（基础数学专业论文）一类半线性椭圆方程解的严格凸性的研究.pdf

摘要 本硕士论文主要研究了两类方程首先，研究了一类半线性椭圆方程 ( 1 )a w = n ( z ) g ( 加) + 日( 伽) ) f v 硼1 2 ，z qcr 2 解的严格凸性，在一定条件下，我们得到了方程解的严格凸定理其次，对 另一类半线性椭圆方程 伫i 之豫俐， 进行了讨论，并应用所得的严格凸定理，我们得到了方程解u 的函数g ( u ) 是严格凸的 本文的结构如下： 第一章是绪论，主要介绍了该问题产生的背景和研究现状，以及本文 需要引用的一些预备知识 第二章研究方程( 1 ) 解的严格凸性，得到了方程解的严格凸定理 第三章在所得到的严格凸定理的基础上研究了方程( 2 ) 解的函数9 ( 札) 的严格凸性 关键词：严格凸性；凸函数；凸区域；连续性；极值原理 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sf o rm a s t e r sd e g r e e ，w em a i n l yc o n s i d e rt w ok i n d so fe q u a t i o n s f i r s t l y , w ec o n s i d e rac l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ( 1 ) a w = n ( z ) g ( 叫) + h ( w ) ) l v w l 2 ，z q ， w h e r eqi sac o n v e xd o m a i ni nr 2 i ft h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ( 1 ) i sc o n v e x ， w es h o wi ti ss t r i c t l yc o n v e x ，u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n so nn ( z ) ，g ) ，h ( w ) a n dq s e c o n d l y , w ec o n s i d e ra n o t h e rc l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ( 2 ) 罡i 之豫一， w h e r eqi sab o u n d e dc o n v e xd o m a i ni nr 2a n dm i se i t h e rar e a lc o n s t a n to r + o 。 w ea r ei n t e r e s t e di ne s t a b l i s h i n g ，f o ras u i t a b l em o n o t o n ef u n c t i o n9 ( ) ，t h a tf o ra n y s o l u t i o nuo f ( 2 ) ，g ( u ) i ss t r i c t l yc o n v e xi nq t h eo r g a n i z a t i o no ft h i st h e s i si sa st h ef o l l o w i n g ： t h ec h a p t e r1i st h ei n t r o d u c t i o n w em a i n l yc o n s i d e rt h eb a c k g r o u n d ，t h e r e c e n td e v e l o p m e n to ft h ep r o b l e ma n ds o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g e i nc h a p t e r2 ，w ew o r kw i t hac l a s so fe l l i p t i ce q u a t i o n sw h i c hh a v et h ef o r mo f ( 1 ) u n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n so no ( z ) ，ga n dh ，i fw i sc o n v e x ，t h e nwi ss t r i c t l y c o n v e xi