（基础数学专业论文）常曲率空间形式中零曲线的相对论粒子模型.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e rc a n d i d a t ei n2 0 0 8 u n i v e r s i t yc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 2 7 e a s tc h i n an o r m a i ，u n i v e r s i t y g e o m e t r i c a ip a r t i c l em o d e l si nc o n s t a n tc u r v a t u r e s p a c ef o r m so nn u l lc u r v e s d e p a r t m e n t , d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s s p e c i a l t y - p u r e m a t h e m a t i c s r e s e a r c hd i r e c t i o n ：d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y s u p e r v i s o r ；a s s o p r o f r o n g p e ih u a n g c a d i d a t e ：c a i b i nl i u c o m p l e t e di nm a y , 2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文( - g - 曲率空间形式中零曲线的相对论粒 子模型，是在华东师范大学攻读硕士博士( 请勾选) 学位期间，在导师 的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容 外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做 出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说明并表示感谢。 作者签名：s l 戈明。 日期： 3 口；年f 月，罗日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 常曲率空间形式中零曲线的相对论粒子模型系本人在华东师范大学攻读 学位期间在导师指导下完成的硕士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成 果归华东师范大学所以。本人同意华东师范大学根据有关规定保留和使用此学位 论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文 的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借 阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索， 将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位 论文。 本人为学论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审核核定的“内部 或“涉密 学位论文， 于年月日解密，解密后使用上述授权。 ( v 52 不保密，适用上述授权。 学位论文作者签名： 盏! 【圭是商： 导师签名： 莎。声年 木“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委 员会审定过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文”涉 密”审批表方为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文 此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用上述授权) 。 刘才斌硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位一，备注 主席 ； 殷旌牵奏怀瑟最子 逢生南极蝮牟条伸菹六誊 s 。l 攀副殷玻牵庆衍蕴夭巷 i 一 ， 着荔4 ， - cj 击z 詹 ，l 吼kl 。