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哈 j ；f e 理丁大学理学硕 j 学位论文 某类o r l i c z 序列空间的非方常数问题 摘要 几何常数是对几何性质从定性到定量的深化，空间几何常数的取值范围 直接决定了某些几何性质的有无。对非方常数的研究也将更有利于对相关几 何性质的研究。1 9 9 1 年j g a o 和k s l a u 首先给出了j a m e s 意义下的非方 常数c ，( x ) 和s c h i f f e r 意义下的非方常数c 。( ) ，并且证明了空间非方常数 c ，( x ) 2 等价于x 是一致非方的；若d i m ( x ) 2 ，则1 c 。( x ) c ，伍) 2 和c ，( x f 。( x ) = 2 成立；空间非方常数c ，( x ) 3 2 蕴含着空间x 具有一致 币规结构。而众所周知，一致f 规结构又蕴含空间x 具有不动点性质，因 此对非方常数的研究具有重要的理论价值。点念几何常数是点态几何性质的 量化，是空间几何常数的局部化。点态几何常数的研究主要包括其表示、估 计和计算等。 o r l i c z 空间几何理论已成为b a n a c h 空间理论的重要组成部分，近几年 来关于o r l i c z 空间非方常数及点态非方常数的研究已成为同行学者关注的 内容之一，相关问题的研究也取得了重大进展。本文主要讨论o r l i c z 空间 非方常数及点态非方常数的有关问题。为使本文具有系统性与可读性，本文 首先较详尽地叙述了非方性、非方常数、点态非方常数及其相关问题研究的 历史进程及现状，特别是o r l i c z 空间中相关问题的研究现状。文章第二部 分给出了本文将要用到的一些基本记号表示方式及基本结果，又简单介绍了 o r l i e z 空间的基本理论，o r l i c z 空间非方常数方面的主要研究成果。同时对 点态非方常数问题展开了初步讨论，给出了点态非方常数的取值范围，证明 了j a m e s 点态非方常数与s c h l i f f e r 点态非方常数之间是有不同于空间非方常 数之间关系的关系，并给出了两种点态非方常数在内积空间中的取值结果。 本文第三部分主要讨论了满足一定条件的赋o r l i c z 范数的o r l i c z 序列 空间与其余函数生成的赋l u x e m b u r g 范数o r l i c z 序列空间非方常数之间 的关系等方面的问题，证明了当其生成函数的右导函数在某区间上凹时， q ( ) = c j ( ) ) 当其生成函数的右导函数在某区间上凸时， g ( 乙) = c s ( ) ) 哈尔滨理t 人学理学硕l j 学位论文 这样利用相关结果就会很容易给出更广泛空间类中非方常数的表示，估 计及其精确计算。 关键词非方常数：点念非方常数；o r l i c z 序列空问 哈尔滨理_ 1 二入学理学硕上学位论文 n o n s q u a r ec o n s t a n t i ns o m eo r l i c z s e q u e n c es p a c e s a b s t r a c t t h e r ei sf u r t h e rp r o g r e s sf r o m q u a l i t a t i v e t o q u a n t i t a t i v e o fg e o m e t r i c c o n s t a n tt o g e o m e t r i cp r o p e r t y ，w h i c ht h e v a l u e sr a n g eo ft h eg e o m e t r i c c o n s t a n to fs p a c ed i r e c t l yd e c i d e st h en a u g h to re x i s to fs o m eg e o m e t r i cp r o p e r t y t h er e s e a r c ho fg e o m e t r i cc o n s t a n to fs p a c ew i l lp r o v i d eh e l p f u lc o n d i t i o n sf o r t h er e s e a r c ho fg e o m e t r i cp r o p e r t y i n19 91 j g a oa n dk s l a ug a v et w ok i n d s o fn o n s q u a r ei nt h es e n s eo fj a m e sa n ds c h i f f e r , p r o v e dt h a t 口( x ) 2i s e q u i v a l e n tt o t h a tzi su n i f o r m l yn o n s q u a r ea n dp r o v e dt h a ti fd i m ( x ) 2 t h e n l c s ) c ，( x ) 2 a n d c j k 似) = 2 a n dt h a te ( x ) 3 12 i m p li e st h a tt h es p a c e xh a v eu n i f o r m l yn o r m a ls t r u c t u r e i ti sw e l lk n o w nt h a t u n if o r m l yn o r m a ls t r u c t u r ei m p l i e sf i x e dp o i n tp r o p e r t y , s ot h er e s e a r c ho f n o n s q u a r ec o n s t a n th a si m p o r t a n t l yt h e o r e t i c a lw o r t h i n e s s p o i n t w i s eg e o m e t r i c c o n s t a n ti saq u a n t i t a t i o no f p o i n t w i s eg e o m e t r i cp r o p e r t y a n dl o c a l r e p r e s e n t a t i o n o fg e o m e t r i cc o n s t a n to fs p a c e t h er e s e a r c ho fp o i n t w i s e g e o m e t r i c c o n s t a n t i n c l u d e s c h i e f l y i t s r e p r e s e n t a t i o n ，e s t i m a t i o n a n d c o m p u t a t i o n ，e c t t h eg e o m e t r i ct h e o r yo fo r l i c zs p a c e sh a sb e e na l li m p o r t a n tp a r to ft h e g e o m e t r i ct h e o r yo fb a n a c hs p a c e r e c e n t l y ，t h er e s e a r c ho fn o n s q u a r ec o n s t a n t a n dp o i n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n to fo r l i c zs p a c eh a sb e e no n eo ft o p i c s c o n c e r n e db yal o to fr e s e a r c h e r si nt h i sa r e aa n dg r e a ta d v a n c e sh a v eb e e nm a d e t h ea i mo ft h i sp a p e ri st od i s c u s st h er e l e v a n tq u e s t i o n sa b o u tn o n s q u a r e c o n s t a n ta n dp o i n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n ti no r l i c zs p a c e s f o rr e a d a b i l i t ya n d i n t e g r i t y w ef i r s t l y m a k ead e t a i l e ds t a t e m e n tf o rt h ep r o g r e s so fk i n d s o f n o n s q u a r e n e s s ，n o n s q u a r ec o n s t a n t a n dp i o n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n ta n dt h e i r r e l e v a n t q u e s t i o n s ，e s p e c i a l l y i no r l i c zs p a c e s i nt h es e c o n dc h a p t e r , r e p r e s e n t a t i o no fs o m ef u n d a m e n t a ln o t a t i o n sa n df u n d a m e n t a lr e s u l t sa r eg i v e n a n dt h ef u n d a m e n t a lt h e o r ya n dt h em a i nr e s e a r c hr e s u l t so nn o n s q u a r ec o n s t a n t - i i i 哈尔滨理工人学理学硕卜学位论文 i no r l i