（基础数学专业论文）涉及导数的整函数的唯一性及相关研究.pdf

涉及导数的整函数的唯一性及相关研究 王建平 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 芬兰数学家r n e v a n f i n n a 所创立的n e v a n l i n n a 理论，堪称二十世纪最重大的 数学成就之一，这不仅因为它奠定了现代亚纯函数理论的基础。而且对数学的许 多分支的发展，交叉和融合产生了重大而深远的影响特别是在复域中常微分方 程大范围解析解的研究中( 参见【1 ) 。n e v a n l i n n a 理论的成功介入，不但为之提供 了十分重要的研究工具，而且使得这一学科的发展充满生机随着n e v a n l i n n a 理 论自身的不断发展( 参见【2 儿3 】【4 j 6 】【7 ) 8 等) ，以它为主要研究工具的一些新的函 数论分支应运而生1 9 2 9 年。r n e v a n l i n n a 9 利用他刚创立不久的亚纯函数值 分布理论，研究了决定一个亚纯函数所需要的条件，得到两个著名的亚纯函数唯 性定理，它们通常被称为n e v a n l i i m a 五值定理和n e v a n l i n n a 四值定理从此， 亚纯函数唯一性理论，特别是亚纯函数公共值问题的研究拉开了序幕 半个多世纪以来，日本，中国，德国，英国，前苏联和美国的许多数学家都曾 致力于亚纯函数唯一性理论的研究，使之成为复分析领域迄今仍比较活跃的一个 重要分支；其问所形成的独特的思想方法与研究技巧，为其它数学分支，如代数 体函数。n o n - a r c h i m e d e a n 域上的亚纯函数，乃至一般流形上的亚纯映射的唯一 性及相关问题的研究，提供了十分重要的启示与借鉴 近二十年来，仪洪勋教授在亚纯函数唯一性理论的研究中，独树一帜他在 这一领域所做的许多原创性工作( 参见【1 0 1 1 1 1 ) ，吸引了国内外学者，数学家，甚 至著名数学家的研究兴趣，从而有力地推动了亚纯函数唯一性理论的发展，也为 提升中国在这一领域的国际地位作出了重要贡献 本文介绍作者在仪洪勋教授的精心指导下。就涉及导数的整函数的唯一性问 题，亚纯函数的四值问题以及一类特殊整函数f f ( ) 的值分布问题所做的部分研 究工作( 参见 1 2 - 2 2 】 【8 l 卜 8 5 1 ) 全文共分五章 第一章。扼要介绍与本文有关的亚纯函数值分布理论中的主要概念，基本结 果和常用记号 山东大学博士学位论文 对整函数与其导数具有公共值的唯一性问题的研究，由l a r u b e l 和c c y a n g 首开先河尔后，国外著名的复分析专家，如e m u e s ，g f r a n k ，n s t e i n m e t z ， g g g u n d e r s e n ，g j a n k ，l v o l k m a n n 等人以及一些中国学者，分别从不同的角度 将这一课题的研究不断引向深入至今，仍有一些问题尚未解决不仅如此，1 9 9 2 年，w s c h w i c k 2 3 1 发现，整函数族的正规性和该函数族中的函数与其导数是否具 有公共值这一性质，有着十分紧密的联系由于正规族理论在复动力系统研究中 的特殊地位，他的这一发现立即吸引了国内外许多学者的注意，这无疑使函数公 共值问题的研究更具活力，也更有意义 在本文的第二章，我们主要研究整函数与其一阶导数具有一个c m 公共值的 唯一性问题，得到一个形式广泛的唯一性定理由此，不但可以把g j a n k ，e m u e s 和l v o l k m a n n 2 4 】的一个仅对二阶导数成立的定理推广到任意k ( 2 ) 阶导数的 情形；而且还一并改进了李平，c c y a n g 2 5 以及钟华梁 2 6 】关于y i y a n g 问题 1 1 ，p 4 5 8 】的两个近期结果在此基础上，我们应用复微分方程理论，研究了整函 数及其导数的不动点与唯一性之问的联系，并得到两个有趣的结果此外，我们 所用的方法可以被有效地应用到整函数( 甚至亚纯函数) 与其导数具有公共值的其 它相关问题的研究中去下面是本文的主要结果 定理1 设，为非常数整函数，a 为有穷非零复数，m ，n 为正整数，满足m n 如果值a 为，和，的c m 公共值，并且由f ( z ) = a 可以推出，( m i ( z ) = ，( “) ( z ) = o 则 ，( ：) ：a e 。+ n 一_ a ， 其中，a ( 0 ) 和 均为常数，并且满足a ”1 = 1 和 m 一1 = 1 定理2 设，为非常数整函数，n 为有穷非零复数，k ( 2 ) 为整数如果值 a 为，和，的c m 公共值，并且由f ( z ) = a 可以推出，( 七i ( z ) = a 则 ，( 。) = a e 沁+ 口一旱 其中，a ( 0 ) 和a 均为常数，并且满足驴一1 = 1 定理3 设，为非常数整函数，k ( 2 ) 为正整数如果e a z ) = e i ，( z ) ，并且 由l ( z ) = = 可以推出，( ) ( 2 ) = = ，则，兰， 山东大学博士学位论文 由定理3 立即可得 定理4 设，为非常数整函数，k ( 2 ) 为正整数如果矗，和，( 砧具有相 