（基础数学专业论文）产品——扩散模型的稳定性分析.pdf

学科专业：指导教师：产品一扩散模型的稳定性分析基础数学王稳地一藕要研究方向：生物数学研究生：于宇梅( 9 9 1 5 6 )本文的主要目的是建立几个产品一扩散模型并研究这些模型的渐近性态以及广告在产品竞争中的作用第一部分研究了多个产品的扩散模型当三个产品在市场中竞争时，利用推广的p o i n c a r 6 - b e n d i x s o n 定理以及竞争系统理论，我们证明了模型有一个全局稳定的正平衡点，并得到一个没有广告宣传的产品占有市场或被淘汰的阚值当四个产品扩散时，利用h u r w i t z 定理，我们证明了唯一正平衡点是局部稳定性的最后，我们在模型中对使用者离开使用类的速率引进分布时滞，通过构造l i a p u n o v 泛函，得出正平衡点全局稳定的充分条件本文的第二部分研究了带非线性接触力的产品一扩散模型首先考虑了两个产品的非线性接触模型，利用单调性和p o i n c a r 6 一b e n d i x s o n 定理，我们证明了唯厂一正平衡点是全局稳定性的( 在使用者和非使用者等可能接触的前提下，证明了三个产品的非线性接触模型有一个全局稳定的正平衡点，本文的第三部分研究了产品在三个区域间传播的数学模型当产品寿命较长时，该模型具有一个全局稳定的正平衡点同时在广告宣传是周期函数的前提下，讨论了正周期解的存在性和稳定性。、关键词：产品l 扩散，全局稳定，非线性接触，分布时滞，市场、?中图法分类：0 1 7 5 1 ；m s r ( 2 0 0 0 ) ：9 1 8 2 5 3 4 d 2 0 、论文类型：理论研究1 1 1a b s t r a c tt h ea i mo ft h i sw o r ki st oc o n s t r u c ts o m em a t h e m a t i c a ld i f f u s i o nm o d e l sa b o u tc o m p e t i t i v ep r o d u c t si nt h em a r k e t t oa n a l y z et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h e s em o d e l sa n dt os t u d yt h ee f f e c to fa d v e r t i s e m e n to nt h ec o m p e t i t i v ep r o d u c t s i nt h ef i r s tp a r t ；i n n o v a t i o nd i f f u s i o nm o d e l sw i t haf e wp r o d u c t sa r ep r o p o s e d f o ri n n o v a t i o nd i f f u s i o nm o d e lw i t ht h r e ep r o d u c t s ：t h e 斟o b a ls t a b i l i t yo ft h eu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi sp r o v e d ；b yu s i n gt h eg e n e r a l i z e dp o i n c a r 6 - b e n d i x s o nt h e o r ya n dt h ec o m p e t i t i v es y s t e mt h e o r y t h et h r e s h o l db e t w e e nt h ee x t i n c t i o na n de x i s t e n c eo ft h ep r o d u c tw i t h o u ta d v e r t i s e m e n ti nt h em a r k e ti sc o n s i d e r e d f o rf o u rp r o d u c t s ；t h el o c a ls t a b i l i t yo ft h eu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi sp r o v e dt h r o u g hh u r t w i zt h e o r y l a s t l y ，d i s t r i b u t e dt i m ed e l a y s w i t ha d o p t o rr e j e c t i o n ：a r ei n t r o d u c e dt ot h em o d e lf o rt h r e ep r o d u c t s l i a p u n o vf u n c t i o n a li sc o n s t r u c t e dt of i n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft w oi n n o v a t i o nd i f f u s i o nm o d e l sw i t hn o n l i n e a rc