nq w h e r eqi sac o n v e xd o m a i ni nr 2 i nc h a p t e r3 ，b ya p p l y i n gt h es t r i c tc o n v e x i t yt h e o r e m ，w es t u d yt h es t r i c tc o n - v e x i t yo fs o m ef u n c t i o no fs o l u t i o n so f ( 2 ) u n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n so n ，h ，a ( x ) a n d 夕( u ) ，w ec a ng e tg ( u ) i ss t r i c tc o n v e x ，w h e r et 正i ss o l u t i o no f ( 2 ) k e y w o r d s ： s t r i c tc o n v e x i t y ；c o n v e xf u n c t i o n ；c o n v e xd o m a i n ；c o n t i n u i t y ； m a x i m u mp r i n c i p l e i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：酲阳劾荡 历如年期“日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留，使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书 2 不保密 ( 请在以上相应方框内打“ 力) 作者签名：砹p l f i 劾茸 导师签名= i 砚韧曦 日期溯年期“日 日期：别年期加 一类半线性椭圆方程解的严格凸性的研究 1 绪论 1 1 问题产生的背景 无论在科学研究或实际生活中，都存在着大量可以用数学描述的问题， 而这些问题一旦加以数学描述后，往往可得到一系列的微分方程一个实 际问题转化成微分方程后，对原问题的解决就依赖于对相应方程的研究 但在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变 量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述那 么就要涉及到偏微分方程，这其中，二阶偏微分方程有着广泛的应用例如 椭圆方程描述腐蚀问题等 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程 的应用范围更广泛近些年来，人们对二阶偏微分方程进行了大量的研究 并得到了丰富的成果，这些成果在许多领域中得到了广泛的应用，也产生 了极为重要的影响在现代的生物，物理和化学领域，偏微分方程的理论和 方法都是不可缺少的二阶椭圆方程的解的几何性质是偏微分方程研究中 的一个经典主题，其中凸性的研究是其中之一凸性描述了椭圆偏微分方 程解的一个重要的几何性质，所以在偏微分方程中，凸性问题长期以来都 是人们感兴趣的问题，并且取得了很多很好的成果1 9 8 2 年，l a c a f f a r e l l i 和j s p r u c k 7 1 研究了一些古典微分问题，得到了解的凸性，1 9 8 5 年，a l a n u k e n n i n g t o n 【2 0 】定义了带指标的凸函数和凹函数，并给出了这类凹( 凸) 函 数的性质，同年，l a c a f f a r e l l i 和a f r i e d m a n 【1 】讨论了一类椭圆方程解的 严格凸性，得到了方程解的严格凸定理，1 9 8 7 年s s a k a g u c h i 【1 8 】研究了退 化的拟线性椭圆方程的d i r i c h l e t 问题的解的凹性下面我们做一些简单的 硕士学位论文 例如第一特征值问题 i t 正+ a t 正= o ，z q ， 汜鞭未 o 。 