（基础数学专业论文）分支问题在t等价群作用下的分类.pdf

摘要 分类问题是分支理论中的一个非常重要的研究课题在实际应用中，许多自然的模 型是具有平凡解的分支问题本文主要研究具有平凡解的分支问题在f 一等价群作用下 的分类 本文分为四个章 在第一章中，简要地介绍了奇点理论的发展过程和主要研究领域，并且介绍了奇点 理论在分支理论方面的应用，最后介绍了关于分支理论中的分类问题的研究动态 第二章首先介绍了奇点理论中的基本概念和思想，然后介绍分支问题、等价、强等 价、切空间及余维数等基本概念，最后回顾了分支问题在强等价关系下的分类情况 第三章首先介绍了具有平凡解的分支问题、f 一等价关系、轨道切空间、余维数等基 本概念，然后给出了本文的主要结果之一，即两个分支问题f 一等价的充分条件本章最 后讨论了具有平凡解的分支问题的f 一有限决定性，给出了本文的主要结果之二，即光 滑函数芽g 。缸) 与其七一阶导网 n ) f 一等价的充分条件 第四章给出了本文的主要结果之三，即余维数不大于3 的具有平凡解的分支问题 在f 一等价群作用下的分类定理然后，对分类定理作了详细的证明 关键词：奇点理论；分支问题：分类；等价群；有限决定性 a b s t r a c t c l 舾s 询c a t i o np f o b l e mi s 柚i m p o r t a i l ts u b j e c to fb i f i l r c a t i o nt l l e o r y i l i 印p l i c a t i o n ，m a i l y m o d e l s 缸eb i f u r c a t i o p r o b j e m sw i t h 啊v i a ls o l u “o n i i lt h i sp a p e r ，w em a i l l l ys t u d yt h e d 笛s i f i c a t i o no fb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t l lt r i v i a ls o l u t i o nw i t hc o d i m e n t i o nn o tm o r et h 卸3 u n d c rf c q u i v a l e n t 乎o u p t 1 l ec o n t e n to ft h i sp a p e fw i l lb em a i l l l yd i v i d c di n t of o l i rp a n s mt h ep a no fi n t r o d u c t i o n w eb r i e n yi n t r o d u c ct l i ed c v e l o p m e n to fs i n g u i a r i t yt h e o r y n e x t ，w ei n t r o d u c ct h ea p p l i c a t i o n0 fs 血g u l a r i t yt h e o r y i nb 谂l r c a t i o nt h c o r y 柚dt h e d e v e l o p m e n to ft h c d a s s i f i c a t i o no f b i f u r c a t i o np r o b l 啪s i nt l l es e c o n dp a n ，w ei n t r o d u c c m ed 嘶l l i t i o 舾蛆dm e t h o d so fs i n g u l a r i t yt l i e o r y 1 n h e n ，w ei n 仃0 d u c es o m ed e f i n i t i o 鹏o fb i f u r c a t i o nt h e o r y ，f o re x 锄p l e ，b i f i l 啪t i o np r o b l e m 、 t 趾g e n ts p a c c 、t l l ec 0 一d i m e n s i o n ，e t c a tl 越t ，w e9 00 v e rt l l ed a s s i f i c a t i o no fb i f u f c a t i o n p r o b i e m sw i t hc o d i m e n s i o n n o tm o r et l l a i l3u n d e rs t r o n ge q u i v a l e n t 孕o u p i nt l l et h i r dp a r t ，w ef i r s ti t