o n t a c ti si n v e s t i g a t e di nt h es e c o n dp a r t f i r s t ：m o d e lf o rt w op r o d u c t sw i t hn o n l i n e a rc o n t a c ti sc o n s i d e r e d b yu s i n gm o n o t o n i c i t ya n dp o i n c a r 每- b e n d i x s o nt h e o r 弘t h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h eu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi sp r o v e d f u r t h e r m o r e m o d e lw i t ht h r e ep r o d u c t s ：u n d e rt h ec o n d i t i o no fe q u a l l yp r o b a b l ec o n t a c t ：h a sg l o b a l l ys t a b l ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m i nt h el a s tp a r t ：am a t h e m a t i c a lm o d e li sp r o p o s e dt od e s c r i b et h ed y n a m i c so fu s e r si nt h r e ed i f f e r e n tp a t c h e s t h i sm o d e lh a sa nu n i q u ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mw h i c hi sg l o b a l l ys t a b l e t h e np e r i o d i ca d v e r t i s e m e n t sa r ei n c o r p o r a t e di nt h em o d e la n dt h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e d ，k e yw o r d s ：i n n o v a t i o n - d i f f u s i o n ；g l o b a ls t a b i l i t y , n o n l i n e a rc o n t a c t ：d i s t r i b u t e dt i m ed e l a y , m a r k e t c c l ：0 1 7 5 1 ；m s r ( 2 0 0 0 ) ：9 1 8 2 5 ，3 4 d 2 0 t h e s i st y p e ：t h e o r e t i c a lr e s e a r c h 1 v符号r ”兄!na 。ma 主要符号表含义实竹维向量空间兄“中全体非负向量组成的集合时间不使用任何产品的人的数量产品i 的使用者数量产品i 的广告宣传强度产品i 的使用者与产品非使用者间的有效接触率v前言扩散理论形成于二十世纪五十年代，当时政府官员想知道农民为什么采用新的耕种技术以及他们采用新技术的方式，由政府资助人员研究为什么会有人接纳新技术而有人则不接纳e m r o g e r s 从事的革新扩散研究就是其中的一部分，他在1 9 6 2 年所著革新的扩散一书成为扩散理论的基础虽然研究扩散理论的最初目的是想了解农业技术的传播扩散，但是此理论很快在诸多领域( 如社会学领域，教育，公共卫生，疾病传播，市场管理，地理学，一般经济学，计算机科学等) 中得到广泛地应用( 参见文【1 卜【5 】) ：同时这些应用领域的研究又促进了扩散理论的发展革新扩散理论分析了人们采纳革新的方式，揭示了其中所含的机制，可用来解释社会变化的过程r o g e r s 在文【5 】中，详细阐述了这一理论并赋予革新扩散更广泛的含义他认为：革新可泛指某种被个体或试用的单位看成是一种新的前所未有的观念，行为或目标它应具有相对优越性，兼容性，复杂性，可实验性以及可观察性而扩散则是某特定过程在此过程中，随着时间的流逝，革新通过某些交流( 或流通) 渠道在社会上传播开因此革新扩散理论有四个基本要素：革新，交流( 或流通) 渠道，时间，革新所影响的社会体系从二十世纪六十年代初期起，扩散理论就被用于市场考察由于新产品的失败率高达4 0 一9 0 ：人们需要找到失败原因进而提高新产品的接受程度，因此扩散理论在市场中的应用成了当时的一个主要研究课题在市场经济中最常用到的是r o g e r s l 9 6 2 年提出的扩散模型( 文【1 】) ，由于它本身在实际应用时有局限性，1 9 6 9年b a s s ( 6 ) 提出了另一个新产品扩散模型，这两种模型成为当时人们研究产品在市场中销售状况的基础许多研究者运用扩散理论，考察了与新产品有关的用户行为，探讨新产品的最先使用者的特性以及他们对其他人的影响作用，还有就是研究人们对新产品的接受过程，新产品在种群内和种群间的传播方式等问题但是革新扩散理论虽可作为相当不错的描述性工具，却无法预测产品在市场竞争中的最终结果并为如何加快产品的接纳率提供可行方案1由于凡是与变化率有关的问题几乎都可以用微分方程的模型来研究，而要想明白一个实际系统随时间变化的规律，只需讨论微分方程解的性态，对其进行定性分析即可用微分方程可以更真实地刻画经济瞬息万变的规律，预测产品在市场竞争中的最终结果。