（基础数学专业论文）一类多滞量的非线性偏差分方程的渐近稳定性.pdf

摘要 偏差分方程是含有两个或两个以上独立变量的差分方程，在用有限差分法求偏微 分方程近似解中，在研究分子轨道、数学物理方程等问题中常常会遇到这类方程，本 文主要研究一类多滞量的非线性偏差分方程。 全文共分三章。 第一章，主要对所研究的问题的背景、研究现状及本文所做的工作作了概括性的 描述。 第二章，给出了本文所涉及的基本概念及引理，为了正文的需要在引理2 中构造 了一个收敛序列，并给出了相应的证明。 第三章是本文的主要内容。首先研究了方程解的振动性和持久性，建立了振动性 和持久性的充分条件。其次，将方程的解与引理2 中所构造的收敛序列进行比较，利 用数学归纳法证明了解的一致稳定性，最后，利用上下确界的性质证明了解的吸引 性，从而获得偏差分方程解的一致渐近稳定性结果。 关键词：偏差分方程；持久性；振动性；吸引性：渐近稳定性 第i 页 a b s t r a c t a b s t r 孔t ：t h ep 眦i a ld i f f e r e i l c ee q u a t i o n s ( p d e s ) 盯ed i 脑e n c ee q u a t i o nt h a t i l w o l v ef i l n c t i o n so f t w 0o rm o r ei n d 印e n d e n tv a r i a b l 朗s 1 l c he q u a t i o n so c c u rf r e ( 1 u e n t l y i i lf h l d i n gt h ea p p r d m a t e8 0 l u t i o n so fp a n i a l 础e r e n t i a le q u a t i o 璐b y6 n i t ed i 珏b r e n c e m e t h o d s ，a n di n8 t u d y i n go nm o l e e u l a ro r b i t sa n dm a t h 哪a t i c 村p h y s i c 8e q u a t i o 瑚 e t c t h i sp 印e ra r ed i 们d e di n t ot h r e ec h a p t e r s h c h a p t e r1t h eh i s t 耐c a lb a c k g r 0 1 l n d ，p r 幅e n ts e a r c h i n gs i t u a t i o n0 ft h er e s e a r c l l p r o b l e ma n dt h em a j o rr 鹤e a r c l lw o r k0 ft h i 8p 印e ra f ed e s c r i b e d i nc h a p t e r2b a s i cd e f i n i t i o n s 锄dl 眦m at h i sp a p e ri n v o l v 鹤a r ei n t r o d u c e d h l o r d e rt op r d v e0 1 l rm a i nt h e o r e m ，ac 0 i l v 盯g e n ts e q u c e 盯e ta _ b l i s h e di nl e 蚴a2 觚dt h ec o r r 唧o n d i n gp r o o fi si m d e i nc l l 印t e r3t h em a i l lc o n t 朗to ft h i sp 印e r 盯ec o n t a i n e d f i r 8 t ，t h eo s c i l l a t i o n 锄dp e r i i l a n e n c eo ft h e l u t i o m0 fp a r t i a id i f f ：e r e n t i a je q u a t i o i l sa r es t u d i e da n dt h e c o r r e s p o n d i n g8 u 伍c i 朗tc o n d i t i o 瑚盯ee s t a b l i 8 h e d n e ) t ，t h es o l u t i o n so fp a r t i a ld i 彘r - e n c ee q u a t i o n sa h dt h ec o i l v e r g e n t q u e n c 鹤i nl e 咖a2 觚ec o m p a r e d b ym e 眦so f m a t h e m a t i c a li n d u c t i o nm e t h o d ，u i l i f o 珊s t a b i l i t yo ft h e l u t i o 瑚o fp a r t i a ld i 髓r