同的不动点，并且所有不动点的重数也相同，则f ；，7 在第三章中，我们进一步研究了整函数与其线性微分多项式具有公共值的唯 一性问题，给出了函数的具体表达式，对李平和c c y a m g 的有关结果作了改进 主要定理有： 定理5 设，为非常数整函数，为正整数定义 其中啦0 = 一l ，0 ，1 ，k ) 均为，的小函数如果，和9 以两个不同的有穷复数 6 为i m 公共值，并且满足r ( o ) 销则，；9 或者，和g 具有如下表达式： 其中g 为整函数 ，兰b + ( 口一6 ) ( e g 一1 ) 2 ，9 兰2 b n + ( 一6 ) e g 定理6 设，为满足n ( r ，f ) = s ( n ，) 的非常数亚纯函数，k 为正整数，a ，b 为，的两个判别的小函数定义 其中啦0 = - 1 ，0 ，1 ，) 均为，的小函效如果，和g 以n ，b 为i m 公共小 函数，并且满足r 。( 。，) 鬟则f ；9 或者，和g 具有如下表达式： ，三b + ( 口一6 ) ( e g 1 ) 2 ，9 三2 b 一口+ ( 口一6 ) e g 其中g 为整函数 二十世纪七十年代末，e m u e s ，g g g t m d e r s e n 等人，利用构造辅助小函数 的方法，成功地改进了n e v a n l i n n a 四值定理，在保持原结论不变的前提下。将该定 理假设中c m 公共值的个数由四个减少到两个；如果进一步考虑某种形式的附加 条件，则仅需一个g m 公共值目前，关于n e v a n l i n n a 四值定理的一个主要开问题 ( 参见【2 8 】) 是：如果两个非常数的亚纯函数，和9 具有三个不同的i m 公共值和第 ， n 。础 + 一 n兰 g ， 吐 。渤 + 一 0善 g 山东大学博士学位论文 四个c m 公共值，则f 是否仍为g 的m f b i u s 变换? 这是亚纯函数唯一性理论中的 一个未决难题十多年来，由于缺少有效的方法，这个问题的研究几乎陷入停顿 在第四章，作者用一种完全不同于前人的新方法，继续研究了上述开问题 证明了三个有趣的结果具体叙述如下： 定理7 设f ，g 为两个判别的非常数亚纯函数，a l ，0 , 2 ，口3 ，a 4 为，和9 的判 别的公共值如果l r a 。i n ( r ( 毗) ) ；，则。z ，0 2 1 船，。4 均为，和9 的c m 公共值，从 而，为g 的m s i r i u s 变换 定理8 设f ，g 为两个判别的非常数亚纯函数，a l ，a 2 ，g 3 ，a 4 为，和g 的 判别的公共值如果其中有一个公共值，例如舢，是，和g 的c m 公共值，并且 。r a 。i 。n 。 r ( 口t ) ) ，则。1 ，。2 ，n 3 ，。4 均为，和g 的c m 公共值 定理9 设两个判别的非常数整函数，和g 以三个判别的有穷值a l ，a 2 ，0 , 3 为 公共值如果1 r a 。i n r ( d t ) ) ，则。2 ，n 3 均为，和g 的c m 公共值 在本文的最后一章，我们研究了一类特殊形式的整函数的值分布问题早在 1 9 5 9 年，w k h a y m a n 2 9 1 首先研究了亚纯函数，“，7 的值分布问题，并自己解决 了n 3 的情形近半个世纪以来，对这个问题的研究不断深入，成果也颇多，直 到1 9 9 5 年，这类亚纯函数的值分布问题才被完全解决1 9 9 3 年，c c y a n g ， 杨乐和王跃飞【3 0 1 在研究了另一类整函数，( ，( ) ) “m 2 ) 的值分布问题以后，提 出如下猜测：对超越整函数，和非负整数k ，f f ( ) 必取任一有穷非零复数无穷多 次此后，不少学者研究了这个猜测及相关问题，但所得结果均需要附加较强的 条件本章将研究比以上猜测更广泛一些的值分布问题，即，( z ) ，( k ) ( z ) 一c ( z ) 的零 点问题，其中c ( z ) 为，( z ) 的小函数作者应用简单的方法，获得了一个较为理想 的结果；同时。还对庞学诚和z a l c m a n 的相应结果( 参见【3 1 】) 作了本质的改进和 推广以下是本章的主要结果 定理l o 设，为超越整函数均为正整数，c ( z ) 为，的小函数如果 t ( r ，) r n u ( r ，l f ) + s ( r ，) ，则，“( z ) ，( 。) ( 。) 一c ( z ) 有无穷多个零点，其中当n 2 或者k = 1 时，r = 0 ；否则r = 1 定理1 1 设，为超越亚纯函数，n ，i 均为正整数，c ( ：) 为，的小函数 如果，的所有极点的重数至少为s = 2 + 【；】；并且p 1 ) ( n i f ) s t ( r ，) 则 v l 山东大学博士学位论文 ，n ( z ) ，( ( = ) 一c ( z ) 有无穷多个零点，其中p ，x c n 可，a n d ，7s h a r et h ev a l u eac m a n d 矿，( ”) ( ：) = ，( ”) ( z ) = w h e n e v e rf ( z ) = o ，t h e n ，( 2 ) = a e l ：+ 8 一_ a ， w h e r ea ( 0 ) a n d a r ec o n s t a n t ss a t i s f y i n g 一1 = la n da ”一1 = 1 t h e o r e m2l e tfb ean o n c o n s t a n te n t i r e 丘n c t i o n ，l e to ( 0 ) b eaf i n i t ec o n s t a n t ， a n dl e t ( 2 ) b ea ni n t e g e r 可f a n d ，s h a r ef ev a l u eac m , a n d 矿，( ) ( = ) = o w h e n e v e rf ( z ) = a ，t h e n ，a s , s u m e st h e o r t n ，( 。) = a e l 。