（基础数学专业论文）一类拓扑空间的覆盖性质的研究.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：窒乡z 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 翩繇耻日期也监! ：辨 中文摘要 在文1 2 1 中，h z h d e i b 等为了刻画仿l i n d e l 6 f 空间，引进了p p l - 空间， w p p l - 空间等概念，讨论了这几类拓扑空间之间的关系，并提出了一个问题本 文对仿l i n d e l 6 f 空间，p p l 一空间、w p p l 一空间的关系进行了讨论。得到一个主要 结果：在局部l i n d e l 6 f 空间中，仿l i n d e l 6 f 空间等价于w p p l - 空间该结果部分回 答了此问题同时对p p l 一空间、w p p l 一空间的遗传性、乘积性及映射性质进行了 讨论，并且得到一些结果本文共分五章，每一章主要内容如下 第一章对仿l i n d e l 6 f 空间，p p l - 空间及w p p l - 空间之间的关系进行了讨论， 主要结果有： 。定理1 1 设( z ，j r ) 是一个拓扑空间， ( a ) 如果空间( 爿，。歹) 是仿l i n d e l 6 f - 空间，则( z ，) 是p p l 空间 b ) 如果空间( x ，) 是p p l 一空间，则( x ，) 是w p p l - 空间 定理1 2 如果拓扑空间( ，) 是l i n d e l i f 空间，则的基数为埘，的子 集a 有一个完全聚点 引理1 3 设( ，) 是拓扑空间，如果( 爿，) 是局部l i n d e l 6 f 空间，则 空间( x ，) 是q 。一空间 引理1 4 设( ，) 是拓扑空间，如果彩是拓扑空间( x ，) 是w p p l 集 族，则汐是点可数的 引理1 5 设拓扑空间( ，) 是局部l i n d e i 6 f 的，影= u 。：口a 是 w p p l 一开集族若存在一个由的非空子集构成的不可数的局部可数的开集族 7 - = ：刃，使得cu ，声b ca ，则钐= u 口：毋是局部可数 的 定理1 7 在局部l i n d e l i f f 拓扑空间( ，) 中，空间( x ，) 是仿l i n d e l 6 f 空间等价于( x ，矿) 是w p p l 一空间 推论1 8 在局部l i n d e l i i f 拓扑空间( x ，) 中。空间( x ，) 是p p l 空间 等价于( x ，) 是w p p l - 空间 推论1 9 如果拓扑空间( x ，) 是w p p l - 空间，则( x ，歹) 是m e t a l i n d e l 6 f 山东大学硕士学位论文 空间 推论1 1 0 仿l i n d e l i i f 空间一p p l 扑w p p l f n - j m e t a l i n d e l f f 空间 第二章对w p p l 空间的遗传性进行了讨论主要结果有： 定理2 1 设彩= u 。：a 爿 是序拓扑空间 o ，m ，) 的开覆盖，则存在 f o ，甜1 ) 使得s t ( c ，) 3 【c 甜1 ) ( 记s t ( c ，) = u u ：c u ) 定理2 6 空间【o ，q ) 不是m e t a - l i n d e l f f 空闯 定理2 7 w p p l 空间不具有遗传性 定理2 9 设( x ，) 是拓扑空间，y 是x 闭子空间如果空间( x ，) 是 w p p l - 空间，则j ，也是w p p b 空问即w p p l 一空间具有闭遗传性 第三章对w p p i 空间的乘积性质进行了讨论主要结果有： 引理3 1 在可分空间x 中，如果影是x 的点可数的开集族，则髟至多是 可数的 定理3 2 可分的w p p l - 空间是l i n d e l 6 f 空间 定理3 3s o r g e n f r e y 矩形不是w p p l - 空间 定理3 4 两个w p p l - 空间的乘积不一定是w p p l 一空间 第四章对p p l 一空间、w p p l - 空间的映射性质进行了探讨，主要结果有： 定理4 1 p p l - 空间在有限对一连续的开映射下的象是p p l - 空间 定理4 2 w p p l - 空间在有限对一连续的开映射下的象是w p p l 空间 定理4 4 设拓扑空间( 爿，) 是k 。紧的，如果空间( x ，) 是w p p l - 空间， 则( x ，) 是l i n d e l 6 f 空间 第五章主要介绍仿l i n d e l i i f 空间、亚仿l i n d e l i i f 空间的凡个性质，同时对 p p i 一空间、w p p l - 空间提出几个未解决的问题 定理5 。