（基础数学专业论文）带五次项的非线性schrodinger方程的辛和多辛算法.pdf

华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 摘 要 i 摘 要 1 9 8 4年我国计算数学的奠基人冯康院士首次系统地提出了能保持 哈密顿系统辛结构不变的辛几何算法. 近几年来，此算法得到了迅猛的 发展，并成功地解决了许多实际问题，模拟了各种物理现象. 本文考虑了带五次项的非线性s c h r ? d i n g e r 方程的( 单) 辛和多辛算 法. 构造了该方程的( 单) 辛格式、多辛 p r e i s s m a n格式和多辛f o u r i e r 拟谱格式. 本文第一章为引言部分，简单介绍了辛算法的发展历史和现状，以 及在这一领域取得的一些研究成果. 第二章主要讨论了带五次项的非线性s c h r ? d i n g e r 方程的( 单) 辛算 法，构造了它的( 单) 辛格式，并用数值实验验证了该格式具有长时间的 数值模拟能力. 第三章首先简单介绍了多辛哈密顿系统及其相关的守恒律，然后构 造了带五次项非线性s c h r ? d i n g e r方程的多辛 p r e i s s m a n格式，证明了 此多辛格式保持电荷守恒，分析了它的能量误差，并用能量方法分析了 该格式的稳定性和收敛性. 最后用数值实验验证了我们的理论分析是正 确的，即该格式具有长时间的数值稳定性. 第四章首先简单介绍了多辛 f o u r i e r拟谱方法的预备知识，并构造 了带五次项的非线性s c h r ? d i n g e r方程的多辛 f o u r i e r 拟谱格式，最后 通过数值例子说明了该格式的有效性. 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 摘 要 ii 第五章对全文的主要内容做了简单的总结，并对( 单) 辛和多辛算法 的未来方向做了一些展望. 关键词：辛格式； 能量守恒律； 动量守恒律；多辛守恒律；非线 性 s c h r ? d i n g e r 方程 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 abstract iii abstract in 1984, academician kang feng, the founder of chinese computational mathematics, put forward the symeplectic geometric algorithm systemically which preserves symplectic structure of the hamiltonian system. in the recent years, the algorithms have solved many practical problems successfully and simulated lots of physical phenomena. in this paper, we consider (single) symplectic and multi- symplectic algorithms for nonlinear schr dinger equation involving quintic term, and we construct (single) symplectic scheme, multi- symplectic preissman scheme and multi- symplectic fourier pseudo- spectral scheme for the equation. in chapter one, we present the abstract, simply introduce the history and present state of symplectic algorithm, and numbers of related achievements in this field. in chapter two, we consider symplectic algorithm and construct (single) symplectic scheme for nonlinear schr dinger equation involving quintic term, and prove that the symplectic scheme is capable of simulating the original in a long time by numerical experiment. in chapter three, firstly, we simply present the multi- symplectic hamiltonian system and its associated conservation laws. secondly, we construct the multi- symplectic preissman scheme for the nls equation, prove 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 abstract iv