+ o 一_ a ， w h e r ea ( 0 ) a n d a r ec o n s t a n t ss a t i s f y i n g 妒一1 = 1 t h e o r e m3 l e t ，b ean o n c o n s t a n te n t i r e 扣n c t i o n ，a n dl e tk ( 2 ) b eap o s i t i v e i n t e g e r y e ( z ) = 毋，( z ) ，a n di f ( ( z ) = zw h e n e v e r ，( z ) = 毛t h e n ，兰， t h en e x tr e s u l tf o l l o w si m m e d i a t e l yf r o mt h ea b o v et h e o r e m3 t h e o r e m4 l e t ，b e 口n o n c o n s t a n te n t i r e 扣n c t i o n ，a n d 衄k ( 22 ) b eap o s i t i v e i n t e g e r ，i ff ，a n d ，( ) h a v e 抽es a m em e dp o i n t sw i t ht h es a m em u l t i p l i c i t i e s ，t h e n f ；f i nc h a p t e r3 ，w ef u r t h e ri n v e s t i g a t et h e u n i q u e n e s sp r o b l e m o f e n t i r ef u n c t i o n ，t h a t s h a r ev a l u e sw i t ht h el i n e a rc o m b i n a t i o no fi t sd e r i v a t i v e sl ( f ) w i t hs m a l lf u n c t i o n sa s i t sc o e f f i c i e n t sa n d g i v et h ed e f i n i t ee x p r e s s i o n so f ，a n d 工( ，) ，w h i c ha r ei m p r o v e m e n t s o ft w om a i nr e s u l t so fpl ia n dc c y a n g 2 7 1a n ds os o m eo t h e ra u t h o r s o u rm a i n x 山东大学博士学位论文 r e s u l t sa r ea sf o l l o w s t h e o r e m5 l e t ，b edn o n c o n s t a n te n t i r e n c t i o n ，女b enp o s i t i v ei n t e g e r , a n d 9 + d t ，c i ， i = o w h e r ea i ( i = 一1 ，0 ，1 ， ) a r es m a l l 如n c t i o n so y ，s u p p o s et h a tfa n d 目s h a r et w o f i n i t e ，d i s t i n c tv a l u e sda n dbi m a n dt h a tr ( 。) 丽k + 2 o ro n e t h es h a r e dv a l u e s ，s a y a it h e n | 三go rfa n dgh a v et h ej o l l o w i n 9e x p r e s s i o n s ： f 兰b + ( n b ) ( e g 一1 ) 2 ，9 三2 b n + ( 一b ) e g ， w h e r egi sa ne n t i r e 舟n c t i o n t h e o r e m6 l e t ，b eon o n c o n s t a n tm e r o m o r p h i c n c t i o ns a t i 晌i n g ( r ，f ) = s ( r ，) ，a n d k 9 兰_ l + f a i f ( “， l = 0 w h e r ea d i = 一1 t 0 ，1 ，一- ，k ) a r es m a l la n c t i o n so f ，l e taa n dbb et w od i s t i n c ts m a l l f u n c t i o n so f s u p p o s et h a t ，a n dgs h a r ena n dbi m a n dt h a tr + ( o ，糍o ro n e o | t h ei m s h a r e ds m a l l 籼n c h o n s 。