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函数空间算子与算子代数问题 基础数学专业 研究生曹志平指导教师曹广福教授 函数空间上的算子理论作为现代数学的重要分支，它与量子力 学，微分几何，线性系统和控制理论，甚至数论等学科都有着出人 意料的联系和相互渗透，已经越来越受到人们的重视，现在已经形 成了一整套系统的理论体系【1 , 2 ，3 】 复合算子的产生是函数论与算子理论相结合的产物，是利用经 典函数论中的结论和方法探讨线性算予理论中的一些最基本的同 题。同时也利用算子理论作为工具研究函数空间的经典问题设f 是定义在复平面c 中单位圆盘d 上的解析函数空间，如果妒是d 的解析自映射，则通过函数复合，线性算子 c ；，= f o i p ( v ，口) ， 则称g 是由妒导出的f 上的复合算子函数的复合是函数空间的 一种基本运算，在数学的各分支上均有重要应用，如岛空间上的 复合算子与遍历理论密切相关；在乘法算子和更一般算子的交换 子研究中也涉及复合算子 上个世纪末，一些有关复合算子的专著相继出版( 如1 4 ，【5 】5 和 1 6 】) ，对复合算子的研究越来越受到关注对于复合算子的研究人 l 们主要从算子以下方面进行。紧性，收敛性，有界性，范数，谱性 质，不变子空间，s c h a t t e n 类，循环性，代数性质( 正规性等) ，加权 复合算子及复合算子产生的c 代数等同时人们还推广到不同的 函数空间，如b e r g m a n 空间，d i r i c h l e t 空间，b e s o v e 空间，o r l i c z 空间，h a r d y o r l i c z 空间等角度去刻画各类复合算子的性质显 然，不同的函数空间复合算子的性质也不尽相同，有关复合算子理 论还有相当多的问题亟待解决 t ， 本文第二章主要研究高维d i r i c h l e t 空间上超循环复合算子问 题众所周知，如果妒是单位圆盘的自同构，且在圆盘内没有不 动点，那么g 是超循环的而单变量的d i r i c h l e t 空间上不存在超 循环复合算子。我们运用超循环准则证明了在高维d i r i c h l e t 空间 上，仍然有超循环复合算子存在 本文第三章主要讨论复平面内单位圆上的加标准权b e r g m a n a r l i c z 空间的性质，包含关系，其上复合算子的相关性质，同时 证明了对于任意的解析自映射妒，g 都不是超循环算子 在高维函数空间上，许多重要问题往往与算子矩阵或算子组有 关例如，在此情形下，研究指标问题的合适对象是算子矩阵或算 子组，又如高维皇冠问题可以转变成相应的算子联合谱问题算子 组理论产生于二十世纪7 0 年代，人们在研究交换算子组及b a n a c h 代数( 或伊代麴中多个交换元情形时就定义了各种类型的联合 谱，这些概念对于研究算子代数特别是交换算子代数的结构与性质 2 起到了很大作用然而，对于非交换c 代数多个非交换元情形， 情况要比交换代数时复杂很多，非交换代数上可能不存在乘法线性 泛函，此时常用的方式是研究这些代数上的态或纯态记a 是有单 位元的驴代数，如，是a 上的有界线性泛函，且h 川= ，( e ) = 1 ， 则称，为a 上的态记 5 ( a ) = ，a i ，是a 上的态) s ( 栅的端点则称为a 的一个纯态本文第四章主要在非交换弘 代数情形下，研究了其谱和纯态值域，得到了伊- 代数张量积中两 个元的本质纯态值域的表示 h i l b e r t 空间上交换算子组的张量积早已为人们所研究，特别 是其联合谱的研究涉及到偏微分方程的有关理论b a n a c h 空间情 形，相关问题要复杂许多【7 】交换算子组的联合谱与算子方程有 定联系，有时，初等算子的谱可用联合谱来表示( f 8 】) 早在1 9 7 8 年，f h v a s i l e s c u 就研究了交换算子张量积的联合谱，他证明了 s p ( t 1 ，1 0 s ) = s ( 卵x 昂( s ) ，其中t , s 分别是h i l b e r t 空间h , k 上的交换算子组，s 棚= d 伊i t a 是不可逆组 是t 相对 于a 的t a y l o r 联合谱v w r d 6 e t l 9 曾经研究过b a n a c h 空间上算子 张量积的联合谱，他证明了 n n 昂( 畲蜀) = n 一 ) ，：- 1 ： 其中正“= 1 ，n ) 是b a n a c h 空间五0 = 1 ，竹) 上有界算子， 亍= ( 磊，蠢) ，嚣= 1o o 1o 冠固1o 1 ，o = 1 ，哟罗【1 0 1 3 于1 9 9 2 年曾研究过含单位元交换b a n a c h 代数的代数型联合谱 由该代数的理想导出的代数型联合本质谱及其在函数代数上的应 用等相关问题【1 0 j 证明了a a & a ( a l0 1 0 1 ，1 0b z 1 固b m ) = a a ( a ) 即( 6 ) ，其中a ，b 均是含单位元的交换算子b a n a c h 代数， 口= ( d l 一，) 是a 中n 元组，b = 慨，k ) 是b 中m - 元组在 【1 1 1 中，c a o 证明了当t 和s 为b a n a c h 空间上交换算子组时，有 s ( m 圆1 ，z 1 0 1 ，1 0s l ，1 圆) ；x 固y ) = s p ( e x ) x 昂 y ) 运用张量积，可以简化高维复空间中多圆盘上的许多问题例如 伊( p ) 同构于舻( 即茜曷俨( ”算子组( 疋l 一，z k ) 可以看作 ( p ，o o l ，囟o r 圆) ，此时，前者五是俨( p ) 上的 算子，而后者死是日2 ( 力上的算子利用算子组张量积理论立得 品( e 。