（基础数学专业论文）关于（pα1…pαk）的模一一致分布.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如 没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名： 马新叉 导师签字 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权堂撞可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在 解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期： 马新叉 z o o 铷【知 导师签字： 签字隰2 。0 7 年归帅 山东师范大学硕士学位论文 关于函m ，) 的模一一致分布 马新文 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 叽4 摘要 本文讨论了( 2 严z ，矿t ) 的模致分布问题，其中七2 为一固定的整数 0 1 j 一，q k 为位于区间( s ，卧1 ) 内的固定实数，s 1 为整数，p 取遍所有的素数 第一章讨论了s = 1 时，( 矿t ，矿) 的模一一致分布 把原问题转化为估计w e y l 指数和 a ( 竹) e ( h 礼。1 + + 慨礼。- ) r n s 2 ， 当1 a i 口l 2 时，主要是利用v 龃d e rc o r p u t 方法对上述k y l 指数 和进行估计，得到了本文中的定理1 与定理2 第二章讨论了8 充分大时，( 矿，p 。t ) 的模一一致分布 把原问题转化为估计w e y l 指数和 a ( n ) e ( 矿1 + + 扎。t ) y ( n s 2 y 当s 吼 o i s + 1 ( s 为充分大的整数) 时，主要是利用v i n o g r a d o v 方 法对上述w e y l 指数和进行估计，得到了本文中的定理3 关键词； 指数和一致分布v a nd e rc o r p u t 方法 v i n o g r a d o v 方法 分类号：0 1 5 6 4 山东师范大学硕士学位论文 o nt b es i 椰l t a n e o u sd i s t r i b u t i o no ft h e 重a c t i o n a lp a r t so fd i r e r e n t p o w e r so fp r i m en t i i n b e r 8 n w e n m a s c b 0 0 1o fm a t h e 矗t i c ，s h 缸g d o n gn 蚴a lu i v e r 8 i t y j i n a n ，s h 柚g d o g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i 8p 印e rw es t u d yt h ed i s t r i b u t i o m o d u l o10 ft h es e q u e n c eo fv e c t o r 6 ( 矿1 ，一，矿) ，w h e r e 七2 i sa 6 x e di n t e g e ra n dd l ，a a r e 丑x e dr e a ln u m b e r s l y i n gi nt h ei n t e r v a l ( s ，8 + 1 ) a n dpr u n sa v e rt h es e to fp r i m en u m b e r 6 i nc h a p t e ro n e ，w ec o n s i d e rn l es h m l l t a n e o u sd i s t r i b u t i o no ft h ef r a c t i o n 出 p a r t so fd i 矗电r e n tp o w e r s0 f p r i m e 业m b e 瑙w i t h8 = 1 i ts u 伍c 郎t ob o u n dt h ef o l l o 矸哇n gw e y l 锻p o n e n t i a is u m a ( n ) e ( 1 n 8 1 十+ 玩佗。