（信号与信息处理专业论文）基于多重分形理论的金融市场风险测度研究.pdf

中文摘要 中文摘要 金融市场风险是现代金融风险最为主要的体现形式。能否对其进行准确的评 价和度量关系着金融市场乃至整个经济体系的稳定，因此是金融实务界及金融学 术界研究的重点课题。 多重分形理论作为非线性科学中一个极为重要的分支，可以对金融市场这个 复杂的非线性系统进行有力刻画。 本论文通过对金融市场的实证资料进行多重分形分析，发现其价格与交易量 这两种金融时间序列均呈现出明显的多重分形特征。在此基础上，分别从金融市 场价格序列和交易量一价格比值序列两个方面将多重分形谱及其参数应用于对金 融市场波动性的研究，证明了多重分形谱参数对金融市场价格的波动性具有一定 的预测能力，并构建了新的市场风险测度指标，以实证数据检测了其有效性。最 后，结合上述研究成果，以证券市场为例提出了规避市场风险的投资操作思路。 关键词多重分形；金融市场风险；风险测度；波动性 a b s t r a c t a b s t r a c t f i n a n c i a lm a r k e tr i s ki st h em o s ti m p o r t a n to n ei nt o d a y sf i n a n c i a lr i s k w h e t h e r t h em a r k e tr i s kc a nb ea c c u r a t e l ye s t i m a t e da n dm e a s u r e dr e l a t e st os t a t eo ft h ef i n a n c i a l m a r k e to re v e nt h ee c o n o m i cs y s t e m a c c o r d i n g l y , n u m e r o u sp r a c t i t i o n e ra n ds c h o l a r s f o c u so ns t u d yo ff i n a n c i a lm a r k e tr i s k a sa v e r yi m p o r t a n tb r a n c ho fn o n l i n e a rs c i e n t i f i cr e s e a r c h , m u l t i f r a c t a lt h e o r yc a n d e p i c tf i n a n c i a lm a r k e te f f e c t i v e l y i nt h i st h e s i s ，p o s i t i v ea n a l y s e so nt i m es e r i e so ff m a n c i a lm a r k e ta r ec a r r i e do u t a n dt h er e s u l t ss h o wt h a tb o t hf m a n c i a la s s e t - p r i c et i m es e r i e sa n dt r a d i n g - v o l u m et i m e s e r i e sh a v et h eo b v i o u sm u l t i f r a c t a lc h a r a c t e r i s t i c s o nt h i sb a s i s ，m u l t i f r a c t a ls p e c t r u m a n dt h ep a r a m e t e r sa r eu s e di nt h er e s e a r c ho ft h ev o l a t i l i t yo ff i n a n c i a lm a r k e tf r o mt h e r e s p e c to ft w ok i n d so ft i m es e r i e s ，b o t ht h ea s s e t - p r i c et i m es e r i e sa n dt h et r a d i n g v o l u m e a s s e tp r i c er a t i ot i m es e r i e s i tp r o v e st h a tt h em u l t i f r a c t a ls p e c t r u mp a r a m e t e r s h a ss o m ec a p a b i l i t yi np r e d i c t i n gt h ev o l a t i l i t yo ff i n a n c i a lm a r k e t i nt h i st h e s i s ，an e w m e a s u r e m e n to ff m a n c i a lm a r k e tr i s kb a s e do nm u l t i f r a c t a lt h e o r i e si se s t a b l i s