（基础数学专业论文）一些smarandache函数及数列的方程求解和均值.pdf

中文摘要 众所周知，研究各种算术函数的性质在数论中占有十分重要的位置，许多 著名的数论难题都与之密切相关因而在这一领域取得任何实质性进展都必将 对初等数论和解析数论的发展起到重要的推动作用! 著名的美籍罗马尼亚数学专家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授曾提出许多关 于s m a r a n d a c h e 函数的问题和猜想1 9 9 3 年，他在美国研究出版社出版了o n l y p r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ! ) 一书，在书中他提出了1 0 5 个关于数论函数和序列的 问题和猜想，许多学者对此进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理论价 值的研究成果：而日本的k e n i c h i r ok a s h i h a r a 博士也在 ( c o m m e n t sa n dt o p i c s o ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s ) 一书中提出了许多与s m a r a n d a c h e 函 数相关的数论问题，其中不少问题具有一定的研究价值，引起了数论爱好者的 兴趣 本论文基于对上述问题的兴趣，利用初等和解析方法研究了一些新 的s m a r a n d a c h e 函数和序列及近伪s m a r a n d a c h e 函数的性质，从而给出了一些相 关的恒等式和渐近公式以及方程的正整数解具体地说，本文的主要成果包括 以下几个方面： 1 定义了两个新的算术函数，利用初等和解析方法研究了这两个函数的均 值性质；研究t s m a r a n d a c h ec e i l 函数鼠( 扎! ) 的均值性质，并给出了它的一个渐 近公式 2 s m a r a n d a c h el c m 对偶函数s r m ) 和s m a r a n d a c h e 乘积函数s m ( n ) 在 初等数论的研究中占有非常重要的地位本文利用初等方法分别研究了关于这 两个函数的方程的正整数解 3 对于近伪s m a r a n d a e h e 函数的研究是很有意义的本文主要利用初等方 法研究了近伪s m a r a n d a c h e 函数巩( n ) 的性质，并给出了关于它的几个非常有趣 的等式，同时还提出了一个公开问题 4 定义了一个新的s m a r a n d a c h e 函数g ( n ) ，本文利用初等方法研究了它的 基本性质 关键词 算术函数，s m a r a n d a c h e 乘积函数，渐近公式，均值，方程 n a b s t r a c t w i t ht h ec o m i n go f g l o b a l i z a t i o na n dt h ed i g i t a la g e ，p e o p l e s m e a n so f d i s s e m i n a t i n gi n f o r m a t i o n ，l i f e s t y l ea n do n c e l e a d i n ge c o n o m i cm o d e l sh a v e a l l u n d e r g o n eas e ac h a n g e m e d i a , n e w so u t l e t sa n da u d i e n c e sh a v ea l lb e c o m em o r e f r a g m e n t e d o v e rt h ep a s tt w oc e n t u r i e s ，l a r g eb u s i n e s sm o d e l sf o c u s e do nt h e p r o d u c t i o no fm a i n s t r e a m “h i t p r o d u c t st h a tw o u l da p p e a lt oal a r g eg r o u po fp e o p l e s p e c i a l i z e d , b o u t i q u e p r o d u c t i o nl i n e sa r en o wc h a l l e n g i n gt h i sf o r m e r l yd o m i n a n t b u s i n e s sm o d e l i n2 0 0 4 ，c h r i sa n d e r s o n ，e d i t o r - i n c h i e fo fw i r e dm a g a z i n ew r o t ea b o o kd e t a i l i n gw h a th ec a l l e dt h e “l o n gt a i l ”c o n c e p t a n d e r s o nh a sp o i n t e do u tt h a t w h i l em o s ts t o r e sf o c u se x c l u s i v e l yo nm a i n s t r