（基础数学专业论文）弱hopf代数中若干问题的研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 弱h o p f 代数中若干问题的研究 摘要 本硕士论文从以下四个方面对弱h o p f 代数做进一步的研究 第一部分我们研究了弱h o p f 代数在代数上的作用理论，不仅证明了s m a s h 积a # 日中存在与a 日代数同构的子代数，而且揭示了s m a s h 积a g h 的结构 影响a 和a 目的关系 第二部分我们讨论了双积成为弱h o p f 代数的条件，给出了一个使双积成 为弱h o p f 代数的充分条件 第三部分在弱h o p f 代数中，我们讨论了e n 血( h ) 的迹函数，并借助非退 化积分刻画迹函数表达式 第四部分假设日是域k 上有限维弱h o p f 代数，b 是弱日一余模代数 我们研究一个m a s c h k e 问题，即b 线性分裂的( 日，b ) 一h o p f 模正合列在什么 时候是( 日，b ) 线性分裂的 关键词 弱h o p f 代数；s m a s h 积；迹函数； 双积 曲阜师范大学硕士学位论文 r e s e a r c ho ns e v e r a lq u e s t i o n si nw e a kh o p fa l g e b r a s a b s t r a c t t h ea i mo ft h i sd i s s e r t a t i o ni st of u r t h e rs t u d yw e a kh o p fa l g e b r af r o m f i v ea s p e c t sa sf o l l o w s i np a r to n e ，w ed i s c u s st h et h e o r yo ft h ea c t i o n so fw e a kh o p fa l g e b r a s o na l g e b r a s ，a n dn o to n l yp r o v et h a tt h e r ee x i s t sas u b a l g e g r ao fa g hw h i c hi s i s o m o r p h i ct oa 坷，b u ta l s or e v e a lt h a tt h ec o n s t r u c t u r eo fa # 日i n f l u e n c et h e r e l a t i o n sb e t w e e naa n da t h i np a r tt w o ，w ed i s c u s st h ec o n d i t i o n sf o rb i p r o d u c tt ob ea nw e a kh o p f a l g e b r a ，a n dg i v ea s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rb i p r o d u c tt ob eaw e a kh o p f a l g e b r a i np a r tt h r e e ，w es t u d yt h et r a c ef u n c t i o no fe n 以( 日) i nw e a ka l g e - b r a s ，a n dc h a r a c t e r i z et h ee x p r e s s i o ni nt e r m so fn o n - d e g e n e r a t e di n t e g r a l i np a r tf o u r ，l e thb eaw e a kh o p fa l g e b r a so v e raf i e l dka n dba na - c o m o d u l ea l g e b r a w ec o n s i d e ro n em a s c h k eq u e s t i o n ：f i r s t ，f o ra ne x a c ts e q u e n c e o f ( 露，b ) - h o p fm o d u l e sw h i c hs p l i t sbl i n e a r l y , w h e nd o e si ts p l i t ( h ，b ) l i n e a r l y ? k e y w o r d s w e a kh o p fa l g e b r a s ；s m a s hp r o d u c t ；t r a c ef u n c t i o n ；b i p r o d u c t n 符号说明 本文所用符号，除文中特殊说明外，均按如下规定， 1 日表示弱h o p f 代数； 2 “仉a ，为日的乘法，单位，余乘法和余单位； 3 s 为日的对积； 4 自，厶表示目标( t a r g e t ) 映射和源( s o u r c e ) 映射； 5 日表示日的对偶空间； 6 a # 日，a e h 为s m a s h 积和s m a s h 余积； 第一章绪论 h o p f 代数概念是上世纪4 0 年代初，由代数拓扑学家h h o p f 在研 究流形时所做工作的基础上抽象发展起来的，自从j w m i l n o r 和j c m o o r e 撰写的题为。