（基础数学专业论文）一维双曲型方程的组合差商法及其在二维中的推广.pdf

封底( 附：学位论文原创性声明和关于学位论文使用授权的声明) 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内各外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究曾做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：童龇 e l期： 2 q q l 生旦 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权贵州大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论吝作者签名：丝挲导师签名：缝! 赶日期：2 q q z 生旦 摘要 本文针对一维和二维双曲型方程的初边值问题，设计了几类高效率串行格式 和并行算法。 首先，运用组合差商算法给出了求解一维双曲型方程的一类显式差分格式， 其精度一般为d ( f 3 + 矿) ，最高精度为o ( r + 矿) 其次，构造了求解双曲型方程 “，+ 删，= 0 的初边值问题的一组含双参数的分组并行算( g e 、g e l 、g e r ) ，格 式的局部截断误差阶一般为o ( f + 功，当p - - - 1 、l 一三 口 o ：当= l 、l 一7 4 = 口 o 且，1 特别当口= 2 1 、 = ；2 时，g e 、g e l 、g e r 格式的局部截断误差阶为d p 2 + 7 1 2 ) ，稳定性条件 z ， 为o - ra 詈。最后，构造了求解二维双曲型方程吩+ 啦+ 6 b = o 的初边值问题 的一组分组并行算法( g e 、g e l 、g e r ) ，格式的局部截断误差阶一般为d ( f + ， 稳定性条件为0 0 w i t h f l = l 、i - 4 口 o a n dr t w i t h p = 1 1 一三：口( 1 t h e l o c a lt n m c a t i o ne r r o ri so fo r d e r + 炉) w i t h 口= 寻， ，。z 夕= 百r - i , t h e s t a b i l i t y c o n d i t i o n i s o 0 ，b 0 0 y l ；t 0 0 s 工l ；t 0 0 sx s 三：0 y l ( 2 ) 其中a , b 为非零常数( 为讨论方便，这里只给出了左边界条件，对右边界问题的 讨论类似) 。 问题( 1 ) 的定解区域是x t 平面的上半平面。分别引平行工轴和，轴的直线， 将区域划分为矩形网格，直线的交点称为节点或网格点。平行于t 轴的直线的间 距a z 0 ( 有时也记为h ) 称为空间步长。平行于x 轴的直线的间矩a t 0 ( 有 时也记为f ) 称为时间步长。这样两族网络线可以写作膏，= y h ，歹= o ，l ，j ，h = - 。7 ； 厶= r t ，n = 0 ，1 ，。网格节点( 而，厶) 有时简记为o ，功 问题( 2 ) 的定解区域是x y 一，平面的上半空间。分别引平行x 轴、) ，轴和 ，轴的平面剖分区域，三平面的交点称为节点或网格点。三个方向的步长分别记 为出、缸、缈或f 、 、吃。为简单起见，我们令缸= 缈( = j i ) ；这样三 ，f 族网格面可以写作而= h ，i = o ，l ：，h = 专：y ，；j h ，_ ，= o ，l ，h = 与； j， = ，| f ，n = 0 ，1 ，网格节点“，) ，) 有时简记为9 ，田。 区域剖分后，取一个局部节点集，它是一个包含( 毛，厶) ( 或 ，乃，) ) 及其 几个相邻节点的集合。在局部节点集上构造逼近微分方程定解问题的差分格式。 在分析差分格式的稳定性时，常需用到以下引理： 引理1 ( s c h u r - c o h n ) 3 5 3 ( j j h m i l l e r ，1 9 7 1 年) 二次多项式 p ( z ) = a z 2 + 舷+ c ( 口o ) 的根z l = p e “，：2 = d e ”，且p 2 j ，p i c l 则 ( 1 ) p l 的充要条件是i 动一品| s h 2 一h 2 。 ( 2 ) p l 的充要条件是j 动一品i 1 日1 2 一阡。 若川= l c l 则 ( 3 ) p = d = l 的充要条件是动= 孔及1 6 i 2 l 口i 。 ( 4 ) p = d = l ，毛乞的充要条件是动= 如及1 6 i 0 【 本章使用组合差商法构造了一类高精度的三层五点显式差分格式。分析了截 断误差一般为o ( f 3 + | 1 3 ) ，当网比和参数取特殊值时，可达d ( f 4 + ) ，并分析了 稳定性条件。本格式精度高，计算简单，计算量小。在相同的稳定性条件下与迎风 格式相比，本格式只增加了两个节点的计算量，就取得了增加二至三阶精确度的效 果，是一类有效的高精度算法。数值例子验证了格式的有效性。 2 2构造差分格式 用如下的差分方程逼近微分方程： 仇4 “；+ q z a ，”n + l - i + a t 3 ，”；+ a r 4 a ，= o ( 2 1 ) 其中，时间步长为f ，空间步长为j 1 彬表示 解函数o ，t ) 在节点( j h ，栉f ) 上的近似值， a ，= 竿( 向前空间差鼽 图i 色“暑= 竺生盟( 向前时间差商) j 。