，强) ；叮。) x x 盯( & ) 利用函数演算，可知对任意妒- ，a ( d ”) ，有s ；( ，) = ( 妒”一，) ( s ；亿。，疋) ) = 而i ；= = ：i 万巧，此处( 妒。，) ( d n ) 皇 ( i p t ( 力，( z ) ) k 本文第五章我们主要讨论b a n a c h 空 间上交换算子组张量积的联合本质谱和指标公式 关键词： 六代数纯态b e r g m a n o r l i c z 空间纯态值域循环算子 超循环算子复合算子张量积交换组联合本质谱 4 a b s t r a c t t h et h e o r yo fo p e r a t o ro nt h ef u n c t i o ns p a c e sh a sb e c o m ea l li m p o r t a n t b r a n c hw h i c hh a sp l a y e dt h er o l eo fl e a d i n gt h ew a yi nm o d e r nm a t h e m a t i c s a n dh a sc l o s ea n ds u r p r i s e dc o n n e c t i o nw i t ho t h e rb r a n c h e so fs c i e n c es u c h a s i q u a n t u mm e c h a n i c s ，d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ，l i n e a rs y s t e ma n d c o n t r o lt h e o r y ，a n dn u m b e rt h e o r ya n d s oo n i th a sa l r e a d yb e e nv a l u e d b yt h ep e o p l em o r ea n dm o r e 。 a n dh a sa l r e a d yf o r m e daw h o l ea n df r u i t f u l s y s t e mo ft h e o r yn o w ( 1 ，2 ，3 1 ) t h es t u d i e so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r sl i n k sf u n c t i o nt h e o r ya n do p e r a t o r t h e o r y t h em a i ng o a li st om a k et r e eo fs o m er e s u l t sa n dm e t h o d sf r o m c l a s s i c a lf u n c t i o nt h e o r yt os t u d y8 0 m eo ft h em o s tb a s i cq u e s t i o n sy o uc a n a s ka b o u tl i n e a ro p e r a t o rt h e o r ya n du s eo p e r a t o rt h e o r y 豳8t o o lt os t u d y t h ec l a s s i c a lq u e s t i o n s0 1 1f u n c t i o ns p a c e sa tt h es a m et i m e i ff i sa s p a c e o fa n a l y t i cf u n c t i o nd e f i n e do i lt h eu n i td m kdi nc o m p l e xp l a n ec a n d 妒i s a na n a l y t i cs e l f - m a po l d ，t h el i n e a ro p e r a t o rd e f i n e db y g ，= ，o i p ( v f 研， i ss a i dt ob eac o m p o s i t i o no p e r a t o ro nf t h ec o m p o s i t i o no ff u n c t i o n s i saf u n d a m e n t a lo p e r a t i o no nf u n