（基础数学专业论文）on+the+small+dispersion+limit+for+a+special+class+of+complex+ginzburglandau+equations.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 】、坚持以“求实、刨新”的科学精神从事研究工作。 8 d 1 2 6 8 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或 撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名：至室鍪 日 期： i 世：壬：型 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版；有权 将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅：有 权将学位论文的内容编入有关数裾库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要 汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名：耋受鍪 日 期：垃i 垒：丝 a c k n o w l e d g e m e n t i ti sm yh o n o rt oh a v et h eo p p o r t u n i t yt oe x p r e s sm ys i n c e r eg r a t i t u d et om y s u p e r v i s o rp r o f e s s o rh o n k u ng a o i ti sh i mw h ot a u g h tm eh o wt ok e e pp a t i e n t a n dd or e s e a r c hi nm a t h e m a t i c ss t e pb ys t e p i nt h ep a s tt h r e ey e a r s ，e v e r yp r o g r e s s o fm i n ei ns t u d ya n dr e s e a r c ho w n e dal o tt oh i m ia l s oe x p r e s sm yh e a r tt h a n k st op r o f e s s o rj i h u iz h a n g ，p r o f e s s o rz u o d o n g y a n ga n da s s o c i a t ep r o f e s s o ry u i t i a nl e if o rt h e i rw o n d e r f u ll e c t u r e si na n a l y s i s a n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n df o rt h e i re x c e l l e n tm o d e s 龃s c h o l a z s ；ia c k n o w l e d g eo u rd e p a r t m e n tf o rm a k i n ga v a i l a b l eo fv a r i o u sg o o df a c i l i t i e s ；a n di dl i k e t ot h a n kt h eg r a d u a t ed i r e c t o r sz h i r e ns u n ，y iy a o ，m a o h u as u n ，a n da n o n y m o u s t e a c h e r sa n ds t u d e n t sw h oo d c eg a v em eah a n d ，w i t h o u tt h e i rh e l p ，1w o u l dn o t h a v ef i n i s h e dm ys t u d ys os m o o t h l y t h el a s tb u tn o tt h el e a s t ，i dl i k et ot h a n km yf a m i l i e sf o rt h e i rs e l f l e s ss u p p o r t t h e yg a v ei n es t r e n g t hw h e n1w a sw e a ka n dg a v em e f a i t hw h e nil o s th e a r t i ti 8 t h e mw h om a k em ys t u d ya n dr e s e a r c hm e a n i n g f u la n di ti st h e mt ow h ot h i st h e s i s i sd e d i c a t e d x u e q i nw a n g a p r i l2 0 ，2 0 0 5 1 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e ras p e c i a lc l a s so fc o m p l e xg i n z b u r g - l a n d a ue q u a - t i o n sw eo b t a i ns u f f i c i e n tc o n d i t i o m sf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a l s o l u t i o n sf o rt h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mi nd - d i m e n s i o n a lt o r u st 4 ，a n dt h a ts o l u t i o n s s r ea p p r o x i m a t e db ys o l u t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gs m a l ld i s p e r s i o nl i m i te q u a t i o n f o rap e r i o do ft i m et h a tg o e st oi n f i n i t y 龉d i s p e r s i v ec o e f f i c i e n tg o e st oz e r o i n p r e s e n tp a p e ri sd i v i d e di n t ot w op a r t s i nc h a p t e r1 ，w es h o wt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a l ( i nt i m e ) s o l u - t i o na n dt h er e g u l a r i t yo ft h i ss o l u t i o nf 。