（基础数学专业论文）余剩余格及其应用.pdf

余剩余格及其应用 郑慕聪 摘要不同的多值逻辑系统对应着不同的逻辑代数系统早在1 9 5 8 年，著 名逻辑学家c c c h a n g 为解决l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统的完备性而引入了m v 一 代数的理论并成功地证明了l u k a s i e w i c z 系统的完备性 2 1 近半个世纪以来，各国学者对m v - 代数以及许多具有逻辑背景的代数系统 的研究已取得了丰硕的成果( 1 1 ， 3 - 1 4 ) 这些研究成果既促进了多值逻辑的发展， 又丰富了代数学的内容 基于三角模的剩余格理论是研究这些逻辑代数系统的重要工具( 1 ， 3 一【5 i 【7 ) 例如m v 一代数就是结构丰富的一种特殊剩余格( 【1 】， 7 】) 在m v 一代数原始定义 中就有( o ，o ，- - 9 ，v ，a ) 运算不少关于m v 代数的文献( 2 】， 7 1 ， 1 7 - 1 9 1 ) 还提到 e ：d e b = ( a _ ，这些文献中均把o ，e 作为( 圆，- + ，) 的组合运算纳入剩余格 理论的框架( 7 1 ， 1 7 - 1 9 1 ) 本文在偏序集上提出o ，e 作为独立算子构成一种新的 结构并称之为余伴随对( o ，e ) ，这里o ，0 满足条件 ( 蜀) o ：p p 斗p 是单调递增的 ( 岛)e ：p p 斗p 是关于第一变量不减的，关于第二变量不增的 ( c )c d ob 当且仅当c eb o ，a ，b ，c p 这时，可在格半群( 厶o ，o ) 上引入( o ，e ) 结构，而建立余剩余格理论事实上， 当l = 【o ，1 】时，o 就是三角余模这样，不仅( l ，o ，e ) 对偶于( l ，圆，_ ) ，而且 余伴随对( o ，e ) 可以看作( + ，- ) 在格上的自然推广本文提出的余剩余格理论为 我们研究多值逻辑提供了又一有力的工具，并为研究各种逻辑代数之间的联系奠 定了新的基础 本文内容共分五章；第一章是预备知识，给出了后面要用到的格论的初步知 识，介绍了剩余格理论和几类逻辑代数系统及其与剩余格的关系 第二章在偏序集上引入了余伴随对( o ，9 ) ，指出了常见的( + ，一) ，( ，) 伴随 算子可以在相应的偏序集上构成余伴随对，并讨论了余伴随对( o ，e ) 在有界格上 的性质在此基础上给出了余剩余格的概念，并研究了余剩余格的基本性质。指 出了余剩余格与b o o l e 代数的关系 第三章深入研究余剩余格的概念和性质，给出了余剩余格的特征定理，同 时也给出了正则余剩余格的特征定理，论证了正则余剩余格与正则剩余格的等价 性，讨论了特征定理条件的独立性问题本章最后基于余剩余格理论给出m v 一代 数和( 基础) 凡代数的等价刻画 第四章给出了余剩余格的理想，主理想，素理想与极大理想的概念，讨论了 其性质同时定义了余剩余格上的同态，引入了距离函数，给出了余剩余格上的 同余关系最后研究了余剩余格的嵌入性定理，指出满足预线性条件的余剩余格 均可同构于一簇全序余剩余格乘积代数的子代数 关键词：剩余格余伴随对余剩余格理想同态同余嵌入性 i i c o - r e s i d u a t e dl a t t i c e sw i t ha p p l i c a t i o n s z h e n gm u c o n g a b s t r a c t ：t h ed i f f e r e n tf u z z yl o g i cs y s t e m sa r ec o r r e s p o n d i n gt ot h ed i f f e r e n t l o g i ca l g e b r a s a sf a rb a c ka s1 9 5 8 ，t h ef a m o u sk l g i c i a nc c c h a n gh a di n t r o d u c e d t h et h e o r yo fm v - a l g e b r aa n ds u c c e e d e di np r o v i n gt h ec o m p l e t e n e s so fl u k a s i e w i c z f u z z yl o g i cs y s t e mf o rs o l v i n gt h ec o m p l e t e n e s so fl u k a s i e w i c zf u z z yl o g i cs y s t e m i nn e a r l yh a l fac e n t u r y , t h es c h o l a r so fv a r i o u sc o u n t r i e sh a v e a l r