t ) y n s 2 y w h e n1 m a l 2 ，w em a i n l y 璐e 砌d e rc o r p u tm e t h o dt oe s t i m a t e t h ea b o v ew b y le x p o n e n t i a ls u m ，o b t a i n e dt h e o r e m1a n dt h e o r e m2i nt h i sa r t i c l e i nc h 印t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h es i m u l t a n e o u 8d i s t r i b u t i o no ft h ef r a c t i o n a l p a r t so fd i 舵r e n tp o w e r so fp r i m en u m b e r sw i t h8s u m c i e n t l yl a r g e i ts u m c e st ob o u n dt h ef o l l o w i n gw b y le x p o n e t i a l8 u m 乏二a ( n ) e ( n 4 + + 饥几。) y n 2 y w h e ns a t 0 1 o ，使得j ，( 删g 9 ( g ) 即，0 ) = o ( 口( z ) ) m m s 2 m 存在正常数c 1 ，c 2 ，使得c 1 m m 仍m 由整数构成的维向量 燃倒 n m a x ( j 旭，1 i ) 彤上的欧几里得乘积 3 山东师范大学硕士学位论文 第一章s = 1 时的模一一致分布 1 1 引言和主要结果 一致分布问题一直以来是数学中的一个重要课题，对于区间( o ，1 ) 中 的点集翰0 = 1 ，2 ，) ，若对任意的自然数n 及满足o o ，有 d ( ) = d ( 1 。) r c b a k e r g k o l e 8 n i k 9 】证明了，对于口 1 ，a 隹n 当 ， 1 0 5 西丽 时，上式成立这也是当。较大时，到目前为止最好的结果 4 山东师范大学硕士学位论文 当然对于较小的q ，我们司以做出更好的结果，通过v a u g h a n 恒等式 和d i r i c h l e t 多项式的均值估计，b a l o 出o 】证明了，对手1 2 盘 1 时， 有 d ( ) = o ( r 学押) b a k e r k o l e s n i k 【9 】通过v a nd e rc o r p u t 方法证明了，当口= 3 2 时 d ( ) = d ( 器托) t o l e v 【2 】研究了素数的不同方幂的模一一致分布问题 令2 为一固定的整数，o a a l 1 为实数； rc 必由下式定义： 其中 r = r ( 6 ，町l ，靠，叼七) = 0 l ，$ 七) f 岛 墨 碾，1 南)( 1 1 1 ) 0 6 臻曼1 ，1 令 p ( r ) = n ( 叩 一锄， = l s ( 。；r ) 表示满足条件( 矿- ，妇。) ，t 垆) ) r ，且不超过$ 的素数p 的 个数 t 0 1 e v ( 2 】证明了 s 0 ；r ) = 7 r ( 茁) ( p ( r ) + 0 ( z 一吖3l o g 七+ 9z ) )( 1 1 2 ) 其中 j = m i n ( 1 一口l ，口1 一q 2 ，o 锤一1 一口 ，o l ，1 4 ) 而翟文广 5 】改进了t 0 l e v 的结果，得到了： s ( 。；r ) = 万( 。) ( 芦( r ) + 0 ( 盘一l o g 七+ 1 l 5 名) ) ，i = 1 ，2( 1 1 3 ) 5 山东师范大学硕士学位论文 其中 = m i n ( 1 一o l ，口1 一。屹，c 一l 一口女，q 七3 ，2 0 1 7 7 ) 艺= m i n ( 口l n 2 ，毗一i q ，觋3 ，4 0 4 i 7 ) 然后利用翟文广f 6 】中的方法，得到了； s ( 茹；r ) = 7 r ( z ) ( 卢( r ) + 0 ( 岳一矗l o g + 5 5z ) )( 1 1 4 ) 其中 砖= m i n ( 1 ( 4 + 6 ) ，钆( 4 一2 ) ) 本文的目的是推广上面的结果，上面也就是得到了s = o 的情况，当 s = 1 时，即l 毗 口l 2 时，我们可以得到下面的两个结果： 定理1 s ( z ；r ) = 7 r ( z ) ( 芦( r ) + d ( 。