为产品上市提供些指导从r o g e r s ( j 5 ) 的研究工作成果可知：一般而盲，新产品上市需经历五个阶段：人们对新产品有所知( 或说有所了解) 的认识阶段，个体对新产品持喜欢支持态度的认可阶段，试用新产品的试验阶段，确定是继续使用还是弃之不用的决定阶段，新产品被接受直至产品到期的实用阶段大众媒体的宣传在认识阶段起着相对重要的作用，而个人间的接触交流则在认可阶段中显得相对重要些文f 1o 建立了新产品通过广告和个人接触传播的模型m a n s f i e l d 和h e n s l e y ( 7 ) 以及s h a r i f 和r a m a n a t h a n ( 8 ) 将流行病动力学的模型与技术传播和革新模型联系起来：s 模型中的易感者s 相当于革新扩散模型中的有可能接受革新的人；感染者( 或传染者1 ，相当于革新扩散模型中的接受革新的人；s i r 模型中的免疫者月相当于革新扩散模型中的拒绝接受革新的人在产品一扩散模型中，很自然地把人群分成两大类：产品的使用者和产品的非使用者并选用广告宣传效用，使用者和非使用者间的有效接触率，以及使用者由于种种原因离开使用类的速率作为模型的关键参数从而有模型：鼍= 8 _ 6 n 一1 n 一洲面d a = ( ，y + a a ) n ( 6 + ) a 其中是产品的非使用者的数量，a 是产品使用者的数量，卢是种群的出生率，6 是种群的死亡率， 表示广告的成功宣传效用，a 表示产品的使用者和非使用者间的有效接触率( 即二者接触后，产品的非使用者受到产品使用者的影响，进而使用产品的速率) ：口是产品使用者由于诸多因素离开使用类的速率2文【9 研究了个人接触在传播中的作用，文【1 1 进一步考察了正负接触影响对产品接受程度的作用c h r i s t o p h e re a s i n g w o o d ( 1 2 ) 等研究了新产品扩散模型里的非一致影响( 此时个人接触是个随时间变化的函数) 对产品接受程度的作用，m a h a j a n ：v 和m u l l e r ：e ( 【2 0 ：2 1 ：1 3 ) 研究了广告的作用并详细介绍了产品扩散的研究工作实际生活中，接受产品或使用产品后由于主客观种种原因而不再使用此产品都不会是立刻就有决定的，必需经过一段时间后才有结果为了更真实的反应实际情况，l a l ( 1 7 ) 考虑了在最常见的革新一扩散模型( 种群受到大众媒体和个人接触的双重影响) 中，分布时滞对整个扩散过程的影响文【2 2 卜【2 4 在使用者离开使用类的速率中引入了分布时滞，得到如下模型a n ，。= 卢一6 一，y 一a a + ，o o p ( s ) a o s ) d s ，面d a = ( y + a a ) n 圳一，。p ( s ) d s 其中p ( s ) 0 是连续可微的减函数这些扩散模型基本上都是研究一个产品去争取市场份额的情形文【2 5 详细研究了两个产品在一个市场中竞争份额的问题然而由于在现实生活中，随着经济，科技迅速发展，产品竞争越来越激烈。常常是多个产品在市场中竞争以取得一席之地为了描述这一现象，有必要研究多个竞争产品的扩散模型本文的主要目的就是建立多个产品的扩散模型并分析它们的渐近性态虽然高维系统的动力行为相当复杂，目前也没有较完备的理论，但高维竞争系统的研究情况要好些，尤其是三维竞争系统h i r s c h ( 2 7 一f 3 1 】) 研究的竞争( 或合作) 系统理论为我们对三个产品竞争市场的全局分析提供了有力的依据因此本文在第一部分详细研究了三个产品的竞争结果，得到了区分没有广告的产品占有市场和被竞争淘汰的阈值我们的研究结果表明如果产品都有起正面效用的广告宣传，则三个产品最终将共同拥有市场在此基础上，我们对使用者离开使用类的速率引入分布时滞，通过构造l i a p u n o v 泛函，得到正平衡点全局稳定的条件此外，还在第一部分考虑了四个产品竞争的情况，证明了唯一正平衡点局部渐近稳定3考虑到社会，个体各种因素环境的局限性，我们通过提出非线性接触率，改进了第一部分所研究的接触率为1 的产品一扩散模型原模型中用a i a , n 表示单位时间内产生的产品i 的新使用者的数量，本文第二部分则用九k l a l + k 。2 1 a 2 + k 3 a 3 来表示：在产品的非使用者分别以h ：七2 ：七3 的可能性和产品1 、产品2 产品3的使用者进行接触的前提下，单位时间内产生的产品i 的新使用者的数量( 其中0 0 ；虻( a 2 ) 0 ：g a ( a 2 ) 0 因此g i ( a 2 ) 是关于a 2 的在f 0 ，c 上连续，单调递增的函数从( 1 2 3 ) 很容易得到c ：a 2 + g l ( a 2 ) + 9 2 ( a 2 ) + 卯( a 2 ) ：( 1 2 4 )而( 1 2 4 ) 右端是一个关于a 2 的在【0 ，c 】上连续，单调递增的函数，它从o ( 若a 2 ：0 ) 单增至c + 9 l ( e ) 十伽( g ) + g a ( c ) c 因此在【0 ，c 上有唯一正解q使得等式( 1 2 4 ) 成立进而再由g i ( a 2 ) 的单增性知，系统( 1 2 2 ) 有唯一的正平衡点e ( a i ，a ；，a ；) 现在我们讨论正平衡点的稳定性纛! 