h e d ，a n d i t sv a l i d i t yi sa l s ot e s t i f i e d f i n a l l y , as e r i e so fi n v e s t i n go p e r a t i n gs t r a t e g yb a s e do nt h e a b o v ea c h i e v e m e n ta r ep r o p o s e d k e y w o r d s ：m u l t i f r a c t a l ，f i n a n c i a lm a r k e tr i s k ，砒s km e a s u r e m e n t ，v o l a t i l i t y 1 1 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨蕉江态堂或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。 学位论文作者签名： 签字日期：劫哆年笠月r 日 ， 学位论文版权使用授权书 本人完全了解墨蕉江太堂有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权墨蕉婆太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文。 学位论文作者签名： 签字日期：砷年j 月8 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期：彬年歹月& 日 电话： ，弓7 以吕口7 s 夕髟 邮编： 第1 章绪论 1 1 研究背景与意义 第1 章绪论 金融是现代经济的核心。金融风险通常根据其诱发原因被分为市场风险、信 用风险、流动性风险和操作风险等。金融市场风险测度是金融市场风险管理的基 础与核心。早在2 0 世纪7 0 年代之前，由于各国在汇率、利率及衍生金融工具等 方面的严格管制使得金融市场价格呈平稳变动，金融机构的风险管理主要以信用 风险管理为主。而进入7 0 年代后，全球金融系统经历了一场巨大的变革。布雷顿 森林体系瓦解，固定汇率制度被牙买加体系下的浮动汇率制度所取替，各国竞相 放松利率管制，以期权为代表的衍生金融工具迅速发展，这一切变化使得由于市 场因子的不利波动而导致金融资产损失的可能性即市场风险日益突出，并最终导 致了金融风险管理核心由信用风险向市场风险的转变。 现代主流的金融市场风险测度理论和方法大多是以金融学中占统治地位理论 基石的有效市场假说( e f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s ，e m h ) 为基础的【l 】。有效市场假 说最早是由芝加哥大学教授尤金法玛( e u g e n ef a m a ) 于1 9 6 5 年提出的。该假说 认为：金融市场是个“公平博弈”，金融资产价格中包含了所有的信息，价格运动 遵从随机流动模型，其概率呈正态分布。 然而，近年来不断涌现的一些反面例子却使得有效市场假说面临着具大的冲 击和困惑。比如1 9 8 7 年的“黑色星期一”现象，美国股市在该年的1 0 月1 9 日暴跌， 日跌幅达2 2 6 ；小公司效应，尽管小公司的股票相对风险较大，但在较长的时 期内投资于其股票却获得较高的利益；一月效应，每年1 2 月至次年1 月，股票价 格通常会有较高的涨幅，而且这似乎是一种可预测的规律；输家一赢家效应，实 证研究表明，前一期的绝对输家( 亏损者) 倾向于被低估，而前一期绝对赢家则 被高估。 究其原因，随着经济系统及科技的不断发展，金融市场愈发演变为一个异常 复杂的非线性系统，有效市场假说作为一种基于线性范式的经济学理论已无法应 1 黑龙江大学硕士学1 立论文 | 1 i i 对复杂的金融市场。鉴于e m h 的缺陷，越来越多的学者开始从非线性系统分析的 角度研究金融市场，分形理论作为非线性科学中极为活跃的一个分支，在金融系 统的研究中扮演了极为重要的角色。 1 2 国内外研究现状 早在2 0 世纪6 0 年代，分形理论的创始人m a n d e l b r o t 就通过研究股票价格时 间序列的波动规律，提出了用分形分布来描述股票收益序列1 2 】，但当时并未引起足 够的重视。其真正的兴起始于1 9 8 7 年“黑色星期一”的股灾之后，一日内幅度高达 2 2 6 的暴跌使人们认识到用传统的线性规划模型无法准确预测股价的变动。此 后，美国经济学界开始引用以分形理论为代表的非线性科学理论与方法来研究金 融市场。 e d g a rep e t e r s ( 1 9 8 9 、1 9 9 1 ) 以分形统计学解析的方式对资本市场进行了考察。 他通过对s & p 5 0 0 ( 1 9 5 0 年1 月1 9 8 8 年7 月) 月收益率和单只股票( 1 9 6 3 年1 月 一19 8 9 年1 2 月) 月收益的重标极差分析( r e s c a l e dr a n g ea n a l y s i s ，r s 分析法) ，发现市 场收益率是具有分形概率分布的持久性时间序列。