一4 ，l o g 曼+ 5 5 z ) )( 1 1 5 ) 其中 j i = m i n ( 2 一口1 ，。1 一。堙，n 一l c ，1 9 0 ) 很显然，如果南= m i n ( 2 一口1 ，口1 一锄，d 一舭) 非常小时，上面 的定理1 的结果不是很好而利用翟文广【6 中的方法，可以得到下面的 定理2 ，当晶非常小时，这个结果是比定理1 要好的 定理2 其中 s ( $ ；r ) = 丌( z ) ( 灿( r ) + 0 ( 茹一而1 0 9 七十6z ) )( 1 1 | 6 ) 如= m i n ( ( 2 一a i ) 1 5 ，1 2 0 ，1 ( 4 自+ 8 ) ) 6 山东师范大学硕士学位论文 1 2 基本引理 我们需要用到下面的一些引理： 引理2 1 假设，( n ) 为定义在区间【，l 】( 其中2 1 2 ) 上的实 值函数 如果o ) l 3 l ，( 3 0 ) l 口a 3 ，那么 e ( ，) ) ( q 2 a 3 ) 1 8 + 3 4 a 1 4 + 1 4 1 7 4 r ( n 1 如果j ，o ) ( n ) j a 1 一升1 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) ，那么 e ( ，( 礼) ) a i l + a ：一 _ 一 一 n s m 特别地，当a 1 1 时，有 e ( ，( n ) ) 对舻 n 兰n l ， 其中( 心a ) 为指数对 证明：参见g r a h 锄，k 0 1 鹤n i k 【1 】 引理2 2 假设。( 咒) 为任意复数，1 q ，那么 j 岳刮2 苦。量( 一苦) 。三_ 碉 证明：这就是g r a h a l n ，k o l e s n i k 【1 】中的引理2 5 引理2 3 令o o 令j 表示f 1 ，2 】的一个子区间，使得 1 0 1 t 8 1 + d 2 户2 + + n 夤严l ，t j 8 山东师范大学硕士学位论文 则有 ( 志) 由 证明：这就是翟文广【6 】中的命题1 假设d 2 为一固定整数；口1 ，砚，为任意非零实数；饥， 为非整数的实常数；彤，尬为满足条件5 盯 舰2 m 的实数令 ( m ) = n l m 饥+ + o d m 令丑= l 1 i m m + + f l m 对于指数和 s d ( m ) = e ( 哟) 肘 o 为一待定参数，将【m ，晒】划分为如下两部分： = 8 ( m ，m 1 】： ，( 3 ) ( t ) 6 ) ，是= 【m ，尬】五 下面我们用引理2 7 估计& ( m ) 在五上的和，用引理2 1 估计在如上的 和 若t ，则有 d l ，3 ( ) = 吩( 一1 ) ( 一2 ) 珈一3 l 6 j = l 所以得到 o l 饥( 饥一1 ) ( 饥一2 ) m “留+ + 幻( 蚀一1 ) ( 住一2 ) m “t l d m 3 其中如= 击，则t o 1 ，2 】 由引理2 ，7 有，满足上述不等式的【1 ，2 的子区间正的长度为：( 墨) 9 山东师范大学硕士学位论文 进而有 州( 丽群乌亦) 南= ( 警) 由 f j 击+ 击r 一击 现在估计在厶上的和 令= t i m ，舰】6 | ，( 3 ( 力is + 1 味j o 则由引理2 1 的第一个结论得到 e ( ，d ( m ) ) = e ( 丘( 仇) ) m 如 ，0 m e ，甜 ( 彳( 2 j 6 ) 1 6 + 彳3 4 + m 1 4 ( 2 6 ) 一1 4 ) 0 j j 奄拍m 1 2 + m 3 批j + m 1 4 6 - 1 一 其中 ，1 0 9 鑫 这样就得到了 ( m ) d 击m 1 + 南r 一击+ r 1 6 m 1 ，2 + m 3 4 】o g 击+ m l 4 一，4 取d = 肘一。r 彘知引理结论成立 令留( m 0 ，) 表示满足不等式 i t ( m ，曲一t ( 廓，动i t 的四无数组( m ，疣，g ，的解数，其中 t ( m ，q ) = ( m + g ) 。