（基础数学专业论文）参数边界条件的sturmlioville问题.pdf

ab s t r a c t t 比 p ape r ism ai n lyc o n c e r n e dwit h s t urm 一 l io u vi lle p r obl e zns wit h e i gen p ar别 叮 份 eterint be bound aj 了con di t fo ns in t h e fi rs t p axt oft his p ape r ， 桃 gi ve s om eb asiccon c e p t s o f r e 酬 a rs t urm- li ouvillep r o b l e lns and吕 0 刃 d esturln-li ou访 ll ep r o b l e lns wit hei g e n p ar 创 旧 e t er in t he b o und a r ycon diti o ns andt he d e 丘 n it fo nandp r o p e rt ies oft h e k reinspace . u s i n g t he k 喊ns p ace ， we d 已 犯 ri b e a c la sso f s t urm 一 l i o u 训 叮 e p r o b le ms w i t hei g e n p ar axne ter in 七 wo b o und a rycon ditfo nsand p rovet h atit c an g e n e r ate a self- 嘀 。 int 叩er ato r ink rem 叩ace with。 吻 poi ntspectrujn . i nt h e s e c o nd p azt ， s t urm-l i o u 钊 山 e p r o b le ms 喇t ha d e s c r e as i n ga 任 泊 e fun c t i on ofei gen p aralneterint he肠 t bound a rycon d itiouand叭arbi tr a r y rati onal丘 叮 c t i o n in t he sec o n done isc o d 名 l d e r ed. a s y l n p t otic时血atesofei g e n 讥 红 u 印汕dei ge创 fu 叮 c t 1 0 ns ar e gi v e n and osc i ll a t 1 o nresul t s are d eve l o p ed. i nt he thir dp art， we d 油 c 切 劝a仙 p l ec 】 田 粥ofs t urml lo uville p r o b l 初th d i ri c b l etb o und a ry con di ti o nint h e份s t b o und a r yc o n di t i o nandan aj 玉 n e ft 山 ct ion int h e seco n done . we 孚 vet h e ei g e n v al u e r at咖 o f t he a b ove p r o b le mwit hp o t e n t i al 加 n c t i o nq全0o r q0 ， q 任c io ， 1 ， a 0 司， 口 c(0 ， 司 . 称上述问 题为 正则st urin - li o uviu e 问 题. 若方 程( 1 . 1) 存 在非平凡的 解 ， ( x) 同 时满足两 个边界条 件 ( 1 ， 2 ) ( l a) ， 则称抓 x)为 问 题( l i) 一 ( l 3 ) 的 特 征函数 ， 对应的 参数入 称为 特征 值. 下面我 们首 先用泛函 分析的 语言描 述上述问题. 定义 h il be rt 空间h二护10 ， 1 ， 在hilbert空间h 上定义算子a 为 a ， = 一 ( 脚 尹 ) ， +9 ， ， ， 任 d ( a ) d ( a )= ， 任 l z 0 ， 1 1， c a c 0 ， 1 1 ， 一 伽 犷 ) + 四 l z 0 ， 1 ， ， ( 0 ) c 田a 一 腼产 ) ( 0 ) s i n o =0 ， ， ( 1 ) cos 口 一( p 穿 ) ( 1 ) s i n 口 =0 则有 定理 l i( 1 2 0)算子a为自 伴的 ， 且它的谱全为点 谱， 即(l.1 卜 ( l 3 ) 的特征 值， ( 1 . 