（基础数学专业论文）交换环的m—赋值和高层序的相容性.pdf

摘要 摘要 本文在交换环的范畴中，引进了m 一赋值和高层序之间的相容性，由此建立 了m 一赋值和高层序相容的一些充分必要条件。此外，本文还针对所谓m 一赋值系 统，研究了它们和高层序之间的相容性，并得到一些相关结果。本文的结果可 看作交换环上m a n i s 赋值以及m 赋值和普通序( 一层序) 之间的相容性理论的 一种推广。 本文一共分为三节： 第一节为引言部分，主要介绍本文工作的背景及目的。 在第二节中，引进了m 一赋值和高层序之间的相容性，由此建立了m 赋值和 高层序相容的一些充分必要条件。 第三节研究了m 赋值系统和高层序之间的相容性，并建立了一些相关结果。 关键词：交换环：交换环的m 赋值；交换环的m 一赋值系统；高层序；相容性。 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , t h ec o m p a t i b i l i t yb e t w e e nm v a l u a t i o n sa n dh i g h e r l e v e l o r d e r i n g si si n t r o d u c e di nt h ec a t e g o r yo fc o m m u t a t i v er i n g sw i t hu n i t ，a n ds e v e r a l r e s u l t so nt h ec o m p a t i b i l i t yb e t w e e nm v a l u a t i o n sa n dh i g h e rl e v e lo r d e r i n g sa r e e s t a b l i s h e d m o r e o v e r , t h ec o m p a t i b i l i t yb e t w e e nm v a l u a t i o ns y s t e m sa n dh i g h e r l e v e lo r d e r i n g si sa l s oi n v e s t i g a t e d t h er e s u l t si n t h i sp a p e rm a yb ec o n s i d e r e da s s o m eg e n e r a l i z a t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so nt h ec o m p a t i b i l i t yb e t w e e n m a n i s v a l u a t i o n s ( o rm v a l u a t i o n s ) a n do r d i n a lo r d e r i n g s ( i e o r d e r i n g so fl e v e l1 ) t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h et h r e es e c t i o n sa sf o l l o w s ： s e c t i o n1i st h ei n t r o d u c t i o no ft h i sp a p e r i nt h i ss e c t i o n ，w ed e s c r i b et h ec u r r e n t s t a t u so ft h er e s e a r c ho nt h ec o m p a t i b i l i t yb e t w e e nv a l u a t i o na n do r d e r i n g s i ns e c t i o n2 ，w ei n t r o d u c et h en o t i o no ft h ec o m p a t i b i l i t yb e t w e e nm v a l u a t i o n s a n dh i g h e rl e v e lo r d e r i n g s ，a n de s t a b l i s hs e v e r a lr e s u