fl 赛 、a q ， 一 - 口j ，d v y 、一 四维洛仑兹空间形式中沿类光曲线的相 对论粒子 摘要 本文先研究了四维洛仑兹空间形式中类光曲线的力学体系，研究任意依赖 于粒子轨道c a r t a n 曲率的拉格朗曰作用，求相对论粒子的拉格朗日运动方程， 构造出了一个沿着极值曲线的k i l l i n g 场，然后在三维常曲率洛仑兹空间形式中 构造了两个k i l l i n g ，并找到了两个k i l l i n g 满足的首次积分，然后进行分类讨论 并求出了极值曲线的参数方程。另一方面在四维洛仑兹空间形式中我们对拉格朗 日作用进行了简化，在线性条件下进行了讨论。 关键词：粒子模型，类光曲线，c a r t a n 曲率 g e o m e t r i c a ip a r t i c l em o d e l si nc o n s t a n tc u r v a t u r e s p a c ef o r m so nn u l lc u r v e s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e rt h em e c h a n i c a ls y s t e mw h i c hi st h ec a s eo ft h ea c t i o n a r b i t r a r yd e p e n d i n go nc a r t a n c u r v a t u r ea n dt h em o t i o ne q u a t i o n sf o rt h i s l a g r a n g i a ni sr i g o r o u s l yo b t a i n e di n4 - d i m e n s i o n a ll o r e n t zs p a c ef b r m s w ew a n tt o f i n dt h r e ek i l l i n gf i e l d sa l o n gt h ec r i t i c a lc u r v e sa n dg e ts o m ec o n s e r v a t i o nl a w s b u t w h e ni ti sh a r dt od o ，w ew i l lt u r nt o3 一d i m e n s i o nc o n s t a n tc u r v a t u r el o r e n t zs p a c e w ec o n s t r u c tas u i t a b l ec o o r d i n a t es y s t e mb yu s i n gt h e s ek i l l i n gf i e l d sa n de x p r e s s t h ec r i t i c a lc u r v e sb yq u a d r a t u r e s k e yw o r d s ： k i l l i n gv e c t o rf i e l d s ，e u l e r - l a g r a n g i a n se q u a t i o n s ，c a r t a n c u r v a t u r e 目录 0 介绍1 1 粒子模型和运动方程3 2e u l e r l a g r a n g e 方程和k i l l i n g 向量场8 2 1e u l e r l a g r a n g e 方程8 2 2 k i l l i n g 向量场1 1 2 2 1g = 0 的情况1 1 2 2 2g 0 的情况1 6 3 三维情形的e u l e r l a g r a n g e 方程1 9 4 极值曲线的参数方程2 2 5 参考文献3 6 6 致谢3 7 介绍。 介绍 在最近的二十年里，有着依赖于粒子世界线的曲率或绕率的作用的相对论粒子 模型吸引了众多人的注意。令人注意的地方在于，粒子自旋的自由度被包含在 粒子的轨道几何里面。p o i n c a r e 和重新参数化不变性的要求，限制了依赖于曲 率和绕率的作用的集合。 我们对于四维洛仑兹空间形式中任意依赖于粒子轨道的曲率的拉格朗日 作用感兴趣，而最简单的几何粒子模型，即三维m i n k o w s k i 时空中的零曲线， 已经被n e r s e s s i a n 和r a m o s 在【1 】中研究过了。作用由粒子世界线的伪弧长给 出。