《因式分解》单元教学设计.doc

单元教学设计 单元课题：因式分解设计者单位：天水市逸夫实验中学设计者姓名：水奎海因式分解单元教学设计【选用教材】北师大版义务教育教科书数学八年级下册【单元课题】因式分解【单元教材内容】义务教育教科书数学（八年级下册，北京师范大学出版社，2013年12月第1版）对“因式分解”进行了较大的调整。将“因式分解”安排在课本第四章。内容包括“因式分解”、“提公因式法”和“公式法”。共有三节内容：第一节因式分解，利用993-99例子突出与因数分解的类比，体会因式分解的必要性；并用几何图形的拼图解释因式分解。在了解因式分解的基础上，体会因式分解与整式乘法的关系。第二节“提公因式法”，它的依据是乘法分配律或者单项式乘多项式的法则，对于学生来说，难点是怎样在多项式的各项中发现公式。为此，教材安排学生从简单的多项式ab+ac中发现相同因式，由浅入深地体会如何寻找公因式，并以例题示范的形式学习用提公因式法进行因式分解及其注意事项，形成基本技能。第三节“公式法”，其关键是熟悉平方差公式、完全平方公式及其特点，学生初学时的一个难点是根据一个多项式的特点选择运用恰当的公式。为此，教材将这两个公式分别分开教学，然后综合运用学习，加深学生对公式特点的认识。【单元知识网络】因式分解的方法因式分解的应用因式分解的概念提公因式法公式法简便计算求代数式的值运用平方差公式运用完全平方公式【单元课标解读】数学课程标准（2011年版）在第28页要求：能用提公因式法，公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。【单元内容数学分析】1.因式分解是代数的重要内容，是在学习了“整式的运算”之后提出来的内容。因式分解与整式乘法运算有密切的联系，事实上，它是整式乘法的逆向运用。2.因式分解是整式的一种重要变形，它在恒等变形、代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用。3. 因式分解为学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。也是分式运算和化简、恒等变形、解高次方程的基础。4.学习“因式分解”对于与化归的能力、逆向思维的能力的培养会起到一定的作用，又在逆向思维品质培养形成等中有着较重要作用和教育价值。 5.作为今后学习的基础，它起到了承上启下的作用，因式分解及其变形的应用，几乎贯穿了整个中学数学乃至大学数学，学好因式分解对于代数知识的后续学习具有相当重要的意义。6. 通过探索因式分解的过程，比较和整式乘法的联系与区别，体会逆向思维方法和转化的数学思想。【单元教育价值分析】“因式分解”的教育价值主要体现在：1. 通过经历借助拼图解释整式变形的过程，体会几何直观的作用，有助于学生从几何角度认识并理解代数的含义。2. 通过设计因数分解的例子让学生体会因式分解的必要性，发展学生的类比思想，以及从特殊到一般地思考问题的方法。3通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程，体会数学知识之间的联系。4进一步发展学生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力。【单元学情分析】学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因数分解的引入，学生不会感到陌生，它为学习分解因式打下了良好基础由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的基础所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点学生在七年级下册第一章中已经学习过平方差公式及完全平方公式，将其逆用就是主体知识对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底等是又一个难点。【单元教学目标】总目标：经历将一个多项式表示成几个整式的乘积的过程，体会因式分解的意义，发展运算能力，能用提公因式法，公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。知识与技能：1. 了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。2. 会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）。3. 通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高处理数学问题的技能。过程与方法：1初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。2经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。3在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。4能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。 情态与价值：1积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。2感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。3在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。4敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求是的科学态度。【单元教学分析】1、引导学生多角度理解因式分解的意义（1）类比因数分解理解因式分解。