e a mp r o d u c t s ，n i c h ep r o d u c t st h a ta p p e a l t ot h ec o n s u m e r ss p e c i f i c ，u n i q u ei n t e r e s t sa r eb e g i n n i n gt oo u t s e l lt h e s e “h i t s a n d e r s o nd e s c r i b e sh i sm o d e lo nas u p p l ya n dd e m a n dg r a p h t h e r ea r ev e r yf e w m a i n s t r e a mp r o d u c t st h a ts t o r e ss e l lm a k eu pt h e “h e a d ，b u tan e a r l yi n f i n i t en u m b e ro f n i c h ep r o d u c t sm a k eu p t h e “l o n gt a i l t h ec h i n e s ep r i n tm e d i ai n d u s t r yi sc u r r e n t l yf a c i n gac r i s i sd u et oc o m p e t i t i o n w i t l lo t h e rt y p e so fm e d i aa n daf a i l u r et oc o m p l e t e l ye x p l o i tt h e i rp o t e n t i a lm a r k e t s t h i sp a p e rs h o w sh o wa d o p t i n gam o d e lt h a tf o c u s e so nt h e l o n gt a i l c o u l dh e l p n e w so r g a n i z a t i o n so v e r c o m et h i sc r i s i s b yl o o k i n ga te c o n o m i e so fs c o p ea n dt h er i s e o fb u s i n e s sm o d e l se m p l o y i n gt h el o n gt a i lt h e o r y , t h ea u t h o ra n a l y z e st h ep r o b l e m s f a c i n gt h ei n d u s t r yi nd e t a i l t h ep a p e rc o n c l u d e st h a tc h i n a sp r i n tm e d i ai n d u s t r yw o u l dg r e a t l yb e n e f i tf r o m s p e c i a l i z a t i o na n dc r e a t i v i t yi no r d e rt oe x p l o i tt h ep o t e n t i a ln i c h em a r k e t s f i n a l l y , t h e p a p e rc o n c l u d e st h a tn e w s p a p e r ss h o u l du s et h e i rw e b s i t e st op r o v i d et h i st y p eo f s p e c i a l i z e dn e w s ，e i t h e rb yh a v i n gm o r es e c t i o n so nt h e i rh o m e p a g eo rb yr u n n i n go t h e r w e b p a g e sa n db l o g st oa d d r e s st h e s ei s s u e s k e yw o r d s ：t h el o n gt a i lt h e o r y , n e we c o n o m y , n e w s p a p e ra n dm a g a z i n eo p e r a t i o n s a n dm a n a g e m e n t i i a b s t r a c t ( 英文摘要) i ti sk n o w nt h a tt h er e s e a r c ho nt h ep r o p e r t i e so fa l lk i n d so fa r i t h m e t i c a l s e q u e n c e sp l a ya l li m p o r t a n tr o l ei nt h en u m b e rt h e o r y , a n dt h e yr e l a t e dt o m a n yf a m o u sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a p r o g r e s si n t h i sf i e l dw i l lp r o p e lt h ed e v e l o p m e n to