（基础数学专业论文）owa算子及在群决策中的应用研究.pdf

摘要 摘要 有序加权平均算子( o w a ) 【1 】自美国学者y a g e r 提出以来己广泛应用于决策分析、专 家系统、人工神经网络、模糊系统等方面。它提供了广泛的包括极大、极小和算术平均 算子，并可以应用到各种信息集成问题中。群决策问题是人类社会活动的产物，有其悠 久的历史。多年来，有关群决策问题的研究已引起人们的极大关注，并取得了丰硕的成 果【4 1 。然而，群决策无论在决策方法的研究还是决策方法的应用方面目前都还很不成熟， 研究的进展还远远满足不了实践的需要，尤其是有关决策方法的研究还有待于进步改 善。那么，开展对群决策和由群决策涉及到的系列问题的研究，就具有重要的理论价 值和现实意义。本文对o w a 算子的性质以及已有的偏好信息的不同形式进行了归纳和 拓展；将o w a 算子应用到群决策中，针对权重和偏好信息为确定值的形式进行了研究， 重点研究了当偏好信息为语言形式的群决策方法；最后给出基于等比o w a 算子( o w a 算子的导出算子) 对偏好信息为混合形式的群决策方法。本文分别引入三个例子说明了 o w a 算子在群决策中应用的实用性和有效性。 关键词o w a 算子等比0 w a 算子偏好信息群决策语言标度 a b s t r a c t a b s t r a c t s i n c et h eo r d e r e dw e i g h t e da v e r a g i n g ( o w a ) o p e r a t o rp r o p o s e db ya m e r i c a ns c h o l a r y a g e r , i th a sb e e nw i d e l yu s e di nd e c i s i o na n a l y s i s ，e x p e r ts y s t e m s ，a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ， f u z z ys y s t e m sa n ds 0o n i tc a nb ea p p l i e dt ot h ei n f o r m a t i o na g g r e g a t i o np r o b l e m sb e c a u s ei t p r o v i d e sav a r i e t yo fo p e r a t o r si n c l u d i n gt h em a x i m u m ，t h em i n i m u ma n dt h em e a no p e r a t o r i nr e c e n ty e a r s ，t h eg r o u pd e c i s i o nm a k i n gp r o b l e mh a sb e e nm a k i n gf r u i t f u la c h i e v e m e n t s ， h o w e v e r , t h ea p p l i c a t i o na n dr e s e a r c ho fg r o u pd e c i s i o nm a k i n gm e t h o da res t i l lf a rf r o m m a t u r e ，a n ds t i l lf a c i n gn e wc h a l l e n g e s ，e s p e c i a l l yf o rt h er e s e a r c ho fa g g r e g a t i n gd i f f e r e n t p r e f e r e n c ei n f o r m a t i o n i nt h i st h e s i s ，t h ep r o p e r t i e so fo w ao p e r a t o ra n dt h ee x i s t i n g d i f f e r e n tp r e f e r e n c ei n f o r m a t i o na r es u m m a r i z e da n dr e s e a r c h e d i ts t u d i e st h eg r o u pd e c i s i o n m a k i n gw i t hp r e f e r e n c ei n f o r m a t i o na n da t t r i b u t ew e i g h t si nn u m e r i c ab a s e do no w a o p e r a t o r t h e n ，t h eg r o u pd e c i s i o nm a k i n gp r o b l e mo fw h i c ht h ep r e f e r e n