e a d ym a d e t h e r i c ha c h i e v e m e n tt ot h es t u d y i n go fm v - a l g e b r aa n dal o to fa l g e b r as y s t e m sw i t h l o g i cb a c k g r o u n d t h e s er e s e a r c hr e s u l t sh a v en o to n l yp r o m o t e dt h ed e v e l o p m e n t o ff u z z yl o g i c ，b u ta l s om a d et h ec o n t e n to fa l g e b r aa b u n d a n t t h e t h e o r yo fr e s i d u a t e dl a t t i c e si sa ni m p o r t a n tt o o lt os t u d yl o g i ca l g e b r a s f o re x a m p l em v - a l g e b r ai sas p e c i a lk i n do fr e s i d u a t e dl a t t i c ew i t ha b u n d a n t s t r u c t u r e s t h ep r i m i t i v ed e f i n i t i o no fm v a l g e b r ah a dag r o u pa m o u n t st os i x o p e r a t o r s ( o ，p ，v ， ) m a n yd o c u m e n t sa b o u tm v a l g e b r as t i l l r e f e r e dt o o p e r a t o re ：口eb = ( a - + 6 ) ，i nt h o s ed o c u m e n t s ，t h ec o u p l eo p e r a t o r so ，e w h i c h w e r er e g a r d e da 8a s s o c i a t i o no p e r a t o r sw e r ei n c l u d e di nt h ef r a m eo fr e s i d u a t e d l a t t i c et h e o r y t h i sp a p e rp r o p o s e st h a t ( o ，e ) a si n d e p e n d e n to p e r a t o r sf o r m so n e n e ws t r u c t u r ea n di sc a l l e dc o - a d j o i n tp a i r s w h i c hs a t i s f i e s ( 如) o ：p p _ 尸i s i n c r e a s i n g ( s o ) e ：p p 叫p i si n c r e a s i n ga b o u tt h ef i r s tv a r i a b l ea n dd e c r e a s i n g a b o u tt h es e c o n dv a r i a b l e ( c )c a o b i f fc e b a a ，b ，c p n o w ，t h es t r u t u r e ( ( 9 ，e ) c a nb ei n t r o d u c e di ns i m g r o u pl a t t i c e s ，a n dt h et h e o r yo f c o r e s i d u a t e dl a t t i c e si sp r o p o s e d i nf a c t ，oi st - c o n o r mi fl = 【o ，1 t h e r e f o r e ， ( l ，o ，e ) a n t i t h e s i si si n ( l ，o ，- ) a n dc o a d j o i n tp a i r s ( ( 9 ，e ) c a nb er e g a r d e da s t h en a t u r a lp o p u l a r i z a t i o no f ( + ，- ) o nl a t t i c e t h et h e o r yo fc o - r e s i d u a t e dl a t t i c e s w h i c hi sp u tf o r w a r di nt h ep a p e rh a so f f e r e da n o t h