the scheme preserve the charge conservation law exactly and analyze the energy residual, and we prove the stability and convergence of the multi- symplectic scheme by energy method. lastly, the numerrical experiment shows that the theoretical analysis is correct，the multi- symplectic scheme is capable of simulating the original in a long time. in chapter four, we present the prepare knowledge of the multi- symplectic fourier method, then construct the multi- symplectic fourier pesudo- spetral scheme for the nls equation, lastly we prove that the scheme is reliable by numerical experiment. in the last chapter, we summarize the main conclusions of the dissertation, and look into the future prospects of the (single) symplectic and multi- symplectic algorithms. keywords: symplectic scheme; energy conservation law; momentum conservation law; multi- symplectic conservation law; nonlinear schr dinger equation 原创性声明 本人声明兹呈交的学位论文是本人在导师指导下完成的研究成果。 论文写作中不包含其他人已经发表或撰写过的研究内容，如参考他人或 集体的科研成果，均在论文中以明确的方式说明。本人依法享有和承担 由此论文所产生的权利和责任。 学位论文作者签名： 日期： 学位论文版权使用授权声明 本人同意授权华侨大学有权保留并向国家机关或机构送交学位论 文和磁盘，允许学位论文被查阅和借阅。 论文作者签名： 指导教师签名： 签 名 日 期： 签 名 日 期： 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第一章 引言 1 第一章 引 言 1 9 世纪，英国著名物理学家、数学家 h a m i l t o n 提出了 h a m i l t o n 系统，其形式为 )( 1 zhj dt dz z = ， 其中 n nn rqqqpppz 2 2121 ,= ，)(zh为 h a m i l t o n 函数， j为n2阶反对称矩阵. h a m i l t o n体系以其形式上特有的对称性是物理学研究的出发 点， h a m i l t o n 方程包括有限维和无限维，它们都是特定形式的常微分方程或偏微分方 程，在现代物理学和力学研究中有着非常重要的地位. 因此，许多科学家对此类方程 有极大兴趣，并致力于研究它的数值解法. 传统算法大都是面向渐进稳定设计的，这 些算法不可避免地带进人为耗散性、虚假吸引子，最终导致严重歪曲失真. 传统算法 用于短期的、瞬态的模拟尚可，用于长期跟踪和整体结构性研究则不行，有时甚至会 引向错误的结论，从而寻找保持 h a m i l t o n 系统辛结构的算法成为必要. 1 9 8 4 年，在北京举行的国际微分方程与微分几何会议上，我国已故数学家冯康先 生做了题为 “d i f f e r e n c e s c h e m e s f o r h a m i l t o n f o r m a l i s m a n d s y m p l e c t i c g e o m e t r y ” 的报告，首次系统地提出了基于辛几何的辛算法. 随后，辛算法成为国内 外计算科学讨论的一个热门话题，冯康和他的研究小组在这一领域取得了斐然的成就 1 - 4 ，而且辛算法也解决了许多实际问题 5 - 7 . 自从冯康院士提出辛算法以后，这 一算法有了两次大的飞跃，一次是从有限维向无限维的推广，一次是向多辛算法的深 入发展. 辛算法处理无穷维 h a m i l t o n系统采取的策略是时间和空间不同对待，对于时间 和空间方向都具有 h a m i l t o n结构的无穷维 h a m i l t o n系统，二十世纪九十年代 j . e . m a r d e n , g . p . p a t r i c k 和s . s h k o l l e r 从变分的角度提出了多辛h a m i l t o n 系统的概 念，而 t . j . b r i d g e s 从辛几何的角度提出了多辛结构的概念. 前者从变分原理出发， 由边界项得到辛结构，对于具体的偏微分方程得到多辛守恒律，而后者直接把有限维 h a m i l t o n 系统推广到无穷维，在空间和时间方向分别离散，使得原偏微分方程在时间 和空间方向均有各自不同的有限维辛结构，从而得到多辛守恒律. 