l t so nt h ec o m p a t i b i l i t yb e t w e e n m v a l u a t i o n sa n dh i g h e rl e v e lo r d e r i n g s i ns e c t i o n3 ，t h ec o m p a t i b i l i t yb e t w e e nm v a l u a t i o ns y s t e m sa n dh i g h e rl e v e l o r d e r i n g si si n v e s t i g a t e d k e yw o r d s ：c o m m u t a t i v er i n g ；m v a l u a t i o n ；m v a l u a t i o ns y s t e m ；h i g h e rl e v e l o r d e r i n g ；c o m p a t i b l i t y 目录 目录 第一节引言与预备知识l 第二节m 赋值与高层序的相容性一5 第三节m 赋值系统与高层序的相容性8 致谢10 参考文献1 l i v 第一节引言与预备知识 第一节引言与预备知识 赋值理论的发展已有近一百年的历史随着赋值论的发展，赋值的概念不断 获得各种形式的推广关于域上赋值的理论已经成为域论的一个重要组成部分， 同时作为一种重要工具被应用于其它数学分支，比如数论，代数序结构理论等 关于域上赋值的论述可见诸于许多专题论著，例如文献 4 ，1 3 在文献 1 2 中， es a m u e l 把”位”这一概念引进到交换环的范畴中，由此开创研究环上赋值的先 河1 9 6 9 年，m m a n i s 1 0 1 在交换环上引进赋值的概念，这种引进的赋值在当今的 一些文献中被称为m a n i s 赋值m a n i s 赋值被得到广泛的应用，许多与m a n i s 赋 值相关的概念和结论得以建立此外，一些其他形式的赋值也被引入到交换环范 畴中，其中包括d k h a r r i s o n 和m a v i t u l l i 在文 5 】中所引进的v 一赋值2 0 0 2 年， 张的根 1 5 】在交换环上引进了更为一般的赋值概念一m 赋值 域上的序与赋值有着十分密切关系，有关研究成果成为实域论的一个重要 内容，参见文献 6 ，7 ，1 3 后来，序的这一概念沿着两个方向得到进一步的推广 一方面，高层序的概念被引进，相关理论被建立；另一方面，( 高层) 序的概念在交换 环范畴中也得到了相应的推广，参见文献【1 ，2 ，3 ，8 1 9 8 7 年，戴执中先生【1 7 】 首先在交换环上引入了实位与实赋值，并在环上得出了与域上类似的一些结果 直到1 9 9 1 年，m a r s h a l l 1 4 也做了类似的工作在文献 1 5 1 ，戴执中先生进一步研 究了交换环上赋值与亚序的相容性2 0 0 7 年，曾广兴教授和陶志苗 2 0 】定义了模 上的赋值与高层序的相容性，并建立了有关结果同年，在文献 2 0 1 ，曾广兴教授 与黄桃荣定义了交换环上的m 赋值与序的相容性通过引入”序幺半群的覆盖” 这一概念，m 赋值和高层序相容的一些充分必要条件被建立此外，曾广兴和叶挺 峰【2 2 研究了交换环的m 赋值系统，并探讨了m 赋值与m 赋值系统的相互转化 问题从赋值和序的研究现况来看，探讨交换环范畴中m 赋值与高层序的相容性 是十分自然和有意义的 在本文中，我们将对”序幺半群的覆盖指标集”加以这一概念修改，并给出m 一 赋值与高层序的相容性的定义，从而得到关于m 赋值与高层序之间相容性的相 关结果 本文所研究的环均指有乘法单位元的交换环，同时其子环也具有同一单位元 第一节引言与预备知识 素对于环r 的一个素理想p ，整环r 舻的分式域将记为k ( 矽) 此外，n 始终表示 一个正整数 1 1m 一赋值 根据文献【1 0 】，我们引入如下定义 定义1 i 1 设r 是一个环，r 为一个具有加法运算+ 的有序a b e l 群记 l = ru 如 ，同时规定：对于所有的，f ，y + o o = o o + y = 0 0 + o o = 0 0 且y 厂) 1 2 序幺半群的覆盖 根据文献【2 0 】，我们回顾有关序幺半群的覆盖的概念和有关结论 设r 是一个序幺半群，作下述集合 = ( 一，y 2 ) ly l ，y 2 l ，乃 y 2 显然， 对于y l ，记，= 以，y 2 ) 习j 万r ， + 艿 厂圪+ 万 定义1 2 1l 的一个子集人称作一个关于f 的覆盖指标集，若对于每个 五八，五，且= u 五 1 3m 赋值系统 根据文献 2 2 】，我们回顾m 赋值系统的概念及其有关结论 定义1 3 1 设r 是一个交换环， a ，i 旯人 是一个由加群r 的子群所组成的 族，人为一个指标集 a 。