it h ef o l l o v , 恤gc o m p l e xg i n z h u r g - l a n d a u e q u a t i o n s ： m = ( 以+ i 南) u + i f l u z ”u ，t 0 ， ( 1 ) w i t hi n i t i a lv a l u ec o n d i t i o n u ( o ，哟= 让o ( 。) ， ( 2 ) h e r ei = 丹，f i r a t , 6 i 0 ，而，芦a r er e a ln u m b e r s i nc h a p t e r2 ，w es h o wt h a tt h es o l u t i o nt op r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) i sa p p r o x i m a t e di n 越iw 1 。( 邗) 一f l o r i nb ys o l u t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gs m a l ld i s p e r s i o nl i m i te q u a t i o n f o ra p e r i o do ft i m et h a tg o e st oi n f i n i t y 越6 2g o e st o2 e r o ， k e yw o r d s ：c o m p l e xg i a z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n ；g l o b a le x i s t e n c e ；a p p r o x i m a t i o no f s o l u t i o n ， 3 摘要 在这篇论文中，我们考虑了一类特殊的复的g i n z b u r g - l a n d a u 方程对于 在d 维环面t d 上的初值问题，我们得到了整体解存在唯一的充分条件，当时 间趋近于无穷，色散极限趋近于零时，这个整体解能用相对应的小色散极限方 程的解来逼近此文分为两部分 在第一章中，我们证明了下面复的g i n z b u r g - l a n d a u 方程整体解的存在唯 性和正则性。 u t = ( 以+ i 而) u + i 纠u i 钉“， 0 ， ( 1 ) 具有初值条件 t ( o ，z ) = 如( z ) ， ( 2 ) 这里z = 厂了，叮n ，6 1 o ，屯，卢是实数 在第二章中。我们证明了问题( i ) ，( 2 ) 的梓在w 1 一( 州) 范数下，当时间趋 近于无穷如趋近予零时能用相应的小色散极限方程的解来逼近 关键词：复g i n z b u r g - l a n d a u 方程；整体存在；解的逼近 4 i n t r o d u c t i o n t h ed e s c r i p t i o no fc h a o t i cd y n a m i c so r ，i n o r ed r a m a t i c a l l y , t u r b u l e n c ei nc o n = t i n u u ms y s t e m sb yn o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n sf o f t e p a r t i a le q u a t i o n s ) i so n e o ft h ec e n t r a lc h a l l e n g e sf a c i n gt h e o r e t i c a lp h y s i c sa n da p p l i e dm a t h e m a t i c s w e w o u l dl i k et ob ea b l et oa p p l yi d e a sf r o mt h es t u d i e so fd y n a m i c a ls y s t e m so rs t 即 t i s t i c a lp h y s i c st ot h e s ee v o l u t i o ne q u a t i o n si no r d e rt og a i nad e e p e ru n d e r s t a n d i n g o ft h e s ep h e n o m e n aa n d 鹅ab y p r o d u c t t oh o p e f u l l ya c h i e v es i m p l e ro rm o r e t r a c t a b l ed e s c r i p t i o n s o n eo ft h ee f t a l l lm a t h e m a t i c a ls t u m b l i n gb l o c k st os t u d y i n g t h e s eq u e s t i o n so f t e nl i e si no u rl a c ko fu n d e r s t a n d i n go fe v e nt h em o s tb a s i ci s - s u e so fe x i s t e n c e u n i q u e n e s sa n dr e g u l a r i t yf o rs o l u t i o n so ft h eu n d e r l y i n ge v o l u t i o n e q u a t i o n s t h i ss i t u a t i o nh a sl e dm a t h e m a t i c i a n sa n dp 坶s i e i s t se i t h e r t od e r i v e ， u s u a l l yt h r o u 曲s y s t e m a t i c s ，o rt op r o p o s e ，u s u a l l yi n 蛆a dh o em a n n e rb a s e so n i n t u i t i o na n ds y m m e t r i e s ts i m p l e re q u a t i o n sf o rw h i c ht h e s em a t h e m a t i c a li s s u e sc a n b ea d d r e s s e dw i t hg r e a t e rs n c c e s s t h eg i a z b u r g - l a n d a ut y p ee q u a t i o n sa r es i m p l i f i e dm a t h e m a t i c a lm o d e l sw h i c h d e s c r i b et h es p a t i a lp a t t e r nf o r m a t i o no rc h a