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脉冲作用下l o t k a v o l t e r r a 系统的持久性和时滞差分 方程的振动准则 2 0 0 2 级研究生：张弘 专业：基础数学 研究方向：微分方程 导师：罗桂烈教授杨启贵教授 中文摘要 第一章 对捕食者具有脉冲作用的l o t k a - v o l t e r r a 捕食一食饵系统的灭绝和持久性 在种群生态学中，l o t k a v o l t e r r a 模型是一个基本的模型，模型按其生态 意义可分为三类：捕食与食饵、竞争、互惠尤其捕食与食饵一直是研究的热点 本章对捕食者具有脉冲作用的h o l l i n g n 型的l v 捕食一食饵模型进行研究，通 过比较定理和分析右端函数的方法，得到了该系统灭绝与持久的充分条件进 而，应用l a k m e c h e 和a r i n o 的研究成果：脉冲分支理论，得到了系统存在周期 解的充分条件 我们考虑在具有h o l l i n g 一型功能性反应l v 捕食模型 _ 埠= _ 母= x 2 旷产 亍+ _ + 口 戋 的基础上，对捕食者引入周期的常数脉冲迁入作用，即 肆= 尊= z 2 c x 2 一n 1 x 1 一了一 v 每+ z l + d z 咒+ ：丝! ! 一 o 1 + z + 口 缸( t ) = 0 ，a x 2 ( t ) = b ， x ( o + ) = x 0 = ( x o i ，x 0 2 ) 7 其中x i ( f ) ，z ：( f ) 分别是表示t 时刻食饵和捕食者的密度，她( f ) = - ( f + ) 一x j ( t ) i = 1 ，2 ，是食饵的内禀增长率，r 2 是捕食者的死亡率，n 。是食饵的种内竞争系 数，c ，口：，i ，d ，b 都是正数，f 表不脉冲迁入作用的周期 本章的主要结论有： 定理3 1 j 常数m 0 ，使得对于系统( 1 ) 的每个解x ( t ) = ( x ( f ) ，x 2 ( t ) ) ，当 t 充分大时，有t ( f ) s m ，i = 1 ，2 定理3 2 假设x ( t ) 是系统( 1 ) 的解，如果系统( 1 ) 满足以下两条件 惮( 车+ m + 口) 、，屹f ( 了m 2 + m + 。 6 ( h 2 h 拈t _ 一她：南， 中的一个，其中m 如定理3 1 中定义， 蔓( 。= 堡芒鬻，f ( 盯， ，( n + 1 ) r ，n ，x ：( 矿) = i ；而b 则当f _ + 时，有( f ) 斗。，z ：( f ) 斗 葛( f ) 定理3 3 假设条件 ( h 3 ) ： b ( r a i n _ f ( 了m2 + m + 口) l 吃r 一了 4 成立，则系统( 1 ) 是持久的 定理4 2 如果条件 成立，则当f f 。：生时，系统( 1 ) 在的附近有一个稳定的正周期解 口l 第二章 脉冲时滞差分方程的振动准则 我们考虑以下脉冲差分方程 ( 一( 。x ( 月一1 ) ) 4 ) + m ，( h f ) ) = o ， a o ，”，26 ( 1 ) k ( 。x ( ) ) 9 = i k ( a ”( 。z ( 一1 ) ) 。) ， 其中a x ( h ) = x ( n + 1 ) 一x ( h ) ，。x ( h ) = x + 1 ) - c t x ( n ) ，盯是任意两个正奇数之比， ，n ，n 是自然数集，o h 。n 1 l k l ，且舰2 + 。 在本章中，我们总假设 ( i ) u f ( n ，“) o ( u o ) 且存在一个非负的序列 凡) 和函数“，使得 掣狐； ( i i ) 存在正数瓯，瓦，使得钆五笋瓦，七 ( i i i ) 口。 ：是正数序列 本章的主要结论有： 定理1 假设满足条件 ( h 1 ) ：( i ) 一( i i i ) 成立 ( h 2 ) ： 对于充分大的m ( n t ) ，当n 斗o 。时，有 且对于所有充分大的，有 口。“兀b z 军生。+ 。 ”。 a i + 。 。p i h g 。等一嘶一) 一hl “女 则方程( 1 ) 的每个解都是振动的 推论1 假设满足条件( h 1 ) 和( h 2 ) ，且存在正整数。，使得当k k o 时 有d ( b k ) 。如果 p 。