l 五人 被称为r 的一个m 一赋值系统，若以下三个条件成 立： ( 1 ) 族 a 。i 五人 对于集合的包含关系”组成一个链； ( 2 ) 若a , b r 且对于某个九八，有( a 厶：6 ) 旺( ：口) ，则对于每个兄八， 有( a ：口) ( a 五：b ) ，其中( ：口) ：= 扛ra x a , t j ，a 人； ( 3 ) n ( 4 ：r ) 是r 的一个素理想，其中( 以：r ) - 扛rf 服量以) ，见人 定义催2 设y ：尺专l 是交换环r 的一个m 一赋值r 的一个m 一赋值系统 a 。l 五人) 称作y 的一个m 赋值系统，若对于a ，b r ，y ( 口) v ( b ) 当且仅当对于 某个凡人，( a 厶：口) c ( a 厶：b ) 命题1 3 1 ( 2 2 】中命题3 ) 设y ：r l 是交换环r 的一个m 赋值若 a 。i 五人) 是v 的一个m 一赋值系统，则对于口，b r ，v ( a ) v ( b ) 当且仅当对于每 个a 人，( a 兄：口) ( a a ：6 ) 下面命题来自于文献 2 2 1 定理2 前面的引理 第一节引言与预备知识 命题1 3 2 设y ：r 寸l 是交换环r 的一个m 赋值，且人是i 的一个覆盖指 标集，则 a ：i 力a 是y 的一个m 一赋值系统 4 第二节m 赋值与高层序的相容性 第二节m 赋值与高层序的相容性 在本节中，我们将引进了m 赋值和高层序之间的相容性，由此建立了m 赋 值和高层序相容的一些充分必要条件 根据文献【3 】，我们首先给出高层序的如下定义关于高层序的另一等价定义 可见于文献【1 1 定义2 1 设p 是交换环r 的一个子集，p 称为r 的一个n 层序，若以下条件成 立： ( 1 ) p + p p ，p p p ，r 2 ”p ； ( 2 ) p = pr 、一p 是r 的素理想； ( 3 ) 由唧2 “p ，其中x ，y r ，可推出x p 或y 舻；、 ( 4 ) f = 口，歹h 七( 舻) ，i = 1 9o 9 s n ，歹：= p + 矽，p p 是分式域尼( 矽) 的 n 层序 对于环r 上一个n 层序p ，规定r 上个二元关系。： 对于任意a , b r ，a 。b ，当且仅当b a p 设i 是一个序幺半群，作下述集合 = ( 厂。，7 ：) iy l , 7 ：ru 扣i , r 。 y ：) ， 显然，矽 对于任意y f ，可约定： y + y + + y = n y 、， 在此约定下，作的下述子集： ；= ( y l ，7 2 ) lj 万f ，y l + ，l 万 y y 2 + n 6 命题2 1 = u ； ，e r 蕾 证明：显然u ：s , r e l 设( 九，五) ，则7 。 见，即7 。+ n o 旯 2 + n 0 从而( y ，a ) ：u ；，即 e l - * * u ；因此，= u ； 第二节m 一赋值与高层序的相容性 定义2 2l 的一个子集八称作一个关于r 的1 1 覆盖指标集，若对于每个 兄八，：，且= 【j ：。 五e 显然，文献【2 0 】中所谓的覆盖指标集恰是定义2 2 意义下的1 覆盖指标集此 外易知，一个关于r 的n 覆盖指标集总是文献【2 0 】中所谓的覆盖指标集 命题2 2 设y l ，则：= 矽，当且仅当y 是r 中最小元素 证明：假若7 不是1 1 中的最小元素，则有某个7 。f ，使得乃 y ，即 “+ n - 0 厂y + 1 1 - 0 从而( y 。，p ：，矛盾于e ：= 妒因此厂是中最小元素 反过来，假若；，则有( 厂。