（基础数学专业论文）无穷小量子gln和相关的小qschur代数.pdf

摘要 摘要 d o r y n a k a n o 和p e t e r s 在【1 4 】中引进了无穷小s e h u r 代数的概念。这个概念 和正特征的域上的代数群的f r o b e n i u s 核楚紧密相关的。a n t o nc o x 在他的博士 论义【4 】中研究了无穷小s c h u r 代数的量子化。从他们的文章得到启发。本文从 量子包络代数的观点引进了小q - s c h u r 代数。在这篇论文中，我们首先利川d e c o n c i n i 和k a c 【3 】的一个结果给出无穷小量子g k ，牡( 礼) ，然后利h jb e i l i n s o n i c u s z t i g - m a c p h e r s o nl l 】的几何构造方法州两种不同的方式来实现( 佗) 。并且我们 得到了“( 礼) 的三组基。我们利朋“( n ) 来引进q - s e h u r 代数仉( mr ) 的一个子代数 u ( n ，r ) ，我们称血( n ，r ) 为小q - s c h u r 代数。然后我们构造了小q - s c h u r 代数的几组 基，给出小q - s c h u r 代数的维数公式，并研究无穷小铲s c h u r 代数和小q - s c h u r 代数 的联系。而且在本义中，我们得到了q - s e h u r 代数的一组新的单项式基，进而我们 利儿j 这组q - s c h u r 代数的新的单项式基证明了d o r y 和g i a q u i n t o 在【1 3 ，2 2 1 提出 的猜想。进一步，我们研究了小q - s c h u r 代数和无穷小q - s c h u r 代数间的关系。我 们还研究了无穷小量子群的小w e y l 模，而且我们将在本文中给出无穷小q - s c h u r 代数的不可约模的分类。d o r y 和g i a q u j n t o 在【1 3 ，2 3 】中提出了一个猜想。在本文 中，我们将说明这个猜想是错的。但是力l l 上一个条件后，我们能证明相应的结采。 关键宇：无穷小q - s c h u r 代数；无穷小量子群；小q - s c h u r 代数；q - s c h u r 代数；单 项式基。 b s 女r 世 i i i a b s t r a c t i n1 1 4 ，d o t y , n a k a n oa n dp e t e r sd e f i n ei n f i n i t e s i m a ls c h u ra l g e b r a s ，c l o s e l yr e l a t e d t ot h ef r o b e n i u sk e r n e lo fa l la l g e b r a i cg r o u po v e raf i e l do fp o s i t i v ec h a r a c t e r i s t i c a t h e o r yf o raq u a n t u mv e r s i o no ft h ei n f i n i t e s i m a ls c h u ra l g e b r ai ss t u d i e db ya n t o nc o x i i l1 4 1 m o t i v a t e db ya b o v ep a p e r s ，f r o mt h ev i e wo fq u a n t i z e de n v e l o p i n ga l g e b r a s ，w e i n t r o d u c et h el i t t l eq - s c h u ra l g e b r a 。i nt h i sp a p e r ，w ef i r s tf o l l o wd ec o n c i n ia n dk a c 【3 】t og i v eap r e s e n t a t i o nf o rt h ei n f i n i t e s i m a lq u a n t u mg k ，仙( n ) ，a n dt h e nr e c o n s t r u c t o rr e a l i z eu ( 礼) i nt w od i f f e r e n tw a y sf o l l o w i n gt h eb e i l i n s o n - l