（信号与信息处理专业论文）基于贝叶斯原理和蒙特卡罗方法的高分辨方位估计新方法研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 摘要 阵列处理的高分辨技术一直是国内外十分关注的研究热点，其中高分辨多目 标定向技术是国内外集中力量研究的重点，该项技术的突破对声纳、雷达、地质 勘探、生物医学工程及水中兵器均有重要意义。尤其是对水下多目标方位的高分 辨精确估计，是目前加强海防、进行海洋开发迫切希望有所突破的一项关键技术。 本文在国家自然科学基金、航空基础科学基金和“九五”重点预研项目的资助下， 对贝叶斯高分辨方法进行了深入的研究和总结，并且针对原贝叶斯高分辨方位估 计方法计算量大的问题，给出了基于吉布斯采样法的贝叶斯高分辨多目标方位估 计新方法，使得贝叶斯高分辨方法向实时应用迈进了重要的一步。本文的主要工 作及研究进展有： 1 全面研究并总结了贝叶斯高分辨方位估计方法的性能。 本文首先简要介绍了贝叶斯高分辨方位估计方法的理论，总结了该方法在不 同信噪比下的估计性能。在高信噪比( 2 0 d b ) 下贝叶斯高分辨方位估计方法的角度 分辨门限高达1 1 8 波束宽度，低信噪比( 1 0 d b ) 下也能达到1 3 波束宽度。其次通 过大量计算机仿真，深入分析了快怕数和阵元数对贝叶斯高分辨目标方位估计方 法性能的影响。定量地给出了这两个因素与贝叶斯高分辨方法性能之间的关系。 2 给出了基于吉布斯采样法的贝叶斯高分辨多目标方位估计新方法 在研究了蒙特卡罗方法和吉布斯采样方法的基础上，本文给出了基于吉布斯 采样法的贝叶斯高分辨多目标方位估计新方法的理论推导，降低了原贝叶斯高分 辨方位估计方法的计算量，提高了贝叶斯高分辨方法的实时性。而且在理论研究 的基础上，对新方法的性能进行了大量的计算机仿真和统计分析。结果表明，新 方法在继承了原贝叶斯高分辨方位估计方法的优越性能同时，随着k 的增加，将原 方法的计算复杂度从指数增长的o f p ) 降低到线性增长的o ( k x j x n , j ( 其中l 为栅 格数，k 为目标源个数，j 为采样个数，m 为迭代次数) ，显著提高了原贝叶斯高 分辨方位估计方法的实时性，并且成功地将贝叶斯高分辨方法的应用扩展到多目标 源。 3 进行了新方法、原贝叶斯高分辨方位估计方法与多重信号特征法( m u s i c ) 和 极大似然估计法( m l e ) 的性能比较研究，揭示了新方法的优越性。 主要从信噪比的变化、角度分辨能力、低信噪比下的估计性能几个方面进行 了深入的对比分析。新方法不仅具有很高的分辨能力，而且在低信噪比时也具有 西北工业大学硕士学位论文摘要 比m l e 和m u s i c 更加优越的估计性能。在估计三目标源的情况下，比较了新方 法和m u s i c 法，仿真结果表明新方法在多目标情况下的性能也远比m u s i c 法优 越。这些工作将贝叶斯高分辨方法的研究从理论分析向实际应用推进了一步。 关键字：贝叶斯高分辨方法，蒙特卡罗方法，吉布斯采样法，目标方位估计 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t h i g h - - r e s o l u t i o nm u l t i - - s o u r c ed i r e c t i o nf i n d i n gi sa l w a y sa h o tr e s e a r c ha r e ai na r r a y s i g n a lp r o c e s s i n g t h eb r e a k t h r o u g ho ft h i s t e c h n i q u ei sg r e a t l ym e a n i n g f u li nm a n y r e s e a r c hf i e l d ss u c ha ss o n a r ，r a d a r , c o l r u n u n i c a t i o n ，b i o m e d i c a le n g i n e e r i n g ，g e o l o g y a n ds oo i l e s p e c i a l l yt h eu n d e r w a t e ra c o u s t i c sh i g h r e s o l u t i o nm u l t i s o u r c ed i r e c t i o n f i n d i n gt e c h n i q u ei st h ek e y t ou n d e r w a t e rs e a r c h i n ga n do c e a ne x p l o r a t i o n s p o n s o r e d a n d s u p p o r t e db y t h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c e f o u n d a t i o n ，t h ea v i a t i o ns c i e n c e f o u n d a t i o na sw e l la st h en a t i o n