fe l e m e n t a r yn u m b e rt h e o r ya n da n a l y t i c n u m b e rt h e o r y a m e r i c a n - r o m a n i a nn u m b e rt h e o r i s tf l o r e n t i ns m a r a n d a c h ep r e s e n t e d m a n yp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e so ns m a r a n d a c h ef u n c t i o n s i n1 9 9 3 h ep u b - l i s h e dab o o kn a m e d “o n l yp r o b l e m s n o ts o l u t i o n s ! ”i nx i q u a np u b l i s h i n g h o u s ei na m e r i c a n i nt h i sb o o k ，h ep r e s e n t e d1 0 5u n s o l v e da r i t h m e t i c a lp r o b - l e m sa n dc o n j e c t u r e sa b o u ts p e c i a ls e q u e n c e sa n df u n c t i o n s ，m a n yr e s e a r c h e r s s t u d i e dt h e s ep r o b l e m s a n dk e n i c h i r ok a s h i h a r ad o c t o ri nj a p a na l s op r o - p o s e dal o to fn u m b e rt h e o r yp r o b l e m sa b o u ts m a r a n d a c h ef u n c t i o n si nt h eb o o k n a m e d “c o m m e n t sa n dt o p i c so ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s ，s o m e p r o b l e m sh a v eg o o dv a l u e sa n di n s p i r et h er e a d e r si n t e r e s t i n g i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eu s e de l e m e n t a r ym e t h o d sa n da n a l y t i c a lm e t h o d s t os t u d ys o m en e ws m a r a n d a c h ef u n c t i o n s ，s e q u e n c e sa n dn e a rp s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，a n dg i v e ns o m er e l a t e di d e n t i t i e s ，a s y m p t o t i cf o r m u l a sa n dp o s i t i v ei n t e g e rs o l u t i o n so fs o m ee q u a t i o n s t h em a i na c h i v e m e n t sc o n t a i n e di n t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 w ed e f i n e dt w oa r i t h m e t i c a lf u n c t i o n sa n dg o tm e a nv a l u ep r o p e r t i e s o ft h et w of u n c t i o n sb yu s i n ge l e m e n t a r ya n da n a l y t i cm e t h o d s ；w ea l s os t u d - i e dt h em e a i lv a l u ep r o p e r t yo fs m a r a n d a c h ec e i lf u n c t i o n 鼠( 凡! ) a n dg i v e na n a s y m p t o t i cf o r m u l a 2 s m a r a n d a c h el c md u a lf u n c t i o ns l ( 凡) a n ds m a r a n d a c h em u l t i p l i c a - m t i v ef u n c t i o ns m ( n ) h a v ei m p o r t a n tp o s i t i o n si nt h es t u d yo fe l e m e n t a r yh u m - b e rt h e o r y w eu s e de l e m e n t a r ym e t