e n t i a l e q u 8 t i o n 8a r eo b t a i n e d f i n 柚y ，t h ea t t r a c t i o no ft h e t h es o l u t i o i l s0 fp a r t i a ld i 任e r e n c e e q u a t i o n 8i sp r a v eb y1 1 8 i n gp r o p e r t i 鹤0 fs u p r e m 啪a n di n f i 加旧m ，t h l 舾t h eu n i f o r m 舾y n l p t o t i cs t a b i l i 锣“t h e8 0 l u t i o 璐o fp a r t i a ld i 髓r e n c ee q u a t i o na r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：p a n i a ld i 虢r e n c ee q u a t i o n ；p e r m a n e n c e ；0 8 c i u a t i o n ；a t t r 哦i o n ； a s y m p t o t i c8 t a b i l i t y m r ( 2 0 0 0 ) s u b j e c tc l a 鲫i 丑c a t i o n0 2 4 1 3 第i i 页 1 1 研究背景 第一章引言 泛函偏差分方程定性理论的研究是最近几年发展起来的一个新的学术领域对 于不带滞量的偏差分方程，最初的应用来自于偏微分方程的数值解，在那里用偏差 分方程的迭代特征，用稳定的迭代数值解去逼近微分方程的精确解，而这一问题已 有很久的历史了，然而真正从偏差分方程定性理论的角度去研究的工作却很少9 0 年代以前仅有1 9 6 4 年德国的w j t 8 c h 和l c l i t z ；1 9 7 0 年c t l o n g 及1 9 7 3 年 j r h 1 1 n d h a n h e n 等人给出了涉及到线性偏差分方程通解问题的几篇文章 1 9 9 4 - 1 9 9 5 年张炳根，郑穗生等人对偏差分方程中其中一个变量带滞后的情形从 振动性分析角度做了一些工作( 见【1 3 】) ，值得注意的是泛函偏差分方程是双指标变量 的差分方程，从实际问题看滞量引起的变化对于两个变量是平等的，在分析的基础上， 并结合常差分方程的研究方法张炳根，郑穗生等人对双指标均带滞后的情形在振动性 分析上做了进一步研究由于上述结果的出现迅速引起了国内外学者的广泛关注，使 该领域的研究得以迅速发展，并且正吸引着国内外越来越多的工作者投入该领域的探 索中去 随着数值偏微分分方程计算、随机过程、量子化学、原子物理、生命科学、计算 机科学、自动控制力、医学及科学技术的不断发展，人们需要处理越来越多的多变量 系统及多维信号例如：多维数学滤波器、多变量网络实现、多维数学图像综合处理 等诸多学科领域都涉及到大量的泛函偏差分方程的模型 例1 1 在1 9 8 2 年，李向平【4 】在量子化学中研究分子轨道的能级和载波时，用变 分法推得的轨道系数和能级满足偏差分方程 ( e 一口) a 。m + 卢( a 册。一a m 一1 ，。一a m ，。一1 一，n + l a m + 1 一) = o 其中m ，n 取整数，e 是能级，n 是库仑积分，p 是变换积分 例1 21 9 9 1 年p a l l lm e a k n 【5 】在研究材料的变钝和变形动力学时，建立了下列 偏差分方程 妒 + l j + 妒i j + l + 妒l l j + 妒甜一l = 4 妒u 其中妒玎是在格子 ，j 处谐波域的标量值，并且i ，j 是整数 例1 31 9 9 2 年，b e r t r me s h ia n dl e o n0 c h u a 等人在研究图象处理时引入了下 第1 页 1 2 研究现状及问题的提出 第一章引言 面的动力模型【6 】 ( 4 + a ) m n u m + 1 ，n 一，。+ l 一，n l = a w 。 其中， d 一是图象输出的强度比例，。是抗排列的波节圆的电压波形，a 是一个调节参 变量，m ，n 取整数值 上述例子都是一些泛函偏差分方程的模型，所有这些实际应用的模型都为泛函偏 差分方程提供了深刻的实际背景，所以对于泛函偏差分方程的研究不仅仅是数学理论 本身发展的需要，而且也是实际应用的需要另外，尤其是出时滞引起的差分方程及系 统的振动性、稳定性等性质的变化，深刻地揭示了时滞偏差分方程与相应的偏微分方 程的本质属性的差异，因此这些都将使得泛函偏差分方程的定性理论和动力性质成为 一个具有强大生命力的科学分支由此可见，对于泛函偏差分方程定性理论的研究已 是极其的迫切和重要，它不仅具有重要的理论意义，而且具有重要的实际应用价值然 而对于泛函偏差分方程把它作为一门单独的学科从定性理论方面进行研究，1 9 9 5 年前 在国内外一直是个空白 1 2 研究现状及问题的提出 一、关于振动性 目前在振动性的研究中主要用到的概念：设双指标序列 a 。) 