作者证明了在量子化下产生了一个( 2 + 1 ) 维的配备了一个m a j o r a n a 的场 方程，就像质量和自旋的关系一样。一个更为复杂的伴随零曲线的三维系统也 在【2 】中被考虑了，其作用是一个依赖于曲率( 有时也叫绕率) 的线性函数。作 者证明了它的质量和自旋谱线都是通过一维非相对论立方势力学定义的。结果 这个体系拥有振子的经典性质。拉格朗日运动方程在( 2 + 1 ) 维背景引力场中严 格地得到了。这篇论文的第一作者处理了二次依赖于三维洛仑兹空间形式中 c a r t a n 曲率的l a g r a n g i a n 作用，并解决了一个特殊情况【4 】。在【5 】里面，作者研 究了三维m i n k o w s k i 时空中的拉格朗日作用，它定义在零曲线上，且是曲率的 任意函数。最后作者在柱坐标中积分了结构方程。 在这篇文章里面我们考虑这样的力学系统，其作用任意地依赖于c a r t a n 曲 率，且其拉格朗日方程在四维洛仑兹空间形式中严格地得到。我们将找到三个 沿着极值曲线的k i l l i n g 场和一些守恒律，然后我们通过k i l l i n g 场建构了一个 合适的坐标系，导出了极值曲线的参数表达式。在适当情况下，我们将转而讨 论三维洛仑兹空间形式中的拉格朗日作用。 本文如下安排，第一节提出模型，作用由f ( 7 ) 2j ，厂( k 灿给出，其中k 是 类光曲线的c a r t a n 曲率。f ( k ，) 是可微函数。对于这种作用的模型方程在将四 维洛仑兹空间形式中完全给出。第二节通过应用与平移和旋转对称型有关的 n o e t h e r 原理，我们试图找到三个沿着极值曲线的k i l l i n g 场，并且降低了模型 方程的阶。第一个k i l l i n g 场依赖于背景引力场的曲率。这与【6 】中讨论的曲 第1 页共4 4 页 介绍。 线是不同的。由于四维情形k i l l i n g 场的寻找过于困难，所以第三节我们转而讨 论三维洛仑兹空间形式情形，导出相应的拉格朗日方程，寻找k i l t i n g 场。第四 节我们将构造适合的坐标系，并确切地导出相对论粒子的世界线的参数形式， 由于形式太复杂，我们将分九种情况来进行。 第2 页共4 4 页 粒子模型和运动方程 1 粒子模型和运动方程 我们首先引入伪黎曼流形和空间形式的定义 定义1 光滑流形m 称为是伪黎曼流形，若m 上的度量为非退化的( o ，2 ) 型张量场，且指标为常数。 定义2 称伪黎曼流形m 为空间形式，若m 满足： 1 m 是完备的 2 m 是连通的 3 m 的截面曲率为常数。 设m 为四维空间形式，其截面曲率为常数g ， 为m 的度量，r 为曲率 算子，d 为l e v i c i v i t a 联络，对于m 上的向量场x , y , z 满足如下结构方程： d i 】，一q x 一【x ，y 】= 0 ， ( 1 ) r ( x ，y ) z = d x d y z d y d x z d l x y y z ， r ( x ，y ) z = g ( x 一 y ) 。 ( 2 ) ( 3 ) 设m 是指标为1 的四维空间形式，即l o r e n t z 空间，( s ) ： o ，1 专m 是 一条浸入零曲线，s 是伪弧长， 厶，) 是相应的c a r t a n 标架，曲线的c a r t a n 方程为： 眈l 2 w l ， ( 4 ) 眈n = 一墨+ 如， ( 5 ) d = 一毛三+ ， ( 6 ) q 暖= 如上。 ( 7 ) 上述向量场的内积公式是： = 0 ， l ，卜= 一1 ， = 0 ， = 0 ， ( 8 ) = 0 ， - 0 ， = 0 ， ( 9 ) = 1 ， = 0 ， = 1 。 ( 1 0 ) 用y 表示的变分y = r ( w ，t ) ：( 一s ，6 ) x l 专m ，而且对固定的w ，九( f ) = y ( w ，f ) 第3 页其4 4 页 粒子模銎和运动方程 是类光曲线，( f ) ：y 9 ) ，并令矿= 娑为变分向量场，于= 娑为切向量场，若 o wd t 令a ：拿，则于：a l 。并且 y ，于】= 0 。我们回忆m 中三个切向量的向量积运算 优 m 中三个向量x ，y ，z 的向量积是一个向量x ( x ，y ，z ) 使得对m 中的任意切 向量y 满足 = 一( x ，y ，z ，v ) 其中是m 的标准体积4 形式我们可以把x ( x ，y ，z ) 简记为x y x z 因此我们有以下外积公式： 三x n = ，lx 彬= l ， ( 1 1 ) 三x ni i 一彬，x n x = n 。 ( 1 2 ) 下面给出本文中一个重要的引理： 引理1 根据以上叙述，我们有以下公式成立。 1 _ 0 ， ( 1 3 ) 2 + = 0 ， ( 1 4 ) 3 y ( 口) = 互a 噬y ，岭= 三地办= 一 碰2 y ，岭，( i s ) 4 【y ，上】= 寻址， ( 1 6 ) 5 y ( 墨) = + 一丢l ( 三( 办) ) + 毛办+ 2 g ， ( 1 7 ) 6 y ( 砭) = + 2 毛 + 群 + 2 慨一g 。 ( 1 8 ) 证明： 1 由于y 是零曲线，所以 = 0 ， 将v 作用于此式得 v = 0 ， 即 = 0 ， 由于 第4 页共4 4 页 【y ，动= 【d 7 ( 导) ，办( 鸟】_ d y ( 【导，_ d a w a ta wd t 】) = o ， 由公式( 1 ) 得 ( 1 9 ) = 0 ， 又由于 t = 比 于是有 _ 0 ， 2 再将三作用于此式，并由( 4 ) 式得 + = 0 ， 3 由于 d t t = a l ( a ) l + a 2 见三= a l ( a ) l + a 2 ， ( 2 0 ) 将此式与自己做内积，并由内积公式( 8 ) ，( 2 0 ) 得 a 4 = 将v 作用于此式并利用公式( 2 ) ，( 3 ) 及 岛d _ t = r ( v ，t ) t + d 协丁+ d 【旧t = 一g t + d t d # ， 得 4 a 3 y ( 口) = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 a 3 三( d ) ( + ) + 2 口4 = 2 a 4 ， 在上述推导过程中，第六个等式用了刚刚证明的第一个式子，第七个等式用了 刚刚证明的第二个式子。至此可得 y ( 口) = 兰 磋矿，岭= 一扣， 其中 h = 一 第5 页共4 4 页 4 由公式( 1 9 ) 知 展开得 所以 【矿，t 】_ 【v ，a l 】- 0 ， v ( a ) l + a v ，三】= o 嗍= 一掣= 丢旭 5 于是公式( 1 ) 得 以= 砬1 2 h l 由此可得 d v d l w 。= 仇( - k l l + n ) 同时 d 矿d l w , = r ( y ，l ) w l + d b + d 【矿 = 一g l + p l 砩瞩+ = 一g l + p l 岛+ ，工】 在此式中 b 磁= 协眈三 = r ( v ，三) 三+ p l 协三+ q 矿，j 三 = 一g 三+ 眈( d l 矿+ 三1 地) + 互1h d l l = 一g 三+ 磋矿+ 兰砌) 三+ 办， 所以 研p l 彬= 一g l + 眈( 一g + 噬y 第6 页共4 4 页 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 印 + l 红 啪k 2 + 一 三 矿 肪 厉 岛 觑 一 一 l 厩 岛 矿 矿 一 一 = = + 耻 蛾 小 ，q ， 卜 吒 ，、 厂 “ 卜叫2 k t g 三 + 厂 “ 以 枷 l “ 一丢三( ( 办) ) + 吾毛办 + l q h + 2 g ( 2 4 ) + 如见， ( 2 5 ) 而由( 2 ) 式得 d v d l n = d l d v n + q 附】+ r ( y ，l ) n ， 将( 2 5 ) 式与作内积，并用( 2 3 ) 式，则右边为 y ( 如) 一毛( 协，) + 如( b 吸，) = y ( 红) 一毛 = 矿( 岛) 一毛 而在( 2 6 ) 式中， d 【眦】= l h d l n = 吉办( 一毛彤+ 哎) ， 又由公式( 6 ) b = b ( 眈+ 毛) = 见见+ v ( k a ) l + k a d v l ， 将见作用于此式得 d l d v n = 优仇q + 三( 矿( 毛) ) + 矿( 毛) 眈三+ 群优三+ 毛眈岛三。 将( 2 4 ) 式代入此式得 d l d v n = 砬【一2 g 三一g 彬+ 砭y + 昙( ( 办) ) + 3 l ( h 媚 ( 2 6 ) + 主办( 一毛+ ) 】+ ( 矿( 岛) ) 三+ y ( 墨) 彬+ k ；( d f + l z h l ) + 盔砬( 见l z h l ) = - 2 g l ( ) 三一2 g 一g z ( ) 彬一g ( 一毛三+ ) + 磋矿+ j 1 ( 三( 三( 办) ) ) 三+ 丢三( 三( 办) ) 嘭+ 吾三( ( 办) ) 彬+ 三三( 办) ( 一向三+ ) + 昙三( 厅) ( 一k l l + ) + - 吾h d a k 。