一j 2 三个竞争产品的扩散模型9定理1 2 2系统( 1 2 2 ) 的正平衡点e ( q ，如，鸽) 是全局渐近稳定的证明：首先，我们证明正平衡点e ( a ：，坞，鸽) 是局部稳定的令6 。= m + 丸q o ，屈= d i + 6 t 其中，d = 警系统( 1 2 2 ) 在e ( a ：，钙，如) 的j a c o b i a n 矩阵是它的特征方程是a =一口16 2- b 3- b l一皮- b 36 1山2一岛扩+ a l z 2 + a 2 z + 铂= 0其中，-a 1 = 卢1 + 岛+ 岛 0 ；n 2 = 卢1 屈+ 卢l 岛4 - 仍风一b i b 2 6 1 6 3 6 3 6 2 ；8 3 = 卢l 仍岛+ 2 b l b 2 b 3 6 1 6 2 风2b l b 3 侥一6 2 6 3 卢1( 1 2 5 )= ( d l + 6 1 ) ( d 2 + 6 2 ) ( d 3 + b 3 ) + 2 b l b ：b a 一6 1 k ( d 3 + 6 3 )一6 1 6 3 ( d 2 + 5 2 ) 一6 2 6 3 ( d 1 + b 1 ) 0 定义= f ：三f = n - 啦一铂于是有= ( 卢1 + 仍+ 风) ( 卢1 皮+ 岛岛+ p l 岛) 一2 6 1 b 2 6 3 一卢l 岛风一p 1 6 1 6 2 一p 1 6 1 6 3 一岛6 2 6 l 一母2 6 2 6 3 一岛6 l6 3 一风6 2 6 3 用d 。+ b ，代替第一项中第二个因式里的反：上式中所有负项均可在第一项里找到相同的正项抵消，由于剩余项全为正项，我们知道 0 由h u r w i t z 定理有，矩阵4 的所有特征根都具有负实部也就是说，正平衡点e 是局部渐近稳定的接下来，我们进行全局稳定性的证明显然系统( 1 2 2 ) 是一个三维竞争系统，并且系统内只有一个局部渐近稳定的平衡点，根据文【30 ，要讨论系统的全局稳1 0第一章多个产品的扩散模型定性，我们得先探讨周期解的存在性( 其中包括区域d 中的极限环、同宿轨、异宿轨、定向相多边形) 我们首先来排除周期解的存在令f - - ( f , ，2 ， ) 是一个在区域d 上的连续向量场，其中， = ( m + 九a ) ( c 一4 1 一a 2 一a z ) 一a i a i ：( 1 2 - 6 )再令g2 ( 9 - ，9 。，9 3 ) 2j i ：j ；i 五j ( a z , a 2 , a s ) ( f l ，2 ，3 ) ：则g 是一个在紧子集( 此紧子集含于区域d 的内部) 上光滑的向量场经过一些基本代数计算，可知：( 加+ a 3 a 3 ) ( c a 1 一a 2 一a 3 )a 39 12 石i 一一石9 22( m + a 2 a 2 ) ( c a 1 一a 2 一a 3 )一可( 1 1 + a 1 a i ) ( c a l a 2a 2a 1a 3 )0 1a 2a 1 a 2( 拍+ a 3 a 3 ) ( c a z a 2 一a s ) o r 3a a a 2。a 2舻盟坐监 尘型一署( 7 1 + a l a l ) ( c a 1 一a 2 一a 3 ) 0 1 3一瓦虿一十石由旋量计算公式，经过常规计算有c u r l g = ( 甏一瓦0 9 2 ：瓦o g l 一丽0 9 3 ：甏_ - o 纠g t，( 饥+ ) 、2 a 2 ) a 27 z ( c a 1 一a 2 一a 3 ) 。，y l + , x i a i2l 一五i r 一了五五手一十_ 盯( 讹+ a 3 a z ) a 3( c a l a 2 一a 3 )a 2 a ia 2 a ；7 1 + a i az。a 1 a 2( 1 2 7 )一等一丝气茅a 型+ 丝a 1 a 丛2( 1 。8 )a 1 a ；a li”( 7 1 + ) q a i ) a i7 t ( c a 1 一a 2 一a 3 ) 7 2 + a 2 a 2a 3 a a 3 筲。a 2 a 3( 7 1 + ) h a z ) a 17 1 ( c a 1 一a 2 一a 3 ) 7 3 + a 3 a 3a 2 a a 2 a 。a 2 a 3( t + a 2 a 2 ) a 2 ，y j ( c a 1 一a 2 一a 3 ) 。7 3 + a 3 a 3 、az a ；a 1 a ；a l a 3 j 2 三个竞争产品的扩散模型1 1假设系统在r ；的内部存在周期为u 的周期解：a ( t ) = ( a 1 ( t ) ，a 2 ( t ) ，a 3 ( t ) ) 令：工= ( a 1 ( t ) ，a 2 0 ) ，a 3 ( t ) ) i o tsu ) 则工是系统的周期轨道，进而我们可构造锥面：s = a ( a 1 ( t ) ，a 2 ( 1 ) ，a 3 0 ) ) i ) 、【0 ：1 】，t 0 ，u 】) 对于封闭曲线三上的任意点a ( t o ) ( a l ( t o ) ，a 2 ( t o ) ，a 3 ( t o ) ) ：用( 0 ，a ( t o ) ) 来表示锥面s 上从顶点到点a ( t o ) 的线段锥面s 在而_ 玎丽上每一点的法向量为：n = ( a l ( t o ) ，a s ( t o ) ，a 3 ( t o ) ) ( 1 1 ，2 ，h ) l a ：a ( t 。)