c ei n f o r m a t i o nw i t h f u z z yl a n g u a g ei sm a i n l ys t u d i e d f u r t n e r m o r e ，t h eg r o u pd e c i s i o nm a k i n gp r o b l e mw i t h d i f f e r e n tf o r m so fp r e f e r e n c ei n f o r m a t i o nb a s e do ng e m e t r i co w a o p e r a t o ri sd i s c u s s e d t h r e ee x a m p l e sa leu s e dt os h o wt h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d k e y w o r d so w ao p e r a t o rg e o m e t r i co w ao p e r a t o rp r e f e r e n c ei n f o r m a t i o ng r o u pd e c i s i o n m a k i n gl a n g u a g es c a l e i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：至型堡日期：j ! l 年上月丝e t 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密囱。 ( 请在以上相应方格内打“4 ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为泐彬缉酃纯群次象中面知母砑嵇 的学位论文，是我个人在导师( j 熙照) 指导并与导师合作下取得的研究成果， 研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费 资助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定 的各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 1 型雏日期：盟年上月卫日 作者签名： 1 到经 导师签名：j 严翻乙 二一 i 日期：4 年l 月卫l ：t 日期：蹲年上月j l 日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 研究工作的来源与意义 有序加权平均算子( o w a ) t l 】自美国学者y a g e r 提出以来已广泛应用于决策分析、专家 系统、人工神经网络、模糊系统等方面。它提供了广泛的包括极大、极小和算术平均算 子，并可以应用到各种信息集成问题中【钔。 决策问题是人类社会活动的产物，有其悠久的历史。随着人类的进化和社会进步， 决策问题逐渐由简单到复杂，决策分析技术从定性走向定量，进而发展到定性与定量相 结合，尤其在现实生活中，人们所遇到的一些问题庞大而又复杂，解决这类问题，个人 的决策能力已经远远不能满足需要，决策过程的各个阶段都要许多人的参与，各种方案 的生成、筛选、直至到最后的抉择都是由决策群体通过协调合作或谈判来共同完成，这 一类由多个决策者参与的问题就是群决策问题( g r o u pd e c i s i o nm a k i n gp r o b l e m ) 。但由于 客观事物的复杂性和人类思维的模糊性，我们遇到的群决策问题大部分是不确定的、模 糊的，有些问题甚至是决策者直接用语言来描述的，对这类不确定性群决策问题，已经 引起了学者们的广泛关注，并一直是研究的热点【5 】。另外，在一些决策过程中，往往会 出现个别决策者受个人感情等主观因素的影响，对某些方案作出过高或过低的评价，或 者方案的某个属性值与其他属性值偏离过多，从而会导致不合理的决策结果。多年来， 有关群决策问题的研究已引起人们的极大关注，并取得了丰硕的成果【7 。9 】。然而，群决 策无论在决策方法的研究还是决策方法的应用方面目前都还很不成熟，研究的进展还远 远满足不了实践的需要，尤其是有关决策方法的研究还有待于进一步改善。那么，开展 对群决策和由群决策涉及到的一系列问题的研究，就具有重要的理论价值和现实意义。 本文对o w a 算子的性质以及已有的偏好信息的不同形式进行了归纳和总结；将 o w a 算子应用到群决策中，针对权重和偏好信息为确定值的形式进行了研究；重点研 究了当偏好信息为语言形式的群决策方法并尝试研究基于等比o w a 算子的偏好信息为 混合形式的群决策方法；并分别给出算例加以分析。 