o nt h es t r u c t u r eo fh o p fa l g e b r a s ”的文章于1 9 6 5 年发表后， h o p f 代数开始作为代数的一个分支逐渐被人们重视和研究特别是从上世纪 8 0 年代中期至9 0 年代初，由于量子群( 数学物理中产生的h o p f 代数) 的兴起 和h o p f 代数作用理论的发展( 它统一了以前独立研究的群作用，李代数作用 以及分次代数的作用理论) ，h o p f 代数的研究又注入了新的活力，并取得了重 大的进展后来出现了许多h o p f 代数的其他形式，如v g d r i n f e l d 引进的拟 h o p f 代数，g b s h m 等人引进的弱h o p f 代数以及v g t u r a e v 引进的h o p f 群余代数等 g b o h m ，f n i l l ，和k s z l a c h d n y i 1 l 引入弱h o p f 代数的概念，推广了平常 的h o p f 代数简单的说，弱h o p f 代数是一个域k 上向量空间，具有与h o p f 代数相同的定义准则，但弱化了h o p f 代数中的余乘法，余单位以及对积准则 弱h o p f 代数的例子有群代数，面代数，量子群以及广义k a c 代数【2 ，3 1 g b o h m ，f n f l l ，和k s z l a c h d n y i 1 】从代数的角度研究了弱h o p f 代数， 建立了一般的弱h o p f 代数理论，它的应用可以在文1 2 ，4 1 中找到许多经典的 h o p f 代数结果可以推广到弱h o p f 代数，例如。d n i k s h y c h 5 】给出了弱模代 数的对偶定理；l y z h a n g 和s l z h u 5 】给出了弱d o i h o p f 模的基本定理， 推广了文f l 】中的弱h o p f 模基本定理及文1 4 】中的相关h o p f 模基本定理； v o s t n k 6 1 证明了每个具有限个单对象的半单严格的m o n o i d a l 范畴等价于某 个半单弱h o p f 代数的表示范畴r e s ( h ) d n i k s h y c h z l 发展了半单弱h o p f 代 数理论，获得了大量类似于平常的半单h o p f 代数的结论目前，弱h o p f 代数出 现在数学中不同领域，包括代数，泛函分析以及表示理论【8 ，9 ，1 0 ，1 1 1 弱h o p f 代 数的研究成为当今学术的热点，近年来，更为广泛的代数系统弱霍h 夫代数， 上环( c o - r i n g ) 理论等已引起代数学者的关注，弱霍卜夫代数与f r o b e n i u s 代数、冯诺曼代数的子因子等理论有着密切联系并在低维量子场理论算子代 1 第一章绪论 数、辛几何等领域有着很好的应用g b 6 h m ，d n i k s h y c h ，k s z l a c h d n y i 等对 弱霍卜夫代数理论做了较深入的研究本硕士论文在原来已有成果的基础上进 行研究，得到一些结论 2 第二章预备知识 这一章，我们主要介绍弱h o p f 代数中一些基本概念以及重要的结论 2 1 弱h o p f 代数的定义和主要结论 定义2 1 1 设h = ( h ，p ，7 ，) 是域七上的结合代数和余代数，称日 是弱双代数，若日满足下条件： ( 1 )a ( z y ) = a ( x ) ( 妒) 坛，y h ( 2 )2 ( 1 ) = ( a ( 1 ) o1 ) ( 1o ( 1 ) ，2 ( 1 ) = ( 1o ( 1 ) ) ( ( 1 ) o1 ) 其中2 = ( o i ) 0 ( 3 ) e ( z y z ) = e ( x y l ) e ( y 2 z ) d z y z ) = e ( x y 2 ) e ( y l z ) 比，y ，2eh 若存在s e n d ( h ) ，满足下列条件： ( 4 ) ( z ) z l s c z 2 ) = e ( 1 l x ) 1 2 ，( 2 z ) s ( z 1 ) z 2 = lx e ( x 1 2 ) ( ) s ( 。