h o dt os t u d yt h ep o s i t i v es o l u t i o n so fs o m e e q u a t i o n sa b o u tt h e mr e s p e c t i v e l y 3 i ti sq u i t em e a m g f u lt or e s e a r c ht h en e a rp s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o n w es t u d i e dt h ep r o p e r t i e so fn e a rp s e u d os m a r a n d a e h ef u n c t i o nb yu s i n g e l e m e n t a r ym e t h o da n do b t a i n e ds o m ei n t e r e s t i n gi d e n t i t i e s ，a tt h es a m et i m e ， w ep r e s e n t e da l lo p e np r o b l e m 4 w ed e f i n e da n e 、ws m a r a n d a c h ef u n c t i o ng ( n ) a n ds t u d i e di t se l e m e n t a r y p r o p e r t i e sb yu s i n ge l e m e n t a r ym e t h o d a r i t h m e t i c a lf u n c t i o n ，s m a r a n d a c h em u l t i p l i c a t i v ef u n c t i o n ，a s y m p t o t i c f o r m u l a ，m e a nv a l u e ，e q u a t i o n l v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：王垃 指导教师签名：主丝主碰刍 2 叩阵歹月占日? 矽7 年月占日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：王妤 ) 口口7 年多月名日 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 5 1 1 研究背景与课题意义 数论，是研究数的规律，特别是研究整数性质的数学分支它与几何学一 样，是最古老而又始终活跃的数学研究领域数论形成- - 1 7 独立的学科后，随着 其它数学分支的发展，研究数论的方法也不断地在发展，现代数论已经深入到 数学的许多分支，在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一 当自变量佗在某个整数集合中取值，因变量y 取实数值或复数值的函 数y = ，( 礼) ，这种函数称之为数论函数或算术函数由于许多数论或组合数学 中的问题均可化为一些数论函数来讨论，所以数论函数是一类非常重要的函数， 是数论中的一个重要研究课题，是研究各种数论问题中不可缺少的工具 关于s m a r a n d a c h e 函数算术性质的研究一直以来都在数论研究中占有十分 重要的位置，许多著名的数学难题都与之密切相关，因而在这一领域取得任何 实质性进展都必将对初等数论和解析数论的发展起到重要的推动作用! 罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 提出了1 0 5 个尚未解决的数论问题及猜 想随着这些问题的提出，许多学者对此进行了深入的研究，并获得了不少具 有重要理论价值的研究成果；而日本的k e n i c h i r ok a s h i h a r a 博士在( c o m m e n t s a n dt o p i c so ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s ) 一书中提出了的诸多问题 也引起了数论爱好者的研究兴趣对这些问题进行研究并给予一定程度上的解 决，是具有重要理论意义和理论应用研究价值的 基于以上的想法，我们应用初等数论、解析数论等知识对他们提出的几 个数论中未解决的问题进行研究，主要研究了一些算术函数的均值性质，关 于s m a r a n d a c h el c m 对偶函数s r ( 礼) 和s m a r a n d a c h e 乘积函数s m ( n ) 的方程 的解以及近伪s m a r a n d a c h e 函数和相关序列的性质，从而获得了一些有趣的渐 近公式和恒等式及方程的解数 1 第一章绪论 1 2 主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了一些新的s m a r a n d a c h e 函数和数列及近 伪s m a r a n d a e h e 函数的性质这些成果主要表现在研究了两个新的算术函 数和s m a r a n d a c h ec e i l 函数鼠( n ! ) 的均值，包含s m a r a n d a c h e 对偶函数和乘积 函数的方程，关于近伪s m a r a n d a c h e 函数和新的s