l t r o d u c ct h ed e f i n i t i o 璐o fb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t h 埘v j a l s 0 1 u t i o n 、t h eo r b i tt 卸g c n ts p a c ca n dt h ec o d i m e n s j o n t h e n ，w eg i v eo n eo ft h em a i nr c s u l t s o ft h i sp a p e r ，i e ，t h es u f ：f i c i e n tc o n d i t i o nt od e c i d et 、v ob i f i l r c a t i o np r o b l e m sw i t h 埘v i a l s o l u t j o nt ob et e q u i v a l e n t a tl a s t ，w ed i s c l l s st h ef i n i t et d e t e 册i n a c yo f b i f i i r c a t i o np r o b l e m w i t ht r i v i a ls o l u t i o n ，卸dg i v et h es e c o n dr e s u l to ft h i sp a p e r ，i e ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t j o nf o r s m o o t h f i l n c t i o ng c 肋s g “仁 a n d 七一弘f ( 七n ) o fg t ob ef e q u i v a l e n i 1 nt h ef o u n hp a r to ft h i sp a p e r w e 百v et t l et l l i r dr e s u no ft h i sp a p e r ，i e ，t h ed a s s i f i c a t i o n t t l e o r e mo fb i f l i r c a t j 彻p r o b l e mw i t l lt r i v i a ls o l u t j o nw i t hc o d i m e n s i o nn o tm o r et h a i l3u n d e r t e q u i v a l e n t 伊o u p t h e nw eh a v e 百v e nt h ed e t a i l e dp m o f o ft h ec l 鹤s i f i c a l i o nt h e o r e m k e yw o r d s ：s i n g i i i a t ) rt h e o r y ；b i f u 啷t i o np m b i e m ；c i a s s m 妇t i o n ；e q u i v a l e n tg r o u p ； 矗n i t ed e t e r m i n a c y 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名：李弛嵩日期：嘲年牛月如日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：李辛色韦日期：卅年年月；。日 翩虢毒喜吼年牛月弦日 第一章绪论 奇点理论是分析学科中的一个较新的分支，它是处在分析，微分拓扑，微分 几何，交换代数与李群以及微分方程等数学学科交汇处的一门学问，又在诸多领 域如微分方程，振荡积分，动力系统，分支理论，突变理论，几何光学与波动光 学乃至生物学，经济学等学科中有广阔的应用 奇点理论的发展，最早期有2 0 世纪3 0 年代h m m o r s e 的l 临界点理论，4 0 年 代h w h i t n e y 的与微分流形嵌入，浸入有关等工作，l p o n t r y a g i n 与示性类有关等 工作1 9 5 5 年h w h i t n e y 【1 】发表了关于把平面映到平面的映射奇点工作，它标志着 奇点理论作为一门独立的数学分支登上了数学的舞台6 0 年代，r t h o m 等人总结 了前人的成果，把奇点理论中的方法和结果统一到一个更为概括的理论框架中在 前7 0 年代，v i a 加o l d l 2 j 在光滑函数的临界点分类方面做了许多杰出工作，引入了 一些深刻的工具，对一类很重要的函数的分类做出了新的阐释，他还发现了奇点 理论与振荡积分之间的联系，开创了所谓的“量子突变理论” 