= a l a 2 a 3 ( g l ，9 2 ，g z ) l a ： ( o ) 将向量n 标准化，得到单位法向量：n 。壶9 2 ，9 3 ) l 榭( f o ) 其中，k = 百告茏根据旋量的积分表达式，我们容易得出：( 0 , a 丽1 - ，对所有的如【0 ，u 】：均有c u r lg n = 0 由点a ( t o ) ( a i ( t o ) ，a s ( t o ) ，a z ( t o ) ) 的任意性，我们可知在锥面s 上恒有：c u r lg 1 2 = 0 ( 1 2 9 )作曲面= ( a 1 ，a 2 ，a 3 ) a 1 + a s + a 3 = ) ，其中是使曲面与周期轨工不相交的充分小的正数令y 是曲面与由s 所界定的锥的交面显然，将锥分成s 1 ，岛两部分，并且工cs i ：( 0 ，0 ，0 ) c 岛再令s = yus 1 从而s 是由闭轨工张成的曲面，即o s 7 = l 在曲面y上，向外的法向量为：n = 一( 1 ，1 ：1 ) 故y 上的外单位法向量n = 一- 、- 丢j ( iii ) 因此在曲面y 上有：c u r lg n= 丽i ( c “以“) 坐坐型止唑l - i t 鹣1 掣塑必、，on ， 3 0 ( 1 2 1 0 )1 2第一章多个产品的扩散模型由于s 1 和y 是光滑曲面，根据s t o k e s 定理有：d a l + 9 2 d a 2 + 9 3 a 如= f s 。u yc u r lg n 稻从g 的定义知一定有：d a l + 9 2 d a 2 + g a d a 3 = | ：l 乳h + 9 2 | 2 + 9 3 1 3 1 i t = o从( 1 2 9 ) 和( 1 2 1 0 ) 易知：以州叫lg r i d s = f f s c u r lg 。n d s + 儿酬g 刊s= 。；击儿( c - a i - a z “)a 2 1 ，1 2 2 a ；( 1 2 1 1 )( 1 2 1 2 ) 0 这样，( 1 2 1 1 ) 和( 1 2 1 2 ) 矛盾，从而假设不成立也就是说，系统( 1 2 2 ) 没有周期解又因为e 是区域d 的唯一平衡点，而区域d 是系统( 1 2 2 ) 不变集并且没有周期解，由推广的p o i n c a r 6 - b e n d i x s o n 定理( 文【3 2 】) 我们可立即知道：唯一正平衡点e 是全局渐近稳定的1 2 2非负广告宣传效用本小节，我们将考虑没有广告宣传的产品参与市场竞争的动力学模型我们先详细研究一个没有广告宣传的产品同两个有正广告宣传效用的产品竞争一个市场的模型，分析它的全局性态，找出广告在产品竞争中起到的作用；然后我们再考察两个没有广告宣传的产品同一个有正广告宣传效用的产品竟争一个市场的情况；最后我们讨论三个都没有广告宣传的产品的竞争结果不失一般性，我们假设，y - = 0 ：他：加为正的常数此时，系统( 1 2 2 ) 变为訾= a 。【a z ( c a 。一a 2 - a 3 ) 一n - ：等= 恤讹蚴( e a ，一a 2 - 纠一刚：，( 1 2 1 3 )警= ( 柏蛾( c a - 一a ：一纠一刚。j 2 三个竞争产品的扩散模型首先，我们考虑( 1 2 1 3 ) 的平衡点的情况e o ( 0 ，勘，y 3 ) ：其中x 2 ：y 3 满足方程1 3容易看出，系统只有一个非负平衡点+ 圳( c z 一可) 一n 2 z = o ；( 1 | 2 1 4 )( 7 3 + a 3 ) ( c z y ) 一o t 3 y = 0 利用与前面定理1 2 1 相同的方法，容易知道( 1 2 1 4 ) 有唯正解z 2 ：可3 进而，系统( 1 2 1 3 ) 有正平衡点e ( q ，a ，尚) 的充要条件是：a l a 2 a 2 口1 0 2 1 5 1a l a 3 a 3 a , ：c 一粤一。：垒2 l 一一- 0 鉴 0 a 1n 2 a 1 一0 1 a 20 3 a 1 一q l a 3 其中，a ；= 而a 1 7 2 ；a 扣燕；a ：= c 一鼍一驾一线下面，我们先分别考虑平衡点肠和e 的局部稳定性系统( 1 2 1 3 ) 在岛( o ，x 2 ，y a ) 处的j a c o b i a n 矩阵是：b l00- - a 2b 2 一n 2一吐2- a 3一a 3b 3 一0 3( 1 , 2 1 6 )其中，b 。= 九( c x 2 一y 3 ) 一啦( i = 1 ，2 ，3 ) ：0 2 = 他+ a 2 x 2 ：a 3 = 加+ a 3 y 3注意到，z 2 ，蜘是方程组( 1 2 1 4 ) 的解，我们立即可得到：一( 1 j + a 2 2 2 ) 0一( 舶+ a 3 y 3 ) c 一导，蜀是局部渐近稳定的；而如果z 2 + ! 