都是很强的条件，所以对于不是极值点的临界点，就不能应用极小作用 原理为了求出临界点，在1 9 7 3 年a m b r o s e t t i ，r a b i n o w i t z 提出了山路引理在此之后 又由形变引理引出了极小极大原理极小极大原理可以推出一些重要的结果，如山路引 理，鞍点定理，这些定理成为了求临界点的基本定理 1 3 本文研究的背景及其近期成果 非线性分析中的变分方法有着广泛的应用，特别是在微分方程问题中有广泛的应用， 例如在常微分方程的两点边值问题，h a m i l t o n 方程组的周期解存在性问题，半线性椭圆 边值问题，及其半线性波动方程周期解问题等等本文主要利用变分方法研究二阶非线 性j o s e p h s o n 系统中周期解存在性问题对h a m i l t o n 系统周期解的研究在国内外已经有 很多结果，在2 0 世纪8 0 年代后国内的数学家张恭庆院士，龙以明院士在诸如h a m i l t o n 系统的非线性分析领域做出了许多开创性的成果，m a w h i n 和w i l l e m 在1 9 8 9 年的著作 c r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dh a m i l t o n i a ns y s t e m s 对临界点理论和h a m i l t o n 系统进 行了总结，其中应用了山路引理，次线性条件，s o b o l e v 不等式，极大极小值原理等在 此基础上许多学者像韩志清，唐春雷等自2 0 世纪9 0 年代以后对h a m i l t o n 系统也作出 了一些结果他们主要运用临界点理论中的变分法和拓扑度理论对h a m i l t o n 系统进行 研究，而次线性条件对于h a m i l t o n 系统周期解的存在性是一个重要的条件 对于二阶h a m i l t o n 系统 p 卜叩 一 ” ( 1 1 ) lt ( o ) 一t ( t ) = 吐( t ) 一也( j f l ) = 0 假定f ( t ，缸) 满足如下条件( a ) ： f ( t ，) ：【0 ，即xr _ r 对每一个缸r 。f 关于t 【0 ，刁可测；对几乎处处 的 0 ，叨，f 关于u r 连续可微，存在a c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，t ；r + ) ，使得对 2 大连理工大学硕士学位论文 于v u r 口e t 【0 ，刃都有if ( t ，u ) l a ( 1 u 1 ) 6 ( 亡) ，i v f ( t ，u ) l a ( 1 u 1 ) 曲( 亡) m a w h i n 和w i l l e m 指出当非线性项有界时，即存在g ( t ) l 1 ( o ，t ) ，若i v f ( t ，u ) i 夕( 亡) ，且满足：a h m a d - l a z e r - p a u l 条件 ，i r 。l i r af ( t ，u ) d t = 士 0 一o o ，u e r nj o 一 则系统( 1 1 ) 至少有个周期解；当f ( t ，u ) 满足周期性时，也同样可以得到系统( 1 1 ) 至少有一个周期解，上述两个结论见参考文献 8 】 若系统( 1 1 ) 满足次线性条件，即i v f ( t ，u ) l g ( t ) l u l 口- i - ) ，其中0 q 1 且 9 ( 亡) 。h ( t ) l 1 ( o ，t ) ，且满足。推广的a h m a d - l a z e r - p a u l 条件 ，t 删戛i i u i i _ 纽上f ，u ) 班= 士o 。 则系统( 1 1 ) 也至少有一个周期解，此结论最早由韩志清1 9 9 4 年在论文 1 2 】中得 蛰| 1 4 本文的结果 本文主要是想利用变分法解决二阶j o s e p h s o n 系统周期解的存在问题本文结果主要 如下，对于推广的二阶h a m i l t o n 系统，应用一类次线性条件和推广的a h m a d - l a z e r - p a u l 条件，得到了j o s e p h s o n - t y p e 系统的周期解存在性定理 3 大连理工大学硕士学位论文 2 相关基础知识 本章首先介绍微分方程边值问题中经常用到的两个微分，其次介绍寻找临界点常用 