u s z t i g - m a c p h e r s o ng e o - m e t r i cs e t t i n ga p p r o a c h 【1 】t h u s ，w eo b t a i nt h r e en e wb a s e sf o r 乱( ) i nt h es e c o n d p a r to ft h ep a p e r ，w eu s e “( 礼) t oi n t r o d u c et h e i t t l eq - s c h u ra l g e b r a 札( n ，r ) a sas u b a l g e b r ao ft h eq - s c h u ra l g e b r au k ( 礼，r ) t h es y m m e t r ys t r u c t u r eo fal i t t l eq - s c h u r a l g e b r ai st h e ni n v e s t i g a t e dt h r o u g ht h ec o n s t r u c t i o no fv a r i o u sb a s e so fm o n o m i a l ， b l ma n dp b wt y p e sf o r “( a n dq - s c h u ra l g e b r a s w ea l s oo b t a i naf o r m u l af o r t h ed i m e n s i o no fu k ( n ，r ) a n dw es h a l ld e s c r i b et h er e l a t i o nb e t w e e nt h ei n f i n i t e s i m a l q - s c h u ra l g e b r ad e f i n e di n 4 1a n dt h el i t t l eq - s c h u ra l g e b r ai nt h i sp a p e r f u r t h e r m o r e ， w eo b t a i nan e wm o n o m i a lb a s i sl o tt h eq - s c h u ra l g e b r aa n dw es h a l lu s et h en e w m o n o m i a lb a s i st op r o v et h ec o n j e c t u r ei n 【t 3 ，2 2 1 f u r t h e r m o r e ，w es t u d yt h er e l a - t i o nb e t w e e nt h el i t t l ea n dt h ei n f i n i t e s i m a lq - s c h u ra l g e b r a a n d ，w es h a l ls t u d yt h e l i t t l ew e y lm o d u l ef o tt h el i t t l eq u a n t u mg r o u p w es h a l lg i v et h ec o m p l e t es e to ft h e i r r e d u c i b l em o d u l ef o rt h el i t t l eq - s c h u ra l g e b r a a n dw es h a l ls t u d yt h ec o n j e c t u r ei n i 1 3 ，2 3 1 t h i sc o n j e c t u r ei sn o tt r u e ，a n dw es h a l lp r o v et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l tb y a d d i n gac o n d i t i o n k e yw o r d s ：t h ei n f i n i t e s i m a lq - s c h u ra l g e b r a ；t h ei n f i n i t e s i m a lq u a n t u mg r o u p t h el i t t l eq - s c h u ra l g e b r a ；q - s e h u ra l g e b r a ；m o n o m i a lb a s i s 声明 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 染。