1 ) z 2 s ( z 3 ) = s ( z )其中a ( 1 ) = 1 1o 1 2 称日具有弱对极s 的弱h o p f 代数 注记t 设目是弱h o p f 代数，下列条件是等价的t ( 1 ) h 是h o p f 代数 ( 2 ) a ( i ) = 1 0 1 ( 3 ) ( z 掣) = e ( 茁) e ( 可) ，v z ，g 日 ( 4 ) e ( 1 l x ) 1 2 = 1 1 ( x 1 2 ) = e ( z ) ，比 定义2 1 2 设日是弱h o p f 代数令岛：h 日，岛：h 日 ( z ) = e ( 1 - z ) 1 ：，岛( 卫) = 1 e ( z l z ) 称白，岛是日的目标( t a r g e t ) 映射和源( s o u r c e ) 映射，记凰，玩分别为 缸，岛的像 第二章预备知识 任何有限维弱h o p f 代数日，它的对偶空间日也是弱h o p f 代数，结构映 射豇，氟，厶，s 定义如下t = = 6 ( x ) = = 其中，g h 和z ，y h 设日是弱h o p f 代数，在文【1 】1 中，下列结果成立； ( 1 ) a ( 1 ) = 1 1 0 1 2 h s o 凰，比h e ，v y 风，x y = y x ( 2 ) e t0 2 矗，岛0 岛= 岛 ( 3 ) h t ，王l 是日子代数 ( 4 ) v z 凰，v y h o ( z ) = l l z 。1 2 ，( 掣) = 1 l 。y 1 2 ( 5 ) v h h h l 。岛( 圯) = h 1 1 。s ( 1 2 ) ，自( 1 ) 。h 2 = l s ( 1 1 ) 。1 2 h ( 6 ) v h h 1 。t ( _ 1 1 2 ) = l l h 1 2 ，“( 。h 2 = 1 1 。 1 2 ( 7 ) v h h s ( 岛( ，1 1 ) ) h 2 = 1 l 。1 2 ，l 若日的对极可逆，我们有 岛( _ 1 1 1 ) 。h 2 = s 。1 ( 1 1 ) 。1 2 h 2 曲阜师范大学硕士学位论文 令h = 1 ，得 ( s ) v h h e 。( 1 ) 。1 2 = s 一( 1 1 ) 。1 2 如( 1 ) 。h 2 = s ( 1 1 ) 。1 2 h 2 2 弱h o p f 代数的积分 定义2 2 1 设日是弱h o p f 代数，称r h 是日的左( 右) 积分，若 v h h 满足下列条件： h r = ( 九) r ( r = r 。( ) ) 设r h 是一个左积分，称r 是一个非退化的左积分，如果由它可以在 日上定义一个非退化函数 定义2 2 2 称9 h 是类群元，如果g 满足以下条件t ( 1 ) 9 是可逆的 ( 2 ) ( 9 ) = ( 9 0 9 ) ( 1 ) ，( 9 ) = ( 1 ) 0o g ) 日的所有的类群元构成一个群，记为g ( h ) ，相应地，日的所有的类 拜元构成一个群，记为g ( h ) v g g ( 日) ，则 ( 9 ) = e 。( 9 ) = 1 ，s ( g ) = g 一1 是类群元 p e t e rv e c s e r n y e s 1 2 】证明了任何有限维弱h o p f 代数，都存在一个非退化 左积分z h ，进而推出存在一个非退化左积分a h ，满足 a z = 1 z a = e 3 第二章预备知识 称( f a ) 为一个左积分对偶对记a 上- z = o 和f 上_ a = g ，那么口，9 是可逆 的，称它们是显著类群元，进而它们有如下关系t s ( z ) = 口一f ，s + ( a ) = g a 4 第三章有限维弱h o p f 代数的作用与s m a s h 积 代数上的作用和余作用理论是h o p f 代数理论中重要的一部分。它统一 了群，分次环和李代数等作用理论这些理论已经被推广到弱h o p f 代数中 d ，n i k s h y c h 4 研究了模代数本幸，我们继续研究弱h o p f 代数作用的性质 3 1 弱模代数与弱s m a s h 积 定义3 1 1 设日是弱h o p 代数，a 是k 代数，称a 是弱左日模 代数，若满足下列条件z ( t ) a 是左露一模 ( z z ) h ( 口6 ) = ( h i d ) ( h 2 6 ) ，v h 皿v a ，b a ( n z ) h 1 a = 缸( ，1 ) 1 a ，v h h 定义3 1 2 设日是弱h o p f 代数，k 代数a 是弱左日模代数，a 与 日的s m a s h 积刖日定义如下t ( 1 ) k - 向量空间a o 肌h ，其中日的自身的乘法使日成为左凰一模，由 n z = s ( x ) 口= n ( z 1 a ) ( v a a ，v z h ) 使a 成为右凰模 ( 2 ) 乘法， ( 口# l i ) ( ) = d ( h l 6 ) 溉 v a ，b a ，v h ，g h ，易知a g h 是结合代数，其单位是1 a i h ，记口陋为d 命题3 1 1 设日是弱h o p 代数，a 是弱左日一模代数，则下面结论成 立； ( 1 ) ( 1 s h ) ( 1 f i g ) = l l h g ( 2 ) ( a # 1 ) ( b l l l ) = a b t s ( 3 ) ( o # 1 ) ( 1 # ，1 ) = 口# y a ，6 a ，y h ，9 日 5 