c zs p a c ea r ei n t r o d u c e d a tt h es a m et i m ew ed i s c u s sp r e l i m i n a r i l yt h e q u e s t i o no fp o i n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n t ，p r e s e n tt h ev a l u e s r a n go fp o i n t w i s e n o n s q u a r ec o n s t a n t ，a n dp r o v et h a tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e np o i n t w i s en o n s q u a r e c o n s t a n t si nt h es e n s eo fj a m e sa n ds c h a f f e ri sd i f f e r e n tf r o mt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nn o n s q u a r ec o n s t a n t s ，a n dg i v et h ev a l u e so ft w op o i n t w i s en o n s q u a r e c o n s t a n t si ni n n e rp r o d u c ts p a c e i nt h et h i r dc h a p t e rw ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i po fn o n s q u a r ec o n s t a n t s b e t w e e ns o m eo r l i c zs e q u e n c es p a c e se n d o w e dw i t ho r l i c zn o r mg e n e r a t e db ya nf u n c t i o na n dt h eo r l i c zs e q u e n c es p a c e se n d o w e dw i t hl u x e m b u r gn o r m g e n e r a t e db yi t sc o m p l e m e n t a r yf u n c t i o n f u r t h e r m o r e ，w ep r o v et h a ti f t h er i g h t d e r i v a t i v eo fi t sg e n e r a t e df u n c t i o ni sc o n c a v ei ns o m ei n t e r v a l ，t h e n q ( 0 ) = q ( f ( v ，) a n di ft h er i g h td e r i v a t i v eo fi t sg e n e r a t e df u n c t i o ni sc o n v e xi ns o m ei n t e r v a l ， t h e n g ( 0 ) = c s ( ) ) b yu t i l i z i n g r e l e v a n tr e s u l t s ，t h er e p r e s e n t a t i o n ，e s t i m a t i o na n de x a c t c o m p u t a t i o no fn o n s q u a r ec o n s t a n ti n a ne x t e n s i v ec l a s so fs p a c e sa r eg i v e n e a s i l y k e yw o r d sn o n s q u a r ec o n s t a n t ；p o i n t w i s en o n s q u a r ec o n s t a n t ；o r l i c zs e q u e n c e s p a c e - i v 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文某类o r l i c z 序列空间的非方 常数问题，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除己注明部分外不包含他人 已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式注明。