的变分方法及其相关定理 2 1 f r d c h e t 微分与g a t e a u x 微分 定义2 1 1 1 1 3 1 设e l 和邑是b a n a c h 空间，d 是e 1 中某开集，a ：d e 2 ，z o d 若j b ( 毋一e 2 ) ( 毋一易) 表映e l 入易的线性有界算子的全体构成的b a n a c h 空 间) ，使( 在点z o 附近) 有 a ( x o + h ) 一a x o = b h + 叫 o ，九) ， 其中w ( x o ，h ) = o ( 1 l h i ) ( h _ o ) ，则称算子a 在点x o 处f r 6 c h e t 可微记为d a ( x o ) h 定义2 1 2 1 3 设a ：d 一邑，d 是e l 中某开集，z o d 若对任何h e 1 ，极 限 u m 丝生学 ( 2 1 ) t - - 0艺 都存在( 是岛中的元素) ，则称a 在点。o 处g a t e a u x 可微，极限( 2 1 ) 叫做a 在z o 处 ( 沿方向危) 的g a t e a u x 微分，记为 d a ( x o ) h = 舰坐学 ( 2 2 ) 如果g a t e a u x 微分可以表为d a ( x o ) h = b h ，这里b ( e 1 _ 易) ，则称a 在z o 处 具有有界线性的g 舍t e a u x 微分 定理2 1 1 1 1 3 1 设，：d 一兄( d 是b a n a c h 空间e 中的开集) ，若，在z o d 达 到极值，且f ( x ) 在z o 处具有有界线性的g a t e a u x 微分，则必有，7 ( s o ) = 0 5 关于无界非线性项二阶j o s e p h s o n - t y p e 系统周期解的研究 注：可见泛函的极值点一定是它的临界点，这是古典变分法将寻找临界点问题化归 为寻找泛函的极值点问题的理论依据但是可举例说明临界点未必是极值点 2 2 求二阶h a m i l t i o n 系统周期解的变分方法 定义2 2 1 1 8 设x 为一个b a n a c h 空间，若对于任意的，x 。，都有 l i m 厂( ) = ，( z ) ， 他- - - * o o 则称z n 弱收敛到z ，记z njz ，称z 为z n 的弱极限 定义2 2 2 1 8 】令e 是一个赋范空间设咖。x _ ( 一o o ，+ o 。) ，对于x 中的一个 序列( u 七) ，如果 t 盂七一t 二= 争幽( 铭七) ( u ) ， 则称咖是下半连续的；若 j 铭冷l i m ( u k ) ( 铭) ， 则称是弱下半连续的 令卵= h ：r _ 硒i 危无穷次可微并且是t - 周期函数) 定理2 2 1 【8 】设t ，u l 1 ( 0 ，r ；r n ) ，并且满足t z r ( u ) ， 7 ) ) d t = - z o t ( 鄹 ) ，危 ) ) d t ( 2 3 ) ， 则 r 小肛。， 并且存在常数c 翩，使得在 0 ，刁上几乎处处都有 u ( t ) = o u ( t ) d s + c 称满足式( 2 3 ) 的函数口为缸的一个弱导数并且弱导数存在且是唯一的乱的弱 导数记为也 6 大连理工大学硕士学位论文 令1 p 。o ，记 时= t ：1 0 ，卅一印i u 绝对连续，t ( o ) = t ( t ) ，也驴( o ，t ；r n ) ) 为s o b o l e v 空间其上的范数定义为 忙岘刊n 圳懈n 圳p 彬 记空间吩2 为日；，且定义空间上内积为 ( u ，钐) = 【( 缸( 亡) ，”( t ) ) + ( t ) ，o ) ) d t ， 相应的范数为 i l u l l 噼：( t + 厂t ) 1 2 d o ) l e d t i t ( 时2 = ( 上+ 上 。) 1 2 。 定理2 2 2 1 8 1 令l 。