河北人学理学硕 ：学位论文 1 2 本课题的国内外发展现状 有序加权平均( o r d e r e dw e i g h t e da v e r a g i n g ) 算子的概念是由美国著名学者y a g e r 于1 9 8 8 年在多水平决策问题中提出来的，它是介于最大与最小算子之间的一种多属性决 策信息的集结方法，该算子的特点是：对属性值按从大到小的顺序重新进行排序，并通 过属性值所在的位置进行加权再进行集结。由于该算子的这些良好特性，它被广泛应用 于群决策中。群决策的研究始于2 0 0 多年前，法国数学家b o r d a 在1 7 8 1 年提出了群体对方 案排序的b o r d a 数规则。1 7 8 5 年法国另一位数学家c o n d o r c e t 提出了c o n d o r c e t 规则并发现 了投票悖论。从此以后，许多学者从各个方面对群决策进行了研究。目前，只有相同偏 好信息形式的群决策方法研究已取得丰硕成果，但在实际群决策问题中，由于每个决策 者的经验，思想观念等主观因素的影响，决策者对于同一种方案可能给出不同形式的偏 好信息。因此，在群决策问题中，研究如何将不同形式的偏好信息进行集结就显得尤为 重要。近年来，有关多种形式偏好信息并存的群决策问题已得到人们广泛关注【1 0 - 1 1 , 3 i 。 在模糊决策系统中，由于决策问题的复杂性与不确定性以及决策参与者知识的局限性， 决策者很难用精确的数值来表示偏好信息，因此采用语言的形式给出偏好信息对事物进 行判断，对决策者来说是方便可靠的。目前，对于用语言表示的偏好信息的群决策问题 研究已成了学者关注的热尉2 5 , 3 0 。 1 3 本课题研究的主要内容 本文主要研究o w a 算子及其性质以及在群决策中的应用研究。 第1 章主要介绍了该课题研究的来源与意义及当前的发展现状。 第2 章主要介绍了o w a 算子及其性质、o w a 算子的导出算子一等比o w a 算子， 为后面的研究奠定了理论基础。 第3 章主要介绍了不同偏好信息的形式及其它们之间的转化方法，并研究了基于 o w a 算子当权重和偏好信息均为确定值形式的群决策方法，最后给出算例分析。 第4 章主要给出了评估语言标度的一些相关知识，并研究了基于o w a 算子当偏好 信息为语言形式的群决策方法，最后给出算例分析。 第5 章主要研究了基于等比o w a 算子的偏好信息为混合形式的群决策方法，并给 出算例分析。 第6 章是结论与展望。本文只是给出了四种不同偏好信息的形式及其转化方法，偏 2 第1 章绪论 好信息的其他形式还有待发现与研究；将o w a 算子及其导出算子应用到群决策领域中 仍然避免不了易于丢失决策信息的这一普遍缺点，有关这方面问题的研究还有待进一步 完善。 3 河，f 匕人学 哏产硕一 ：f 市沦史 第2 章预备知识 在这一章，主要介绍一些本文用到的基本概念。 2 1o w a 算子的定义及其性质 美国学者y a g e r 在文献 1 中提出了一种有序加权平均算子( o w a ) ，设4 ，4 ，4 是多水平问题中的，1 个水平，x 是选择的集合，对每一个水平4 ，4 ( x ) 【o ，1 】表示选择x 满足这个水平的程度。我们感兴趣的是找一个决策函数d ，使得对每一个选择石，d ( x ) 表示石满足我们所需要的水平的程度，即：d ( x ) - - r ( a ( x ) ，4 ( x ) ，4 ( x ) ) 。 两个极端情况：我们希望一个选择满足“所有 的水平，水平问用“a n d 连接； 或者我们希望一个选择满足“至少一个”水平，水平问用“o r 连接。然而更多的情况 是水平之间的关系处在两种极端情况之间，如“大多数 、“许多 、“至少一半 、 “多于四个”等，这就需要用更广泛的一种均值算子表示。该算子的根本特点是：对属 性值按从大到小的顺序重新进行排序，并通过属性值所在的位置进行加权再进行集结。 其定义如下： 定义2 1 q ：有序加权平均算子是个，l 元函数厂：r “_ 尺，设厂( a 。，q ：，o z 。) = w 房， i = 1 其中形= ( w ，w 2 ，) r 是与厂相关联的加权向量，we o ，1 】，i = 1 ，2 ，刀，w = 1 ， 届是一组数据哆中第i 个最大的元素，其中i = 1 ，2 ，刀，则称函数厂是以维有序加权平 均算子( o w a ) 。 o w a 算子满足下列性质【1 】： 1 、设( q 。，q ：，) 是任一组数据向量，( 属，色，成) 是( o z 。，q ：，q 。) 中的元素按 降序组成的向量，则： f ( a 。，q ：，q 。) = f ( f l , ，色，成) 2 、( 单调性) 设( q ，q ：，q 。) 和( 屈，履，履) 是任意的两个数据变量，若对任意的 4 第2 章预符知识 f 有q ，成，则： 厂( q 。，q ：，o t 。) f ( 3 。，履，成) 3 、( 置换不变性) 设( 绣，色，成) 是( q ，q ：，) 的任意置换，则： f ( a 。，q ：，o t 。) = 厂( 属，色，成) 4 、( 幂等性) 设( q ，q ：，q 。) 