c t i o ns p a c e sa n dh a st h ei m p o r t a n ti l p p l i - c a t i o ni na l lm a t h e m a t i c s ，f o re x a m p l e ，t h ec o m p o s i t i o no p e r a t o ro n 5 t h es p a c el v h a sc l e s ec o n n e c t i o nw i t ht h ee r g o d i ct h e o r y ；t h er 鹤e 8 “出e 8o f c o m m u t a n t sb e t w e e st h em u l t i p l i c a t eo p e r a t o r sa n de o i n t n o i lo p e r a t o r s h a v e c l o s er e l a t i o n s h i pw i t hc o m p o s i t i o n o p e r a t o r l a s tc e n t u r ya l o n gw i t ht h ep r o f e s s i o n a lw o r k ss u c h 鹪 4 1 ，( 5 j 矩d 6 1 e t c p u b l 讪面。t h er e s e a r c h e sa b o u tc o m p o s i t i o no p e r a t o rh a v eb e e n a t t a c h e dt ot h ep e o p l e sw i d e s p r e a dv a l u eg r a d u a l l y t h er e s e a r c h e sc o i l - c e r n i n gc o m p o s i t i o no p e r a t o rr o u g h l yc a nb ed 嘲i f i e de sc o m p a c t n e s s ， n v e r g e n c e ，h e u n d e d n e s s ，s p e c t r u m ，i n v a r i a n ts u b s p a c e s ，s 出a t t 钆 c l a s s ，c y c l i c i t y ，a l g e b r a i cp r o p e r t i e s ( s u c h 勰n o r m a l i t y ) ，w e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o ra n dc m g e b r a sg e n e r a t e db yc o m p o s i t i o no p e r a t o r e t c a tt h eb 唧et i m et h ep e o p l es t i l le x p a n di tt ot h ed i 彘舱n t 眦i o n s p a c es u c h 鹤ib e r g m a ns p a c e ，d i r i c h l e ts p a c e ，b e s o v e s p a c e 。 o r l i e zs p a c e ，h a r d y o r u c z s p a c et od e s c r i b et h ep r o p e r t i e so fa l ll d n 出 o fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s o b v i o u s l y ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so nd i 胁 e n tf u n c t i o ns p a c 稻h a v ed i f f e r e n tp r o p e r t i e s t h e r ea r es t i l la n u n 岫o f q u e s t i o n s 渤翻咄c o m p o s i t i o no p e r a t o rt h e o r yu n s o l v e d w es t u d yt h e h y p e r c y c l i ec o m p o s i t i o no p e r a t o r so nl y i r i c h l e ts p a c ef o r s e v e r a l 功【p l e x v a r i a b l e si nc h a p t e r2i nt h i sd i s s e r t a t i o n i ti sw e - k n o w n t h a ti f 妒i s a na u t o m o r p h i eo ft h eu n i td i s ka n dh a sn of i x e dp