其中f 是舻中的有界凸区域，1 9 8 7 年，b r a s c a m p 和l i e b 【8 】对这一问题 进行了研究，得到了 = 一l o g u 是一个凸函数这一结果，后来c a 鼢r e l l i 和 s p r u c k 【7 】及k o r e v a a r 【1 2 】也得到了同样的结果a c k e r 、p a y n e 和p i l i p p i n 【4 】 还证明了u 为常数的水平线的凸性 s h i g e r u s a k a g u c h i 【1 8 】讨论了问题 一垅 ( i v “i = - 2 v 让) = a i 就l p 一2 让，x ef 2,(1-2)00 f it 正= ，z 其中q c 矽 2 ) 是有界凸区域，入= i i l f 为p o i n c a r e 常数，得到了u = 一l o g u 是一个凸函数 s h i g e r u s a k a g u c h i 【1 8 】又对下列问题 - d i v ( 1 v u l 确p - 2 v - 1 一印，( 1 - 3 ) ii t = 0 ，z 锄 进行了研究，其中qc 留2 ) 有界凸区域，a = i n f 上i v u i p d x ；v e 附p ( q ) 为p o m c a r e 常数，得到了秒= 仳字是一个凸函致 a l 籼k e n n i n g t o n 【2 0 】讨论了问题 i a u ( x ) 4 - b ( x ，u ( z ) ，d u ( z ) ) = o ，z q ， 二 珏 0 ，z f ， ( 1 - 4 ) i u = 0 ， z 0 1 2 其中，q 是r n ( n 2 ) 中的有界凸区域，乱c ( f i ) n c 2 ( q ) ，6 ：f i x ( 0 ，o 。) x r n _ ( 0 ，o o ) ，0 u ( z ) ； 则u q 在q 中是凹函数 a l a n u k e n n i n g t o n 2 0 讨论了问题 z q ， ，1 、 l l a j 其中，q 是彤( 忍2 ) 中的有界凸区域，罗1 , u c ( q ) nc 2 ( q ) ，若函数 ，：q _ r 是p 凹函数，则有： ( i ) u 在q 中是口一凹函数，其中q = x 9 ( 1 + 2 多) ( i i ) 如果，在q 中是一个不为0 的非负常数，则u l 2 是凹函数( 也就是，如 果，是+ 。凹函数，则u 是丢凹函数) l a c a f f a r e u i 和a f r i e d m a n 【1 】研究了问题 a w = c ( w ) - - t - 日( 埘) i v 加1 2 ，x qcr 2 ， ( 1 - 6 ) 这里的q 是兄。中的凸区域，他们得到了方程解的严格凸定理，即：如果彬 在q 中是凸的，且q 不是带状区域，则w 在q 中是严格凸的除此之外， 他们还研究了问题 a u = 伽) ，z q ，( 1 7 ) 【u = m ， z a 52 其中，q 是砰中的一个有界凸区域，a q c 2 , 口，m 是一个实常数，他们应用 所得到的严格凸定理，得到了该方程解的函数g ( u ) 是严格凸的 受l a c a f f a r e l l i 和a f r i e d m a n 1 】的启示，本文对方程( 1 - 6 ) 和( 1 7 ) 进 行了推广，主要研究问题 a w = a ( x ) g ( w ) + h ( w ) ) l v w l 2 ，z qcr 2 ， ( 1 - 8 ) 3 0 = q，a扛，z + 、l ， ， z 0 以= u ，lfll 硕士学位论文 和 忙2 锲瓷一( 1 - 9 m x ， i 札= ， 锄 7 在( 1 - 8 ) 中，q 是砰中的一个凸区域若对a ，g ，h 和w 给出适当的假设 条件，我们应用极值原理方法，可得到一个与l a c a f f a r e l l i 和a f r i e d m a n 1 1 类似的方程解的严格凸定理 在( 1 - 9 ) 中，q 是r 2 中的一个有界凸区域，a q c z 口，m 是一个实常数 我们采用连续性讨论的方法，并应用极值原理和所得到的严格凸定理，我 们证明了方程( 1 - 9 ) 的解u 的函数9 ( 札) 是严格凸的 4 一类半线性椭圆方程解的严格凸性的研究 1 2 预备知识 1 2 1 极值原理 我们假设一般的二阶椭圆算子l 为如下形式： nn 厶让= 一口巧巧+ b “如+ 铡 ( 1 - 1 0 ) i , j - - - - 1 i - - - - 1 1 c 三0 的弱极值原理：设u c 2 ( u ) n c ( _ ) ， ( 1 ) 如果l u o ，z u ，则有m 可a x u2 弓笋u ( 2 ) 如果l 让o ，z u ，则有r e _ 【，i n u = m 鲫i n t l 2 