【0 ，刃舻r n _ r ，( ，z ，y ) 一己( t ，z ，y ) 满足： ( i ) 对o e t 【0 ，刁，己( t z ，y ) 关于( z ，y ) 是连续可微；一 ( i i ) 对任意( z ，y ) 印舻，l ( t ，z ，y ) 关于t 是可测的假设存在a c ( r + ，r + ) ，b l 1 ( o ，t ；r + ) ，c l q ( o ，t ；r + ) 其中1 0 ，使得对于满足条件矽p ) = z ，忱l - 6 的任何连续映像妒；s _ e ，s ) 允o 9 关于蚕界非线性项二阶j o s e p h s o n - t y p e 系统周期解的研究 都有： 矽( d ) ，v d x ，dcs ， 那么c 必是f 的临界点，即必存在z e ，使得，( z 。) = 0 ，且( x ) = c 定理2 3 5 8 j ( 山路引理) 设e 是实的b a n a c h 空间，：e 叶r 1 是c 1 泛函，满足 ( p s ) 条件，x 0 ，x l e ，q 是z o 的开邻域，z 1 萑q 假定 m a x f ( z o ) ，m z ) ) 赫地) 令 c = 雠m a ，x l jf ( h h e 圣t e o ( 亡) ) ，l l 7 其中西= 无i 九：f 0 ，1 】一e 连续) ，且使h ( 0 ) = z o ，h ( 1 ) = z 1 ( 即西由e 中连接z o 和 茹- 的一切道路组成) 那么，c 必是，的临界值，即存在矿e ，使，( z ) = 口，且 ( x ) = c 注： 山路引理形象地说明了，从盆地中心出发到盆地外部，必有一条道路从周围山 脉最低点越过，这个最低点就是临界点 定理2 3 6 【8 】( 鞍点定理) e 是一个实b a n a c h 空间，i c 1 ( e ，兄) e ：e 一0e + ， 且满足 d i m e 一 0 ( i = 2 ，扎) ，使得f ( t ，z ) 关于z 的第i 个分量是正周期的，即 f ( t ，z - t - 正q ) = f ( t ，z ) ，i = 1 ，2 ，n 对( t ，z ) r 彤成立这里e 1 ，e 2 ，e n 为兄n 的标准正交基，则系统( 3 1 ) 至少有一 解使得妒达到极小值 3 3 次线性条件及相关结果 随着变分方法的发展，它已经更深入地应用到方程的各个邻域，例如半线性波动方 程，二阶h a m i l t o n 系统的周期解问题，方程的椭圆边值问题等等在本章中，我们主要 总结利用变分方法解决二阶h a m i l t o n 系统的周期解问题 定义3 3 1 次线性条件是指对于系统( 1 1 ) 中的非线性项v f ( t ，z ) 关于空间变量z 是次线性增长的，即存在，g l 1 ( o ，t ；r + ) 及o z 0 ，1 ) ，使得 v f ( t ，z ) i f ( x ) l x l 口- - i - 夕( 亡) ， 对z 聊和a e t 【o ，即成立特别的，当q = 0 时，存在g l 1 ( o ，t ；r + ) ，使得 对z 舻和o e t o ，刁成立 i v f ( t ，z ) i 夕( ) ， 1 4 大连理工大学硕士学位论文 m a w h i n 和w i l l e m 在i s 中用极小化序列方法证明了，当ff ( t ，x ) d t 满足强制性 条件和v f 有界时，系统在珥中至少有个解定理如下， 定理3 3 1 1 8 1 在系统( 3 1 ) 中，设f 满足条件) 和次线性条件 i v f ( t ，x ) l 9 ( 亡) ， 且当一0 0 时， f ( t ，z ) d t _ = t ：o o ， j 0 则系统( 3 1 ) 至少有一个解使得妒达到极小值 d u f f i n g 系统是推广的二阶h a m i l t o n 系统，在1 9 9 4 年韩志清在【1 2 】中，用次线性 条件和a h m a d - l a z e r - p a u l 条件得到了d u f f m g 系统周期解的存在性主要结果如下： 定理3 3 2 1 1 2 1 考虑d u f f i n g 型系统 而且 善岔 ) + a 2 ) + v g ，z ) 2 p ) 口e t 【0 ，刁 ( 3 3 ) lz ( o ) 一z ( t ) ：圣( 亡) 一圣( t ) ：o p 。 