e rs t r o n gt o o lf o rs t u d y i n gf u z z y l o g i c ，a n dh a s s e t t l e dn e wf o u n d a t i o nf o rs t u d y i n gt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nv a r i o u s k i n d so fl o g i ca l g e b r a t h ec o n t e n to ft h i st e x ti sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r sa l t o g e t h e r ：c h a p t e r o n eh a sp r o v i d e dt h ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g eo ft h el a t t i c et h e o r yt h a tw i l lb eu s e d i i i b e h i n d i i n t r o d u c e dt h et h e o r i e so fr e s i d u a t e dl a t t i c e s ，s e v e r a lk i n d so fl o g i ca l g e b r a a n dt e l a t i o n sw i t hr e s i d u a t e dl a t t i c e s t h e c o n c e p to fc o - a d j o i n tp a i r si si n t r o d u c e di np a r t i c a l l yo r d e r s e ti nc h a p t e r t w o ，t h ef a c tt h a t ( + ，一) i ( ，+ ) c a nf o r mc o - a d j o i n tp a i r so ne a c hc o r r e s p o n d i n gp a r - t i c a l l yo r d e rs e ti sf o u n da n dt h ec h a r a c t e r i s t i co fc o - a d j o i n tp a i r si sd i s s c u s s e di n t h el a t t i c e s t h e nt h ec o n c e p to fc o - r e s i d u a t e dl a t t i c ei sp r o p o s e da n dt h ec h a r a c t e r i s t i co fi ti si n v e s t i g a t e da c c o r d i n g l y f i n a l l y , t h er e l a t i o nb e t w e e nb o o l ea l g b r a a n dc o - r e s i d u a t e dl a t t i c e si sp r o v i d e d t h ec o n c e p ta n dp r o p e r t i e so fc o - r e s i d u a t e dl a t t i c e sa r ef u r t h e ri n v e s t i g a t e d i nc h a p t e rt h r e e t h ec h a r a c t e r i s t i ct h e r o mo fc o - r e s i d u a t e dl a t t i c ei sp u tf o r w a r d t h a to fr e g u l a rc o - r e s i d u a t e dl a t t i c ei sa l s od o n e t h ee q u i v a l e n c ea b o u tr e g u l a r r e s i d u a t e dl a t t i c ea n dr e g u l a rc o - r e s i d u a t e dl a t t i c ei sp r o v e d f i n a l l y ，a ne q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o no fm v - a i g b r a a n d ( b a s i c ) r 0 一a l g b r a a r e p r o v i d e dr e s p e c t