1) 一 ( l 3)的 规 范正 交的 特征函 数 系构 成了护 的 一组 标 准正 交基 . 对于问 题( 1 . 1) 一 ( 1 .3 ) ， st ulln 和liou vi ue给出 了 特征值 和 特征函 数的 渐 近估 计式 . 而后 1 9 26年尸 r 位 j 。引 入尸 r 云 j er变换， 利用此变换可以 得到 特征函 数的 振荡理论 ， 即 特征 函 数在(0 ， 1)内 的 零点 个数问 题. 标 准的尸 r 了 er变换 为 叼句 ，土1孟 ， “ p ( x ) s i n 夕 ( x ) ，则 ( x ) =户 ( x ) cos e ( 公 ) . 则由 方 程 ( 1 . 1) ， 得关 于e ( 劝的 一阶 微分 方 程 e， ( 二 卜华 姗 : 。 (x 、 + ( * 一 口 (二 ) ) ， 。 ， 。 ( x ) p t 公 ) 硕士论文 参数边界条件的stl双 r d 一 l io uvilie 问题 对应于 边 界条 件 (l ，2 ) ， 夕 习满 足初 始条 件 夕 ( 0 ) =a 由 于方程( 1 . 5 ) 的右边有界且满足 li p s c hi t z 条件， 上述初值问题有唯一解. 利 用尸 成了 ，变换 可得 定 理1 2 ( 【1 7 ) 1 ) 口 ( 二 ， 久 ) 之 0 ， vx 0 ， 1 1， 以 r ; 2 ) 、 坐 蕊 0 ( 入 ， ) 一 0 ， 、 既 0 (人 ， 1 ) 二 + co ; 3 ) e( 二 ， 入 ) 关于人 为 单调 递增函 数 . 同 时 我们可以 得到( 1 . 1) 一 ( 1 .3 ) 的 特征 函 数的 振 荡理 论. 定 理 1 . 3 ( !2 0)问 题( 1 . 1) 一 ( 1 . 3) 有 可 数多 个特征 值， 且可以 按 大小 排 序为 凡 从 0 ， 邵 0 ， ， 去 v wc 。 满 足 “w 一 wo 卜1 ， 厅， 了 川办1 刀 ( 人 ) = a 入 m + 鑫 s in 石 + c 哭笋 + 1 土 (a m 一 : + 菩 ) + bl 旦 共竺 + 0 (二 二 ) v a八 其中 。 一 关 。()dx ，一 q 月 材 一 1一 飞 万 乙 1一广 o + c-介 + 那-，万 当 久 ” 00 且 办一 介十 券 时 ， ( 一 1 丫 d ( 入 ) 不 1万 不 厂= 因 此 当 ， = 一 1 + 0 ( 圣 ) 时 ， 有 石一 ， 二 一 共 + 0 ( 妻 ) ， j开j- 硕士论文 参数边界条件的stul价lio uvi u e 问鹿 即 ， = ， 2二 ， 一 z c + 0 ( 于 ) 为 d 林 ) 的 零 点 令 p( 习= 叭 m + 去 si n 石， = (。 一 告 ) 7t ，(。 为 充 分 大 的 正 整 数 ) ， 在 复 平 面 上 按 图 1 箭头 指向 依次 作折线 、=x 十 勿 ，0 三二 三 盘 ， ， =一 品x 二 氛， 一 盘 ， d e g g 时， 将 凡 ，司敲 爪 ， ， c . 八 ， 1、 = 几 万一 十口匕万) 几 万几 户 代入 上式 ， 且注意 到 ， c . 。 ， 1 、 、. 。 ， 1 、 田s t 一叶竺十口l . 二) ) 二= 1一口l we 百) ， 几吓几一几. 1 。 二 一 磊+ 0 ( 奋 ) 一 二 (: 十 。 (共 )， 化简即得 1 3 硕士论文 参数边界条件的stulm-lio uvi ue问题 卯.3 振荡理论 尸 r 云 了 e ， 变换 方法 在讨 论s t ur m 一 l io uv既问 题的 解的 振荡理 论中 起 着重 要的 作用， 下 面 我 们 利 用 尸 吃 f 。 变 换 的 方 法 给 出 问 题 ( 1 .1 ) ( 1 .)( 1 .5 ) 的 振 荡 理 论 . 对 方 程( 1 . 1) 作 介订er 变换 ， 得 了 ( : ， 人 ) =p ( : ， 人 ) c 、0 ( 二 ， 入 ) ， ( 二 ， 人 ) =p ( : ， 久 ) 5 访 夕 ( x ， 久 ) ，( 3 . 1 ) 则有下列形式的方程 犷 = cosz + (入 一 。 ) sinz口 ，( 3 .2 ) 对应 条件 ( 1 滩 ) 有c o t 夕 。 ， 0 ) =a 入 + 石 定义f 林 ) =c o t 夕 。 ， 1 ) . 以 昭 表示( 1 . 1 ) ( 1 .4 ) 与 ， ( 1 ) =0 的 第。 + 1 个 特征 值， 入 穿表 示( 1 . 1 ) ( 1 滩 ) 与犷 ( 1 ) =0 的 第。 +1 个特 征值 . 引理3. 1 当人 c 林 票 1 声 黔时， 方 程 ( 1 . 1) ( 1 劝 的 所 有解 在(0 ， 1)内 恰 有。 个零 点， 证明 : 因 为co t 以 人 ， 0)=以 + b ， a d e g ，时 ， 如果 ; 呱 f( 习=+ co， 振荡 数为。 一 m+1 ， 如 果* 呱f(劫=一 00， 振荡数为。 一m; 如 果d e g h 三ds gg= m， 振荡 数为 。 一 m. 证明:只证定理的前半部分. 令 x =1 一 才 ， 则( 1 . 1 ) ( 1 . 4 ) 与， ( 1 ) =0 变为 一 了+q 、 二 久 二 。 ( 0 )= 0 箫 ( a 入 +b) 硕士论文 参数边界条件的stul价uo u 朽1 e 问题 其中 q (t)二或 1 一 幻 ， 且 两问 题的 特征 值相同 . 由 ( l 01 ， t hz为的公 式 一 #+ 关 21、 q (工 ) d 劣 一 石 + “ 石 j 而由上述定理2 3 一 一 m ，2一 + 关 。 ( x ) 心 + z a 一 ， 一 兰 + 。 ( 王 故、 一 人 票 ， + “ a 、 一 ; + 0 (袅 ) 当 * 气 j (入 ) 一 + co 时 ， 久 刀 任 ( 碟， ，碟， ) ， 邮1 理 3.1 得 对 应 的 特 征 函 数 在 (0，l) 内 有” 一 m + 1 个 零 点 当 * 呱 了 (x)= 一 co时 ， 戈 ( 入 票， 一 1 户 票 耐， 所以 对应的 特征 函 数在( 0， 1) 内 有。 一 m个零点， 芍 2. 4 弦振动实 例 现作一些基本 假设: ( 1) 弦是均匀的 ， 设弦的 线密 度为1;( 2 ) 弦是柔软的 ， 且在 形 变的过 程中 只能 抵抗 拉压，不抵 抗弯曲 ; ( 3 ) 弦的 重力 与张力 相比可以忽 略 不计; ( 叼 弦 做微小的横振 动. 根据上 述的 基本假设 ， 作以 下 模型 : 现将 弦置于一光 滑的 水 平桌面 上，弦的两端 分别为 工 二 0 ， x =1 ， 且两端 分别 连接一 质 量为 1 的物体， 物体套 在两 平行 的 无摩 擦轨道上 ， 使 物 体沿 光 滑轨道 运动， 弦 在水 平桌 面内 作 横向 振 动( 如图 2 ， 平行 四 边形表 示水平桌 面， 虚 线11 ， 1 : 表示两条 光滑的 平行 轨道， a， b 表示 两物 体， 实线表 示 振动的 弦) . 图2 硕士论文参数边界条件的sturm 一 lj。 咖 n e 问题 根据假设与模型设计可知弦振动方程为 姗 = 移 “ ，( 4. 1) 两 端 连 接 物 体 则 有 ( 在 【1 月 中 给 出 了 一 端 连 接 物 体 的 情 形 ) 叱( 0 ， t ) = “ 二 ( 0 ， 云 ) ，( 4 忍 ) 叱( 1 ， t ) = 、 二 ( 1 ， t ) ，( 4 名 ) 在初始时刻弦各点的位移满足 。 ( x ， 0 ) =j ( x ) ，( 4 . 4 ) 弦上 各点 的 初始 速度 为 9 ( 幻 ， 则 满 足方 程 叭 ( 劣 ， 0 ) = 夕 ( 忿 ) .( 4 ，5 ) 因 此 由 仔1)一( 4 . 5 ) 就构 成了 一个 初边 值问 题. 利用分离变量法求解上述方程， 得到两边界都含参数sturoliouvi lle问题 斜一 箫 一 入 珊一 入 兴 一 、46， 此问题可变形为 丫 ( 0 )犷 ( 1 ) 一刀 = 群 夕， 分 下几 芍= 一拼， r 丁 万 下 = 一拜 ， u 气 u )沙 气 1 ) 易 求 得 一 1 ， 。 ， 沪 ， ，价 沪 ， 为 体 7 ) 的 特 征 值 . 由 特 征 值 的 渐 进 估 计 ， 征 值为1 ， 0 ， 一 二 2 ， ， 一 矿 沪， 相 应的 特 征函 数为 ( 4 泞 ) ( 4 . 