据我所知，除义中已经注明引州的内容外，本论文不包含其他个人已经发表 或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作 了l ! j ；l 确说i ：! 玎并表示谢意。 作者签名：壁! 蔓日期 学位论文使用授权声明 2 卯六支2 口 本人完全了解华东师范大学有关保留、使儿j 学位论文的规定，学校有权保留学 位论义并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位 论义j i j 于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保 密的学位论义在解密后适川本规定。 学位论文作者签名：村； 导 日期：? 畔蔓2 口 致谢 致谢 首先，我要感谢我的导师王建磐教授，是他把我领入代数群和量子群这个领域 的。王老师是我们国内代数群和量子群方向的带头人，他的博学多才，上课时的 深入浅出，令我终身受益。 其次，我要感谢新南威尔士大学的杜杰教授，他是我们学校的紫江学者。我的 论文从命题到写作。都是在王建磐教授和杜杰教授的指导下完成的。 我还要特别感谢芮和兵教授，他对我的关心和鼓励使我终生难忘。我还要感谢 系里陈忐杰教授，时俭益教授，沈纯理教授，胡乃红教授，林磊副教授，胡善义副 教授，这几位老师都给我上过课他们对教学的严谨，对科学的奋发进取精神时 刻鼓舞着我，催我奋进。我还要感谢我们系的系丰任朱德明教授我当时考硕博 连读时，是米德明教授和陈态杰教授给我写的专家意见，我感谢他们。 最后，我要感谢我的父母，是他们的支持，才使得我能够安心的踏上求学之路。 ! 呈i 壹 1 13 l 言 一般线性群和对称群的表示理论是紧密联系在一起的。s e h u r 在他的1 9 0 1 年 的博士论文【4 5 j 中利，h 了一个函子( 现在被称为s c h u r 函子) 研究了一般线性群 g l ( n ，c ) 和对称群问的联系。s c h u r 利h j 这两者间的联系计算了一般线性群的不 可约特征标。在1 9 2 7 年他发表了他的关于g l ( n ，c ) 的经典文章【4 6 卜在这篇 义章里，他通过研究g l 。( c ) 和对称群6 ，在自然的他维g l ( n ，c ) 模v = c “ 的第r 个张量积y 甜上的对偶作刖重新得到他在1 9 0 1 年的博士论文的所有结 果。w e y l 在他的一本非常有影响的书“经典群”【4 9 】中宣扬了s c h u r 的1 9 2 7 年的 文章所采 j 的方法一双中心化性质。这个重要的双中心化性质现在被称为“s c h u r w e y l 对偶”。j a g r e e n 在f 3 2 中- 把s c h u r 的工作推j 到任意的无限域k 上。 g r e e n 证明了g l ( n ，k ) 的次数为r 的多项式表示范畴等价于某个有限维代数的对 偶范畴，这个有限维代数被他称为s c h u r 代数，记为s ( n ，r ) 。对任何的有限维代 数s 和s 中一个非零的幂等元e ，g r e e n 在f 3 2 ，6 2 1 中构造了一个相应的函子 f ：m o d ( s ) 一m o d ( e s e ) 。若n r ，s 取为s ( n ，r ) ，e 取为一个恰当的幂等元可以 使得e s ( n ，r ) e 和群代数尼6 ，同构，这时定义出来的函子，就是s c h u r 代数和对称 群的群代数间所谓的s c h u r 函子。类似的，在d i p p e r 和j a l n e s 的文章【8 l ，【9 】中定 义的q - s c h u r 代数和a 型的h e c k e 代数问也有一个s c h u r 函子， 1 4 j 中定义的无穷 小s c h u r 代数和七6 ，间也有相应的s c h u r 函子。 一般线性群作为代数群也可以朋更几何的方法来研究。从这个观点来看，我们 是把代数群作为一个群概形来研究的。这时，我们有对应的李代数和李代数的包 络代数。除此之外，还有代数群的坐标代数与之相联系，这时一个h o p f 代数，而 且它的表示理论与相应的代数群的表示理论是等价的。还有个非常重要的有限 维代数和群概形是相关的，即f r o b e n i u s 核和j a n t z e n 子群。