我们称能够保持多 辛守恒律的格式为多辛格式. 自从多辛算法提出以后，国内外许多学者（如 b r i d g e s 、r e i c h s 、秦孟兆、洪佳 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第一章 引言 2 林、尚在久等）在这一领域做了大量的研究工作，取得了丰硕的研究成果 8 - 1 3 . 辛算法在长时间稳定性方面具有独特的优越性，已被广泛地应用于许多微分方 程， 如波动方程、 s c h r ? d i n g e r 方程、 k d v 方程、 s i n e - g o r d o n 方程等 1 4 - 2 3 . 文 2 4 用多辛 f o u r i e r 拟谱方法离散梁振动方程， 文 2 5 用多辛 f o u r i e r 拟谱方法离散 s r l w 方程，均取得了较好的数值结果. 非线性 s c h r ? d i n g e r 方程在物理学（如非线性光学、等离子物理等）有着广泛的 应用. 最近二十年来，人们对此类方程有了不少的研究，在数值求解方面也提出了不 同的方法 2 6 - 2 9 ，文 3 0 讨论了广义非线性 s c h r ? d i n g e r方程组的有限差分解法， 文 3 1 考虑了带衰减项的非线性 s c h r ? d i n g e r 方程的数值解法. 本文讨论一类更广泛的带五次项的非线性 s c h r ? d i n g e r方程 ( 简称带五次项的 n l s 方程) utxfuuuuiu xxt ),()|(| 42 =+ 的初值问题. 张鲁明、常谦顺提出了此类方程的两个守恒差分格式 3 2 - 3 3 , 并证明了 格式的稳定性和收敛性，但用辛算法研究该方程的数值解在已有文献中尚未发现，本 文就考虑该方程的( 单) 辛格式、多辛 p r e i s s m a n 格式和多辛 f o u r i e r 拟谱格式. 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第二章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的辛算法 3 第二章 带五次项的非线性 s c h r ? d i n g e r方程的( 单) 辛算法 hamilton系统)( d d 1 zhj t z z = 的一个最本质的特征就是它具有辛结构，即由初 值),( 00 qp 到其解),(qp的变换的 j a c o b i 矩阵 ),( ),( 00 qp qp 为辛矩阵，也就是说有等式 j qp qp j qp qp = ),( ),( ),( ),( 0000 t 成立. 构造hamilton系统的数值方法应该尽可能地保持原 系统的结构特征，我们称此类方法为辛方法. 带五次项的非线性 s c h r ? d i n g e r 方程具有辛结构，本章我们就讨论它的辛格式. 2 . 1 n l s方程及其守恒律 考虑带五次项的非线性 s c h r ? d i n g e r 方程如下的初边值问题: 24 0 (| )( , ) ( ,0 ) (2.1) ( ,0)( ) (2.2) (, )( , )0 txx iuuuuuf x t ulxl t u xux ul tu l t += = = (2.3) 其中),(txu是复函数，),(txf是实函数，1 2 =i 定理 2 . 1 带五次项的非线性 s c h r ? d i n g e r 方程的初边值问题( 2 . 1 ) - ( 2 . 3 ) 满足电 荷守恒律： )0( d| )0 ,(| d| ),(|),(|)( 2 22 qxxuxtxutxutq l l l l = ( 2 . 4 ) 初边值问题( 2 . 1 ) - ( 2 . 3 ) 满足如下能量关系： =+ = tl l l l xu t xfexuu x u te 0 2 642 dd|),()0( d)| 3 1 | 2 1 |(|)( ( 2 . 5 ) 其中)(te称为某时刻的能量，)0(e为初始时刻的能量当0),(txf时，它满足能量守恒 律. 证明 ( 2 . 1 ) 式与 t u 作内积，并取实部得： 0),),()|(|re( 42 =+ txxt uutxfuuuuiu ( 2 . 6 ) 上式左边第一项为： 0d| red re),re( 2 = l l t l l tttt xuixuiuuiu ( 2 . 7 ) 左边第二项为： 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第二章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的辛算法 4 = l l xtx l l xt l l xt l l txxtxx xuuuuuuxuuuud re) re(d red re),re( = = l l x l l x xu t xu t d| 2 1 d|re 2 1 22 ( 2 . 8 ) 左边第三项为： + =+=+ l l l l tt xuu t xuuuuuuuud)| 6 1 | 4 1 (red)|(|re),)|re(| 644242 + = l l xuu t d)| 6 1 | 4 1 ( 64 ( 2 . 