本声名的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：锨亥巷同期：2 6 年弓月7 日 哈尔滨理工大学硕士学位使用授权书 某类o r l i c z 序列空间的非方常数问题系本人在哈尔滨理工大学攻 读硕士学位期l 日j 在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈 尔滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完 全了解哈尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 有关部门提交论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理 工大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文，可以公布论文的全部 或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后使用授权书。 彳i 保密阢 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：铆瘟名 导师龇刁 日期：跏6 年弓月7 n 日期哆“q 7 日 哈尔演理t 人学理学硕i j 学位论义 1 1 综述 第1 章绪论 缘于变分法、集合论、积分方程发展的泛函分析是现代数学理论的主要支 】 i ：。它具有分析的课题，代数的方法，几何的观点等特点，再加上广泛的应 川，墩称_ 十肚纪最具有综合性的一门学科。1 9 2 3 年，波兰著名科学家s b a n a c h ，提f f j 了完备赋范空日j 的概念，为泛函分析的发展奠定了基础。之后， 1 9 3 2 年s b a n a c h 的著作( ( t h e o r i e so fo p e r a t i o nl i n e r i n e s s ) ) 出版以后，人们开 始了b a n a c h 空间理论的系统研究。1 9 3 6 年j ac l a r k s o n ，首先引入了一致凸 b a n a c h 空间的概念，开创了从b a n a c h 空间单位球体的几何结构出发来研究 b a n a c h 空问性质的方法。自此，人们开始致力于赋范空间的各种几何结构的刻 画。历经半个多世纪的工作，尤其近三十年的工作，赋范空间几何理论经历了 形成，发展，完善等过程。我们所关注主要是以下几方面的工作： 第一，拓扑学的形成和发展。 系统的拓扑学研究开始于j u l e sh e n r ip o i n c a r e ，他的( ( a n l y s i s s i t u s ) ) 是拓 扑学的经典。按照二十世纪的理解，拓扑分为点集拓扑和组合拓扑( 包括代数 拓扑和微分拓扑) 两部分，日仃者把几何图形看作点的集合，再把集合看作一个 用某种规律连结其中元素的空问。后者把几何图形看作由一些基本构件所组 成，用代数工具组合这些构件，并研究图形在微分同胚变换下的不变的性质。 由h a u s d o r f f 在集合论纲要中建立的抽象空间的完整理论标志着点集 拓扑学的正式形成。他第一次抽象的使用了点集合的邻域的概念，在此基础上 建立起连续、连通、维数等一系列概念。 2 0 世纪组合拓扑可溯缘于j u l e sh e n r ip o i n c a r e 在1 8 9 5 1 9 0 4 年期间发表的 一系列论文。流形、单形、复形、边缘、链、贝蒂数、扰系数、示性数等概念 都在这些论文中提出。 组合拓扑早期的重要的人物有l u i t e ne g b e r t u sj a nb r o u w e r ，他以倡导直觉 主义著名，在组合不变量和不动点定理方面做出了基本的贡献。拓扑学在2 0 世纪2 0 3 0 年代获得了重大的进展。首先是出现复形的同调群，它是由p a v e l s e r g e e v i c ha l e k s a n d r o w 和l e o p o l dv i e t o r i s y 以及e d u a r dc e c h 所完成。1 9 3 1 年 瑞士的g e o r g e sw i l l i a md er h a m 发现多维流形的微分形式和流形上的同调性质 哈尔演理t 人学理学硕i j 学位论文 有关系。1 9 3 2 年h e n r ip a u lc a f t a n 将拓扑学方法用于解决多元复变函数论的基 本问题。1 9 3 4 年美国的h a r o l dm a r s t o nm o r s e 创建大范围变分理论。1 9 3 5 年， 波兰的w i t o l dh u r e w i c z 引入同伦群。s a m u l ee i l e n b e r g 引入阻碍类概念。1 9 3 7 年，美国的h a s s s l e rw h i m e y 证明了微分流形的嵌入定理，正式创立了微分拓 扑学。至此，拓扑学成为最丰富多彩的一个数学分支。 第二，b a n a c h 空间几何结构理论与几何性质的建立与研究，特别是有一定 理论应用背景问题的研究。 六十年代以来，b a n a c h 空间的理论取得迅速的发展。