三+ ) + 三( 矿( 墨) ) 三+ y ( 墨) + 丢三( 厅) ( 一 + ) + 一l 三+ ) + 三【矿( 墨) ) 三+ y ( 墨) 第7 页共4 4 页 e u l e r 。l a g r a n g e 方程 + k ；( d y + 三地) + 墨( 废矿+ 圭砌) + 三办彤) ( 2 7 ) 现计算( 2 6 ) 与吸的内积，并将( 2 7 ) 式代入得 ： + i h + ：( 眈b ，) + 昙慨一g ( 矿，) = + + 群 + + 1 h k 2 一g = + 吾恤+ 墨 + 硝 + 丢饨一g = + 毛 + 群 + 2 h k 2 一g ， 所以 矿( 如) = + 2 毛 + 群 + 2 h k 2 一g 军i 比完成了引瑚1 的证明。 2e u l e r - l a g r a n g e 方程和k i l l i n g 向量场 2 1 e u l e r l a g r a n g e 方程 现在我们来考虑单参数的泛函 ，( w ) = f r f ( k , ) d s 其中是关于k 。的任意光滑函数。 曲线。 i ，( w ) ：fj f , _ o k j 口+ 厂当f o ， o wo w = ，厂熹口一言伽出 = ，( 厂丽o k i 一互1 乃) 凼， 若丢i 。：。，( w ) = o ，称为此泛函的极值 第二个等式用了引理1 中的第二个公式。把引理1 中的( 1 7 ) 式代入得 州从y ) = “w ) i 脚= l 【( 哦y ，删+ ( d y ，毛) + 毛矽一三弘( ( 力) ) 第8 页共4 4 页 e u l e r l a g r a n g e 方程 + 2 何 圭乃】凼， 由分部积分得 一( 圭八舭( 砌) ) 凼= 一三1 砌) 八驯：+ 丢鼽彬三( h ) d s = 一圭砌) 八墨) i ：+ 圭叭毛) 咯一互1 扩i ( 墨) 恸 = 争 + 矗一j 1j 。1 厂( 毛) ”办幽， 【 d s = 兄 一： d s ， 2 6 f ( y ) ( v ) = 【 + 】： 一f 【 一 _ 4 g f ( 毛) 】凼 设伊= f ( 毛) ”+ 2 墨( 毛) 一( 岛) ， 一( 【 废y ，一( 厂7 ( 向) ”+ ( 墨) ) 暖+ 2 f ( 毛) n + 2 k 2 f ( 向) 兑， = r d s = 匕 一： d s = 晤 一【 , i s 2 9 f ( r ) ( v ) = + 矗 + l ： 一( - 4 g f ( 向) 】凼， 第9 页共4 4 页 e u l e r l a g r a n g e 方程 一j ： d s = + ( d s = + ： d s ， ： 幽= r d s = 一( 【 + d s = 匕一( d s ， 这里用了 = 0 ，所以 2 8 f ( y ) ( v ) = + e + i ： + 匕 一( d s = b ( y ，矿) 匕一f d s ， 其中 e ( r ) = ( 妒”+ ( k i l o ) + 毛妒7 + 4 ( g + 碍) ( 毛) + 2 k ：k ；f ( 毛) ) 三 + ( 2 k ；厂( q ) + 6 k ；f ( 毛) 7 + k 2 ( s q , - s k ，f ( 毛) + 4 厂( 毛) ) ) w j ， 伊= f ( 毛) ”+ 2 k 。f ( 1 q ) - f ( k a ) ， b ( r ，y ) = + 笛1 0 面其4 4 丽 k i l l i n g 向量场 + + ， p = ( 驴”+ k a + 4 g f ( 墨) ) 三一缈+ 妒+ ( 2 k ：厂( q ) + 4 k 2 f ( 投) ) w ；。 丢b ( 7 ，y ) 称为边界项。由于我们总可使得边界项为零，于是得到以下定理： 定理1 ：一条类光曲线厂是，( 叻= l ( 墨) 凼的极值曲线的充要条件是 ( 1 ) 沿着类光曲线y 可以定义c a r t a n 标架， ( 2 ) 厂满足e u l e r - l a g r a n g e 方程 e ( ) = ( 伊肿+ ( 墨缈) + k s o + 4 ( g + 碍) ( 岛) + 2 k 2 k ；f 7 ( 墨) ) + ( 2 k z f ( 毛) + 6 k ：( 毛) + 觞( 5 妒一8 k l f ( 矗) + 4 厂( 毛) ) ) w j = 0 。 