a lp r e r e s e a r c h p r o j e c t ，b a y e s i a nh i g h - r e s o l u t i o n m e t h o di s t h o r o u g t f l ys t u d i e da n ds u m m a r i z e di nt h i st h e s i s t h en o v e lb a y e s i a nh i g h - r e s o l u t i o nd o ae s t i m a t o rb a s e do ng i b b ss a m p l i n gi s g i v e nt oi m p r o v et h er e a l t i m e p e r f o r m a n c eo fo r i g i n a lb a y e s i a nh i g h r e s o l u t i o nd o ae s t i m a t o r t h en e wp r o g r e s s e s a n dm a i nr e s u l t sa r es u m m a r i z e da sf 0 1 l o w s ： 1 t h e p e r f o r m a n c e o f b a y e s i a nh i g h r e s o l u t i o n m e t h o di s i n v e s t i g a t e d a n d s u m m a r i z e d c o m p r e h e n s i v e l y b a y e s i a nh i g h - r e s o l u t i o nm e t h o di si n t r o d u c e db r i e f l y i t sa n g u l a rr e s o l u t i o na b i l i t y u n d e rd i f f e r e n ts n ri ss u m m a r i z e d c o m p r e h e n s i v e l y t h eh i g h e s tr e s o l u t i o no f b a y e s i a nm e t h o d i s1 1 8b a n d w i d t ho ft h eb e a mm a i nl o b ein h i g hs n r ( 2 0 d b ) a n d 1 3b a n d w i d t hi nl o ws n r ( - l o d b ) t h ee f f e c t so ni t sp e r f o r m a n c eb yt h ef a c t o r s s u c ha ss a n p s h o t sa n dn u m b e ro f a r r a ys e n s o r sa l ei n v e s t i g a t e da n dt h e i rr e l a t i o n s a r ea l s oq u t i t a n t i v e l y a n a l y z e d 2 an o v e lb a y e s i a nh i g h - r e s o l u t i o nm u l t i - s o u r c ed o a e s t i m a t o rb a s e do ng i b b s s a m p l i n gi sp r o p o s e d t oi m p r o v et h er e a l t i m ep e r f o r m a n c eo f b a y e s i a nh i g h - r e s o l u t i o nm e t h o d ，an o v e l b a y e s i a nh i g h r e s o l u t i o nm u l t i - s o u r c ed o a e s t i m a t o rb a s e do ng i b b ss a m p l i n gi s p r o p o s e d o nt h eb a s i so ft h e o r e t i c a ls t u d y , l a r g ea m o u n to fc o m p u t e rs i m u l a t i o na n d s t a t i s t i c a l a n a l y s i s i sc o n d u c t e dt o i n v e s t i g a t et h ep e r f o m a n c eo ft h en e wm e t h o d t h e r e s e a r c hi n d i c a t e st h a tt h en e wm e t h o dn o to n l yc o n t a i n st h es u p e rp e r f o r m a n c eo f o r i g i n a lb a y e s i a nh