，7 2 ) ；，此时存在万f ，使得 + n 8 7 厂： 显然一+ n s f ，矛盾于”y 是f 中最小元素”因此：= 痧证毕 由命题2 1 和命题2 2 ，若r 中无最小元素，则l 是关于r 的一个覆盖指标集 若r 中有最小元素y o ，则l 饥 是一个关于r 的覆盖指标集 定义2 3 设y ：r l 是交换环r 的一个m 一赋值，p 是r 的一个n 层序称y 与p 相容，若由关系式0 ，a 。b ，总可推出v ( a ) y ( 6 ) 定义2 4 设y ：r l 是一个m 赋值，p 是r 的一个n 层序，a 是r 的一个子 集若对于任意a , b r ，由关系式0 。a 。6 ，可推出a a ，则称a 关于p 是凸 的，或称a 是p 凸的 命题2 3 设y ：r 寸r 帕是一个m 赋值，p 是r 的一个n 层序若y 与p 相容， 则对于每个兄l ，a ：关于p 是凸的 证明：设v 与p 相容，且0 ，a ，b a ：2 ，其中允l 由此知，v ( a ) v ( b ) 旯， 即a a ：这表明：a ，关于p 是凸的证毕 定理2 4 设v ：r 专l 是一个m 赋值，p 是r 的一个n 层序，且人是一个关于 r 的1 3 覆盖指标集，则y 与p 相容，当且仅当对于每个旯a ，a ：关于p 是凸的 证明：根据上述命题2 2 ，必要性成立 下证充分性，用反证法 假设v 与p 不相容，则有口，b r ，使得0 ，a ，b ，但v ( a ) a 于是a 因而c 也是p 一凸的证毕 对于每个厂f ，规定r 的另一个子集： e = i x ry ( 工) y j 。 易知，髟是a ：关于环r 的一个补集，即e = r a ： 引理2 5 设p 是r 的一个n 层序，且旯f ，则a ：关于p 是凸的，当且仅当 ( ( p 广、鹾) + a ：) n - p = 证明：用反证法 ”仨”：假设a ；关于p 不是凸的，则有工，y r ，使得0 px py a ：，但x 萑a ： 因此工置又由于x ，y x p ，从而x pr 、e 由于v ( y ) = v ( - y ) 兄，即一y a ： 从而x - y ( pn 置) + a ：另一方面，工一y = - ( y - x ) 一p ，从而 ( ( p 厂、鹾) + a ：) r 、一p 矽矛盾! 因此，a ：关于p 是凸的 ”：假设( ( pn 巧) + a ：) n p 矽，则存在x ( ( pne ) + a ：) n - p 于是 x ( pn 巧) + a ：，且x - p 因此，存在a pn 巧，和b a ：，使得x = a + b 由 a p ，一x p 知，口一x p ，即一b p 又由于一( a + 6 ) = 一j p ，从而有 0 ，a p b a a 由于a ：关于p 是凸的，从而a a ：，即v ( a ) 五，矛盾于a 巧 因此，( ( pr 、巧) + a i ) n p = 证毕 定理2 6 设y ：r l 是一个m 赋值，p 是r 的一个n 层序，且八是一个关 于r 的n 覆盖指标集，则i ，与p 相容，当且仅当对于每个五人， ( ( pn 巧) + a ：) n - p = 矽 证明：根据上述定理2 4 与引理2 5 可得 第三节m 赋值系统与高层序的相容性 第三节m 赋值系统与高层序的相容性 在本节中，我们将藉助于m 一赋值的m 赋值系统，研究m 赋值与高层序的相 容性m 一赋值的m 一赋值系统的定义见于定义1 3 2 将环r 看作一个加法群对于r 的一个子群a 以及a r ，进一步规定r 的 如下子集： 号( 彳厶：口) ：= x ra x ”4 显然，0 e ( 气：口) 注意，( ：口) 未必是加法群r 的一个子群 定义3 1 设y ：r l 是一个m 赋值， a 。i 兄人 是y 的一个m 赋值系统 称 a 五i 见人 是y 的一个n 开方的m 赋值系统，若对于口，b r ，v ( a ) v ( b ) 当且 仅当对于某个九人，( 氏：口) c ( ：b ) 命题3 1 设y ：r l 是交换环r 的一个m 赋值若 a 。i 旯人 是v 的一个 n 开方的m 赋值系统，则对于口，b r ，v ( a ) v ( b ) 当且仅当对于每个 五a ，v ( a a ：a ) 刈( a a ：b ) 一 证明：”j ”：设v ( a ) v ( b ) ，其中口，b r 由命题1 3 1 知，对于每个 兄人，( a 丑：口) ( a a ：b ) ，从而v ( 以：口) sv ( 4 五：b ) ”乍”：设对于每个五a ，( 以：口) 互( ：b ) 假设 ，( 6 ) 1 ，( 口) ，其中 a ，b r 由定义3 1 知，x t t ：某- q - a 。