（基础数学专业论文）关于上三角矩阵空间的mp逆的保持问题.pdf

中文摘要 中文摘要 研究各种不变量以及不变量的保持映射和变换历来是数学领域关注的问题近 年来一些作者对保持问题给予极大的关注因为广义逆矩阵在许多领域中有着广泛 的应用，所以自上个世纪中期以来，矩阵广义逆就成为个非常重要的研究领域， 至今仍然是个非常活跃的研究分支m p 逆作为一种特殊的广义逆，本文正 是将域上上三角矩阵m p 逆作为不变量进行研究的 设f 是域记 靠( f ) 和死( f ) 分别为域f 上n 他全矩阵空间和nx 佗上三 角矩阵空间相关文献已经表明关于上三角矩阵m p 逆的保持问题仍然是个 公开问题鉴于矩阵m p 逆的特殊性及复杂性，将保矩阵m p 逆的线性( 加 法) 算子类似于其他广义逆一样归结为保幂等的算子存在一定困难，所以本文采取 寻找特殊矩阵的方法直接进行研究 在第2 章中首先刻画了咒( f ) 到m ( f ) 的保矩阵m p 逆的线性映射形式，从 而通过限制映射的像到冗( f ) 中得到死( f ) 到矗( f ) 的保矩阵m p 逆的线性映 射形式，之后利用已得到的线性映射的结果刻画了咒( f ) 到死( f ) 的保矩阵m p 逆的加法映射形式作为应用，瓦( f ) 到m _ n ( f ) ( 矗( f ) ) 的保矩阵【1 ，3 ) ( 1 ，4 ) ) 逆 的线性映射形式及写( f ) 到死( f ) 的保矩阵 1 ，3 ) ( 1 ，4 ) ) 逆的加法映射形式也被 给出 关键词：域；特征；m p 逆；线性映射；加法映射 黑龙江大学硕士学位论文 英文摘要 t h es t u d yo fi n v a r i a b l ea n dp r e s e r v e rp r o b l e m sa b o u ta l lk i n d so fi n v a r i a b l ei s a no b s e r v a t i o n a lp r o b l e mi nt h ea r e ao fm a t h e m a t i c s a tp r e s e n t ，s o m er e s e a r c h e r s a r em o r ei n t e r e s t e di np r e s e r v e rp r o b l e m s a st h eg e n e r a l i z e di n v e r s e so fam a t r i x h a v ew i d ea p p l i c a t i o n si nm a n ya r e a s ，i th a sb e c o m eo n eo ft h ei m p o r t a n ts t u d y i n g f i e l d si nt h ew o r l ds i n c et h em i d d l eo ft h el a s tc e n t u r y m pi n v e r s e si sa s p e c i a l g e n e r a l i z e di n v e r s e so fam a t r i x t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n v e s t i g a t e t h em a p sp r e s e r v i n gm - pi n v e r s e so fm a t r i c e so nu p p e rt r a n g u l a rm a t r i xs p a c e o v e rf i e l d s s u p p o s ef i saf i e l d w ed e n o t eb y 厶( f ) a n d 死( f ) t h es p a c eo f 住nh i l l m a t r i c e sa n dt h es p a c eo fn 礼u p p e rt r a n g u l a rm a t r i c e so v e rf ，r e s p e c t i v e l y s o m e r e l a t e dr e f e r e n c e sh a v es h o w nt h a tt h ep r e s e r v e rp r o b l e ma b o u tm pi n v e r s e so f u p p e rt r a n g u l a rm a t r i c e si ss t i l la no p e np r o b l e m i nt e r m so ft h ep a r t i c u l a r i t ya n d c o m p l i c a t i o no fm pi n v e r s e so fm a t r i c e s ，s i m i l a rt oo t h e rg e n e r a l i z