i g h - r e s o l u t i o n m e t h o db u ta l s o s i g n i f i c a n f l y r e d u c e st h e c o m p u t a t i o nq u a n t i t yf r o mo ( p ) t o0 ( k x j x n s ) a n dt h en e wm e t h o dc a nb e s u c c e s s f u l l ye x t e n d e dt 0t h ec a s eo fm u l t i p l es o u r c e s 3 t h en e wm e t h o da n do r i g i n a l b a y e s i a nh i g h r e s o l u t i o n d o ae s t i m a t o ra r e c o m p a r e dw i t ho t h e rt y p i c a lm e t h o d sl i k em u s i c a n d m l e ，a n d t h es u p e r i o r i t y o ft h en e wm e t h o di sr e v e a l e d t h en e wm e t h o da n do r i g i n a l b a y e s i a nm e t h o da r ec o m p a r e dw i t ht h eo t h e rt w o t tt 堕! ! 三些查兰璺主兰竺丝茎 ! 堕! ! 竺! m e t h o d si nt h e a s p e c t s l i k e a n g u l a rr e s o l u t i o na b i l i t y , p e r f o r m a n c ei n l o ws n ri ti s p r o v e dt h a tt h en e wm e t h o dp o s s e s s e sb e t t e rp e r f o r m a n c et h a nm l ea n dm u s i c ， e s p e c i a l l yi nl o ws n r i nt h ec a s eo f t h r e es o u r c e s ，t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h e p e r f o r m a n c eo fn e wm e t h o di sm u c hm o r es u p e r i o rt h a nm u s i c k e y w o r d s ：b a y e s i a nh i g h - r e s o l u t i o nm e t h o d ，m o n t e c a r l o ，g i b b ss a m p l i n g ， e s t i m a t i o no fs o u r c ed i r e c t i o n s i v 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究的目的和意义 长期以来，| 筝列裹分辨多羁标方位估计技术一直在诲多科磷领域中缛到人 们的普遍关注与重视。该项技术的突破对声纳、雷达、地质勘探、生物医学工 程等多项国防秘民用建设领域均具有重要意义。尤其是对水下多耳标方位毫分 辨率的精确估计，更是目前加强海防、进行海洋开发迫切需要的一项关键性技 术。 目前，我国许多水下目标探测及制导系统都急需高分辨目标方位估计技术 来提高其技术性能。例如，在惫雷自导系统中，出于熊雷体积纳限制，雷头綦 阵不可能通过无限籍的增加阵元个数来增大阵列孔径，以达到提高分辨能力的 目的。所以自导鱼雷就急需引入分辨能力更高的多目标方位估计方法。再例如， 潜艇舞了鑫身黪安全饔憋蔽最希望馥蔽动方式送行鑫稼探测。嚣蓠使丽的有限 阵列孔径被动多波束声纳系统，分辨率低，定向误差大。尤其当向目标发射线 霉鱼雷瓣，需京一个波菜痰对嚣个嚣标遂行定蠢鼗踩。出于酸乏被魂窝分辨方 位估计技术，不得不让线导鱼谮沿另外个波束接近目标，增大航程损失，减 ，j 、会中壤搴。为提裹会中辜，海军提出“齐瓣”两条氢霉夔酸零要求。嚣瑟， 对多目标高分辨方位估计技术的需求更加迫切。还有，实现雷达对低飞目标的 跟踪及低馋角鼹踪是雷达信号熊理中躲谤究热点。瑟其技术土豹难点羧是秘露 让雷达在低仰角跟踪时高分辨地估计目标方位。雷达跟踪处于水平面个天线 波衷宽度内的低飞曩标时，对于多径信号造成艇跟踪爨难，主簧有两转接憨可 以解决。第一种是增大天线的物理孔径或工作频率以掇高天线的角分辨率，从 丽在天线接收过程中抑制掉多径信号。但热大物理孔径会受到实际条件的限 制，而提高工作频率则难以使鬻达全天候工作。所以这一措施在通常意义下往 往不适用。第二种措施是应用信号处理的高分辨方法将回波方向与多径回波方 向同时佑计盘来，以实现开环躐踪。因此，阵列高分辨多西标方位估计技术也 是解决鬻达低仰角跟踪的有效途径。 簿捌离分瓣多霹标方位估计技术不仅在声翁、鱼霉声鸯导、承下武器系统 及雷达、精确制导等国防建设领域中有着非常黧大的意义。