= 佃 ”- ，女e 则方程( 1 ) 的每个解都是振动的 推论2 假设满足条件( h 1 ) 和( h 2 ) ，且存在正整数，使得当k k o 时，有 和 则方程( 1 ) 的每个解都是振动的 a 纽( 瓦) ； 关键词：捕食一食饵模型：持久性；周期解；时滞差分方程；振动准则；脉冲作 用 + = p 口 慰 体 p e r m a n e n c eo fal o t k a v o l t e r r as y s t e ma n d o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t h i m p u l s i v ee f f e c t a b s t r a c t c h a p t e ro n e e x t i n c t i o na n dp e r m a n e n c eo fal o t k a v o l t e r r ap r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t h i m p u l s i v ee f f e c to i lt h ep r e d a t o r i np o p u l a t i o de c o l o g y ，t h el o t k a v o l t e r r am o d e li s af u n d a m e n t a l o n e i tc a nb ec l a s s i f i e dt h r e et y p e sa c c o r d i n gt oe c o l o g i c a lm e a n i n g p r e d a t o r p r e y ，c o m p e t i t i o n ，c o o p e r a t i o n ，e s p e c i a l l y ，p r e d a t o r p r e ym o d e l h a sa l w a y sb e e nah o t s p o to fr e s e a r c h i nt h i s c h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t eal o t k a v o l t r r ap r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hi m p u l s i v ee f f e c to nt h ep r e d a t o r 8 yu s i n gc o m p a r i s o nm e t h o d sa n da n a l y z i n gr i g h tf u n c t i o n m e t h o d ，w ep r o v ee x t i n c t i o na n dp e r m a n e n c eo ft h es y s t e m f u r t h e r m o r e b ya p p l y i n gl a k m e c h ea n da r i n o sr e s e a r c h i n gr e s u l t s ：t h ei m p u l s i v e b i f u r c a t i o nt h e o r y ，w es h o w t h a tt h ee x i s t e n c eo fap o s i t i r ep e r i o d i c s o l u t i o n i nt h i sc h a p t e r ，w ew i l l d e v e l o pt h el o t k a v o l t e r r ap r e d a t o r p r e y m o d e lw i t hh a l l i n gt y p e f u n c t i o n a lr e s p o n s e s 秘1 卜矿末j r、 轳而卜茅j b yi n t r o d u c i n gac o n s t a n tp e r i o d i ci m p u l s i v ei m m i g r a t i o nf o r t h ep r e d a t o r t h a ti s 7 概卜矿寿卜r ， 蜩：f _ r 2 并a 2 x j 一 母毡i并 一i ， l亍+ 葺+ a j w h e r ex ，( f ) x 2 ( f ) a r et h ed e n s i t i e so ft h ep r e ya n dp r e d a t o ra tt i m et r e s p e c t i v e l y ，t ( f ) = x i ( t + ) 一薯( f ) ，i = 1 ，2 ，i s t h ei n t r i n s i cg r o w t hr a t eo fp r e y ，吒i st h ed e a t hr a t eo fp r e d a t o r ，4 ti st h er a t eo fi n t r a s p e c i f i cc o m p e t i t i o no fp r e y ，c ，“2 ，i ，口，b ，1 ，x 0 2 a r ep o s i t i v e ，fi st h e p e r i o do ft h ei m p