1 9 7 5 年前后，v v l y c h a 百n 【”等人引入了应用奇点理论在接触几何框架中研究 偏微分方程几何理论随后三十年，几何偏微分方程及其几何解的研究有了长足的 发展例如国外有i z u m i y as ，j a m e sd a m o n 【4 j ，卅等；国内有，余建明，孙伟志，l i b i n g m 9 】等，它到现在还是一个研究热点 1 9 7 9 年前后，m g o l u b i t s k v 和d g s c h a e f f c r m l l 首先引入了奇点理论的方法 和群论的方法研究分支问题的思想目前，利用奇点理论研究分支问题仍然是国 内外的一个研究热点，运用奇点理论来研究分支理论大致比较满意地处理以下几 方面的问题： ( 1 ) 探讨一个分支问题在什么样的条件下等价于给定的标准形式( 识别问题) 因此必须找这一标准形式在某个等价群作用下的轨道特征借助于奇点理论中的 一个基本概念有限决定性，这一问题常常可以转化为有限维情形来处理该等价群 模去高阶项将以李群方式作用，其轨道为半代数集，因而可以将轨道描述为由这 样一些映射芽组成，它们的t a v l o r 系数满足有限个多项式约束，并以等式和不等 式形式表示，而这一描述正是识别问题的解( 参见文献 1 2 1 3 1 4 ) ( 2 ) 研究分支问题在一般扰动下的解的结构和变化状态( 通用开折) 如果一 个分支问题存在通用开折，那么对做扰动产生的每一个开折都可以由它的通用开 折导出，这说明研究通用开折很有意义( 参见文献 1 5 2 9 ) ( 3 ) 分支问题在一般扰动下的解的不变性质( 持续性) ，并对所涉及的分支问 题按余维数进行分类( 分类问题) 在分支理论的研究中，分类问题是一个非常重要的课题而关于可微映射芽 的奇点理论，为分支问题的分类提供了很好的思想和有力的工具近2 0 多年来， 国内外在该领域己有大量的工作例如在国外，g o l u b i t s k y 和s c h a e f f e r i ”目等对 于余维数不超过3 的单状态变量的分支问题给出了在强等价群作用下的分类并给 出了余维数不超过3 的以z ，为对称群的单状态变量、单参数等变分支问题的分类； p e t e r s i 驯研究了两参数单状态变量分支问题在余维数不超过1 的条件下的分类； k e y f i t z 【3 1 1 得到了余维数不超过7 的单状态变量的分支问题在强等价群作用下的分 类； g o l u b i t s k y 和r o b e r t s 【3 2 】得到了单参数两状态变量关于d 4 对称的分支问题在 拓扑余维数不超过2 的条件下的分类；m e l b o u n e 【”】讨论了三状态变量关于八面体 群对称的单参数等变分支问题在拓扑余维数不超过l 的条件下的分类； f u r t e r ，s i t t a 和s t e w a r t m l 研究了分支参数和状态变量具有相同对称性的多参数等变 分支问题，并给出了参数与状态变量均关于现对称的两参数等变分支问题在余维 数不超过1 的条件下的分类；m a o e l 与s t e w a n 【3 5 j 讨论了具有隐藏对称性的分支 问题的分类；等等在国内，孙伟志等【琊7 1 深入地研究了可微函数芽的分类问题， 高守平和李养成等研究了状态变量关于见对称，分支参数关于s 1 对称的多参数 等变分支问题在拓扑余维数不超过2 的情况下的分类；等等 在实际应用中，许多自然的模型是具有平凡解的分支问题，例如 3 9 中非线 性振荡模型( 2 ) ， 4 0 中的模型( 7 ) ( q 1 。o 的情形) 等等在某些自然的扰动下，这 些模型始终保持着平凡解因此，本文研究具有平凡解的分支系统，而且所考虑 的情形是在扰动过程中和所得的扰动结果里始终保持着平凡解的情形是有实际背 景的文献 1 5 中的f 一等价关系对这种扰动作了描述 本文分为四章在第一章中，简要介绍了奇点理论的发展过程和主要研究领 域，并且介绍了奇点理论在分支理论方面的应用，最后介绍了分支理论的研究动 态第二章首先介绍了奇点理论中的基本概念和重要思想，然后介绍了分支问题、 等价、强等价、切空间及余维数等基本概念，最后回顾了分支问题在强等价关系 下的分类情况第三章首先介绍了具有平凡解的分支问题、f 一等价关系、轨道切 空间、余维数等基本概念，然后给出了本文的主要结果之一，即两个分支问题f 一等 价的充分条件本章最后主要结果之二，即光滑函数芽g e 。仁 与其t 一阶导网 f 一等价的充分条件第四章给出了本文的主要结果之三，即余维数不大于3 的具 有平凡解的分支问题在f 一等价群作用下的分类定理并对定理作了详细的证明 2 第二章预备知识及相关结论 芽是奇点理论中最基本的概念，本章首先介绍c 。