i v e l yb a s e d o nt h et h e o r yo fc o - r e s i d u a t e dl a t t i c e s t h ec o n c e p t so fi d e a l ，p r i n c i p a li d e a l ，p r i m ei d e a la n dm a x i m a li d e a la r ep r o - p o s e di nc h a p t e rf o u r ，a n dt h ep r o p e r t i e so ft h o s ea r es t u d i e d ah o m o m o r p h i s m ， ad i s t a n c ef u n c t i o na n dac o n g r u e n c eo nc o r e s i d u a t e dl a t t i c e sa r e 西y e na l s o t i m e m b e d d i n gt h e o r e mo fc o - r e s i d u a t e dl a t t i c e si s o b t a i n e dt h a tc o - r e s i d u a t e dl a t t i c e s s a t i s f y i n gp r e l i n e a r yc o n d i t i o nc a nb ei s o m o r p h i cw i t has u b d i r e c tp r o d u c to fc o r e s i d u a t e dl a t t i c e sc h a i n s k e y w o r d s ：r e s i d u a t e d l a t t i c e s c o - a d j o i n tp a i r s c o - r e s i d u a t e dl a t t i c e si d e a i h o m o m o r p h i s mc o n g r u e n c ee m b e d d i n g i v 学位论文独创性声明 v 7 2 8 5 9 4 本人声明所里交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名日期：逊：6 ： 前言 多值逻辑不仅与当今的一些前沿学科如模糊控制、人工智能、神经网络和 计算机科学等有着密切联系，而且多值逻辑理论本身的内容非常丰富众所周 知，不同的多值逻辑系统对应着不同的逻辑代数早在1 9 5 8 年，著名逻辑学家 c c c h a n g 为解决l u k a s i e w i c z 多值逻辑系统的完备性而引入了m v 一代数的理论 并成功地证明了l u k a s i e w i c z 系统的完备性对多值逻辑系统的研究离不开对其相 应的代数系统的研究，有关代数内容的研究是多值逻辑研究的重要方面不同的代 数系统有着不同的结构与运算，运算形式的多样化掩盖了各类代数的内在联系 例如c h a n g 在m v - 代数的原始定义中就用到一组共6 个运算( o ，o ，- 4 ，v ， ) ， 并提到e ：口eb = ( a - 4 , b ) 1 不同文献对m v - 代数的定义在外形有所不同基于 三角模的剩余格理论是研究这些逻辑代数系统的重要工具( 【1 ，【3 _ 【5 ，【7 ) m v 一代 数就是结构丰富的一种特殊剩余格( 1 】i 7 ) 各类文献中均把o ，e 作为( o ，呻，) 的组合运算纳入剩余格理论的框架事实上o ，e 完全可以作为独立算子形成内 在联系本文在偏序集上提出o ，e 作为独立算子构成一种新的结构一余伴随对 ( o ，e ) ，若o ，e 满足 ( )o ：p xp - + p 是单调递增的 ( & )e ：p p _ p 是关于第一变量不减的，关于第二变量不增的 ( c )c a ob 当且仅当c eb a ，a ，b ，c p 我们发现这样定义的( o ，e ) 有着普遍性和代表性例如冗上的( + ，一) ，兄+ 上的 ( x ，) 均构成余伴随对可见在格半群( l ，o ，0 ) 上引入( o ，e ) 结构并提出余剩 余格理论是有实际背景的这样，不仅( 三，o ，e ) 对偶于( 厶o ，_ ) ，而且( 厶o ，e ) 本身有着丰富的结构与运算 本文第一章介绍所需的预备知识，从第二章开始在偏序集上引入余伴随对， 讨论了余伴随对在有界格上的性质在此基础上提出了余剩余格理论第二、三、 四章分别研究余剩余格的性质、特征刻画及其内部结构 1 第一章预备知识 定义1 1 1 设p 是非空集，_ 是p 上的二元关系o ，y ，z p 如果 ( 1 ) o z ( 自反性) ( 2 )若。 y 且y 毛则z 。