它们在特征p 0 的 代数群的表示理论中起着非常重要的作州。 a 型h e c k e 代数可以看成是对称群的群代数的一个变形。这个变形依赖于一个 参数q ，而且q = 1 时的h e c k e 代数退化为对称群的群代数。a 型h e c k e 代数的经 典的模表示理论在1 6 j 和【7 】中被研究。d i p p e r 和j a m e s 在1 8 】，f 9 】中引进了s c h u r l ! ! ! 妻 2 代数的一个相应的变形，他们把它称为q - s c h u r 代数。他们定义的q - s c h u r 代数和 a 型h e c k e 代数问的联系是平行于s c h u r 代数和对称群间的联系的。 自然要问一般线性群是否有对应的变形。我们知道一般线性群的表示理论等价 1 ：对应的坐标代数的表示理论。这个对应的坐标代数可以进行恰当的变形，变形 后的h o p f 代数被称为量子线性群。一般线性群存在各种各样的变形，但是变形取 法的不同对我们进行研究的影响不大，因为它们对应的q - s c h u r 代数是同构的( 见 【2 6 】) 。尽管变形后，群的几何意义不再有了，但是关于一般线性群的经典结果可 以用纯代数的方法推广为量子线性群的情况( 见1 1 1 1 ，1 1 2 】， 4 4 1 ) 。 d i p p e r 和j a m e s 在【8 】，【9 】中引入了q - s c h u r 代数s g ( 他，r ) 。这些代数可以被刖 来研究有限一般线性群的非定义表示和同调理论。d o r y ，n a k a n oa n dg i a q u i n t o 在 【1 3 】中获得了q 扣) 上的q - s c h u r 代数s g ( 他，r ) 的p b w 基。b e l i n s o n ，l u s z t i g 和 m a c p h e r s o n 在1 1 j 中埘几何的方法得到了q - s c h u r 代数，而且他们把量子包络代数 u = u 。( g 【n ) 作为q ( 上的q - s c h u r 代数的“极限”来研究。他们得到了u 的一组 荦项式基，这组单项式基是_ h ju 的另外一组基来定义的，而这组基的每个元素是 川一些z 上的n n 的矩阵做指标的元素的无限和的形式。特别的，存在一个自 然的满射矗：u s 口( 竹，r ) 在1 2 8 l 中，杜杰和p a r s h a l l 应h j 了【1 l 的方法重新得到 了s 。( n ，r ) 的p b w 基而且他们获得了s 。( 扎，r ) 的一组单项式基。 在 1 4 l 中，d o r y ，n a k a n o 和p e t e r s 定义了无穷小s c h u r 代数这个概念和正 特征的域上的代数群的f r o b e n i u s 核是紧密相关的( a 1 型可见1 1 5 】) 。a n t o nc o ，x 在他的博士论文【4 1 中研究了无穷小s c h u r 代数的量子化。从他们的文章得到启发， 本文从量子包络代数的观点引进了小q - s c h u r 代数如下。注意代数同态矗实际上 在z 卜，移。1 中也是满的( 见1 2 2 1 ) 。我么固定域缸。假定是1 次本原单位根。 其中z 3 是一个奇数。l u s z t i g 引进了无穷小量子群u ( n ) 。实际上( rol 也可以 定义在u ( n ) 上。我们称婚o1 ) ( 锰( 礼) ) 为a 。一l 型的小q - s c h u r 代数，我们把它记 为u ( n ，r ) 。在这篇论文中，我们得到了小q - s c h u r 代数的一些基。井研究了无穷小 q - s c h u r 代数和小q - s c h u r 代数的联系。而且在本义中，我们得到了q - s c h u r 代数的 一组新的单项式基进而我们利_ h j 这组q - s c h u r 代数的新的单项式基证明了d o r y 在 1 3 ，2 2 1 提出的猜想。同时我们研究了小q - s c h u r 代数的“小w e y l 模”，并且绘 ! 呈! 室 3 出了小q - s c h u r 代数的不可约模的分类。 我们对这篇论文的结构描述如下，我们在2 中回忆无穷小量子群的定义和一 些基本的结果。在3 中我们引进对应u 。( g k ) 的无穷小量子群。在4 中我们回忆 量子群和g _ s e h u r 代数的b e i l i n s o n - l u s z t i g - m a c p h e r s o n 构造。