一( m 一口) 口 实数o o ，1 ，m m 2 m ，q 口 2 q ，3 q 竹，t = m a 一1 q f t ( m ，口) i ，则有 下面的引理成立 1 0 山东师范大学硕士学位论文 引理2 9 如果q m 2 3 ，则有 毋( m ，q ，) ( m q + m 2 q 2 + m _ 2 q 6 ) ( 1 0 9 2 m ) 2 证明：这正是f o u v 吼1 w a n i e c 3 】中的命题2 1 3 素变数指数和的估计( i ) 假设l ，为一足够大的实数；1 口 o 为与n 有关的数；9 ( m ) = u 1 舻+ - + 札l 彬为定义在区 间瞰2 上的实函数，满足i g o ( m ) i y 。一0 = o ，1 ，6 ) ，其中f 1 饥，m 为实常数；u t ，铆为任意的实数，为任意小的正常数 本节的目的是处理下面的素变数指数和 s ( y ； ，a ) = a ( m ) e ( m 。+ 9 ( m ) ) y m 2 y 在本节中，我们总假定f = p 常数仅依赖于q ，饥，m ，e 引理3 1 假设1 q 2 ，6 = d ( q ) = m i n ( 2 一口，1 9 0 ) ，且o o m 吖 则当1 ，m y 1 4 时，我们有 毋= o ( m )e ( m 住) 。+ 9 ( m n ) ) y 1 - l o g + 1 y = ( 1 3 1 ) m m y m n s 2 y 证明：令 ，( m ) = 竹矿+ 9 ( 仇) ，= y m 由于 笋x 务舻u - 0 1 i 一 6 ) 山东师范大学硬士学位论文 由引理2 1 并取指数对( 1 6 ，4 6 ) 得 毋l 口( 酬f 1 6 1 2 m f m 1 2 f 1 61 0 y y “l o g a y ( 1 3 2 ) 当m y 1 - 2 f - 1 3 ，上式成立 下面假设m y 1 2 f 一1 3 取q l = f 妒l o g - 1y 】 则q 1 = o ( ) 由c a u c h y 不等式和引理2 2 得 j 2 恻2 j 口( 唰2 l e ( ，( 砌) ) l m “” m “”j “一y ”f 譬p + 驾半薹i s 渤 其中 目，= e ( ，( m + 口1 ) ) 一，( m n ) ) m 一肘叫m n 2 叫* 一9 1 这样要证引理3 1 成立，只须证 局，i y ( 1 3 4 ) 取q = q 2 ，则q 2 = d ( ) 对局，应用c a u c h y 不等式和引理2 2 碍 1 2 1 日。f 2 吖ie ( ，( m 伽+ 吼) ) 一，( m 钆) ) i m ”m1 y ，m ( “2 y m 一驰 l 警+ 警，曼 s 脚 其中 日，和= e ( g ( m ，n ) ) 1 2 山东师范大学硕士学位论文 g ( m ，露) = g ( m ，嗡口i ，口2 ) = ，( m + m + 啦) ) 一，( m + 啦) ) 一，( m 协+ q 1 ) ) + ，( m 几) l = m 。，口1 ，啦；a ) + 呦舻( 啦，口2 ；) j = 1 协，乳，啦；t ) = + 鼋1 + 匏) 一协+ 啦) 2 一+ 口1 ) + 其中 由引理2 1 并取指数对( 2 1 8 ，1 3 1 8 ) ，得 从而得到 蜀。啦= e ( g ( m ，n ) ) m my m n 2 y m 一乳一驰 = e ( g ( m ，n ) ) y 2 肘 “曼2 叫 f 一以一啦胁 m 兰尬 ( 杀+ ( 案) 蠢m 嚣) 舰= m a x ( my 扎) ，尬= 1 i l i n ( 2 m2 功伽+ 口1 + 口2 ) ) ( 1 3 6 ) 口i f 蜀，1 ) q - 吼i 2 口i = l 警+ 警，曼，。