( 传递性) ( 3 )若z y 且y 一 z ，则z = y ( 反对称性) 则称 是p 上的偏序称( p ， ) 为偏序集设a p ，若对任意茹p 均有z - a ， 则称a 是p 的最大元若对任意o p 均有a 。，则称是p 的最小元若对 p 中任二元a 与b 必有o b 或b _ 。之一成立，则称( p ， ) 为全序集( 或链) 例1 1 1 ( 1 ) 设p ( x ) 是x 的幂集，则x 的子集按包含序构成偏序集 ) ，c ) 这里a b 当且仅当a c b ，a ，b p 僻) ( 2 ) 设 为实数集r 上的自然序，则( r ，) 是偏序集，且为全序集 以下我们把p 上的偏序 记为，有时我们会把o b 写成b n 定义1 1 2 设( l ，) 是偏序集，如果对l 中任意一对元。与b , s u p a 一) 与 i n f a ，6 ) 恒存在。则称( l ，) 为格记a vb = s u p a ，h ，a a b = i n f a ，6 ) 显然 v ，a 满足交换律和结合律如果格l 有最大元和最小元则称( l ，s ) 为有界格如 果对三的任意子集x ，s u p x 与i n f x 都存在，则称( l ，茎) 为完备格完备格l 有最大元s u p l ，记为1 ，完备格也有最小元8 u p o ，记为0 下面两个命题在后面的证明中会经常用到，尽管很简单，却很有用 命题1 1 3设( p ，) 是偏序集，a ，b p ，则下列条件等价： ( 1 ) a = b ( 2 )v t p i t a 当且仅当 ( 3 )v t p ，a 当且仅当 命题1 1 4设( l ，) 是格， ( 1 )b b ( 2 ) o v b = b t b b t a ，b l ，则下列条件等价 2 ( 3 ) a b = a ( 4 )v l ，若z a 则z b ( 5 ) v t l ，若bst 则o t 定义1 1 5设( l ，) 是格，如果对l 中任意元o ，b ，c 有 a a ( b vc ) = ( a b ) v ( a c )( 1 1 ) 口v ( b ac ) = 0 vb ) ( a vc )( 1 2 ) 则称( l ，) 为分配格 命题1 1 6设( l ，) 是格，如果( 1 1 ) 与( 1 2 ) 式之一成立则另一个也成 立，从而( l ，) 是分配格 例1 1 7 ( 1 ) ，) 与( 【o ，1 】，) 是分配格 ( 2 ) 伊僻) ，c ) 是分配格 定义1 1 8设( l ，) 是完备格，分别称以下的( 1 3 ) 与( 1 4 ) 式为第一无限 分配律与第二无限分配律； 口a ( v i 1 b i ) = y i ，( 口a6 i ) ( 1 3 ) av ( a i e ，氏) = 记r ( av 6 i ) ( 1 4 ) 定义1 1 ，9设( l ，s ) 是格，j 是三的非空子集如果 ( 1 ) 当a i 且b 口时有b i ( 2 ) 若口，b ，贝0o v b f 则称j 为工中的理想当，l 时称，为真理想真理想j 还满足条件 ( 3 )当a b i 时有a i 或b i 则称，为素理想 例1 1 1 0设( l ，) 是格，l 且a 不是最大元，则 、la = z ll 茹。) 是理想叫由a 生成的主理想 命题1 1 1 1设( h ，s ) 是满足第一无限分配律的完备格定义 b - c ；v t z hl za b c ) ，b ，c h ( 1 5 ) 3 、= a _ 0 ，a h ( 1 6 ) 则 a a b c 当且仅当a b - c ( 1 7 ) 、aa = 0 ，a 、o ( 1 8 ) 若asb 则、6 ，o ( 1 9 ) 1 n = _ 1 8 ( 1 1 0 ) 我们把具有满足以上性质的运算斗与一的完备格叫h e y t i n g 代数 定义1 1 1 2设( l ，0 ，1 ) 是有界分配格，0 为最小元，1 为最大元如果 三上有一自映射，：l l 满足条件 a v a ，= 1 ， 。a ，= 0 ( 1 1 1 ) 则称( l ，) 为b o o l e 代数 命题1 1 1 3 设( l ，) 是b o o l e 代数，则 ( 1 ) a l l = b ( 2 )a b 当且仅当b t 叽 ( 3 )( v i l a i ) i = a i ，口i ，( a i e ，o i ) ，= v i 1 0 4 1 我们把满足条件( 1 ) ( 2 ) 的自映射称为逆序对合对应( 3 ) 式称为d e m o r g a n 对偶 律 命题1 1 1 4设有界格( l ，v ，a ，0 ，1 ) 上有逆序对合对应，：l - - f fl ，则 d e m o r g a _ a 对偶律成立 1 2 剩余格与逻辑代数 1 剩余格 定义1 2 1设( l ，v ，a ，0 ，1 ) 是有界格，0 , 1 分别为最大元和最小元如果 l 还有两个二元运算圆与- + 满足条件 ( 1 )( l ，o ，1 ) 是以1 为单位元的交换半群 4 ( 2 )( o ，- - - 4 ) 是伴随对。