是泛函偏差分方 程的解，若对充分大的正整数m ，佗有a 一 0 则称为最终正解；若a 。 + 1 ，f f 7 + l ( 伤) u 。，p m 。，q m 。( 增，( o ，) ) ； ( g ) ，：增r ，( ，q ) o 张炳根，郑穗生等人在分析的基础上，引入l a p l a c e 变换和墨变换得到这些非线性偏 差分方程的稳定性结果。尽管对偏差分方程稳定性的研究已有了上述结果，但对于偏 差分方程稳定性的研究还远远不够。 本文所研究的问题主要受文 1o 】 1 5 】的启发，文【1 0 中的作者研究了问题”a d i s c r e t ea n 村o g u eam o d e lo fh a e m a t o p o i i s ”，文f 1 5 j 的作者将其变形为 z m + 1 = n 1 + ( z m 一知z m 一戤p 对其稳定性进行了讨论，获得了方程( 1 1 ) 的稳定性结果 1 3 本文的工作 其中 本文研究一类多滞量非线性偏差分方程 。+ 。”- = 再百= 未南 ( t 2 ) i ) o ，6 ( o ，+ ) ，女，f ，p + = 1 ，2 ， l i ) 。一) 满足初始条件： z 。= 咖。 o ，对每个( m ，n ) ， q o = ( m ，佗) i m 一2 七，礼一2 f ) ( m ，住) i m l ，n o 首先给出了方程( 1 2 ) 的解的持久性及关于平衡点的振动性结果其次建立了一个收 敛数列，并将其与偏差分方程的解进行比较，运用数学归纳法，获季导了偏差分方程解的 一致稳定性结果，最后通过上确界性质证明了其解的吸引性，从而获得了其解的一致 渐近稳定性结果 显然，当n = 0 ， = 伽，f = o 并记z 。= z 。，则系统( 1 2 ) 变为系统( 1 1 ) 因此 系统( 1 2 ) 可视为( 1 1 ) 的推广形式 第4 页 2 1基本概念 第二章基本概念及引理 定义2 1 形如 z ，n + l ，n = ，( n + l ，n ，$ m + l ，n ，z m ，b l ，z m 一，n 1 ) ，m ，礼+( 2 1 ) 含有递推序列的等式，称为自治偏差分方程这里，+ = l ，2 ，) t 其中右端的函数，( u - ，“”，k ) 是连续函数 若方程( 2 1 ) 中右侧变为，( z 。卅l ，z 。，z 。+ 1 。，z 。一l ，z 。一k p f ，m ，n ) 则称方 程( 2 1 ) 为非自治偏差分方程 若，( u - ，u 2 ，让 ) 是线性函数，则偏差分方程为线性方程 例2 1 a m + l 。n + a m ，。+ 1 一a 们n + p a m 一 n 一，= o 例2 2 晰- ，n 一署n + ，= 瓦z ( 1 一) m + 1 ，n i z m ，n + 1 = 孑f f ；忑z ”m 1 1 3 ：m 札j 。 例2 3 a m + l 一十，n + i a 肋。+ 肼胍a m f ，n f q m 。a m i ，n l = o 其中，p ，口为常数 。) ， 。 为双指标实序列 显然，例2 1 为自治偏差分方程，例2 2 为非自治偏差分方程，例2 3 为线性方程 定义2 2 若虿满足平衡方程 虿= ，( - ，虿，- ) ， 则称为偏差分方程( 2 1 ) 的平衡解( 点) 定义2 3 若 z 。) 嚣。；o 是方程( 2 1 ) 的一个解，虿是偏差分方程( 2 1 ) 的平衡点， 并且存在m ，+ = 1 ，2 ，) ，当m m ，n 时有z 。 虿( z 一 虿) 则称 z 。 罴。：o 是方程( 2 1 ) 关于虿的最终正( 负) 解若 如。 嚣。：o 是方程( 2 1 ) 的一个 解，它关于平衡点虿既不是最终正解，也不是最终负解，则它是关于平衡解虿振动的 定义2 4 若 z 。) 嚣。：o 是方程( 2 1 ) 的一个解，且存在正常数c ，d 及 功，伽 + ，使当m m o ，n 礼0 时有c z d ，或一c o ，由不等式 z m 。一虿i o 由不等式 i z 。一虿i 正( m ，n ) q o ( 2 4 ) 得出估计 i z m 。一虿i s ，( m ，n ) ( m ，n ) i m 1 ，n 0 )( 2 5 ) 则称方程( 2 1 ) 是全局稳定的 若方程( 2 1 ) 既是全局稳定的又是全局吸引的，则方程( 2 1 ) 是全局渐近稳定的 i 是一个全局吸引子 2 2 引理及证明 引理2 1 【1 q 设有正数o ，巩，如，使得，f ( o ，+ o 。) 