e di n v e r s e s ， r e d u c i n gt h el i n e a r ( a d d i t i v e ) o p e r a t o r sp r e s e r v i n gm pi n v e r s e so fm a t r i c e st o t h ei d e m p o t e n tp r e s e r v e ri sd i f f i c u l t s ois t u d yt h ep r o b l e mb ys e a r c h i n gp a r t i c u l a r m a t r i c e sd i r e c t l yi nt h i sp a p e r i nt h ec h a p t e r2 ，f i r s t ，t h el i n e a rm a p sf r o m 露( f ) t om n ( f ) p r e s e r v i n gm p i n v e r s e so fm a t r i c e sa r ec h a r a c t e r i z e d ，a n dt h e r e b yt h el i n e a rm a p sf r o m 瓦( f ) t o 互( f ) p r e s e r v i n gm p i n v e r s e so fm a t r i c e sa r ec h a r a c t e r i z e db yr e t r i c t i n gt h e r a n g eo fi m a g eo fm a p st o 瓦( f ) ，l a t e r ，t h ea d d i t i v em a p sf r o m 瓦( f ) t or ( f ) p r e s e r v i n gm pi n v e r s e so fm a t r i c e sf i l ed e s c r i b e db yu s i n gt h el i n e a rr e s u l t s a s a l la p p l i c a t i o n ，t h ef o r m so ft h el i n e a rm a p sf r o m 瓦( f ) t o ( f ) ( 瓦( f ) ) p r e s e r v - i n g 1 ，3 ) ( 1 ，4 】) i n v e r s e so fm a t r i c e sa n dt h ea d d i t i v em a p sf r o m ( f ) t o 死( f ) p r e s e r v i n g 1 ，3 ) ( 1 ，4 ) ) i n v e r s e so fm a t r i c e sa r ea l s og i v e n k e y w o r d s ：f i d d ；c h a r a c t e r i s t i c ；m - pi n v e r s e ；l i n e a rm a p ；a d d i t i v em a p 一一 黑龙江大学硕士学位论文 符号说明 域 f 中的非零元素 域的特征数 大于等于2 的任意正整数 不等于 属于 对一切 n 阶单位阵 零矩阵 ( 豇歹) 位置为1 ，其余位置为0 的矩阵 击叼c ? 一，对角阵( c 1 醛 a a + ( f ) 露( f ) & ( f ) g l n ( f ) 玩( f ) 露( f ) t ( f ) 【1 ，叫 ) 矩阵a 的转置 矩阵a 的对合自同构的转置 矩阵a 的m p 逆 域f 上nxn 全矩阵空间 域f 上亿n 上三角矩阵空间 域f 上竹n 对称矩阵空间 域f 上的礼阶一般线性群 a ia 3 = a ，a 螈( f ) ) a ia 瓦( f ) ，a g l n ( f ) _ 【a ia ( f ) ，a 珞( f ) 集合 1 ，2 ，n ) - r ， f p 咖 n v ，d 奶 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 靴一榷备诎了 拌嗍2 节7 日 ， 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作? 签名l 偶兰弓 ? 