o t i cd y a a m i c sf o rn o n - l i n e a rs y s t e m s i nm e c h a n i c s ，p h y s i c s ，a n do t h e ra r e a s t h et i m e - d e p e n d e n tc o m p l e xg i n z b u r g - l a n d a up a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sb e e nu s e dt om o d e lp h e n o m e n ai nan u m b e r o fd i f f e r e n ta r 住si np h y s i c s ，i n c l u d i n gp h a s et r a n s i t i o n si nn o n e q u i h b r i u ms y s t e m s ， i n s t a b i l i t i e si nh y d r o d y n a m i cs y s t e m s ，c h e m i c a lt u r b u l e n c e ta n dt h e r m o d y n a m i c s ( f l 3 j ) t h e r eh a v eb e e nm a n yd i s c u s s i o n so nt h eg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n sa n dt h e g e n e r a l i z e dg i n z b u r g - l a n d a ne q u a t i o n s1 4 - 2 0 ， cd l e v e r m o r ea n dm o l i v e r 1 2 】s t u d i e dt h ef o n o w i n gg e n e r a l i z e dc o m p l e xg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o n s ，w h i c h d e s c r i b e st h ee v o l u t i o no fac o m p l e x - v a l u e df i e l d 2u ( z ，t ) o v e rad - d i m e n s i o n a l s p a t i a ld o m a i nb y 啦= r u + ( 1 十i v ) n u 一( i + i p ) j “i 缸u 5 h e r et h ep a r a m e t e rra n dja r ep o s i t i v ew h i l e 扩a n d “a r er e a l 。w i t h o u tl o s so f g e n e r a l i t y , t h ee q u a t i o nh a sb e e nn o r m a l i z e ds ot h a tt h ec o e f f i c i e n t so ft h el i n e a r a n dn o n l i n e a rd i s s i p a t i o n ( d a m p i n g ) t e r m sa r eu n i 吼t h eri st h ec o e f f i c i e n to ft h e l i n e a rd r i v i n gt e r m ，w i t h o u tw h i c ha l ls o l u t i o n sw o u l dd e c a yt oz e r o ，c l e a r l y , 叮s e t s t h ed e g r e eo ft h en o n l i n e a r i t y t h epa n d 弘a x et h ec o e t i i c i e n t so ft h el i n e a ra n d n o n l i n e a rd i s p e r s i v et e r mr e s p e c t i v e l y c o n s i d e r e do v e rt h ed - d i m e n s i o n a ll o t u st 4 ，t h ec o m p l e xg i n z b u r g - l a n d a u e q u a t i o ni sb o t ht h e o r e t i c a l l ya n dn u m e r i c a l l yt r a c t a b l e ，a n dh a sp r o v e df r u i t f u l f o ri l l u s t r a t i o no fc o n n e c t i o n sb e t w e e ni n f i n i t ed i m e n s i o n a la n df i n i t ed i m e n s i o n a l d y n a m i c a ls y s t e m s ( 5 ，6 】) i n1 1 2 ，t h e r e f o r et h ea u t h o r sf o c u s e dt h e i rs t u d yo nt h e s p a t i a l l yp e r i o d i cc o m p l e xg i n z b u r g - l a n d a ue q u a t i o na n dp o i n to u tt h o s er 铬u l t s t h a te x t e n dt or d t h ea u t h o r sp r o v e dt h ee x i s t e n c eo fg l o b a l ( i nt i m e ) w e a k s o l u t i o ne x i s ti na n ys p a t i a ld i m e n s i o na n dd e g r e eo fn o n l i n e a r i t y ；t h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so fl o c a l ( i nt i m e 】c l s s s i c a ls o l u t i o n s - e v e ne s o l u t i o n sf o r 盯i sa p o s i t i v ei n t e g e r a n di n i t i a ld a t ai nt h ec l a s s e s 工a n dh qw e r ec o n s i d e r e d t h e n t h e ye s t a b l i s h e dg l o b a lc l a s s i c a ls o l u t i o n st h r