其中a 是n n 阶常数矩阵，p ( t ) l 2 ( 0 ，2 r ；r ) ，舻p ( 亡) = o g ( ，z ) 对 比r 是 0 ，2 丌】上的可测函数，g ( ，z ) 对a et 【o ，2 7 r 】是r 上的c 1 函数， c ( t ，z ) 满足下面的条件： ( h ) 存在c ( t ) c ( r + ，r + ) ，和d ( t ) l 1 ( o ，2 r ；r + ) ，使得 l g ( t ，z ) l c ( i x l ) d ( t ) ，l v g ( t ，z ) l c ( i x d d ( t ) 对所有的z r 和a e t o ，2 丌】成立 ( i ) a 是反对称矩阵且i i a i l 1 ； ( i i ) 存在0 口 1 ，9 ) ，h ( t ) l 2 ( o ，2 7 r ；r + ) ，使 l v g ( t ，刮g ( t ) l x 口+ 危( 亡) ； ( i i i ) l 段嘉z 舸哪肛+ 。o 关于无界非线性项二阶j o s e p h s o n - t y p e 系统周期解的研究 其中i i a i i = s u p a ll a x i a l = l ，忱r ) ，l i 表示r 中的通常范数则d u f l ：i n g 系 统( 3 3 ) 至少有一个2 7 r 周期解 注：定理3 3 1 为a 三0 及v c ( t ，z ) 有界的情况 韩志清在【1 1 研究了如下常微分方程组周期解的存在性 定理3 3 3 1 1 1 1 考虑常微分方程组 e 三二茗竺器嚣：。仉“ 0 用 慨4 ， 其中g ( 亡，锃) ：【0 ，2 7 r 】r 一r 1 为c a x a t h e o d o r y 函数，露1 是整数 ( i ) 存在0 o l 。； l u i “ 当q = 0 时，令m = + o e 则系统( 3 1 ) 在珥中存在周期解 证明；令露= 譬u ( t ) d t 且 则 i i 豇l l l 舌譬l 心( 亡) 1 2 d t ( s o b o l e v 不等式) r 阡d t 而t 2f l u ( t ) 1 2 d t ( w i r t i n g e r 不等式) 在条件( a ) 下，在珥上给定一泛函妒 妒( 缸) = 三z r m ) 1 2 出+ t f p ，珏p ) ) 蹴， 则妒连续可微且在互强上弱下半连续，而且 ( ( “) ，可) = f ( t ) ，。( t ) ) 出+ f ( v f ( t ，u ) ) ，钞( ) ) 出( 参见 8 】) 则if o t ( f ( t ，u ) ) 一f ( t ，a ) ) d t l = if o f o ( v f ( t ，面+ s 面 ) ，位t ( t ) ) d s d t l fj 孑9 ( t ) e l 面+ s a ( t ) l a l 豆( t ) l d s 施+ er ic ( ) h ( t ) l e ( t ) l d s d t 2 e ( i 雹i q + i i a i l 怎) l i a l l o o f 9 ) 以+ c ) l l 面i l f h ( t ) d t 1 7 关于无界非线性项二阶j o s e p h s o n t y p e 系统周期解的研究 亍3i l u 。i | 0 0 2 + 吾e l 面i 纽( 譬g ( t ) d t ) 2 + 2 e i i 位| l 彗1f g ( t ) d t + c g ) l l 豆i i o of o t h ( t ) d t 三fj 心( 亡) 1 2 d t + c ：l 面l 缸+ q ( fl u ( t ) 1 2 出) 学+ 岛( e ) ( fl u ( t ) 1 2 ) 因此，对所有的i t 珥可得： 妒( u ) = fi , i 1 2 如+ f p ( t ，u ( 亡) ) 一f ( t ，f i ) d t + f f ( t ，面) 出 丢fl 也( t ) 1 2 砒一q e ( f 衅出) 学一岛( ) ( 譬i , i 1 2 出) + h 缸( 咖ff ( t ，面) 出一 q 占) 则由于 l i m i n f 1 j ( o t 啪让) 出= m 。 且i i 乱i i _ o o 等价于( 吲2 + fl a ( t ) 1 2 出) _ o o 则可选取充分小，使m c 1 0 ， 故由( i i ) 可知当i i i t l l _ 时，妒m ) 一o o ，即妒满足强制性，故妒的每一个极小化序 列都为有界的，从而妒可以达到临界值，即系统( 3 1 ) 有周期解 定理3 3 6 假设系统( 3 1 ) 满足定理3 3 5 的条件( i ) ，并且满足( i i i ) ( i i i ) 恍u p 酽1 以t f ( 咖) 出= m 。