通过类比数式993-99的分解过程，帮助学生理解a3-a的分解，在这一活动过程中学生可以进一步体会字母表示数，我们要给学生足够的时间进行观察、思考，引导学生运用类比的方法进行思考。（2）通过拼图活动帮助理解因式分解。通过拼图前后图形的面积的变化，可以形象地解释多项式x2+2x+1变形为（x+1)2,的合理性，以直观的形象的方式，促进学生对因式分解的理解。最好引导学生用自己的语言说明变形过程。因式分解与整式的乘法是互逆的恒等变形，因此在概念引入时应引导学生观察、对比因式分解与整式乘法两者的区别、联系，归纳因式分解与整式乘法的变形特点，真正理解因式分解变形的目的和意义，在这基础上再辨别一些似是而非的恒等变形，判断这些较明显恒等变形是不是因式分解变形，从而掌握因式分解的含义。让学生感受因数分解到因式分解的过程，感受类比的方法，经历几何图形解释因式分解的过程，发展几何直观。这对学生理解数学思想、掌握数学方法，提高思维能力方面都有其积极的作用，所以对教材的改编一定要慎重，我们不唯教材，但一定要吃透教材安排的意图和课标的要求的基础上进行科学的整合和调整。2、注重发展学生观察、归纳、概括能力。探索因式分解的方法，事实上是对整式乘法运算的再认识，我们要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生提供丰富的问题情境，留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法运算到因式分解的转换过程，并能用符号合理地表示出因式分解的方法。3、要坚持用整式乘法帮助学生理解因式分解、培养学生逆向思考问题的习惯。因式分解的概念学习和因式分解方法的学习中过程最要坚持运用因式分解和整式乘法具有互为逆过程的关系，更好地促进学生领会提公因式法与因式分解与乘法分配律或单项式乘多项式之间的联系，领会因式分解的公式法与乘法公式之间的联系，进一步巩固因式分解的结论是否正确可用整式乘法或乘法公式来检验，从而培养学生逆向思考问题的习惯。4、保证基本运算技能，避免复杂的题型训练运用提公式法和公式法因式分解是学习本章内容的一个重要目标。由于因式分解在后面学习分式、解一元二次方程等内容中，还可以继续巩固，因此教学中要依据教材要求，适当地分阶段进行必要的训练，使学生在具备基本运算技能的同时，能够明白每一步的算理。本章只要求在有理数范围内因式分解，教学要遵循课标和教材的要求。教学中要避免过于烦琐的运算，也不要过分追求题目的数量和难度。因式分解在分式和一元二次方程的学习中特别重要，学不好因式分解分式的运算几乎寸步难行，因此，在教学中总想一步到位，学深、学广，到后继课程运用时得心应手，这样就无形提高了难度，结果会适得其反，导致有些同学使去兴趣，或者跟不上。其实后继课程不仅是因式分解的一个应用过程，更是一个技能熟练和提高过程，一定要循序见进。【单元重难点分析】通过本单元的学习，要基本掌握因式分解的常用方法，增强灵活运用因式分解的方法对多项式进行因式分解的能力，进一步拓宽提升数学运算的本领。教学重点： 能准确、熟练、灵活地运用因式分解的基本方法对多项式进行因式分解。教学难点： 分解要彻底、灵活运用因式分解解决问题【单元评价分析】1、关注对因式分解理解的评价探索因式分解的方法，注重学生对因式分解的理解，事实上是对整式乘法的再认识，经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程，学生不仅能够理解、归纳因式分解变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。2、关注对因式分解技能的评价运用提公因式法和公式法分解因式是本单元学习内容的一个重要目标，使学生在具备基本的运算技能的同时，能够明白每一步的算理。教学中要避免过多繁琐的运算，不追求做题数量和难度（如直接用公式不超过两次，指数都为正整数等）。标准中要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据，给出理由或举出反例。能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理，落笔有据；能运用数学语言，合乎逻辑的进行讨论与质疑。”3、关注发展学生分析问题解决问题能力的评价。在因式分解这一单元的教学中，我们要有意识的培养学生的分析问题解决问题的推理能力，在用符号表示因式分解的公式之前，应引导学生对整式乘法与因式分解互逆变形的规律进行分析、归纳与概括，发现其中的数量关系，并将得到的因式分解的这个关系用符号一般性的表示出来。应鼓励学生通过合情推理进行大胆推测，并经历利用符号间的运算验证猜测或解决问题这一重要的数学探索过程。4、关注学生对数学问题逆向思维能力的评价有意识的培养学生思考问题的习惯，通过对整式乘法与因式分解之间的互逆关系的探究过程培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，引导学生在活动中运用类比的思想进行思考，并自觉地用语言说明变形过程。对学生能想到的有效方法都应及时予以充分肯定。【单元教学规划】本单元教学时间约6课时：1. 因式分解 1课时2. 提公因式法 2课时3. 公式法 2课时回顾与思考 1课时【课时教学设计】第一课时课题 因式分解总体说明因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义本节是因式分解的第1小节，主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想类比的思想，分解的思想，逆向思考的方法，并体会数学思维之间的整体联系，最终建立起来因式分解的概念。学情分析学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点目标分析学生在小学已经有过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：运用类比思想，逆向运算方法等。