o i n ti nt h ed i s k ，t h e n o i sh y p e r c y c l i e t h e r ea r ee o n l ed i f f e r e n c e so nd i r i c h l e t8 p a o 酋b e t 捌钾n t h e 嘲o fo n e c o m p l e xv a r i a b l ea n ds e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s w eh 啪 6 p r o v e da na n a l o g u eo ft h er e s u l t0 1 1d i r i c h l e ts p a c e s f o rs e v e r a lc o m p l e xv a r i - a b l e sw i t hh y p e r c y c l i ce r i t e f i o n i nt h ec h a p t3 ，w eh a v ed i s c u s s e dt h ep r o p e r t i e so fs t a n d a r d - w e i g h t e d b e r g m a n o r l i c zs p a c ea n d o f c o m p o s i t i o n o p e r a t o r so i l t h es p a c e ，a t t h e 蚴et i m ew eh a sp r o v e dt h a tt h e r eh a sf i x e dp o i n ti nt h ed i s kd a n dq i a n th y p e r c y c l i co nt h ea ：s p a c e m a n yi m p o r t a n tq u e s t i o n so nf u n t i o ns p a 嘲f o rs e v e r a lc o m p l e xv a x i - a b l e su s u a l l yr e f e rt oo p e r t o rm a t r i xo rt h et u p l eo fo p e r t o r s f o ri n s t a n c e ， t h ew a yo fr e s e a r c h i n gt h eq u e s t i o na b o u ti n d e xf o r m u l aj 8s u i t e dt oo p - e r r o rm a t r i xo rt h et u p l eo fo p e r t o r s ，t h eq u e s t i o na b o u tc o r o n at h e o r e m o ns p a c e sf o rs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e sc a nb ec h a n g e di n t oj o i n ts p e c t r ao f o p e r a t o r s ，e t c t h et h e o r yo ft h et u p l eo fo p o r t o r sa l ef o r m e di n7 0 si n2 0 c e n t u r i e s p e o p l ed e f i n e da l ls o r t so fj o i n ts p e c t r aw h e nt h e ys t u d i e dt h e t u p l eo fc o m m u t i n go p e r a t o r sa n db a n a c ha l g e b r a ( o rc a l g e b r a ) t h e s e c o n c e p t sh a v eg r e a tf u n c t i o nf o r 弛粕凰r c 址n gt h es t r u c t u r e a n dp r o p e r t i e so f t h eo p e r a t o ra l g e b r ae s p o c i a l l yo f c o m m u t i n go p e r a t o ra l g e b r a h o w e v e r ， i t i sm u c hm o r ec o m p l i c a t e df o rm a n yn o n - c o m m u t i n ge l 锄e n 协o ft h en o n - c o m m u t i n gc * - a l g e b r at h a nf o rc o m m u t i n ga l g e b r a i ti sp o s s i b l et h a t t h e r ed o e s n te x i s tm u l t i p l i c