f a m a 研究了道琼斯工业指数的 3 0 只股票的收益分布规律和序列相关性，从经验上检验了分形分布的适用性。 b l a t t b e r g & g o n e d e s 、k o u t r o u v e l i s 、d um o u c h e l 、m ec u l l o c h 、r a c h e v & m i t t n i k 等 学者均通过实证验证了分形分布对股票市场收益具有较好的拟合效果。 然而随着对金融市场分形性质的不断深入研究，学者们开始思考一个新的问 题：金融时间序列的局部结构是否是均匀一致的? 如果答案是肯定的，则用一个 分形维数即可很好地描述市场的分形结构；如果答案是否定的，仅用一个分形维 数便无法对局部性质进行细致的分析，即不能完整、全面地描述金融市场价格波 动的复杂性。针对这种情况，就必须采用多重分形来对金融时间序列进行更深入、 细致的分析。 “分形之父”m a n d e l b r o t 在科学美国人杂志中指出多重分形是刻画证券市场 复杂波动现象的有力工具，并在1 9 9 6 年创立了著名的资产收益率多重分形模型 ( m u l t i f r a c t a lm o d e la s s e tr e t u r n s ，m m a r ) 用以描述金融资产价格格变化规律。在此 2 第1 章绪论 基础上，许多国外学者对金融市场的多重分形特性进行了深入的研究：g h a s h g h a i e 等用1 4 7 2 2 4 1 个美元对马克汇率的数据，对汇率的标度行为进行了研究，发现了 外汇市场中存在的信息级联，证实了用多重分形理论对汇率的变化进行研究的必 要性【3 】；p s a q u i n i & m a u r i z i o 、a u s f o o s 分别研究了美国证券市场波动相关性和汇率 市场的多标度行为；i v a n o v a & a u s l o o s 估算了黄金价格，道琼斯工业平均指数及 保加利亚列弗对美元的汇率的低维q 阶矩值，结果发现这三组金融序列均存在明 显的多重分形特征1 4 ；a n d r e a d i s & s e r l e t i s 运用系统动力学与统计学理论中的多种 方法对d o w - j o n e sa v e r a g e 连续7 2 年( 19 2 8 - - 2 0 0 0 ) 的日收盘价进行了检验，其结果 为美国股票市场是随机多重分形结构这一理论提供了有力支撑巧3 ；p o c i m k a 等用 消除波动趋势分析法( d f a ) 分析了d e u t s c h ebr s e 高频时间序列的对数价格增量及 交易间时滞，揭示出其多重分形特征来源于价格增量、交易间时滞的相关性；f u l c o 等在不考虑股票价格波动的动力学因素的条件下，用马尔可夫随机过程( m a r k o v i a n s t o c h a s t i cp r o c e s s ) 再现实验上观测到的金融时间序列概率密度函数( p d f ) 的胖尾现 象、波动的幂律记忆性及多重分形特征【6 1 ；k w a p i e n e ta l 对美国最大的1 0 0 家公司 的股票的高频收益率序列进行了多重分形分析，发现所有股票的收益率序列均具 有多重分形特性，并得出了多重分形谱的跨度主要由股票的时间相关性决定这一 重要结论川。 近年来，部分国内学者也开始应用多重分形理论对我国的金融市场的时间序 列进行实证研究，并取得了一定的成就。胡雪明、宋学锋和卢方元等学者运用多 重分形消除趋势波动分析( m u l t i f r a c t a ld e t r e n d e df l u c t u a t i o na n a l y s i s ：m f d f a ) 方 法对沪深股票市场进行实证对比研究，发现两市均具有多重分形结构，其收益率序 列均存在长程相关性和胖尾分布碍1 ；x i as u n 等通过对香港证券市场每日恒生指数 进行分析，发现日收益率的变化与多重分形谱参数之间存在着密切的关系，可通 过一日的多重分形谱参数值实现对次日收益状况的预测【9 】；，张金良、李光泉等用多 重分形理论分析了沪深证券市场实时交易数据的局部变化趋向的多重分形特性和 转折点的数字特征，得到了证券交易数据序列多重分形广义维数在维数空间上的 分布规律和任意交易数据序列的推广性质【1 哪；于建玲、藏保将等通过对幂谱和统 黑龙江大学硕士学位论文 计矩函数的分析，得出了股票市场时间序列的无标度性，并借助配分函数、广义 分形维数和多重分形谱对股票市场进行了研究，结果表明股票市场的时间序列具 有多重分形特征【1 1 1 。