1 拓扑空间( z ，j r ) 是仿l i n d e l f f 空间的充要条件是z 的每一开覆 盖髟具有局部可数加细覆盖多使得每个x x ，x i n t ( s t ( x 约) 定理5 2 设x ， ，是拓扑空间，f ：j _ y 是连续到上的闭l i n d e l i l f 映射如 果是仿l i n d e l 6 f 空间，则，是仿l i n d e l t f 空间 定理5 4 设x ，是拓扑空间，映射f ：o y 是闭l i n d e i s f f 映射如果y 是 仿l i n d e l i f 空间，则是仿l i n d e l i j f 空间 定理5 8 设拓扑空间x 是仿l i n d e l s f 空间，是紧空间，则积空间x y 是 竖查塑垡兰墼墼。一 仿l i n d e l 6 f 空间 问题1 能否给出p p i 空间、w p p l 空间的比较有效的刻画? 问题2p p i 空间、w p p l 空间是否为闭l i n d e l 6 f f 映射( 或完备映射) 所保持? 问题3p p l 空间、w p p l 空间是否为闭l i n d e l 6 f f 逆映射( 或完备逆映射) 所 保持? 问题4p p l 空间( w p p l - 空间) 与紧空间的积空间是否为p p l - 空间( w p p l - 空间) ? 关键词：p p l 空间；w p p l 空间；仿l i n d e l 甜空间；遗传性；有限对一开映射： 趸华刎 a b s t r a c t i n p a p e r 【2 1 ，h z h d e i b a n dc m p a r e e ki n t r o d u c eaf e w c o n c e p t s i n c l u d i n gp p l - s p a c e ，w p p l s p a c ei no r d e rt oc h a r a c t e r i z ep a r a - l i n d e l i j fs p a c e ， a n dd i s c u s s e dt h er e l a t i o no fs e v e r a lc l a s s e so ft o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n dr a i s e da q u e s t i o n i n t h e p a p e n w ef u r t h e rd i s c u s s p p l - s p a c e , w p p l - s p a c e ，a n d p a r a - l i n d e l s fs p a c ea n do b t a i nam a i nr e s u l tp a r t i a l l ya n s w e r i n gt h eq u e s t i o n r a i s e db yh z h d e i ba n dc m p a r e e k m e a n w h i l e w ed i s c u s sm a n y p r o p e r t i e s o f p p l - s p a c e a n d w p p l - s p a c e ，i n c l u d i n g t h e i r h e r e d i t a r yp r o p e r t y ，c l o s e d h e r e d i t a r yp r o p e r t y , p r o d u c t i v ep r o p e r wa n dm a p p i n gp r o p e r t y , a n do b t a i n s o m er e s u l t s t h i s p a p e r c o n t a i n sf i v ec h a p t e r s i n c h a p t e ro n e ，w ed i s c u s s t h er e l a t i o no fp p l - s p a c e ，w p p l s p a c e ，a n d p a r a - l i n d e l 6 fs p a c e t h em a i nr e s u l t sa r e ： t h e o r e m1 2l e tab eas u b s e to f t o p o l o g i c a ls p a c e ( x ，) w i t h c a r d i n a l i t y i i fs p a c e ( x ，) i sal i n d e l 6 fs p a c e ，t h e nt h es u b s e tah a sa c o m p l e t ea c c u m u l a t i o np o i n t l e m m a1 3 l e t ( x ，) b eat o p o l o g