u l s i v ei m m i g r a t i o ne f f e c t t h em a i nc o n e l u s i o na r eg i v e nb y t h e o r e m3 1t h e r ee x i s t sac o n s t a n tm 0s u c ht h a t 蕾( f ) m i = l ，2 ，f o re a c hs o l u t i o nz ( f ) = ( x d t ) ，x d t ) ) o f ( 1 ) w i t ha l lt l a r g ee n o u g h t h e o r e m3 2 a s s u m ex ( t ) b ea n ys o l u t i o no f ( 1 ) t h e n 葺( t ) 斗0 ，x 2 ( f ) 一葛( f ) a st 寸+ p r o v i d e d o n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n si ss a t i s f i e d 吒f ( m _ 2 + m + n ) ( h 1 ) ： b l 一， ( h 2 ) a n d ：i 而b w h e r ea ，i sd e f i n e di nt h e o r e m3 1 ，z ；( r ) = 鱼! ；黼，f ( n r ne | v ，葛( 。+ ) = 五而b 历 8 挚 = 6 t h e o r e m3 3i ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o nh o l d s ( h z ) ： b f 。= 堕a n di sc l o s i n gt o 吒 a r t 5 c h a p t e rt w o o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o ri m p u l s i v ed i f f e r e n c ee q u a t i o n s w ec o n s i d e rt h ei m p u l s i v ed e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n f a ( a 。l ( 。j ( 月一1 ) ) 4 ) + f ( n ，x ( n 一，) ) = 0 ，口 0 ，口壤，k n h 。( a 。x ( n t ) ) 4 = ( a n 。- 1 ( 。x ( k 一1 ) ) 4 ) ， i nw h i c h x ( n ) = x ( n + 1 ) 一x ( ) ，。x ( n ) = x ( n + 1 ) 一a x ( n ) ，盯i st h eq u o t i e n to fa n yt w op o s i t i v eo d dn u m b e r s ，n ，ni st h es e to fn a t u r a ln u m b e r 0 ”o n is l 门女l ， a n dj i m 九t = + o o t h r o u g h o u tt h i sc h a p t e r ，a s s u m et h a tt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ( i ) u f ( h ，u ) o ( u 0 ) a n dt h e r ee x i s t san o n n e g a t i v es e q u e n c e p 。) a n daf u n c t i 。n “，s u c ht h a t = ! ：兰! p 。； “” ( i i ) t h e r ee x i s tp 。s i t i v en u m b e r sb k 匠，s u c ht h a t 仇1 1 盟瓦， k n5 ( i i i ) 帆) ：i sap o s i t i v es e q u e n c e t h em a i nc o n c l u s i o n sa r eg i v e nb y t h e o r e mla s s u m et h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d ( h 1 ) ：( i ) 一( i i i ) h o l d ； ( h 2 ) ：f o ra l ls u f f i c i e n t l yl a r g e 月，( n 1 ) a n d 斗o o ，s u c ht h a t 9 a n di f 。，口”旷“兀酝 宇璺坐一。+ m ，厶 i 一。 d 乒+ 。 己只恩。等+ 。一，。