2 2 k i l l i n g 向量场 我们在本节将要找到三个k i l l i n g 向量场，为此我们首先在g = 0 的情况下寻 找，此时的三个k i l l i n g 场，其中两个为平行移动的向量场，另一个为旋转的向 量场。然后我们在其基础上寻找g 不为零时的三个k i l l i n g 场。首先给出k i l l i n g 场的定义 定义1 我们称一个沿m 中的曲线y 的向量场w r o l l i n g 向量场，若w 满 足： = w ( a ) = ( 毛) = 形( 乞) = 0 。 2 2 1 g = o 的情况 直接计算我们可以导出向量场尸和变分中积分项的关系： 砬p = ( 妒”+ ( 毛缈) + 4 够( 墨) ) 三+ ( 缈”+ k a 呼o + 4 g f ( 岛) ) 一缈”一妒( 一l f i l + n ) + c p n + ( p ( - k l w j + k 2 w j ) 第1 1 页共4 4 页 k i l l i n g 向量场 + 2 ( k ；厂( 毛) + 3 k ：( 毛) + 2 k 2 f ( 毛) ”) w 2 + 2 ( k 2 f ( q ) + 2 k 2 f ( 毛) ) k 2 三 = ( 缈”+ ( 墨妒) + 毛妒+ 4 ( g + 碍) 厂( 矗) + 2 k ：k ；f ( 毛) ) + 4 q r 厂( 毛) 彤 + ( 2 k ；( k a ) + 6 k ；f ( 毛) + 如( 5 p 一8 k 。f ( 墨) + 4 厂( 毛) ) ) w 2 = e ( y ) + 4 g f 7 ( 毛) 磁， 由于g = 0 ，沿着极值曲线厂有4 p = 0 ，从形( a ) ，形( 墨) 和w ( k 2 ) 的表达式知 = w ( a ) = ( 墨) = ( 如) = 0 。所以p 是k i l l i n g 场。此时的边界项成为 b ( r ，p ) = 。 事实上，反过来考虑一个常向量场的平移对称性对这样的w ，f ( y ) 的第 一变分为零，所以我们有 2 6 f ( y ) ( w ) = 一 当，换成一个任意中间值，( o ， ，) 时，这个变分公式继续保持因此 在【0 ，】上是常数但是形是一个任意常向量场，所以我们得到尸是沿着任意一 条极值盐线的常向量场 根据n o e t h e r 原理，i ( w ) 具有旋转不变性，而旋转向量场可由y z 1 z 2 表 示，这里z i ，z 2 是两个任意的常向量场，于是8 ( y ，y x z , xz 2 ) 对任意z l ，z 2 是 常数。 b ( y ，y z 1 z 2 ) = + + + = = 。 于是向量场 】，( z 1 ) = 2 f ( 毛) n x z , + y x p xz l + l x ( ( r # - 2 k , f 7 ( 墨) + 2 ( 墨) ) 一2 f7 ( 墨) 7 n 一2 k 2 f ( 毛) ) z l 对任意z l 是常向量场，代入p 得常k i l l i n g 场 芝= y ( p ) = 2 f ( 毛) x n x p + l x ( ( 伊- 2 q f7 ( 毛) + 2 ( 墨) ) 彤一2 f ( 岛) 7 n 一2 k j 7 ( 岛) ) x p = 2 f 7 ( 毛) 彬( ( 驴”+ 局妒) 三一妒彬+ 缈+ 2 ( k ：厂( 毛) + 2 k 2 f ( 毛) 7 ) w j ) + l x ( ( ( p - 2 k l f ( k n ) + 2 f ( k n ) ) w i - 2 f ( 岛) n 一2 k 2 f ( 岛) ) ( ( 妒”+ k l r p ) l 一妒7 彬+ 伊 + 2 ( k 2 f 7 ( k 1 ) + 2 k ：f ( 白) 7 ) w 2 ) = 2 ( 伊一2 毛( 墨) + 2 f ( k n ) ) ( k 2 f ( 岛) + 2 k ：f ( 毛) ) 一k ：厂( 毛) 缈】上 + 2 k 2 f ( k n ) r p - 4 f ( 毛) ( k ：7 ( q ) + 2 k 2 f 7 ( 毛) ) 】w l + 4 ( 毛) ( k ：厂( 毛) + 2 k ：f 7 ( 毛) ) + 【2 7 ( 毛) ( 缈”+ 向缈) + ( 妒一2 毛厂( k a ) + 2 f ( k i ) ) r p 一2 f ( 墨) 7 妒】 虽然已经导出昱是常向量场，但是验证一下是有益的。 