m a r a n d a e h e 函数的性质四个方 面，内容分布在第三至第六章具体地说，本文的主要成果和内容组织如下： 1 定义了两个新的算术函数，利用初等和解析方法研究了这两个函数的均 值性质，得到了一些较好的渐近公式；研究t s m a r a n d a c h ec e i l 函数鼠( n ! ) 的均 值性质，并给出了它的一个渐近公式 2 s m a r a n d a e h el c m 对偶函数s l ( 佗) 和s m a r a n d a c h e 乘积函数s m ( n ) 在 初等数论的研究中占有非常重要的地位本文利用初等方法分别研究了关于这 两个函数的方程的可解性 3 对于近伪s m a x a n d a e h e 函数的研究是很有意义的本文主要利用初等方 法研究了近伪s m a x a n d a c h e 函数u t ( 礼) 的性质，并给出了关于它的几个非常有趣 的等式，同时还提出了一个公开问题 4 定义了一个新的s m a r a n d a e h e i g l 数g ( 佗) ，本文利用初等方法研究了它的 基本性质 2 西北大学硕士学位论文 第二章数论发展史 5 2 1 数论的发展简况 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以叫做整数论后来整数论又 进一步发展，就叫做数论了确切的说，数论就是一门研究整数性质的学科 自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但是直到十九世纪， 这些研究成果还只是孤立地记载在各个时期的算术著作中，也就是说还没有形 成完整统一的学科到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性质零散的 知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完全成 熟德国数学家高斯集中前人的成果，写了一本书叫做算术探讨，而算术 探讨标志着数论成为独立的数学分支学科的开始，并且这本书所讨论的内容 成为直n 2 0 世纪数论研究的方向 在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一从二十世纪三十年代开 始，在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面都有过重要的贡献，出现了华 罗庚、闵嗣鹤、柯召等第一流的数论专家其中华罗庚教授在三角和估值堆砌 素数论方面的研究是享有盛名的1 9 4 9 年以后，数论的研究得到了更大的发展 特别是陈景润在1 9 6 6 年证明“歌德巴赫猜想”的一个大偶数可以表示为一个素 数和一个不超过两个素数的乘积之和以后，国际数学引起了强烈的反响，盛赞 陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点至今，这仍是“歌德巴赫 猜想”的最好结果 5 2 2 数论的基本内容 数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方 法也在不断发展。如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代 数数论和几何数论四个部分 3 第二章数论发展史 初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮助，只依靠初等的方法来研 究整数性质的分支比如中国古代有名的“中国剩余定理”就是初等数论中很 重要的内容 解析数论是使用数学分析作为工具来解决数论问题的分支数学分析是以 函数作为研究对象的、在极限概念的基础上建立起来的数学学科用数学分析 来解决数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过 贡献解析数论是解决数论中艰深问题的强有力的工具比如，对于。质数有无 限多个”这个命题，欧拉给出了解析方法的证明，其中利用了数学分析中有关 无穷级数的若干知识二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的 提出了。三角和方法”，这个方法对于解决某些数论难题有着重要的作用我 国数学家陈景润在解决“哥德巴赫猜想问题中使用的是解析数论中的筛法 代数数论是把整数的概念推广到代数整数的一个分支数学家把整数概念 推广到一般代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等概念 几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人开创和奠基的几何 数论研究的基本对象是“空间格网”什么是空间格网呢? 在给定的直角坐标 系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网空间 格网对几何学和结晶学有着重大的意义由于几何数论涉及的问题比较复杂， 必须具有相当的数学基础才能深入研究 2 3 数论的迷人之处 在数学园地中，数论可谓最美丽的一枝花朵对于众多的数学家来说，它如 同“数学王子高斯所说的是数学王国的“数学皇后”这一整个数学中最美 的分支，包含的深奥东西让最出色的数学家为之流连忘返长期以来，它受到 专家与门外汉的格外青睐与偏爱，数不尽的人为它倾注了精力究竟是什么原 因，使得数论成为“数学的皇后”，又是什么魅力能引无数极富才智的人为之 如醉如痴呢? 