如果i z n i j l ，i f n i 如， 那么下列结论成立： 1 ) i 矿一矿i ( 0 + j 1 ) 9 一n p ； 2 ) i 矿一n p i ( o + 如) 一扩； 3 ) l ( z ) 一n 2 p i + j 1 ) ( n + 如) 一n 却； 4 ) ( z ) ( n + 6 1 ) 9 ( + 如) 9 其中，p + 引理2 2 设0 1 ，o 百 1 一d ，数列 m 。) 满足： ， im ( - ) = _ ( a ) ( 瓦) = 半【( ( m ( - ) + n ) 七十1 ) 佧+ 1 ) p 一1 垆； 【帆= 半 ( ( 一t ( - ) + o ) 膏+ 1 ) ，( 一2 ( 瓦) + o ) k + 1 尸一1 矽，n 3 如果o 面 ( 面葡秸而) 南 1 一o ，那么当n 1 时 ( 石) 严格递减，且 l i m 。一。 厶= m 存在，m 1 一o 证明：由 o - 矿两矗而) 南， 有 半【( 七十1 ) 却一1 垆 面 且 = 半【( ( m ( - ) + n ) 女+ 1 ) ，( + 1 ) 9 1 垆 = 半【( 西+ n ) 女+ l p ( 后+ 1 ) 一1 】- 2 p 警【( 七+ 1 ) 印一1 l 瓦印 面= “( 苞) 第7 页 2 2 引理及证明 第二章基本概念及引理 用数学归纳法可以证明：o “+ l ( 石) 厶( _ ) 1 一n ，n 1 从而l i k 。 厶( _ ) = m 存在，且0 m l 一引理证毕 第8 页 第三章主要结果及证明 考虑多滞量偏差分方程 z m + 1 n + c 口m ，l 6 干瓦= ：= = 二：i 菇m “ 0 ，l ，2 ，( 3 1 ) 其中： i ) n ，6 ( o ，+ o o ) ，k ，z ，p + = 1 ，2 ，) ； i i ) z 。，。) 满足初始条件：z 。= 咖。，对每个( m ，n ) ，= ( m ，n ) i 仇2 2 惫，礼一2 f ) ( m ，n ) i m 1 ，几o ) 在q o 上定义函数，利用归纳法通过方程( 3 1 ) ，我们容易得到一个双指标序列 z 幻) 在上有= ，且在1 0 上满足方程( 3 1 ) ，这里m = i ，i + 1 ， 事实上，我们可以重写方程( 3 1 ) 。m + 1 ，n 2 再瓦i 五面一舢m ，”o ，1 ，2 ， ( 3 。2 ) 利用( 3 2 ) 可以计算出知l ，z ，1 ，z ；z 2 1 ，z 1 2 i 一这样的双指标序列称为方程( 3 1 ) 的满 足初值条件i i ) 的解 又方程 ( 1 + n 净2 毒石 ( 3 3 ) 有唯一正解，故方程( 3 ，1 ) 有唯一的正平衡点虿，且虿就是方程( 3 3 ) 的解即 ( 1 十n ) - 2 矗丢， ( 3 4 ) 本文在条件i ) i i ) 成立的情况下，研究方程( 3 1 ) 的持久性、振动性和一致渐近稳定性， 获得了方程( 3 1 ) 的持久性和振动性结果，在，6 ，p 满足适当条件时获得了方程( 3 1 ) 的一致渐近稳定性结果 3 1 解的持久性 定理3 1 设 z 一) 为方程( 3 1 ) 的任意正解，且n 南，则 z m n 具有持久性 即存在正常数c ，d 及 ，伽，当m m o ，n n o 时e m 一2 七一1 1 ，n + 1 竹一f n 一2 f 1 ， 从而有 z m 一 一l 。一l 6 ，z m 一驰一l ，n 一2 k 南一曲= ( 南一。) a 即 ( 斋_ _ 一) 6 茹一 a 取c = ( 矗匆一o ) 6 ，d = 6 则g 伽+ 2 z 时，m 一七 m 一2 七 咖，佗一z n 一2 z 伽 z m k n f ， 虿，a 斗n 一2 。n 一盘 虿 从而( 3 7 ) 式的左边大于0 而右边小于0 ，矛盾! 定理3 2 证毕 3 3 解的渐近稳定性 趸理3 3 议 。n 为万栏( 3 1 ) 羽仕一止群，止瓤【0 l j 如呆 。 6 m i 州矸可岳可可 南+ 矸砜击币可】猫， 币_ 二_ 面币乞斋】毒，【：一1 】毒) 1 一n ，。( 1 一o ) ( 2 p 一1 ) + 4 p n l “n 1 那么 。 关于平衡点面是一致渐近稳定的 证明：当( 3 8 ) 成立时，显然有 。 击 【万丽】南+ 【万丽限 又由( 3 4 ) 及，( z ) = z 印+ 1 + $ 一丧关于z 严格递增性知， 0 _ 可面矗而】南“一o 记 弘删= 矗m + n 茹m 一1 + 】 由( 3 1 ) 式有 l _ ( 1 + n ) 邪耳瓦芒者笔i 面p 却一吐川稚一n 圳叫 ( 3 1 0 ) 对垤( o ，蔫) ，取o 则，| 6 = ( 蚕却+ 岳) 毒一虿 显然 o 6 e 熹 1 m 以下证明： 第1 1 页 8 9 3 3 解的渐近稳定性第三章主要结果及证明 对v ( r n ，n ) = ( m ，n ) i m 一2 七十l ，扎一2 z ( m ，n ) i 盯l 1 ，n o ， 只要 i z 一z i 6 ，( m ，n ) ， ( 3 1 1 ) 就有 i z m 。