； 当q = 0 时，令m = 一o o 则系统( 3 1 ) 在珥中至少有一个周期解 证明。首先证妒满足( p ) 条件即当妒( u n ) 有界且妒7 ( “n ) _ 0 时， u n ) 有收敛 子列 由定理3 3 5if ( v f ( t ，面+ s 乜( t ) ，f t ( t ) ) d t i 甜郇斤班慨i n i 吲n 圳2 矿蝴e ( o ? i 郴) f 2 ) l 1 8 大连理工大学硕士学位论文 再由w i r t i n g e r 不等式 小1 2 d t 狰t 2 小t 圳2 班 因此f l 面n l i ( 妒7u n ) ，面b ) = fi 吐n ( ) 1 2 出+ y ：i v f ( t ，牡n ( 亡) ，缸竹( 亡) ) 如 兰ri 也n ) 1 2 d 亡一q i 面n i 纽一c y 2 9 ( z ti 也n ) 1 2 d ) 里笋一g ( e ) ( z ti 心n ) 1 2 ) j ( 2 ) 故由( 1 ) ，( 2 ) 两式可得 ，t 上m ) 1 2 出c 4 1 i 纽+ g ( 且由定理3 3 5ij 孑( f ( 亡，让n ( 亡) ) 一f ( t ，面n ) ) 如 jf ( 亡) 1 2 d t + c ：l 面n i 缸+ q ( 口( 艺) 1 2 出) 警+ 岛( e ) ( 譬( t ) 1 2 ) 5 由假设妒( u n ) 有界，故 c js 妒( 掣n ) = 丢ri 也n ) f 2 d t + f o t ( f ( t ，u n ) ) 一f ( t ，缸n ) ) 出+ 孑f ( t ，面竹) d r if ( 亡) 1 2 d t + c ：l f i n l 撕+ q ( 舒( t ) 1 2 出) 孚+ 岛( ) ( 譬( 亡) 1 2 ) + f f ( t ，砜) d t ( 由( 3 ) 式) 名( f ( t ，( 亡) ) 出+ g i 砜i 纽+ g ( e ) i 面n 1 2 a ( | 面n l _ 缸启f ( ，牡n ) ) 出+ g ) + g ) 由于 器u p 赤t f ( t , z t ) 出= m 。 故可取e 充分小，使m + 岛 0 ，可得面竹有界，由( 3 ) 式、w i r t i n g e r 不等式和s o b o l e v 不等式知有界，故u 竹= 巩+ 有界，妒满足( p s ) 条件 对讹婢，把珥分解，即珥= 毋0 珥，其中 令琢= u 珥i 面= o ) ，廓= 面= 吾f u ( t ) d t 当u 毋时， 关于无界非线性项二阶j o s e p h s o n - t y p e 系统周期解的研究 妒( u ) = 譬l u ( t ) 1 2 d t + 口f ( t ，u ( t ) ) d t 三譬瞰) 1 2 d t q ( 譬i a ( t ) 1 2 出) 孚一c 3 ( e ) ( f 0 tl 心( 亡) 睁 故当u 廓，上式右边下方有界，且i i “| l _ + o o 时，妒( u ) 一+ 。o ， 由( i i i ) 可知，当让琢且i u l _ 0 0 时，妒( u ) _ 一o o ， 故 u s e 岬s r 妒( 仳) 。； 当q = 0 时，令m = + o o 则系统( 3 1 ) 在空间珥中至少有一个解使得妒达到极小值 大连理工大学硕士学位论文 证明：根据假设，在r n 上的实函数 t _ r ( t ，t ) 出 d0 则有一个极小点，使得 v f l ( 亡，u o ) d t = 0 d 0 设lf 日( t ，u o ) d t l c 1 令u 知= 豆七+ 面七，乜知= 参：- u k ( t ) d t ， 由于日( ，功为凸函数，则由凸函数的性质可得 毋( ，u 七) 日( ，i t 0 ) + ( v f l ( t ，u o ) ，u 七一t 工o ) 故由s o b o l e v 不等式得 岩( 毋( t ，u k ) 一日( 亡，) ) 出 岳( v f l ( t ，) ，t 知一u o ) d t = 岳( v f l ( t ，坳) ，o t k ( t ) ) d t 一( 居l v 足( 亡，u o ) i d t ) l l 乜惫i l o 。 一c 2 ( 2 斑) 争 根据s o b o l e v 不等式和定理3 3 5 得 l 君。