量：酬 y 2 + f 一1 y 4 且彳一2 q f l1 0 9 2l ，+ f 2 1 8 y 3 2 1 8 彳一3 1 8 口；7 1 8 q ；o 1 8 由于m y 1 2 f 一1 3 ， 贝0 当6 o 1 2 时，有 f 一1 l ，4 ，一2 q i l1 0 酽y y 2 + 4 6 f 一1 3 y 2 当3 盘+ 9 3 j 7 时，有 f 2 1 8 y 3 2 1 8 a f 一3 1 8 q ：7 1 8 q 挚7 1 8 f 3 1 8 y ( 2 9 + 甜) 1 8 馔7 1 8 q 笋7 1 8 y 纠普埋 y 2 仉蚪 ， 山东师范大学硕士学位论文 这样，我们就完成了引理3 1 的证明 引理3 2 假设1 o o n ； 则当y 2 y ( 7 4 0 ) ，5 f 一”，m 一y 时，有 毋产o ( m ) 6 ( n ) e ( ( m 。+ 9 ( 撕) ) y 1 一l o g + b + 1v 证明：取q = 【y 2 l o g - 1y 】，则q = o ( ) 由c a u c h y 不等式和引理2 2 得 l1 2 毋舻i 口( 删2 6 ( n ) e ( ，( 僦) ) f 竿+ 芈喜易 去一+ _ 享 e 其中 目= + 口) 6 ( 圳e ( g ( 哪) ) l ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) g ( m ，n ) = m 口( 礼，g ；乜) + q 舻( 他q ；) = 1 ，“t ) = m + 口) 一 要证明引理3 2 成立，只须证 口 吲y l o 矿8 y ( 1 舢) 1 4 山东师范大学硕士学位论文 由引理2 1 并取指数对( 2 1 8 ，1 3 1 8 ) ，得 洳羹驴删i ( 铲8 胖a 吲+ q ) 6 ( 礼) i 等) m ”1 8 q 2 l# 1n 一 ， 、一7 f 2 1 8 y l l ，1 8 5 ，1 8 q 2 0 1 81 0 9 2 口y f 2 1 8 y ( 1 1 + 4 0 ) 1 8 5 1 8l o 酽丑y y l o 矿by( 1 3 1 0 ) 当y ( 7 4 0 ) 5 f 一2 5 时，上式成立 由( 3 8 ) 一( 3 1 0 ) 式知引理3 2 成立 由引理3 1 和引理3 2 便可得到下面的命题3 1 命题3 1 假设1 口 2 ，6 = d ( a ) = m i n ( 2 一a ，1 9 0 ) ，且o ” “y ) 由引理2 3 得 a ( m ) e ( ，( m n ) ) = 去以肘三村坳胁叫) ) 堂生型出+ d ( 1 。矿y ) 其中m = y 2 这样就有 鲫) = 嘉仁三咖) ( m 三a ( m 肌( ，( 叫) ) 竺塑型掣疵+ d ( 1 。矿s l ，) i 式( ) il o g y + l 0 9 3 5f( 1 3 1 5 ) 其中 s ( ) = 0 ( n ) 扩( m ) e ( ，( m 扎) ) ( 1 3 1 6 ) n rm m 1 6 山东师范大学硕士学位论文 从而有 矿( n ) d ( n ) ，矿( m ) 1 0 9 m 州n ) 1 2 1 0 9 3 m m ) 1 2 m l o 矿m t n j l f 由引理3 2 得s ( ) y 1 一1 0 矿+ 5y 结合上面的讨论可得 岛y 1 一l 0 9 5 5 y 这样我们就完成了命题3 1 的证明 1 4 定理1 的证明 要让明足理1 ，只须让明对于所有的y f $ 。“，叫，f 式成立 兄( y ) y 一以1 0 矿+ 5 5 y ( 1 4 1 ) 其中 r ( y ) = s ：p ；南( s ( 2 y ；r ) 一s ( 1 ，；r ) ) 一肛( r ) 由引理2 4 ，对所有的日 2 有 尉铷。1 + 。赢片高 i 而蒜e ( ，矿，+ 十饥州l j 可面f 丽r 毫ye ( p 口1 + 十饥矿叶f 枷1 “。1 肛1 0 扩1 y “。赢日高眇伪) i ( 1 。4 2 矿( 矗) = a ( n ) e ( 日( n ) ) ， y n 茎g y 日( t ) = 1 伊1 + + t “ 1 7 山东师范大学硕士学位论文 对于u ( 危) 的估计，可应用上一节中的命题3 1 ，取日= c y 以，其中c 为一 足够大的正常数 令 = ( 危”一，k ) 满足条件o f 日，且d 为使得o 的第一个j ， 那么日( t ) = 水+ 9 ( t ) ，由于以蚴一a 抖1 ，我们有g ( t ) = d ( c 一1 i i y 。