， h o d sf o ra 1 1s u f f i c i e n t l yl a r g e t h e ne v e r ys o l u t i o no f ( 1 ) i so s c i 】1 a t o r y c o r o l l a r y1 a s s u m et h a t ( h 1 ) ，( h 2 ) h o l da n dt h e r ee x i s t sap o s i t i v e 一土 i n t e g e r 女os u c ht h a t 口( 仇) 。f o r 女k i f 只= + 。 月月k e n t h e ne v e r ys o l u t i o no f ( 1 ) i so s c i l l a t o r y c o r o l l a r y2 a s s u m et h a t ( h 1 ) ，( h 2 ) h o l da n dt h e r ee x i s t sap o s i t i v e i n t e g e r 七0 ，f o r 毒2 七o ，s u c ht h a t 月。岛= 懈 月，k e n t h e ne v e r ys o l u t i o no f ( 1 ) i so s c il l a t o r y k e y w o r d s ：p r e d a t o r p r e ym o d e l ：p e r m a n e n c e ：p e r i o d i cs o l u t i o n ：d e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n ：o s c i l l a t i o nc r i t e r i a ：i m p u l s i v ee f f e c t 1 0 一广一阮 k 一 d d na 第一章 对捕食者具有脉冲作用的l o t k a - v o l t e r r a 捕食一食饵系统的灭绝和持久性 1前言 在种群生态学中，l o t k a - - v o l t e r r a 模型是一个基本的模型，模型按其生态意义可分为 三类：捕食与被捕食，竞争，互惠 1 4 其中捕食一食饵系统一直是研究的热点，近年 来，又有了许多推广：食饵种群具有常数收获率 5 ，6 ，食饵种群具有常数投放率 7 ，食 饵种群具有扩散现象 8 一1 0 ，捕食者具有阶段结构 1 1 ，捕食者和食饵都具有阶段结构 1 2 ，1 3 ，被捕食者带有疾病 1 4 ，基于“比率依赖”理论 1 5 一1 7 ，具有时滞( 离散连续， 无穷) 1 8 2 0 ，h o l l i n g 功能性反应 2 l 一2 4 ，具有脉冲效应 2 5 ，2 6 等等 由1 ：本文研究的需要，下面先对h o l l i n g 功能性反应简要介绍一下： 1 9 6 5 年，h o l l i n g 在实验的基础上，对不同类型的物种，提出了三种不同的功能性反应 函数妒( x ) 2 7 i p ( 工) ：j 告t o x s4 ( 适用于藻类、细胞等低等生物) f bzd i i 妒( z ) = 丁篙i ( 适用于无脊椎动物) i i i 妒 ) = 丁 ( 适用于脊椎动物) 通过分析，我们发现这三类函数在第一象限都是单调函数，然而，有些实验和观察结果表 明事实并非如此，例如，微生物动力学中的“抑制”现象，以及人口动力学中的“群体防御” 现象表明功能反应函数应该是非单调的其中“抑制”现象常发生在用作废水分解或水净化 的微生物身上，为了建立这种现象的模型a n d r e w s 4 5 建议使削如下反应函数： 尸( x ) = 竽1 它被称为m o n o d - - h a l d a n e 函数，在 4 6 中，c o l l i n g s 也使用了该函数并且称它为h o l l i n g t y p e i v 函数 其次，关于脉冲微分方程的理论可参见 2 8 ，2 9 ，这里就不再一一介绍了 在本章中，我们考虑在具有类功能性反应的l - v 捕食系统 卜r 齐 帆卜羔 的基础上，对捕食者引入周期的常数脉冲迁入作用，从而得到一个新的系统 _ 母= 五 、 “， r q 矿茅j f 舸l 帆卜茹 ， ( 1 ) 其中葺( f ) ，z 2 ( f ) 分别是表示f 时刻食饵和捕食者的密度，a x i ( f ) = ( f + ) 一葺( f ) ，i = 1 ，2 ， 是食饵的内禀增长率，r 2 是捕食者的死亡率，d 是食饵的种内竞争系数，( 1 2 1 i ，口，b 都是正 数，f 表示脉冲迁入作用的周期对捕食者的迁入是为了防i p 其灭绝，而这种短时间的迁入 对于食饵种群却是一场灾难 为了便于叙述，下面我们给出一些记号利定义： 记 x ( t ) = ( 8 ) ，屯p ) ) 1 ， r + = o ，) ，碍= 弘r 2 ：z o ) ，q = i n t ，n 为非负整数集， 令 系统( 1 ) 的右手边为映射f = ( 石，五) 7 ， v ：r 。