c 0 的弱极值原理：设u c 2 ( u ) n c ( _ ) ， ( 1 ) 如果l 珏0 ，z u ，则有m 可a x u m a u a x u + ( 2 ) 如果三u 0 , x u ，则有m 可i n 让一m a u a x 珏一 3 c 0 强极值原理：设t c 2 ( c ，) nc ( 秒) ，在区域u 内c 0 ，并且u 是一 个连通区域 ( 1 ) 如果l u 0 ，x u ，且u 在移内的非负极大值在内部达到的话，则u 在 区域u 内是常数 ( 2 ) 如果l u 0 ，z u ，且u 在- 0 内的非正极小值在内部达到的话，则u 在 区域u 内是常数 4 极小解：考虑问题 ， 雠z 羔 m 硕士学位论文 记泛函 j ( 口) = z ( 去i v u l 2 + f ) ) d z ( f ) = o 。，( s ) d s ) ( 1 - 1 2 ) 该泛函是定义在下面的可容许函数集合中 k = h 1 , 2 ( q ) ，在a q 上口= m ( 1 - 1 3 ) 如果能够找到这样的u k 使得它满足j ( u ) = r a i n 。kj ( u ) ，那么显然u 也 是问题( 1 1 1 ) 的解，此时，我们称这样的缸为问题( 1 1 1 ) 的极小解 1 2 2 凸函数 1 凸函数的定义：设，为定义在区间i 上的函数，若对j 上的任意两点 z l ，z ：和任意的实数入e ( 0 ，1 ) ，总有 ，( ) 沉1 + ( 1 一入) z 2 ) x f ( x 1 ) + ( 1 一入) ，( z 2 ) ，( 1 - 1 4 ) 则，称为j r 上的凸函数若是 ，( 入z 1 + ( 1 一, x ) x 2 ) 0 ，若u q 是凹函数，我们称u 是o 凹函数如果把o 的取值范围 扩大到整个实数域，即q 【一o o ，+ 】时，我们称u 是o l 一凹函数，若 f u = 常数，口= + 。o ， lu n 是凹函数，0 口 + 。， l o g u 是凹函数， a = 0 ，( 1 - 1 6 ) lu 口是凸函数， 一o o 0 ，z j ) ( 2 ) 设f ( x ) 是开区间，上的可导函数，f ( x ) 是区间，上的凸函数铮曲线 y = ，( z ) 位于它任意一点切线的上方 4 凸函数的性质： ( 1 ) 设，是区间，上的可微凸函数，则x o 是，的极小值，( 勘) = 0 ( 2 ) 若f ( x ) 是区间，上的凸函数，k 为非负实数，则k f ( x ) 也为区间，上的凸 函数 ( 3 ) 若，( z ) 、9 ( z ) 均为区间，上的凸函数，则f ( x ) + 9 ( z ) 也为区间，上的凸 函数 ( 4 ) 若厂( z ) 、9 ( x ) 均为区间，上的凸函数，k 。、k 2 为非负实数，则七。f ( z ) + k 2 9 ( x ) 也为区间j 上的凸函数 7 一类半线性椭圆方程解的严格凸性的研究 1 3 本文的主要工作 基于上述问题和思想，本硕士论文的主要工作为： 首先，我们研究了问题( 1 - 8 ) ，得到了方程解的严格凸定理，也就是在问 题( 1 - 8 ) 中，若下列条件 掣 o ，巾) 0 ，掣 o 鬻 0 ，z q ， ( 1 - 1 8 ) a 2 ( a a ”一2 d 2 ) + n ( g ”h + g h ”一4 g 7 h 7 ) j p 2 + ( 日”一h 7 2 ) p 4 0 ，z q ，( 1 - 1 9 ) a g g ，+ 2 g h p 2 一h g p 2 0 ，z q ，( 1 2 0 ) 成立，则在q 中，对于函数咖( 见定义2 1 ) ，若0 ，且咖0 ，则 0 ，即 方程( 1 - 8 ) 的解是严格凸的 其次，我们还研究了问题( i - 9 ) ，得到了方程解缸的函数g ( u ) 是严格凸 的令w = g ( u ) ( u 为问题( 1 - 9 ) 的解) ，则又把问题( 1 - 9 ) 转换成问题( 1 - 8 ) 的 形式若对g , f 和a ( x ) 给出适当的假设条件然后运用连续性讨论法，极 值原理以及所得的严格凸定理，可得到9 ( u ) 是严格凸的 9 一类半线性椭圆方程解的严格凸性的研究 2 严格凸定理 2 1 引言 本章中，我们将讨论一类半线性椭圆方程问题 a w = a ( z ) v ( w ) + h ( w ) i v w l 2 ，( 2 - 1 ) 其中，q 是r 2 中的一个凸区域，且8 ( z ) ，g ，h c 2 + a ( q ) 1 9 8 5 年，l c a f f a r e l l i 和a f r i e d m a n 【1 研究了问题 a w = g ( w ) + h ( w ) l v w l 2 ( 2 - 2 ) 在g 和日满足一定的条件下，他们得到： 若( 2 - 2 ) 的解w 在区域q 中是凸的，且q 不是带状形区域，那么w 在q 中 是严格凸的 在这一章中，我们把 1 的结果推广到( 2 - 1 ) 一类半线性椭圆方程解的严格凸性的研究 2 2 主要结果及证明 定义2 1 = l 加1 2 一w i j w i j ， ( 2 - 3 ) a 或 = 2 ( w 。王w y v f f j x y w x ! ，) ，( 2 - 4 ) 其中x 1 = z ，z 2 = y ，w 12w z ，w 1 l = w x x ， w 1 2 = w x y ，w 2 2 = 定理2 2 若n ( z ) ，g 和h 满足下列条件： a w 0 ，x q ，( 2 - 5 ) 掣洲杪。，警 0 掣如舢( ，2 ) ，( 2 - 6 ) g 0 ，x q ，( 2 - 7 ) a 2 ( c g ”一2 g 7 2 ) + n ( g ”h + g h ”一4 g 7 h 7 ) p 2 + ( 日h ”一h 7 2 ) p 4 0 ，z q ，( 2 - 8 ) a g g + 2 g h7 p 2 一h g p 2 0 ，z q ， ( 2 - 9 ) 其中，qcr 2 如果在q 中，0 ，且0 ，则在q 中 0 证明：对定理的证明，我们采用反证法，假设咖 0 不成立 由假设 0 不成立可知：3 x o q ，使得( 护) = 0 实际上，由这一条 件我们可以证明 在x o 的一个领域内，咖三0 ( 2 - 1 0 ) 由这一结果再应用连续性讨论法，可推出在整个区域q 中，三0 ，这恰与 我们的已知条件“0 ”相矛盾，所以假设不成立，即咖 0 首先由0 及( 2 - 4 ) 得毗z 埘l ，! ，w 2 1 ，0 ，又由( 2 - 5 ) 得+ f f j y y 0 ， 所以有 w z x 0 ， w y l l 0 ( 2 - 1 1 ) 】3 硕士学位论文 为了简单起见，我们不妨令护= 0 ，用b 表示以0 为圆心、p 为半径的 圆在整个证明过程中，最关键的是要证明存在区域b ，使得 妒+ e b i 瓤+ c 多s0 ， ( 2 - 1 2 ) 成立，这里的b i 和c 都是连续函数因为后面我们会应用到极值原理，所 以在这里把c 写成c = c + 一c 一的形式，并把它代入( 2 1 2 ) ，可得 + e b i 矽戤一c - 妒0 ，z b p ( 2 - 1 3 ) 则由极值原理可推出( 2 1 0 ) 是成立的因此，该定理证明的重点就是要证 明( 2 1 2 ) 为了证明( 2 1 0 ) 在任意点牙都成立，我们可以选择法向量坐标，对牙进 行旋转变换，通过旋转变换后，使得在新坐标系下，满足 蛾” ) = 0 ( 2 - 1 4 ) 我们把该旋转变换记为马设入。，a 。是h e s s i a n 矩阵 1w z z w z y ) 仁 的两个特征值，那么有入1 + a 2 = a w ，a 1 a 2 = 咖因为妒( o ) = o j l n w 0 所 以在0 处，入1 + a 2 0 ，入1 入2 = 0 ，则可推出在0 处，入1 入2 ，利用连续性，在 岛中入t a z 同样也成立我们可选择一个相对于牙是光滑变化的旋转变 换马，如果能够在( 2 1 4 ) 满足的条件下得到( 2 - 1 2 ) ，那么在用回原坐标时， ( 2 - 1 2 ) 依然成立的，虽然此时系数b i 变成了另一个新系数所以下面我们 只要证明( 2 1 2 ) 在( 2 1 4 ) 的假设条件下成立即可，下面为具体的证明 由多= i 叫1 2 一w i j w i j 得 x = l 叫1 2 一( 叫巧) ， ( 2 - 1 6 ) 一类半线性椭圆方程解的严格凸性的研究 化简得 z x = 2 a w a 2 w + 2 1 v ( a w ) 1 2 2 w i y a w i 一2 w i j k w o 七 令p = i v w l ，由( 2 1 ) 得 ( a w ) o = ( a ( x ) o ( w ) + h ( w ) p 2 ) 巧 = a o g + 2 a i g | w j 七a g 。w 沁 + a g fw 岵+ h 。