9 ) 左边第四项为： = l l l l tt xu t txfxuutxfuutxfd|),(re 2 1 d),(re),),(re( 2 = l l xu t txfd|),( 2 1 2 ( 2 . 1 0 ) 以上各项相加得： 0d|),( 2 1 d)| 6 1 | 4 1 (d| 2 1 2642 = + l l l l l l x xu t txfxuu t xu t ( 2 . 1 1 ) 整理得： =+ l l l l x xu t txfxuuu t d|),(d)| 3 1 | 2 1 |(| 2642 ( 2 . 1 2 ) 对( 2 . 1 2 ) 式两边从0到t积分，并令 += l l x xuuuted)| 3 1 | 2 1 |(|)( 642 得： = tl l xu t xfete 0 2 d d|),()0()( ( 2 . 1 3 ) 由此也可以看出，当0),(txf时，)0()(ete=，即满足能量守恒律. 证毕 2 . 2 n l s方程的 h a m i l t o n形式及辛格式 本节我们讨论带五次项的非线性 s c h r ? d i n g e r方程的 h a m i l t o n形式，同时构造 它的一族辛格式. 设),(),(),(txibtxatxu+=， 代入方程( 2 . 1 ) 并将虚部和实部分开, 可得如下的方程 组： += += (2.15) )1)( (2.14) )1)( 2222 2222 afababaab bfbbababa xxt xxt 令 =),(baz，则 z zh jz t )( d d 1 = ( 2 . 1 6 ) 其中 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第二章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的辛算法 5 = 01 10 1 jj ( 2 . 1 7 ) 其 h a m i l t o n 函数为： xbabafbabazh b a xx d )( 6 1 )( 4 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 3222222222 += ( 2 . 1 8 ) 用m2阶精度的中心差商算子： j m j j j h mb) 4 () 1()2( 2 1 0 + = + = ( 2 . 1 9 ) 逼近二阶微分算子 2 2 x b =，其中 ) 1()!12( 4) ! ( 2 + = jj j j j ， + ， 分别为向前、向后差 商算子. 经过计算可以得到 1 0 =， 3 1 1 =， 45 8 2 =，, 35 4 3 =，从而当3 , 2 , 1=m 时差商算子)2( mb对应的矩阵分别为： = 21 1 21 121 12 1 )2( 2 h b， = 30161 16 130161 1630161 1163016 11630 12 1 )4( 2 h b ， = 490270272 270 27490270272 2270490270272 27270490270272 22727049027027 227270490270 227270490 180 1 )6( 2 h b . 因为)2( mb是实对称正定矩阵，从而由线性代数知识，存在方阵 1 b，使得 2 1 )2(bmb=. 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第二章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的辛算法 6 令 t 21 ),( n aaaa=， t 21 ),( n bbbb=，用)2( mb逼近 2 2 x ，得到 h a m i l t o n 系 统( 2 . 1 6 ) 的空间精度为)( 2m ho的半离散格式： = b a m m b a n n t t 0 0 0 0 ( 2 . 2 0 ) 其中 21 )2(ddmbm=， + + = )1)( )1)( 2222 2 1 2 1 2 1 2 1 1 nnnn baba baba d = n f f f d 2 1 2 ， 由于矩阵)2( mb是对称矩阵， 所以半离散格式( 2 . 2 0 ) 是h a m i l t o n 系统， 其h a m i l t o n 函数为： )( 6 1 )( 4 1 )( )2( 2 1 )2( 2 1 )( 1 322 1 222 1 = += n j jj n j jjj n j jj babafbabmbbambazh. 令 t 21 ),( n ffff=，并对半离散格式( 2 . 2 0 ) 在时间方向进一步用 e u l e r中点格 式离散，从而得到辛积分： = + ) ( 1 1nn aa 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 ) () (1 ) () ( )2( + + nnnnnnnn bfbbababmb ( 2 . 2 1 ) = + ) ( 1 1nn bb 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 ) () (1 ) () ( )2( + + nnnnnnnn afababaamb ( 2 . 