a t i v el i n e a r m c t i o n a l so nn o n - c o m m u t i n ga l g e - b r a f o rt h i sw ea d o p tu s u a l l yt h ew a y w h i c hi st or e s e a r c ht h es t a t ea n d t h ep u r es t a t eo f t h e s ea l g e b r a s l e tab ea u n i t a lg a l g e b r a ，f o r f a 7 ( d u a ls p a c eo f 由，a n d l i ，j i = ，( e ) = 1 ，t h e n i i ss a i d t o b ea s t a t eo n a w r i t e s ( a ) = f ，a l 诂as t a t ema a ne x t r e m ep o i n to fs ( a ) i sc a l l e dap u r es t a t eo na t h es p e c t r aa n d t h ep u r es t a t er a n g e so ft e n s o rp r o d u c t so fn o n c o m m u t i n gc * - a l g e b r a sa l e r e s e a r c h e da n d8r e p r e s e n t a t i o no ft h ee s s e n t i a lp u r es t a t er a n g eo fa p a i r o fe l e m e n t si nt h et e n s o rp r o d u c t sa l g e b r ao fn o n - c o m m u t i n g 伊一a l g e b r a si s o b t a i n e di nt h ec h a p t4 t h et e n s o rp r o d u c t sf o rc o m m u t i n go p e r a t o r so i lh l b e r ts p a c eh a v e b e e nr e s e a r c h e de a r l y ，e s p e c i a l l yt h er e s e a r c h e sf o rj o i n ts p e c t r ah a v ei n - v o l v e dt h et h e o r i e so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h es i m i l a rq u e s t i o n s o nb a n a c hs p a c ea l em o r ec o m p l i c a t e dt h a nt h a to nh i l b e r ts p a c e ( 1 7 ) t h er e p r e s e n t a t i o n so ft h ej o i n ts p e c t r ao ft e n s o rp r o d u c t sh a v er e l a t i o n s h i p s i ，i t ho p e r a t o re q u a t i o n si nt h ec o m m u t i n go p e r a t o rt u p l e s s o m e t i m e st h e 研d e c t r ao fb a s i co p e r a t o r sc a nb er e p r e s e n t e db yt h ej o i n ts p e c t r a ( i s ) i n 1 9 7 8 ，f h v a s i l e s c us t u r l i e dt h ej o i n ts p e c t r ao ft e n s o rp r o d u c t sf o rc 0 1 - m u t i n g o p e r a t o r s a n d p r o v e d t h a t s 口o l ，i s ) = 岛( 即品( s ) ，w h e r e ta n ds8 1 et u p l e so fc o m m u t i n go p e r a t o r so nh i l b e r ts p a c eha n dk ，r e - s p c e t i v e l y ；岛( z a ) = d 伊lt 施n o ti n v e r t i b l et p l e 矿而如，f 9 j s t u d i e d t h e j o i n t q d e c t r a o f t e n s o r p r o d u c t s o f o p e r a t o r s o n b a n