o u g hap r i o r ib o u n d so f pn o r m sa n d d o e sn o tr e s t r i c t 口t oi n t e g e rv a l u e s w h e n 驴i sap o s i t i v ei n t e g e r d i r e c , g l o b a l b o u n d so ne v e r yh ”n o r 2a r ed e r i v e d d r j e f f e r s o n 【1 9 】c o n s i d e r e dt h ef o l l o w i n gc 蠊o fc o m p l e xg i n z b u r g - l a n d a u e q u a t i o n s ： 砘= 6 l 口+ i v f - 知v ，口n ，t 0 ( 1 ) 7 w i t hi n i t i a lv a l u ec o n d i t i o n 砂t = j f 妒】2 5 妒， 口n ， o w i t hi n i t i a lw l u ec o n d i t i o n ( 2 ) 7 ( 1 ) 母( o ，z ) = 1 1 0 ( z ) ( 2 ) ” t h ea u t h o r sf i r s t l yp r o v e df o rc “s m o o t hi n i t i a ld a t a c h e r ew a sau n i q u eg l o b a l 6 z ，1 0 u = l j z0 ，i u da g “一s m o o c hc l a s s i c a ls o l u t i o nt op r o b l e m ( i ) ) ( 2 ) w i t h 口i sap o s i t i v ei n t e g e r t h e n t h e yp r o v e df o rc r n + 2 _ s m o o t hi n i t i a ld a t au o ，t h es o l u t i o nt op r o b l e m ( 1 ) 7 ，( 2 ) 7 哪s a p p r o x i m a t e db yt h ec o r r e s p o n d i n gd i s s i p a t i o n f r e ee q u a t i o n ( 1 ) ”，( 2 ) ”f o rt i m eo f o r d e r1 ( 6 i 1 ) i nt h ec n n o r m i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ec o m p l e xg i 】a z b u r g l a a d a ue q u a t i o n s ： 蛳= ( 占1 + i 如) t + i p i t f 幻乜t 0 ， ( 1 ) i 晒i n i t i 越v a l u ec o n d i t i o n 让( o ，z ) = t 1 0 ( z ) ， ( 2 ) h e r ei = 丁，盯，以 0 ，而，pa r er e a ln u m b e r s s b k u b i n ( i l s ) s t u d i e dt h es m a l ld i s p e r s i o na n d s m a l ld i f u s i o uf o r ( 1 ) w ar a n d o mf o r c ew h e nd 3a n d 盯# l ，a n da s s u m i n gt h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h es o l u - t i o n t h ep e r t u r b a t i o no fn o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o no rn o n l i n e a rh e a te q u a t i o n h a sq u i t ei m p o r t a n ti n t e r e s t si np h y s i c 8a n do t h e rf i e l d s ( s e e 1 ，3 1 ) h e r e ，w e 啦u d y t h ep e r i o d i cs o l u t i o n si na n yds p a t i a ld i m e n s i o n s ，8 0o u rs p a r e dd o m a i ni st l ed - d i m e n s i o n a lt o r u st 4 i nc h a p t e r1w es h o wt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a l ( i nt i m e ) s o l u t i o nf o rt h ep r o b l e m ( t ) ，( 2 ) w i t ht h ei n i t i a ic o n d i t i o nb m o n g i n gt o i , p ( t d la n dt h er e g u l a r i t yo ft h i ss o l u t i o nw i t ht h ei n i t i a lc o n d i t i o nb e l o n g i n gt o w 2 , 9 ( 邗) i nc h a p t e r2w es h o wt h a tt h es o l u t i o nt op r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) i sa p p r o x i m a t e di n “w 。( 州) 一n o r f f lb ys o l u t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n gs m a l ld 却e r s i o nl i m i t e q u a t i o nf o rap e r i o do ft i m et h a tg o 鹤t oi n f i n i t y 甾屯g o 鹤t o 玷r o d u et ot h e d i s p e r s i v et e r mi d 2 a u ，l a c ko ft h ed i s s i p a t i v et e r m - u 1 2 , ua n dt h el i n e a rd r i v i n g t e r mr u ，w el i s ei m p r o v e dm e t h o do fd r j e f f e r s o n 【1 9 la n dc d l e v e r m o r e ，m o f i v e rf 12 7t op r o v et h e 