稗嗍叩朋2 7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位； 通讯地址： 导师签名：咯色窆 签字日期：如7 年j 月2 7 日 f ， 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 关于矩阵的m p 逆 只有方阵而且是非奇异矩阵才具有逆矩阵换句话说，行( 或列) 是线性无关 的方阵才有逆矩阵近几十年来，在许多领域中，需要对奇异阵甚至长方阵定义一 种类似于非奇异阵逆矩阵的那种矩阵，并称其为广义逆矩阵，而且要求具有以下性 质t ( 1 ) 对于比非奇异矩阵更广泛的一类矩阵来说，这种广义逆是存在的； ( 2 ) 它具有通常逆矩阵的性质； ( 3 ) 当矩阵非奇异时，这种广义逆就是普通的逆矩阵 矩阵的广义逆的概念是由美国学者e i - i m o o r e 首先提出的1 9 2 0 年，他用 投影矩阵定义了矩阵唯一的广义逆，参见文献【l 】【2 】但在此后的3 0 多年里，广义 逆矩阵很少被人们所注意直到1 9 5 5 年英国学者l ：t p e n r o s e 在文献 3 】中利用四个 矩阵方程( 现在称之为p e n r o s e 方程组) 给出了广义逆矩阵简洁实用的新定义之后 广义逆矩阵的理论与应用才进入了个新的时期 广义逆矩阵是本世纪矩阵理论中的一项极为重要的新发展，特别是五十年代以 来，广义逆矩阵的理论和计算方法的研究取得了长足的进展，并且在数值分析、数 理统计、系统理论、测量学、最优化理论和现代控制论等许多领域中的重要应用逐 渐为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵理论及应用的研究，使得这一学科 现已成为矩阵论的个重要分支对非奇异矩阵来说，不论什么研究目的，逆矩阵 的定义是唯一的，而对广义逆矩阵来说，对不同的目的有不同的定义 设盯是f 上的对合域自同构，a = ( ) ( f ) ，a = ( 盯( ) ) t ，x 螈( f ) 对于下面六个矩阵方程： ( 1 ) a x a = a ( 3 ) ( a x ) + = a x ( 2 ) x a x = x ( 4 ) ( x a ) + = x a ( 5 ) a x = x a( 6 ) a 七= a ( 七+ 1 ) x 同时满足( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 的x 称为a 的m p 逆，记作a + 满足( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) 中 ( i ) 0 ) 的x 称为a 的托，j 卜逆；如 1 ) 逆， 1 ，2 ) 逆， 1 ，3 ) 逆， 1 ，4 ) 逆等，同时满足( 1 ) ( 2 ) ( 5 ) 的x 称为a 的群逆，同时满足( 2 ) ( 5 ) ( 6 ) 的x 称为a 的 d r a z i n - 逆( 简记d 一逆) 等矩阵的 1 ，3 ) 逆、 1 ，4 ) 逆及m p 逆都不一定 黑龙江大学硕士学位论文 存在矩阵的 l ，3 ) 逆、 1 ，4 ) 逆即使存在也不一定唯一，分别用1 ，3 ) 和a 1 , 4 记矩阵a 的所有 1 ，3 ) 和 1 ，4 ) 逆的集合但矩阵a 的m p 逆若存在则唯 一令y 和是 磊( f ) 的两个子空间，设映射，：v _ w 满足若x 为a 的 m p ( 1 ，3 ) ， 1 ，4 ) ) 逆，均有j ( x ) 为j ( a ) 的m p c 1 ，3 ) ， 1 ，4 ) ) 逆，那么我 们称映射，是保矩阵m p ( 1 ，3 ) ， 1 ，4 ) ) 逆的矩阵的m p 逆作为一种特殊 的广义逆，需要同时满足四个矩阵方程，所以对矩阵m p 逆的研究较为复杂 本文即将其作为不变量进行研究 1 2 关于保持问题的研究 保持问题己成为国际上矩阵论领域中的热门研究课题之一，保持问题是刻画矩 阵空间映射保持不变量问题它主要有s 线性保持，加法保持等 线性保持问题研究始于1 8 9 7 年f r o b e n i u s 的【4 】和k a n t o r 的【5 】，之后的结果 可参见m a r c u s 和g r o n e 的综述文章【6 ，7 ，8 】现在线性保持问题已成为国际上矩 阵论领域中的热门研究课题之一，它在众多领域有应用背景因此近几十年产生了 大量文献，参见l i ，d o k o v i c 和g u t e r m a n 等的综述文章 9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 1 9 8 9 年曹重光发表“局部环上矩阵模的保幂等自同态【1 4 】一文，引发了国内这方面问 题的研究，文献 1 5 ，1 6 ，1 7 】汇集了国内外的大量成果 线性保持问题包括以下四个主要类型保持函数、保持子集、保持关系及保持 变换 保持函数相关文章有【4 ，1 8 ，1 9 ，2 0 】等，保持子集相关文章见【2 1 一 2 8 】等文 献【2 9 1 一 3 3 】是保持关系、变换方面的 m o m l a d i 芒和p s e m r l 在文献【3 4 3 5 】中开始研究咖法保持问题”，曹重光和 张显1 9 9 6 年在文献【3 6 】中考虑数域上的“加法保持问题”，近些年来，取得了不少 成果，主要包括幂等保持、逆及广义逆保持、秩1 保持等相关结果可见文献 3 7 】 一【4 5 】 1 3 矩阵m p 逆保持问题 把各种广义逆作为不变量的保持问题直都是一些研究者感兴趣的问题见文献 【3 9 4 0 及【4 6 】 【5 7 文献【5 1 】早在1 9 9 1 年研究了域的特征不为2 和3 时 厶( f ) 上的保矩阵m p 逆的线性映射的形式之后曹重光和张显又分别在 5 2 5 3 】中分 第1 苹绪论 别给出了域特征为2 和3 时m 。