人，( 如：6 ) c ( ：口) ，与所设 ”( 以：口) ( 以：b ) ”矛盾! 从而y ( 口) v ( b ) 证毕 命题3 2 设y ：r l 是交换环尺的一个m 赋值，且人是1 1 的一个1 1 一覆盖 指标集，则 a ：i 见a 是y 的一个n 开方的m 赋值系统 证明：注意到，一个关于r 的n 覆盖指标集总是文献 2 0 】中所谓的覆盖指标 集由命题1 3 2 知， a ：i 兄人 是y 的一个m 赋值系统 设a ，b r ，且v ( a ) y ( 6 ) 由于人是一个关于r 的n 覆盖指标集，从而有 凡人以及万f ，使得v ( a ) + n 6 九y ( 6 ) + n f i 由于y 是一个满射，从而有 ce r ，使得万= v ( c ) 此时v ( a c ”) 凡v ( b c ”) 从而有b c “a z ，但a c ”盛a 乞 由此知，c ”( a ：o ：b ) ，但诺( a ：。：口) 因而，( a z ：以) c ( a ：；o ：6 ) ，从而有 ( 代：以) ( 彳乞：6 ) 注意到，c ( 彳三：6 ) ，但c 诺( 截：口) 因此， 叫( 代：口) c ( 代：b ) 反过来，设对于某个凡人，( 彳乞：口) c ( 戤：6 ) ，其中以，b r 此时有 c ( 爿乏：6 ) ，使得c 鞋( 彳三：以) 从而有b c ”a 乙，但口c ”诺a ：i o 于是有 y ( 6 ) + nv ( c ) = v ( b c ”) 气，但v ( a ) + i 1v ( c ) = v ( a c ”) 凡此时必有v ( a ) y ( 6 ) 由定义3 1 知， 硝i 旯人 是y 的一个n 丌方的m 一赋值系统证毕 第三节m 赋值系统与高层序的相容性 定理3 3 设y ：r 斗l 是一个m 一赋值， a 。i 力人 是y 的一个n 开方的m 赋值系统，且p 是r 的一个n 层序，贝, l j v 与p 相容，当且仅当对于每个名f ，a a 关 于p 是凸的 证明：先证必要性 设y 与p 相容且0 ，a pb a a ，其中旯a 由v 与p 相容的定义知， v ( a ) v ( b ) 由于 a 五l 五人 是y 的一个m 赋值系统，从而由命题1 3 1 知，( a 丑：口) ( a 五：b ) 由于a a ，l ，从而l ( a 五：口) ( a a ：b ) ，即b a 丑这表 明：a 五关于p 是凸的 设是 a 丑i 五人) 的典型m 赋值( ”典型m 赋值”的概念见文献 2 2 】) 根据文献【2 2 】中的定理3 ，y 与等价，因此，在序同构的意义 下， a ；i7 l j = a 。i 旯l ，因此，e - 俐 - ；t f ，a 关于p 是凸的 下证充分性，用反证法 设对于每个旯f ，a ，关于p 是凸的假设v 与p 不相容，则有口，b r ，使得 o pa p6 ，但矿0 ) v ( b ) 由于 a 2 | a 人 是y 的一个n 开方的m 赋值系统，从 而由定义3 1 知，对于某个凡人，( 气：口) c ( 气- b ) 于是有c r ，使得 c v ( a 如：b ) ，但c 仨( 氐：口) 由此有，c “( a 如：b ) ，但c “诺( a 如：乜) 从而有 b c “a 如，但口c 4 仨a 南注意到，a 如是加法群r 的一个子群从而一抛“a 如， 但一a c 4 仨a 厶由于p 是r 的r l 层序，从而c 4 pu p ，不妨设c “p 此时 0 pa c 4 ，b c 4 a 如由于a 关于p 是凸的，因此，a c 4 a 于是c ( 九：口) ， 矛盾! 因此，y 与p 相容证毕 推论设y ：r 寸l 是一个m 赋值， a l 旯人 是y 的一个m 一赋值系统，且p 是r 的一个( 1 层) 序，则y 与p 相容，当且仅当对于每个兄f ，a 。关于p 是凸 的 定理3 4 设y ：。