第三章有限维弱h o p f 代数的作用与s m a s h 积 定义3 1 3 设a 是弱左日一模代数，a 在目的不变量 a 冉= 口a ：h a = t d ，v h h 3 2 迹函数与仿射不变性 一这一节，我们弓 入了迹函数韵概念，并讨论了它的基本性质，推广了h o p f 代数中与此相关的结果 引理3 2 1 设a 是弱左h - 模代数，0 t 矗则映射f ：a - + a 反n ) = t ，口 是a 一双模映射，且( o ) ea h 证明设c a 甘 i ( a c ) = t ( a c ) = ( 小口) ( 分c ) = ( t l - 口) ( “( 如) c ) = ( 1 - tr 。) ( 1 2 c ) = ( t 口) c t ( 嘲= t - ( 咖 = ( t 1 c ) ( 妒n ) = ( 白( t - ) c ) ( z 2 口) = ( s 。( 1 1 ) - c ) ( 1 2 t = e ( e t ( 1 1 ) c ) ( 1 2 t 口) = ( 1 l c ) ( a 2 t 口) = c “ 6 曲阜师范大学硕士学位论文 h ( t d ) = h t 口 = 白( ) t a = 向( _ 1 ) ( t 8 ) ，v h 日 定义3 2 1 称f ：a _ + a 为h 在a 上的左积函数 引理3 2 2 设a 是弱左日模代数，0 t 矗那么v h h ，v a a 证明 【l # 卅【a l l l ) ( 1 t t ) ( h l n ( 1 # t ) ( h i o ) ( 1 ) 8 h 3 t e ( h l o ) ( 龟( b ) 1 ) 口h a t ( h i o ) 吨( 2 ) l h a t ( h i o ) 慨( h 2 ) h 3 t ( - - o ) # z t e ( h - o ) # t ( h 2 ) t ( 1 l ，l a ) # 1 2 t ( h o ) t 定理3 2 1 设日是有限维弱h o p f 代数，假设：a - + a 日是满的，那么 存在非零的幂等元e a t l h ，满足 代数同构 e ( a l l h ) e = a h e 笺a 耳 7 第三章有限维弱h o p f 代数的作用与s m a s h 积 证明易知1 a 日，因为f 是满的。所以存在c a ，满足 ( c ) = 1 = t c 令e = t c e 2 = t c t c = ( t c ) t c = t c = e v ae a ，v h h e ( a h ) e = t c a h t c = t h 2 s “( 1 ) c a ) t c v s h s ( t h = s - 1 ( 1 ) c a ) =s t ( h 2 s - 1 ( 1 ) ) e t ( s ) ( t s - 1 ( 1 ) ) 即 t h 2 s 一1 ( 1 ) c n a 日 所以 e ( a h ) e a 日e v a a 因为 t ( ) = ( t - c ) ( 分口) = ( t - c ) ( 鼠( t 2 ) n ) = ( 1 l t tc ) ( 1 2 n ) = ( t - c ) 8 = 口 所以 口e = a r c = t c a t c = e o e 即 a 日e ( a l | h ) e 8 曲阜师范大学硕士学位论文 得 由于 a 月= e ( a # h ) e ( a e ) ( b e ) = a t c l r t c = a ( t ( c 6 ) ) t c = a b t c = a b e 所以a e 竺a 定义3 2 2 称k 一代数a 是仿射的，若代数a 是有限生成的 引理3 2 3 设s 是舡代数，e 0 是s 幂等元，如果s 是k 仿射的和 左n o e t h e m a n ，则e s e 是仿射的 定理3 2 2 设a 是k - 仿射代数和左n o e t h e m a n 环，日是有限维弱h o p f 代数，若a 是弱左的日模代数，满足f ：a - a 是满的，那么a 目是b 仿射的， 证明由定理3 2 1 ，存在 e 2 = e a b 日 因为a # 日是有限生成的左a - 模由a 是左n o e t h e m a n 。得a $ h 是左 n o e t h e m a n ，由a 1 日是有限生成，得以# 昱是k - 仿射代数，由引理3 2 3 。 