( f ) 上保m p 逆可逆线性算子结构文献【5 4 】 中给出了实四元数体上保m p 逆的刻画文献 3 9 5 5 】分别研究了当域的特征 不为2 , 3 及特征为3 时尬。( f ) 上的保矩阵m p 逆的加法映射的形式文献【4 0 】 刻画了当域的特征不是2 时从& ( f ) 到r ( f ) ( 或坛( f ) ) 的保矩阵m p 逆的加 法映射的形式文献【5 6 】研究了特征2 的域上晶( f ) 上保矩阵m p 逆的线性算 子的形式文献【5 7 】考虑了域的特征不为2 时不同矩阵集合之间的m p 逆的加 法保持映射那么是否可将m p 逆的保持问题做到上三角矩阵矗( f ) 上呢? 这 就是本文主要考虑的问题 值得注意的是对上三角矩阵来说若存在m p 逆，其m p 逆不一定是上 三角矩阵，这就需要限制所研究的对象存在m p 逆，并且其m p 逆也是上 三角矩阵本文利用寻找一些特殊矩阵直接刻画空间基底象形式的方法来首先刻画 死( f ) 到螈( f ) 的保矩阵m p 逆的线性映射形式，从而通过限制映射的像到 死( f ) 中得到死( f ) 到矗( f ) 的保矩阵m p 逆的线性映射形式，之后利用已得 到的线性映射的结果刻画了死( f ) 到死( f ) 的保矩阵m p 逆的加法映射形式 作为应用，兀( f ) 到 磊( f ) ( 霸( f ) ) 的保矩阵 1 ，3 ) ( 1 ，4 ) ) 逆的线性映射形式及 死( f ) 到瓦( f ) 的保矩阵 1 ，3 ) ( 1 ，4 ) ) 逆的加法映射形式也被给出 1 4 本章小结 在本章中，我们给出了矩阵m p 逆、线性或加法保持问题以及关于矩阵m p 的保持问题的简单介绍 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章上三角矩阵m p 逆的保持映射 2 1 死( f ) 到( f ) ( 死( f ) ) 的保矩阵m p 逆的线性映射 本节中我们在f 中元素个数大于4 并且，是单射的条件下首先刻画咒( f ) 到尬，( f ) 的保矩阵m p 逆的线性映射的形式，然后通过限制映射的像到矗( f ) 中，得到矗( f ) 到死( f ) 的保矩阵m p 逆的线性映射形式为此先介绍下面几 个引理 引理2 1 设f 是任意个域，a 1 ，a 2 ，a n ( f ) 非零，a a j = o v t ，j 【l ，叫，i 歹则存在p c l n ( f ) 使得a i = 毛p 玩p _ 1vt 【1 ，叫，c i f ，g = 1 证明此引理的证明类似于文献【1 5 】 引理2 2 设9 1 ，q 2 ，q 3 ，杈为f 中四个不同元素，若a + q k b + q 2 c + 程d = 0 ( k = 1 ，2 ，3 ，4 ) 对a ，b ，c ，d 朋i ( f ) 成立，则a = b = c = d = 0 证明设a = ( ) ，b = ( ) ，c = ( ) ，d = ( 如) ，j 【1 ，川比较方程 a + q k b + 酲c + 酲d = 0 ( k = l ，2 ，3 ，4 ) 两边第，- 行第8 列位置元素得 即 其中 a r 。+ q l b r 。+ 秆c r 。+ 衍西。= n r 。+ 9 2 6 r 。+ 谚白。+ 谚西。= 0 r 。+ 口3 k 。+ 蠢c r 。+ 旌d r 。= n r 。+ 口4 6 r 。+ 馥c r 。+ 醴d r 。= q ( 脚。，b r 。，c r 。，西。) t = 0( 宰) q = q l 酲口 、 钇酲 醴l 9 3醇 蠢l 9 4馥鲮 由i q i =n ( 吼一) 及q l ，9 2 ，9 3 ，9 4 互异可得q 可逆应用( 车) 得a r 。= h = l s j s 4 c r 。= 如= 0 注意到r 和s 的任意性，引理得证 引理2 3 设a ，b ( f ) ，a ，b ( f ) ，若( a + x b ) + = a + t , - 1 b ，vz f ，z 0 则a b = b a = 0 4 - 第2 章上三角矩阵m p 逆的保持映射 p = c r ，p 一1 马，p = ( 1 誉! 三j 兰) 黑龙江大学硕士学位论文 又，是单射，所以f ( e i , ) o ( vi 【i ，佗】) 由引理2 1 ，存在只g l n ( f ) ，岛 f ，砖= 1 使得 尸f 1 ，( 噩t ) 尸l = 矗最t ，vl 【1 ，叫( 2 2 ) 对任意的z f 。