a c s p a c e s ，h e 8 p r o v e dt h a t n n 品( 元垒墨) = r w h e r e 正( i = 1 ，n ) i sab o u n d e do p e r a t o r o nb 知i c 7 ls p a c e 恐“= 1 ，哟，t 一= ( 磊，露) ，磊= 1 0 0 1 固正0 1 固1 ，o = 1 ，n ) l u o 1 0 s t u d i e dt h ea l g e b r a i cj o i n ts p e c t r ao fc o m m u t i n gu n i t a lb a n a c ha l - g e b r a ，t h ea l g e b r a i cj o i n te s s e n t i a ls p e c t r ao ft h ei d e a lo ft h ea l g e b r aa n d a p p l i c a t i o n so nf u n c t i o na l g e b r a se t c 【1 1 】p r o v e dt h a t 曲( 口1 0 1 d ，1 0 1 ，1 0 h 1 06 ，i ) = o a ( a ) 即( ， w h e r eaa n db a r eu n i t a lc o m m u t i n gb a n a c ha l g e b r 拍。4 = ( ( z 1 ，) i s 锄n - t u p l e o f a ，b - - 仇，b m ) i s a n m - t u p l e o r b h f l 2 】，c a o p r o v e d t h a t 昂( ( n 。l ，露。1 ，1 固s l ，1 。s m ) ；x 台y ) = s v ( t , x ) x s p ( s , y ) f o r t a n ds 。t h et u p l e so fc o m m u t i n go p e r a t o r so nb a n a e hs p a c e i nd m p t 5 ，w es t u d ym a i n l yt h ej o i n te s s e n t i a l8 p e c t r s , a n di n d e x f o r m u l ao ft e n s o r p r o d u c t sf o rt u p l e so fc o m m u t i n go p e r a t o r so nb a n a c hs p a c e 伊a l g e b r a ，p u r es t a t e ，b e r g m a n o r l i c zs p a c e ，p u r es t a t er a n g e ，c y c l i co p e r a - t o r ，h y p e r c y c l i co p e r a t o r ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r ，t e n s o rp r o d u c t ，c o m m u t i n g t u p l ej o i n te e n t i a ls p e c t r l 皿 9 第一章引言 复合算子的产生是函数论与算子理论相结合的产物，是利用经 典函数论中的结论探讨线性算子理论中的一些最基本的问题，同 时也利用算子理论作为工具研究函数空间的经典问题设f 是定 义在复平面e 中单位圆盘d 上的解析函数空间，如果i p 是d 的解 析自映射，则通过函数复合，线性算子 g ，= 1 0 妒( v f 口) ， 则称q 是由妒导出的f 上的复合算子函数的复合是函数空间的 一种基本运算，在数学的各分支上均有重要应用，如岛空间上的 复合算子与遍历理论密切相关；在乘法算子和更一般算子的交换 子研究中也普遍涉及复合算子将复合算子作为某个函数空间上 的线性算子进行研究，这可追溯刭1 9 6 8 年e n o r d g r e n 的工作，他 解决了h a r d y 空间上复合算子的相关问题，他在【1 2 1 中用函数论中 的l i t t l e w o o d 从属原理证明了。为h a r d y 空间点r ，上的有界线性算 子随后，s c h w a r t z 在其博士学位论文中探讨了舻空间上的复合算 子的紧性问题j h s h a p i r o 和t a y l o r 进一步讨论了复合算子的紧 性问题，他们指出当妒在单位圆盘边界上某点存在角导数b e , g 在 舻空间上不是紧算子s t a n t o n i x s l ，h e n k i n “，a d a c h i i s ，r u d i n i l 哪 等研究了与复合算子有关的保范俨的扩张同题上世纪六十年 1 1 代n o r d g r e n 1 21 ，c c c o w e d 【1 7 1 ，b d m a e c l u e r 【1 81 等研究了 晶= b , n 时将。