( 易( t ，u ( 亡) ) 一马( 友面) ) 班l = ij ：i c 詹v f , ( t ，雹+ s 豇( 亡) ，位( t ) ) d s d t i 三f o ti , z ( t ) 1 2 a t + q c l 面l 撕+ 0 2 c ( f fl u ( t ) 1 2 出) 警+ 岛( ) ( 譬眦) 睁 因此，对所有的u 珥可得： 妒( u ) = f fi 也( t ) 1 2 d t + f ( f 1 ( 亡，u ) + 兄( ，u ) ) d t ， ：jf fl u ( t ) 1 2 a t + f ( f , ( t ，让( t ) ) 一日( ，u 。) ) 出+ 譬( 忍 ，u ( 亡) ) 一r p ，豇) ) 出 + 譬( 兄( 亡，面) 如+ ff 1 ( t ，u o ) d t 2 1 关于无界非线性项二阶j o s e p h s o n - w p e 系统周期解的研究 jfl u ( t ) 1 2 出一c 1 一c 2 ( fl 也( 亡) 1 2 出) i 1 一 口l u ( 0 1 2 d t - c 1 e l 百i 孙一q e ( fi f t ( t ) 1 2 d t ) 学一 q ( ) ( fl a ( t ) 1 2 ) + 詹( 疋( 之，豇) 出 名 fi 也( ) 1 2 出一c 2 ( 口l u ( t ) 1 2 出) 一c l 吲纽一岛( 譬i 也( 芒) j 2 出) 半一岛( e ) ( 譬l u ( t ) 1 2 ) j + f 面 纽( 雨k 户( 易( 亡，豇) d 亡一c l s ) 一c l = 互1l | u l i l 2 ：一q l i 也l i 扩一( c 2 + c 3 ( e ) ) l l u l l , , 。+ l 面l 纽( 雨kf ( 马 ，f i ) d t - g e ) 其中0 q 0 ，故由于i i u i | 一o o 等价于 ( 吲2 + fi 也( 亡) 1 2 出) 一0 0 ，且又由条件( 钇) 可知妒的每一个极小化序列有界，故由极小 作用原理知妒可达到极小值，即系统( 3 1 ) 存在周期解 3 4 j o s e p h s o n - t y p e 系统的周期解 j o s e p h s o n - t y p e 系统是另一种推广的二阶h a m i l t o n 系统，m a w h i n 和w i l l e m 在【8 中系统总结了j o s e p h s o n - t y p e 系统中的周期解定理其基本定理是以下定理3 4 1 的特 殊情况 对于j o s e p h s o n - t y p e 系统( 3 5 ) ： 豇 ) + a u ) 一v f ，u ”= 允 ) 仉e t 【0 ，t 】 ( 3 5 ) 、 m u ， lu ( o ) 一让( ? ) = 心q ) 一f z ( t ) = 0 其中a ( t ) 为一个( n x n ) 连续函数矩阵，h 工1 ( o ，t ；r ) 在日；上定义一泛函： 令 妒( u ) = o r ( 三 i 也( 亡) 1 2 一( a ( 亡) u ( 亡) ，扎( t ) ) 】+ f ( t ，u ( t ) ) + ( 九( t ) ，u ( 亡) ) ) 班 g ( u ) = o t 扣( t ) 1 2 一( a ( 亡) 乱( 亡) ，u ( t ) ) 】如 2 2 大连理工大学硕士学位论文 则 咖) = 扣1 1 2 一互1 上t ( ( 邮) + 啦 ，u ) 出= 扣卜k ) 牡，牡) ) 其中由r i e s z 引理可知 ，t ( ( a ) + ，) u ) ，让 ) ) 出= ( ( k u ，口) ) ，v u ， 五哮 j o k ：磷一珥 为线性自伴算子 由一般的谱定理，可将珥分解为，一k 的特征子空间， 珥= h o h uo 日+ 其中h o = n ( i k ) ，并且日一，日+ 是使得，对给定的6 0 ， 口( t ) 一驯u i f 2 ，对于u h 一 q ( u ) 互l l u l l 2 ，对于u h + 令u = u 一+ t 正o + t 正+ ，其中u 一h 一，t 正o h o ， t + 日+ m a w h i n 和w i l l e m 考虑了v f ( t ，让) 有界情形，冯建霞，韩志清将它们推广如下： 定理3 4 1 【2 】对于