w 晒p 。 + h ”w i 尸2 十2 h w t ( j p 2 ) 巧+ h ( p 2 ) 巧 ( 2 - 1 7 ) ( 2 1 8 ) 为了使计算简便一点，在点牙处如果a b 可以用玩九+ 砸的形式表示， 那么我们可以简记成a b ，这里的b ；，c 是连续函数类似的，在童处，如 果a b + e b i o i + c ，那么就简记为a 重b 例如，在牙处，( 2 1 2 ) 式可简写成 重o ；同样，由( 2 4 ) 和( 2 - 1 4 ) 得 把( 2 - 1 8 ) 代入( 2 - 1 7 ) 中，得 t k z t 7 盼一0 ( 2 - 1 9 ) 主砂= 叫【。g + 2 g 7 v 口v + n g + n g ”尸2 + 日7 伽p 2 + 日”i v 伽1 2 尸2 + 2 h v w v p 2 + 2 h v w v ( a w ) + 2 h w 臼w 玎】 一t j b 皓g 七2 a i g i 氆 + a g l 叫潮 + a g t w i t + h | 抛皤p 2 + 日”w i w j p 2 + 2 h 7 w ( 尸2 ) j + h ( p 2 ) 巧】+ i v ( a w ) 1 2 一w 巧知伽巧七 = a w a a g + 2 g 7 v a v w + a g p 2 + h ”p 4 + 2 h v w v p 2 + 2 h v w v ( 叫) + 2 h w i j w 巧】一w 巧【o 巧g + 2 a i g w j + a g ”w i w j + h ”w t u j p 2 + 2 h 毗( p 2 ) j + g ( p 2 ) 巧】 + j v ( z w ) 1 2 一w 巧七 巧七+ ( a g + h p 2 ) 1 5 ( 2 - 2 0 ) 硕士学位论文 最后得 三一( n g + h 尸2 ) = 锄 口g + 2 g 7 v 口v w + a g ”尸2 + 日”p 4 + 2 h 7 v w v p 2 + 2 h v w v ( a w ) + 2 h w 巧w 巧】一w 巧陋嵇g + 2 a l g q + a g ”w t t + 日”w i p 2 + 2 h w i ( p 2 ) j + h ( p 2 ) 巧】 + l v ( z w ) 1 2 一w 巧k w i j 七 ( 2 - 2 1 ) 在孟= 0 处，有三o ，九= 0 ，九= 0 ，又因为w 七w 掣掣= 伽卫2 0 ，我们不妨假设 w 鲫= 0 ，则利用这个条件和( 2 8 ) ，我们可以得到在孟= 0 处，( 2 2 1 ) 的右边式 子a w ；似为大于0 的常数) 如果嘶( o ) = 0 ，则( 2 - 1 2 ) 成立，那么该定理 的证明就完成了；如果w 可( o ) 0 ，那么我们将需要进一步计算 对( 2 4 ) 式的两边同时关于x 和y 微分，结合( 2 - 1 4 ) ，则可得到 同样可得 在牙= 0 处，还有 砂= w x x w 掣! ，+ 叫一0 ， ( 2 - 2 2 ) f = w $ 善掣w y + 叫。z w 掣拶一0 ( 2 - 2 3 ) ( p 2 ) = 2 w $ 叫嚣王+ 2 w 2 。+ 2 w 叫z 2 | ， ( 尸2 ) f 掣= 2 w 霉w 卅可+ 2 w w 掣鲫+ 2 训品 ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) ( p 2 ) 王= 2 w 茁t l k ，( 尸2 ) 耖= 2 w v w 鲫 ( 2 - 2 6 ) 接下来，我们可由( 2 1 9 ) ，( 2 - 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 计算( 2 - 2 1 ) 式右边日前面的系数， 1 6 它的系数为 一类半线性椭圆方程解的严格凸性的研究 2 a w ( v w v ( a w ) + 巧 u j 巧) 一( p 2 ) 巧 = 2 ( w + 加，可) 【( 伽。，i t ) ( 硼扰。+ 叫踟，t l j 茹$ y + 伽螂) + 叫：。+ 伽；】 一【叫( p 2 ) 嚣+ 鲫( p 2 ) 鲥】 = 2 ( 叫w 茹伽制+ 叫z z w | ， u j 坩+ 加列叫z 叫嗽+ w f t f ，! ，y w z z y + 叫w ；+ 伽v v 2 z ) = 2 【耽( 掣可誓 扰+ 弛影彬2 ) + 嘶( t 盼+ 嘶鲈趔铭f ) + 譬彬站2 ，】 一0 ( 2 2 7 ) 类似的方法，我们得到( 2 2 1 ) 右边式子中日7 的系数一0 的，而且n g ，+ 日”p 2 的系数等于w 。