a ) 取 ： 嘞一0 d + l 如果伽一1 嘶n ( 2 一嘞，1 9 0 ) ( 1 4 3 ) im i n ( 2 一伽，1 9 0 ) ，其它情况 从而由命题3 1 得 u ( ) y 1 一曲( 2 - 蜘，蜘一伽+ 1 ，1 ) 1 0 9 5 5y y 1 1 l 0 9 5 占矿 这样就完成了定理1 的证明 1 5 素变数指数和的估计( i i ) 假设f 2 为一固定的整数；1 m 他 饥 o 为依赖于饥的常数本节的目的是要估计 下面的指数和 z、 s ( 1 ，； 1 1 一，乜， 一，m ) = a ( n ) e ( 礼w ) ， y o o ，b o 2 1 山东师范大学硕士学位论文 则 s ( 忆) = n ( m ) 6 ( 住) e ( ( m n ) 4 ) ( f 1 8 ( m ) 3 4 + m 4 5 + m 1 7 ，2 0 + f 一1 8 ( ，) 2 1 2 0 ) l o 一十卧5 4 ( 2 m )( 1 5 6 ) 其中f = m 4 。 证明：此引理的证明同f 0 u v r y ，1 w 拙i e c 【3 1 中的定理4 的证明基本相同，只 是中间做略微的改进而已 由c a u c h y 不等式与引理2 2 得 愀2 睡瞰圳2 ) 鹰隆喇，f 2 ) q i l 掰2 a 乎( 1 0 矿a + 2 82 m 柳+ q i l m ( 1 0 9 2 爵12 材) 睫( 卜茜) 三三咖。c 加c 凇c 叫) | 其中 q z ；m ，q ：q - ，t ( m ，q ) = ( 仇+ q ) 。一( m q ) 。 再一次应用引理2 2 得 啤) 4 丝毪等业+ 型铲 怪( ，一番) 三三咖口c 加m 叫删 塑鼍等塑+ 型半铲( 洲侧 其中 岛e ( 九t ( m ，吼) t ( 鸭啦) ) 裟j j 盏：琶 对于q ：j 和某个砚q ：上式成立 山东师范大学硕士学位论文 由引理2 5 得 岛( 觋锄f q ；钙m 一1 一1 ) 1 2 ( 1 5 7 ) 其中 霸= 1 i 枷m ) 一( 币，血) 蕊缸 现= l 船) 一( 6 ，西) i 霹击日 假设 q ，；删5 ，q z ；3 5 则由引理2 9 得 霸洲( ，+ 等) ( i o g z 聊 同样，对于踢有类似的估计 这样，由上面的结果，我们得到 岛讹；铹( + 铬) 叫2 ( ，+ 筹) g z 2 s 御 最后，我们取 q 1 2 ；m 3 胪，q 2 2 ；3 加，q ：= q 1 ，q ；= q 2 便可得到 s ( m ，) ( f 1 8 ( m ) 3 7 4 + m 4 5 + m 1 7 2 0 + f 一1 8 ( m ) 2 1 2 0 ) l o g “占+ 5 4 ( 2 m ) 命题5 2 假设1 a 2 ，6 = m i n ( ( 2 一q ) 9 ，1 2 0 ) ，则对于1 y d ，有 a ( m ) e ( 胁n 8 ) y 1 5l 0 9 6y m 吖 ( 1 5 9 ) 山东师范大学硕士学位论文 证明：同命题3 1 的证明类似，我们取u = ”= y 1 ，3 对于 研= p ( m ) l o g 眦( ( m 竹) 。) m y 1 3n l ，m 由引理2 1 并取指数对( 1 6 ，4 6 ) 得 瞅。( 科6 ( 矿蛾y f 1 6 y 2 3 1 0 9 y y 1 一d l o g v 对于 岛= 口( 竹) a ( m ) e ( ( m ) 。) 的估计 由1 3 中命题3 1 的讨论和记号，知； 岛i 霹( ) 1 1 0 矿y + l 0 9 5 y 其中 s ( ) = 矿( 竹) 6 ( m ) e ( ( 仇n p ) ， ( 1 5 1 0 ) n ( 佗) d ( n ) ，矿( m ) l o g m 则有 矿( m ) 4 m l o 酽m m 礼) 1 2 l 0 9 3 由引理5 2 得 s ( ) = 矿( 嚣) 6 ( m ) e ( 悫( 僦) 。) m m n n ( f 1 8 y 3 4 + m 4 5 + m 1 7 2 0 + f 一1 8 y 2 1 2 0 ) l o 酽y y 1 5 1 0 矿m 山东师范大学硕士学位论文 从而得到 岛y 1 6 1 0 酽y 而对于 岛= 6 ( m ) e ( ( 蛳) 。) m y 2 卢n y ” 