定理2 ：只是常向量场 眈最= 2 f 7 ( 岛) 嘭x n x p + 2 f ( k 1 ) ( - k l l + n ) x n x p + 2 ( 向) 彬( 一墨+ 乞) 尸 + 彤( ( 缈一2 k , f ( 毛) + 2 厂( 毛) ) - 2 f ( 毛) 7 n 一2 k j ( 毛) ) x p + 三( ( 缈一2 舛( 毛) 一2 毛厂( 毛) + 2 f ( k a ) 7 ) 彤+ ( r p - 2 k l f ( 毛) + 2 ( 毛) ) ( 一毛三+ ) 2 ( 毛) ”n 一2 f 7 ( 向) ( 一向彬- i - 包哆) - 2 k 2 f ( 墨) 暖一2 k = f 7 ( 墨) 一2 k = f ( 毛) k ：l ) xp = 2 f ( 置) 彬x n x p 一2 t q f ( k a ) l x n x p + 2 k j ( 墨) 吸x p 第1 3 页共4 4 页 k i l l i n g 向量场 _ 2 ( 向) x n x p 一2 恕厂( 毛) x p + 三( 妒+ ( - 伊+ 2 k a f ( 毛) ) - 2 k ；f ( 毛) 一4 k z f ( 毛) ) xp = 上( 妒职一缈一2 ( 毛) 暖一4 k 2 f ( 墨) 暖) x p = - l x p x p = 0 。 因此只是常向量场。此时的边界项成为 b ( y ，) = 但是从最的表达式知 = 0 由于是常的，将其带入y 得 x = l ，( 忍) = 2 f ( 毛) 嘶x n x p 2 + y x p x p 2 + l x ( ( 口a - 2 q f ( 毛) + 2 厂( 颤) ) 一2 f ( 岛) n 一2 k 2 f 7 ( 毛) 哎) 最， 这里x 是常向量场，y y x p , x 8 是旋转向量场，所以 = 2 f ( 毛) 嘭x n x p 2 + l x ( ( c p - 2 k a f ( 毛) + 2 厂( 岛) ) 一2 f 7 ( 毛) n 一2 k j ( 毛) 暖x 最 是k i l l i n g 场。 ，= 2 f ( 墨) 彬xnx ( 2 ( c p - 2 k , f ( 岛) + 2 厂( 毛) ) ( k ：厂7 ( 毛) + 2 k ：f 7 ( 毛) ) 一k ：f ( 毛) 伊】 + 【2 厂( 岛) ( 缈”+ 霸妒) + ( 妒一2 毛( 毛) + 2 厂( 毛) ) 缈一2 f ( 岛) 缈】) + l x ( ( 伊- 2 k n f ( q ) + 2 f ( k o ) w 1 2 f ( k o n 一2 k 2 f ( 毛) ) ( + 2 k z f ( k a ) 矽- 4 f ( 毛) ( k 2 f 7 ( k n ) + 2 k ：f ( 毛) ) 】w + 4 f ( 墨) ( k ：厂( q ) + 2 k 2 f ( 毛) ) + 【2 7 ( 毛) ( 妒4 - k l ( p ) + ( 矽- 2 k a f 7 ( 毛) + 2 f ( k a ) ) o 一2 f 7 ( 毛) 妒】暖) = 4 f ( 毛) 【( 缈一2 局( 毛) + 2 厂( 岛) ) ( k ：厂7 ( 毛) + 2 k ：f ( 毛) ) 一k ：f ( 墨) 缈】 + 2 f ( k 1 ) 2 f 7 ( 墨) ( 缈”+ 盔伊) + ( 缈一2 q f ( 墨) + 2 厂( 毛) ) 伊一2 f 7 ( 墨) 伊i n + 4 ( k a ) ( c , o - 2 k , f ( 毛) + 2 厂( 毛) ) ( k ：厂7 ( k n ) + 2 k ：f ( 墨) ) + ( 伊- 2 k l f ( 岛) + 2 ( 毛) ) 【2 厂( 毛) ( 妒”+ 毛伊) + ( 伊一2 k l f ( k 1 ) + 2 f ( k 1 ) ) r p 一2 f ( 局) 缈】三 第1 4 页共4 4 页 k i l l i n g 向量场 + 2 厂( 毛) 2 k j ( k a ) 伊- 4 f ( 毛) ( k ：7 ( 墨) + 2 k ：f ( 毛) ) 】w ： - 2 f ( 墨) 2 f ( 岛) ( 妒”+ 墨劝+ ( 妒一2 q f ( 毛) + 2 厂( 岛) ) 妒一2 厂( 毛) p 】 + 2 k z f 7 ( k 1 ) 2 k z f ( k a ) o - 4 f ( 毛) ( k ：厂( 毛) + 2 k ：f ( 毛) ) 】三 + 8 k 2 f ( 毛) ( 向) ( k ：厂( 局) + 2 k ：f 7 ( 毛) ，) 彬。 