，i ，歹 1 ，叫，t 歹，七 ，七歹， 懈二乏：黧x e 魄k k ) ：篓笔+ c ， i ( 风一勘+ + = 风一勘+ + z - 1 一 从而由，的定义知 j ( ，( 玩) 一，( ) + ，( ) ) + = ，( 厩t ) 一f ( e j j ) + ，( 奶) ， i ( ，( 魄) 一f ( e j j ) + ，( 勖) + z f ( e k k ) ) + = ，( 既) 一，( ) + ，( 勖) + z f ( e k k ) 在引理3 中令a = ，( 玩) 一，( 弓j ) + ，( ) ，b = f ( e k k ) 易知 ( f ( e i i ) 一，( ) + ，( ) ) ，( 最七) = ，( 玩七) ( ，( 玩) 一f ( e j j ) + ，( 勖) ) = 0 由( 2 1 ) 进步得： ，( ) ，( 最七) = ，( 取七) ，( ) = o ( vi ，j 【1 ，叫，i 歹，尼i ，忌j ) ( 2 3 ) 又对任意的z f + i ( z e 4 - + ) + = z _ 1 毋+ 马j z _ 1 ， ( e ：i + z 马j + ) + = e ! i - f x , - 1 马j z _ 1 ， l ( 玩一勘+ z ) + = 风一+ z 由，的定义知 i ，( z 瓯- f + ) + = f ( x _ 1 魄+ 勘一z _ 1 ) ， ，( 风+ z 易j - 4 - ) + = ，( 风十z _ 1 勘一z - 1 ) ， i ，( 风一+ z 岛) + = f ( e i l 一+ z 奶) 从而 ，( z 风+ 勘- f ) ，( z - 1 风+ 一z 1 ) ，( z 既+ 勘+ ) = f ( m e i , + + ) ， ( 2 4 ) ，( + z 易，+ ) ，( 魄+ z - 1 马j 一。_ 1 ) ，( 魄+ z 马j + 岛) = ，( 玩+ z 易j - f ) ， ( ，( 玩一勘- - z 奶) ) 3 = f ( e i 一勘+ z ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 第2 章上三角矩阵m p 逆的保持映射 分别由( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 及引理2 2 得 ，( 晟t ) ，( 上) ，( 最t ) = 0 ，( 2 7 ) ，( 易j ) ，( 五b ) ，( e 易) = 0 ，( 2 8 ) ，( ) 3 = 0 ( 2 9 ) 不妨设耳1 i ( e j ) p 1 = ( 6 安) ( vi ，歹【1 ，n 】，i 歹) 其中蟛) f 则( 2 3 ) ( 2 7 ) ( 2 9 ) 变为 ，( e b ) e k 七= e k 七，( 五b ) = 0 ( 、矿t ，j 【1 ，翻，i 歹，七i ，七歹) ，( 2 1 0 ) 最，( 上) = 0 ，( 2 1 1 ) ，( ) = 0 ( 2 1 2 ) 由( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 可设尸f 1 ，( ) p l = 点b + 啄马i ，vi 歹【1 ，n 】其中 = 曙，b = 蟛而，( ) o 所以与啄中至少有个不为0 又由( 2 9 ) 可知耳1 ，( ) 尸1 = 岛或马i ( b 0 ，啄0 ) 不妨设耳1 ，( ) p 1 = b i j 或易i ( 幻o ) 当尸f 1 ，( ) p 1 = 点0 时，将其代入( 2 6 ) 直接计算可得z e i 勺= z 由 0 且f 中元素个数大于4 可得s 而= 1 ，从而矗= 勺 当p f l ，( ) p l = 幻易i 时，类似可得 = 勺 所以不妨设矗= 勺= ，耳1 ，( ) 只= e 奶或s 易t 而对任意的l ，歹，七( 1 ，叫，i 歹 七有 ( j + 奶+ 易七) + = ( i + 置七一一弓七) 由，的定义知 i ( i + 如+ 易七) + = f ( i + 日七一勖一马七) 因此 f 0 i + e 晒+ e j 心 u + e 讯一e t j e j 心f i i + e t j + e 心= f l 、i + e q + e j 心 当p f l ，( ) r = e 勺岛时，直接计算可得c 七= 讯这样令p = p 1 d i a g ( 1 ，c 看， c 暑，c 鬻) 则p _ 1 ，( ) p = ，vi 歹【1 ，叫 当p f l ，( ) p l = 马t 时，完全类似的论证，只需取p = p 越a g ( 1 ，c 1 2 ，c 1 3 ，c l n ) 则p - 1 ，( ) p = 马，vi 及f 的域单同态m ，j 1 ，叫) 使得下面( i ) 一( v ) 式成 立 ( i ) p _ 1 ，( 口蜀i ) p = g k ( 口) e g ( 0 9 ( o 【1 ，叫，b i t ( 1 ) = 1 c t t ，p 1 ，c 6 ，尸2 6 6 b o 巧。( b ) 岛e a 。( o ，a 9 ( 。