在5 5 中我们引进代 数w 川这个代数w ，在定理51 0 和5 1 2 中我们能证明f 3 9 l 中定义的无穷小量子 群和在 1 1 中定义的无穷小量子群是一致的。而且我们在5 9 中获得了无穷小量子 群的一组单项式基。在6 中我们给出q - s c h u r 代数的一组新的单项式基。在定理 6 1 5 中，我们将证明【1 3 ，2 2 1 中的猜想。在7 中我们引进小q - s c h u r 代数s ( n ，r ) 并且给出8 ( 礼，r ) 的一些基。在定理7 1 1 中，我们可以看到通过加一些条件，我们 能从在定理6 7 中得到的q - s c h u r 代数的基得到小q - s c h u r 代数的单项式基。在8 中，我们描述小q - s c h u r 代数的维数公式。在9 中，我们给出小q - s c h u r 代数的 b o r e l 子代数s ，r ) o 的生成元和关系。在这节中我们也得到了s ( n ，r ) 2 0 的一些有 趣的基。在1 0 中，我们定义代数s ( n ，r ) ，并且得到了s ( n ，r ) 的生成元和关系以 及s ( n ，r ) 的一些基。在1 1 中，我们回忆a n t o nc o x 定义的无穷小q - s c h u r 代数， 并且我们定义了珏( n ，r ) h 。在1 2 中，我们研究无穷小q - s c h u r 代数和小q - s c h u r 代 数的关系。精确的说我们在这节里将证明s ( n ，r ) 竺8 ( n ，r ) 1 且t t ( r t ，r ) 型u ( n ，r ) 1 。 在1 3 中，我们研究无穷小q - s c h u r 代数s ( r t ，r ) l 的b o r e l 子代数。a n t o nc o x 【4 ， 5 3 j 中对于无穷小q - s c h u r 代数定义了无穷小s e h u r 函予。类似的，在1 4 中，我 们对于小q - s c h u r 代数也可以定义相应的无穷小q - s c h l l r 函子。在5 1 5 中。我们研 究o ( g ) 的小w e y l 模。我们将证明在限制权的条件下，( g ) 的小w e y l 模和魄( g ) 的w e y l 模是相等的。进而我们能给出【3 8 ，7 1 ( c ) ( d ) j 的另一个证明。在1 6 中，我 们将证明u p b 。) 在映射0 下的像是4 上的q - s c h u r 代数u ( r ) 。在1 7 中，我 们回忆d i p p e r 和d o n k i n 在【5 】中定义的量子线性群g 。( 札) 。以及d o n k i n 在【1 2 l 中 定义的无穷小量子群。在1 8 中，我们给出小q - s c h u r 代数u ( 竹，r ) 的不可约模的分 类。在【2 9 j 中，我们通过一些初等的方法直接证明了定理7 9 在佗= 2 时的结论。 在1 9 中，我们将给出在【2 9 j 中得到的关于g a u s s 二项式系数的一些结果。这是 在j 2 9 】中证明主要定理的关键。 ! ：墨! 壁丝玉塑型! 重i 登 4 2 + l u s z t i g 无穷小量- 7 群 在这节中，按照【3 9 j ，我们回忆关于小量子群的一些结果。 假定a = z h u 一1 】，其中”是不定元。设g 是不可分解正定的对称c a n t a a l 矩 阵( a i j ) l _ i j c 0 我们有 ； = 0 。 t 。我们将假定a i 的标号是 ( a ) 【2 】中的标号，对a 。，玩，西，昂型； 。d = 1ilij c t l ! ：生! 壁! 塑玉塑型! 量王登： 6 、( b ) 2 】中的标号与i n4 - l i 的合成，对d 。型。 设o r + 我们可以把5 唯一的写成a = c 4 5 i 4 - ( 0 i ) 的线性组合) ，其中 q2l ；然后我们设i = 9 ( 5 ) 和c a = q 由我们的标号钓取法，我们有c o t = 1 ，除非 。是岛的最高根，在这种情况时，我们有g ( 5 ) = 8 且c o = 2 。 。设h ( 5 ) 是a 的高( d 中5 h 的系数的和) ，然后设h ( a ) = 1 h ( 5 ) 。则 7 ( o ) 是 挫数( 且等于九( q ) ) ，除非5 是岛的最高根，这时 ( n ) = 2 9 ，2 。 我们固定域尼。设s 忌是2 次本原单位根，其中l 是大于等于3 的奇数。