l 是一个m 一赋值， a 五f 旯人 是y 的一个n 开方的m - 赋值系统，且p 是r 的一个n 层序，则y 与p 相容，当且仅当对于每个 五人，( ( pr 、三丑) + a 五) n - p = 矽，其中l a ：= 扛ri 口萑a z 证明：类似于引理2 5 ，可证明如下事实： ”设p 是r 的一个n 层序，且a 是加法群r 的一个子群，则a 关于p 是凸的， 当且仅当( ( p1 3l ) + a ) n p = 矽，其中l ：= k rl 口萑a ” 再根据定理3 3 和上面事实，可知定理成立 推论设y ：rj l 是一个m 一赋值， a 。i 五人 是v 的一个m 赋值系统，且p 是r 的一个( 1 层) 序，则v 与p 相容，当且仅当对于每个 旯人，( ( pr 、 ) + a ) r 、一p = 矽，其中l ：= a ra 萑彳z ) 9 致澍 致谢 在论文完成之际，首先要感谢的是我的导师曾广兴教授。工作几年后再进 校园学习已是一件十分值得庆幸的事，更为庆幸的是，我遇到了一位好导师。 我非常感谢南昌大学研究生院及数学系给了我继续学习的机会，也非常感谢曾 老师对我的教导和培养。 1 0 冯丽萍 2 0 1 0 年5 其 参考文献 参考文献 【1 b a r t o nsm t h er e a ls p e c t r u mo f h i g h e rl e v e lo f ac o m m u t a t i v er i n g j c a n j m a t h 1 9 9 2 ， 4 4 ( 3 ) ：4 4 6 - 4 6 2 【2 b e c k e re h e r e d i t a r i l yp y t h a g o r e a nf i e l d sa n do r d e r i n g so fh i g h e rl e v e l m i m p al e c t u r e n o t e s2 9 ，r i od ej a n e i r o ，1 9 7 8 【3 b e c k e rea n dg o n d a r dd o nr i n g sa d m i t t i n go r d e r i n g sa n d2 - p r i m a r yc h a i n so fo r d e r i n g so f h i g h e rl e v e l 【j 】m a n u s c r i p t am a t h 19 8 9 ，6 5 ：6 3 8 2 【4 】e n d l e ro v a l u a t i o nt h e o r y m n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l e g ，19 7 2 【5 】h a r r i s o ndi ca n dv i t u l l ima v - v a l u a t i o n so fac o m m u t a t i v er i n gi 【j j a l g e b r a1 9 8 9 ，1 2 6 ： 2 6 4 _ 2 9 2 【6 】l a mty t h et h e o r yo fo r d e r e df i e l d s 【m 】l e c t u r en o t e si np u r ea n da p p lm a t h5 5 n e w y o r k md e k k e r , 19 8 0 【7 l a mty o r d e r i n g sv a l u a t i o n sa n dq u a d r a t i cf o r m s m c b m s l e e t n o t e s s e t 5 2 ，a m s ， 1 9 8 3 【8 】l a r nty a ni n t r o d u c t i o nt or e a la l g e b r a 【j 】r o c k ym o u n t j o u r m a t h 1 9 8 4 ，1 4 ：7 6 7 81 4 【9 】l a n gs t h et h e o r yo f r e a lp l a c e s 【j 】a n n m a t h 1 9 5 3 ，5 7 ：3 7 8 3 9 1 【1 0 m a n i sm e v a l u a t i o n so nac o m m u t a t i v er i n g 【j 】