是任一数据向量，若对任意的f 有q ，= a ，则： f ( a l ，a 2 ，n 。) = a 5 、o w a 算子是一个带参数w 的算子族，当其中的参数w 取不同的值时，o w a 算子 对应着不同的算子【1 1 ： ( 1 ) 当形= ( o ，o ，1 ) 时，厶( q ，q 2 ，q 。) = m i n ( a ，) ； ( 2 ) 当w = ( 1 ，o ，o ) 时，厶( q 。，a 2 ，a 。) = m a x ( o c ，) ； ( 3 ) 当= ( 持一，扣允( 鹕， ) = 去塾。 6 、( 介值性) 设( q 。，q ：，a 。) 是任一数据向量，则： 矗( q - ，q z ，q 。) z ( q t ，q z ，q 。) 厶( q - ，q ：，q 。) 7 、若= 1 ，w = o 且f ，则厂( q l ，口：，q ) - - b j ，其中b j 是( a 。，0 2 ，a 。) 中第 _ ，大的元素。 8 、若w l = q ，w = 0 ，f = 2 ，n - i ，= 1 一q 且q o ，1 】，则： ( 1 一d ) 丘( a l ，q 2 ，q 。) + a f w ( q l ，q 2 ，q 。) = 厶( q l ，q 2 ，) 9 、若w = 0 ，1 i k 土，后 k + m 岛 一础 一m = qqq 办 河北人学邓。学硕f j 学何论文 其中岛是( q ，q ：，o i 。) 中第f 大的元素。 特别地，竞赛方法对应于当= o1 f k 土 后 0 。 为了满足w = 1 ，所以有： 一1 ，：1 q 一，= 粤，g l q ”- 1 1 w 2 1 一q = 1 以 ( 1 _ _ q 下) q i - i ，g 1 1 一q ” 1 易得：( 1 ) 当g ：l 时，。朋s ( ) ：一1 ： ，l ( 2 ) 当q = 0 时，o r n e s s ( w ) = 1 ； ( 3 ) 当q 0 ，r q 1 时， 。r n e s s ( w ) = 喜导 q ”一n q 一以- 1 = = = 一 ( q 一1 ) ( ，z 1 ) ( g ”- 1 ) n - i q 一刀 = 点! ( 刀一1 ) ( g ”一1 ) n - 2 ( n - l - i ) q 7 一i = 0 n l ( n - 1 ) q 令o r n e s s ( w ) = 皿，( 2 4 ) 式可转化为： ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( n - 1 ) 、i q ”1 + ( ( n - - 1 ) 皿- i - f 1 ) q ”= 0 ( 2 5 ) 说明：等 d , o w a 算子和目前得到广泛关注的的极大熵o w a 算子具有等价性，因此若 7 河，i 匕人学理。学硕十。何沦文 要得到极大炳o w a 算子的杈值，口】以小必求解复杂的非线性枷划l r 口j 趑，而只需求解方程 ( 2 5 ) 即可。 等比o w a 算子满足下列性质： 对等比o w a 算子w = ( w l ，w 2 ，w 。) ( 1 ) 当。朋哪( 形) 互1 时，g l 且厂矿( q 。，仅：，q 。) ! n i = 1 岛； ( 2 ) 当。聊黜( ) i 1 时，纠且m a 鹏 ) 去喜包； 由此可以看出：对于一等比。w a 算子，若。m 铘( ) i 1 ，则被集成元素越大，其权值 越大，决策者更注重取值较大的元素，厂( q ，a z ，q 。) ! n 妻i = l 岛，即决策者是“或”型的。 反之，若。聊伽( ) 互1 ，被集成元素越大，其权值越小，决策者更注重取值较小的元素， 呲，一) 寺喜6 ：，且口决策者是“与型的。 ( 3 ) 当n 2 ，则o r n e s s ( w ) = g ( n ，q ) 对q 【o ，( 3 0 ) 是严格单调递增的； ( 4 ) 对等l j 眨， 则q ( ，i ) q ( 哇) 。 9 河北人学理学硕十学何论文 定义2 4 ：一个量词q 叫做j 下规单调非增，如果满足：o ( o ) = 1 ，q ( 1 ) = o ，若，i r 2 ， 则q ( 吒) q ( 眨) 。 定义2 5 ：一个量词q 叫做f 规同态，如果满足：o ( o ) = q o ) = o ，q ( 厂) = 0 ，a ，b ， 当r 2 r l 口时，q ( 吒) q ( 眨) ；当r 2 吒6 时，q ( 眨) q ( 吒) 。 说明：尼( ，) 是由q 引导的一个。、凇算子，其中心= q ( 寺) 一q ( 等) ， 待1 ，2 ，n ，q 可以表示“大多数”、“至少一半”、“尽可能多”等语言量词。这里 可令模糊量化函数q ( x ) 表示为： q ( x ) = 0 ，x a _ x - 一a ，口x 一 b ，口，b ，x e o ，l 】 d 一口 l ，x b 说明：本文涉及到确定o w a 算子权系数的问题主要是采用方法( 6 ) 。 