基于以上分析，确立本课时的教学目标如下：知识与技能1.让学生了解因式分解的意义，建立因式分解的概念 2.明确因式分解与整式乘法的相互关系互逆关系（即相反变形），并唤醒学生主动运用这种关系寻求因式分解的方法过程与方法 1.通过对因式分解与整式乘法的观察与比较，让学生体验代数式的变形与化归的数学方法，经历综合运用知识分析问题的过程。 2.感悟解决实际问题的思路，体验解决问题的策略的多样性，有意识的渗透转化的数学思想，初步发展综合实践能力。情感与态度： 培养学生接受事物之间矛盾的对立统一性观点。养成独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。重点：因式分解的概念难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法教学过程设计本节课设计了六个教学流程：情景导入，师生合作交流与自主探究（数形式），引出概念（确认概念属性），类比练习，巩固练习，小结教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图时间分配情景导入用简便算法计算73695+7365-2.67132+252.67+72.67此时学生对因式分解还相当陌生。教师引导观察实例问题并由浅入深逐步体会逆用分配率的意义学生对用简便方法进行计算应该比较熟悉，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，尽快计算出准确结果。旨在设计问题情景，引入新课。引导学生用简便方法计算逆用分配率，类比过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解概念的建立搭建一个理解上的平台5师生合作交流与自主探究(1)993-99能被99整除吗？(2)993-99能被100整除吗？（3）993-99还能被哪些正整数整除？(4)议一议：用a表示任意一个大于1的整数，则：(4)P92.做一做分析共同属性：解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。设问：“将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?”在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，从知识性的问题过度到思考性的问题。经历从分解因数到分解因式的类比过程。这一环节的设置对学生理解后面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。引发学生联想到用字母表示数的方法，得出，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是对学生思维能力水平的一次提高，同时很自然的从分解因数过度到分解因式。10引出概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式讲解概念中的关键点探究概念本质属性。初步树立起学生对因式分解概念的直观认识5类比练习1.计算：（1）3x(x-1)=；（2）m(a+b-1)= ；（3）（m+4）(m-4)= ；（4）（y-3）2=；2.填空：（1）3x2-3x=；（2）ma+mb-m= （3）m2-16=（4）y2-6y+9=课件展示内容：P93.做一做引导学生思考互逆变形，区分整式乘法与因式分解独立完成并准备陈述答案，体会互逆变形，加深对因式分解的理解通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的运算，进一步让学生体会什么是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力10巩固练习3.看谁连得准 x2-y2. (x+3)29-25x2 y(x -y)x2+6x+9(3-5x)(3+x)xy-y2 (x+y)(x-y)4.下列哪些变形是因式分解，为什么？（1）（a+3）(a -3)= a 2-9(2)m2-4=(m+2)(m-2)(3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1（4）2R+2r=2（R+r）课件展示内容：P93.随堂练习指导学生完成训练并巡回辅导先独立完成再听讲解，之后互相纠正补充通过学生独立思考和讨论探究，从具体实例中进一步理解概念，抽象出因式分解概念的本质属性，加深对新概念的掌握10内容小结（1）你能说说什么是分解因式吗？（2）应该怎样认识“因式分解”？注意：1.分解的对象必须是多项式.2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.3.要分解到不能分解为止.听学生发言之后归纳总结，课件展示出要点，说明知识体系回忆本节课所学内容，在老师引导下积极发言，明确因式分解知识体系回顾、总结、提高对知识掌握的系统性4课后作业课本第94页习题4.1了解掌握学习情况（课后）学生完成作业(课后)巩固对所学内容，其中第3、5两题的设计意图是让学生体会用因式分解或因数分解解决问题的简便性1板书设计第四章 因式分解4.1因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式因式分解与整式乘法是互逆变形注意：1.分解的对象必须是多项式2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式3.要分解到不能再分解为止教学设计反思关于如何上好数学概念课一直是数学教学中热点讨论的话题，也是难题，而真正有效的数学概念课教学是要让学生从根本上理解概念的意义，并学会灵活运用。