d i n gs h u nh o 等运用统计工具和数盒子法对台湾指数( t s p i ) 的日收盘价进行研究，结果发现台湾股市存在长程记忆和标度不变性，说明其具有 多重分形特征【1 2 】；施锡铨和艾克凤采用m f d f a 方法对上证综合指数( s s e c i ) 和 d o w - j o n e sa v e r a g e 的对数收益率序列进行研究与比较，且结合二者的实际风险关 系探讨多重分形与风险的对应关系，结果表明多重分形特征越显著，蕴含着的风 险越大，从而提出一种定量( 或图形) 度量风险的方法【1 3 】；周孝华、宋坤从理论上推 导并实证分析了金融资产价格的高频时间序列出现大幅震荡前后多重分形谱所具 有的异象特征【潍，为对金融资产持续大幅波动的开始及结束进行预测做出了一定 贡献；袁平平等应用多重分形消除趋势分析的方法研究沃尔玛指数( w m t ) 日收 盘价。得出了沃尔玛指数日收盘价的变化具有多重分形的特性，广义h u r s t 指数 显著依赖于波动函数的阶数，并随之变化、尺度函数表现出明显的非线性性质、 多重分形谱呈现单峰钟形图像等重要结论【l 习；苑莹、庄新田提出运用滑动时间窗 的思路，将每连续5 个交易日的高频数据进行多重分形统计分析，并将其与股指 波动进行对比。结果发现，在股价指数发生大幅波动的情况下，多重分形谱参数 具有较明显的变化特征，这为进一步描述股票市场的复杂性规律提供了依据【1 6 】。 目前国内外对于金融市场中多重分形理论的研究与应用都还处于初级阶段， 绝大多数的相关研究都仅停留在对金融时间序列多重分形特性的检验阶段，部分 学者证明了多重分形谱的形态对金融时间序列的波动、金融风险的考察具有一定 的指示作用，但研究结果较为零碎，还未形成一个完整的体系。而且至今为止基 于多重分形理论的金融风险的几乎所有研究中，都只针对于金融市场的价格波动 进行研究，一个极为重要的指标一一成交量却未被关注。而实际上，价格仅是金 融市场活动最外在的一种体现形式，其波动归根结底为市场供求关系的变化，而 成交量恰恰是能体现这种供求关系的最为重要的一个指标。由于目前的研究忽视 了对成交量的多重分形性及其与价格间关系的考察，因此对金融风险的考查及管 理在有效性及准确性上都受到了很大的局限。 第1 章绪论 1 3 论文组织结构和研究内容 1 3 1 组织结构 鉴于金融市场是一个复杂的非线性动力系统，本论文以多重分形理论这种刻 画和解释非线性系统的有效工具为研究手段，对金融时间序列进行分析。研究目 的有两个：一、预测金融资产价格在短期内的波动性；二、在预测价格波动性的 基础上，实现对金融市场风险的测度与管理。 论文的组织结构如图1 1 所示。 图1 - 1 论文组织结构图 f i g u r e1 1t h eb l o c kd i a g r a mo f t h i sa r t i c l e 1 3 2 研究内容 本文的研究内容如下所示： 第1 章，绪论：说明了有效市场假说( e m h ) 作为基于线性范式的经济学理论， 对解释现代异常复杂的金融市场存在着无法克服的缺陷，指出了将多重分形理论 应用于金融市场的研究中具有重大意义；综述了国内外的研究现状，说明了多重 黑龙江大学硕士学位论文 分形理论在金融市场研究中运用的不足及前景展望；阐述了论文的组织结构、研 究内容及创新之处； 第2 章，分形与多重分形理论：我们对经济系统中的分形及多重分形理论进 行了系统的阐述； 第3 章，金融市场的多重分形特征研究：本章以香港证券市场为例，对金融 价格序列和交易量序列进行了消除趋势波动多重分形分析( m f d f a ) ，证实了这两 种金融序列都存在明显的多重分形特性，为下一步的研究奠定了理论基础； 第4 章，多重分形与金融市场的风险度量：这一章是论文的核心部分。在本 章中，我们分析了多重分形谱参数在经济学中的意义，提出了基于连续三个交易 日的价格序列多重分形谱参数矽的价格波动趋势转折点识别算法；定义了价一量 关系指标如，验证其多重分形谱参数对于资产价格波动的预测性，并在此基础上 构建新的市场风险测度指标r m ，以实证数据对其有效性进行检验； 第5 章，金融市场风险管理：概述了金融风险管理理论的发展历程及现代金 融风险管理过程；结合前面提出的价格波动趋势转折点识别算法及风险测度指标 r m ，提出了针对不同类型投资者的风险管理思路； 第6 章，总结与展望：对论文的研究成果进行回顾，并提出了研究展望。 1 4 创新之处 本文从多重分形理论的角度研究金融市场风险的测度指标及管理方法，论文 的创新点主要有如下几个方面： 1 用消除趋势波动多重分析方法兼顾分析了日数据及5 分钟高频数据的金融 价格序列及成交量序列的多重分形性，并对日数据及5 分钟高频数据两种不同时 间标度序列的波动特性进行了对比分析； 2 提出了基于连续三日价格的多重分形谱参数矽符号组合的价格波动趋势转 折点识别算法； 第1 章绪论 3 定义了价一量关系指标：量价比k ，对其进行多重分形分析，检验了其 多重分形谱参数对于短期内价格波动性的预测作用，并在此基础上构建了新的市 场风险测度指标r m ； 4 提出了以风险测度指标r m 为核心的金融市场风险管理策略。 黑龙江大学硕士学位论文 第2 章分形与多重分形 随着金融市场中非线性特征的不断凸现，传统的基于线性范式的金融时间序 列分析方法已经无法对金融市场的价格波动行为进行有效的描述和解释，以其为 基础的风险测度与管理方法也常常失效。因此，将非线性科学手段应用于对金融 市场的分析就变得迫在眉睫。