函数芽、c 4 函数芽环、极 大理想、导网、有限决定性等概念，然后介绍分支问题的基本概念和结果这些 都是作者后面所要用到的 2 1 芽与导网 如果两个函数在一点的某个邻域内相一致，那么它们在该邻域内具有相同性 质我们在讨论函数的局部性质时，可以将它们归入一类而不加区分因此对在 某点附近有定义的一族函数分类进行研究自然导致函数芽的概念 2 1 1c 函数芽环 设【，为r “中的开集n 元实值函数，：u r 叫做无穷次可微的，如果对于 u 中的每一点x ，的各阶偏导数在石点都连续u 上的无穷次可微函数又叫做 光滑函数或c 9 函数 定义2 1 1 c 。函数在o r 处的芽是c 。函数，：u r ( u 为。点的开邻 域) 的一个等价类，其等价关系规定如下：两个c 。函数于：【，一璁和季：y r 是 等价的，当且仅当存在点。的开邻域c u n y ，使得于i 一季l 矽以上述，( 或 季) 为代表的c 。函数芽记为厂：( 础，o ) 一r c 。函数芽又叫做光滑函数芽 将c ”函数芽在0 r “处的芽组成之集记为8 ( r - ，。) 或简记为e 容易验证对 加法和乘法做成个具有单位元的可换环 2 1 2 极大理想及其幂 令肘。- 厂i ，( o ) 一o ，易见m 。ce 是极大理想且肘sr 事实上 m 是e 。的唯一的极大理想类似地，我们引入m ：”，说，m ，是指厂以及 它的阶数不大于r 的所有偏导数在o 的值均为0 1 2 1 3 导网空间0 设，e 。依t a y l o r 公式，将，在0 r “处作t a y l o r 展开得： m 州o ) + 互，华 其中余项m ) m ：“，巳在巳 f ：“中的像叫做，的r 一导网，记为，7 厂由 上式知，7 ，可表示为，在0 r 处的，阶t a y l o r 多项式因此。中函数芽厂和g 具有相同的r 一导网当且仅当厂与g 以及它们的阶数直到，的所有相应的偏导数 在点0 科的值均相等 将商代数f 。肘，记做，7 ( 科，r ) ，简记为根据t a y l o r 公式，彤标准地 同构于次数不大于r 的n 元多项式代数 2 1 4 毛中具有有限余维的理想 设，是f 。中的理想若e ，作为实向量空间是有限维的，则，叫做f 中余维 有限的理想数d i m 。f ，记为d i m ，叫做，在f 中的余维数例如，吖。是。 中余维有限的理想，其余维数是1 2 2 有限决定性 分类问题一直是数学中最基本也是最重要的问题由于。是无限维实向量空 间，对函数芽进行分类，一个基本的想法是将无限维化简为有限维来处理，为此 要求考虑的函数芽余维数较小 因此人们自然会猜想：对“足够好”的，通过取导网，有可能与它 的某一t a y l o r 多项式右等价，这样一来，对满足一定条件的函数芽进行分类可归 结为由多项式组成的有限维向量空间的分类问题现在引入下面定义 定义2 2 1 设厂：( r “，o ) 一r 为c 。函数芽，l | 为自然数如果。中与厂具 有相同t 一导网的芽g 皆右等价于，则说关于群m 是t 一决定的，记做，是 t 一9 t 一决定的 4 2 3 分支问题 2 3 1分支问题 将函数芽厂：( r r ，o ) 一r 组成的集合记为f 。，其中x 是状态变量，a 为分 支参数，那么。自然地构成环( 它也自然地构成一个r 一代数) 类似地，函数 芽a ：( r ，o ) 一r 的集合记为气 定义2 3 1 设g 8 “，如果满足g ( 0 ，o ) - 最( o ，o ) - 0 ，则称g 是一个分支 问题 2 3 2 等价和强等价 定义2 3 2 称两个单变量分支问题g ， e 。是等价的，是指若存在芽 x ，s “和a b 使得： i l ( 工，a ) ts ( 石，a ) g ( x o ，a ) ，人( a ) )( 2 3 1 ) 其中s ( 0 ，o ) ，o ，x ( 0 ，o ) 一o ，以( 0 ，o ) ) 0 和a 。( o ) 0 特别当( 2 3 1 ) 式中的a 以) - a 时，g 与j i l 称为强等价的 在上j 苍定义中记r 一 ( s ，x ，a ) l s ( o ，o ) ) 0 ，x ( 0 ，o ) 一0 ，以( 0 ，o ) ，0 ，a 。( o ) ) o ) ， 对r ；一( s ，置，a i ) r ，f 1 ，2 ，令： s ，a ) 一s ：o ，a ) s ( x ：o ，a ) ，a ：( a ) ) ， x o ，a ) = 石。( x ：o ，a ) ，a ：q ) ) ， q ) = a 。( a ：q ) ) 则定义了r 上的一个运算，并且r 关于这种运算成为群，( s ，z ，a ) r 作用占。 