而且除此之外，该 技术在生镑医学工程、海洋资潆秀发、缝覆魏搽、这震羧测、天文蕊溺等民爝 建设领域中也有着良好的应用前景。 镑怼当蘸翻爰零下薄弱进簿东下多嚣蠡搽铡裙秘题天线簿列运牙嚣这信号 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 处理中的多目标方位估计这一应用背景，本文在国家自然科学基金、航空基础 科学基金及“九五”重点预研项目的资助和支持下，对阵列信号处理中迫切需 要的、有很大应用前景的目标方位估计新技术贝叶斯高分辨技术、与蒙特 卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法相结合的贝叶斯新方法进行研究。 1 2 高分辨方位估计技术的发展过程及概况 最早出现的基于阵列信号处理的方位估计方法是常规波束形成法。该方法 利用的阵列是均匀分布线列阵，这样的阵列的分辨率取决于阵元的个数和阵元 间的距离。对于远场中的两个点信号源，只有当它们的角度间隔大于基阵孔径 时才能被分辨出来( 这就是瑞利准则) 。因此在常规波束形成法下，要想提高 对目标方位的分辨率就只有增加阵列中的阵元个数或是增大阵元间的距离，从 而增大阵列的有效孔径。但实际应用中阵列的尺寸总是要受到许多因素的制约 而不能做得很大。并且，增加阵元个数往往会提高阵列制作的成本，而增大阵 元问距又可能引入次极大。这些都决定了常规波束形成法的分辨率很低，要受 至0 瑞并0 准贝0 的限带0 。 为了提高多目标方位估计技术的分辨率，b u r g 在1 9 6 7 年提出了最大嫡谱 法，c a p o n 在1 9 6 9 年提出了最小方差法。这两种方法与常规波束法相比都具 有更高的分辨率，从而也使“高分辨”这一术语应运而生。但这两种方法仅是 对常规波束法进行了修正，通过增加对己知信息的利用程度而提高对目标的分 辨能力，并没有在估计技术方面取得质的突破。 直到1 9 7 9 年，s c t n n i d t 、b i e n e n u 和k o p p 提出了信号子空间方法，迈出了 高分辨目标方位估计领域中具有划时代意义的一步。这类方法的典型代表是 s c h m i d t 的多重信号特征法( m u s i c ) 。该方法把实际数据的协方差矩阵的特征 向量划分为与信号对应的特征向量和与噪声对应的特征向量，它们又分别张成 对应的信号子空间和噪声子空间。m u s i c 法利用这两个子空间的正交性来估 计信号方位，在空间分辨率上大大突破了波束形成系统的瑞利限的制约，可以 分辨处于阵y o - l 径所对应一个波束内的多个目标信号。在这以后，科研人员又 在子空间方法的理论基础上提出了许多改进方案和新的算法。例如，k u m a r e s a n 和t u f t s 提出的m i n i n o r m 方法、p a u l r a j 和r o y 等人提出的e s p r i t 方法、b a r a b e l l 提出的r o o t m u s i c 方法、s t o i c a 和s h a r l n a n 提出的m o d e 方法以及v i b e r g 等人提出的加权予空问拟合方法( w s f ) 等等。 上述方法虽然相对于传统的波束形成法而言具有很高的分辨率和估计精 度，在高信噪比下对于空间相邻的两目标源的分辨能力能够达到波束宽度的( 瑞 2 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 利限) 的1 3 l 5 。但这种性能是在信噪比高、快拍数多、信号源之间不相干 以及没有系统误差的理想条件下得到的。因为这些方法是以子空间分析为基础 的，因而系统误差带来的子空f 司扰动、低信噪比、少快拍数、信号源之间相干 等原因均会使分辨性能急剧恶化。目前实际应用条件和背景的复杂化使得现有 的高分辨定向方法的性能已经不能满足要求。在这种情况下，新近崛起的贝叶 斯高分辨方位估计方法以其优越的性能开始受到了人们的关注，为阵列高分辨 方位估计技术的研究开辟了新的途径。 贝叶斯学派是数理统计中个重要而悠久的学派，而把它引入高分辨领域 则是近些年的事情。贝叶斯高分辨估计法是利用信号和噪声参数的联合后验概 率密度函数对信号的谱估计。它利用贝叶斯定理，把待估计量视为随机变量， 引入被估计量的先验知识，从而提高了估计精度，改善了估计性能。美国纽约 州州立大学的信号处理专家p e t a r md j u r i c 教授首次将该方法用于高分辨谐波 频率估计，其分辨率超过了当前其它高分辨估计方法。 蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法的定名和系统发展约始于二十世纪四十年代， 它可以用于解决包括确定性数学问题和随机性问题在内的各种数学问题。近年 来被广泛应用于信号与信息处理方面，尤其是在解决贝叶斯方法超大计算量， 实时性较差等问题上引起了统计信号处理专家们的注意。蒙特卡罗方法中应用 最为广泛，最受大家关注的就是吉布斯采样法( g i b b ss a m p l i n g ) 。 