i c a ls p a c e i fas p a c e ( x ，) i sa l o c a l l yl i n d e l 6 fs p a c e , t h e nt h es p a c e ( ，r ) i s 吼- s p a c e l e m m a1 4l e t ( x ，) b eat o p o l o g i c a ls p a c e i f 易，i sw p p l - c o l l e c t i o nf o r t h es p a c e f j ，) ，t h e n 影i sap o i n t - c o u n t a b l ec o l l e c t i o n l e m m a1 5l e ts p a c e 【肖厂) i sa l o c a l l y l i n d e l i f f s p a c e a n d 彩i s w p p i - c o l l e c t i o n i ft h e r ee x i s t sa l lu n c o u n t a b l el o c a l l yc o u n t a b l ec o l l e c t i o n 矿 5 ：e 研o fn o n e m p t yo p e n s u b s e to fs p a c ex s u c ht h a t c u 4 ，f o r e a c h b c 爿，t h e n2 = u 口：b ) i s l o c a l l yc o u n t a b l e t h e o r e m1 7 l e t ( 爿，刃b eal o c a l yl i n d e l 6 f s p a c e t h e nt h es p a c e ( x 门i s a p a r a - l i n d e l t t f s p a c eo n l ya n do n l yi f t h es p a c e ( x ，门i sa w p p l s p a c e c o r o l l a r y l 8 l e t ( x ，j - ) b eal o c a l l yl i n d e l 6 fs p a c e t h e nt h es p a c e ( x ，1i s a p p l - s p a c eo n l ya n do n l yi f t h es p a c e ( x ，门i sa w p p l - s p a c e 4 。 一，! 垒鐾塑垄塞窒毫一 c o r o l l a r y1 9i ft o p o l o g i c a ls p a c e ( x ，歹) i saw p p l s p a c e ，t h e n ( x - j - ) i s am e t a - l i n d e l 6 f f s p a c e i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h eh e r e d i t a r yp r o p e r t i e so fw p p l s p a c e t h e m a i nr e s u l t sa r e ： t h e o r e m 2 1l e t 钐( ，。：口爿 b e a no p e nc o v e r o f o r d e rs p a c e o ，m 1 ) ， t h e n t h e r ee x i s t sa p o i n tc 0 ，国1 ) s u c h t h a ts t ( c ，彩) 3 【c ，1 ) t h e o r e m2 6t h eo r d e rt o p o l o g i c a ls p a c e 【0 ，珊1 ) i s n o tm e t a l i n d e l 6 f f s p a c e t h e o r e m2 7t h e w p p l s p a c e h a sn o th e r e d i t a r yp r o p e r t y t h e o r e m2 9t h e w p p l - s p a c e h a sc l o s e dh e r e d i t a r yp r o p e r t y i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h ep r o d u c t i v ep r o p e r t yo fw p p l - s p a c e - t h e m a i nr e s u l t sa r e * + l e m m a3 1i ns e p a r a b l es p a c e i f i sap o i n t - c o u n t a b l ec o l l e c t i o n ，t h e n i sa tm o s tc o u n t a b l e t h e o r e m3 2a s e p a r a b l ew p p l - s p a c e i sal i n d e f i i f s p a c e t h e o r e m3 3a t o p o l o g i c a ls p a c es o r g e n f r e ys q u a r e i sn o taw p p l 。