得e ( a # h ) e 是k 一仿射的，由定理3 2 1 ，得4 日是舡仿射的 3 3s m a s h 积中的理想与不变量上的模 这一节，我们主要讨论a $ h 的结构对a 和a 日关系的影响 引理3 3 1 设日是有限维弱h o p f 代数，且对积s 是可逆的， 是弱 左嚣模代数，0 t 矗且满足s ( o = t ，则 9 第三章有限维弱h o p f 代数的作用与s m a s h 积 ( 1 ) a h = 如( s ( h i 口) ( 2 ) 1 3 t a h = t ( s - 1 ( ) 1 2 , ) ( 3 ) ( ) = a t a 是a # 目的理想 证明 h 2 s _ ( ) ( 1 n 2 ) ( s 一1 ( f 1 1 ) o # 1 ) h 2 s q ( 1 ) 口# 3 s 一1 ( 白( o # 2 1 l n # 1 2 h = n h ( 2 ) 由( 1 ) ，( 2 ) ，易验证 引理3 3 2 设剧目是半索的，0 t 矗且满足s ( t ) = t ，下面结论 成立 ( 1 ) 如果a a 日是a 中的正则元，那么a 也是a 中的正则元 ( 2 ) 如果j 是a 的任意日稳定和日一本质的理想，则j r n a h 是a 日的 本质理想 ( 3 ) 如果a 是g o l d z e 环，则a 日也是g o l d i e 环 证明类似于【1 4 】 定理3 3 1 令( t ) = a t a ，如果刎日的任何非零理想p ，满足p n a o ，( 1 ) 0 , 0 t 矗且满足s ( t ) = t 则 ( d v a ( t ) n a 存在 6 l ， c 1 ) a 满足v d a n a d = 6 l f ( c i d ) ( 2 ) 如果( t ) = 圳日，那么a 是有限生成的a 日一右模 ( 3 ) 如果i = ( t ) na 包含一个a 中的正则元，那么a 是一个有限自由 a f 模的右a 日- 子模 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 4 ) i = ( t ) n a 是a 的日稳定和日本质理想，且，n a h 是a h 的本 质理想 证明( 1 ) 存在6 t ，c l a ，使 口= b 旭a t a i = l v d a a d = b 。t c , d = b ，t l ( 岛d ) # t 2 用z d oe 作用在上式得两端得 e ( 1 ) a d = b , tr ( c i d ) 口d = 丽1 ) 善啦( 删 ( 2 ) 令a = 1 ，即证 ( 3 ) 设a 是i 中的正则元，存在6 l ，c l a ，使 口= b t t c , a t a 定义 西：a - a t o “- = l a d 卜+ ( 心d ) ) 。 如果( d ) = 0 ，因为 蚓矗，争删 1 1 第三章有限维弱h o p f 代数的作用与s m a s h 积 所以a d = 0 ，由n 是正则的。得，即妒是早的 ( 4 ) v a ，v h h ( 1 l h l ) ( a 1 1 ) ( 1 l s ( h 2 ) ) = e ( h l a # h 2 ) ( a l s ( h 3 ) ) = ( h i o ) ( ，1 2 1 ) l f h a s ( h a ) = ( 1 1 o ) 自( 恸# 3 s ( 乜) = ( l 口) 蛾( h 2 ) h a s ( h 4 ) = ( h i n ) # z s ( 3 ) = ( h i 口) 州，1 2 ) = ( 1 l h 口) # 1 2 = h n 即 h o = h l o s ( 2 ) ( t ) n a = i 所以i = ( t ) n a 是以的日一稳定理想，令，是j 4 的任意日稳定理想，设 w = 以a ，因为 a 日w = a h 3 t a = a ( h j ) t a = a j t a j t a 所以是a # 日的理想，有条件知w n a 0 ，易知n a ，v a w n a ，由( 1 ) 证明知，存在6 l 正c i a ，满足v d a n 矗= 坟( g 矗) ， 。 s = l 得( w n a ) a j ni 。因为a 是m 半素的，所以( w n a ) a 0 ，即 j n i 0 ，得，= ( t ) n a 是日本质理想，由引理3 3 2 ，得i n a 日是a 口的 本质理想 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 推论3 3 1 如果a # 日是单环，那么a 是有限生成的a 日- 右模 证明因为a # 日是单环，所以a 1 日只有平凡理想，那么( t ) = 州日， 由命题1 1 可得a 是有限生成的a 日一右模 引理3 3 3 设兄是个环，s 是r 的子环，且s 半索的，r ：1 0 s ， 则r 是g o l d z e 环 定理3 3 2 假设j 4 # 日是半索的。w 是a g h 非零理想，且，n a 0 ，f ： a _ a 月是满的，那么 ( 1 ) a 月是g o l d , e 环骨a 是g o l & e 环 ( 2 ) 如果a 日是a r t m 或n o e t h e r m n ，那么a 也是a r t i n 或n o e t h e r m n 证明( 1 ) ( ) n a h 若a a n a = 0 ，由 a t a a t = a ( t a a ) t = d ( a a ) t = d ( a ) a t = a a n a t 令i = a a t 所以v b a ，v h h b a = ( _ 1 1 6 ) ( 2 o )、 = ( _ 1 1 6 ) ( c t ( ) 口) = z ( 1 , h b ) ( 1 2 n 1 a h l = a h a n 主 = a c h a a ) t = a ( h a ) a t i 即j 是a # 日的理想。