i ；鬈；三；苫；v i j em 叫，6 巧c 1 ，= 1 ( i f i ) ( i ) ( i i ) 中g 为【1 ，叫到自身的双射并且g 为下列两种形式之一： ( 1 ) g ( i ) = ivi 1 ，叫， ( 2 ) g i ) = n + 1 一ivi 【1 ，竹】 ( i v ) p + p = d i a g ( c l ，c 2 ，) ( v ) ( p a p _ 1 ) + = p a + p 其中a 矗( f ) ，a + 存在且a + 瓦( f ) 证明首先证明( i v ) ，( v ) 成立对任意的i ，歹【1 ，叫，i j 有( 风土勘) + = 风- 4 - 五根据，的性质有，( 玩士马歹) + = ，( 玩) 士f ( e j j ) ，同时，( 最t ) + = ，( 既) ，f ( e i j ) + = f ( e j j ) 在引理2 1 0 中令a = ，( 风) ，b = ，( 勘) 得，( 玩) ，( 马j ) = ，( ) ，( 既) = ov ，歹【1 ，叫，i 歹又，是单射及引理2 1 1 可知存在p 露( f ) 使得 p _ 1 f ( e i , ) p = e i e g ( i ) g ( i ) vi 【1 ，叫 其中g 是从【1 ，叫到自身的双射，鼠 - i ，1 ) 在引理2 5 中( ) 式分别取z = 1 ，2 ，3 ，4 完全类似的证明可知下面两式成立 p 一1 f ( e i i ) p = 岛a 治a ) vi f 1 ，n 】，g - i ，1 ) ( 2 1 3 ) 一1 3 黑龙江大学硕士学位论文 川舻= 馏= 卵9 ( 0 m g 。o ) ，虬川1 m 吲艇m ( 2 1 4 ) 因为f ( e u ) + = f ( e u ) 所以( ，( 最i ) 2 ) + = 厂( 蜀) 2 于是岛( i ) 9 ( 0 p + p = p + p e , “) 9 ( ) ， 从而p p = d i a g ( c l ，c 2 ，c r i ) ( i v ) 成立由( i v ) 及m p 逆的定义容易验证( v ) 成立 对任意的a f + ， ，j 【1 ，厕，t 歹有 ( a e z ) + = a 一1 五b ，( e k4 - o 互秘) + = e ：f 士a - 1 e z f ，( 。e j ，) + ：j f ( 口一) ， l ( f ( e i i ) 4 - f ( 。e j j ) ) + = ，( 玩) 士，( a - l e j j ) 于是 j ，( 口e j j ) f ( a - 1 e j j ) f ( 。) = ，( 。) ， 1 ( ，( 风) 士，( n 易，) ) ( ，( 晟t ) 士，( 口e j j ) ) ( f ( e i i ) 士，( 口) ) = ，( 最i ) 士，( 口e j j ) 展开计算得 ，( 最i ) 2 ，( o 正确) + ，( o 弓j ) ，( 风) 2 + f ( e i , ) f ( a - 1 五矗) ，( 风) = 0 ( 2 1 5 ) 将( 2 1 3 ) 代入( 2 1 5 ) 中得 马“) 9 ( 0 p 一1 f ( a e z ) p + p 一1 f ( a e z ) p 局( ) g ( i ) + e g ( 0 9 ( 0 p 一1 f ( a 一1 e z ) p e 9 0 0 9 ( ) = o ( 2 1 6 ) 记 p f ( a e j j ) p = e ( 壤( 口) ) 由于i 的任意性，由( 2 1 6 ) 得 p - l f ( a e j j ) p = g 嘲( o ) b 扣) 舯 ( 2 1 7 ) 类似地 尸以f ( a e j j ) p = 嘲( 口1 ) 马( 啪) ( 2 1 8 ) v = l 由( 2 1 7 ) ，( 2 1 8 ) 及( v ) 得 nn 嘲( n ) + 马( 咖( ，) = p - l f ( a e j j ) + p = p - l f ( a - i e j j ) p = e 嘲( 口- 1 ) 岛 一1 4 第2 章上三角矩阵m p 逆的保持映射 从而螂( 口) + = 6 5 7 ( 口一1 ) 对任意的 【1 ，n 】即瑚是f 到自身的保m p 逆的 加法映射又由( 2 1 a ) 及( 2 1 9 ) 得嘲( 1 ) = i ，6 留( 1 ) = o ( vs ，歹【1 ，叫，s j ) 由 引理2 1 4 知6 密是f 的域单同态，从而6 绺= o ( vs ，歹【1 ，翻，s 歹) 因此 p - 1 f ( a e j j ) p = j ( 口) 马u ) 9 。) ( ，( 1 ) = 1 ，幻j ( d ) = 甥( 口) ) f 蔓三荔三蒌；三三篓三荔三萎； 根据，的性质有 ( f ( e i ) 一，( e 易) + f ( a e i j ) ) + = f ( e i i ) 一，( 哆纡) + ，( o ) ， ( ，( 玩) 一，( ) 一，( o ) ) + = ，( 