s p a c e t h e o r e m3 4t h ep r o d u c to ft w ow p p l - s p a c e i sn o ta w p p l 。s p a c e i nc h a p t e rf o u r , w ed i s c u s st h em a p p i n gp r o p e r t i e so f w p p l 。s p a c e t h e m a i nr e s u l t sa r e t h e o r e m4 1af i n i t e - t o o n e c o n t i n u o u so p e nm a p p i n gp r e s e r v e s t h e p p b s p a c e t h e o r e m4 2af i n i t e t o o n e c o n t i n u o u s o p e nm a p p i n gp r e s e r v e s t h e w p p l - s p a c e t h e o r e m4 4l e tt o p o l o g i c a ls p a c e ( x ，) i sa 杖，- c o m p a c ts p a c e - i f t o p o l o g i c a ls p a c e ( x ，歹。) i s a w p p l s p a c e ，t h e n ( x ，j - ) i sa l i n d e r i f f s p a c e i nc h a p t e r6 v e w ed i s c u s saf e wp r o p e r t i e so np a r a 。l i n d e l i ；f fs p a c ea n d r a i s eaf e wo p e n q u e s t i o n s o np p b s p a c e ，w p p l - s p a c e t h em a i n r e s u l t sa r e ： t h e o r e m5 1t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rat o p o l o g i c a ls p a c e ( x ，j - ) t o b ea p a r a - l i n d e l o f fs p a c e i st h a te a c ho p e nc o v e ro fs p a c e ( x ，) h a s 5 一：。，：。：。皇堂耋呈量塑兰耋鎏垫堡呈，：。：，：= = 。 a ni o c a u yc o u n t a b l er e f i n e m e n tc o v e r 矿s u c h t h a t f o re a c h x ，x i n t ( s t ( x 7 ) ) t h e o r e m5 2 l e t x ，yb et o p o l o g i c a ls p a c e l l xjyb eac o n t i n u o u s o n t oc l o s e d m a p p i n g i fs p a c e xi s p a r a - l i n d e l 6 f s p a c e ，t h e n yi s p a r a - l i n d e l 6 fs p a c e t h e o r e m5 4l e tx yb et o p o l o g i c a ls p a c e ，f ：x 啼yb eac o n t i n u o u s o n t oc l o s e dl i n d e l 6 fm a p p i n g i fs p a c eyi s p a r a l i n d e i 6 fs p a c e ，t h e n xi s p a r a - l i n d e l t f fs p a c e q u e s t i o n 1d o s et h e r ee x i s tau s e f u lc h a r a c t e r i z a t i o n s o f p p l - s p a c e f w p p l s p a c e ) ? q u e s t i o n2 i sap