由a # 日是半素的，得a t = 0 ，即8 = 0 ，即以日是半 素的，如果a 野是g o l d m 环，那么每个a 抒的本质理想都包含个正则元， 1 3 第三章有限维弱h o p f 代数的作用与s m a s h 积 则，n a 抒包含一个正则元9 ，由引理3 3 2 ，得g 是a 的正则元。由引理 3 3 3 ，得a 是g o l d o e 环 ( 仁) 由引理3 3 2 易证 ( 2 ) 如果a 甘是n o e t h e r i a n 环，则a h 是g o l d z e 环，由( 1 ) 知，a 是 g o l d i e 环。类似证另一种情况 1 4 第四章迹函数与弱h o p f 代数 d e r a d f o r d 1 5 】在h o p f 代数中讨论了迹函数，类似地。本章的主要工作 就是在弱h o p f 代数中讨论迹函数 4 1 预备知识 设日是域k 上的有限维弱h o p f 代数，日自身的乘法使日是一双 模。日+ 通过转置作用使日是日一双模，描述如下；v a ，b h ，v p h + 口一p ( b ) = p ( b a ) ，p a ( b ) = p ( a b ) 设a h ，p h 定义r ( n ) ，r ( p ) e n d k ( 日) 如下： r ( o ) ( 6 ) = b a ，r 扫) ( 6 ) = b 上- p ，( v beh ) 设( f ，a ) 是左积分对偶对，定义线性同构 f l ：h 一+ h 屯( 妒) = 西一z f r ：h + h l 丑( ) = f 山一毋 h ：h - 4 h 扎( ) = h 一1 h ：h - 4 h a r ( 1 1 ) = a 一h 第四章迹函数与弱h o p f 代数 定理4 1 1 t 1 6 】设日是有限维弱日印，代数，( 1 ，a ) 是左积分对偶对， 口g ( h ) ，9 g ( h ) 是对应于( f ，柚的类群元。v h 日下列关系式成立 ( 1 ) l l o a 冗( 丸) = s ( h ) ( 2 ) l l0a l ( h ) = s _ 1 ( 口一h ) ( 3 ) l a0a r ( h ) = s - 1 ( g h ) ( 4 ) f 冗0 a l ( h ) = s ( ( 。一n ) g 一1 ) 4 2 迹函数的刻画 定理4 2 ：1 设日是域k 上的有限维弱h o p 代数，z 日是非退化的左 积分，且( 1 ，a ) 是左积分对偶对，则 t r ( i ) = a ( ，( s 一1 ( f 1 ) ) f 2 ) = a ( s 一1 。q 1 ) t 2 ) i v ，e n d k ( h ) 证明v 多日+ ，v a ，b 日令o a ) b = p ( b ) a ，通过这个关系式视h 。o 日 与e n d i ( h ) 一样，v f e n d k ( ) 存在p h ，a 日使，= p 圆b 。易知 t r ( f ) = p ( a ) 有定理4 1 ，1 知 s ( a ) = a l ( a ) a 2 ( t 2 ) l l = ( a ，a 1 2 ) l , 碍 口= ( a ，a 1 2 ) s 以( ? 1 ) 所以 t r ( ) = p ( o ) = p ( s _ 1 ( f 1 ) ( a ，a t 2 ) ) = ( a ，p ( s 一1 ( f 1 ) ) o f 2 ) = ( a ，f ( s 1 ( f 1 ) ) f 2 ) 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 引理4 2 1 设日是有限维弱h o p f 代数，下列关系式成立 ( 1 ) s 0 r ( 叩) = f ( 叩一1 ) o 最s o f ( 叩) = r ( 田一1 ) o s ( 2 ) s or ( 孽) = l ( g 一1 ) o s ，so i c g ) = r ( 9 1 ) o s 定理4 2 2 设日是有限维弱h o p 代数，( f a ) 是左积分对偶对，则 f r ( r ( s ( n ) ) os 2or ( p ) ) ：= ( a ，n e 。( f 上- p ) ) 证明易证 ， ( f p ) = ( f 1 一p ) 固1 2 由 打( r ( s ( n ) ) os 2or ( p ) ) = ( a ，a s ( 1 l p ) 1 2 ) = ( a ，a s ( ( t 上- p ) 1 ) “一p ) 2 ) = ( a ，篮。( f 上- p ) ) 推论4 2 1 f r ( r ( o ) o5 。