的估计 当m y 1 ，3 时，类似于s 1 的估计可得岛p 一5 1 0 9 y ； 当y 1 3 m y 2 3 时，类似于韪的估计可得是y 1 6 l o 矿y 这样就证明了命题5 2 成立 1 6 定理2 的证明 由定理1 的证明可知，我们只须估计u ( ) ，其中 对于固定的 取日= y 如，其中 u ( 功= a ( 礼) e ( 日( 仃) ) ， 1 ， n 2 y 日( 站= 矗i 红+ r + 魂 愚= ( 1 ，一， 女) ( 0 ，o ) 如= m i n ( ( 2 一a 1 ) 1 5 ，1 2 0 ，1 ( 4 是+ 8 ) ) 令伽( 动表示使得秘o 的锄的个数，d 表示使得奶o 的第一个j 如果脚( ) 2 ，则由命题5 1 得 c ，( ) l ，1 一枷n ( 忙一) 1 5 ，1 2 0 ，1 4 扣d ( 埘+ 2 ) 1 0 9 5 。5y y 1 一删( ( 2 一牟1 ) 1 5 ，1 2 0 ，1 4 似+ 2 ) ) 1 0 9 5 5l ， y 1 一如l o 矿f ， 山东师范大学硕士学位论文 如果n o ( 危) = l ，则由命题5 2 得 u ( ) y 1 4 巡( 2 一) 9 ，1 2 0 1 0 矿l ， y 1 一m 缸( ( 2 一。1 ) 9 ，1 2 0 1 0 9 6y y 1 一如1 0 酽y 山东师范大学硕士学位论文 第二章s 充分大时的模一一致分布 2 1 引言和主要结果 在第一章中，我们讨论了当l m a 。 2 时，0 m ，矿- ) 的 模一一致分布，下面我们讨论当s 毗 d ， s + 1 ( 8 为充分大的整 数) 时，扩- ，矿) 的模一一致分布主要利用v i n o g r a d o v 方法和翟文 广 6 】中的方法，得到了下面的定理3 我们将主要证明下面的定理： 定理3 当s 充分大时，有 s 忙；r ) = 霄( 。) ( p ( r ) + 0 ( 。一如1 0 9 麝+ 5 5 z ) )( 2 1 1 ) 其中 1 0 3 2 瓦面再可葡厕 2 2 基本引理 要证明定理3 ，我们要用到下面的一些基本引理： 引理2 1 设5 ，而( $ ) 是一个实函数，并且在区间 p + 1 z p + l ( p l 是整数，上1 ) 内有一阶到+ 1 阶的连续导数又设 专i 锅禹( p 小z p 删， 并且 q 1 4 m q ，工s m ( m 是整数) mb 叩 m 锯帕学 如 一 曲 烈 删荟 擞 下阵条上 以在 山东师范大学硕士学位论文 而 p = ( c 舻l o g ) ， 其中山= + ；l 0 9 2 ，而c 及a 是充分大的常数 证明：这正是闵嗣鹤f 7 1 中的定理5 1 注：通过闵嗣鹤【7 】中的定理5 1 的证明，我们发现定理中的常数c 及a 都是可以计算的，通过计算，我们可以确定出c = 1 0 8 0 假设d 2 为一固定整数；0 1 ，观，钆为任意非零实数；，y 1 1 一， 为非整数的实常数；m ，帆为满足条件5 m 舰2 m 的实数令 厶( m ) = o l m 讥+ + 口d m 蚀 令r = j o l | m 饥+ + i m w 对于指数和 & ( 肘) = e ( m ) ) ， 磊i 帆 我们有下面的引理 引理2 2 当s 饥 o 为一待定参数，将 m ，m 】划分为如下两部分： 五= 暑f m 】：护十( ) s 毋，如：f m m 】 下面我们用第一章中的引理2 7 估计( m ) 在 上的和，用第一章中的 引理2 1 估计在如上的和 若t 五，则有 l ，( 卧3 ( t ) i = 1 叼( 一1 ) ( 一s 一2 ) 和一5 3 i 6 山东师范大学硬士学位论文 所以得到 f ( 竹一1 ) ( 竹一s 一2 ) ”w 学i 6 m 卧3 其中南= 击，则t o 【l ，2 】 由第一章中的引理2 7 有，满足上述不等式的 1 ，2 】的子区间墨的长度 为：( t o 墨) 吲( 丽# 与丽) 由= ( 竿) 南 进而有 6 击肘1 + 措兄一由 现在估计在足上的和。 令 易= 0 f m ，舰】：分6 l ，o + 3 ) ( t ) l 分+ 1 田，j o 弛= 哮 则 去 黜| 苦 取6 = m 一，则 谚7 4 m 劬 成立 则由引理2 1 得 e (