视为如( 风) 上算子时一些重要的算子论问题( 如【 1 7 1 讨论了关于n = m = 1 情形，【1 8 】讨论了关于n = m 1 情形) 随着1 3 】， 4 1 和【5 】等关于复合算子的专著的面世，对复合算子的研 究逐渐受到人们普遍重视对于复合算子的研究人们主要从算子以 下方面进行，紧性，收敛性，有界性，范数，谱性质，不变子空间， s c h a t t e n 类，循环性，代数性质( 正规性等) ，加权复合算子及复合 算子产生的伊代数等( 【1 9 ，2 0 ，2 l ，2 2 ，2 3 】) 同时人们还推广到不同的 函数空间，如b e r g m a n 空间( 【2 4 ，2 5 ) ，d i r i c h l e t 空间( 【2 6 】) ，s 4 空间 ( m ) 。加权b l o c h 空间( i 冽) ，加权h a r d y 空间( 1 2 9 1 ) ，h a r d y - o r l _ i c z 空间等角度去刻画各类复合算子的性质显然，不同的函数空间复 合算子的性质也不尽相同r k s i n g h ( 3 0 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，a 4 ) 等研究了经 典函数空间上复合算子的可逆性，正规性等，s m i t h 于1 9 9 6 年研 究了h a r d y b e r g m a n 空间的复合算子的有界性和紧性，p d “t 【碉 等研究了向量值解析函数空间上的复合算子，z x 洳p 啊劁研究了 b e s o v e 空间及n e v a n l i n n a 类型空间上的复合算子，l u l 删讨论了加 权o r l i c z b e r g r n a n 空间上的复合算子，等等( 【4 0 ，4 1 ，4 2 】) 可以说 对复合算子的研究已经成为当今算子理论和函数论中的一个重要 方面尽管如此，相比f r e d h o l m 算子和t o e p l i t z 算子而言，复合 算子理论还有相当多的问题亟待解决本文在第二章主要研究高 维d i r i c h l e t 空间上超循环复合算子问题若存在超循环向量t r ，使 得轨道 p in l 稠于h ，则称t 是超循环的众所周知，如果 妒是单位圆盘的自同构，且在圆盘内没有不动点，那么g 是超循 环的，高维情形类似而单变量的d i r i c h l e t 空间上不存在超循环算 子，我们运用超循环准则证明了在高维d i r i c h l e t 空间上，仍然有超 循环复合算子存在 本文在第三章主要讨论复平面内单位圆上的加标准权b e r g m a n a r l i c z 空间的相关性质，以及其上复合算子的相关性质，同时证 明了对于任意的解析自映射i p ，都不是超循环算子 在高维函数空间上，许多重要问题往往与算子矩阵或算子组有 关例如，在此情形下，研究指标问题的合适对象是算子矩阵或算 子组，又如高维皇冠问题可以转变成相应的算子联合谱问题算子 组理论产生于二十世纪7 0 年代，人们在研究交换算子组及b a n a c h 代数( 或6 - 代数) 中多个交换元情形时就定义了各种类型的联合 谱，这些概念对于研究算子代数特别是交换算子代数的结构与性 质起到了很大作用然而，对于非交换矿代数多个非交换元情 形，情况要比交换代数时复杂很多，所以，合适的方式就是研究由 这些元生成的伊- 代数及其上的态或纯态记a 是有单位元的c 代数，如，是a 上的有界线性泛函，且i i ，l l = ，( e ) = 1 ，则称，为a 上的态记 s ( a ) 一t ，a + ，是，4 匕的态 s ( 由的端点则称为a 的一个纯态本文第四章主要在非交换g 一 代数情形下，研究了其谱和纯态值域，得到了c 代数张量积中两 个元的本质纯态值域的表示 b a n a e h 空间上交换算子张量积的联合谱是算子代数理论中的 重要问题之一，它对于多变量函数演算的研究是一个有用的工具 ( 【_ 7 1 ) 在交换算子组情形，联合谱也与算子方程有一定联系，有时， 初等算子的谱可用联合谱来表示( 【8 】) 早在1 9 7 8 年，f h v a s i l e s e u 就研究了交换算子张量积的联合谱，他证明了s 口o1 ，1o 研= 品( d s ( s ，其中l s 分别是h i l b e r t 空间矾k 上的交换算子 组，品棚= n 伊l t a 是不可逆组) 是t 相对于a 的t a y l o r 联合谱v w r d o d 9 曾经研究过b a n a c h 空间上算子张量积的联合 谱，他证明了 岛( 只垒五) = i 扫i 。