我们课题组率先把贝叶斯高分辨方位估计方法用于空间多目标的方位估 计，取得了较大的进展和多项有价值的研究成果，在国内外刊物和会议上发表 了一系列论文。到目前为止，课题组已基本上解决了贝叶斯高分辨方位估计的 理论问题，在以均匀线列阵为接收阵列的假设下，先后提出了两种理论方法。 它们分别是单次快拍下、基于目标空间角谱估计的贝叶斯高分辨方位估计方法 和多次快拍下、基于信号参数的最大后验概率密度估计的贝叶斯高分辨方位估 计方法。经过理论分析和仿真，我们看到前一种方法不仅理论复杂、运算量大， 而且由于只能基于单次快拍、不能充分利用阵列输出的信息，因此在信噪比低、 目标源之问夹角小时性能明显低于后者。为了进一步提高贝叶斯高分辨方位估 计方法的实时性以满足实际工程需要，我课题组又率先将蒙特卡罗方法引入贝 叶斯高分辨方位估计方法，取得了显著的效果。所以本文主要针对基于信号参 数的最大后验概率密度估计的贝叶斯高分辨方位估计方法及其改进后的基于吉 布斯采样法的贝叶斯高分辨多目标方位估计新方法进行研究。在文中，为叙述 方便起见，把这前者简称为( 原) 贝叶斯高分辨方位估计方法，后者简称为新 方法。 西北工业大学硕士学位论文 第一蟹绪论 l 。3 本文酌主要研究i 作 我的硕士论文主鬻围绕以f 几个方面进行了深入研究： 1 。对烫时紊赢分瓣方位链落。方法的性能送牙了全蟊系统熬分耩。 ( 1 ) 对基于均匀线列阵的贝叶斯高分辨方位估计方法在不同信噪比下对空问相 邻嚣信号源方位熬分辨能力进撂了磺究，找到了该方法在不羁痿蜈滋下懿 分辨门限。结果表明，在定的快拍次数下，该方法在高信噪比( 2 0 d b ) 下酌角度分辨力可达1 1 8 波束宽度，在低信曝比( 1 0 r i b ) 下懿焦疫分瓣 力也能达到1 3 波荣宽度。 ( 2 ) 快撞数和黪元数是影响贝时颠毫分辨方位估计方法性能的两个因豢。增大 快拍数和阵元数会提高贝叶斯高分辨方位估计方法的估计性能，但同时也 会导致运算量的大幅度增加。因此认识这两个参数与贝叶斯高分瓣方位能 计方法估计性能的关系就可以在实际应用中恰当地选取这些参数，以达到 估计性能和运算量之间的较好平衡。为此，论文讨论了快拍数和阵元数对 爨时斯离分瓣方位镳毒 方法估计性能的影璃，给漱了裾疲的馥线耱统诗数 据，定量地分析了这两个因素与贝叶斯方法性能之间的关系。 2 ，据嫩了改遴原委时斯高分辨方位信计方法驰基予吉布斯采样法静贸盱额蠢 分辨多目标方位估计新方法。原贝叶斯高分辨方位估计方法虽然性能优越，但 是诗箨羹编大、计算鬟杂瘦较藤，在实辩洼方嚣喜较大袋撼。囊方法在琢买酚 斯高分辨方位估计方法的基础之上，引入吉布斯采样方法，柱不影响原方法的 魏越j 雯镀靛蘸撬之下，太大醛 曩了诗算量，扶蕊镬褥凝时蘩蠢分豢方法鼗工程 实际应用性得到了很大的提高。 ( 1 ) 基于吉布疑采样法戆贝时疑毫分瓣多强标方位估计叛算法熬磅究。耀吉毒 斯采样方法引入原贝叶斯搿分辨方位估计方法时，算法本身发生了很大改 变。本文的第五章就首先研究了基于吉布焱采样法的贝叶戴惠分辨多强标方 位估计新方法。 ( 2 ) 原贝叶斯黼分辨方位估计方法与毅方法在计算时间上的比较。主要研究了 随蔫瞽标源个数的增加，原贝叶斯裔分辨方位估计方法与新方法计算量的变 化趋势。以上的这姥研究成果无疑都展示出了新方法在今后工程实际应用中 的蘸好前景。 ( 3 ) 基于吉布斯采样滋的贝叶斯高分辨多目标方位估计新方法的性能研究。本 文获角度分辨能力、低信嗓眈下酶髂计性麓几个方颟系统、全瑟圭| i l 讨论了蘩 于吉布斯采样法的贝叶斯高分辨多蹦标方位估计新方法的性能。结槊表明， 耨方法在2 0 d b 静麓信嗓琵下，角篷分瓣畿力霹达1 1 6 波束宽度。在一5 d b 4 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 和1 0 d b 的低信噪比下，可1 0 0 分辨的目标最小方位夹角分别为1 3 和1 2 波束宽度。 ( 4 ) 基于吉布斯采样法的贝叶斯高分辨多目标方位估计新方法对于多目标源情 况下的性能研究。本文研究了三目标源情况下新方法的性能，从角度分辨能 力、低信噪比等几个方面进行了系统的研究。结果表明，新方法在高信噪比 ( 2 0 d b ) 时能够1 0 0 的分辨最小夹角约为1 8 的三目标源。低信噪比情况 下( 一5 d b ) 新方法的角度分辨能力约为2 3 波束宽度，无论是分辨能力，分 辨概率还是估计精度，都远高于m u s i c 方法。这些结果表明新方法在多目 标源情况下具有良好的实际应用前景。 3 进行了原贝叶斯高分辨方位估计方法、新方法与其他典型高分辨方法一多 重信号特征法( m u s i c ) 和极大似然估计法( m l e ) 的性能比较。比较的结 果表明，原贝叶斯高分辨目标方位估计方法和新方法的角度分辨能力都明显高 于后蕊者。 ( 1 ) 信噪比对各方法估计性能影响的比较。论文分别给出了在目标夹角定的 情况下，四种方法的分辨概率和估计精度随信噪比变化的趋势，从而使四 种方法在不同信噪比下的估计性能一目了然。 ( 2 ) 四种方法角度分辨能力的比较。主要研究了较高信嗓比下，原贝叶斯高分 辨方位估计方法、新方法和m u s i c 、m l e 方法对不同间隔两目标源的分 辨能力的比较。 ( 3 ) 低信噪比下四种方法估计性能的比较。