t h e n 三go r | a n dgh a v et h ef o l l o w i n ge x p r e s s i o n s ： f 三b + ( n 一6 ) ( e g 一1 ) 2 ，g 三2 b n + ( 吐一b ) e g w h e r egi sa ne n t i r e 沁n c t i o n i nt h el a t e1 9 7 0 s ，s o m em a t h e m a t i c i a n s ，s u c ha se m u e s ，g g g u n d e r s e ne t c l s u c c e e d e di ni m p r o v i n gn e v a n h r m a sf o u r - v a l u et h e o r e mb ym e a n so fc o n s t r u c t i n gs e v e r a a u x i l i a r ys m a l lf u n c t i o n s t h e yh a v er e d u c e dt h en u m b e ro fc m s h a r e dv a l u e sf r o m f o u rt ot w ob u ts t i l lk e p tt h es a m ec o n c l u s i o na sb e f o r e i fc o n s i d e r i n gs o m ea d d i t i o n a l c o n d i t i o n s ，t h e no n ec m s h a r e dv a l u ei se n o u g h a tp r e s e n t ，t h em a i n o p e nq u e s t i o n 2 8 】c o n c e r n i n gn e v a n l i n n a sf o u r - v a l u et h e o r e m i s ：i ft w on o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r et h r e ev a l u e si ma n ds h a r eaf o u r t h v a l u ec m t h e nd ot h ef u n c t i o n sn e c e s s a r i l ys h a r ea l lf o u rv a l u e sc m ? i ts e e m sav e r y d i m c u l tp r o b l e m ，d u r i n gt h ep a s td e c a d e t h e r eh a sb e e nv e r yl i t t l e p r o g r e s so nt h i s t o p i cb e c a u s eo ft h el a c ko fe f f i c i e n tm e t h o d x 1 山东大学博士学位论文 i nc h a p t e r4 ，w ec o n t i n u et os t u d yt h ea b o v eo p e nq u e s t i o ni nac o m p l e t e l yd i f - f e r e n tw a yf r o mt h a tu s e dp r e v i o u s l yb yo t h e ra u t h o r so nt h i ss u b j e c t ，a n dp r o v et h r e e i n t e r e s t i n gr e s u l t s ， t h e o r e m7 l e t a n dg b ed i s t i n c tn o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n st h a ts h a r e y o u ru 。f u e sa b a 2 , a 3 ，a 4 盯l m ，t h e n ，。n d9s h a r e 甜i o “轧8 3 眦 t h e o r e m9l e tia n dgb ed i s t i n c tn o n c o n s t a n te n t i r e 沁n c t i o n st h a ts h a r et h r e e f i n i t e ”。腑u l , a 2 ，a 3 盯1 m 。i n r ( a i ) ) ；，t h e n ，d n dg 她n r e n f lt h r e 。