哥o b a lb o u n df o rt h es o l u t i o nt op r o b l e m ( 1 ) ，( 动 7 c h a p t e r1 t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fg l o b a ls o l u t i o nf o ra s p e c i a lc l a s so fc o m p l e xg i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o n 1 1 e x i s t e n c eo ft h el o c a ls o l u t i o n w ef i r s tc o n s i d e rt h ee x a s t e n c ea n du n i q u e n e s so f1 0 c a lf i nt u n e ) s o l u t i o nf o rt h e f o l l o w i n gc o m p l e xg i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o n s ： 毗= ( 占1 十l 而) t 工+ 妒l u l 2 5 t ，t 0 ， ( 1 ) w i t hi n i t i a lv a l u ec o n d i t i o n u ( o ，z ) = “o ( z ) ， ( 2 ) h e r e = ，j ，口en ，j l 0 ，如，pa r er e a ln u m b e r s i na d d i t i o n ，t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w es e tw 1 一= w t , 9 ( 俨) ，p ；俨( 邗) t o d e n o t et h eu s u a ls o b o l e vs p a c e s d e f i n i t i o n1 1 1 b yam i l ds o l u t i o no f ( 1 ) ，( 2 ) w em e a nac o m p l e xf u n c t i o n u ( t ，z ) g ( 0 ，o o ) ，w 1 一) s a t m f y i n gt h er e l a t i o n i如0)，t=0， 屯动。 g ( t , 。- y ，如c 们曲+ g c t - * , x - y ) f ( s , 们由如，t 。，( 3 ) w h e r e 岛= 钟，z ) 二南唧f 矧繇】 ( 4 ) f ( t ，。) = i 口l u ( t ，z ) f 打1 0 王) i nt h i sd e f i n i t i o na n db e l o w w h e ni n t e g r a i n go v e rr 4w ec o n s i d e rf u n c t i o n so n t h et o r u st da sp e r i o d i cf u n c t i o n so nr d t h ef o l l o w i n gl e m m ag i v e st h ee x i s t e n c e o fau n i q u em i l ds o l u t i o nt ot h ep r o b l e m ( 1 ) ，( 2 ) o i laf i n i t et i m ei n t e r v a l i nf a c t ， t h i ss e c t i o ni sp a r a l l e lt o 出ed b c u s s i o nt of 1 2 la n df 19 】fw eg i v ei ti nd e t a i lf o rt h e c o m p l e t e n e s s 。 8 l e m m a1 1 2 ( l o e 出e x i s t e r i c h ) l e t 让o 彤1 ip d t h e n t h e r ee x i s 乇sa t os u c ht h a tt h ep r 。b l e m ( i ) ，( 2 ) h a zau n i q u em i l ds o l u t i o ni n * h es p a c e s = 甜c ( f o ，t 1 ，1 一) l s u p t o ，r l i l 仙l f w - 一m f l u o l l w l p + l ；r ) p o o f f 眦w es b d wt h a ti ft i sc h o s e na p p r o p r i a t e l y , t h em a p p i n g a ：叫_ 甜7 d e f i n e db y fu 0 ( 霉) ， 扭o ， u ( t t ) 2 i ge 。，z 一可，u 。c g ，d 可+ ，g e 。一s ，。一挚，t s ，d ，d 5 ，t 。1 5 w h e r e f ( t ，z ) = 徊i u ( t ，z ) l 缸 ( t ，z ) m a p s s i n t 。i t s e l f w 色d e n o t e t h e 丘r s t 8 n d s e c o n d i n t e g r a l si n ( 5 ) b y1 1a n d 南r e s p e c t i v e l y f o rt 0t h eg r e e nf u n c t i o n ( 4 ) s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gi d e n t i t y j f 函= ff 如 w h e r e z = 科 ； 卫4 = ! ；u ( 砰+ 绣) 玎一e 一即d z r d = ( 5 1 2 十5 2 2 一 【萼警血，如= 钱牟却。 t h e r e f o r e f o re v e r y1sp5o 。，w eh a w 慨= l l g tu 0 8 g l 怯l ；u 0 怯 ( 砰+ 霹) ii l u o i i l sa 彳| | “o f f l a n d j l v j lj l = i i v ( c t + u o ) 1 psl i c t i i l i v “o l l l ， s ( 毋十碹) 钏可u 0 1 l l p 墨m i i w o l i l , 9 ( 6 ) ( 7 ) b y ( 6 ) a n d ( 7 ) ，w eg e t l i t l i i 肌，一( l z ，+ i l v z l 忆) ；1 s ( 脚怖嵫+ m 9 i i w , o l i ，) ； ( 8 ) = m lj u o i l ，m o b s e r v i n gt h a t l i v a d v = - 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