首先，许多著名的古 典问题得到解决，其中最重要之一是1 9 7 3 年p e n f l o 给出例子表明可分 b a n a c h 空l 日j 未必具有s c h a u d e r 基，从而对b a n a c h 的古典问题以否定的回答。 其次，许多数学家证明了有关b a n a c h 空问的重要定理，例如a c j a m e s 花 费了二十年时问，于1 9 7 2 年以较简单的方法证明了自反b a n a c h 空间的特征化 定理，即b a n a c h 空间是自反的充要条件为每个连续线性泛函数到达它的范 数，还有著名的可达范数泛函是稠密的b i s h o p p h e l p s 定理，端点表示的 c h o q u e t 定理等等。此外，人们根据其他数学学科的需要，从各个不同的角度 出发对b a n a c h 空间进行深入研究，促使b a n a c h 空间理论( 包括它的几何理 论) 的面貌日新月异地变化，各种凸性和光滑性的研究与最佳逼近密切联系在 一起。1 9 6 7 年j j s c h i i f f e r 考虑b a n a c h 空间单位球体的内度量性质，引入了 单位球的g i r t h 曲线概念，研究b a n a c h 空间之间接近等距性质，讨论了平坦空 间( f l a t 空间) ：1 9 6 8 年e a s p l u n d 从凸函数的可微性角度引入强( 和弱) 可 微窄l 日j ，后来人们称之为a s p l u n d 空间( 和w a p l u a d 空间) 。特别地，1 9 3 7 年 m a r i e f f e l 将向晕测度r a d o n n i k o d y m 定理与b a n a c h 空间中有界集的“可 凸性”联系起来，使得人们进一步研究这种称之为r n p 的空间，将b a n a c h 空 间理论( 特别是它的几何理论) 的研究推向了一个新高潮，j d i e s t e l 和j j u h l j r 等数学家进一步用向量测度方法证明了许多b a n a c h 空间的定理。1 9 7 7 年j d i e s t e l 和j j u h l j r 写了( ( v e c t o rm e a s u r e ) ) 一书，总结了这方面的许多成 就，书中也列举了若干悬而未决的问题，随后的年月里，许多问题相继得到了 解决。1 9 5 3 年，e m o u r i e r 发表了第一篇b a n a c h 空间中概率论的论文，他证明 了取值于b a n a c h 空间的随机变量的第一强大数定律仍然成立。从此人们开始 了b a n a c h 空间中概率论的研究，人们发现随机过程可表示为某个函数空间上 的随机变量，并且许多基本概率定理在b a n a c h 空间中是否成立很大程度上取 决于空间的几何结构。现在，取值在b a n a c h 空间中的鞅已经成为研究b a n a c h 空l 日j 的重要工具之一。由于无限维规划论的需要，人们经常使用的是h a h n - n 介尔演删t 人。 删。f i ! ；! 卜学化论义 b a n a c h 定理的几何形式分离定理，现在已得到许多与凸分析有关的h a h n b a n a c h 定理的等价形式。例如，k r e i n r u t u m a n 定理，h u r w i c z 鞅点定理，次微 分定理等等，这些都很大程度上推动了b a n a c h 空间理论，特别是它的几何理 论的发展。在方程论中，人们不满足于应用b a n a c h 压缩映象原理，在实际问 题中，出现了一类更广泛的映象，例如非扩张映象等。1 9 6 5 年，w a k i r k 证 明非扩张映象的不动点存在与空间的一种叫i f 规结构的几何性质有关。随之人 们又进一步探讨使非扩张映象的不动点存在的各种有关的空间几何结构，引入 具有各种性质的b a n a c h 空间。同时，各种具体的古典b a n a c h 空间，例如 ，”( 1 p 佃) ，c o ，1 】，( 1 p 佃) 的性质的研究，促使抽象b a n a c h 空间 的理论进一步发展。j l i n d e n s t r a u s s 和i s i n g e r 等对b a n a c h 空间的基的理论进 行了深入的探讨，取得了丰硕的成果，j l i n d e n s t r a u s s ，l t z a f r i f i 和i s i n g e r 分别写了这方面的著作( 前者涉及许多其他方面内容) 。总之，由于与其他学科 的联系，使b a n a c h 空间理论，包括它的几何理论，越来越丰富。正因为 b a n a c h 空间理论在其他许多学科中得到的广泛应用，使它显示出强大的生命 力。 第三，一些经典空间几何理论的研究。 1 9 0 0 年前后，l e b e s g u e 测度和相应的l e b e s g u e 积分理论得到了迅猛的发 展，用现代的术语来说这就是全体可和函数依l ，一范数恻l 。= j l x ( f ) 印组成的 b a n a c h 空间厶得到了广泛的应用。在1 9 1 0 年，f r i e s z 发表了他的关于 。