6) 的 全部 特 加=了， ， 1 =1 ， 纵+ 1 =cos n 万 公 一n 汀 s i n ” 竹， 几=1 ， 2 ，二 这与我们的估计是吻合的. 定 义 k rem 空 间h=护由c z ， 对 。 =( 。 ( 二 ) ， 。 ( 0 ) ， 。 ( 1 ) ) ，。 =( 。 ( : ) ， 。 ( 0 ) ， 。 ( 1 ) ) h ， 定 义不定 内 积 ， 1 为 、 ，1一 关 ()二 dx + (。)丽 一 (，)砚 硕士论文参数边界条件的stu l l 刀 一 l io u vi l le问 题 定义算子 a (、 (x ) ， 。 ( 0 ) ，二 ( 1 ) t = ( 一 矿 ( 二 ) ， 一 二 ( 0 ) ， 一 二 ( 1 ) )t ， d ( a ) = ( 二 ( x ) ， 、 (0 ) ， 、 (1 ) ) h l。 ， 任 a c io ， 1 ， 一 矿任 护 0 ， 1 1 ， 则 上述 特征函 数扩充为 算子的 特征向量 后为 h 的一 组正 交基( 正交 指按上 述定 义的 不 定内 积 为 0) . 事 实 上 ， 由印 (0 ， 1)在护中 的 稠 性 ， 只 须 证 明vj 印 (0 ， 1) 江可 以 表 示 成 上 述特征函数的级数形式. 令 j ( 二 ) =h ( 二 ) + h ( 二 ) ， h ( 0 ) 二 0 则 上 述 微 分 方 程 在0 ， 1 区 间 有 唯 一 解 ， 且h 任 印 (0 ， 1) . 对城 劝作 偶 延 拓 ， 则了 ( 劝 可以展成余弦级数 。 + 又cn 二。 二 由f 仕 ) 的 光 滑性， 可得j ( 幻可展 成 艺。 ( 一 n ， ) sin” ， 目=1 因 此j 可以 表示 成上 述特征函 数的 级数 形式. 由 k rem 空间 与相 应的 伴随 h ilbert空间 的 关系 知 ， 上 述特 征函 数扩 充为算 子的 特征向 量 后为 h 的 一组 正交 基， 将特征 值 代入体6)求得 。 0 ( 云 ) = 。 i e + 勿 e 一 ， ， 5 1 ( t ) =a 亡 + b ， 十 ; ( 忿 ) 二命 : cos ” 耐 + cftz s i n 几 们 ，。 =1 ， 2 ， 则得 到性1) 一 (.5 ) 的形 式解为 。 仕 ， 劝 一 到 cl et + 。 。 一 勺 + +b+ 艺(c 05 。 二 一 二 。 x)( 、 ; cos十 、 sin ). ” ; 二 1 将( 4 滩 ) ( 4 石 ) 代 入， 得。 ( 2 ， t ) 的系 数 以 1= 岛 2= ( f (x ) ， cos。 二 二 一 。 二 s in 。 二 x ) ( cos 。 二 一 二s in 二x ， co6 。 二 一 二s in 二x) ( 夕 ( x ) ， cos n 二 x 一n 二 s inn 二 x ) ( 一 1 ) ” 。 二 ( c osn 二 x 一 。 二 s in 二x ， co s 。 二 x 一。 ， s in 二二 ) 硕士论文参数边界条件的stu 创 田 es l io二 ne问题 当 j( 0)=j( l)= 或 0)=或 1)=0 ， 且了 ( x) 具 有三 阶连续的 导数， 抓 x) 具 有二阶 连续导 数时， 可 x ， t) 的 形 式 解一 致收 敛， 并 且满 足上 述的 方 程及 初边界 条件， 且具 有 连续 的二 阶 偏导 数 ， 根据 方 程解 的唯 一 性得试 二 ， 约为阵1) 一 体5 ) 的 古典 解. 第三章 参数边界条件的stur m-li o uvi lle系的特征值比 率 互 3 . 1 引言 本章我们考虑st uzln-l i o u 访 1 1 e 问 题 一 叼 ) + ， ， 二灿， ，: 任 0 ， 1 1( 1 注 ) ， ( 0 ) =0( 1 忍 ) ( p 犷 ) ( 1 ) ， ( 1 ) =a 入+b ， a0( 1 名 ) 其中p c l lo ， 1 ， 9 ， 。 任 c io ， 1 ， p ， 。 0 ， 且存 在正 数k ， k使 得0 k 三 脚 三 k. 对于上述问 题( l i) 一 ( 1 为， j o b alin 研 /a lt e r ( 份 6 ， 15 ) 构造了 一 个h ilbert 空间 上的自 伴 算子， 并且证明了 此自 伴算子的 谱全为点 谱， 即 为( 1 . 