眈j = 2 f ( 毛) 7 彬最+ 2 f ( 白) ( 一墨三+ ) x 最 + 2 f ( 毛) ( 一毛+ 也) x 罡 + 彤( ( 矽一2 k a f 7 ( k a ) + 2 f ( q ) ) w l - 2 f ( 墨) n 一2 k 2 f ( 毛) ) 最 + 三( ( 缈一2 k ；f ( 向) 一2 向( 毛) + 2 ( 毛) ，) 形+ ( 矽一2 1 q f ( 毛) + 2 厂( 墨) ) ( 一向+ ) 一2 f 7 ( 毛) ”n 一2 f ( 向) ( 一岛彤+ k z 吸) 一2 厂( 向) 一2 k 2 f ( 岛) 7 - 2 k 2 f7 ( 岛) 包) 最 = l x ( c p 彬一妒一( 2 k ；f 7 ( k 1 ) + 4 k 2 f7 ( 毛) 7 ) ) 最 = 一三x p x ， 蹉j = 一彬x p x p 2 ， 砭，= 一( 一墨三+ ) 尸昱， 磋j = ( 1 q l + 2 k i w i 一致) x p x p 2 。 直接带入 ，肜( 口) ，w ( 1 q ) ，w ( k 2 ) 的表达式也知j 是k i l l i n g 向量场。 b ( r ，j ) = 一 一 4 - = 2 一 - i - ， 第1 5 页共4 4 页 k i l l i n g 向量场 - 一一一 2 一 = 一 = 一 - - 所以 b ( y ，) = 2 但是从，的表达式知 = 0 因此我们有 ： = 0 ， = 一 = 功， = 毛彳， = 岛霞， 其中q ：1 ，a ：丽，仍：而为常数。这便是关于三个删7 馏 场的首次积分式。p l ，缈代表了相对论粒子的运动常数，分别对应于粒子的质量和自 旋。 2 2 2g 0 的情况 现在来看g 不为零的情况，这时处理的公式比较长，我们看一个简单的 情况厂( 毛) = 岛，这时 伊= f 7 ( 毛) ”+ 2 k 。f ( 毛) 一f ( k a ) = 墨， e ( y ) = ( 伊一十( 岛缈) + 墨缈+ 4 ( g + 碍) 7 ( 盔) + 2 k 2 k ；f ( 墨) ) 三 + ( 2 k ：厂7 ( 毛) + 6 k ：厂7 ( 毛) + 如( 5 矽一8 k 。f 7 ( 毛) + 4 厂( 墨) ) ) w 2 第1 6 页共4 4 页 k i l l i n g 向量场 = ( 竹3 k l q + 2 k 2 k 2 ) l + ( 2 k ；+ 局也) w 2 ， b ( r ，y ) = + + + = + + + ， p = ( 伊”+ 毛妒+ 4 够7 ( 毛) ) 三一伊彤+ 缈+ ( 2 k ：( k 1 ) + 4 k 2 f ( 岛) ) w j = ( 矸+ 砰+ 4 g ) l 一粥+ k l n + 2 k 2 w 2 。 e u l e r - l ar a n g e 方程为 竹3 q q + 2 k 2 k 净0 ， 2 k ；+ 岛包= 0 ， 第一个方程的首次积分为 耳+ 吾砰+ k ；：c l ， 此时 眈p = e ( 厂) + 4 g 暖= 4 g v d l 验证后知前面得到的三个向量场不再全部满足k i l l i n g 场条件。但是我们还 是想对这三个向量场作适当的调整，毕竟在平坦条件下它们是k i l l i n g 场。 令候选向量场为 x = x 七x l 七x 建j rx p t 则 眈x = 一三+ 五+ 形彬+ 五( 一k a l + n ) + 墨+ 置( 一毛+ 乞) + 弼吸+ x 4 k 2 l = ( x ( - x z k 。城k 2 ) + ( 墨- & k 。蝎) 彬+ ( x ；+ x 2 ) + ( 弼+ 也包) 哆 = a l + b 彬+ c + d 其中 a = - x 2 k l 鹄k 2 ，b = 墨- & k l 蝎，c = x ；+ x 2 ，d = + 置也 则 砭x = ( a 书k i + d k 2 ) + ( 一c k l 叫) + ( c 佃) + ( d ，+ c 乞) 。 第1 7 页共4 4 页 k i l l i n g 向量场 现在看一下要使尸+ x 成为k i l l i n g 场的条件，由眈p = 4 g 嘭知 只需要 对此令 则 一一( x ；+ x 2 ) = 0 明p = 4 g ( - i q l + n ) ( 理( 尸+ x ) ，彬) = 萨c k 。叫 b l c k l + 1 4 = 0 x 2 = x 3 = x4 i q ， a = ，b = x l ，