分形理论作为非线性科学极为活跃的一个分支，受 到了金融业学者的关注，越来越多的国内外学者开始将分形与多重分形理论应用 于对金融时间序列的分析中，并试图以此来描述和刻画金融市场的整体运行机制。 2 1 分形的诞生与定义 p e t e r s 在其资本市场的混沌与秩序一书中说过这样一段话：“分形几何学 的发展是本世纪( 2 0 世纪) 数学领域最有用和最迷人的发现之一，利用分形，数 学家创造了一个系统，它可以用几条简单的规则来描述自然形状。复杂从这种简 单性中浮现出来。分形给简单以结构，给混沌以美丽。”究竟什么是分形呢? 分形 又为何具备这样独特的魅力? 分形一词最早出现于比诺埃特曼德尔布罗特( b b m a n d e l b r 0 01 9 6 7 年在美国 科学杂志上发表的一篇题为英国海岸线有多长? 统计自相似与分形维的 文章。在这篇文章中，m a n d e l b r o t 提出了一个看似极为简单的问题：“英国的海岸 线有多长? ”。然而就是这样一个问题，m a n d e l b r o t 却在其论文中给出了一个震惊 科学界的答案：“英国的海岸线长度是不确定的! 其原因在于海岸线的长度依赖于 测量时所使用的尺度。” 众所周知，海岸线是弯弯曲曲，极不光滑、不规则的一条曲线。如果要对其 长度进行测量，我们就必须选取一定的测量单位。当选取公里作为测量海岸线的 单位时，显然从几米到几十米的弯曲就都被忽略掉了，此时测量结果记为l 1 ；当 选取米作为测量单位时，测量结果显然要比上一次准确些，几米到几十米的弯曲 均可被纳入测量的范围，而厘米量级的小的弯曲却依然被抛在了计量长度之外， 第2 章分形与多重分形 此时测量结果记为l 2 ，则一定有l 2 l 1 ；若用更小的毫米为单位来测量，结果要 比前两次更为精确，但仍有微米量级的小弯曲被忽略，测量结果记为l 3 ，明显的 有l 3 l 2 l 1 。设想如果把海岸线分解到分子、原子这样的尺度，显然测得的长度 l 4 会大到天文数字。究其原因是因为海岸线具有各种层次无穷多细节的十分复杂 的几何对象。 自然界中类似于海岸线这样的几何对象有很多，它们都是不规则的、支离破 碎的片段的集合，如山脉、河流、云团、血管等。m a n d e l b r o t 用“分形”来描述这些 复杂的几何对象并指出：f r a c t a le v e r y w h e r e 。研究发现，这类复杂的几何体都有一 个重要的特性自相似性，即其局部形态与整体形态是相似的。这种自相似性 也被称做标度不变性，而在形态或结构上具有这种标度不变性的几何对象就被称 为分形。 2 2 分形维数 维数是几何学和空间理论的基本概念。我们已习惯于欧几里德几何的整数维： 点是零维、线是一维、面是二维、体是三维。在欧氏空间中，物体被视为光滑而 连续、同质而对称的，因此我们可以用整数维对其进行描述。而对于描述分形体 这种不规则不光滑的客体，传统的欧氏维数就比较难以回答了。 分形维数是分形的定量表征，它是对对象的复杂程度、不规则程度、粗糙程 度、对空间的有效占有程度等性质的测度。分形维的定义主要有h a u s d o r f f 维数、 自相似维数、信息维数、盒维数、关联维数等，现分别介绍如下： 1 h a u s d o r f f 维数 我们描述h a u s d o r f f 维数的方式类似于大多数维数的测度方法，即：选定一个 尺度万，忽略尺度万时的不规则性，并查看当万一0 时测量值的变化。h a u s d o r f f 维数的含义是：对于任何一个有确定维数的几何体，若用低于其维数的尺对其进 行测量，得到的结果为无穷大；反之，结果为零；若用与其维数相同的尺对其进 行测量，则可得到一个确定的数值n 。其数学表达式为： 黑龙江大学硕士学位论文 ( 艿) 芘6 ( 2 - 1 ) 上式两边取自然对数，并做简单运算，即可得到h a u s d o r f f 维数： = l n n ( 8 ) t n 0 万) ( 2 2 ) h a u s d o r f f 维数既可以是分数也可以整数，通常将h a u s d o r f f 维是分数的物体称为分 形。 2 自相似维数 考虑在d 维空间中的一个d 维几何体，如果把其各个方向的尺寸都放大为原来 的，倍，则其体积变为原来的，d 倍。将n = ，d 取对数，便得到自相似维数的定义： d o = i n 1 1 1 ，( 2 - 3 ) 自相似维数是由h a u s d o r f f 维数演变而来的，它可以描述分形对象的自相似性和复 杂性，维数越高，研究对象的复杂性及不规则性就越高。 3 信息维数 考虑分形的元素属于每个覆盖球的概率# ，ph 1 只即为信息熵，则信息维 数d l 的定义如下： d l = p , m p , h , ( 1 8 ) ( 万专o ) ( 2 4 ) 当只= 1 ( 万) 时，信息维数等于h a u s d o r f f 维。 4 盒维数 盒维数是从几何学意义上反应分形对象的复杂程度。设么是r ”空间的任意非 空有界子集，用n ( a ，万) 表示覆盖彳的半径为万( 万 0 ) 的最小闭球数，则盒维数的 定义如下： d c = i n n ( a ，万) l i l ( 1 万) ( 万 o ) ( 2 5 ) 盒维数因其数学计算及经验估计较为容易而受到广泛应用。 