1) 一 ( 1 .3 ) 特征值， 按大小顺序 排 列 为 戈 入 2 一 0 ， 在此结 论的 证明中， 户 旧 h b a u g h 弓 1 入了 修 正的斤公 f ，变换公 式， 运 用此 变 换给出 特征值的比 率的 上界. 1 996 年汉 b ， ling h u a n g 和c . k . l aw 吸收了 上述的 变 换 方 法给出 了 具有 任意 分 离型 边界 条 件的问 题的 特征 值比 为汐01 ) 赘 、 令 ，爪 全 ， ( 1 石 ) 在12 0 给出了 具有负 的 势函 数的 特征值比 率估 计. 硕士论文参数边界条件的 stu n 刀 ， l io 二11e问 题 对于参 数边 界 条 件的 st urln- li o u 访 ll e 问 题( 1 ， 1) 一 ( 1 .3 ) 的 特 征 值的比 率 估 计 ， 至 今 没 有 做 过 相 关 的 研究 工 作 . 我 们 运 用峥 ， 20 ， n l 中 用 到 的 变 换 公 式 给出( 1 1) 一 (l .a)的 特征 值比 率估计. 我们首 先 介绍ashbau gh引 入的 修正外订份变换公式 ， 阐 述它的 几何 意义， 并 给出 相应的 性质. 在这里， 外订。角的终值 不 是一常 数， 而是关 于 特 征 值的 函 数， 我 们对 此作了 放 大 或 缩小 得到 关 于 特征值的 比 率 估 计 . 即 若 ( 1 .1 卜 ( 1 .3 ) 中 q 0 ， 且它的 特征值全大于零时有 努 : 合1誓 ，爪 2 ， ( 1 乃 ) 当q 。 时 ， st unn- li ou v ili e 问 题( 1 .1) 一 ( 1 司可 能 会出 现 有限 个负 特 征 值 ， 我 们 将 声 旧 l b augh 引入的修正介订er变换公式中的入 变为一 入 来处理前几个负特征值， 并 且 将区间0 ， 1分成 两 个子区间 考虑问 题， 从而得到 特征 值的比 率关 系 ， 即 若问 题 ( 1 .1 卜 ( 1 .3 ) 的 特 征 值 满 足入 ， 标 0 hal 协: 一 时 ， 有 份， -，、 久 。一 1o k 石 不王 ) 面 ， 1 5 n 0 . 由 变 换 公 式 (z. 1) 得 到 tan 呱 闰 一 鲁 ( 2 石 ) 根据问 题(l . 1) 一 ( l 3) 的 特征 值为 简 单的 ， 设 对应于编 的 特征函 数为骗， 则如 在(0 ， 1) 内 有二一 1 个零点， 记 为介 ， k =1 ， 2 ， ， 。一 1 ， 根 据公 式( 2 5 ) 有c 杯 砚e m ( 叙 ) =k 二 由 方 程( 2 2)， 入 x)在介处的 邻 域有0 x)为 二 的 单 调增函 数. 因 此 有 0 c v 呱 人阁 二 ， 根 据公式俘4 ) 有 c 杯 森 ( 1 ) 一 ( 。 一 1 ) 二 + cot 一 ; 竺 兰 巫 我 们 把乐， ， 作 为 两个 坐 标 轴 建 立 坐 标 系 ( 图 3 ) ， 则 当 ， 固 定 时 ( 假 设 ， 一耘 ) ， 多 从。 到 1 变 化时， 两者的 变 化关 系如 图 . 云 表现为曲 线在 某点的 极 角， 叹 x)表示 某点的 极 径 ， a 点 的 极角 就为 才 ( 1) . 硕士论文参数边界条件的sturm-li。 二 l le问 题 当0 凡 花时， 沙入 15彻1一 (; 一 攀 )5扩 汤1 lq _ _ ， / ; - ， 1 、. ， 八 - 。 石 一 乎 不” 11 “ v ” ，口 ， 一 、 石 一 丁 ) “ ur“ v ” ， 口 ， 一一一- 姚-dx姚-面 令艺 * ( 二 ) = c 了 双 口 * ( 二 ) ， 无 =1 ， 2 则有 c 丫 叉 不 p众，矛 七 一 ; 一 攀 ，gin “ 一 凡 一 *，七， 、一心 fl( x ， 亡 ， 入 1 ) 三 fz( : ， 艺 ， 入 2 ) ， 由比 较原 理知1 ( 1 ) 5士 : ( 1 ) ， 即 c 了 又 。 : (1 ) 5 。 丫 不 2 ( 1 ) . 在 公 式 仪 4 ) 中 ，令 j (习= co 、 c 办夕 ( 1 ) ， ， (习一 呼， 则 上 述 的 讨 论 说 明 了 (习在 每 一 支 上为人 的 单 调递减 函 数， 而上 述两个函 数图 像的 交点 即 为( l i) 一 ( 1 ，3 ) 的 特征 值. 如图 4 . 