3 c 一 7 - ：则e o 是不稳定的苹一一=| f、)、j现驰23一 0 “= 2 ，3 ) 此矩阵的特征方程是：z 3 + z 2a 1 + 0 2 + a 3 十b 2 + b 3 ) + z ( b 2 b 3 + a 2 b 3 + a 3 5 2 + a l b 3 ) + a l b 2 b 3 = 0因为b 。 0 ：我们马上有n 1 - i - 2 + m + b 2 + b 3 0 ，a z b 2 b 3 0 令b ：i 。1 + a 2a - a 3 十b 2 十6 31lla l b 2 b 3b 2 b 3 十a 2 b 3 十a a b 2 十a l b 3f经过重组以及一些消项，我们可以很容易地判断出：矩阵b 的行列式大于零根据h u r w i t z 定理我们可断言正平衡点e 是局部渐近稳定的接下来，我们考虑( 1 2 1 3 ) 的平衡点的全局性态定理1 2 3 如果x 2 + y 3 c 一警，则系统( 1 2 1 3 ) 有一个全局稳定的正平衡点证明：首先我们证明当z 2 + 珈 c 一警时，正平衡点存在的充要条件( 1 2 1 5 )全部得到满足因为0 z 2 + y 3 鲁+azzz)-o2x2=鼍讹+(鼍a2-(，2ai) z z ： 1 10 = ( 1 3 + a 3 可3 ) ( c z 2 一y a ) 一a 3 可3譬h+a。y3)一。y3a1= 熹1 + ( 导4 1a a a 3 ) 舶、也就是说有不等式o 鲁加+ ( 等卜0 2 ) z zo 等加+ ( 署a 3 - - a 3 ) y 3 ( 1 1 2 1 7 )2 2 三个竞争产品的扩散模型1 5f 1 2 i 7 ) 的两个不等式表明：一定有a 1 q 2 a 2 0 1 ；a 1 锄 a 3 d 1 成立经过简单运算，我们可进一步得到：驴鼎炒鼎( l 2 1 8 )由z 2 + 们 c 一鼍以及( 1 2 1 8 ) 又可以得到至此，( 1 2 ，1 5 ) 的所有条件都得到满足即正平衡点e 的存在性得证运用在定理1 2 2 的证明中所定义的向量场f ：g ( 其中的，y 1 = o ) ，采用与定理1 2 2 完全相同的证明方法。我们仍然可排除在区域d 中周期解存在的可能性又因为局在正a 1 的方向是不稳定的，正卦限边界排斥正解，并且e 是局部渐近稳定的，由文【3 3 】可断言：正平衡点e ( a ，钙，a 1 ) 吸引系统所有正解注从定理1 2 3 证明平衡点e 存在的过程我们可以推断：x 2 + 0 3 c 一半则蕴含了( 1 2 1 3 ) 没有正平衡点( 因为此时不等式( 1 2 1 7 ) - ( i 2 1 9 ) 的不等号反向，致使正平衡点存在的充要条件( 1 2 1 5 ) 中的最后一个条件永远无法满足) 由于当z 2 + y 3 c 一_ t l i 时，正卦限内没有正平衡点，a 2 a 3 的正平面是不a 1变的，并且系统( 1 2 1 3 ) 的任何一个正解都不能在有限时间内到达正的a 1 轴，因此我们有下面的结论：定理1 2 4 若x 2 + y 3 c 一等，更l ie o ( o ，z 2 ，y 3 ) 是全局稳定的从定理1 2 _ 3 ：1 2 4 我们可看出：如果把c 一署看作是类似传染病传播模型中的阈值，那么当有广告宣传的产品的使用者的数量小于此阈值时，没有广告宣传的产品最终将会拥有一部分市场；当有广告宣传的产品的使用者的数量大于此阈值时，没有广告宣传的产品最终将会被竞争的市场所淘汰。m童一童一喵第一章多个产品的扩散模型现在，我们考虑两个没有广告宣传的产品同一个有广告宣传的产品在市场中竞争的情况设7 1 = = 0 ； 3 0 ：系统( 1 2 2 ) 转化成：d a l出d a 2出d a 3出= a l 盼1 ( g a 1 一a 2 一a 3 ) 一o t l ，= a 2 a 2 ( c a 1 一a 2 一a 3 ) 一a 2= ( 加+ a 3 a 3 ) ( c a 1 一a 2 一a 3 ) 一d r 3 a 3通过与上面相同的讨论方法，我们有下面几个结论定理1 2 5当z 3 c 一鲁# r - b - x 3 c a 1e o ( 0 ，0 ，x 3 ) ：该平衡点是全局稳定的其中，( 1 2 2 0 )_ q 2 时，系统( 1 2 2 0 ) 只有一个平衡点 ，黝是下面方程的正根( ，y 3 + a 3 z ) ( c z ) 一o t 3 x = 0定理1 2 6当z 3 c 一譬并且z 3 局( o ，y 2 ，y 3 ) 吸引系统( 1 2 2 0 ) 的所有正解其中口1 讹白2 藤i 万磊q 2 1 色y 32 忑i 五荔e t = c i o t l 一币i 0 i 万 ) 3 磊炉c 一意一丽a 2 7 3 2 “3 一 r u 当m = 0 ：i = 1 ，2 ，3 时，系统( 1 2 2 ) 变化为訾= a z 【a 。( e a 。一a ：一一n 。 ：警= a 2 a 2 ( c 一以1 一a 2 一以3 ) 一a 2 ，( 1 2 2 1 )警= a 。【州c a ，一a 2 - a 。) 一。】