即 o o b c 当且仅当a b _ c ，b ，c l ( 1 1 2 ) 则称为工为剩余格定义、口= a - 40 ，若一、= o 则称三为正则剩余格 例1 2 2( 1 ) 完备h e y t i n g 代数( 日，- ，、) 是剩余格 ( 2 ) b o o l e 代数是剩余格 2 m u 代数 m v _ 代数是著名逻辑学家c h a n gc c 于1 9 5 8 年为解决l u k a s i e w i c z 多值系 统的完备性而引入的一种代数体系c h a n gc c 给出的原始形式的m v 一代数是 一个( 2 ，2 ，1 ，0 ，0 ) 型代数( 厶o ，圆，0 ，1 ) 这里。与 是l 上的两个二元运算， 是l 上的一元运算，0 与1 是l 上的两个零元运算，即两个常元，要求各运算 满足2 2 个条件因为这2 2 个条件并不是相互独立的，可以简化为下面的 定义1 2 3 m ( 2 ，1 ，0 ) 型代数( l ，o ，0 ) 叫m v 一代数，如果以下条件成立： ( m 3 1 ) ( 厶o ，0 ) 是以0 为单位元的交换半群 ( m 3 2 ) ( 口) ，_ a ( m 3 3 ) a o 0 = 0 ( m 3 4 ) o6 ) ob = ( b o ) o a p e t r eh a j e k 在【3 中基于剩余格理论提出了b l 代数，并且在b l 一代数上 增加一个条件( o _ 0 ) - 0 = 便得到m v - 代数另一形式的定义王国俊教授在 文【8 中指出了 3 】中给出的m v - 代数的定义可以去掉一个条件，给出了下面的 定义1 2 4 ( 2 ，2 ，2 ，0 ，o ) 型代数( l ，v ，a ，o ，- ，o ，1 ) 叫m v 代数，如果以下 条件成立： ( m 4 1 )( l ，v ，a ，0 ，1 ) 是有界格 ( m 4 2 ) ( l ，圆，1 ) 是以1 为单位元的交换半群 ( m 4 3 ) ( 固，) 是工上的伴随对 ( m 4 4 ) a ab = a o ( a _ 6 ) ( m 4 5 ) ( 口- - 40 ) _ 0 = a 5 3 凰一代数 王国俊教授于1 9 9 7 年提出了一种新的命题演算的形式演绎系统l + ( 1 】p o ， 1 2 】) 风一代数是与f 相对应的逻辑代数( 【1 ，【6 】) 定义如下 定义1 2 5 设l 是( 、，v ，- ) 型代数，如果l 上有偏序使( l ，) 成为有 界分配格，且v 是关于序的上确界运算，是关于序的逆序对合对应，且 ( w 5 1 ) 、口、6 = b _ + a ( w 5 2 ) 1 口= 8 ，口 口= 1 ( w 5 3 ) b - cs ( a _ + b ) ( a _ c ) ( w 5 4 ) ao ( b - + c ) = b ( 。_ c ) ( w 5 5 ) 口- + ( b vc ) = ( a _ v ( o _ c ) ，口_ ( b c ) = ( 口b ) ( a _ c ) ( w 5 6 ) ( a - b ) v ( ( 。- b ) - - 4 ，a vb ) = 1 则称l 为风一代数若去掉最后一个条件( w 5 6 ) ，则称为基础凰一代数【1 l 】这 里1 是( l ，) 中的最大元 6 第二章余剩余格 2 1 余伴随对 定义2 1 1设p 是偏序集，称p 上的二元运算。与e 互为余伴随，若以 下条件成立； ( 蜀)o ：p p 寸p 是单调递增的 ( s 0 )e ：p p 斗p 是关于第一变量不减的，关于第二变量不增的 ( c )c s a ob 当且仅当c eb sa ，a ，b ，c p 这时( o ，e ) 叫做p 上的余伴随对 例2 1 2设r 是实数集，冬是自然序，则( r ，) 是偏序集 ( 1 ) 加法和减法( + ，一) 是r 上的余伴随对 ( 2 ) 乘法和除法( x ，) 是j 矿上的余伴随对 ( 3 ) 设n ob = a + 2 b ，a eb = a 一2 b ，则( o ，e ) 是冗上的余伴随对 注余伴随对的定义中不要求。是交换的，如例2 1 2 ( 3 ) ，但在下文余剩余格 的定义中要求。必须是交换的 命题2 1 3设( p ，s ) 是偏序集，则条件组( 蜀) ，( 岛) ，( c ) 等价于条件组 ( 蜀) ，( 岛) ，( ) ，这里 ( c )( a ob ) eb s ( a e o b ，a ，b p 证明设( ) ，( s o ) ，( c ) 都成立，则由( c ) 及a ob a ob 得( n ob ) e bs n ， 再由( c ) 及a e b a e b 得a ( a e b ) ( g b ，即( c ) 成立反过来，设( 蜀) ，( 岛) ，( c ) 都成立。