按 照【3 9 】，我们通过把( ) o 忌应_ h j 于暇( g l ，u j ( g ) ，暇( g ) 和c k ( g ) 分别定义 七代数咐( g ) ，u f ( g ) ，硼( g ) ，和巩( g ) 。( 我们通过把 特殊化到将七看成是 一个4 代数。) 设( g ) + ，( g ) 一，徊) o 和让7 ( g ) 分别是由元素b ( 1 i 礼) ； 以( 1 i n b 砰1 ( 1 isn ) ；和毋，只砰1 ( 1 i n ) 生成的时( g ) ， u f ( g ) ，泖( g ) 和u k ( o ) 的k 子代数。我1 f t t 意到元素k i 一1 ，g l 一1 ，j 畦一1 是u ，( g ) 中的中心元素，这是因为在七中我们有v 2 = 1 。因而u ，( g ) 中由这些元素生 成的左理想是一个双边理想；商掉这个双边理想后得到的七代数我们记为u ( g ) 。这 个七代数“( b ) 被称为g 的无穷小量子群。设缸( g ) + ，t ( 口) 一和u ( g ) 。分别是乱伯) + ， 7 ( g ) 一和( g ) o 在“( g ) 中的像。 固定中最长元素的一个简约表示s ，8 b 3 。我们可以由此给出正根集r + 的一个序： p l = 5 1 1 ，肪= s 1 0 q 2 ，函= s 1 8 i 5 1 v ( 2 i 2 ) 引进根向量如下【3 9 k 鳓。= 互。- 正一，且。既= 正。置一。f i 注意由【3 9 ，1 8 ( d ) 】我们有e k = 最对所有的i 。我们川月+ 上的全序( 2 1 2 ) 来定 义乘积i j 。r + 乒妒。我们川和( 2 1 2 ) 相反的咒+ 上的序定义乘积n 。r + e 妒“。我 们川同样的字母记玩，r ，等等在魄( g ) ，缸铀) ，缸( 口) 中的像。 ! ：墨! 竺! 堡歪窒尘重量登 7 定理2 2 ( 3 9 ，5 8 】) 代数u ( g ) + ，( g ) 一。( g ) o 和( g ) 分别有如下的七基 ( g ) + 钆，( g ) 一 t 上( g ) o 0 ( g ) f 砦 ( o 心2 1 ) o r + 世 ( o 兰口z 1 ) r + “ ( o 眦兰2 1 一1 ) i = l ( 0 墨a l 一1 ，0s ：sf 一1 ，0 m 2 1 一1 ) 定理2 3 ( 3 9 ，5 6 】) 札7 ( g ) 是由e ar ( o z r + ) ，托( 1 i 佗) 生成的满足如下定 义关系的k 代数： ( 0 1 ) 风风= 玩玩 如果( 口，啦) = 0 ，t 9 ( a ) ，h i ( 口) z ， ( 0 2 ) 鼠，e a = e 既玩，+ 既+ 口j ， 1 ( 0 3 ) e 玩，风+ a = 风+ o , e a ， ( 0 4 ) e 玩+ 甄= 耽既+ 一， ( n 5 ) 或= o ， ( 6 1 ) 既r = r 凡。如果( a ，o q ) = 0 ，i 1 。 设月= r ( p ) ，巩( n ) = c h ( 哟o k 。设u ( 竹) 是由噩，足，砰1 ( 1 i ) 生成 i ! ：璺kf ! 皇煎堡 9 的u d n ) 的詹子代数。设u ( n ) = ( 竹) ( k i 一1 ，磷一1 ) 。我们称u ( n ) 为g k 的无穷小量子群。设( 佗) + ，( n ) o ，( 哟一是钍( n ) 的分别由鼠( 1 is 他一1 ) ， 砰1 ，只( 1 l 扎一1 ) 生成的札7 ( 竹) 的七子代数。设让( 竹) + ，“( n ) 。和u ( t ) 一分别 ：琏“( n ) + ，让7 ( 礼) o 和钍( 礼) 一的像。 设l k = 2 0 ( e 1 ) ，r = 咒。( 最。) c “( n ) ，其中r + 而瓦。是在u 0 0 k ) 上 的辫子作川。我们把五0 ，f q ，等等在u k ( 扎) ，珏7 ( n ) ，乱( n ) 中的像记为同样的字母。 设k t = 酊。 尺；o 哪( 竹) ( i 【1 ，叫，0 。) 对于t n 和c z ，我们把【t 】和 ； 在后中的像分别记为陶c 和【c 。 引理3 2 ( 3 9 ，6 2 ( b ) 1 ) 对任何熬数m 0 ，我们有 k 。2 m + i 善( 峭m m 叫 t v _ f i n _ t ) + c ( t = 甄( 在嘶川 引理3 3 集合 l - i 剧 n 尬a0 t ，文 o ，1 ) ) 构成( 礼) o 的一组k 基。 