l o 第3 章权重和偏好信息为确定值形式的群决策方法研究 第3 章权重和偏好信息为确定值形式的群决策方法研究 3 1 不同形式偏好信息的描述n 1 1 为了叙述方便，假设一有限的方案集x = 五，恐，吒) ，刀2 ，其中t 为第f 个决 策方案。设d = d 。，d 2 ，d m ) ，m 2 为决策者集，其中d 。表示第k 个决策者，并记 = 1 ，2 ，刀) ，m = 1 ，2 ，m 。本文考虑决策者可能提供方案重要程度的效用值，序 关系值，模糊偏好关系矩阵，a h p i j 断矩阵等4 种形式的偏好信息。下面简单描述这4 种 信息： ( 1 ) 效用值6 1 ：设决策者d 。( k m ) 针对方案集x 给出的效用值向量为 扩= 群，磋，磋) r ，这里“； e o ，l 】，式中“? 表示决策者以针对方案_ 给出的效用 值，不失一般性，效用值“? 值越大，对应的方案x ，越优。 ( 2 ) 序关系值6 1 ：设决策者d 。( k m ) 针对方案集x 给出的序关系值向量为 0 = 。，k ，a ：k ， r ，式中。； 表示方案一在方案集x 中的位置次序，不失一般性， 序值d ? 越小，对应的方案x ，越重要。 ( 3 ) 模糊偏好关系矩阵：设决策者以( 尼m ) 针对方案集x 给出方案两两比较模糊互补 偏好关系，它可由一个矩阵p c x x 来描述，相应的隶属函数“ o ，1 】，其中， “( 誓，_ ) = 露，露表示为方案誓优于方案_ 的程度，矩阵p = ( 露) 具有非负性 和互补性，即满足露o ，露+ 或= l ，露= 0 5 ，v ，jen 。 ( 4 ) a h p 判断矩阵( 模糊互反判断矩阵) 2 6 1 ：设决策者畋( 尼m ) 针对方案集x 给出方案 两两比较的a h p 判断矩阵彳= ( ) 袅。，式中元素口；表示方案为对方案_ 的相对重 要程度，它可由决策者依据s a t t y 提出的卜9 标度法给出用，且满足：口 f k 咭1 ，9 】， 口：= 1 ，口；口刍= 1 ，v i ，。 河北人学理学硕十学何论文 3 2不同形式偏好信息的转化 当群决策中有不同形式的偏好信息时，一般需要将不同形式的偏好信息一致化为某 一种形式n7 1 ，以便进行群的集结和方案优选。因为如果将各种形式的偏好信息均转化为 效用值形式，但根据模糊互补判断矩阵难以直接求出方案效用值；若都转化为序关系形 式后再集结，会丢失较多的决策信息。因此，这里考虑将效用值型，序关系值型，模糊 偏好关系矩阵三种偏好信息一致化为a h p 笋i j 断矩阵的形式。具体方法如下： ( 1 ) 效用值型转化为a h p 判断矩阵型：v 2u ? ，甜；分别为方案一，x 的效用值，口；表示 方案x ，对方案x ，的相对重要程度，转化方法为： 口f ，k = 9 “f 一蝣( 3 1 ) ( 2 ) 序关系值型转化为a h p 判断矩阵型：设d ? ，d ；分别为方案_ ，x j 的位置次序，口；表 示方案石，对方案_ 的相对重要程度，转化方法为： 4 - d t 口；- - - 9 川 ( 3 2 ) ( 3 ) 模糊偏好关系矩阵转化为a h p 判断矩阵型：设p = ( 露) 脚，a 。= ( 口；) 分别表示方 案集x 中两两比较所给出的模糊互补判矩阵、模糊互反判矩阵。显然，露越大，口； 越大。转化方法为： 露= 9 2 西一1 ( 3 3 ) 综上所述，可将不同形式的偏好信息一致化为a h p 判断矩阵彳，并且可证明由公 式( 3 1 ) 、( 3 2 ) 、( 3 3 ) 分别将效用值型，序关系值型，模糊偏好关系矩阵三种偏好信息 形式一致化为a h p 判断矩阵形式时，决策者对任意两方案优劣关系作出的判断并不改 变【l l 】。 3 3基于o w a 算子的群决策方法步骤n 4 3 s t e p l ：对决策者吐，以，叱，给出的各种形式的偏好信息分别用公式( 3 1 ) 、( 3 2 ) 、( 3 3 ) 进行一致化，可得m 个a h p 判断矩阵，即：彳1 ，么2 ，a ”。 1 2 第3 章权霞和偏女r 信息为确定值形的群决策方法研究 s t e p 2 ：计算群集结的o w a 算子的权向量【i o 】= ( w ，w 2 ，) 7 ，满足： 比。，荟m = l ，其中= q ( 去) _ q ( k 所- 1 ) ) ，七m ( 3 4 ) 上式中q ( ，) 为模糊量化算子【l l 】，它由下式确定： f 0 ， b 其中口，b ， o ，1 】，在“至少一半”原则下，模糊量化算子q ( 厂) 对应的参数 ( 口，b ) = ( 0 ，0 5 ) 。 s t e p 3 ：利用o w a 算子【1 0 】将各决策者的偏好信息a i , 彳2 ，a “集结成群偏好信息 a = ( 口；) 棚，其中口；表示群体认为方案t 对方案_ 的相对重要程度。计算公式 为： 口；= o w a w ( a ；，呖2 9 mp 簖) = c ；( 3 6 ) k = l 其中c ；为集合 呓，口扩2 ，口孑) 中按大小排在第尼位的元素。 