一亿) ， 其中正g = 1 ，n ) 是b a n a c h 空间五a = 1 ，i ) 上有界算子， 于= ( 磊，雨，磊= 1 0 0 1 0 正0 1 固i ，“= 1 ，n ) 罗【1 0 】于 1 9 9 2 年曾研究过含单位元交换b a n a e h 代数的代数型联合谱，由该 代数的理想导出的代数型联合本质谱及其在函数代数上的应用等 相关问题【1 0 | 证明了 画b ( 8 1 0 1 n ，1 0 1 ，1 06 1 1 固k ) = a a ( a ) 即( 6 ) ， 其中a b 均是含单位元的交换算子b a n a c h 代数，o = ( o l ，口，i ) 是 a 中n 元组，b = ( b t ，k ) 是b 中i n - 元组在【1 l 】中，g f c a o 证 明了当r 和s 为b a n a c h 空间上交换算子组，有岛( m 固1 ，瓦o 1 4 l ，1 圆研，1 。) ；x 台y ) ：s a t , x ) s ( 墨y ) 运用张量积， 可以简化高维复空间中多圆盘上的许多问题例如舻( p ) 同构于 俨( 刃鑫台h 2 ( t ) 算子组( ，强) 可以看作( e ，。f 。 ，j o o ，固残) ，此时，前者毛是俨( p ) 上的算子，而后 者死是铲口) 上的算子利用算子组张量积理论立得 5 ：p ( 兄。，j k ) = 矿( 。) 盯( 2 k ) 利用函数演算，可知对任意妒l ，a ( d ，i ) ，有s p ( ，) = 扣l ，) 洱( 矗，砭) ) = 而瓦灭两，此处( 妒t ，) ( 卅 皇 ( 妒l ( 2 ) ，铷( z ) ) k v - 本文第五章我们主要是讨论b a n a c h 空间上交换算子组张量积的联合本质谱和指标公式 全文共由五章组成， 第一章，引言，主要介绍与本文相关的研究背景进展，预备 知识概念和本文主要研究方向等 第二章，主要证明在高维d i r i c h l e t 空间上，妒a u t ( b ) ，妒在风 中没有不动点时，复合算子g 在d 上是超循环的若在b n 中至少 有一个不动点，则。不是超循环的同时讨论了由 o l 妒胤( 风) 生成的b a n a e h 代数c 也是循环的 第三章，主要讨论复平面内单位圆上的加标准权b e r g , n a n o r l i c z 空i 可的性质，包含关系，其上复合算子的相关性质，同时证 明了对于任意的解析自映射妒，都不是超循环算子 第四章，主要研究c * - 代数张量积的谱及纯态值域，特别是商 1 5 口代数张量积的纯态值域( 本质纯态值域) 设a ，b 是有单位的 c 代数，口a ，则 “( c ( 口，a ) 若k ，分别是a ，b 的闭双边理想，使得a k ，b j 和脑b 腼，是 交换的。若o a ，b b ，则 ( ( o 。l ，l 。6 ) ，舾b ，翮) = ( d ，棚( 6 ，b ，) ) u ( d ，a ，叼( 6 ，b ) 特别地，若a ，b 是交换的，则 仃 面_ b ，腼j ( 【d o l 】，【1 06 】) = 口 ( n ) 幻j ( 【6 】) ) u ，k ( 【a 1 ) d 童( 6 ) 如果a ，b 分别由两个h i l b e r t 空间上本质正规算子口和b 生成，则 有下面的经典谱表示 几( 口o1 ，1 96 ) = p 似) 九( 6 ) ，t 吒0 ) 盯( 6 ) ， 其中盯( n ) 与以( 分别是经典的谱与本质谱 第五章，主要研究b a n a c h 空间上交换算子组张量积的联合本 质谱问题设t = m ，矗) ，s = ( s l ，分别为b a n a c h 空间 置y 上可交换有界线性算子组，则 s m ( t l _ 。1 ，霸。1 ，1 。8 x ，1 固) x 鑫y ) 1 6 = 鼠x ) s p ( s , y ) u s v ( t , x ) 鼠慨y ) 而且，如果t 和s 是f r e d h o l m 算子组时，我们有指标公式s i n d ( t 1 0 1 ，死0 1 ，1 0 两，1 0 ) i n d ti n d s 1 7 第二章d i f i c h l e t 空间上的超循环复合算子 本章主要讨论了在高维d i r i c h l e t 空间上，妒a u t ( b ) ，妒在晶 中没有不动点时，复合算子g 在d 上是超循环的若在岛中至少 有一个不动点，则g 不是超循环的同时讨论了由 o 舻a “t ( 岛) ) 生成的b a n a c h 代数c 也是循环的 第一节超循环准则 记晶为伊中的单位球，a u t ( b ) 是目的自同构群， a u t ( b n ) ( a 岛) 是m o e b i u s 变换： = 警， 其中扎= ( 1 一l0 1 2 ) ，r 。；帛乎o ( o ) ，仉= j 一只，局= 0 取上的d i r i e h l e t 空间口指的是鼠上满足 怕怯= n 柙) i 骞厶i 是( 圳2 酬k ；lo “ 的解析函数g 构成的空间口按内积 。= 们) 丽+ 娄 p ， 构成h i l b e r t 空间如果妒是晶的解析自映射，算子 c ；，= ，o l p ( v l d ) 称为口上的复合算子 m j o o v o v i ca n db m a c o l u e r 4 3 】首先研究过 这类算子我们称h i l b e r t 空间日上算子t 是超循环的，如果存在 向量( 超循环向量) 口，其轨道 t t l u i n 2 1 ) 稠于h