舾ev a l u e s 锄 i n1 9 5 9 ，w k h a y m a n 2 9 f i r s ts t u d i e dt h ev a l u ed i s t r i b u t i o np r o b l e mf o rm e r o - * m o r p h i cf u n c t i o ni nt h ef o r mo f ，“f a n dt r e a t e di t f o rt h ec a s en 3b yh i m s e l f s i n c e t h e n t h i sp r o b l e mh a sb e e ns t u d i e db ym a n ym a t h e m a t i c i a n sa n das e r i e so fd e e pr e - s u i t sh a v eb e e no b t a i n e d i n1 9 9 3 ，c c y a n g ，l y a n ga n dy f w a n g 3 0 s t u d i e d t h ev a l u ed i s t r i b u t i o np r o b l e mf o ra n o t h e rt y p eo fe n t i r ef u n c t i o n sa n dp r o v e dt h a tf o r at r a n s c e n d e n t a le n t i r ef u n c t i o nf ，a n dt w on o n - n e g a t i v ei n t e g e r ska n dm i fm 2 t h e n ，( ，( ) ) “a s s u m e se v e r yf i n i t e n o n z e r ov a l u ei n f i n i t e l y o f t e n a l s ot h e yc l a i m e d b u tw i t h o u tp r o o f , t h a tt h e i rr e s u l tr e m a i n st r u ef o rt h ec a s e ”i = 1 t h el a s tc h a p t e ro ft h ed i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht h ez e r o so ft h ef u n c t i o n ，( 。) ，( ) ( = ) 一c ( z ) ，w h e r ec ( z ) i sas m a l lf u n c t i o no f ，( z ) ，w h i c h i sal i t t l em o r ee x t e n s i v e t h a nt h ea b o v ec o n j e c t u r e ，a n dg e tas a t i s f i e dr e s u l ti nas i m p l ew a y o n eo fo u rr e s u l t s e s s e n t i a l l yi m p r o v e da n dg e n e r a l i z e dar e l a t e dr e s u l tg i v e nb yx u e - c h e n gp a n ga n dl z a l c m a n 3 1 t h em a i nr e s u l t sa r et h ef o l l o w i n g t h e o r e m1 0l e tfb eat r a n s c e n d e n t a le n t i r e 如n e t i o na n dn ，kb ep o s i t i v ei n t e g e r s ，a n dl e tc ( z ) b eas m a l l f u n c t i o nw i t hr e s p e c tt o ，i f t ( r ，) r n l l ( r 1 f ) + s ( r ，) ， t h e n ，“( 。) ，( 2 i ( z ) 一c ( z ) h a si n f i n i t e l ym a n yz e r o s ，w h e r er = 0i y n 2o r 七= 1 ，r = 1 o t h e r w i s e t h e o r e m1 1 l e t ，b eat r a n s c e n d e n t a lm e r o m o r p h i c 扣n c t i o na n dn ，kb ep o s i t i v e 山东大学博士学位论文 i n t e g e r s ，a n d l e tc ( z ) b eas m a l l 扣n c t i o nw i t hr e s p e c tt o ，s u p p o s et h a ta l l p o l e so f fh a v e m u l t i p l i c i t ya tl e a s ts = 2 + 【：】a n d t h a tp 1 ) ( r ，1 ，) sa t ( r ，) ，t h e n ，“( z ) ，( q ( z ) 一c ( z ) h a si n f i n i t e