1 ，( 1 。：，妒( 粤 衍旯) 之下。是f r e c h e t 空间，他们还得到了。是局部凸或局部有界的条件。 其后关于此类窄州的问题被六个学派所发展，以h n a k a n o 为代表的日本 北海道学派发展了模空问的一般理论，集中反映在他的专著m o d u l a r s e m i o r d e r e dl i n e a rs p a c e s ) ) 。19 5 0 年，以m a k r a s n o s e l s k i i 和y a b r u t i c k i i 为 代表的前苏联v o v o n e z h 学派发展了o r l i c z 空间理论并成功地应用于微分方 程，其工作汇总在1 9 5 8 年专著c o n v e xf u n c t i o n sa n do r l i c zs p a c e s ) ) 。以 l u x e m b u r g 和z a n e 为代表的荷兰l e y d e n 学派着眼于更一般的b a n a c h 函数空 间，1 9 6 7 年出版专著( ( i n t e r g r a t i o n ) ) 。以o r l i c z 本人和j m u s i e l a k 为代表的波 兰p o z n a n 学派讨论模空间一般理论以及o r l i c z 空间几何结构，1 9 8 3 年出版专 著( ( o r l i c zs p a c e sa n dm o d u l a rs p a c e s ) ) 。以j l i n d e n s t r a u s s 和l t z a f r i r i 为代表 的以色列j e r s a l e m 学派主要讨论各种同构问题，有专著( ( c l a s s i c a lb a n a c h s p a c e s ) ) i ( 1 9 7 7 ) ，i i ( 1 9 7 9 ) 。中国的哈尔滨学派也致力于o r l i c z 空间的各种几何 结构的刻画，有吴从，圻和王廷辅专著( ( o r l i c z 空间及应用( 1 9 8 3 ) ，此外还重 点讨论o r l i c z 空间插值理论的瑞典的l m a l i g r a n d 教授，有专著( ( o f l i c zs p a c e s a n di n t e r p o l a t i o n ) ) ( 19 8 9 ) 。 8 0 年代后期，波兰和中国的数学工作者在o r l i c z 空间几何理论方面作了大 量的细致深入的工作，使得这门新兴学科已初具规模，诸如弱拓扑，同构， 基，凸性，光滑性，h 性质，非方性，平坦性，粗性，暴露性，正规结构与一 致正规结构等都已找到了充分必要判别准则；在此基础上又开始了从定性到定 量的深化讨论诸几何常数和从宏观到微观的深化讨论诸点态性质。除 此之外，在拓宽o r l i c z 空间应用领域方面也卓有成效，如在逼近论，预报算子 和鞅论，控制论等方面的众多成果，详见吴从j 忻，王廷辅，陈述涛，王玉文的 专著( o r l i c z 空间几何理论( 1 9 8 6 ) 和陈述涛的英文著作( ( o r l i c z 空间几何 哈尔演理t 人学理学硕 学位论文 学。 另外对于山含参量的y o u n g 函数生成的矢值o r l i c z 空间，讨论了它的端 点，严格l 与性和一致凸性的几何性质，以及经典o r l i c z 空间的一些几何理论已 在m u s i e l a k o r l i c z 空| 日j ，b o c h n e r - o r l i c z 空间和k 6 t h e 空间中广泛产生。 第四几何常数的研究。 空间几何常数是空间几何性质的量化和深入。从几何性质的研究到几何常 数的计算是从定性到定量的推进。空间几何常数的取值范围直接决定了某些几 何性质的有无，其中就包含着对非方性这一几何性质的研究。1 9 3 5 年j o r d a n p 和v o n n e u m a n n j 在文献1 1j 中定义了j o r d a n n e u m a n n 常数c m ，) ，给出了空 间x 是h i b e r t 空间的等价条件是c m 伍) = 1 ，开始了对几何性质进行量化的研 究。对”m 模谁) = i n f 孚y 叫x 蚓忙s ，x 是一 b a n a c h 空| 、目j ，0 0 ， 万( 占) 0 等价于空i 刈x 是一致凸，一致凸的b a n a c h 空i 司又具有一致正规结 构。早在1 9 6 5 年，w a k i r k 在文献【4 】证明了一致正规结构蕴含着空间x 具 有不动点性质。1 9 9 1 年g a oj 和l a u k s 在文献【5 】引进了j a m e s y _ l z 矛n s c h a f f e r 意义上的非方常数 。