土2 + 叫盼蛾2 ，因此由( 二2 1 ) 可推出 其中 令 三刨一( + p 2 ) ( 2 + 加w 加：) + r ， r= g ( w x 七a 鲫+ 叫鲫口) + 2 g 7 ( 口z 毗伽掣p + c e i l w 加z 善) + 2 ( t z 毗鲫+ 砚z 掣一彬船2 掣一钳毛) 硝= w x x x w z 删+ 硼。掣叫舢一叫：z y 一训毛 如果雪= 0 ，则由( 2 - 1 4 ) 和( o ) = 0 可推出w x 。伽可耖= 0 ，因为a w 0 ， 妨假设叫嚣( o ) 0 ， s ，v ( o ) = 0 ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 所以不 前面有提到映射t ：牙_ 瓦是光滑的，那么，如果牙b p 且p 充分小， 则存在一个与牙无关的常数r r t ，使得 伽嚣2 m ，伽列0 ，( m 0 ) 接下来我们用w 的更低一些的微分形式来表示兄，首先 档霉+ t o 王掣掣5 妣2( n g ) z + ( h p 2 ) z = a = g + a g w x + h 7 p 2 虬+ 2 h w 善叫。正， 1 7 ( 2 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) 硕士学位论文 令 由( 2 2 2 ) 得 f = g + n g 7 t 如+ h p 2 w 善+ 2 h w 盘叫站 一一争，则善一茜 ( 2 3 3 ) 同理，有叫跏一一百w x x y w y y ，伽z z | ，一袅，其中= 。掣g + a g 伽暂+ h 7 p 2 w y + 2 h w v w 孵 因此 又因为 r 。一 伽z 2 z z w i ，掣伽2 ”w 鲫 w x x叫z $ = 呜2 。警2 一叫一2 警2 2 w 霉霉+ 叫盼 w x x = 一老叫吨。一瓦1 伽伽：茁f 一一砭w y y 山若2 2 w u u ) 一 叫乞【叫嚣一 f 乜吨 ( 一w 掣v ) 2 ( z x w ) 2 = ( w = x + w l ，! ，) 2 = ( 叫嚣一w 剪y ) 2 + 4 w z z w 坩且w z w 列一0 ， 所以 ( 王一w ) 2 一( a w ) 2 ，则 硝一一丝a wf 2 一畿，2 = 一击( 们鲫f 2 + 伽7 2 ) 一一击【g 2 ( 叫鲫n 2 + 蚍n ；) + ( + h ，p 2 ) 2 ( 2 + 叫嚣叫；) + 2 g ( a g + h p 2 ) ( 加鲫伽z + 士o w 可) 】 把硝带入( 2 - 2 9 ) ，得 扣 ( 叫w ；+ 叫| ，”伽：) ( n + h ”p 2 ) + g ( t 7 黜口鲫+ 叫w n 砧) ( 2 - 3 4 ) ( 2 3 5 ) + 2 g 7 ( a x w x w 州+ a y w y w x x ) 一面2 【g 2 ( 伽列。2 + 叫。；) + ( n g + 日群 ( 叫鲫w ：+ 叫z 加；) + 2 g ( a g + h p 2 ) ( n z w w y y + n ，w 掣w 善) 】 1 8 ( 2 3 6 ) 一类半线性椭圆方程解的严格凸性的研究 令t = a g 74 - h 7 p 2 ，得 一( 伽譬2 讹柏( 口“h p 2 一焉) + g ( t 善n ! ，掣4 - w y y a x x ) 一云 g 2 ( 加盼。一24 - w x x n ；) 4 - ( a g g 74 - 2 g h p 2 一h g p 2 ) ( 乜茹虢+ q ) 】( 2 - 3 7 ) 由已知条件( 2 - 5 ) 一( 2 9 ) ，可得吾0 ，即( 2 - 1 2 ) 成立，定理证明完毕! 