5 关联维数 第2 章分形与多重分形 关联维数是从非线性动力学机制角度反映相空间的复杂程度。设分形集中某 两点间的距离为万，c ( s ) 为其关联函数，则关联维数的定义如下： q = l n c ( 8 ) l n ( 8 ) ( 万专0 ) ( 2 6 ) 其中： c ( 班商1n 互h8 - i x , - _ 1 ) = 善2 ( 2 7 ) 2 3 多重分形与多重分形谱 2 3 1 多重分形的定义 多重分形，是分形理论的进一步发展。欲了解什么是多重分形，我们必须首 先了解局部h o l d e r 指数这一概念。 定义1 ：g ( f ) 为给定时刻f 上的一个函数，则 口( r ) = s u p f l o ：i g ( ，+ & ) 一g ( r ) l = 。( i 出l 卢) ，出jo ) ( 2 - 8 ) 称为函数g ( ，) 在，时刻上的h o l d e r 指数，也称为奇异指数或标度指数。局部h o l d e r 指数在分形几何意义下就表现为一个局部尺度，而局部尺度的单一或多样即为单 分形与多重分形的本质区别。多重分形，从物理学角度看，它是定义在分形结构 上的由有限几个或大量具有不同局部h o l d e r 指数指数1 2 的概率的子集构成的非均 匀分维分布的奇异集合【1 7 】；从几何学的观点看，组成分形集的若干个子集的标度 和分形维数都不同【1 射。 m a n d e l b r o t1 9 9 7 年给出了多重分形过程的严格数学定义。 如果连续时间过程 x ( f ) ) 具有平稳增量，且对所有f t 、q q 都满足： e ( 1 x ( f + ，) 一x ( 圳9 ) = c ( g ) ( 出) 咖1 ( 2 - 9 ) 则称 x ( ，) 为多重分形过程。 黑龙江大学硕士学位论文 其中，e ( ) 是期望操作数。丁和q 是实数线( r e a ll i n e ) 上的时间间隔，其长度 均为正，h _ o t ，【o ，1 cq 。c ( g ) 为前因子。，为时间增量。f ( g ) 是多重分形 过程的尺度函数，它用来刻画过程在不同尺度下的标度特性和矩特性，可通过f ( g ) 与g 之间的关系实现对单分形和多重分形的辨别。如果r ( g ) 为q 的线性函数，则此 多重分形过程是单尺度的，即单分形；如果f ( g ) 为g 的非线性函数，则称该多重 分形过程是多尺度的。 多重分形可以定量地刻画复杂的几何对象在不同层次的分形特征，并以多重 分形谱的形式表现出来。因此，用多重分形理论去分析金融市场，可以对金融市 场的波动进行更加细致的分解和描述，从而得到有关金融时间序列在不同时间标 度、不同幅度的波动信息。 2 3 2 多重分形谱及其算法 分形理论的核心思想是分形维，分形体的复杂、粗糙程度是由分形维这一参 数来表征的，而多重分形则是通过多重分形谱( 奇异谱函数) 厂 ) 来对分形结构 的不规则程度和不均匀程度进行描述的。什么是多重分形谱呢? 多重分形谱( 口) 就是具有相同局部h o l d e r 指数倪的子集的分形维数，其表达 式为： 心( 址) ( 址) 一八口 ( 2 1 0 ) 其中，口( a t ) 的物理意义为：以a t 为时间增量对研究对象进行划分，在令每 个子集中的小单元都具有相同口值的情况下，这个子集内的单元数。由上式可得： m ) _ - l i m 酱 当研究对象为单分形时，厂( 口) 为一定值；当研究对象为多重分形时，由于具 第2 章分形与多重分形 有一系列不同的奇异指数口，厂( 口) 一般为单峰图像。 计算多重分形谱厂( 口) 的常用方法有分割函数法、数盒子法、固定质量法。现 分别介绍如下： 1 分割函数法 定义：多重分形谱厂( 口) 是尺度函数f ( g ) 的勒让德转化( l e g e n d r e t r a n s f o r m ) 。 厂( 口) = i 争 q a f ( g ) ( 2 - 1 2 ) 因此对多重分形谱的计算问题可以转变为对标度函数f ( g ) 的估计问题。c a l v e t 和f i s h e r l l 8 , 1 9 1 提出了一种基于分割函数的估计标度函数的方法。将分割函数x ( r ) 表 示为乃( x ，q ) ，则有： 乃( 砌) = 喜，一一 ( 2 邯) 其中【】是整数部分操作数。结合m a n d e l b r o t 给出的多重分形程序定义，可以 得出： l o g ( ( x ，留) ) = f ( g ) l o g ( 万) + l o g ( c g ) + l o g ( r ) ( 2 1 4 ) 对于选取的q 值，取不同的时间增量万，并进行最小二乘估计，即可得到尺度 函数f ( g ) 的估计值。则可得到多重分形谱( 口) 的估计值： 厂( 口) = m 。i n g 口一f ( g ) ( 2 1 5 ) 2 数盒子法 用尺度为万的“盒子”对分形空间的分形集进行划分，定义每个盒子的奇异概率 测度只( 万) 。