l ym a n yz e r 0 8 ，w h e r ep ，a ( ) a r ec o n s t a n t s ，a n d 肛= 0 矿n 2 ，p = 1 o t h e r w i s e t h e o r e m1 2l e tfb eat r a n s c e n d e n t a lm e r o m o r p h i cf u n c t i o na l lo fw h o s ez e r o s h a v em u l t i p l i c i t ya tl e a s tt ，t h e nf o ra n yp o s i t i v ei n t e g e rk ( 2 ) ，f f ( ) a s s u m e se v e r y f i n i t en o n z e ? o v a l u ei n f i n i t e l y 啦e n ，w h e r et = k + 1 玎2 曼k 4 it = 5 矿女= 5a n d t = 6i fk 6r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：e n t i r ef u n c t i o n ，m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，s h a r e dv a l u e ，u n i q u e n e s s 山东大学博士学位论文 前言 我们知道，亚纯函数的n e v a n l i n n a 理论，是二十世纪最重大的数学成就之一。 1 9 2 9 年，r n e v a n l i n n a 【9 】利用他刚创立不久的理论，首先研究了决定一个亚纯函 数所需要的条件，得到两个著名的亚纯函数唯一性定理此后，国内外数学家， 如hu e d a ，g g u n d e r s e n ，e m u e s ，g f r a n k ，c c y a n g ，熊庆来，杨乐，仪洪勋等 都曾致力于亚纯函数唯一性理论的研究，使之成为复分析领域迄今仍比较活跃的 一个重要分支；其间所形成的独特的思想方法与研究技巧，为其他数学分支，如 代数体函数，n o n - a r c h i m e d e a n 域上的亚纯函数，乃至一般流形上的亚纯映射的 唯一性及相关问题的研究，提供了十分重要的启示与借鉴 在亚纯函数唯一性理论中，对函数的公共值或公共值集的研究占有突出地位， 也是该理论发展的主要动力；而在亚纯函数公共值问题中，函数与其导数的公共值 则是一个重要而活跃的研究方向，具有丰富的研究内容，并且取得了很多优秀成 果( 参见 2 4 1 一f 2 7 】f 3 4 】 【3 9 j 等) 但也有一些开闻题，例如r b r 程c k 猜想( 3 4 j ，y i y a n g 问题 1 l ，p 4 5 8 】，整函数与其线性微分多项式具有两个i m 公共值时的唯一性问 题等，尚未完全解决由于这一课题与整函数族正规性的研究直接相关，因而显 得更有意义 至于n e v a n l i n n a 四值定理，究竟它能被改进到何种程度，即是否可以有1 c m + 3 i m 推出4 c m ? 这虽然是一个未决难题，但二十多年来，仍然取得了一些进展( 参见 2 8 4 3 h 4 6 】等) 由于缺少有效的工具，看来这个问题的最终解决。尚需时日。 一类特殊的整函数f f ( ) ( * 2 ) 的值分布问题，由c c y a n g ，扬乐和王跃飞 【3 0 】于1 9 9 3 年作为猜测首先提出，对此以及相关问题的研究工作可以参见【3 1 1 4 7 】 - 5 0 】等但就亚纯函数而言，有关这个猜测的研究工作目前还不多见，且现有结 果都需要对函数的零点或极点附加一定的限制条件 近二十年来，仪洪勋教授在亚纯函数唯一性理论的研究中作出了突出贡献， 特别是他解决f g r o s s 问题的著名工作以及由此引出的相关问题，具有较大的国 际影响本文介绍作者在仪洪勋教授的精心指导下。就涉及导数的整函数的唯一 性问题，亚纯函数的四值问题以及一类特殊整函数f f ( 2 ) 的值分布问题所做的部 分研究工作( 参见f 1 2 一 2 2 ， s l 一【8 5 】) 全文共分五章 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：边 j 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文储躲逾铷始锄靴日期：巡、 第一章基础知识 亚纯函数唯性理论，主要研究决定一个亚纯函数所需要的各种条件以及在给 定条件下，如何确定函数之间的关系其中一种重要的情形是引入导数和公共值， 即研究函数与其导数具有公共值时的唯一性问题其主要研究工具是r n e v a n l i n r m 所创立的亚纯函数值分布理论本章首先扼要介绍n e v a n l i n n a 理论及其常用记号 渗见【2 】f 8 】 1 1 ) ；然后，叙述亚纯函数唯性理论的经典结果及相关问题( 参见【9 】 或【1 1 1 ) 1 1n e v a n l i n n a 理论概要 设f ( z ) 在hs 兄上全纯，对于r 【0 ，r ，我们称m ( n ，) = m a x i ，( z ) i 为，( z ) i z = r 在r 上的最大模，由于m ( r ，) 具有许多重要性质，用它可以刻划整函数的 特征，因此，它是整函数理论的首要研究对象其中，c a u c h y 的最大模原理以及 稍后由p h r a g m d n 和l i n d e l 6 f 对最大模原理所作的推广，都是这方面十分深刻的结 果( 参见1 7 l 】) 但令人遗撼的是。