x r2 一月，称v v o ，如果 ( i ) 矿在( 日f ，即+ 1 ) f 】上是连续的t 且对于v ￥e r 2 ( ) 1 ( i 。m 乩。，v ( t ，y ) = v ( n r + ，x ) 存在，”= 1 ，2 ，l ， ( i i )v 关丁x 是局部李普希茨的 定义1 1设矿k ，则当( f ，x ) ( n r ，q + 1 ) 】霹，v ( t ，x ) 关于脉冲微分系统 1 2 ( 1 ) 的上右导数是 础( f ，班l i 翟u p 音 矿( ，z + 帅，x ) ) 川“) 系统( 1 ) 的解是分段连续晒数x ：r + _ 霹，x ( f ) 在( n f ，( n + 1 弦 ( n j v ) 上是连续的 且x ( n r + ) = l i mx ( f ) 显然，的光滑性能保证系统( 1 ) 解的全局存在性利唯一性( 参见文献 2 9 ) 定义1 2 系统( 1 ) 是持久的，如果存在常数m 。m 0 ，使得对于切充分大的 t ，都有m 玉( f ) m 其中x ( f ) 是( 1 ) 的任意解且x ( o + ) 0 定义1 3若l i m x ( t ) = 0 ，则称种群x ( f ) 走向灭亡 2引理 引理2 1假设x ( f ) 是( 1 ) 的解且x ( o + ) 0 ，则对于v f 0 ，n x ( t ) 0 ，进一步 如果x ( o + ) 0 ，则x ( t ) 0 ，t 0 证明引理显然成立，事实上 当t = n 当t ( ( h + 1 ) f 】 x l ( n r + ) = 玉( n r ) ，x 2 ( n r + ) = x 2 ( n r ) + 6 ，n = 1 ，2 l x i ( t ) = z i ( o + ) e x p m 一蒜，出 f 州泸姒唧忙+ 蒜 + 6 e x p f 面的引理是 2 8 中定理3 1 1 的特殊情况0 = 2 ) 引理2 2令y ：r x r 2 寸r + 且矿，假设 【h + 蒜，出 j d + 矿( ，x ) g ( t , v ( ，。) ) ， 忆 ( 2 ) i 矿( f ，x ( t + ) ) 帆( 矿( f ，x ( f ) ) ) ，t = t ， 其中g ：r + x r + 寸r 满足在( ”r ，( ”+ 1 ) f 】r 上连续，且对于x r ，n ， l i m g ( f ，y ) = g ( n f + ，x ) 存在帆：r + 斗r + 是非减的记，( f ) = r ( t ；t o ，“o ) 是脉冲 y 卜h ”f ， 系统 f 船g ( t ，“) ，t n f ， “( f + ) = 帆( “( f ) ) ，f = 盯， ( 3 ) l u ( o + ) = u 。， 往 o ，。) 上的最大解则矿( 0 + ，) “。可推得v ( t ，z ( f ) ) ，( 吐t 0 ，其中x ( f ) 是系统( 1 ) 的任意解 附注2 1 当。：q r 是非增的且引理条件中的不等号都改变方向，则引理的 结论中的不等号也要改变方向注意到如果g 的一些光滑条件来保证( 3 ) 的解的存在性和 唯一性，则r ( f ) 正是( 3 ) 的唯一的解 引理2 3 考虑系统 f 嘏一f u ，t m r ， u ( t + ) = “( f ) + 6 ，f = r ， ( 4 ) l “( o + ) = 0 ， 以及 据一f u ，t n t ， u ( t + ) = “( f ) + 6 ，t = n t ， ( 4 + ) “( 。+ ) = 瓦而b 丽， 系统( 4 ) 有正周期解“+ ( f ) 且对于( 4 ) 的每个解“( f ) ，都有k ( f ) - - u * ( 圳_ o ，f _ 。，而且 虫口果“。i 二_ ；王而b ，有“( f ) “+ ( f ) 血果“。 i ：；而b ， 有“( f ) “+ ( f ) 其中 “( r ) = 鱼! ；错，r s ( n r ，( n + 1 ) r ，” 证明易知“+ ( f ) 是( 4 ) 的正周期解，事实上，当f ( o ，f 时 u ( t 1 = u ( o + ) e x p ( 一r t ) ， 1 4 令u ( o + ) = “( f ) ，得 故，当t ( 0 ，f 】，有 u ( o + ) = “( f ) = 冈此，当t ( n - ，0 + 1 ) r ) ，有 u ( t ) = b 1 一e x p ( 一r z - ) b e x p ( - r r ) e x p ( 一r t ) ， b 1 一e x p ( 一r f l e x 一廿 是( 4 。) 的一个以f 为周期的正周期解( 4 ) 的解可表示为 此，= 卜南卜一 t ( n ，+ 1 ) f 】， 从而当f 。