对于每一个给定的g 值，按照不同的尺度万，可以计算并绘制出双对 数曲线，找出其中的无标度区间。用最小二乘拟合法计算出无标度区间内曲线的 斜率。再通过统计物理中的l e g e n d r e 变换即可得得到奇异指数口及奇异谱函数 黑龙江大学硕士学位论文 i i 厂( 岱) 。 3 固定质量法 如果定义在分形集上的测度足够平滑，- j - 以随机选取质量为尸的球体，以在 分形集上的点薯作为其球心，可以获得对应的半径q ( p ) 。固定质量法的公式如下 所示： ( g f 口o cp 1一g(2-16 ) 上式可以等价为： ( 占叫吵订o cp qd,(2-17) 其中，尖括号( ) 表示按球心平均，q 为给定的整数权值，q 为广义维数。对 于给定的一系列不同p 值，i 改变r ( q ) ，则可得到g f ( g ) 和q f ( g ) 关系，从而 转化得到q g 关系。注意在f ( g ) = o 处不能直接计算，需由插值法得到该点相应 的各值。 以上各种多重分形谱算法都有各自的优缺点，对于不同的研究对象应选取不 同的方法。在本文的研究中，我们采用数盒子法实现多重分形谱的计算。 第3 章金融市场的多重分形特征研究 第3 章金融市场的多重分形特征研究 金融市场是一个异常复杂的非线性动力系统，采用分形理论对其运行规律进 行分析虽然已经较传统的有效市场理论得到了更为客观的刻划，但结果仍不够细 致、准确、全面。m a n d e l b r o t 在科学美国人中刊登的( ( m u l t i f r a c t a lw a l kd o w n w a l ls t r e e t ) ) 一文中指出单分形过程只能抓住价格波动的某一特征，而基于多重分 形范畴的多重分形过程则可以更为全面地描述价格波动的特征。 本章通过对香港证券市场的指数序列和交易量序列进行m f d f a 分析，检测 出金融市场非线性时间序列，包括不同时间标度的价格和交易量序列，均存在多 重分形特性，为更深入的以多重分形理论对金融市场进行分析及风险管理奠定了 理论基础。 3 1 多重分形分析 对时间序列进行多重分形分析，主要有2 0 世纪9 0 年代被提出的小波变换模 量最大法( w w e l e tt r a n s f o r mm o d u l u sm a x i m a ) t 2 0 - 2 2 乘 1 9 9 4 年由p e n g 等提出的 m f d f a 方法。小波变换模量最大法是小波分析为基础，需要在整个时间标度上 连续小波变化，计算量大而且对时间序列一平稳性要求要高。m f d f a 是d f a 2 3 】 方法的进一步发展【2 4 】，经过众多学者的考察研究，已被证实为探测不平稳时间序 列标度性和长相关性的有力工具。因此在本论文的研究中，我们采用m f d f a 方 法对金融时间序列进行分析。 m f d f a 方法进行多重分析步骤： 1 对于给定的时间序列 x ( f ) ) o = 1 ，2 ，) ，构造其“侧面”y ( i ) y ( f ) = 豁( f ) 一誊( f ) ) i = l , 2 , - - - n ( 3 - ) 2 将序列y ( i ) 按f 由小到大和由大到小各划分成m 个含有s 个数据且互不相 黑龙江大学硕士学位论文 交的区间。给定一个s ，则可以得到2 m 个区间。通常应满足s n 4 。 3 用最小二乘法对每个区i 司1 ，【1 ，= 1 ，2 ，2 m ) 中的s 个点进行多项式拟合，得 到拟合方程： 儿( f ) = + a l i + a 2 i 2 + + a k i i = 1 ，2 ，s ；k = 1 ，2 ， ( 3 - 2 ) k 的选取通常需要满足m a ) 【 尼+ 2 ，1 0 ) s 。 4 计算每个区间的均方误差f 2 ( v ，5 ) 。 当v e 1 ，n s 】时， f 2 ( ) = 詈喜洮v 一- ) 州h ( f ) 2 ( 3 - 3 ) 当1 ，【札+ 1 ，2 n s 时， ，2 ( v ，s ) = 三喜 少 ( 一( v m ) ) s + 刁一儿( 嘞2 ( 3 q 5 求所有区间均方误差的均值，得到g 阶( g o ) 波动函数( s ) ： 陟2 n s 妒r p 5 ， g = 0 时，波动函数 砷) = e x p l f 可1 善2 n sh 确j ) ) ( 3 - 6 ) ( j ) 是g 与s 的函数，且对于较大的s ，( j ) 以幂律形式增加，即( s ) 矿们， h ( q ) 即为广义h u r s t 指数。对上式进行简单处理，可得到办( g ) = 彳h ( s ) l i l s 。如 果办( g ) 为一常数，则时间序列 x ( f ) ) 为单分形；若五( g ) 为依赖于g 的函数时，序列 ( f ) 则为多重分形。 第3 章金融市场的多重分形特征研究 3 2 金融市场价格序列的多重分形性 分别考察5 分钟和一日两种时间标度价格序列的多重分形性。选取香港证券 市场2 0 0 7 1 2 - - 2 0 0 8 7 3 1 的每5 分钟恒生指数( 共1 8 6 2 4 个数据) 和2 0 0 0 1 3 2 0 0 8 7 3 1 的恒生日收盘指数( 共2 1 1 2 个交易日数据) 进行实证研究。