2 2 ) 因为 nnn biau +=， 故由( 2 . 2 1 ) 和( 2 . 2 2 ) 式可以得到： 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 )|1 (|)2()( + + += nnnnnn nn ufuuuumbuu i ( 2 . 2 3 ) 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第二章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的辛算法 7 ( 2 . 2 3 ) 式为逼近原方程的( 单) 辛格式 2 . 3 数值实验 这一节我们通过一些数值实验来考察辛格式的精度. 我们考虑带五次项的非线性 s c h r ? d i n g e r 方程( 2 . 1 ) - ( 2 . 3 ) 的一个具体算例，取 )2(4exp)2(2exp)2(4),( 222 txtxtxtxf=， ) exp()( 2 0 xixxu+=， 这时方程( 2 . 1 ) - ( 2 . 3 ) 有孤波解( 真解) :)3()2(exp)( 2 txitxtxu+=，. 设把空间,ll划分为n等分， n l h 2 =，则ihlxl+=，), 2 , 1 , 0(ni=. 为了 便于比较，我们取第一层的值为精确值. 取空间方向的计算区间为 1 5 , 1 5 ，这时 0 1515 = nn uu，并取1 . 0=h，001. 0=， 计算到1=t. 表 2 . 1列出了当2=m的数值 解和真解在几个时刻的最大误差、平方模误差, 并与文 3 3 的结果进行了比较. 表 2 . 1 本文格式( 2 . 2 3 ) 文 3 3 格式 n t 2 | n e | n e 2 | n e | n e 0 . 1 1 . 6 8 6 4 e - 4 0 . 0 0 3 5 1 . 0 0 0 e - 4 0 . 0 0 2 0 0 . 2 1 . 7 7 4 0 e - 4 0 . 0 0 3 9 2 . 0 0 0 e - 4 0 . 0 0 3 7 0 . 3 1 . 8 2 8 5 e - 4 0 . 0 0 4 0 4 . 0 0 0 e - 4 0 . 0 0 5 1 0 . 4 1 . 8 2 2 8 e - 4 0 . 0 0 4 0 5 . 0 0 0 e - 4 0 . 0 0 6 3 0 . 5 1 . 7 6 5 3 e - 4 0 . 0 0 3 7 6 . 0 0 0 e - 4 0 . 0 0 7 4 0 . 6 1 . 6 9 3 0 e - 4 0 . 0 0 3 4 7 . 0 0 0 e - 4 0 . 0 0 8 5 0 . 7 1 . 6 5 4 7 e - 4 0 . 0 0 3 0 8 . 0 0 0 e - 4 0 . 0 0 9 3 0 . 8 1 . 6 9 0 8 e - 4 0 . 0 0 3 6 8 . 0 0 0 e - 4 0 . 0 0 9 6 0 . 9 1 . 7 7 0 1 e - 4 0 . 0 0 4 0 9 . 0 0 0 e - 4 0 . 0 0 9 2 1 . 0 1 . 8 0 9 3 e - 4 0 . 0 0 4 0 8 . 0 0 0 e - 4 0 . 0 0 8 4 从表 2 . 1 中可以看出，用本文格式( 2 . 2 3 ) 计算出的结果与真解误差非常小， 按平方 模误差可达到 4 10，与我们的理论分析相一致，且误差值在每一层基本保持不变，而文 3 3 在计算过程中误差值有递增趋势. 表格数据表明了该格式具有长时间的稳定性. 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第二章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的辛算法 8 下面我们给出本文格式( 2 . 2 3 ) 数值模拟图，并给出了真解图做参照： 图 2 . 1 1 . 0 ,001. 0, 1=ht时| u的模拟图 图 2 . 2 1 . 0 ,001. 0, 1=ht时| u的真解图 从图2 . 1 和图2 . 2 可以看出，| u的模拟图基本上接近| u的真解图. 当x从坐标1 5 0 向两边延伸时， 0|u，且都在 1 0 0 2 0 0之间出现了孤立波峰，真解图的波峰值控 制在 0 1 之间，而模拟图在波峰位置略微大于 1 . 图 2 . 31 . 0 ,001. 0, 1=ht时u实部的模拟图 图 2 . 4 1 . 0 ,001. 0, 1=ht时u实部的真解图 x t x t x t t x 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第二章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的辛算法 9 图 2 . 51 . 0 ,001. 0, 1=ht时u虚部的模拟图 图 2 . 61 . 0 ,001. 0, 1=ht时u虚部的真解图 从图 2 . 3 图 2 . 6 可以看出，u实部的模拟图和u虚部的模拟图都非常接近真解图， 且计算到1=t( 即 1 0 0 0 步) 以后仍能保持原孤立波的波形不变. 图 2 . 7 |u在不同时刻的模拟图 图 2 . 