时，有卜( f ) 一“+ ( f ) l 一。，且如果h 。2 i 二鬲b 石；石，有“( f ) “+ ( f ) 如果 l 一，n u ( t ) “+ ( f ) 引理得证 1 - e x p ( - r r ) 0 ，使得对于系统( 1 ) 的每个解x ( f ) ，当f 充分大时，有 而o ) m ，i = 1 ，2 证明设x ( f ) 是( 1 ) 的任意解，令肘。= 丑，显然当r 充分大时，有( f ) s m ，事实 a l 上，当x ，( ) m l 时，嘏t ) 不能成立，否则，c x 2 ( t ) = v ( t ) 一a 2 ( f ) m ，t 0 ，且 d + s 一丝 f 对上式进行分段积分，再加上脉冲条件，通过归纳即得： v ( n r ) v ( o + ) 一( n + 1 ) b e 一一c o ( i t 叶) ， 这显然矛盾故3 t ， 0 ，使得v ( t ) p o 令 v 1 = v o + b e 则当v f f l ，有矿( f ) u ，否则，3 t 2 f l ，有v ( t 2 ) v 0 - 令f + = i m n f 矿( f ) ) ，x 寸y t + 考虑两种情况： 情况1 ：t n r ，v n n ， 则由于西( f ) ( f = 1 ，2 ) 的连续性，得v ( t + ) = v 0 且 d + 矿( f ) o 然而d + 矿( f ) 一型兰 v 0 且d 邮一半 v 0 且d + 矿( f ) 一三苎 ，f ( f ，( n + 从，到( n + 1 ) f 积分，得 矿( ( + 1 ) r ) v ( t 。) 一2 b c = v ( t + ) - b c 一， c ，：竿m 2b 且韶南1 e x d ( h 2 ) = 一且2 - - c i 一 f l 中的一个，其中m 在定理3 1 中已有定义，x i ( t ) = b e _ x p ( - 5 = 7 ( t - _ n r ) ) ，f r i e x p l 一一t ) + 1 ) r ， h ，工；( 。+ ) = i ；两b 则当斗时，有_ ( f ) 斗o ) x 2 ( f ) 一蔓( f ) 证明 首先假设条件( 1 1 ) 成立，则可选取一个s 0 ，使得 b cc c t 吃( 肇+ m + 口) 肇+ m 十。 zz f f 0 i 多事一吒y ，t l l t ， y ( f + ) = y ( t ) + b ，t = ”f ， i y ( o + ) = t ( o + ) ， 为了方便，我们不妨设对丁v t 0 ，都有( 5 ) 成立由( 1 ) ，得 从盯到f n + 1 ) r 积分，得 雌x l ( k n + 1 ) r ”爱薏瑚 b c c f 一蕊m2+ 写m 2 磊q 7 zz = ( n r ) e x p ( 一口) 冈此( 门f ) ( o + ) e x p ( 一挖仃) 且当f 斗0 0 时，有葺( 以f ) 斗0 又由于 0 葺( t ) s x j ( n ) e x p ( f i v ) ， 以f k 。时，有氏 了h ，故 瓯 皖。= 。 则 c r ， c o 一，e x 一( 一喜4 j 。一o 。九 且当f _ 时，有 ( f ) _ o ，这蕴禽了! 姥瓯= o ，从而得出矛盾故此，有嬲瓯= o 这又能推得当t 寸o 。时，有五( f ) 啼0 即食饵种群_ ( f ) 走向灭绝 摄后，我们往证：当f _ 时，有z 2 ( f ) _ 蔓( f ) 如果l i m x ( f ) = 0 ，对于0 s 0 ，使得当t t ，有0 z 1 ( f ) s 不欠一般性 d 不妨设0 x ( t ) e ( v t 0 ) ，则 嘲母钮( 叫等) 由引理2 2 和2 3 ，得 m o ) 而( f ) y 2 ( f ) 且m o ) 斗葛o ) ，儿0 ) 一歹( f ) o 一。) 其中y l ( f ) 和y 2 ( f ) 分别是 9 和 的解，y ( t ) = f 辟= 一r 2 y 1 ，t n f ， y ，( t + ) = y j ( f ) + b ，t = h f ， y l ( o + ) = x 0 2 0 ， 点：乃( 一吒+ 坐) ， f n r ， a y 2 ( f + ) = y 2 ( f ) 十b ，t = i - ， y 2 ( o + ) = x 。2 0 ， 故此，对丁充分大的t ，有 n f t r n + 1 ) r 葛( f ) 占】 一1 ，2 油引理2 2 利2 3 ，易知对一切充分人的f ，有x ：( f ) m 2 , m 2 = r b 写e x 再p ( i - r ：历2 r ) 一岛 0 ，岛0 ，f 面往证：3 m 1 0 ，使得对一切充分大的f ，有 ( f ) m 。我们将分两步来 完成： 步骤1令 嗡，c m i n 怪叩，) ， 其中善= ! 旦紫，叩= 三s ! 