若cs 口ob ，由( 岛) 得c e bs ( ao 6 ) e bsa ，若c e b n 由( ) 知 ( c eb ) ob o ob ，又由( ) 知c ( c eb ) ob 所以c a o 6 ，即( g ) 成立 命题2 1 4 i l , 别设( p ，s ) 是偏序集，g ：p p p 满足条件：ys ，( z ) 当且仅当g ( y ) z 则，保存在交，g 保存在并 推论2 1 5设( p 1s ) 是偏序集，( o ，e ) 是p 上的余伴随对，b p 则以 下条件成立： ( n )映射，：p xp p 保存在交，这里，( 。) = 。o b ，即 ( 姬，z ) ob = i r ( x i o 砷 7 ( 2 1 ) 当等号两边出现的交都存在时等式成立 ( s i )映射g ：p xp p 保存在并，这里9 ( y ) ；y e b ，即 ( v i ，翰) eb = v 讵，( q eb ) ( 2 2 ) 当等号两边出现的并都存在时等式成立 特别当p 是完备格时( 2 1 ) ，( 2 2 ) 都成立 证明设，( z ) = z ob ，g ( y ) = y eb ，这里b 是p 中任一固定元因为( o ，e ) 是余伴随对，由条件( c ) 知y zob 当且仅当y ebs x ，即y ，( z ) 当且仅当 g ( y ) z 所以由命题2 1 4 知推论2 1 5 成立 命题2 1 6 设l 是完备格 ( 1 )设映射o ：p xp p 满足条件( 死) 与) ，则有满足条件( 岛) 的 唯一映射e ：p p 尸使( g ) 成立，且 a e b = a x l ja z o6 ) ，a ，b l ( 2 3 ) ( 2 )设映射e ：p p p 满足条件( 岛) 与( s ) ，则有满足条件( 蜀) 的 唯一映射o ：p p p 使( e ) 成立，且 a o b = v x l | 石eb 冬) ，a ，b l ( 2 4 ) 证明( 1 ) 按照( 2 3 ) 定义e ，则由。满足m ) 知e 满足( s o ) 由( 2 3 ) 与 ( 丑) 知 ( a eb ) ob = a x o bi a 茹o6 ) 口 叉由a ob 口ob 及( 2 3 ) 知 ( a ob ) eb = a x li a o b zo6 ) 即( g ) 成立所以由命题2 1 3 知( g ) 成立最后，一旦e 满足( g ) ，它就只能被 。唯一的确定事实上，这时 n e b = a ( x ll a e bs z ) = 。lia z o 6 ) 即( 2 3 ) 成立所以e ：尸尸p 是唯一的 8 ( 2 ) 按照( 2 - 4 ) 定义o ，则由e 满足( 岛) 知。满足( 蜀) 由( 2 4 ) 与( s 。) 知 ( o ob ) eb = ( v 。f ze b a ) ) eb = v z eb z ob ) s 。 又由ae bsn e b 及( 2 4 ) 知 ( a o 6 ) ob = v x liz b o e6 ) 口 即( g ，) 成立所以由命题2 1 3 知( c ) 成立最后，一旦。满足( g ) ，它就只能被 e 唯一的确定事实上，这时 a o b = v z liz a o6 ) = v x li ze b ) 即( 2 4 ) 成立所以o ：px p _ p 是唯一的 例2 1 7 设l = f 0 ，l 】，则l 是完备格 ( 1 ) 若oob = ( 口4 - 6 ) a 1 ，o ，b o ，1 ，则由( 2 3 ) 定义e ，当。 o ，1 时 zo b = ( 。4 - b ) a 1 当且仅当z ( o b ) v0 ，即a eb = ( o b ) v0 ( 2 ) 若n 。6 = 1 ， g v b ， ：三；，由( z s ) 容易得到a o b = ： ( 。一6 ) i ：；： 定理2 1 8 设( 只，0 ，1 ) 是有界偏序集，( o ，e ) 是p 上的余伴随对。则对 任意口，b ，c p ，以下性质 ) 与( s ) 等价0 = 2 ，3 ，8 ) ： ( 死) 。卜+ b o z 保存在交；( 岛) y 卜b e y 是交一并运算 ( 码) a 00 = 。； ( 乃) 0 0 a = n ； ( 墨) 口ob = b 田口； ( s ) a = a e 0 ( s 4 ) a b 当且仅当a eb = 0 ( s 5 ) c eb a 当且仅当c e “b ( 孔)( n ob ) oc ao ( b oc ) ；( & )e ( 6 0c ) s ( a ec ) ob ( 乃)( a ob ) oc = a o ( b oc ) ；( s 7 )o e ( b oc ) = ( 口ec ) eb ( 霸)( o o6 ) oc = ( a oc ) o6 ；( & )( a eb ) oc = ( q ec ) e b 证明用( 正) 一( s ) 表示陬) 与( s ) 等价( i = 2 ，3 ，8 ) ( 乃) 一( 岛) ( 正) 辛( 岛) ：v ( b e 弘) s 。