8 |u在不同时刻的真解图 图 2 . 7 和图 2 . 8 分别为|u在1 , 5 . 0 , 0=t三个不同时刻的波形图，从这两个图中可 以更直观的看出孤立波随时间的变化传播的规律， 且模拟图中孤立波的传播大致符合真 解中孤立波的传播，从而验证了( 单) 辛格式( 2 . 2 3 ) 能很好的模拟原孤立波的波形，且能 长时间保持原孤立波的波形不变，即可以进行长时间的数值模拟. x x x t x t 1=t 5 . 0=t 0=t 0=t 5 . 0=t 1=t 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第三章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的多辛算法 10 第三章 带五次项的非线性 s c h r ? d i n g e r方程的多辛算法 常用的构造多辛格式的方法有g a u s s - l e g e n d r e r u n g e - k u t t a 方法、 有限元法、 r u n g e - k u t t a - f o u r i e r 拟谱方法、 有限体积法等， 其中 g a u s s - l e g e n d r e r u n g e - k u t t a 方 法是在时间方向和空间方向都用 r u n g e - k u t t a 方法离散， 而 r u n g e - k u t t a - f o u r i e r 拟谱 方法是在时间方向用 r u n g e - k u t t a 方法离散， 在空间方向用 f o u r i e r 拟谱方法离散. 本 章和下一章我们就分别用这两种方法对带五次项的非线性 s c h r ? d i n g e r方程进行离 散，从而构造出其相应的多辛格式. 3 . 1预备知识 一维空间变量的多辛方程组的一般形式为: ),(),(),(txzs x z txk t z txm z = + ( 3 . 1 ) 其中),(txm，),(txk均为nn)3(n的反对称矩阵，且0),(),(= = txk x txm t ， rrs n :是某一光滑函数， z 是关于n维变量z的梯度算子. 多辛方程组( 3 . 1 ) 的变分形式为: zzsdz x kz t m zz d)(dd= + ( 3 . 2 ) 其中)(zsdzz为)(zs关于z的二阶导数，它是一个对称矩阵. 多辛方程组( 3 . 1 ) 具有多辛守恒律: 0= + k x w t ( 3 . 3 ) 其中 zmzwdd 2 1 = ， zkzkdd 2 1 = ( 符号“”表示外积) . 多辛方程组( 3 . 1 ) 具有局部能量守恒律: 0)()(= + zf x ze t ( 3 . 4 ) 其中能量密度为: x kzzzsze = 2 1 )()(， 能量流为: 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第三章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的多辛算法 11 t kzzzf = 2 1 )(， 多辛方程组( 3 . 1 ) 具有局部动量守恒律: 0)()(= + zi x zg t ( 3 . 5 ) 其中动量密度为: t mzzzszi = 2 1 )()( 动量流为: x mzzzg = 2 1 )( 多辛方程组( 3 . 1 ) 在时间和空间方向都具有辛结构，对其构造数值方法的基本思想 是保持离散的辛守恒， 即离散格式满足离散的多辛守恒律. 换句话说， 多辛方程组( 3 . 1 ) 的离散格式: )( ,n jz n j nj x n j nj t zszkzm=+ ( 3 . 6 ) 应满足多辛守恒律( 3 . 3 ) 的离散形式: 0 , =+ n j nj x n j nj t kw ( 3 . 7 ) 其中 nj t , 和 nj x , 分别是对 t 和 x 的离散，其离散辛结构为: n j n j n j vmuw,=， n j n j n j vkuk,= 而 n j u和 n j v是( 3 . 6 ) 的变分方程 n j n jz n j nj x n j nj t zzszkzmd)(dd , =+ ( 3 . 8 ) 的任意两个解. 定义 3 . 1 如果数值格式( 3 . 6 ) 满足离散的多辛守恒律( 3 . 7 ) ，那么称它为多辛格式. 3 . 2 n l s方程的多辛方程组及其守恒律 再次考虑如下带五次项的非线性 s c h r ? d i n g e r 方程: utxfuuuuiu xxt ),()|(| 42 =+ ( 3 . 9 ) 令),(),(),(txibtxatxu+=( 其中),(txa、),(txb均为实函数) , 代入方程( 3 . 9 ) 式，并将虚 部和实部分开, 可得如下的方程组： +=+ +=+ afababaab bfbbababa xxt xxt )1)( )1)( 2222 2222 ( 3 . 1 0 ) 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第三章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的多辛算法 12 引入正则动量qbpa xx = ,，代入( 3 . 