研究了在一定的低信噪比下，四种 方法对不同角度间隔的两目标源分辨能力的比较。 ( 4 ) 三目标源情况下，新方法与m u s i c 方法估计性能的比较。研究了在各种信 噪比下，两种方法对不同夹角的三目标源的分辨能力，并进行了比较。 西北工业大学硕士学位论文 第二章基本数学原理及信号阵列模型 第二章基本数学原理及信号阵列模型 本章将详细介绍贝叶斯高分辨方法的理论基础贝叶斯定理及蒙特卡罗 方法，并对所用到的相关知识进行简单的介绍和回顾。最后介绍了一下本文所 用的信号和阵列模型以及建立模型的假设条件。 2 1 基本数学原理 2 1 1 贝叶斯定理 为研究对接收到的阵列输出信号经过怎样的加工处理才能提高信号参数估 计的精度，人们应用数理统计和概率论等数学知识提出了许多估计理论及方 法。贝叶斯高分辨方位估计技术就是贝叶斯定理与信号参数估计问题相结合的 产物。 贝叶斯定理是贝叶斯高分辨方位估计技术的数学基础，因此有必要先对它 做一些介绍。贝叶斯定理的主要内容为： 设x l ，x 为独立同分布的可观测随机变量，每一变量有相对于未知参数 e 的条件概率密度p gl9 ) ，则未知参数e 的后验概率密度为 刖，x n ) = 呜群 p g 。，确io ) p ( o ) 预i i 币瓣百 ( 2 1 ) 对贝叶斯定理有几点需要说明： 1 、( 2 1 ) 式中的p ( x l 一，z l e ) 表示参数e 给定数据后的似然函数，其中各 数据是相互独立的，并且似然函数相对于变量e 而言是唯一的。 2 、式中的p ( e ) 是待估计参数e 的概率密度，称之为先验分布密度或先验分 布，它是根据以往的实践经验和认识在观测实验数据之前确定的。 3 、p ( oj 。一，h ) 为后验分布密度，也被称为后验分布，是在观测了实验 数据之后确定的。 4 、由( 2 1 ) 式可看出，分母实际只依赖于而，x 。，与0 无关。因此贝叶斯 定理可等价描述为 后验分布密度o c 似然函数先验分布密度 即p ( 0 l x ，- 一，x _ ) o cp ( x l ，一，工1 0 ) p ( e ) ( 2 2 ) 6 西北工业大学硕士学位论文 第二章基本数学原理及信号阵列模型 由上论述可以看出，贝叶斯估计理论是把待估计的参数0 当作一个随机变 量，这样我们就可以引入它的先验分布p ( o ) 。在没有观测数据可以利用的情况 下，我们就只能根据以前的经验对0 做出判断，即只使用先验分布p ( e ) 。但如 果有观测数据可以利用j 我们就可以根据贝叶斯定理对p ( e ) 进行修订。也就是 说，将先验分布与实际观测数据相结合得到后验分布。后验分布是观测到与待 估计的未知参数有关的实验数据之后所确定的分布，它综合了先验知识和样本 知识。因而基于后验分布对未知参数做出的估计较先验分布而言更具有合理 性。也就是说，贝叶斯定理给出了一个关于更新参数值的先验分布从而得出其 后验分布的数学方法。这是一个将经验知识与观测数据加以综合的过程，也是 贝叶斯高分辨方位估计技术具有优越性能的原因所在。 2 1 2 希尔伯特( h i l b e r t ) 变换与解析信号 对于一连续时间信号x q ) ，其希尔伯特变换砸) 定义为 ) = 去二势= 去二等如= 工。卜1 兀， ( 2 s ) 丁【o 一f 一百兀t兀f 式中+ 表示卷积。 j ( r ) 实际可以看成是x ( f ) 通过单位冲激响应h ( t ) = l m 的滤波器的输出。该 滤波器的频率响应为 h 幻) = e 如扣( 2 4 ) 其中 ( p b ) = 兀 一 2 丁c 一 2 ( 1 ) 0 ( 0 0 f 2 5 1 由此可见，对于一个信号作希尔伯特变换等效于对该信号频谱作9 0 。相移。 对实信号z 0 ) ，我们定义 舅( f ) = x o ) + 肛0 )( 26 ) 为信号的解析信号。由傅里叶变换可知希尔伯特变换构成的解析信号只含有正 频率成分，并且幅度是原信号正频率分量的2 倍。 2 1 3 协方差与相关系数 设x ，y 为两个随机变量，则随机变量x 与y 的协方差为 c o v ( x ，y ) = ( x e x ) ( y e y ) ( 27 ) 7 西北工业大学硕士学位论文 第二章基本数学原理及信号阵列模型 x 与y 的相关系数为 p x 2 ：燃，( d ( x ) 0 1 d ( y ) o ) ( 28 ) 一面雨面丽叭“尸u 1 叫圹w m 叫 如果p 。= 0 ，就称x 和y 是不相关的随机变量；如果p 。i = 1 ，就称x 和y 完全相关，或说是相干的。对于o i p 。l 1 ，我们称x 和y 是部分相关。 2 1 4 均方误差 均方误差( m s e ) 是衡量参数估计质量的常用标准，其定义为 m s e = e l ( 0 一e ) 2 = e f 0 一e ( 0 ) 】2 ) + 【e ( e ) 一e 】2( 2 9 ) 式中第一项是估计量的方差，第二项是其偏差的平方。由此可见，均方误差不 仅反映了估计量的每次估计值偏离估计均值的程度，也反映了估计均值偏离真 值的程度，因此它是一个衡量参数估计质量的科学而又全面的标准。均方误差 越小，就说明估计的平均值越接近真值，而且多次的估计值越集中在均值的附 近，从而估计的结果越好。 