上定义为： ( ，x ，a ) g ) ( x ， ) = s ( 石，a ) g ( 工 ，a ) ，a ( a ) ) 5 2 3 3分支问题的切空间及余维数 我们下面定义分支问题的限制切空间，它是环。中的理想 定义2 3 3 对于分支问题，的限制切空间r r ( ，) 定义如下： 月r ( ，) 一 定义2 3 4 芽，。的切空间定义为： f ( 厂) 一 盯+ 龟c + d j l n ，6 f ， ，c f ) 一c ，正，+ e 。 矗卜r r ( ，) + 厶 + r 丘) 显然切空间一般不是环。中的理想但有r 丁( ，) c 丁( ，) 成立( 在不引起混淆 的情况下我们一般把理想r 丁( ，) 所在的环e 。省掉) 定义2 3 5 称，。余维有限或有限余维，是指r ( 厂) 在8 “中余维数有 限，即丁( ，) 看成实向量空间在e 。中的补空间是有限维的实向量空间 2 3 4 分支问题在强等价关系下的分类 文献【1 5 】对余维数不超过3 的具有单状态变量，单参数的分支问题在强等价 群的作用下进行了分类 定理2 3 6n 5 1 设占 ，a ) 。满足g ( 0 ，o ) 一g j ( o ，0 ) = o 如果c d d i m gs 3 ， 则g 强等价于下列标准型之： 6 表2 3 1 ( 标准型及余维数) 标准型余维数标准型余维数 x 2 + 趴0一+ 趴2 e 0 2 一a 2 ) 1工2 + 锨43 s 0 2 + a 2 ) 1 ，+ 肌23 e ，+ 觑1x 4 + 醐j3 工2 + 矾32占z 5 + 6 a3 一+ 锨j2 7 第三章分支问题在f 一等价群作用下的若干结果 从本章开始，我们主要讨论具有平凡解的分支问题本章首先介绍了相关概 念，给出了判断两个具有平凡解的分支问题f 一等价的充分条件( 定理3 2 2 ) ，然 后讨论了具有平凡解的分支问题的f 一有限决定性，即光滑函数芽g 。仁 与 其t 一阶导网( 七n ) f 一等价的充分条件( 定理3 3 2 ) 3 1 基本概念 首先我们将给出具有平凡解的分支问题、f 一等价关系、轨道切空间及余维 数等概念 3 1 1具有平凡解的分支问题 定义3 1 1 设分支问题g m ，如果满足g ( 0 ，a ) - o ，v a r ，则占称为具 有平凡解的分支问题 易见，所有这样的分支问题均属于集合 f ， 工) = e ， l ( 石，a ) = 厂( z ，a ) 。石，y 厂。 注g 为具有平凡解的分支问题当且仅当g 习且g 是一个分支问题 显然，；， x ) 是占， 的子环作为r 一向量空间，m x 是s m 的子空 间( 以下所论及的向量空间均指r 一向量空间) 如果，f 以，则j r 仁) 表示集 合 ，。工i v ，) ，其中一是环“中的乘法，我们也常省略乘法记号”n ，如 ”，x ”就简记为豇 3 1 2 f 一等价关系 定义3 1 2 设g ， “缸) 是一个分支问题称g 和 是f 一等价的，记 做g 一i l ，是指存在函数芽s ，x ，a 使得 g ，a ) = s ，a ) ( x g ，a ) ，人( a ) ) ， r 而且s ( 0 ，0 ) 0 ，以( o ，0 ) ) 0 ，a ，( o ) ，0 ，a ( o ) = o ，( o a ) - o ，v a ( 豫，o ) 所有的满足上述条件的( s ，x ，a ) 组成的集合记做r ，即 r 一 a ) ) 毛。厶i s ( q 0 ) ，0 ，置( o ，o ) ，q ( o ) ，q a ( o ) 一q 坝q e o l 坝 呦 其中岛表示( r 2 ，o ) 上的局部微分同胚群不难看出，r 关于下面乘法运算构成一 个群： s o ，旯) 一s ： ，a ) s ( x ：o ，a ) ，a ：q ) ) ， 石o ，a ) 一置( x ：0 ，a ) ，a ：( a ) ) ，a ( a ) 一人。( a ：( ) ) 我们称群r 为f 一等价群 r 可以自然地作用在e 。 x 上：v ，( 丑，a ) ) r ，v g 8 “ z ) ，定义 ，( x ，a ) ) g ，a ) 一s 0 ，a 培( x ，a ) ，人 ) ) g 在r 作用下的轨道为： q - 协m 缸) l j i l g 3 1 2 轨道切空间及余维数 定义3 1 3 设g “。仁 是一个分支问题，g 关于r 的轨道切空间定义 为： 于( g ) = 口g + 抛，+ c a g l 口，6 ， ，c 当g ；豇时，其中，。，易见于( g ) 也可以表为 丁( g ) = 。+ - a g ) = 【 b 。+ a g ， r ( g + f r ) - g + f r ，】曙，+ 吧 。