s t e p 4 ：计算方案优选对应的o w a 算子的权向量w = ( 以，以，以) ，满足以0 ， 以= 1 ，其中： s = 1 w i ：q ( 兰) 一q ( 三二堕) ，j n ( 3 7 ) 这里模糊量化算子i n ( 3 1 ) 式。在“多数 原则下，模糊量化算子q ( r ) 对应的参数 ( 口，6 ) 2 ( o 3 ，0 8 ) 。 s t e p 5 ：在模糊“多数”意义下，基于o w a 算子，计算方案一优于其他所有方案的程度砝。， 即： n 掘= d 黝w ( ，t ，口二) - - z 以瓦 ( 3 8 ) j = l 河北人。z 珲。学硕十侮沦文 其中咙为集合 西，a i 2 ，口二) 按大小排在第s 位的元素。 s t e p 6 ：依据蒯，的大小对方案进行优选，最大的即为最优方案。 3 4 算例分析嘲1 假设有四位决策者d ，d ：，d ，d 。，针对方案集x = ( x ix ：，z ，x 4 ) 分别给出如下形 式的偏好信息： d l ：u 1 = ( 0 5 ，0 7 ，0 8 ，0 4 ) d 2 ：0 2 = ( 3 , 1 ，4 ，2 ) d 3 ：a 3 = d 4 ：p 4 = 其中u 1 为效用值向量，d 2 为序关系值向量，么3 为a h p 判断矩阵，p 4 为模糊偏好 关系矩阵。 为了确定最优方案，下面利用本文的方法进行求解。 ( 1 ) 由公式( 3 1 ) 、( 3 2 ) 分别将u 1 ，0 2 转换为a h p 半i 断矩阵彳1 ，么2 ： 1 4 3 7 5 1 1 5 5 1 1 5 1 5 1 l 一5 1 7 l 5 5 1 3 1 8 0 14一2 o 1 8 1 2 3 4 一2一2 7 8 1 l一2一2 1 7 8 6 3 瞎础孓o z 9 4 1 1 1 2 r ，1 j i ，一 1 o 1 5 8 l 4 o o 0 4 6 7 4 4 1 6 1 z 5 0 1 o 2 3 b曼多0 1 5 9 8 l 1 o ，。一 = 4 第3 章权重和偏女r 信息为确定倚形式的群决策方法研究 4 3 2 7 1 9 2 0 8 0 由公式( 3 3 ) 将尸4 转化为模糊互反判断矩阵： 0 4 8 l 0 1 ll l o 2 3 1 2 0 8 0 0 4 8 1 4 3 2 7 1 f l10 1 1 1 o 1 9 2 1 彳4 ：l 11n 1 9 2n 1 11 l 孓了6 三n 刊 ( 2 ) 由( 3 4 ) 、( 3 5 ) 式确定群集结的权向量渺= ( i 1 ，i 1 ，o ，0 ) 7 ，从而由( 3 6 ) 式将么1 ，彳2 ，么3 ， a 4 集结为群偏好4 ： 肚、 1 2 6 6 4 049三 ( 3 ) 由( 3 7 ) 式确定方案优选所对应的o w a 算子的权向量矿= ( o ，0 4 ，0 5 ，0 1 ) r ，从而由( 3 8 ) 式计算各方案的综合优势度d d ，( f 1 , 2 ，3 ，4 ) ) 为： d d l = 1 5 6 6 ；d d 2 = 2 8 6 1 ；戤= 5 2 3 2 ；d d 4 = 2 1 5 4 。 因为d d l d d 4 0 ； ( 2 ) 存在负算子刀曙( 墨) = ，l 吏得i w j = t , ( 3 ) 若墨已，贝, l j m a x ( s i ，s j ) = ： ( 4 ) 若墨t ，则m i n ( s t ，s j ) = 墨。 1 第4 章偏好信息为语言形式的群决策方法研究 从上面的性质o - - l p a 看出，语言评估术语s 与其指标f 之间有严格的递增关系，由此 可以定义函数：，：s - n ，( 墨) = i ，岛s ，i = o ，l ，t ，其中n 为整数集。 对于方案一x ，决策者破利用某一语言评估标度对某一属性进行测度，从而构成 方案两两比较的语言偏好关系矩阵4 = ( 以；) 。设露为口；的指标，则可设与语言偏好关 系矩阵相对应的指标矩阵为i = ( 露) 。 定义4 3 ：设厂为s 至t jr o ，1 】上的映射，称厂为转换函数，即f ：s _ 0 ，1 】，且 f ( s i ) = 竿，s l s ( 4 1 ) 通过转换函数厂，则可以把语言偏好关系矩阵转换为互补判断矩阵。 定理4 1 ：设= ( p ；) 棚，其中p ；= 厂( 嘭) ，嘭b ，v i ，j ，k ，则p 为互补判断 矩阵。 证明：由转换函数定义知露 o ，l 】，v i ，j ，k ， 又p ；+ p 刍= f ( q ；) + f ( q 抄竽+ 竽乩 所以p 为互补判断矩阵。 在群决策中，由于各决策者所采用的标度不尽相同，因此，在对决策信息进行集结 之前，有必要对各标度所表达的决策信息进行一致化。