一虿i ，( m ，乱) ( m ，n ) ，m 1 ，扎o ， ( 3 1 2 ) 其中 当g = 1 时，( m ，扎) q 1 = ( m ，n ) i m 1 ，礼o ) ( m ，n ) l m 后+ 1 ，扎2 ， 当q 2 时，( m ，n ) = ( m ，n ) i m ( 口一1 ) 七十1 ，竹( 叮一1 ) ； ( m ，n ) i m g 七+ 1 ，礼讲) 这里 如( 虿) ) 为引理2 2 中的( a ) 所表达 现用数学归纳法证明( 3 ，1 2 ) 式成立 1 ) 当口= 1 时，即( m ，n ) q 1 ，则( m 一女一l ，n f ) ，( m 一2 女一1 ，n 一2 z ) ， 由( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 式及引理2 1 有 ， i 弘m 一( 1 + o ) 虿i ( 1 + 口) 虿 ( 虿+ 6 ) 印一i 却 就，( m ，n ) q 1 ，( 3 1 3 ) 当m = l ，v n + 即( m ，n ) n 1 时，利用( 3 1 1 ) 和( 3 1 3 ) 有 i z l 。一i i = i ! ，1 。一( 1 + n ) 面+ n ( 虿一a o 。+ 1 ) i ( 虿+ n ) ， ( 3 1 4 ) 当m = 2 ，v n + 时，( m ，n ) q l ，利用( 3 1 0 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 式有 i a ；缸一虿i = i 耽。一o z l 。卅l z l j 名+ o ( 面+ o 碡 ( i + o ) ， 依次类推有 对1 仃l 七，v n 十，( m ，n ) q 1 l 卫m 。一虿i = 1 3 h m o z m l ，。+ 1 一i i ( 虿+ 口弦= ( 舰( i ) + o ) e ( 3 1 5 ) 当m = 七十1 ，0 扎 z ，( m ，n ) q l 时， i a 。一虿i = l 掣m 。一n z m l ，。+ l 一面l 虿+ o ( 虿+ n ) e ( 尬( - ) + n 弦， 当m = 七+ 1 ，n f ，( m 一七一1 ，n 一；) ，( m 一2 七一1 ，n 一2 f ) q o ，利用( 3 ，1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 5 ) 及引理2 1 有 a 备胁一i is ( 1 + n ) 虿i j 尹一( a 仇一k 1 n l 立m 一2 一1 n 一甜) p i + n i 虿一z m l ，n + 1 第1 2 页 3 3 解的渐近稳定性第三章主要结果及证明 ( 1 + 旬_ | 护一( 牙+ 研印i + 口( 虿+ ( 虿+ 旬e 于是，当m = + 1 ，+ 时有 l z m 。一虿i ( 孑+ 口弦= ( 舰( 虿) + n ) e ( 3 1 6 ) 当m = 七+ 2 ，o n z ，( m ，n ) n 1 时，利用上式及( 3 1 3 ) 式有 i z m 。一虿i i j ，m 。( 1 + n ) 虿i + o i 虿一z m l ，。+ 1 f e 覃+ n ( 尬( 虿) + n ) ) ( 尬( 虿) + o ) ) 当m = 七十2 ，n l 时，( m 一七一1 ，扎一2 z ) q 1 ，( m 一2 七一1 ，佗一2 2 ) ，由方程 ( 3 1 ) ，利用引理2 1 ，引理2 2 及( 3 1 1 ) ( 3 1 6 ) ，有 l z m 一面i ( 1 + 口) 虿i j 乡一( a m 一女一l ，n l 赫。一啦一l 。一2 f ) p i + i z m 一1 ，。+ 1 一虿l ( 1 + 口) 虿i ( ( 矗( i ) + o 弦十i 尸陋+ 虿) p j 尹i + o ( 尬( i ) + n 弦 = ( 1 + o ) i ( m j ( - ) + o ) 6 + ( 尬( _ ) + o ) 虿+ 】 一 【( ( 尬( _ ) + o ) e + - ) p _ ( 6 + 动，- 1 + + ( - 2 ) p - 1 】十o ( ( - ) + n ) e ( 1 + o ) - 【( m ( 互) + o ) 5 + ( m ( i ) + o ) e 面+ 叫【( 尬( 虿) + o ) 船+ - ) 一1 旧+ _ ) p - 1 十( 尬( i ) + n ) 膀+ 面) - 2 ( 船+ _ ) p 一学+ + ( - 2 ) - 1 】+ 篮 = 垒【( m ( 虿) + 啪峦+ ( 尬( _ ) + n ) 腕+ 蚓 【( 尬( 面) + o ) 艋+ - ) - 1 ( 榀+ _ ) 一1 + ( 尬 ) + n ) 艋+ - ) ，- 2 ( 后季+ 面) 一2 + + ( - 2 ) 卑一1 j + 篮 旦 ( 尬( i ) + m + 1 ) ， + 1 ) l 1 】( _ 2 ) 却+ n e = ( 尬+ 。) s ( 3 1 7 ) 依次类推，当七 m 2 七，0 n z ，即( m ，n ) q l 时， l z m 。