伍) = s u p m i n 嘛+ y l ，忙一y | i ) = x ，y s 伍) ) c s ( x ) = i n f m a x o x + y | | ，l i x y | | ) = x ，y s 伍) 同时对o r l i c z 空问几何常数的研究也不断的深入，其中哈尔滨学派主要得以下 的结果： 赋o r l i c z 范数的o r l i c z 函数空间和序列空间的凸系数，装球常数和赋 o r l i e z 范数和l u x e m b u r g 范数的o r l i e z 序列空间的k o t t m a n n 常数，粗系数， 一直单调系数，n 系数，四个o r l i e z 空间的非方常数。探求了j o r d a n 系数， n e 啪a 1 1 系数，曲线和r e i s z 角等【6 】【7 】【8 】【9 】【l o 】【1 l 】。 第五，点态几何性质的建立的重要意义。 点态性质是空间性质的局部化，有些点态几何性质直接描述空间几何特 哈尔演理t 入学理学硕i j 学位论文 点。对点态几何性质的研究具有特殊的意义。首先，得到点态的某些几何性质 的步0 掘，就很容易推出几何性质的判据。例如，空间单位球面上每一点是端点 就恩味着空1 1 】j 足，叫备凸的，单位球面的每一点是强端点等价于空间是中点局部 一致凸的。另外，对某些问题的解决只需知道具有一定性质的一定点即可，并 不需要知道别的点的相关性质。例如，自反的严格凸b a n a c h 空间中，一点的 最佳逼近算子的连续，只需该点是h 点，并不需要知道全空间是否具有该性 质。 近年来对o r l i c z 空间点态的研究主要得到了以下各种点态的判据： 端点，各种强端点，光滑点，非常光滑点，强光滑点，一致凸点，弱一致 凸点，一致凸点，u r w c 点，h 点，u 点，暴露点，强暴露点，弱强 暴露点，强暴露点，w m 点，范数可达点，非方点，一致非方点，s 点， 点，紧局部一致凸点，支撑泛函的上半连续点和下半连续点等 1 2 1 1 3 h 1 4 1 1 5 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2l 】 第六，本文给出了在一定条件下o r l i c z 序列空间及其对偶空间非方常数 之问的关系，利用相关结果可对更广泛的空间类的非方常数进行表示，估计及 高精度的近似计算。点态几何常数的表示，估计和计算是点态几何性质的量 化，是空i b j 几何常数表示的局部化，具有重要的理论价值。点态几何常数能加 强对空间内容自身的认识，使空间性质进一步完善。本文重点研究了非方常 数。 对于非方性这一重要几何性质的研究始于1 9 6 4 年，r c j a m e s ，在文献 【2 2 】中引入了j a m e s 意义下的一致非方，局部一致非方和非方的b a n a c h 空间的 定义。 设x 是一个b a n a c h 空间，s ( x ) 是x 的单位球面，若存在常数0 c l ， 对于任意的x ，y s ( x ) ，满足： l i x + y 忙2 - 2 c 圳石一j ，忙2 - 2 c 则称x 是一致非方的。 若对于任意的x ，y s ( x ) ，l i x + y 0 2 或ij x - y i 2 成立。则称x 是非方 的。 若对于任意的x o s ( x ) ，砂s ( x ) ，存在常数o c 1 ，使得 哈尔滨理工人学理学硕，l j 学位论文 慨+ y 忙2 - 2 c 或l i x 。- y 忙2 - 2 c 则称是局部一致非方的。 1 9 7 6 年s c h 百f f e r j j 在文献中提出了s c h g f f e r 意义下的一致非方，局部 敛l i ：力的和m 力。的b a n a c h 窄| 日j 的定义。 设x 是一个b a n a c h 空i 日j ，s ( x ) 是x 的单位球面，若对于任意的 x ，y s ( x ) ，存在常数0 c l + c 则称x 是一致非方的。 若对于任意的x ，y s ( x ) ， m a x o x + y ，忙一y 舱1 则称x 是非方的。 若对于j f 0 s ( x ) ，任思- , h , - 的y s ) ，存在常数0 c o ，对于任意的y e s ( x ) ，满足：m a x 0 k + y | | j i 一y 0 ) 1 一氏 哈尔滨理t 大学理学硕上学位论文 则称x o 是s c h a f f e r 慈义f 的一致非方点。 若对于任意的y s ( x ) ，满足 m a x o x 。+ yj | ，8 x 。一y 0 ) 1 则称x 。足s c h f f f e r 意义下的非方点。 若对于任意的少s ( x ) ，满足： m a x + 川k y 惦2 一氏 则称是j a m e s 意义下的一致非方点。 若对于任意的y s ( x ) ，满足： m a x o x 。+ y l l ，x 。一y 1 1 ) - 1 ，r m ( 触) 1 ，r m 似) o o 把表中的k ，厶肼) 换成0 ，“) 有同样的结果。 几何常数是对几何性质从定性到定量的深化，空间几何常数的取值范围直 接决定了某些几何性质的有无。对非方常数的研究也将更有利于对相关几何性 质的研究。