为了不丢失任何决策信息，我们 把原有的离散性语言标度s = 鹤ii o ，f ) ) 拓展成连续性语言标度j = 夏ii o ，f 】) ， 其中，i e o ，f 】且埠! 0 ，t ) ，则称箩为虚拟术语，且称i 为虚拟术语指标；若i o ，t ) ， 则称歹为本原术语，且称i 为本原术语指标。显然，拓展后的标度仍满足性质( 1 ) ( 4 ) 。 群决策的实质是利用可获得的决策信息对给定的有限个备选决策方案进行排序和 择优。由于决策矩阵中的元素是以语言形式给出，如果直接对每个方案的语言决策信息 进行集结，利用己有的信息集结算子则会不同程度地丢失决策信息。考虑到决策矩阵中 的元素与其指标之间存在着严格的递增关系，而且决策的目的是对方案进行排序和择 优，因此可以利用元素的指标信息对方案进行选择，这样对属性值为语言形式的群决策 河北人学理学硕l j 学何论文 问题就转化为属性值为实数形式的群决策问题。 两个给定的连续性语言标度之间的转换： 设墨= 虿if o ，f ) 和夏= 夏if o ，f ， ) 是任意两个给定的连续性语言标度，则定义 它们之间的转换函数【2 7 】为： ，：- - + s 2 , i l = f = 等 f i 夏_ 墨，江州) = f 哆 利用( 4 2 ) 和( 4 3 ) 两式，可将所给出的语言评估标度一致化。 4 2 基于o w a 算子的偏好信息为语言形式的群决策步骤 ( 4 2 ) ( 4 3 ) 因为o w a 算子不仅考虑了每个术语本身的重要性程度，而且还体现了其所在位置 的重要性程度，所以这里采用该算子。 s t e p l ：对于某一群决策问题，设决策者以利用某一语言评估标度按某一属性进行测度 得出两两方案比较的决策矩阵，从而构成语言决策矩阵色= ( 嘭”) ，并给出相应 于矩阵反的指标矩阵厶= ( 够) 。 s t e p 2 ：利用( 4 2 ) 和( 4 3 ) 两式对指标矩阵厶= ( 谬) 进行一致化，得到指标矩阵五= ( 髫) 。 s t e p 3 ：利用o w a 算子对各指标矩阵瓦中第所亍的指标值进行集结，得到群偏好信息 ，+ = ( ) 棚，其中表示群体认为方案一对方案_ 的相对重要程度。计算公式为： 石= d 黝( 乃，乃孙，乃) = 吩露，k = 1 ，2 ，m ，i n ( 4 4 ) 其中由公式( 3 4 ) 得到。露表示( 硝，鹾，碟) 中第j | 大的元素。 s t e p 4 ：利用o w a 算子对聊位决策者给出的方案综合指标进行集结，得到方案薯的 群体综合指标值毛： 乃= o w a g ，最，艺) = 比剪，k = l ，2 ，t ，i en ( 4 5 ) 第4 章偏女r 信息为语言形式的群决策方法研究 其中w k 由公式( 3 7 ) 得到，嘭表示( c ，最，) 中第k 大的元素。 s t e p 5 ：利用z ；对所有方案进行排序并择优。 4 3算例分析 考虑某一个大学对各学院的评估问题。把“科研能力”作为一个主要的评估指标， 设有四个学院( 方案) ( f - l ，2 ，3 ，4 ) 将被评估，三个决策者反( 后= l ，2 ，3 ) 在评估指标“科 研能力 下利用不同的语言评估标度： 墨= s os ，s 2 ，岛，s 。) = 很差，差，一般，良，优) 岛= 瓴，_ ，8 2 ，j 。) = 非常差，差，稍差，中度，稍好，好，非常好) 墨= s 0 而，s 2 ，s 。) = 极差，非常差，差，稍差，中度，稍好，好，非常好，很好) 对方案誓o = 1 ，2 ，3 ，4 ) 进行两两比较，并分别构造下列语言决策矩阵反( j | = 1 ，2 ，3 ) ： 马= s 2s 3 j ls 2 s 3s 4 j 2 s ls o 岛s 2 s 2墨 s 3s 2 ，岛= s 3s 5 s is 3 s 4s o s 6s j 2s o s 6s 2 s 3j l 黾s 3 据以上条件找出最优的学院。 第一步：将局，色，b 转化为指标矩阵厶，厶，厶： 对应于e 的指标矩阵为厶： 对应于岛的指标矩阵为厶： 对应于马的指标矩阵为厶： 23 l 2 34 42 35 13 4 o 64 4 4 o 4 41 8 74 78 6 1 9 ，色= s 4s 4 s s s ss 1 s 1s 而s i s 1 s 4s 2 s 6s 4 0 2 1 2 ， o 2 1 3 1 o 2 4 1 0 2 3 2 6 3 5 闸，i l 人。7 ：王甲。州贝十j ：何沦丈 第二步：由于三位决策者是按不同的语言标度给出的方案两两比较的决策矩阵，因此有 必要对他们对应的指标矩阵按照公式( 4 2 ) 和( 4 3 ) 进行一致化，我们可把，厶的 指标矩阵一致化为厶的形式( 相应于语言决策矩阵4 的指标矩阵1 2 不变) ，得 到一致化后的指标矩阵五，1 2 ，1 3 ： i l = 厶= 厶= 3 4 51 501 1 5303l i 4 5631 5i 634 53j 35 2o 1 3 6 2i i 4 031l i 645 3j 3300 7 5 330 7 5o 65 2 531 5 5 2 564 53 第三步：利用o w a 算子及公式( 4 4 ) 对各指标矩阵不中第f 行的指标值进行集结，得到 两两方案比较的群偏好矩阵，= ( ) ： ，= 34 8 31 8 3o 5 2 534 2 52 6 7 5 55 7 531 5 65 3 34 8 33 注：这里由公式( 3 。