1 0 ) 式可得多辛方程组： = = +=+ += qb pa afababapb bfbbabaqa x x xt xt )1)( )1)( 2222 2222 ( 3 . 1 1 ) 令 =),(qpbaz， = 0000 0000 0001 0010 m ， = 0010 0001 1000 0100 k 则( 3 . 1 1 ) 式为 )(zskzmz zxt =+ ( 3 . 1 2 ) 其中 h a m i l t o n 函数为 )( 2 1 )()( 6 1 )( 4 1 )( 22322222 qpfbababazs+= ( 3 . 1 3 ) 多辛方程组( 3 . 1 2 ) 相应的多辛守恒律为: 0)dddd()dd(= + qbpa x ba t ( 3 . 1 4 ) 局部能量守恒律为： 0)( 2 1 2 1 2 1 )()( 6 1 )( 4 1 322222 =+ + tttt xx pabqqbap x bqapfbababa t ( 3 . 1 5 ) 局部动量守恒律为： 0)( 2 1 )( 2 1 )()( 6 1 )( 4 1 ) 2 1 2 1 ( 22322222 =+ + + tt baab qpfbababa x bpaq t ( 3 . 1 6 ) 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第三章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的多辛算法 13 3 . 3 n l s方程的多辛 p r e i s s m a n格式 把非线性 s c h r ? d i n g e r 方程( 3 . 9 ) 的多方程组( 3 . 1 1 ) 改写为： += = += += qb pa afababapb bfbbabaqa x x xt xt 0 0 )1)( )1)( 2222 2222 ( 3 . 1 7 ) 在时间方向用系数为 nm c， n g ，snmvn, 2, 1,=的s级隐式 r u n g e - k u t t a 方法离散 上式, 可得半离散格式： )()(1 )()( 2222 1 0mmmmmmmm x s m nm n bfbbabaqcaa+= = ( 3 . 1 8 ) )()(1 )()( 2222 1 0mmmmmmmm x s m nm n afababapcbb+= = ( 3 . 1 9 ) )()(1 )()( 2222 1 01nnnnnnnn x s n n bfbbabaqgaa+= = ( 3 . 2 0 ) )()(1 )()( 2222 1 01nnnnnnnn x s n n afababapgbb+= = ( 3 . 2 1 ) 其中 ),( , ),( nn vxbbvxaa=， n s m mn vc= =1 ，sn, 3 , 2, 1=. 半离散格式( 3 . 1 8 ) ( 3 . 2 1 ) 的微分形式为： mmmmmmmm x s m nm n bbabbaaqcaa+= = )(2)( 21 )d2d2(ddd 22 1 0 ddd)()(1 )()( 2222mmmmmmmmm fbbfbbaba+ ( 3 . 2 2 ) mmmmmmmm x s m nm n ababbaapcbb+= = )(2)(21 )d2d2(ddd 22 1 0 ddd)()(1 )()( 2222mmmmmmmmm faafababa+ ( 3 . 2 3 ) nnnnnnnn x s n n bbabbaaqgaa+= = )(2)(21 )d2d2(ddd 22 1 01 ddd)()(1 )()( 2222nnnnnnnnn fbbfbbaba+ ( 3 . 2 4 ) 华侨大学 2 0 0 6 级基础数学硕士毕业论文 第三章 带五次项的非线性 schrdinger 方程的多辛算法 14 nnnnnnnn x s n n ababbaapgbb+= = )(2)(21 )d2d2(ddd 22 1 01 ddd)()(1 )()( 2222nnnnnnnnn faafababa+ ( 3 . 2 5 ) 由半离散格式的微分形式( 3 . 2 2 ) ( 3 . 2 5 ) 可得： ddd)()(1 )()( )(2)(21 )d2d2(dd ddd)()(1 )()( )(2)(21 )d2d2(dd dd 2222 22 1 0 2222 22 1 0 11 mmmmmmmmm mmmmmmmm x s m nm nnnnnnnnn nnnnnnnn x s n n faafababa ababbaapcb fbbfbbaba bbabbaaqga ba + + + += = = + + + += = = ddd)()(1 )()( )(2)(21 )d2d2(dd dddd)()(1 )()( )(2)(21 )d2d2(ddd 2222 22 1 0 0 2222 22 1 00 mmmmmmmmm mmmmmmmm x s m nm nnnnnnnnn nnnnnnnn x s n n faafababa ababbaapca bfbbfbbaba bbabbaaqgba mmmmmmmm x s m nm nnnnnnnnn nnnnnnnn x s n n ababbaapc