4 西北大学硕士学位论文 首先，这一迷人的数学领域产生了许多富于刺激性的难题，丰富而辉煌，堪 称数学家的金矿正如希尔伯特所说；“只要一个科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止数论就是 一个包含着大量尚未解决的问题的数学领域，这就向一代一代的数学家提出了 挑战高斯曾把数论描绘成“一座仓库、贮藏着用之不尽的、能引起人们兴趣 的真理” 其次，它的一个真正诱惑是这些问题简单得甚至连小学生都能看懂然而， 却使一代又一代世界一流数学家为它付出了艰苦的努力如著名的费马大定理 就曾困惑了世间智者3 6 0 余年，到1 9 9 5 年才最终获得解决而这类至今尚未解决 的问题在数论中比比皆是，如哥德巴赫猜想、奇完全数存在性、孪生素数对问 题等等问题表述的简单与解答的极端复杂，作为这一数学分支看似反常的特 点吸引着无数的专家与业余爱好者 再次，人们为了解决这些问题使用了很多极其复杂的手段在现今的数论 进展中，代数、实与复分析、几何，甚至概率论的方法，都作出了至关重要的 贡献这些不同数学方法的深刻的相互影响，使人们清楚地看到了一个惊人的 事实，从而也让我们几乎不可避免地会产生一种玄秘的感觉有些结论的陈述， 仅仅牵涉到一些关于自然数的最简单的概念如素数，然而要证明这些它们，却 非得用到分析、代数几何之类的复杂工具不可，尽管光看假设条件或结论是怎 么也想不到会要这样大动干戈的哥德巴赫猜想就是一个极好的例证国内著 名的数论专家曾形容那些试图仅用初等数学或简单的微积分知识就能解决这一 猜想的努力是“蹬着自行车上月球，好比拿着锯、刨子造一架航天飞机”，因 为他们的工具太原始了，而要解决这一猜想，需要全新的观念与更先进的工具 才行这种定理陈述的简单性，所用方法的深奥性，却以极其明显的形式体现 了数学内部深刻的和谐一致性，从而使数论深深地吸引了世世代代的数学家 希尔伯特把数论看成“一幢出奇地美丽而又和谐的大厦”，它有简单的基本定 律，它有直接了当的概念，它有纯正的真理 还有一部分数学家是因为它的脱离实用的“纯正洁白 而着迷数论的研 5 第二章数论发展史 究课题并不马上招致对科学的应用如同1 8 9 6 年鲍尔所说：“这门学科本身是 一个特别引入、特别雅致的学科，但它的结论没什么实际意义”确实，如果按 通常分法把数学分为“纯粹”数学与“应用”数学的话，数论或许是数学中所 能达到的最纯粹的了费马、欧拉、拉格朗日、勒让达、高斯等都是出自数论 内在的趣味及其特有的美而研究人类知识的这一领域的，他们确实毫不在乎他 们那些优美的定理是否会有什么“有用的”应用高斯认为皇后不愿弄脏她那 洁白的双手而英国数论专家哈代曾为自己所研究的数论问题无用而干杯尽 管数论居于数学中最美妙的思想之列，但在哈代以前却从未被用于任何非常实 际的目的不过，这一现象现在已被改变，如大素数分解问题已与密码破译紧密 联系在一起了 2 4 数论的应用 数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究 状态，它对数学理论的发展起到了积极的作用，但对于大多数人来讲并不清楚 它的实际意义 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论得到了广泛的应用比如在 计算方法、代数编码、组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多研究 成果；又文献报道，现在有些国家应用。孙子定理”来进行测距，用原根和指数 来计算离散傅立叶变换等此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似分 析、差集合、快速变换等方面得到了应用特别是现在由于计算机的发展，用 离散量的计算去逼近连续量而达到所要求的精度已成为可能但是数论中的许 多精华如同埋在垃圾堆里的金银财宝一样还未被人们发现，就让我们这些从事 数论领域研究工作的人们去挖掘那些垃圾堆里的宝藏吧1 6 西北大学硕士学位论文 第三章关于s m a r a n d a c h e 函数的均值问题 3 。1 两个新的算术函数及其均值 对任意正整数t t ，我们定义两个新的算术函数厂( n ) 及它的对偶函 数7 ( n ) 为，( 1 ) = 一f ( 1 ) = 1 ；当凡 l 且礼= 衍1 莲2 2 为礼的标准分解式 时，定义j f ( n ) = m a x ( a 1 ，a 2 ，一，0 1 七) 和7 ( 佗) = 血n ( 口1 ，q 2 ，仅七) 例 如f ( 1 ) = 1 ，f ( 3 ) = 1 ，f ( 4 ) = 2 ，f ( 5 ) = 1 ，f ( 6 ) = l ，f ( 7 ) = l ，f ( s ) = 3 ， f ( 9 ) = 2 ，f ( 1 0 ) = 1 ，；7 ( i ) = l ，7 ( 2 ) = 1 ，7 ( 3 ) = 1 ，7 ( 4 ) = 2 ，7 ( 5 ) = 1 ， 7 ( 6 ) = l ，一f ( 7 ) = 1 ，7 ( 8 ) = 3 ，一f ( 9 ) = 2 ，7 ( 1 0 ) = 1 ，显然这两个函数 是s m a r a n d a c h e 可乘函数，即对任意的正整数m ，礼，若( m ，佗) = 1 ，则我们有 ，( m n ) = m a x f ( n ) ，厂( m ) ) ， 7 ( m 礼) = m i n 7 ( m ) ，7 ( n ) ) 本节的主要目的是利用初等和解析方法研究这两个函数的均值性质，并给 出了两个有趣的均值公式具体地说，我们证明了下面的： 定理3 1 ：对任意实数z 1 ，我们有渐近公式 ( ，( n ) 一1 ) 2 = b z + o ( z 雌) ， n z 黼= 坩( k - 而1 ) 2 莩崭为撇啪意给定脏引( s ) 为r i e m z e t a - 函数 定理3 2 ：对任意实数z l ，我们有渐近公式 善( 确) 1 ) 2 = 器。