对亚纯函数f ( z ) 而言，m ( r ，) 却几乎失尽了原 有的性质因此，我们已不能指望再用它来刻划一个亚纯函数，这是人们之所以 在n e v a n f i n n a 之前，只研究整函数而很少涉及亚纯函数的原因直到上世纪二十 年代，r n e v a n l i n n a 巧妙地引入了三个函数，并成功地利用p o s s i o n - j e n s e n 公式 克服了这个困难，用一个叫做特征函数的量来充当原来最大模的角色现代亚纯 函数值分布理论的研究从此开始本文如无特殊声明，所提及的亚纯函数均指在 整个复平面上亚纯下面列出p o s s i o n - j e n s e n 公式( 其证明可参见 2 】或f 8 】) 设，( ) 在l ( jsr ( 0 r o o ) 上亚纯，n “( 肛m - 1 ，m ) ，b ，( p = 1 ，| v ) 分别为，( ( ) 在 r 内的零点和极点若z = r e 柑为l c l r 内不与o 。，b 。相重 的任意一点，则 b s i m 肛去z h k s 删l 西熹蒜如 定义1 1 1 设z 0 ，贝【j 霉的正对数定义为 1+fl o g z ，z 1 ； 1 0 5 。2 io ，os $ l 山东大学博士学位论文 定义1 1 - 2 设，( = ) ( ) 为亚纯函数，r ( 0 ，m ) 我们把以下定义的四个函 数： “) 。i j o l o g + f ( r e i 。) l d o ， a t ( r ，) ：f ：! 二掣d t + n ( o ，f ) l o g ， j 0 e 。 ( r i ，) ： 韭孕幽蚺_ ( o ，) i 咿， j 0 。 t ( r ，) = m ( t ，) + 帆，) 分别称为，( z ) 的平均值函数；，( z ) 极点的计数函数；，( 。) 极点的精筒计数函 数以及，( z ) 的n e v a n l i n n a 特征函数其中，n ( ，) 表示，( 2 ) 在圆盘旧t 内的极点 个数，且重级极点按其重数计算；n ( o ，) 表示，( z ) 在原点处极点的重数；而两，) 则表示，( z ) 在h t 内的判别极点的个数( 当，( o ) o o 时，n ( o ，) ；瓦( o ，) ：0 ； 当f ( o ) = 。时，n ( o ，) = 1 ) 定义1 1 3 设，( z ) ( o 。) 为亚纯函数，则，的级定义为 p ( ，) ：l i r as u p 1 0 9 + t ( r , f ) 下面是n e v a n l i n n a 建立的两个基本定理( 参见 9 】) ，它们是现代亚纯函数值 分布理论的基石 定理1 l l ( n e v a - i l l i n n a 第一基本定理) 设，( z ) 在i z l r 侄+ 。) 内亚纯，。为 任一有穷复数如果，( z ) o ，则对于0 r r ，有 t ( n 7 圭i ) = ? ( r ，) + l o g c a l + ( r ) ，( 1 ，1 1 ) 其中以为击在原点的l a u r e n t 展开式中第一个非零系数，并且 i e ( n ，r ) is l o g + + l 0 9 2 有时，我们将( 1 1 1 ) 简记为 丁( n 走) = t ( r ，) + o ( 0 定理1 1 - 2 ( n e v a n l i m l a 第二基本定理) 设，( 2 ) 为非常数亚纯函数， a l ，0 2 ，为g ( 3 ) 个判别复数，其中之一可以为o o 则 细q 阢肛喜( 击) 一帅m n 山东大学博士学位论文 其中 l ( r ) = 2 n ( r ，) 一( r 1 ，) + ( r 去) ， s n 肛嘶，争妾嘶，去m m ， 为了估计第二基本定理中的余项s ( r ，) ，需要以下两个重要引理( 证明参见【2 】或 【8 】) 引理1 1 3 ( 对数导数的基本引理) 设，( z ) 于 r ( 。) 内亚纯，若( 0 ) 0 ，o 。，则对于0 r p r ，有 m ( r i 手) 4 l 。矿? ( p 1 ，) + 3 l o g + 歹写1 + 4 l o g + p + 2 1 。矿； + 4 l o g + t o g + 南+ - 。 注：当1 ( o ) = 0 或者( 0 ) = o 。时，适当改变上式右端最后两个常数项及其余 各项的系数后引理1 1 3 仍然成立 引理1 1 4 ( b o r e l ) 设t ( r ) 为r o r + 。上连续，非减函数，t ( r o ) l ，则除 去r 的一个集合岛后，恒有 t ( 高) n = 2 或者当m n 3 时，m 一1 与n l 置素如果，和，7 以值。为c m 公共值，并且由f ( z ) = 口可以推出，( “) ( z ) = ，( “) (