根 据上 面的 讨 论， 我 们得 到 定理2. 1 若( 11卜 ( 1 ，3 ) 的 特征 值全为 正数 时， 经 过尸 成了 二 变换 ( 2 . 1) 后， 有 0 。 : : 、 . 。 一 几一 1人、一 证明 : 对于 一阶 方 程 (a.2 ) ， 6 分 别用 氏 ， 人 代 替 ， 汾 别 用 、 / 万 ， 森代替 ， 入 分 别 用振， 编 代替 由 此得到方程 动”lq . 。厂 二 二 一 ， 1田、. ， 厂 二 二 一 ， 公一 后 一 六 “ 斌 v k 、 久 一 (后 一 到sinz斌 k 划 。 一 剐 熟 叼郎) 与 = 王 _ 一 生耐 pk 入n办 蕊 一 (尝 一 毙 ， 5， 、厉 双 功 一 “ 一 ， ， ， 些dx 由定理2 . 1 知 0 、 压 双甄 。 ， ，0 n 之 2 ) 成 立 因 此 恶 1 二 霭 ” 由引理2. 2 。睿，一。，寰 由上式得 51 矛了 习 砚日 幻 2 、 仅又口 几 全 2 ) . 矛盾! 结论证毕. 注 2 滩 如 果 边 界 条 件 (l a) 为 噜 且 一 “+ b ， “ 尹 ” 时 ， 上 述 的 定 理 也 是 成 立 的 芍 3. 3 q 0 时 特征 值比 率估计 在上 面我们 利 用 ash b au gh 引 入的外可。变换公 式给出了 特征 值的 比 率关 系 当q 0 时， 问 题 ( 1 ， 1 ( 1 .3)可能 出 现 负特征 值， 在 此， 我 们将 上述的 变换公 式作 稍 微的修改， 给出修改后的 公式为 l)幻 价(3 ， ( x ) = r ( x ) s in c 侧 万口 (x ) 即 ，( x ) = c 沪 不 r (x ) c os 。 抓 瓜 ( x ) 运 用上 述我 们引 入的 公 式 考虑 st urm- li ou心e 问 题( 1 . 1 卜 ( 1 司. 我们 得到 定 理 3. 1 假 设st uiin 一 liou ville 问 题 ( 1 . 1) 一 ( 1 . 3) 中 q 0 ， 并 且它的 特 征 值满 足 入 : 二 标0 凡 十 : 则特征值比率满足 条(六申“ 二 、 证明: 对方 程( 1 ， 1) 做 变换 ( 3- 1) ， 得到关 于夕 ( 劝的 一阶 方程为 擎_ 1 一 止 琴sin:。 抓 不 一 己一 与， 时。 杯 瓜 口 一 f( x . 入 ， 。 、 .(33、 d 二p一少人 p少 硕士论文参数边界条件的stur价lio u 词】 e 问题 将 上 述 方 程 的。 分 别 用氏 ， 今代 替 ， c 分 别 用概， 侧 天代 替 ， 久 分 别 用瓜 声 ， 代 替 ， f 分别用凡， 凡代替得到 两个 微分方 程， 则火 ， 凡满 足 氏 ( 0 ) =0 ， 火( 1 ) 二伽 一 。 ) ， + c o t 一 ( 之 争) 丐 (0 ) = 0 ， 对于 凡 ( 劝， 匆 任(0 ， 1) ， 使 得 外 ( 1 )( 3 4 ) 似 。 ) 一 六共 干 v一八知 ( 3 . 5 ) 当 (， ， “ ) “ 0 ， 0 巧 尹 欢 时 有 引 刻 ， 三 呈 十 六sin 瓜 0) : 圣 十 我动 沪 不 ， ) 、 脉 ，0)， 上述不等式 中， 第一、三 不等式 是显然的 ， 第 二 个不 等 式由 引 理2 2 得 到. 因 此由 比 较 原理得 入( 劝5凡 ( 劝 ，二 c (0 ， 。 ) ， 特别的有 氏 ( 。 ) 三凡 ( 。 ) .( 3 石 ) 定义 氏 (劝二一氏 劝 ，氏 ( 劝二久 ( 1 一 幻 ， 凡 (x ) 二 伽 一 。 ) 二 + cot 一 ( 一 旦 牺 ) 训 一 k 凡 竺 华 窦2 一 喊 沂 灭 不 几 ( 幻=儿 ( 1 一x ) ， 显然有 氏 ( 1 一 。 ) = 0rt (。 ) =( p 一 。 ) 二 + co 七 一 ， ( 一 呼 ) 氏 ( 1 一 。 ) = 氏 ( 田 ) 二 丫一k 凡 。 。一 1(一 平 一久 ( 劝， 了一 k 标 凡 ( 。 )( 3 . 7 ) 硕士论文参数边界条件的sturm-lio u vi ll e 问题 关 于 氏 ， 弓 有 些_ 一 2 一一 匹 1 二 目 s inz、 八 又 法一 一 上 一 一 丛 匕 卫、 。 