4 ) 得到形= ( j 2 ，j 1 ，。) 。 第四步：利用o w a 算子及公式( 4 5 ) 对_ ，l 位决策者给出的方案综合指标进行集结， 得到方案薯的群体综合指标值弓： 刁= 2 1 7 ；乞= 2 7 9 ；z 3 = 3 8 5 ；乙= 4 8 5 。 注：这罩由公式( 3 7 ) 得到w = ( o ，0 4 ，0 5 ，0 1 ) 。 第五步：利用乙对所有方案进行排序并择优。 2 0 第4 章偏女r 信息为语言形式的群决策方法研究 因为乙_ z ：_ 弓一 z 4 ，所以最优的学院为第四个。 2 1 河此人学理学颈十学何沦文 第5 章基于等比o w a 算子的偏好信息为 混合形式的群决策方法研究 在预备知识2 2 里我们已研究了等l 匕o w a 算子的定义及其性质，得出了等l 卜, o w a 算子提供了决策偏好即决策者的悲观或乐观程度o r n e s s 值与等l i , o w a 算子权值之间的 的对应关系，在本章我们把等比o w a 算子用于群决策中处理偏好信息为多种形式的群 决策问题。 5 1基于等比o w a 算子的偏好信息为混合形式的群决策步骤 s t e p l ：对决策者4 ，以，d ，给出的各种形式的偏好信息分别用公式( 3 1 ) 、( 3 2 ) 、( 3 3 ) 进行一致化，可得m 个a h p 笋i 断矩阵，即：彳1 ，a 2 ，a ”。 s t e p 2 ：根据实际需要，设定决策的乐观水平o r n e s s = 皿。 s t e p 3 ：f 1 3 ( 2 5 ) 得到等比o w a 算子的参数g ，并由( 2 3 ) 求得群集结的等比o w a 算子的权向 量形。 s t e p 4 利用等l i , o w a 算子将各决策者的偏好信息a j , 4 2 ，a ”集结成群偏好信息 a = ( 以；) 脚，其中口；表示群体认为方案t 对方案_ 的相对重要程度，计算公式 同公式( 3 6 ) 。 s t e p 5 ：计算方案优选对应的等比o w a 算子的权向量w = ( “，以，吨) ，满足： 以o ，以= l s = l ( 这里，权重的确定方法按照步骤2 和步骤3 ) s t e p 6 ：基于等比o w a 算子，计算方案优于其他所有方案的程度冽，计算公式同公式 ( 3 8 ) 。 s t e p 7 ：依据甜，的大小对方案进行优选，最大的即为最优方案。 第5 章基丁锋比o w a 算子的偏蚶信息为；融合形式的舯决策方法研究 5 2算例分析 假设有三位决策者d 。，d ：，d 3 ，d 。，针对方案集x = 而，x 2x 3 ) 分别给出如下形式的 偏好信息： d l ：u 1 = 0 5 ，0 7 ，0 8 ) d 2 ：a 2 = l 5 5 11 55 15 1 1 5 d ，：依据语言描述集： 决策者以给出的语言偏好关系矩阵为：b 3 = 匪兰兰 ( 1 ) 由公式( 3 1 ) 将u 1 转换为a h p 判断矩阵a 1 ： 4 1 = ：1 言主：! 霎三3 ：；言】 卜 河北人学卵学硕f j 学何论丈 p 3 ： ! ! o 22 111 224 31 l 42 再由公式( 3 3 ) 将p 3 转化为a h p 判断矩阵： 肚刁 ( 3 ) 由( 2 5 ) 式得到等比o w a 算子的参数g = 1 3 6 ，并由( 2 3 ) 式求得群集结的等比 ( 4 ) 由( 3 6 ) 式将a 1 ，a 2 ，a 3 集结为群偏好a ： 彳+ = b 三三：薹：? ；三 ( 5 ) 设定决策的乐观水平= 0 7 ，由步骤( 3 ) 确定方案优选所对应的o w a 算子的 权向量矿= ( 0 5 5 ，0 2 9 ，0 1 6 ) ，从而由( 3 8 ) 式计算各方案的综合优势度d d ， 因为d d i d d 2 d d 3 ，所以最优方案为_ 。 第6 章乡 沦! j 展胡 第6 章结论与展望 o w a 算子重点考虑了元素大小顺序上的重要性，其作为一种有序加权平均算子有 着极其广泛的表达能力，当权重的分布集中于前面的元素时，有序加权平均算子偏重于 元素中的较大者，极端情况是取最大值；当权重的分布集中于后面的元素时，有序加权 平均算子偏重于元素中的较小者，极端情况是取最小值；当权重取特殊值时，有序加权 平均算子转化为特殊的算子。本文总结了o w a 算子的性质，并研究了等比o w a 算子 ( o w a 算子的一种导出形式) 的性质。目前对o w a 算子理论和应用研究已经成为国 际上数据信息集结领域的一个新的研究热点。本文把o w a 算子及其导出算子等比