注2 3 因为a 1 ，入2 是h e s s i a n 矩阵w ：f 魄z 伽x y1 的两个特征值， w x y 彬盼 所以有a l4 - a 2 = a w ，a l a 2 = ，则由定理2 2 得到：入1 0a 220 令a l 0a 2 0 ，也就是矩阵是严格正定的，所以函数w 是严格凸的 注2 4 特殊情况下，当a ( x ) 兰k ( k 为常数) 时，我们( 2 - 6 ) ( 2 9 ) 的条件 可以变为一个条件：( g g ”一2 g 乞) + ( g ”h + g h ”一4 g h ) p 2 + ( 日”一h 2 ) 尸4 0 ，z q ，证明请见 1 】 注2 5如果h = b g ( b 为大于0 的常数) ，则条件( 2 - 8 ) 和( 2 - 9 ) 可分别 化为更简单的条件：g g ”2 g 2 ，g 7 0 定理2 6如果三0 ，则z = 删( z ) 的表面是一个规则的表面 证明：对垤q ，考察函数 面( z ) = w ( x ) 一叫( 牙) 一v 叫( 牙) ( x 一孟) ( 2 - 3 8 ) 因为已知函数镏是凸函数，所以集合k = 佃兰0 n q 也是凸的若k q ， 则在整个q 中，面兰0 ，很显然，此时名= 叫( 。) 是一个规则的表面断言： 如果k q ，那么k 是一条直线，或者是一条带状区域( 2 3 9 ) 用反证法证明如果k 既不是一条直线也不是带状区域，则存在一 个半平面包含k 并且它的边界与k 仅有一个交点，不妨设这个半平面为 1 9 硕士学位论文 x 2 o ) ，并且满足kc z 2 o ) 且kn z 2 = 0 ) 仅有一个点，不妨把该点 设为( o ，o ) 令 s = 一e o z l e o ，一e o x 2 0 充分小，则在a s 上，有e z 2 o 相矛盾，所以在a q 上w 兰m 成立的情况下， z = 彬( z ) 不是一个 规则的表面 一类半线性椭圆方程解的严格凸性的研究 3 一类半线性椭圆方程解的函数的严格凸性 3 1 引言 在本章中，我们首先讨论了方程 a u = q ( z ) ，( u ) + ( u ) i v u l 2 ，z q ，( 3 - 1 ) 【u 2m ，z 扰2 这里的m 是一个实常数，( ) 、h ( t ) c 2 + 口，a ( x ) c 2 + 口( q ) ，a 0 ，f 0 ，h 0 且q 是一个边界属于c 2 扣的有界凸区域，它的边界曲率处处严格取正 为了使问题简单化，在本章中，我们只研究h ( u ) = 0 的情况 a u = 口( z ) m ) ，z q ，( 3 2 ) 【牡。m ，z 铘2 - 在方程( 3 - 2 ) 中，我们对区域q 的要求相对于方程( 3 - 1 ) 中对区域q 的要求 要松一些，只要求q 是一个有界凸区域即可对方程( 3 - 2 ) ，我们主要讨论 函数g ( u ) 的严格凸性，其中 i t 为( 3 - 2 ) 的解 为了使讨论函数的严格凸性变得更简便，我们引入了下面一些知识： 3 1 1函数h 的严格凸性 记 睇( 秒) = z ：l z y i r ，b l p = b p ( 0 ) ， ( 3 - 3 ) q 是r 2 中的一个严格凸区域，o f t c 4 + a ，因此a q 上的曲率是处处大于0 的记 g q ( 砌) = l o g 南一( 训) ，( 3 - 4 ) 2 1 硕士学位论文 其中g n 为区域q 中一的格林函数，k a ( x ，y ) 关于z 是调和的，且当z 锄 时，( z ，y ) = l 。g f ：b 记 ( z ) = n ( z ) = 忌q ( z ，z ) ，z q h 是一个很重要的函数，它在很多变分问题以及其它问题中都起着重 要作用 参照 1 0 】， 3 1 】，对方程 a h = 4 e 驰，x q ( 3 - 5 ) 的解h ，应用比较讨论法，有结论： 如果q 1cq cq 2 ，那么，在q 中，h a 。h a ；在q 1 中，h a h a 。 在圆j e i r 中，k b r ( z ，y ) = l 。g 可南，其中y = ( 入，o ) ，o a r ， y + = ( r 2 a ，0 ) ，因此 鲰( ) = ( 舢) = l 。g 而= l 。g 而r 珂，( 3 - 6 ) 其中d = d ( y ) = d i s t ( y ，o b n ) ，入= r d ，将a 带入( 3 - 6 ) ，得 b 凡( y ) = 一l 。g ( 2 d 百d 2 ) ( 3 - 7 ) 如果q 。是一个半平面，则k a 。( z ，y ) = 一l o gi x y i ，其中y 是y 关于直线 0 1 2 ：的对称点，因此 h a 。( ! ，) = k n 。( y ，y ) = 一l 0 9 2 d ( y ) ，( 3 - 8 ) 这里的d ( y ) = d i s t ( y ，御2 ) 记q o = z 1 2 ；