风) 一f ( e i l ) 一，( n ) ， ( ，( 最) + ，( e z ) + ，( o 勖) ) + = ，( 玩) + ，( 马j ) 一，( o e 玎) 同时 ， j ，( 目) ，( 勘) = f ( e j j ) f ( e i i ) = 0 i ( ，( 既) + = ，( 最t ) ，( ) + = ，( 勘) 在引理2 1 2 中令a = ，( 凰) ，b = ，( ) ，c = f ( a e i $ ) 得 ， l ，( 口岛) = ，( 既) 2 ，( n 奶) + ，( o ) ，( 玩) 2 + ，( ) 2 ，( n ) + ，( o ) f ( e g g ) 2 一，( e d d ) f ( a e q ) ，( 风) 一f ( e i i ) f ( a e i j ) ，( 嘞) ， ( 宰率) i ( ，( n 勖) 3 = 一，( 风) ，( 口岛) ，( 风) 一f ( e j j ) f ( a e i j ) f ( e j j ) 将( i ) 代入( 幸木) 式可知f ( a e i j ) 除夕( ) ，g ( j ) 两行和夕( ) ，g ( 3 ) 两列以外其余位置 均为零，且( 夕( i ) ，夕( t ) ) ，( 夕( 歹) ，9 ( 歹) ) 位置元素为零并且 f ( a e 巧) 3 = 0 ( 2 1 9 ) 由于 所以 j ，( j + 晟q - n ) + = ，( j 一2 1 最t 千2 1 i ，( ，+ q - o ) + = ，( j 一2 。1 勘千2 一 廊协协泠慨嘞 卜 卜 = = 茹 士 士 既勘 u u l 力喝慨 黑龙江大学硕士学位论文 在引理( 2 1 3 ) 中令a = f ( i + 最i ) ，b = f ( a e o ) ，c = i ( i 一2 - 1 e u ) 可知 ， j ( ，( 厶) + f ( e u ) ) f ( a e i j ) ( ，( 厶) + f ( e u ) ) = 2 ( f ( d e o ) ，( 厶) 2 + f ( i n ) 2 ，( 口) 一，( a 勖) ) ， i ( ，( 厶) + f ( e j j ) ) f ( a e i j ) ( ，( 厶) 十f ( e j j ) ) = 2 ( f ( 口e i j ) ，( 厶) 2 + f ( i n ) 2 厂( 口岛) 一，( 口岛) ) 从而 ( f ( i ) + ，( 玩) ) ，( o ) ( ，( ，) + ，( ) ) = ( f ( i ) + f ( e j j ) ) f ( a e j ) ( ，( ，) + ，( 马j ) ) ( ) 将( i ) 代入( ) 得 岛( i b ( o f ( a e l i ) + f ( a e t j ) 马( i ) 9 ( t ) = 岛o ) g d ) ，( o ) + f ( a e i j ) 马d ) 9 d ) ( 2 2 0 ) 由( 2 2 0 ) 可知f ( a e o ) 除( 9 ( ) ，9 0 ) ) ，( 9 0 ) ，9 ( t ) ) 位置外其余位置均为零在由 ( 2 i a ) ，及( 2 1 9 ) 易知( i i ) 成立 下面证( i i i ) 成立 当竹= 2 时，结论显然成立下面我们证明当n 3 时结论也成立任取 ，歹，七【1 ，叫满足t j i 七 若9 0 ) g ( k ) 不成立 若g ( i ) g ( j ) 不成立 若9 ( i ) 9 ( 后) ，则g ( i ) = 竹+ 1 一tv 【1 ，叫 引理证毕 第2 章上三角矩阵m p 逆的保持映射 定理2 1 6 ，是r ( f ) 到r ( f ) 的保矩阵m p 逆的加法单射充要条件是为 ，如下两种形式之一t ( i ) f ( a ) = z p a r p ，其中a = ( ) 露( f ) ，7 是f 的域单同态，小= ( 7 - ( ) ) ，p 露( f ) ，p + p = d i a g ( c l ，c 2 ，c n ) ，f ，e - 1 ，1 ) ( i i ) f ( a ) = e p ( a 一) r p ，其中a = ( ) ( f ) ，a 一= ( + l on + l i ) ，p ，下， 同( i ) 中定义 证明充分性显然，下证必要性 当g 为引理2 1 5 ( i i i ) 之( 1 ) 时，不妨设 f ( a e i i ) = 曲f t ( a ) 毋iv 【1 ，n 】 f ( a e i j ) = g 幻( o ) vi 歹【1 ，叫，o f 其中( a ) 为域f 的域单同态，b q ( 1 ) = 1vi 歹【1 ，叫 对任意的t ，歹，k 【1 ，叫，i j 七，口，b f ( ，+ 口奶一a b e o , 一6 马七) + = i o + b e i , 。， 所以 f ( i + n 一a b e k 一6 马k ) + = f ( i a e i j + b e j k ) 。 