由文( 1 5 ， 1 6 ：3 5 我们有结论：定理1 2 7 如果e 、k i h ih 一衄h mj2 三个竞争产品的扩散模型1 7定理1 2 8 当c 譬o ：1 ，2 ，3 ) 时，系统( 1 2 2 1 ) 有平衡点毋( c 一景，o ，o ) ，e 2 ( 0 ：e 一竞，忍( 。 占一竞) 而且如果妄= m a x 等，面a 2 ：毫) ：那么置吸引系注由定理1 2 7 ：1 2 8 可知，当三个产品都不借助广告媒体时。最终在市场竞争中取得胜利的是产品使用者和非使用者的有效接触率与该产品的遗弃率的比值最大的产品综合前几个定理，我们可进一步得出：当产品有正广告效用时，无论是否有人们接触的潜在影响。该产品都将成功的占有市场由此可知，在激烈的市场竞争中，广告的媒体宣传是制胜必不可少的手段之一1 2 3 讨论在本节中，我们假设产品的使用者间不具备可重复性( 即：使用产品1 的人无论如何都不会使用其它产品) ：并且忽略了任何空间转移的可能性借助技术革新一传播模型我们建立了一个描绘三个产品竞争同一市场的动力学模型我们选择产品的广告宣传效用，产品使用者和非使用者之间的有效接触率，产品使用者因各种缘由离开使用类的速率作为模型的关键参数应用h i r s c h 有关竞争或合作系统的一般结论( 文 2 7 一 3 1 】) ：三维竞争系统有着与平面系统相似的动力行为，因此我们排除周期解的存在，再结合推广的p o i n c a r 6 - b e n d i x s o n 定理( 文【3 2 】) ：完成了平衡点的全局性态分析我们在第二小节详细地研究了模型的渐近性态证明了当所有参数为正数时，唯一存在的正平衡点是全局渐近稳定的同时用相似的方法考察了当产品的广告宣传效用是非负数时，产品的最终竞争结果综合本节的8 个定理，我们有如下结论：在产品竞争市场的过程中，如果产品利用了广告这一宣传媒体并取得了正面效果，那么在人们接触交流时，无论非使用者是否受到使用者的潜在影响，该产品终将立于不败之地；而没有广告宣传或宣传效用为零的产品，只有在其他产品占有市场的数量低于某个阈值，并且此产品的使用者和非使用者之间的有效接触率与该产品的使用者离开使用类的速率的比值较大时，该产品才有占领市场的可能否则，这个产品终将被激烈的市场竞1 8第一章多个产品的扩散模型争给淘汰掉由此我们可以判断出当产品竞争同一个市场时，除开产品本身的质量，实用性，美观性等客观因素，强有力的广告宣传是制胜的有效手段之一而没有广告或广告没起作用时。若还给此产品留有机会，则制胜关键在于使用者如果使用者能在有意无意间影响较多的非使用者，( 实际上是变相做广告) 并且使用者较少离开使用类，此产品就有可能拥有市场这些结论与实际生活状况基本上相吻合由此表明，我们所建立的模型有一定的实用价值，能够对产品竞争做出一些预测和指导1 - 3 四个产品的扩散模型由于我们最终感兴趣的是整个市场竞争的状况，进而能够更好更有效地投资开发市场，因此研究更多的产品竞争模型势在必行在本节我们对四个产品竞争一个市场进行了初步探讨，得出正平衡点是唯一存在且局部渐近稳定的我们先建立模型，然后研究平衡点的存在性与稳定性与上一节三个产品的模型相类似，当四个产品竞争同一个市场时，有如下的动力学模型：警= 卢一6 一) 、1 a 1 一) 、2 a 2 一a 3 a 3 一h a 4 一7 1 - 7 2 n 一7 s n 一7 4 n + v i a l - 4 - v 2 a 2 + v 3 a 3 + v 4 a 4 ：百d a l = ( 7 l + a 1 a 1 ) 一( 6 + 钉1 ) a l ：警：( ) 2 - - ka 2 a 2 肌( 轧q 叫d 出a _ a 3 = ( 加+ a 3 a 3 ) ( 6 + u 3 ) a 3 ：面d a 4 = ( 7 4 + a 4 山) ( 6 + 4 ) 也其中山表示第四种产品的使用者数量；九表示非使用者和第四种产品的使用者之间的有效接触率；v 4 是第四种产品的使用者离开使用类的速率，其余各项参数的含义与模型( 1 2 1 ) 相同我们假设所有的参数都是正的常数和( 1 2 1 ) 的讨论1 3 四个产品的扩散模型相同，我们只需讨论下面系统的渐近性态1 9由于模型的实际应用背景，我们只需在区域d = l ，a 2 ，a 3 ，a 4 ) ：0 a l + a 2 +a 3 + a 4se ) 上考虑系统( 1 3 2 ) 的渐近性态即可首先考虑平衡点的存在性我们有；定理1 3 1 如果所有参数均为正的常数，那么系统( 1 3 2 ) 有且只有一个正平衡点e ( a ：，a ；，a ；，a ：) 证明：若求平衡点，只需令( 1 3 2 ) 的右端等于零，从而有：弘a 啦。呐。2 a 2 也2 尊a a。固0 330 44、j他+ a 2 a 2竹+ a 3 a s柏+ a 4 a 4 。因为o i ： y i ：a ，均是正数，在a i 0 的条件下，考虑a 1 + a 2 + a 3 + a 45c 就足够了同前面一样，我们不妨假设垒o l 2 是四个比值中最大的数故由( 1 3 3 ) 我们可解得；n 2 1 】a 2a i 。a 1 7 2 + ( a 2 a l - a l a 2 ) a 21o z 2 讹a 2a 3 a 。3 。7 。2 。+ 。( a 2 。a 。3 。- 。a 。1 3 a 。2 。) 。