+ 。( 机2 z ) ， n z “。 其中 1 ，定义函数 a ( 似) ： l 若礼的素因子的指数不超过以忍为任意给定的正整数) 【0 ，其它 薹的) = 耐z + 0 ( 巩 ( t i ，p ) = 1 其中e 为任意给定的正数 证明：猷s ) = 薹掣，其中s 的实部大孔舳e u l e r 积则( 碉 ( n ，力= l 定义有 m ) - 疆壹等2 卿i i ( 1 + 嘉+ 壶+ 1 q # p m = o ) 1 口口 yyy = 娶( 苷) ：坐2 ( ( ( + 1 ) 8 ) 一 c ( s ) = - - - - - _ _ - - - - - - - - - - - - 一 ( 1 + 歹1 + 声1 + 1 ) 一1 p k s 妒一1 ) ( ( ( 后+ 1 ) 5 ) p ( 七十1 ) s 一1 其中 ( s ) 为m e m 籼z e t a - 函数根据p e 盯o d 公式【6 】定理6 2 ，取5 0 ：0 ，t ： z ，6 = 耋? 则可以推出 薹撕) 葡1 f 哪。+ i t 揣扎s 2。i “ 4 、 。一7 p i e s 0 8 8 ) p ( 七十1 ) 3 一 一等d s + 0 s 、上， 将上式中积分线从耋士i 丁移到三士i 丁处，现在来估计主项 1 厂 们 ( ( s ) 矿s 眇1 ) z s ， 芴耙r 而百雨万而j 了出。 8 西北大学硕士学位论文 这时，函数，( s ) = 熬蔷善象等等在s = l 处有一个一阶极点，其 留数为秸 所以 万1 ( 峥f 3 + 汀i t + 丘+ ：+ 吩f + - 订i r 川 1 1 。计i ( s ) 丽黟锱等a s p k ( p 一1 ) z ：= ：- - - - - _ - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 c ( k + 1 ) 渺“一1 ) 。 那么 注意到 熹( ：+ z ：十丘) 采雾钭等d s 抄， 薹的，= 群籍。 ( n ，p ) = l 引理3 2 ：设日是所有s q u a r e - f u l l 数构成的集合，则有 薹1 = 器。+ 器。+ ， 其中 1 ， 设n = 硝1 露2 霹，a 为所有无平方因子的集合，b 为至少含有一个素因子的 指数大于等于2 的整数集合，c 为所有素因子的指数不超过七的整数构成的集合 对于定理3 1 ，我们有 ( ，( 礼) 一1 ) 2 = ( ，( 佗) 一1 ) 2 + ( ，( 佗) 一1 ) 2 n zn zn z n a n e b 当礼a ，由，( n ) 的定义易知( ，( 仃) 一1 ) 2 = ( 1 1 ) 2 = 0 ；当扎i e n x n 礼当旦仅当凡= 2 ，4 ，6 ，1 2 他还证明了s r ( d ) = 妒( n ) 有且 d j n d l n 仅有三个解n = 1 ，3 ，1 4 乐茂华证明了以下猜想： 矿( ( 2 七一1 ) ! ( 2 惫+ 1 ) ! ) = q 一1 ， 这里七是一个正整数，口是数2 七+ l 后的第一个素数 本小节的主要目的是利用初等方法研究函数方程 s r ( d ) = ( d ) ( 4 1 ) d l nd f 九 1 6 西北大学硕士学位论文 的可解性，并得到了一个有趣的结论为叙述方便，设a 表示方程( 4 1 ) 的所有 正整数解的集合，即4 = 凡：轧+ ( d ) = ( d ) ，n ) 对任意实数s ， d i nd i n 考虑d r i c 址e t 级数，( s ) = 石1 ，本节研究了厂( s ) 的收敛性，并证明了下面的： 定理4 1 ：对任意实数s ，当s 1 时，( s ) 发散；当s 1 时厂( s ) 收敛，且有恒等式 m m ( s ) ( 1 一击) ， 其中( ( s ) 为磁e m a n nz e t a - i 蚕l 数 注意到( ( 2 ) = 菩，( 4 ) = 嘉及( ( 8 ) = 鑫，于是在定理中取s ：2 和s ： 4 我们立刻得到下面的： 推论： 4 1 2 定理的证明 三去= 器矿 在这一部分，我们来完成定理4 1 的证明我们将7 7 , 分为两种情况来讨论： 1 ) 当n 为奇数时，由s r ( 佗) 和9 ( 佗) 的定义有 s l ( d ) = 1 = 矿( 回， d i n d i nd i n 故佗为奇数是方程( 4 1 ) 的解 2 ) 当扎为偶数时，为方便讨论，我们再将t , 进行分类： ( a ) 当凡= 2 n ( q 1 ) 时，由计算易知s l + ( d ) = 1 + 缸，同理可 得s ( d ) = 1 + 2 a ，故仃= 2 口是方程( 4 1 ) 的解 d i n ( b ) 几= 璃1 定2 霞时，其中p 1 p 2 p k ，k 1