1 9 9 1 年j g a o 和k s l a u 率先给出了j a m e s 意义下的非方常数 c ，( x ) 和s c h a f f e r 意义下的非方常数c s ( x ) c ，似) = s u p m i n ox + y i i ，| | x y l | ) = x ，y s 似) ) 哈尔滨理- t 人学理学硕 ：学位论文 c s 伍) = i n f m a x o l x + j ，| i ，| | x 一少| | ) ：x , y s 似) 并且证明了空间非方常数q 似) 2 等价于x 是一致非方的，若d i m ( x ) 2 ， 则 1 c s 似) c j 伍) 2j 1 c j 似) c i s 似) = 2 成口，以及窄问非方常数c ，( x ) 3 2 蕴含着空间x 具有一致正规结构。而众 所周知，一致f 规结构又蕴含空问x 具有不动点性质，因此对非方常数的研究 具有重要的理论价值。1 9 9 4 年计东海，王廷辅b 6 1 给出了两种意义下的非方常 数关系c j 似) c s 似) = 2 的简单证明，同时给出了两种意义下非方常数的等价表 达式： c g ( x ) = s u p x + y ：i x + y l = p y l l ，矗y es 伍) ) q ) = i n f 舡+ 硎：忙+ 圳= 忙一y l 协少s 伍) ) 为非方常数的近似计算创造了有利条件，并给出了在赋l u x e m b u r g 范数的 o r l i c z 函数窄间中满足一定条件的两种非方常数的表达式。1 9 9 7 年，张晓梅， 吴春霞，王廷辅在文献【2 7 】中给出赋o r l i c z 范数的o r l i e z 函数空间中满足一定条 件的两种非方常数的表达式。同年，计东海在文献1 2 8 j 又给出了赋o r l i e z 范数的 o r l i c z 序列空间满足一定条件的两种非方常数的表达式。1 9 9 9 年计东海，詹大 鹏在文献1 2 9 j 给出赋l u x e m b u r g 范数o r l i c z 序列空间满足一定条件的两种非方 常数的表达式，同时，他们给出了在，p 和空间中的一些结果，为广泛的空 间的研究证明、猜想提供了重要的条件。与此同时，任重道，严压强等人给出 了o r l i c z 空间中的非方常数的精确估算。 1 2 本文的课题来源 我的导师计东海教授的省教委基会项目。 哈尔滨理丁大学理学硕i j 学位论文 1 3 本文的主要内容 点态几何常数是点态几何性质的量化，是空间几何常数的局部化。本文主 要讨论如下几方面的问题： l两种点态非方常数的问题。 2 在具有一定性质的空间中两种点态非方常数的取值范围的问题。 3点念非方常数与点态性质、空间性质、空间非方常数、相关几何性质 的天系i u j 题。 4o r l i c z 空i 日j 非方常数的相关问题。 为了有全面，综合的认识，本文首先对各种非方性，以及在j a m e s 意义下 和s c h i f f e r 意义下非方常数在赋范空间，特别是在o r l i c z 空间的发展进程及现 状做了详细叙述，并给出了本文各部分所讨论的内容、背景和意义。 本文第二部分给出了赋范空间基本定义、基本结果，引入了两种意义下的 非方常数的定义。同时给出了非方常数的取值范围，又简单介绍了o r l i c z 空间 基本理论和o r l i c z 空间非方常数基本结果。 本文的第三部分给出了在一定条件下o r l i c z 序列空间及其对偶空间非方常 数之间的关系，证明了当生成函数满足一定条件时，赋o r l i c z 范数o r l i c z 序列 空间与赋l u x e m b u r g 范数o r l i c z 序列空间非方常数之间的关系，利用相关结果 可对更广泛的空间类的非方常数进行表示，估计及高精度的近似计算。 哈尔滨胖t 人学理学颂l 学f 讧论文 第2 章非方常数与o r l i c z 空间基本理论 2 1 赋范空间基本定义和基本结果 设( ，| | | | ) 表示赋范空间，s ( x ) - 与b ( x ) 分别表示x 的单位球面与单位球 定义2 1 1 设x 是一个b a n a c h 空f s j ，s ( x ) 是x 的单位球面，若存在常 数0 f 1 ，使得对于任意的x ，y s ( ) ，有 i i x + y 忙2 - 2 c 圳x y l l 2 - 2 c 则称x 是j a m e s 一致非方的f 2 引。 定义2 1 2 若对于任意的石，y s ( x ) ， l i x + y 0 2 或i x - y l l 2 成立，则称x 是j a m e s 非方的【2 引。 定义2 1 3 若对于任意x o s ( x ) ，存在常数0 c l ，使得任意的 y s ( x ) ，满足： l k 。+ y 0 2 - 2 c 或j i x 。- y i l 2 2 c 则称x 是j a m e s 局部一致非方的【2 2 】。 定义2 1 4 设x 是一个b a n a c h 空间，s ( x ) 是x 的单位球面，若存在常 数o c l 则称x 是s c h a f