i 正p f l ：我们记m 为s p a n 蠡硎氐矗 10 墨 f ，文 o ，1 ) ) 。由 3 9 ，2 3 ( g s ) l ， 我们知道对于t 0 和1 ，我们有如下的等式： 姒炉争，“卜卜w 慨。- ， 注意到如果t + 亡，f 且0 t ，t i c 。则0 t + 亡，一c c 且+ t 7 一c 0 。因为在0 ( n ) 中我们有( 硎一1 ) 2 = 聊。+ 1 2 k ：= 2 2 剐，而且， ( 删一1 ) 碰= 砰一脚= 1 一剧，所以，可由n 。凡+ 世i - l l 。m 甄 n 。凡+ 硝：张 成，其中o 虬，职，t ls2 1 ，m 剧，剧一1 ，l ，且m ，k 中至少有一个 是剧一1 ，对某个 。所以由( 3 4 2 ) 我们可以推出( 3 4 1 ) 中的集合是线性无关 的。所以( 3 4 1 ) 中的集合是( 哟的一组奄基。 蹬 一 印 。 呼 一 ! ：壁生塑鲎婆 1 l 因为对任何的。st 一1 ，凰# 属于由 宴矽i 。 一1 ) 张成的线 性空间因此结论成：、，：。 口 。设地( ) 是七上由且，毋和砰1 ( 1 i 竹一1 ，1s j n ) 生成的满足定义关 系3 1 ( a ) 一( g ) ( u 换成5 ) 的代数。设i = ( 剧，尉，- 刈一11 i 一1 ，l j n ) 是阮( n ) 的双边理想。与u ( n ) 的情况类似，我们可以定义代数讯( n ) 上的白同构 正( 1s i 墨n ) 和根向量甄，r ，其中a 肘。下面的定理在f 3 ，1 7 】中被给出。 定理3 5 元素h 砖矗舻i i 形( o 二，昵，( n i ，。，n ) z - ) 构 o e 只+ i = 1 o e 席+ 成巩( 礼) 的一组忌基。 推论3 6 存在代数同构 巩( 他) x ；t ( 哟 满足b 一蜀，r r ，玛一坞因此u ( n ) 是由 最，且，坞( 1st 竹一1 ，i j n ) 生成的具有如下定义关系的代数： ( n ) 刚= 1 ，剧= 0 ，趔= o ； ( b ) 甄玛= 玛尬，k k ；y 1 = 1 ； ( c ) k i 易= e ( ”易跹，其中e ( t ，) = i ，e + 1 ，i ) = - i 且e ( 丘i ) = 0 其他情况 ( d ) 甄毋= 1 “脚毋k 其中e ( i ，j ) 的定义与( b ) 相同； ( e ) 段易= 马肠，鼠易= 乃鼠如果i i j | 1 ； ( ，) 最毋一b 最：如t 鼍- - k i 广，其中磁= 凰蹦； ( 9 ) 霹马一( + , e - 1 ) 最马日+ 易霹= 0 如果l i 一引= 1 ； ( h ) 砰乃一( + e - 1 ) 只毋只+ 易砰= 0 如果i i j l = 1 5 i ：g k 煎煎堡 1 2 证明：我们州甜记k 代数讥( , 0 z 。由2 3 可知存在代数满同态，：“一u ( n ) 满 足且一最，只一皿，玛hg j 。由3 5 和3 4 我们有d i m 矿= d i m k u c n ) 。所 以，一定是一个同构。 注意3 6 实际上对于单边的情况都是对的。 口 4 ，u ( n ) 的b l m 实现和q - s 曲u r 代数 4 u ( n ) 和口一s c h u r 代数的b l m 实现 设三是z 上的所有对角元素属于n 的n n 矩阵。设垦= ( n ) 是由所有 的元素都在n 中的矩阵构成的量的子集。设口：三一n 是把一个矩阵映到它的所 有元素的和映射。则对于r n ，逆像h r ：= 盯- 1 ( r ) 是兰中所有的元素的和是r 的 扎x 礼阶矩阵。设毋j 量是满足条件口 ，l = 6 i ，而，f 的矩阵( a k ，1 ) ，其中l t ，j n 。 设以( n ，r ) 是在【1 ，1 2 】中被引进的4 代数。在【1 】中定义了它的一个正规化的 一4 基为 【州) e ，。特别的，如果a n “且d = d i a g ( a ) 一r ，则( 见 1 ，1 2 ，1 3 1 ) ff 【d 】【a 】： a 】如果 = 。( a ) 且 a l 【d 】： a 1 如果 = c 0 ( a ) ( 4 o 1 ) 10 其他情况； 10 其他情况， 其中r o ( a ) = ( f a i d ，i a n j ) 且c o ( a ) = ( 啦，l ，t a i ，。) 分别是a = ( a l , j ) 的行和序列和列和序列。