扩、疾 又 庆 心叭1 一乞 少k 振” p 吸 1 一劣 j七 与 d 凡1试 1 一x ) _2/ 不 ; ; we 万， 1公 ( 1 一公 ) 、 _2几 ; ; se 浮 脚 气 尸 一 二 二 一 一 . ; 二 二 一 一. 台 1 11、/ j 、 八 ”0 ” 一 t 一月 一 弋 二 丁 p 匕 u i 、j止 、人” 口们 . axp t l 一劣 j五人 。r了、 p 咬 1 一$ j瓦 显然有 氏 ( 0 ) = 凡 ( 0 ) =0 ， 氏( 1 ) =久 ( 1 ) ， 凡 ( 1 ) =凡 ( 1 ) . 、，一夕、，尹 q9 : 丹03 rf、声.胜 由 ( 3 石 ) ( 3 . 7 ) 得到 广 - ， 二 二 ， ， 一 二 ，。7r 犷 一 五 以1 一 j 从片( 4 . 6 ) 考虑 一 犷=久 k ， ， ， ( 0 ) = 一 ， 一 *二 ，。(“卜 “，兴一 “ 则片的 值 介于 上述两 个问 题的 第一 特 征值 之间， 因此衬 0 ， 故 有 入 1 0. 这 样 当q 全 0 冲三 0 时 ，问 题( l i) 一 ( l s)的 特 征 值 全 大 于。 ， 因 此 相 应的 定 理2. 3 有下面的推论: 推论4. 1 在 (l ， 1 卜 ( l 3 ) 中 假设q 之 。 ， b 三。 ， 则特 征值比 率满 足 条合咚 (tn 之 2， 致谢 首 先， 我要感 谢我的 导师黄 振友副 教 授. 从 硕士被 录取的 那一时 刻， 黄 老师就 对 我的 学习 、 生活 和思 想以 无微不 至的 关 怀， 同 时 我也 被黄 老师的 学术 水 平、 做 人准 则 所 深 深的 吸引 特别 是在 学习 上， 从 研究 生的 基础 课程 到专 业课 程， 黄老 师 都 给我 们 详 细的 讨 论和 指导. 从上讨 论班到 开题报 告， 黄老 师都作了 精心的 准备， 使 我们 一览无 余 的了 解 微分 算子 和数 学物 理的 现代 理论， 这 都归 于黄 老师 严谨的 治学 态 度以 及 一丝 不 苟的 治 学 精神. 从论 文的 初稿到 定稿 ， 都 凝聚了 黄 老师的 辛勤汗水 ， 正是 这两 年来 黄 老师的 精心 指导 才使 我的 论文 得以 顺利 完 成. 在此 我表 示衷 心的 感谢 . 其 次， 我 要感 谢我的 老师 杨传富 ， 是杨老 师 认真的 备课 上课使 我们 具 备了 扎实的 专业 基 础知 识， 尤 其是讨 论 班上 给我 们提出 的 一些 建议， 使 我们 受益匪 浅 . 最 后， 我要 感谢两 年来 我的 老师和同 学 ， 特 别是我 们讨论 班上的 所 有老 师 和同 学 . 我要 感谢 我的 师 兄王 一操 对我的 论文 完成 所提的 建议和 意见以 及 平常的 一 些 指导， 在 此一并表示感谢. 参考文献 【 1 研 胞 团 ero . a mer ei n ， a . m . h 血， db . p 价 on， s t u rm一 l i o u vi l le t b eo 叮p ast d 1 9 9 7 冈 m . 5 . ashbau 幼， r 几 殆 目 ben 孚 田 a ， b es t c o d s t ant fort her at ioofthe 血 s t t wod ge n- valu eso f ones di 犯 ens i onals c h ， 石 成 n g 即 o p er at or s wit hp os i t ive p o t e nt i als， p r o c . a m er m at h . s o c 一 ， v . 9 9 ， n 3 ， ( 1 9 8 7) ， 5 9 冬 5 99 s1m . 5 . 户 山 h b au 薛， ei g e n v a i u e r at ios for st uryn- l i o u vi lle叩er at o rs ， j . d 滋 鞠u a ， 1 0 3 ( 1 9 9 3 ) ， 2 0 乐 2 1 9 4la . 