or ( p ) ) = ( a ，s 一1 ( n ) e 。( f - p ) ) 推论4 2 2 t r ( s 2 ) = ( a ，“( f ) ) 证明令口= 1 ，p = ，得证 推论4 2 3 设h 是有限维弱h o p 代数，( z ，a ) 是左积分对偶对，令 ( n ) = t r ( r ( s ( a ) ) os 2 ) 如果白0 s 一1 = 旬，则是左积分 证明令p = 一( n ) = t r ( r ( s ( a ) ) os 2 ) = ( a ，昕。( f ) ) 1 7 第四章迹函数与弱h o p f 代数 v h h ( 。d o ) ( h ) = h i a ( ，1 2 ) = 1 ( a ，h 2 e 。( 2 ) ) = s - 1 ( 1 1 ) ( a ，h 1 2 e 。( f ) ) = s 1 ( 。( 1 ) ( a ，h 2 e 。( z ) ) ) = e ( j s - 1 ( 1 ) ) ( a ，h 2 e ，( z ) ) = t ( 1 ) ( a ，h 2 e 。( f ) ) = ( l 固) ( h ) 即a 是左积分 定理4 2 3 设日是有限维弱h o p f 代数，f h 是非退化左积分，且 ( f ，a ) 是左积分对偶对，o c ( h ) ，g g ( h ) 是对应于( f ，a ) 的类群元，则 ( 1 ) 打( ，0s ) = ( a ，州1 ) j 2 ) ( 2 ) t r ( f0s 20l ( q - 1 ) ) = ( a ，i ( t 2 ) s - 1 ( f 1 ) ) 证明 所以 t r ( yo s 2oz ( n - 1 ) ) = t r ( ，0r ( a ) 0 s ) = ( a ，( f l 上- a ) 1 2 ) = ( a ，f ( z 上- a ) ac l 上_ 乜) 2 ) = ( a ，( s - 1 ( z ) - ) ( s - 1 ( f ) ：) ) = ( a ，f ( s - 1 ( 1 2 ) ) ( s - 1 ( 2 1 ) ) ) t r ( o 铲oz ( q 1 ) ) = ( a ，f ( 1 2 ) s - 1 ( f 1 ) ) 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 引理4 2 1 设日是有限维弱h o p 代数，则坳日，v a h r o ) 。r ( 8 ) = r ( 8 2 ) 。r 缸l p ) 定理4 2 4 设日是有限维弱h o p 代数，( a ) 是左积分对偶对，n g ( h ) ，g g ( 日) 是对应于( z ，a ) 的类群元，则 ( 1 ) ( a a b ) = ( a ，b s ( s ( a ) 一o ) ) ( 2 ) a 1oa 2 = ( a ( a 20 j s ) ) o s oa l 证明( 1 ) s 2 是代数同态，v a h 坳h + ，v a ，b h s 2or ( a ) = r ( s 2 ( n ) ) o s 2 t r ( r ( a b ) o s 2or ( p ) ) = 打( r ( o s 2 or 加) o r ( b ) ) = 打( r ( 口) o s 2o r 慨) or ( 6 l p ) ) = 打( r ( 口) o s 2o r ( s 2 ( 6 2 ) ) o 铲or c b l p ) ) = t r ( r ( s 2 ( b 2 a ) ) o s 2or ( b l p ) ) ( a ，s 一1 ( 口6 ) ) = t r ( r ( a b ) os 2or ( a ) ) = 打( r ( s 2 ( b 2 a ) ) o s 2 0r ( b l a ) ) = ( a ，s - 1 ( s 2 ( 6 2 n ) 岛ut 一( b l a ) ) ) ) = ( a ，s - 1 ( b ) ( s 池) 岛( f 上_ ( b - 一a ) ) ) ) =协，s 一1 ( o ) ( s ( 6 2 ) 岛( 如( a ，f 1 6 1 ) ) ) ) 1 9 第四章迹函数与弱h o p f 代数 v h h 由此式可得 所以 ( a ，l l h ) 1 2 = ( 夕- 1 一s ( a ) ，1 2 h ) z 2 = ( s ( a ) ，la h g “) 1 2 = ( s ( a ) ，f 1 9 一1 ) s ( 2 9 一1 ) = ( a ，l h l ) s ( h 2 9 _ ) = ( o ，t h l ) s ( h 2 9 - 1 ) = s ( 上n ) 9 - 1 ) ( a ，s “( 神( s 池) 岛( 1 2 ( a ，l i b l ) ) = ( a ，s - 1 ( 口) ( s ( k ) 岛( s ( ( 6 1 上- q ) 9 - 1 ) ) ) ) = q ，s - 1 ( n ) ( s ( 6 2 ) s ( 矗( ( 6 lt a ) 9 - 1 ) ) ) ) = ( a ，s _ 1 ( ) ( s ( ( 矗( ( 6 上- 口冶_ 1 ) ) 6 2 ) ) ) =( a ，s 一1 ( 口) ( s ( ( 岛( ( 6 上一口) l g 一1 ( b 。