本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透，螺旋式类比方法，在概念引入时，从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。教后记录与反思第二课时课题 提公因式法（1）略第三课时课题 提公因式法（2）略第四课时课题 公式法（1）略第五课时课题 公式法（2）略第六课时课题 回顾与思考学情分析学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.学生活动经验基础： 在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力 目标分析在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：1知识与技能：（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； （2）提高学生因式分解的基本运算技能；（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法2过程与方法：（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力3情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识教学过程设计本节课设计了七个教学环节：知识回顾总结归纳初步运用总结归纳能力提升灵活运用加强巩固 第一环节 知识回顾活动内容：1、举例说明什么是分解因式。 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ 3、分解因式常用的方法有哪些？ 4、试着画出本章的知识结构图。整式乘法分解因式方法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法提公因式法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做分解因式运用公式法运用完全平方公式a22ab+b2=(ab)2运用平方差公式a2-b2=(a+b)(a+b)如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法互逆设计目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来学法指导：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强第二环节 总结归纳（分五个知识点进行归纳训练）活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。A.B.C.D.设计目的：加深学生对因式分解概念的认识学法指导：引导学生说出相应的理由活动内容：知识点二：利用提公因式法分解因式例2.把下列各式分解因式 知识点三：利用公式法分解因式 例3.把下列各式分解因式 设计目的：（1）分类讲解分解因式的两种基本方法，加强学生对因式分解的基本技能训练；（2）增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算学法指导：前五题学生完成得较好，但最后一题，有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解。第三环节 初步运用活动内容：练一练：把下列各式分解因式（1）（a2+4）216a2 （2） 设计目的： 连续两次使用公式法进行分解因式。当多项式形式上是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。注意事项：区分两个公式法分解因式。第四环节 总结归纳知识点四：综合运用多种方法分解因式例4.把下列各式分解因式 设计目的： 考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力，同时归纳分解因式的一般步骤和方法。学法指导：先观察是否有公因式，若有公因式提出后是否具有平方差公式或完全平方公式特征，若有使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。知识点五：运用分解因式进行计算和求值例5.利用分解因式计算： 例9图 （2）101+（2）100 例6已知 ，求 的值。 第五环节 能力提升知识点六：分解因式的实际应用例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的七个小圆 （1）用代数式表示剩余部分的面积； （2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积设计目的：加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问题的能力学法指导：将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节，但对于学生是一个有益的尝试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；再将数据代入第六环节 灵活运用活动内容：练一练1.正方形的周长比正方形的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？3.当k取何值时，100x2-kxy+49y2是一个完全平方式？活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求第1题主要考察学生对因式分解的实际应用能力，需要将实际问题转化为数学算式，再利用因式分解的特性求解；第2、3题主要考察学生对完全平方式的掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；但第三题有两种情况需要