堡五i 二兰：芦 j ， 选取 0 足够小，使得 仃邓1 一籍一等 o ， ，2 一 口 往证：对t v t o ，葺( f ) 0 ，使得x 1 ( t 1 ) m 3 步骤2 如果v t t 1 ，有x l ( f ) m 3 ，则定理得证因此，我们仅需考虑那些离开区域 q + = 扯j r ：x 1 3 ) 且又重新返回这个区域的解设f = i 。n f “( ) l ， 一n + 一a 2 m 3 。 其中盯l ：一d l 州3 一c m 0 d t = ( h 2 + i 1 3 ) 我们断言：3 t 2 ( 胛1 + 1 ) f ，( h l + 1 ) f + 丁 ，使得葺( f 2 ) m 3 否则，葺( f ) m 3 ， t 【( n ，十1 ) r ，( 月1 + 1 ) f + 丁 考虑满足y ( ( l + 1 弦+ ) = t ( ( n l + 1 ) f + ) 的系统( 6 ) ，得 加，= y ( ( n l + 1 ) r + ) ba a m ，丽b + 净州”驴m ， t ( f ，( 以+ 1 ) f ，m + 1 h 蔓n 1 + 1 + 2 + 玎3 则 l y ( f ) 一歹( f ) l 丁，由于( f ) m 3 ，可进行类似的证明故此，z 1 ( f ) m l ( v t o ) ，定理得证 4正周期解 下面利用文献 3 0 】中的分支理论来研究系统( 1 ) 的周期解的存在性考虑f 面的脉冲微分 系统 f 埤= f t ( x i ，毛) ，t f ， 慧繁0 焉1 ( x k i 。n r ) 珈n t ：l l g ， i ( h f + ) = (，0 f ) ) ， = ， l x 2 ( n f + ) = o d x , ( n r ) ，x d n r ) ) ， 其中h = o ，1 ，2 ，l ，曩，e ，b ，岛为足够光滑的函数，使得系统( 8 ) 满足解的存在唯一性条 什，并且鼠，0 2 是严格正的，e ( ，0 ) = 岛( 葺，0 ) = 0 令系统( 8 ) 过初值x ( o ) = k = ( x l o ， x 2 。) 7 的解为z ( f ) = ( 一( r ) ，( f ) ) 7 = 中( f ，k ) = ( 巾l ( f ，) ，巾2 ( r ，五) ) 7 设当x 2 = 0 时，系 统( 8 ) 相应的一维系统 埠2 9 ( ) 2 e ( 焉，o ) ( 9 ) 【玉( b f + ) = 秽瓴( n f ) ) = t g t ( x l ，0 ) ，t = r z ， 有一个稳定的o 周期解，记作t 这里0 是哦= 0 的根，d o 在下面给出这样f = ( t ， o ) 7 是系统( 8 ) 的个边界周期解，记x 0 = x a o ) ，f ( o ) = ( ，o ) 1 ， “：1 ( 娑要) ( 0 ，氙) ， 。：1 一( 掣娑) ( ，氙) ， “ 叫要拿+ 导誓) ( x o ) ， 掣= e x p ( 【0 攀) ， d x ”1 o x , _ o q ) 2 ( r o , x o ) ：e x p ( 【r 0 蚴) ， 嬲 。” o x 掣= j ：。e x 一( r 。皇生掣d r ) ( 皇掣) e x p ( ：警) d “， 掣2r 。e x p ( y ：。掣坝罨掣廊一c f 。罨胁 垫爨盟= 脚( r 鼍掣蚓鼍产) e x - ( j ：丝攀) 砒 + 胁一( r 堡篆半训掣) ) 知( j ：掣州掣) e x 一( j ：挚) d p d u 驾璺型：掣。p ( 【r 。掣) ， d f 僦，础 “ o x 掣掣= 掣= 龇) ， 8 ：一卫生f ! ! d ：益2 + 翌l ! 鱼：墨2 三塑翌l ! 鱼：墨2 1 0 呜( r o , x o ) 屯、 a f 毛d ；蟊 a f a b ，8 2 中2 ( ，五) a 2 中2 ( ，1 1 a 研劬】( ，墨) 、 o x 2 、a f o x 2 0 x i日：o x l a f c ：一2 盟f 一盟丝! 血! 墨! + i 竺! 血：墨2 、o c d d r o , x o ) 舐i 舐2a ； o x i 瓠2 。 o x 2 a 2 岛r 锄：( ，氙) 、z ，a 岛“扩：( ，五! a 岛扩中：( f 。，五) 嘲、 o x 2a ： o x 2 钆o x 2o x ； 这样，由边界周期解f = ( t ，o ) 7 分支出正周期解的存在性定理如下 定理4 1 【3 0 1 女口果1 1 - a o l ：兰! 时，系统( 1 ) 在f 。的附近有一个稳定的正周期解 a f a r 2 证明对于系统( 1 ) ，注意到( 1 ) 有边界周期解( o ，x ：( f ) ) 7 为了利崩定理4 1 ，交换 和 2 的f 标，有： e ( x l ，x ：) = ( 一吒+ _ = j 生) ， 皇+ + “ i e ( 一，