1 . b e 刀 e d ek， r . p anzo n e ， o n s t urm- li o u 训 山 e p y o b l ems wit h th e 阅 u ar e-ro o t o f t h e ei g e n v a l u e p ar amet ercont a in 曰 1 访t heb oun d a l y con di ti o nb， n ot asa 坛 八 n a lis is 1 0 ( 1 9 8 1 ) ， 1 一 5 9 si 只a . b 耐in g ， 只j r alnet e l d e p end e l lt ( 1 9 9 3 ) ， 57-7 2 b t 叩此， k ， s eddi 咖 ， s t u n 旧 li o u v i ll e pro b l e 皿 喇t h ei g e n p 含 b o und a r y。 ns， p roc . edl n b urgh. m时 b . s oc. ， v 37， n o 2， ep.a . b in di ng， p . j . b r owue ， b . a . m 厄 切 。 n ， 升 翅肠 助atio ns l in u v 山 e p r obl e ll 旧with ei g e n 丫 目 u ed e p e n d e n t andin d e p end e nt t i o 朋， b ull. lo n d o n mat h . s o c . ， 3 3 ( 2 0 0 1 ) ， 7 4 9 一 757 b e t we e n st u i 幻 d 份 b o und azycon d i - iv p . a . b i l l 山 匕 9 ， pj . b 、 e ， b . a . w 石 志 son ， st ulm- li ouvi li e pr o b l e 业 w l t h b o und- a ry con di t i o ns r at i o n allyd e p e nde nt on t 址 瓦 g e npar aznet er l ， p r o c . mat h ， s oc. ， 4 5 ( 2 0 0 2 ) ， 6 3 1 一 645 18 】 p.a . b in ding ， p . j b rown e ， b a w t son， s t urm- l io u vi lle a r y c ondi tion8tatio 压 山 y d 印end e d t onth e ei genpar 恤et er z ， v 1 48， n o .1 ， ( 2 (xj2 ) ， 1 4 7- 1 6 8 p r o b le r 口 g w it h j . com p . a p p i . ma t h . 四 硕士论文参数边界条 件的 st 咔li ouvi lle问 题 iop . a . bi n di n g ， p . j . b r owne ， b . a . 叭 厄 t s o n ， 竹ansfo rmat lon ofst ur m-li o 二lle p r o b le n 明withdec r easing a ff 山 e b oun d a ryc o ndit io 朋， p r o c . edi n . m at h . s o c . 4 7 ( 2 0 0 4 ) ， 5 3 各 5 5 2 1 0p.a . b in d in g ， p . j b rowne， b a 认 厄 t s o n ， e qulvalen c e o f mvers e s t ur m-l io uviu e p r obl e 庄 比w i t h b o uj 1 d a rycon d it i ons r at i o n a ll y d e p end ent ont hee ig e n p ar amet er ， j . m at h . an吐 . a 即1 o 291 ( 2 0 0 4 ) ， 2 4 6- 2 6 1 【1 1 c h ung ， c b uan chen， 叩t 云 刀 a l es t im at esfore ig e ll丫 公 u e r at io s ofs c h : 械。 夕 e r o p er- at ors and v i b r at i n g s t n n g s ， ( toa p p e ar ) 11 2 w， a . c o d e ， s t urm 一 l io u vi llep r oble ms wit h e ig e n p ar amet e r d e p e n d e ntb o u n d 脚 cond it io ns，