p l s p a c e ( w p p l s p a c e ) p r e s e r v e db yac o n t i n u o u so n t o c l o s e dl i n d e i 6 f m a p p i n g ? q u e s t i o n3i sap p l s p a c e ( w p p l - s p a c e ) i n v e r s e l yp r e s e r v e db yac o n t i n u o u s o n t oc l o s e dl i n d e l 6 f m a p p i n g ? q u e s t i o n4i st h ep r o d u c to fp p l s p a c e ( w p p l s p a c e ) w i t hac o m p a c ts p a c e p p l - s p a c e | v p p l - s p a c e ) ? k e yw o r d s ：p p l - s p a c e ；w p p l s p a c e ；p a r a l i n d e l i j fs p a c e ；h e r e d i t a r y p r o p e r t y ；f i n “e - t o - o n ec o n t i n u o u so p e nm a p p i n g 6 引言和预备知识 在文【2 】中，h z h d e i b 等为了刻画仿l i n d e l 6 f 空间，引进了p p l 一空间， w p p l - 空间等概念，研究了这几类拓扑空间之间的关系，并提出了一个问题： w p p l 一空间是p p l 空间的充要条件是怎样的? 本文对仿l i n d e l i f f 空间、p p l 一空 间、w p p l - 空间进行了研究，得到主要结果：在局部l i n d e l i ；f 空间中。仿l i n d e l i ；f 空间等价于w p p l 空问该结果部分回答了这个问题同时对p p l 一空间、w p p l 一 空间的遗传性、乘积性及映射性质进行了讨论，并且得到一些结果 为了叙述方便，回顾一些必需的基本理论和基本概念 设( z ，j 7 ) 是一个拓扑空间，秒= u 。：口a ) 是x 的一个集族，其中爿是 一个指标集用f - d 。，0 3 ，分别表示第一无限基数和第一无限不可数基数，集合4 的 基数记作i a i 术语( a ) 矿= u 。：a 一。a 是绷q 一个子集族，称矿是相异成员的， 如果当q 口2 时，u 。u 。， ( b ) 称髟是局部有限的( 局部可数的) ，如果对每一个x x ，都存在它的 一个开邻域至多与钐的有限( 可数) 多个成员相交 ( c ) 称髟是点有限的( 可数的) ，如果对每一个x ，都有 l u 彩：x e u ) m 。( 1 u 彩：工u ) l s o ) 。 ( d ) 称z 是集合b ( b c ) 的一个完全聚点，如果对x 的每一个开 邻域u ，都有i ，n b i 爿b l 成立 ( e ) 称彩是一个p a r a l i n d e l i ；f 集( p i - 集) ，如果对每一个a ，有 p 。，q 。u 。并且 儿j 口a ) 有一个完全聚点p ，则点p 也是幻。i a a 的一 个完全聚点 ( f ) 称禽，是一个p r e p a r a l i n d e l 6 f 集( p p l - 集) ，如果影中的任何不可数多个相 异成员组成的子集族是p 1 集 ( g ) 称钐是一个弱p r e p a r a l i n d e l 6 f 集( w p p l 一集) ，如果钐中的任何不可数 多个相异成员组成的子集族中包含一个不可数的p 1 集 定义1 设( x ，j 7 ) 是一个拓扑空闻，如果x 的每一开覆盖具有一个局部可数 7 ：一i 一堡垄塑些塑塑塞一 的开加细，则我们称空间x 是仿l i n d e l s f 空间如果的每一开覆盖具有一个 点可数的开加细，则我们称空间x 是m e t a l i n d e l i j f 空间 定义2 设( j ，j 厂) 是一个拓扑空间，如果x 的每一开覆盖具有一个开加细彩 且彩是p p l - 集，则称空间是p p i - 空间 定义3 设( x ，歹。) 是一个拓扑空间，如果x 的每一开覆盖具有一个开加细彩 且彩是w p p l - 集，则称空间爿是w p p l - 空间 定义4 设( x ，罗) 是一个拓扑空间，如果对每一个p x ，都存在点p 的不可 数多个开邻域族 u 。i 口 珊 满足条件：对每一a 。，儿u 。且当口卢时， 儿y 口，则 儿i 口 q 可知，必存在展。r u 以：f s f ) 及 工岛u 岛。使得z 岛。h ，l k 毒一 如此一直进行下去，我们就得到了一个不可数的开集族，。：乓i ) 和一 个不可数的点集 x 。