用m f d f a 方法对以上两个数据进行多重分析时，我们令m f - d f a 的阶数k 取 1 ，2 ，3 ，4 ) ，q 取 - 1 0 ，- 9 ，- i ，0 ，1 ，9 ，1 0 ) 。得到恒指5 分钟和日数据在不同情况下的办( g ) 估计 值，如表3 1 所示。g h ( q ) 散点图如图3 1 、3 2 所示。 表3 - 1 不同情况下恒指广义h u r s t 估计值 t a b l e3 - 1t h eh u r s tv a l u eo f h a n gs e n gi n d e x ( h s l ) i nd i f f e r e n tc o n d i t i o n s g 5 分钟数据庇( g )日数据乃( g ) k = lk = 2k = 3k = 4k = 1k = 2k = 3k = 4 1 01 8 7 6 51 9 4 9 71 9 8 6 71 8 7 8 01 7 4 9 51 7 8 5 11 8 0 3 21 8 1 9 3 91 8 6 6 41 9 4 2 31 9 7 6 01 8 6 9 31 7 4 4 11 7 7 9 11 7 9 7 11 8 1 3 5 81 8 5 3 81 9 3 3 11 9 6 2 71 8 5 8 61 7 3 7 21 7 7 1 61 7 8 9 5 1 8 0 6 1 7 1 8 3 7 51 9 2 1 01 9 4 5 81 8 4 5 0 1 7 2 8 51 7 6 2 01 7 7 9 61 7 9 6 7 61 8 1 6 01 9 0 4 51 9 2 3 21 8 2 7 51 7 1 6 81 7 4 9 21 7 6 6 51 7 8 4 2 51 7 8 6 71 8 8 1 01 8 9 2 31 8 0 4 11 7 0 0 51 7 3 1 51 7 4 8 31 7 6 6 7 41 7 4 5 51 8 4 5 91 8 4 7 81 7 7 2 2 1 6 7 6 8 1 7 0 5 61 7 2 1 91 7 4 1 0 31 6 8 7 0 1 7 9 2 2 1 7 8 2 l1 7 2 8 5 1 6 4 0 21 6 6 5 21 6 8 0 61 7 0 0 2 21 6 0 7 71 7 1 1 41 6 8 6 7 1 6 7 1 3 1 5 7 7 21 5 9 5 61 6 0 8 91 6 2 7 5 一l 1 5 1 5 41 6 0 3 91 4 6 6 41 6 0 3 51 4 5 2 51 4 6 3 81 4 7 3 11 4 8 7 6 o1 4 2 8 11 4 8 9 51 4 4 8 51 5 3 0 31 3 8 4 81 3 9 2 11 3 9 6 41 4 0 6 3 1 1 3 5 4 01 3 8 7 21 3 5 3 71 4 5 3 5 1 3 6 4 11 3 7 4 41 3 7 5 91 3 8 5 2 21 2 9 2 01 3 0 2 71 3 1 1 31 3 7 6 81 3 4 4 31 3 6 1 21 3 5 8 41 3 6 7 9 黑龙江大学硕士学位论文 31 2 4 0 71 2 3 6 71 2 2 5 51 3 0 7 01 3 2 6 41 3 5 1 21 3 4 3 21 3 5 2 3 4 1 1 9 8 81 1 8 7 01 1 8 2 01 2 4 8 51 3 1 2 01 3 4 3 71 3 3 0 91 3 3 9 4 51 1 6 5 11 1 4 9 91 1 4 7 61 2 0 1 7 1 3 0 0 81 3 3 8 0 1 3 2 1 3 1 3 2 9 1 61 1 3 8 01 1 2 2 31 1 2 0 41 1 6 5 21 2 9 2 01 3 3 3 41 3 1 3 81 3 2 1 0 71 1 1 6 41 1 0 1 21 0 9 8 71 1 3 6 51 2 8 5 01 3 2 9 71 3 0 7 91 3 1 4 5 81 0 9 8 91 0 8 4 91 0 8 1 21 1 1 3 81 2 7 9 31 3 2 6 41 3 0 3 21 3 0 9 3 9 1 0 8 4 71 0 7 2 0 1 0 6 6 91 0 9 5 71 2 7 4 51 3 2 3 71 2 9 9 41 3 0 5 1 1 01 0 7 3 01 0 6 1 71 0 5 5 21 0 8 1 01 2 7 0 51 3 2 1 3 1 2 9 6 2 1 3 0 1 5 图3 - 1 恒指5 m i n 数据g h ( q ) 散点图 f i g u r e3 - 1t h eq ，- h ( q ) s c a t t e rd i s t r i b u t i o no f h s i ( p e r5m i n u t e s ) 图3 - 2 恒指日数据g h ( q )