a 2山2i 再雨a 瓦2 4 了a 2 丽记夕t ( a z ) = 面再瓦a 2 百 l a j 2 忑压9 3 ( a 2 ) = i 再可a 磊2 3 了a 2 丽蕊卯( a z ) = 而o 。2 a 2 ：乳( a z ) = 面再瓦o 。2 i 4 a 丽23aaaaooaq一一一一aaaa一一一一aaaa一一一一aaaa一一一一aa以a一一一ccccaaaaaaaa+饥他竹讹| l=| l1 2 3 4 一以一出烈一出姐一m以出第一章多个产品的扩散模型经过简单计算可知：9 1 ( a 2 ) 0 ：必( a 2 ) 0 ：必( a 2 ) 0 ：g 4 ( a 2 ) 0 因此，9 i ( a ：) 是关于a 2 ( a ：【0 ，c 】) 的连续的，严格单调递增的函数从( 1 3 3 ) 还可轻易得到：c = a 2 + 9 1 ( a 2 ) + 9 2 ( a 2 ) + 9 3 ( a 2 ) + g t ( a 2 ) ( 1 3 4 )由于当a 2 【o ，c 时，( 1 3 4 ) 的右端是如的严格单增函数，而且是从0 ( a 2 = 0 )增至c + 仇够) + 卯( c ) + 9 3 ( c ) + 9 4 ( c ) c 因此在( 0 ，c ) 内，必有唯一正解鸽使得方程( 1 3 ，4 j 成立再由g i ( a 2 ) 的单调性我们就可证明系统( 1 3 2 ) 存在唯一的正平衡点e ( a ：，钙，钙，饿) 从而定理得证接着研究系统( 1 3 2 ) 平衡点的稳定性我们有结论定理1 3 2 系统( 1 3 2 ) 的正平衡点e ( a * 1 ，钙，a * a ，粕) 是局部渐近稳定的证明：令6 t2m + 九冉 o ；屈= 警+ 6 i = a i + 6 ：其中啦= 警：则( 1 3 2 )在正平衡点e 处的j a c o b i a n 矩阵为：它的特征方程是其中a =一觑- b 2- b 3一“一b 1一成- b 3- b 46 16 2一岛- b a- b l6 2- b 3一尻z 4 + d x 2 3 + d ：z 2 + d 3 。+ d 4 = 0d l = 8 l + 8 2 + 8 3 + 8 4 0 ：d 2 = 3 1 8 2 + 队8 3 + 民七3 2 8 3 + 8 2 8 j 广b 3 8 一6 16 2 6 l6 3 6 16 4 一b ：b s 一6 2 6 4 6 3 “：d 3 = 卢l 岛岛+ 卢1 尻尻+ 卢l 风角+ 皮岛风+ 2 b l k 6 3 + 2 b l b 2 b 4 + 2 b l b 3 b 4+ 2 b 2 b a b t 一历6 2 6 3 一卢1 6 2 6 4 一夙b z b 4 一h b 曲3 一h b l b 4 一仍6 3 b 4一岛6 1 6 2 一风6 1 6 4 一风6 2 6 4 一风6 1 6 2 一z 4 b 1 6 3 一z t 6 2 6 3 ：】3 四个产品的扩散模型2 1d 4 = p 1 倪阮角+ 2 卢l b 2 b 3 b 4 + 2 岛b l b a b 4 + 2 岛b l b 2 b 4 + 2 良b l b 2 b 38 l 吣3 b 4 一队f i a b 2 b 4 一凯8 4 b 2 b 3 8 2 8 3 b i b 4 8 2 8 4 b i b 3 8 3 8 4 b i b 23 b t b 2 b 3 b 4= ( a l + b 1 ) ( a 2 + 6 2 ) ( n 3 + 幻) ( 0 4 + b 4 ) + 2 b l b 2 b 3 ( a 4 + b 4 )+ 2 b l b 2 b 4 ( 0 3 + 6 3 ) + 2 b l b 3 b 4 ( a 2 + b 2 ) + 2 b 2 b 3 b 4 ( a l + b 1 )一3 b l b 2 b 3 b 4 一b l b 2 ( a 3 + b 3 ) ( a 4 + b 4 ) 一b l b a ( a 2 + 6 2 ) ( n 4 + b 4 )一b l b 4 ( n 2 + 6 2 ) ( 0 3 + b 3 ) 一b 2 b a ( a l + b 1 ) ( a 4 + 5 4 )一b 2 b 4 ( a l + 6 1 ) ( 0 3 + b a ) 一b a b 4 ( a l + 6 1 ) ( 0 2 + b 2 )= ( a l a 2 + 。1 6 2 + a 2 b l + b l b , 2 ) ( a a a 4 + a 3 6 4 - 4 - a 4 b 3 + b 3 6 4 )+ 2 b l b 2 b a a 4 + 2 b l b 2 b 4 a 3 + 2 b t b a b 4 a 2 + 2 5 2 5 3 b 4 a i + 5 b l b 2 b 3 b 4- b l b 2 ( a 3 a 4 + n 3 6 4 + a 4 6 3 + b 3 6 4 ) 一a z b l ( a 4 b 3 + b 3 b 4 ) 一b l b 2 b s a 4 5 b l b 2 b 3 b 4- a 2 b l ( a 3 b 4 + b 3 b 4 ) 一b l b 2 b 4 a a a l b 2 ( a 4 b a + b 3 b 4 ) 一b l b 2 b 3 a 4- a l