一i isi 聃。一( 1 + n ) 虿l + i i a 概一l ，州1i 虿+ 口( m j ( 面) + o ) ( 尬( 虿) + o ) ， 当七 m 2 ，n f ，即( m ，n ) q 2 ，( m 一七一1 ，n z ) q 1 ，( m 一2 七一1 ，n 一2 z ) 时，有 z m 。一i l ( 1 + o ) 互i j 尹一( z m 一膏一l ，n f a h 。一2 七一l ，n 一2 f ) p i + i z m l ，。+ l 虿i ( - ) + n ( + ) ( ( - ) + o ) 第1 3 页 3 3 解的渐近稳定性 第三章主要结果及证明 假设对( q 1 ) m g 七，o n z 有 i z 一i i ( 尬( - ) + n 弦； 对( 口一1 ) 七 m q ，n z 有 i 。一虿i ( ( 动+ 口) e 现在证明：当拈 m ( g + 1 ) ，n 2 有 l z m 一虿i ( + n 弦； 对q ms0 + 1 ) ，n f 有 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) l z m 一虿l ( 鸩+ 1 ( 动+ n ) s 事实上 当拈 m ( 口+ 1 ) 詹，o n z 即( m ，n ) q l ，利用( 3 9 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 8 ) 有 i a 靖m i l i 鼽肼一( 1 + o ) 虿i + 口防一z m l ，。+ l i 面+ n ( m ；( 面) 十口) ( 矗( - ) + n 弦 对拈 m 国+ 1 ) 七，n2f ，( m 一七一l ，n z ) ，( m 一2 七一l ，n 一2 f ) 一l 利用 ( 3 1 0 ) ( 3 1 9 ) 与( 3 1 7 ) 类似有 i z m z i ( 1 + 口) 虿i j 尹一( z m 一知一1 。一l z m 一曲一1 。一甜) p l + n i m l ，。+ l 一虿l ( 1 + d ) z | 孑印一( ( ( z ) + o ) e + _ ) p ( ( m ；一l ( 虿) + n 弦+ i ) 9 i + n ( ( 屿( _ ) 十n ) e 坞+ 1 + = ( 鸩+ l ( - ) + n ) 于是对任意的m 和o n z 有 i z 一一面i ( 矗( 虿) + n ) ， ( 3 2 0 ) 由( 3 1 5 ) ( 3 2 0 ) 式知，当( m ，n ) q 1 时，有 i z m n i l ( 尬( _ ) + n 弦，( 3 2 1 ) 即当( m ，n ) q 1 时( 3 1 2 ) 式成立 2 ) 假设当口r 时( 3 1 2 ) 式成立，即当( m ，n ) ，q l ，q ，时( 3 1 2 ) 式均成 立 下证当g = r + 1 时( 3 1 2 ) 式亦成立 第1 4 页 3 3 解的渐近稳定性第三章主要结果及证明 因为当( m ，n ) n ，时，( m 一詹一1 ，n f ) q ，一l ，( m 一2 后一l ，n 一2 f ) q ，一2 ，所 以与( 3 1 7 ) 类似，可得 i 执m 一( 1 + o ) 虿l ( 1 + 口) i | _ 却一( ( 尬一l ( - ) + 弦+ _ ) ) ( ( 肘；一2 ( _ ) + d 弦+ - ) i 坼( - ) ， ( 3 2 2 ) 利用上式及归纳假设， 当m = ( r + 1 ) 七+ 1 ，r 2 礼 ( r + 1 ) z ，即( m ，礼) n ，时，有 i z m 。一虿i i 剪一一( 1 + n ) i l + n | _ 一j 耳。一1 ，。+ l l ( 肘；( - ) + o ) 当m = ( r + 1 ) 七十1 ，n ( r + 1 ) z 时，有 ( m 一七一1 ，n f ) q ，( m 一2 七一1 ，住一2 z ) q ，一1 于是， i z m 一虿l ( 1 + ) 虿i i 却一( z m 一七一l 。n f z m 一2 k l ，n 一2 1 ) f + n i z m 一1 ，n + l 一虿i ( 1 + o ) 虿i j i 2 p 一( ( 4 ( - ) + o ) + 虿尸( ( 4 一l ( - ) + n 弦+ 司i + n ( 4 ( 面) + n ) ( 4 + l ( - ) + n ) 当m = ( r + 1 ) 知+ 2 ，“ 扎 p + 1 ) z ，即( m ，n ) q ，时，有 i z 一_ f s l 肌帅一( 1 + o ) 虿i + o i - 一。