锌v i ，b o 玑z 舒，b z o 玑 b s 忙。鼽) 咎6 sz o ( a y i ) 甘( b ea y i ) z 9 ( 岛) ：争( 死) ：y ( 6 0 孔) ( 乃) ( 岛) 静v i ，y b oq 甘v i ，y e 翰冬b 甘v ( y e x i ) b 讳y o ( a x i ) b 铮y sb o ( x i ) ( 乃) 辛( & ) ：设( 羁) 成立，则由口c = a o0 得。e 0s ，又 v 叠p ，e o z o sz o 0 = 石 取。= n o0 得口口e0 ，即( 昆) 成立 ( 岛) 辛( 乃) ：设( 岛) 成立，则由a e 0 = o a 得a a o0 ，又 比只z o o 0 甘ze0sa 铮zso 取$ = 0 0 得口o 0s 口，即( 噩) 成立 ( 孔) 一( & ) ( 丑) = ( & ) ：设( 蜀) 成立。则由0 0b = b 得sb 营0 0 b 甘ae b 0 即( 岛) 成立 ( s 4 ) 兮( 孔) ：设( & ) 成立，则。sa 甘n e 口o 甘as 0 0a ，又 0 0 a s 0 0 a 静( 0 0 凸) eo o o o o ， 即( 丑) 成立 ( 死) 一( & ) ( 砧) 辛( 昆) ：设( 露) 成立，则由( c ) 及( 矗) 有 c e b 口甘cs a ob 甘c b o o 铮c o a b 即( s 5 ) 成立 ( ) 号( b ) ：设( s 5 ) 成立，则由( c ) 及( 最) 有v z l z 0b 甘z eb 1 7 , 铮z e 口b 甘z b o n 所以( 正) 成立 ( r ) 一( 风) ( 死) 辛( s 6 ) ：设( 矗) 成立，令( a ec ) eb 冬。，则由( g ) 得 ( d ec ) eb 茎z 甘o ec z ob 甘。( 写ob ) o c 1 0 再由( 矗) 可得z o ( b oc ) ，又，a xo ( b oc ) 铮e ( b oc ) z ，即( & ) 成 立 ( 风) = ( 磊) ：设( & ) 成立，令zs ( a ob ) oc 则由( c ) 得 zs ( a o 6 ) o c 争z oc ob ( x o c ) eb 再由( & ) 可得ze ( b oc ) a ，由( c ) 得。sa o ( b oc ) 所以( 露) 成立 ( t t ) 一( 岛) ( t t ) 号( 岛) ：设( d ) 成立，则由( g ) 及( 马) 得v x l ， 口e ( b e c ) sz 甘a 茹o ( 6 0 c ) 铮a s b ) e g c 甘a csx $ b 甘 e c ) e 6 z 即( 岛) 成立 ( 岛) 辛( t 7 ) ：设( 曲) 成立，则由( c ) 及( 岛) 得v x l ， zs ( a s h ) o c 甘正e c 口0 6 甘( = e c ) e b a z e ( b $ c ) 。x o o ( 6 0 c ) ( t s ) 一( s ) ( t 8 ) 辛( 岛) ：设( 噩) 成立，则v x l ， ( a eb ) ec z 甘口( xoc ) ob 争a 0 o b ) oc ( a e c ) eb 冬z 即( 岛) 成立 ( 昆) 寺( 孔) ：设( 岛) 成立，则由( c ) 及( 氐) 得v x l ， z ( o o oc 甘p ec ) eb g 甘( z e ec 口骨z 0 0c ) o 6 即( 马) 成立 2 2 余剩余格 定义2 2 1有界格( l ，v ，a ，0 ，1 ) 叫余剩余格，若 ( 1 ) l 上有余伴随对( o ，e ) ( 2 )( l ，o ，0 ) 是带单位元0 的交换半群 这时把l 记作( l ，v ，a ，o ，e ) 或( l ，o ，e ) 我们把全体余剩余格之类记作c r l 1 1 定理2 2 2设( l ，v ，a ，o ，e ) c r l ，则 ( 1 ) ) 与( ) 都成立( i = 0 ，1 ，8 ) ( 2 ) a vb a o b 证明( 1 ) 只需证) 与( s 1 ) 成立( i = 1 ，2 ，8 ) 由定义2 2 1 与推论2 1 5 知) 与( s 1 ) 成立由l 关于。构成交换半群，且0 为三的单位元知( 噩) 一( 孔) 成立由。满足交换律及) 知( 正) 也成立 ( 2 ) 由( 蜀) 知a ob o o0 = a ，a ob 三0 0b = b