在本文中，目标方位估计的均方误差的单位是度2 ，为了标注单位的方便， 我们取均方根误差r m s e = 们s e 来作为衡量估计质量的标准，其单位是度。 2 1 5 特征值分解 设a 为一个n n 维矩阵，如果有标量九和非零向量e 使得方程 a e = k e ( 2 1 0 ) 成立，则称九是矩阵a 的特征值，e 是与九对应的矩阵的特征向量。 p n ) = d e t i 九，a i( 2 1 1 ) 为矩阵a 的特征多项式，该多项式的解就是矩阵a 的特征值，然后代入( 2 1 0 ) 式 求解即可得对应的特征向量。 本文主要涉及的是接收阵列输出数据的协方差矩阵的特征分解问题。由于 协方差矩阵是埃尔米特矩阵，我们就主要介绍这一类型矩阵特征分解的有关性 质： ( 1 ) 埃尔米特型矩阵的所有特征值都是实的。 ( 2 ) 埃尔米特型矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交。 ( 3 ) 埃尔米特型矩阵可分解为a = e a e “一九f q q “的形式，这一分解称 i = i 作谱定理，也就是矩阵a 的特征分解。其中八= d i a g k 。，九2 ，k ) ，e = 【p 。，e 2 ，e 。】 8 西北工业大学硕士学位论文第二章基本数学原理及信号阵列模型 是由特征向量构成的酉矩阵。 2 1 6 高斯分布 文中假设阵列各阵元接收到的噪声均为高斯白噪声，为了以后推导叙述的 方便，有必要简要介绍一下高斯分布。 1 、维实高斯分布 若随机变量x 满足均值为u 、方差为a 2 的实高斯分布，则记作x n ( ，0 2 ) ， 并且它的概率密度函数为 ( x ，y p g ) = 丧e 一百 ( 2 1 2 ) t l u 2 、多维实高斯分布 对于多维实随机变量x = g ，x ：，h ) ，若其中每一分量均服从一维实高 斯分布，则x 服从多维实高斯分布，记做 x n o ，)( 2 1 3 ) 其中 = ( x ) ，= 叫( x 一“) ( x h ) r 】( 2 1 4 ) 它的概率密度函数为 p ( x ) ：1 e 寺x 叩7 圳 ( 2 1 5 ) ( 2 兀彤i f 3 、一维复高斯分布 对于一维复随机变量z = “+ j v ，“、v 是实数，若“、v 相互独立，且分布 满足 叫斜卜譬 那么称z 为一维复高斯随机变量，记做 x c “。2 ) 其中 p - 。= 肛。+ j 。 x 的概率密度函数为 ( 21 6 ) r 2 1 7 ) ( 21 8 ) f 219 ) 半 已 上” = 州 西北工业大学硕士学位论文 第二章基本数学原理及信号阵列模型 4 、多维复高斯分布 在一维实高斯分布的基础上，可以推出多维复高斯随机矢量 x = x l ，x 2 ，x ) ，x = 【，+ j v 的分布为 x c “。，。) 其概率密度函数为 p ( x ) 2 i 了压玎e z 斗c 广c 1 似叫j 其中 。：e k 一扯。胁一扯。) ”j ( 22 0 ) f 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 2 1 7 蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法 蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 方法的定名和系统发展约始于二十世纪四十年代 中，亦称为随机模拟( r a n d o m s i m u l a t i o n ) 方法，有时也称作随机抽样( r a n d o m s a m p l i n g ) 技术或统计试验( s t a t i s t i c a lt e s t i n g ) 方法。它的基本思想是，为了 求解数学、物理、工程技术等方面的问题，首先建立个概率模型或随机过程， 使它的参数等于所求问题的解；然后通过对模型或过程的观察或抽样实验来计 算所求参数的统计特征；最后给出所求解的近似值。而解的精确度可用估计值 的标准误差来表示。 蒙特卡罗方法可以解决各种类型的问题，但总的来说，视其是否涉及随 机过程的性态和结果，用蒙特卡罗方法处理的问题可以分为两类： 第一类是确定性的数学问题。用蒙特卡罗方法求解这类问题的方法是， 首先建立个与所求解有关的概率模型；然后对这个模型进行随机抽样观察， 即产生随机变量；最后用其算术平均值作为所求解的近似估计值。计算贝叶斯 问题中的多重积分、求逆矩阵、解线性代数方程组等问题都属于这一类。 第二类是随机性问题。一般情况下采用直接模拟方法，即根据实际物理 情况的概率法则，用电子计算机进行抽样试验。原子核物理问题、运筹学中的 库存问题、随机服务系统中的排队问题等都属于这一类。 本文主要是将蒙特卡罗方法中一个应用非常广泛的吉布斯采样( g i b b s s a m p l i n g ) 方法应用于贝叶斯高分辨技术当中解决多重积分问题，以便降低计 算时间，使得贝1 1 - f 斯高分辨方位估计方法的实时性得以提高，能够更好的用于 多目标方位估计的实际工程应用当中。 西北工业大学硕士学位论文 第二章基本数学原理及信号阵列模型 2 2 信号阵列模型 2 2 1 假设条件 在建立信号与阵列模型的过程中，所使用的基阵、传播媒介、信号和噪声 都有着重要的意义，在这里就给出相关的几点假设： 1 、接收阵位于信号源的远场，与信号源处于一个平面内，接收到的信号可近 似认为是平面波。 