m 一1 ，。+ 1 i 尬( 一) + n ( 朋；( 虿) + o ) ( 坼( 虿) + o ) 当m = ( r + 1 ) 后+ 2 ，n 之p + 1 ) f ，即( m 一七一l ，n z ) q ，+ l ，( m 一2 南一l ，他一2 z ) 时，有 i a 一虿i ( 1 + ) 虿i j 尹一( z m 一知一l ，。一f z m 一2 七一l ，。一纠) p i + 口i a 耳。一1 。+ 1 一虿l ( 1 + o ) 虿l 牙印一( 肘；( 面) + d 扣+ 面) ( 4 一l ( 虿) + 口) e + 虿) p i + 口( 坼( _ ) + d 弦 坼+ l + n ( 坼( i ) + d ) ( m r + l ( _ ) + o ) e 依次类推，当m = ( r + 2 ) ，州 竹 ( r + 1 ) f ，即( m ，扎) 珥时，有 f 。一瑟i i 斩肌一( 1 + 口) i i + n 晦一薪。一l ，。+ l i 坼( _ ) + n ( 4 ( - ) + o ) ( 矗( 虿) + n ) 第1 5 页 3 3 解的渐近稳定性 第三章主要结果及证明 当m = p + 2 ) 七，n ( r + 1 ) z ，即( m 一七一l ，n 一：) q 件l ，( m 一2 七一1 ，n 一2 z ) n ， 时，有 l z m 。一虿i ( 1 + o ) i i 牙印一( z m k l ，。一l 。m 一驰一1 ，。一讲) l + n l z m 一1 ，。+ 1 一面l ( 1 + n ) 虿i j 尹一( ( 肘；( z ) + 弦+ _ ) p ( ( 珥一l ( z ) + e + - ) i + n ( 尬+ n 弦 坼+ l ( - ) + o ( 坼( 茗) + 弦 ( 尬+ l ( - ) + o ) 于是对( r + 1 ) 七十1 m p + 2 ) 七，“ 扎 ( r + 1 ) z ，i 卫m 。一面f ( 4 ( 互) + n ) 对( r + 1 ) 七+ 1 m p + 2 ) 七，n 2 ( r + 1 ) z ，l z 一i i ( j 】1 4 + l ( 面) + n 弦 依次类推，对v m + 及r ? 竹 ( r + 1 ) f ，有 l z 。一虿l ( 矗( - ) + d ) ， v m + 及n p + 1 ) ! ，有 l z 一茗i ( 坼+ ( _ ) + o e 由归纳法原理知( m ，n ) q r + l ，时( 3 1 2 ) 式成立，即当q = r + 1 时，( 3 1 2 ) 式仍成立 再根据引理2 2 知j z 。一虿l ，因此 z 。) 是一致稳定的 下证 z 。) 关于虿是吸引的 由0 z 舢 6 知 d 1 =l i ms t 妒 z m n ) ， 风= l i m 伽， z 。， 存在，且 o 风 - 如l 6 面两矗而) 南 + 矸而寿万习) 猎 1 + ( 酉两而了而) ”1 1 一。 令 聃n n = o m n + n z m l 。n + l ， 则 n 一。她。s 州) ，岛= 。艘。饥， ， 存在由定理3 2 知 z 。 关于虿振动，即z 一虿关于o 振动于是 l i m s t 妒( z 啪一- ) = n 1 一面= 卢l 0 m h 第1 6 页 3 3 解的渐近稳定性 第三章主要结果及证明 而 根据确界的性质，有 即 又由( 3 1 ) 式知 于是 记 则 ，( 。) 在( o l i m i n f ( 卫m 一面) = 岛一面= a l 0 m h l i m s t 巾( 可m n 一虿) = q 2 一虿= p ， m l i m i l l f ( 弘。一- ) = 屁一虿= a 。一虿= n 一虿+ n ( 一l ，n + l 一- ) + 面 q 2 一面= p 2 ( 1 一n ) 肛1 + 0 _ 岛一虿= a ( 1 一n ) a 1 + 0 - n 2 ( 1 一o ) p l + ( 1 + o ) i 岛s ( 1 一口) a l + ( 1 + o ) 面 a 。南，屁志。2 再硒屁而， ( 1 一o ) p 1 + ( 1 + 口) i s ( 1 一n ) a 1 + ( 1 + 口) 虿 筹筹 l + n 二 l + 卢产 m ) = 与笔喾，一( 0 ， 9 ( z ) = ( 1 一口) 一( 1 一o ) ( 2 p 一1 ) z 印一4 j 功劫一1 ，i ( 垆生蚓号将等型 g ( z ) ( 1 一) 一( 1 一口) ( 2 p 1 ) 。印一伽舻2o 6 ) 单调递增，结合( 3 2 3 ) 式有 ! ! 二! 丝! 堕 l + p p 因此 口- 2 风，。采旦。s u p z = 。，j 苎。m f z 。 = 面 故 z 。) 