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 从而 f ( 1 + 口一a b e t k b e j 七) f ( i o + b e j k ) f ( i + o 一a b e i k b e i k ) = f ( i + o 一a b e k b e j k ) ( 2 2 3 ) 将( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 代入( 2 2 3 ) 直接计算得 b i k ( a b ) = ( 口) b k ( 6 ) va ，6 f ，i 歹 七( 2 2 4 ) 令p = d i a g ( 1 ，6 嚣( 1 ) ，6 暑( 1 ) ) 得 f ( a e ) = 6 b , ( a ) p e , p - 1vi 【1 ，叫( 2 2 5 ) f ( a e i j ) = e ( 口) p p 1vi 歹【l ，叫，口f ( 2 2 6 ) 其中勺是f 的域单同态( 1 ) = 1 ，v i 类似于( 2 2 4 ) 得 n k ( a b ) = ( n ) 勺k ( 6 ) ( v 口，b f ，i 歹 忌) ( 2 2 7 ) 一1 7 黑龙江大学硕士学位论文 在( 2 2 7 ) 中令口= 1 知礅( o ) 与i 无关，令6 = 1 知r i 七( a ) 与七无关故2 2 6 变成 f ( a e t j ) = 9 7 - ( a ) p e 舀p 一1vi ，歹【l ，嘲，i j ；，口f ( 2 2 8 ) 其中丁= t 1 2 是f 的域单同态由于 ( 风+ o + q 岛) + = 风+ 口_ 1 勘一 由，的性质得 ，( 玩+ 口勘+ 口奶) + = ，( 玩+ 口- 1 一岛) 所以 f ( e l , t a e j j + a e q ) f ( e i + a 一1 e j j e 堪、) f 、e + 8 e + a e 曲= f ( e i , + a e j j + a e , j ) ， 代入相应表达式得比较i 行歹列位置元素得 ( 口) ( 口- 1 ) b j j ( a ) = a ) = r ( o ) b ( a - 1 ) ( a ) 从而 b j j ( a ) = 丁( d ) 于是 f ( b e j j ) = e r ( b ) p e # # p 一1v 歹【1 ，佗1 ，o f ( 2 2 9 ) 其中丁= n 2 是f 的域单同态于是由( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 及引理2 1 5 之( i v ) 得 ，( a ) = ，( a i t e i i + ) i = 1 勺 = ，( n “既) + ，( 奶) i - - - - 1 i j = r ( a i i ) p e i p - 1 + 丁( ) p 岛p - 1 i = 1 i ( 1 ，4 ) ) 逆的加法映射形式也被给出 值得注意的是对矩阵m p 逆的刻画与其他的广义逆有所不同不容易将所 研究的问题像其他广义逆保持问题一样最终归结为保幂等映射，所以本文采取寻找 一些特殊矩阵直接计算的方法来刻画保矩阵m 一尸逆的映射 下面是与本文相关的几个公开问题： 1 本文刻画了r ( f ) 到 死( f ) ( 死( f ) ) 上的保矩阵m p 逆的线性及加法映 射形式，而不同上三角矩阵集合之间m p 逆的保持问题仍是个公开问题 2 本文在，是单射的条件下刻画瓦( f ) 上保矩阵m p 逆的线性和加法映射 的，若去掉此条件瓦( f ) 上m p 逆的保持问题仍是个公开问题 3 本文在f 的特征不为2 , 3 的条件下刻画( f ) 上保m p 逆的加法映射， 而当域的特征为2 , 3 的情况还没有解决 另外，值得指出的是最近有关保持问题的研究很大程度上开始倾向于t 1 块矩阵之间的保持问题( 参见文献【5 8 】 5 9 】) ； 2 去掉对映射或算子的限制，例如去掉“线性或加法条件 、“去掉双射、单 射、满射条件 等( 参见文献【6 0 】一【6 8 】) ； 3 对域的限制尽量减少( 参见文献 6 9 】) ； 4 寻找一些新的更加具有实际意义不变量，例如李积、约当积等( 参见文献 【7 0 ，7 l 】 当然若能在上述条件下把问题做到不同矩阵集合之间将是很有意义的 参考文献 参考文献 1 e h m o o r e o nt h er e c i p r o c a lo ft h eg e n e r a la l g e b r a i cm a t r i x ( a b s t r a c t ) j b u l l a m e r m a t h s o c i e t y , 1 9 2 0 ，2 6 ：3 9 4 - 3 9 5 【2 】e h m o o r e g e n e r a la n a l