+ a g + f a _ ) 任取，f ( g + f r ) ，则存在口，6 ”c 8 使得 ，1 4 皓+ f r ) + 6 ( 昭，+ 亡吒) + c ( a g + f a ) 8 9 + b x g 。+ c 九g + t n r + t b x r 工+ t c r 显然有厂于( g ) ，即于( g + 肝) c f ( g ) 反过来，有 g = g + f r f r 于( g + f r ) + m 翁忸 c 于( g + f r ) + m ， - 于( 占) 五乳_ 裙，+ 。吒一白：f ( g + 肛) + m 等忸) c 于( g + f r ) + m ， f ( g ) a g 一a g + f a 一f ，k f ( g + f r ) + j | l ，爿- 协) c f ( g + 护) + m ， 于( g ) 因此有 丁( g ) c r ( g + f r ) + 以 r ( g ) 从而存在啊f ( g + f r ) ，卅肘m ，其中f ，1 2 ，3 ，使得 g = k + t g + a ：x g l + 破九g 壤置1 2 + 口：g + a ；j 曙，+ 口；a g ，( 3 3 1 ) a g i b + o ；g + 口；】喀，+ 口；a g 将( 3 3 1 ) 式用矩阵表示得 1 4 墨剖珊 ， 动 ( 善墨封 则a 是“上的矩阵因为d e t a 一1 + 口，其中a 肘“，d e t a ( 0 ) = 1 ，故 是5 “上 跏。1 褂 习 由( 3 3 3 ) 式可知，王( g ) 的生成元可以表示成互( g + 中元素的线性组合，那么 综上可得， z ( g ) t z ( g + 护) ，f 【0 ，1 】 根据定理3 2 2 有占一g + f r ，f 【o ，1 】，从而有g ( ，) 工 证毕 定理3 3 3 设，c 一缸) 是。一子模，在巳，。 x 中余维有限当且仅当 存在七n 使得m _ 扛 c ， 证充分性如果峨 缸，c ，则c d d i m r ，主c d d j m _ 哦 。仁) 必要性假定_ ，余维有限，考虑： ，+ m “仁) ，+ m 五仁) ) 3 ，+ m ： 忸) ) ， 那么 c d d i m r u + m “仁 c d d i m r u + m l 仁 ) s sc d d i m r u + m ： 忸) ) s s c d d i m r j 。既是，中 的余维有限的子空间又是一个理想注意到中( ，) 一i l ，中( 坑) 一地，故存在自然 数历苫1 ，使得嵋c t ，班，。从而存在口，6 ，使得 j ，= 口 + 批( 4 2 1 ) 考察矗在原点处的各阶导网，( ，j 1 ( o ) ，2 _ l ( o ) ，注意到 肘，故 ( 0 ) 一0 于是可以看出，必然存在自然数f z l 使得 ，o ( 0 ) - - ，。( 0 ) - 0 ，j 。 ( 0 ) _ 0 ( 否则在( 4 2 1 ) 式两边取优阶一导网会导致矛盾) 从而由t a y l o r 定理可知， i l z “关于x 是f 一阶正则的 证毕 引理4 2 2 设g e 。仁 是一个余维有限的分支问题若g x ，其中 ，。且自然数f 如引理4 2 1 所述，那么有 ( 1 ) 于( g ) c 一，a 缸) 且c 口d 拥g2 f ； ( 2 ) 如果，一3 ，并且厶( 0 ，o ) = 0 ，那么于( g ) c t ，工a ，a 2 ，仁) 且c 以咖g 苫4 ； ( 3 ) 如果f 一2 并且厶( o ，o ) t 0 ，那么 ( f ) 当厶( 0 0 ) = 0 时，有于( 占) & 工2 ，a 2 ， 对且砌，曙4 ； 何) 当，从( o o ) z 0 时，有于( g ) c c z 2 ，工a ， 忸) 且c 甜咖苫4 ； ( f f f ) 当正。( o ，o ) ，“( 0 o ) - 0 时，有于( g ) c t j 2 ，工a ，a 2 ，缸) 且c d d 咖g 苫4 ； ( 4 ) 如果扣1 并且 ( o ，0 ) 一，。( 0 o ) - k ( o o ) t o ，那么于( g ) c c 工，a 4 ，扛) 且e 砌魄2 4 ( 注意，这里把形如c ，七 的理想均简写成c ，七，以后不再说 明1 证由引理4 2 1 可设， ，a ) 。j 。口o ) + 幻0 ，a ) ，其中f2 1 n 巳，g f “，且 1 8 4 ( 0 ) 一0 ( 1 ) 易见厂 ，a ) cz ，a ，而且 矾0 ，a ) 一如7 口o ) + 工“1 q o ) + 舢巩0 ，a ) ， a 厶( z ，a ) 置a 日( 工，a ) + a 2 日 o ，a ) 毒，