关于虿是一致渐近稳定的定理3 3 证毕 第1 7 页 ( 3 2 3 ) 南击 等等 第四章结束语 该文研究一类多滞量的非线性偏差分方程。偏差分方程定性理论的研究是近年 来发展起来的新的学术领域，对于线性偏差分方程的稳定性的研究已有不少结果，但 对于非线性偏差分的稳定性很少有文献研究，因此该文选题较新。该文用一个收敛序 列去控制解的范围，从一定意义上讲是从控制论的角度去研究偏差分方程的稳定性， 而这一方法在2 0 0 2 年前，在研究偏差分的稳定性中未见有文献研究，因此该文方法 较新。该文推广了文献的结果，所得结果具有一定的理论意义和应用价值，而该文的 更广泛应用需要进一步研究。 第1 8 页 致谢 本学位论文是在导师崔成日教授的精心指导下完成的。 在攻读硕士学位的三年时日j 里，崔教授给予了我学习上的悉心指导，工作中给予 大力支持崔教授不仅教会了我许多理论的知识，最重要的是崔教授在学术上的孜孜进 取、踏实的治学态度、正直善良的为人品质潜移默化地影响着我的人生观、世界观 我衷心感谢崔教授。 其次，我要感谢一直支持我学习的数学系领导和在各方面帮助过我的所有老师。 我还要向所有关心、帮助过我的同学们致谢! 正是有了你们的陪伴，我的研究生 生活更加丰富。 最后要感谢我的家人和朋友们对我求学的无限鼓励和全力支持! 第1 9 页 参考文献 【1 】c h e n gs 心s h e n ga n dz h a n gb i n 争g e n o u a h t 8 t i v et h e o r yo fp a r t i 址d i 如卜 e n c ee q u a t i o n ( i ) ：0 8 c m a t i o no fn o n l i n e a rp a r t i a ld i 骶r e n c ee ( 1 u a t i o n 【j 】仉衄蛔n g j m a t h ，1 9 9 4 ，2 5 ：2 7 9 - 2 8 8 f 2 】c h e n gs u i - s h e n g ，x i es e n 争1 ia n dz h a n gb i n 哥g e n o u a l i t a t i v et h e o r yo f p 村t i a ld i 圩e r e n c ee q u a t i o n ( i i ) ：0 s d l l a t i o nc r i t e r i af o rd i r e c tc o n t r o l 毋，8 t 咖i n 8 e v e r a l l r i a b l e s 【j 】7 i h m k a n gj m a t h ，1 9 9 5 ，2 6 ：6 5 - 7 9 【3 c h e n gs u i - s h e n g ，x i es e n 争ha 肛dz h a n gb i n 乎g e n 0 u a l i t a t i v et h e o r yo f p 钒i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n ( i v ) ：f b r c e d0 8 d l l a t i o no fh y p e r b o l i ct y p en o n l i n e a r p a r t i a ld i 脑e n c ee q l l a t i o n 【j 】m m l k a n gj m a t h ，1 9 9 5 ，2 6 ：6 5 7 9 【4 】l i ) ( i 8 n 争p i n g p a r t i a ld i 仃e r e n c ee q u a t i o i l 8u s e di nt h es t u d yo fm o k c u l a r o r b i t s 【j 】a c t a c h i m i c a ls i m c a ，1 9 8 2 ，4 0 ( 8 0 ：6 8 8 - 6 9 8 ) f 5 p a l l l m e a k i n m o d e l sf o rm a t e r i a lf a j l u r ea i l d d e f c 哪哦i o n 【j 】s d 衄c e ，1 9 9 1 ，2 5 2 ( 4 ) ：2 2 6 - 2 3 4 【6 ) b e r t r 锄es l l i 衄dl e 0 oc h u a r 腰i s t i v eg r i di m a g ef i l t 酣n g ：i n p u t 0 u t p u t 肌a l y s i 8 、，i at h ec n nn a m e w o r k j 】i e e eb 删c i r c l l i t ssy s t i ，1 9 9 2 ，3 9 ( 7 ) ：5 3 1 5 4 8 【7 】l i ny z h o n g ，c h e n gs u i