2 、传播介质是均匀且各向同性的。 3 、阵元几何尺寸远小于入射平面波波长，每个阵元均是各向同性的，可近似 认为是点元，且空间增益为1 。 4 、阵元间距远远大于阵元尺寸，因而阵元间的互藕作用可不考虑。 5 、附加噪声为均值为0 ，方差为a 2 的高斯白噪声，且两两阵元之间及不同快 拍之间互不相关。 6 、接收到的信号为窄带信号。 2 2 2 信号模型 在理论研究当中，为简化分析过程通常将信号假定为窄带信号的形式。窄 带信号是指相对于信号的载频( 中心频率) 而言带宽很窄的信号。假设所有足 个信号是窄带的，频率分别为矗，厶，矗，其中心频率为，0 。则第k 个信号 可以表示为如下的正弦信号 s k o ) = ，。o ) c o s 2 晚h m 。( f ) 】k = 1 , 2 ，k( 2 2 3 ) 其中，。o ) 和饥o ) 分别是信号的慢变幅度和慢变相位。所谓慢变，就是说在时 刻t ，在整个基阵孔径上的变化可忽略不计。这样对于以e 。为入射方向的第k 个信号在阵元m 处产生的时间延迟t 。喊) 均有 s 。0 一t 。( e 。) ) = o t 。( e 。) ) c o s 2 矾l t 。( e 。) + 机( f 一 1 7 。( 。) ) ) z ，。o ) c o s 2 矾i t t 。( o 。) + m 。( f ) )( 22 4 ) 式中m = 1 , 2 ，m ，m 为阵元个数。 对于实信号s ( f ) ，可利用它的希尔伯特变换s 0 ) 构成原实信号的解析信 号。根据希尔伯特变换的定义，对( 22 3 ) 式中给出的信号模型有 文o ) = ，。( t ) s i n 2 r t f k t + 钆( f ) 】 ( 22 5 ) 这样相应的解析信号就表示成如下的形式 s ko ) = s t ( f ) + js t0 ) = ，。( t ) e x p j ( 2 9 f k t 十钆0 ) ) ( 22 6 ) 西北工业大学硕士学位论文 第二章基本数学原理及信号阵列模型 在前面所作的信号幅度与相位慢变的假设下，对较小的时间延迟就可以用 下式近似表示 吼o t ) = i k ( f 一 c ) e x p j ( 2 r c f k ( t t ) + 女。0 一t ) ) 】 = ( t ) e x p j ( 2 兀f k t + m 0 ) ) e x p ( - j 2 兀f k c ) = 五( f ) e x p ( - j 2 兀f k z ) ( 2 2 7 ) 2 2 3 噪声模型 在本文中，我们假设阵元接收到的噪声为零均值的平稳随机过程。由于不 同快拍、不同阵元上的噪声都彼此独立，且具有相同的方差0 2 。应用中心极 限定理就自然得到这样的噪声模型：该噪声的分布是复高斯的，它的实部和虚 部是相互独立的实高斯过程。这样噪声的二阶矩满足 e 仿0 1 弦“( f 2 ) j = 0 2 1 8 。 ( 2 2 8 ) e 每o ，弦7 ( f ：) j = 0 ( 2 2 9 ) 2 2 4 阵列模型 本文所用的阵列为均匀分布线列阵，它的几何构成简单，易于实现，在理 论研究和仿真分析中经常把阵列假设为均匀线列阵的形式。设m 个阵元等间 隔分布在一条直线上，阵元间距为b ，k 个信号源分别以0 。( k = 1 , 2 ，k ) 的 入射角到达阵列的各个阵元，如下图所示。下面我们就来讨论均匀线列阵的输 出信号形式。 龟 1 x 。o ) 2 x 2t ) ) 3 码0 ) )m 戈m o ) ) 图2 1 均匀线列阵示意图 令阵列中第1 个阵元为参考阵元，相对于参考阵元，以0 。为入射方向的 第k 个信号在第m 个阵元上产生的时间延迟为 c m ( e t ) = m 一1 ) b s i n o k ( 2 3 0 ) c 其中c 为信号的传播速度。 第二章基本数学原理及信号阵列模型 根据前面有关信号、噪声的模型以及阵兀各向同性、空间增益为1 的假设， 阵列第m 个阵元在t 时刻的输出可写为 ( r ) = 五l t 。( o 。) + m 0 ) = s t ( t ) e x p - j 2 r c f k r 。( e 。) + n 。o ) ：k ，。o ) 。 +中。o)。xp-j2nfk(m-1)“+n。o)(231xpj(27tfkt j 2 n f k ( m1 ) o s m u k 3 1 ) = 0 ) e + 机0 ) ) e x f li + o ) k = ll o j 式中n 。o ) 是第m 个阵元在t 时刻接收到的噪声。 令贾( f ) = b ，( f l x ：o 卜，x mo 矿，则 x 五( f t 。( 。) ) k = l l 羔五( f 1 喊) ) x ( f ) = l b 1 茁 夏0 一t 村( e 。) ) k = l + 夏o ) k 瓦( f ) 。p 卜j 2 r c f k 坐垫旦 荟瓦( f ) e x p 【_ 半l = l o ， k 五( f ) 。p f 一兀f k ( m j 2 9 f k ( m 一1 ) 坐堕 k 荟五愉、一