口) 2 口一1 口) ) ) ) ) = ( a ，s 一1 ( o ) s ( s ( 1 1 ) 1 2 ( 6z a ) ) ) = ( a ，s - 1 ( a ) s ( 6 一a ) ) ( a 口6 ) = ( a ，姆( s ( 8 ) 上- 砖) ( a l ，口) ( a 2 ，b ) = ( a l ，b ) ( a 2 ，s ( s ( o ) t 一口) ) = ( a 1 6 ) ( 陋( 九0 s ) ) o 舅d ) a l o 沁= ( a ( b 0 s ) ) o s 圆a l 曲阜师范大学硕士学位论文 4 3 重要推论与对偶定理 推论4 3 1 设日是有限维弱h o p f 代数，( 1 ，柚是左积分对偶对，o l g ( h 。) ，g g ( h ) 是对应于( f ，a ) 的类群元，则 s _ 1 ( z ) = f a 证明有定理4 11 知v h h ， 令h = f 得 得 即 f r oa l ( ) = s ( ( 一q ) 夕一1 ) 1 月oa l ( f ) = s ( ( f 上- o ) g 一1 ) = z 一( ! 一 ) = z z 一口= s _ 1 ( 1 ) g s 一( o g = s - 1 0 - 1 1 ) = s - 1 瓴国1 ) f ) = s - 1 ( 2 ) s - 1 ( f ) = f 厶- d 将定理4 1 1 对偶，得下面定理 定理4 3 1 设日是有限维弱h o p f 代数，( 1 a ) 是左积分对偶对，口 g ( h ) ，g g ( h ) 是对应予( 1 ，a ) 的类群元，则下列关系式成立 2 1 第四章迹函数与弱h o p f 代数 ( 1 ) 扎o t r ( b ) = ( 毋) o s ( 2 ) a lo l ( 妒) = ( g - 妒) 0 s 一1 ( 3 ) a r o t r ( o ) = ( a 一1 ) 0 s 一1 ( 4 ) a r oz l ( ) = ( ( 妒上- 9 ) 口一1 ) 0 s 推论4 3 2 a 上- 9 = a o s i 证明有定理4 3 1 知 令= a 得 a 置o f l ( 毋) = ( ( 一g ) o 一1 ) o s a r oz l ( a ) ：= ( ( a 上- g ) a 一1 ) o s = a 即 a 上- g = ( a o s 一1 ) 口 由于 ( ao s 一1 ) a = ( a 一1 a ) 0 s 一1 = 愉( 口一1 ) a ) o s 一1 = a o s 一1 第五章弱h o p f 代数上的双积 本章，类似于h o p f 代数中的双积，我们在弱h o p f 代数中引入双积，并 讨论它成为弱h o p f 代数的条件 5 1 余模余代数与余s m a s h 积 定义5 l 1 设日是弱h o p ：代数，称c 是左日一余模余代数，若c 满 足下列条件； ( 1 ) c 是左日一余模；p ：c 一ho c 记p ( c ) = q t ) c ( o ) ( 2 ) 。( 一1 ) o 。( o ) ，1o 。( o ) ，2 = e l ，( 一1 ) c 2 ，( 一1 ) oc l ，( o ) o 饧，( o ) ( 3 ) e ( c ( o ) ) 。( 一1 ) = e ( 。( o ) ) 白( 。( 一1 ) ) 设h 是弱h o p f 代数，c 是左日余模余代数，满足 c ( 。) 。h v ( c ( 叫) = c ( 。) p 白( c ( - 1 ) ) ，l ( ) 其中p c ( c ) = c ( 一1 ) oc ( o ) 定义5 1 2 设日是弱g o p j 代数，b 是左日一余模余代数，且满足( ) ，h 与b 的s m a s h 余积c h h 定义如下t ( 1 ) k 一向量空间b o 肌h ( 2 ) 余乘法：a ( c i h ) = c t 4 c 2 ，( 一1 ) l 圆c 2 ，( o ) 4 余单位；e ( c 6 h ) = e u ( c ( 一o h ) e c ( c ( o ) ) 定理5 1 i 1 7 c i h 是余代数 5 2 双积 这一节，我们引入了双积的概念，并给出了一个使双积成为弱h o p f 的充 分条件 第五章弱h o p f 代数上的双积 定义5 2 1 设日是弱h o p f 代数，弱左日一模代数b 是左日一余模余代 数，且满足( ) ，日与b 的双积b h 定义如下t ( 2 ) 台h 作为代数是b l 疗 ( , 0 b t 日作为余代数是g 1 日 引理5 2 1 设日是弱h o p f 代数，弱左日一模代数b 是左h 余模余代 数，且满足( + ) ，则 (