我们记u ( n ，r ) = u - ( 吼r ) o q ( u ) 。 在【2 2 ，1 4 】中，代数u ( 佗，r ) 被证明了自然同构于q - s c h u r 代数。因此我们可 以称( n ，r ) 和u ( 礼，r ) 为q - s c h u r 代数。 设k 是代数( 没有单位元1 ) ，这个代数在【l ，4 l 中被定义。它有一组基为 【川) 。在【1 】中，b e i l i n s o m ，l u s z t i g 和m a c p h e r s o n 利h jq - s c h u r 代数的稳定性 质定义了一个q ) 【 7 ，u “1 】上的代数，然后通过把 7 特殊化到1 来定义k 中的乘 法“”。 按照【1 ，5 1 】中的定义，我们设k 是由所有的满足如下条件的q ( v ) 形式( 可能 无限) 线性组合a e 豆p 刎：对任意的x 舻集合 a 三i 以0 ，r o ( a ) = x 和 a 三i 风0 ，c o ( 匈= x ) 是有限集我们将把k 自然看成是贰的个子 集。我们定义瓞中两个元素a e 置几 川，b 莒佃【b 】的乘积为 b z a t 口 a 】- 【b 】 其中【州【引是k 中的乘积。这是k 中定义良好的一个元素。这样就定义了k 上 的一个结合代数的结构。这个代数由单位元：所有的【d 】的和，其中d 取遍三中 的对角矩阵。 1 3 l ! ：旦! 型塑里生丝塞堡塑! 二璺些坚垡墼1 4 我们记曼土为三中对角线的元素都是零的矩阵的全体。给定r n ，r 0 ， a 互+ 和j = ( j l ，j 2 ，j 。) z n ，我们定义 a ( j ，r ) = ”e m 阻+ d 1 u ( n , r ) ， d e s z o 州+ 跏” ( 4 0 2 ) a o ) = a ( j ，o 。) = u e 也 【a + d 】建 d 莒。 其中三o ( 或e o ) 分别是兰( 或三) 中对角矩阵的全体，d = d i a g ( d l ，如) 。 设v ( 佗) 是聪的由下面的集合张成的子空间 毋= a o ) ia 三+ ，j z ”) 下面的结采在f 1 ，5 5 ，5 7 i 中被证明。 定理4 1 ( 1 ) v ( n ) 是k 的一个子代数，而且易是它的一组q ( t j ) 基。它由 玩，h + 1 ( o ) ，易。+ 1 ，d o ) 和o ( j ) ( 对所有的l h 他和j z n ) 。 ( 2 ) 对任何正整数r ，q - s c h u r 代数u ( n ，r ) 可由下面元素生成： e h 。h + l ( 0 ，r ) ，e h + l ，h ( o ，r ) ，和o ( j ，r ) 对所有的1 h 佗和j z n 。 ，( 3 ) 存在一个代数同构u m ) ；v ) 满足 助he h h + 1 ( o ) ，k ，1 刚2 聍一o ( j ) ，n e h + l ，h ( o ) 和一个代数满同态0 ：u ( 扎) 一u ( n ，r ) 满足 协he h + 1 ( o ，r ) ，喇1 喇k - j 毋ho ( j ，r ) ，巩he h 扎h ( o ，r ) ( 4 ) ( r ( a ( j ) ) = a ( j ，r ) ，对任何a 兰士，j z “ 在本义中，我们将把u ( n ) 和v ( n ) 等同起来因而我们也把研和e n h + 1 ( 0 ) 等 等看成是一样的。 l ! ：旦( 堕笪里墨丝塞翌塑生璺生坚垡塑 1 5 设置+ ( 或苴一) 是置的由满足条件“啦j = 0 对所有的i j ( 或t j ) ”的矩阵 ( 。幻) 构成的子集。对a 巨，我们把a 写成：a = a 士+ a o = a + + a o + a 一，其中 a + 三+ ，a o e o ，a 一暑一且4 士三士。 对a 置+ 和j z “，我们】记 。 e 似。= n毋。和f ( a 一) _ 罐” 1 型s h j 茎l s j s h i n 对于乘积f ( + ) 和f ( 一) 的顺序我们定义如下。记 屿= 屿( a + ) = 巧野1 川、c 叫m ( a 一# ：- 2 j ) 巧等”) ( e 卜鼋札 曰y ( 吡- 1 ，) 、： 类似的，我们记 蟛= ( 巧冀“硝咄n 砖订) ( 巧斗。巧掣“) 磷一 则有e “+ = 螈慨一1 尬和f ( 一) = 喇瞒蟛。设a = ( m j ) 三。对 i j ，我们记：以j ( a ) = 。t ；t 到o s # 和乃，( a ) = ， l ；晓