：屡出，) 并且它们满足如下的条件： ( 1 ) 义a u 夙，f 珊1 ( 2 ) 工岛譬工 ，u 店c ，岛，孝叩 由于钐= u 。：口爿 是w p p l - 习：集族，而 u 口。：压脚i 是不可数的子集 族，从而 己，辟：忍出； 存在不可数的p i - 子集族 u 岛：绥仨0 ) i ) ，对应她有不 可数的点集 工& ：以0 3 1 因为协岛：乓l 是l i n d e l z i f 空间形中的不可数 的点集，所以它有一个完全聚点p 取y f ，c 己，雎，芦f 曲i ，则由于纷 ：e m 是局部可数的，p 不是 y 乓：展q 完全聚点，这与集族 u 岛：绥彩i ) 是p i - 集族相矛盾证毕 引理1 6 设拓扑空间( x ，) 是局部l i n d e r i f 的，彩= 虬：口a 是 w p p l - 开集族如果m 是x 关于覆盖钐的极大区分子集，且记矿= s t ( x ，秒 ! ：，些壁耋堡些壁垒圣，一 ) ：x m ，则矿是w p p l - 集族 证明设： s t ( x ，彩) ：x 爿 是星集歹= ( s t ( x ，彩) ：x m ) 任意 的子族 1 l 如果4 是可数的，由定理0 1 ( a ) 知，a 作为m 的子集应是离散的，由 引理1 5 得，矿= s k x ，影) ：x 爿 是局部可数的，故纩是p 1 集族 2 ) 如果4 是不可数的，下证：= ( s t ( x ，彩) ：x a 的任一不可数的子 族都是p i - 集不失一般性，仍记为窘纩 任取点y ，s t ( x ，彩) ，x a ，则 y ，：x 彳) 是不可数的，同时由的构 造可知，有开集u 。使得y 。u ：，x u 。成立 根据引理1 4 ， u ，：工e a ) 是局部可数的，从而 y 。：x a 没有完全聚点 因此在缈4 中，任取出两个不同的点集 y ，：x a ) 和 ：，：x a ，则该两个点 集都没有完全聚点即岩矿是p i 集族，因此是w p p l - 集族证毕 定理1 7 在局部l i n d e l 6 f 拓扑空间( x ，j r ) 中，空间，歹) 是仿l i n d e l t t f 空间等价于( ，) 是w p p l - 空间 证明( a ) 如果( x ，j ”) 是仿l i n d e l 6 f 空间，则( x ，) 是w p p l 空间 由定理1 1 可知，这是显然的 ( b ) 设( ，) 是w p p l 一空间， 纩是的一个开覆盖，则有一个开加 细彩且彩是w p p l - 集 设吖是z 关于覆盖汐的极大区分子集，由定理0 1 ，则m 是x 的一个离散 子集对每一工x ，令彩( x ) = u ：x u ) 和s t x ，彩) = u 彩：x u ) 因为吖是x 的一个离散子集，则根据引理1 4 、引理1 6 ，汐= s t ( x ，彩) ：工m 是局部可数的 下证：留= u 影( x ) ：x m ) 是局部可数的 事实上，由于汐= s t ( x ，2 ) ：x m ) 是局部可数的，则对每一工x ，都存 在z 的一个开邻域0 。与绷g 可数多个成员相交又因为岔( w p p l - 集) 是点可 数的，所以汐的每一个成员是彩的可数多个成员的并，因而开邻域0 ，仅与 的可数多个成员相交，即证明g 驴= u 2 ( x ) ：x m 是局部可数的 因为m 是关z 于覆盖刎g 极大区分子集，毋= u ( 彩( x ) ：x m 覆盖m ， 则根据定理0 1 ( c ) 可知，鲫盖，因此有局部可数的开加细鲡即爿 是仿l i n d e i t f f 空间证毕 由定理1 7 和定理1 1 易得推论： 推论1 8 在局部l i n d e l 6 f 拓扑空间( x ，) 中，空间( x ，j 7 ) 是p p l - 空间 等价于( ，) 是w p p l 空间 定理1 7 的结论部分回答了文【2 】中所提出的一个问题 另外由引理1 4 易得 推论1 9 如果拓扑空间( x ，j 7 ) 是w p p l 一空间，则时，) 是m e t a - l i n d e l 6 f 空间 证明设影是x 的任意开覆盖，根据w p p l - 空间的定义，则x 存在绷q 开加 细覆盖，且：是w p p l - 集族由引理1 4n - - j 知，是点可数的，故( x ，) 是 m e t a l i n d e l i i f 空间证毕 结合定理1 1 可得如下的蕴涵关系： 推论1 。1 0 仿l i n d e l i i f 空间一p p i 一空间一w p p l - 空间一m e t a - l i d e i 醒空间。 ，霪垄塑些塑塑鎏一 第2 章w p p i 一空间的遗传性 本章对w p p l 空间的遗传性进行了研究首先，我们举了一个实例说明 w p p l 空间不具有遗传性；其次证明了w p p l 一空间是具有闭遗传性 为了得到本章的主要结论，我们需要以下几个概念和定理 定义2 1 如果x 的每一开覆盖都有点可数的加细开覆盖，则我们称空间 ( x ，) 是m e t a l i n d e l o f 空间 定义2 2 拓扑空间的某性质称为可遗传性质，如果一个拓扑空间具有这个 性质那么它的任何子空问也具有这个性质 定义2 3 拓扑空间的某性质称为开( 闭) 遗传性质，如果一个拓扑空间具 有这个性质那么它的任何开( 闭) 子空间也具有这个性质 定理2 1 设秒= u 。：口a 是序拓扑空间【o ，珊，) 的开覆盖，则存在 c 【o ，甜1 ) 使得s t ( c ，彩) 3 c ，p 1 ) ( 记s t ( c ，钐) = u u ：c u 彩 ) 为证明定理2 1 ，我们先证下面的引理： 引理设f ： 0 ，0 3 i ) 一【0 ，m i ) ，对充分大的x 都有，( 工) 一 现在设当x - a 枣t ，有f ( x ) - x 2 ，都有， x 1 。然后取恐作为c ，则存在与恐相应的而对所有夕恐， 都有 x 2 依次类推，取作为c ，则存在与相应的k l 对所有y - - x n + 【， 都有 毛将此过程如此无限继续下去得到序列k ：疗j v ，且对每 一k ，0 d 有相应的靠i ，对所有) ，h l ，都有厂o 。 吒 设是大于可列个矗的最小数，则 x 。如柳，故对所有的 y ，有厂 矗，以) 又卢是大于( f e n ) 的摄小数，从而当y f l 时，有 f 嘞舀 特别取y = 罗，则有八历然因 口，由假设应有八历 卢，这与上 式矛盾的证毕 1 4 山东大学硕士学位论文 定理2 1 的证明这里的虬可假设为基本开集t 即具有形式( 口，x 】，这里 ， x 定义映射厂：对每一x ，f ( x ) = d ，因a ，( x ，显然f ( x ) x 由上面的引理知存在c o ，0 9 1 ) 使对每一x o ，1 ) 存在y x 使口，s c 从而 s t ( c ，髟) 3 k ，。) 证毕 定理2 2 设( ，) 是一个拓扑空间，如果集族彩= 虬i 口4 是局部 可数的，则毵黾爿的w p p l 集族( 在文【2 l 中) 1 、w p p l 一空间不具有遗传性 一、考察空间【o ，i ) 对每一口 o ，6 0 1 ) ，“0 取p ( a ) ( 口，则可得【0 ，q ) 的一个覆盖彩= ( o ) ，( 卢( a ) ，a 】：0 口( ，) 覆盏钐具有以下性质： 引理2 3 空间 0 , 9 0 ，) 的覆盖影没有可数子覆盖 证明假设覆盖秒有可数子覆盖为= “o ) ，( a ) ，口，】：0 i 0 3 。 ，则 点集 口，：0 f 蔓) 是可= 妻i 集，从而有上确界，记为卢，且 凹， 我们取，p p o ，则反不属于覆盖中的任何成员这与是 空间 o ，q ) 的覆盖矛盾，故覆盖没有可数子覆益证毕 引理2 4 设是钐的任一加细并且覆盖 o ，。) ，则覆盖矿是不可 数的集族 证明假设是可数的，记为= r ：f n ) 根据加细的定义，对矿中 每一l ：f n ，在彩中存在某一元素u ，使得fc u j ，i n 由于覆益 【o ，岱，) 。所以彩的子集族 u ：i 是可数的且也覆盖【o ，q ) ，这与引理2 3 矛盾，因此矿是不可数的集族证毕 引理2 5 设多r 是秒的任一加细并且矿覆盖【o ，峨) ，则覆盖矿都是点 不可数的集族 证明假设矿是覆盖髟的任一加细覆盖，根据定理2 1 ，则存在 c o ，珊i ) 使得s t ( c ，) 3 c ，q ) 下证： v ：c v ) 是不可数的 事实上，假设 v ：c v 多r ) 是可数的，因为【o ，c 】是紧空间，所以【0 ，c 为 中有限个开集覆盖，这有限覆盖记为劈令j 矿= 留u v ：c v ) ， 则。矿是可数的同时。矿也覆盖【0 ，乱) ，这与引理2 4 矛盾，故覆盖髟的任 一加细覆盖都是点不可数的证毕 1 s 一。堕篓塑耋墼丝圣：一 定瑶2 6 空间 o ，q ) 不是m e t a - l i n d e l f i f 空间 证啊假设空间 0 ，玉) 是m e t 丑- l i n d e l f f 空间，根据m e ( a - l i n d e l 6 f 空间的 定义，则空间【0 ，) 的每一开覆盖具有点可数的开加细覆盖因此空间 o ，- ) 的覆盖 = ( 0 1 ，( ) ，口】：0 口 国。) 具有点可数的开加细覆盖矿 根据引理2 5 ，空间 0 ，。) 的覆盖= o ) ，( 卢似) ，a 】：0 口 a ，使得 ( 口，x a ) n f = 中，这样得到的开区问族“d ，x 。) ：a f ) 是两两互不相交的( 否则 与f 的定义矛盾) 所以 ( 口，z 。) ：a f ) 是可数的，从而，是可数集证毕 拓扑空间s o r g e n f r e y 矩形：s o r g e n f r e y 直线与自身的乘积 s o r g e n f r e y 矩形具有以下性质： 1 s o r g e n f r e y 矩形是可分空问 这是由于两个可分空间的积是可分空闻