“，n = 华( 一阶时间中心差商) ， 其譬类推玑( 七21 , 2 ，3 4 ) 是待冀系数，适当选择这些参数仉，便差分方程逼近微分 方程具有尽可能高阶的离散误差和较好的稳定性。 当微分方程的解充分光滑时，善焉= 卜口) ”j o i m i + n 百2 1 将( 2 1 ) 中的近似值取为当微分方程的解充分光滑时，去巧2 卜口) ”j i i 百将( 2 1 ) 中的近似值取为 精确值，并在各节点处作t a y l o r 展开，代入( 2 1 ) 中，令产詈，并利用方程上式 可得： 锄+ ，7 2 ) 署哆+ 口( 仉+ 仉磊。，n + 了a h 卜( ，+ 2 溉+ 巩+ ( 2 ，+ 1 1 4 1 a j 萨 j + 譬【- ，2 ”( “3 ，+ 辘+ 仉+ ( 3 r 2 + 3 r + d 玑】窘p 鲁m ( 2 2 ) o饼。二 + 4 r 2 + 6 r + 4 ) 巧：+ 现+ ( 4 ，3 + 缈：+ 4 r + 1 ) 仇1 器哆+ o ( f 4 + 矿) = o 使方程( 2 2 ) 的系数满足下列条件： f r i + r 2 = 1 i ：，三1 一。 ( 2 3 ) j 一( ，+ 2 ) ，7 2 + r 3 + ( 2 r + 1 ) 7 7 4 = 0 、“。7 【一，2 r i 一( r 2 + 3 ，+ 3 ) ，7 2 + 吼+ ( 3 ，2 + 3 ，+ 1 ) 叩4 = o 下而分，1 种情况讨论方稗绸( 2 3 ) ： 2 i 当r - i 且，0 时，从( 2 3 ) 可解得： 仇= 等，仉= 了2 r + l ，节孚嗍= 每等 ( 2 4 ) 仇2 百仉2 1 2 j 厂玑2 护_ 喵一， 把( 2 4 ) 代入( 2 1 ) 得三层五点显式差分格式： ( ，一l 尹+ 2 r l c 2 ，+ 1 ) 叼一2 c 2 r + 1 ) 驴一1 矽+ 2 r ( r 一1 弘爿一c 抄十1 ) ( ，+ 1 ) 哆4 = o ( 2 5 ) 其截断误差是：e = r 2 - 1 ) ( 2 r + 1 ) 3 器i ：+ 。( f 4 + | 1 1 4 ) ( 2 6 ) 即差分格式( 2 5 ) 的截断误差一般为o ( r 3 + 3 ) ，当，= 一去时，截断误差为 o p 4 + ) 此时边界条件需给在右边界上。当，= l 时，( 2 5 ) 可化为 n ，+ l 一甜p = 0 ， 它是沿特征线的计算值此时边界条件需给在左边界上 2 2 当，= 一l 时，从( 2 3 ) 可解得： 聃= 2 k ；珑= 1 2 k ；珐= - k + i ；r h = 七；( 七为参数) ( 2 7 ) 把( 2 7 ) 代a ( 2 1 ) 得差分格式： 兢芦1 一妇+ ( 1 一七) “；+ 一1 爿= 0 ( 2 8 ) 其截断误差为：e = d 0 4 + h 4 ) 此时边界条件需给在右边界上 特别当k = o 时：( 2 8 ) 可化为：“；一“n + - ：= 0 当k = l 时：( 2 8 ) w 比 为：；”一群盖。= o 它们都是沿特征线的计算值此时边界条件需给在右边界上 2 3当节点分布如图2 时，类似可得与( 2 5 ) 、( 2 8 ) 等的对称格式 2 3 1 当，1 时：对称格式是： 七+ 咿? 堆一峨一? 一x ，+ 埘+ 、( 2 9 ) 2 咿+ 1 ) 叼：一c 2 r 1 ) ( ，一1 ) 1 = o 截断误差是： e = 老睁l 胁硝窘p 。( z 4 + h 4 ) 、 、 当，= 去时，其截断误差为e = d ( f l + 矿) 此时 图2 边界条件需给在左边界上。当，= - i 时，( 2 9 ) 可化为：知一- - - 0 它是沿特征 线的计算值，边界条件均需给在右边界上。 2 3 t 2当，= l 时：对称格式是： 妇；“一七甜知，( 1 一七) 彬+ ( 七一d ，u ，, , - - t = o ( 2 x o ) 其截断误差为：e = o ( r + 矿) 此时边界条件需给在左边界上 特别当七= o 时：( 2 1 0 ) 可化为：“；一群；：= 0 当k = 1 时：( 2 1 0 ) 可化 为：甜，一吐。= 0 它们都是沿特征线的计算值此时边界条件需给在左边界上 2 3稳定性分析 3 1 对2 1 ，由f o u r i e r 分析：令曙= 刀e ”，矧 ，r , l - c o s o = v g 0 ，2 】，代入差分格 式( 2 5 ) 得特征方程一+ 肌+ c = o 其中 a = ，一1 b = 2 ( 2 r + 1 ) r c o s 0 - 2 r 2 + ，+ 1 + f ( 2 r + 1 ) r s i n o ； c = 2 r ( r 一1 ) c o s 0 2 r 2 3 r 一1 + i 2 r ( r 一1 ) s i n 0 ； 得：1 4 1 2 - i c l 2 = 一4 r ( 2 r + 1 ) 【3 + ( ，2 1 ) v l 0c ，一r o ( 3 1 ) 又p 一瓦1 2 = ( 4 ，) 2 ( 2 r + 1 ) 2 1 3 一( 2 r 2 + 1 ) v 】2 + 9 r 2 v ( 2 一v ) 由引理1 、2 得： ( 2 ，+ 1 ) 2 1 3 一( 2 r 2 + 1 ) 嵋2 + 9 r 2 v ( 2 一v ) ( 2 ，+ 1 ) 2 【3 + ( r 2 一1 ) v 】2 化简即为：3 r 2 ( 2 r + 1 ) 2 ( ，2 1 ) v 0 。 ( 3 2 ) 综合( 3 1 ) 和( 3 2 ) 可得：p 一副2 q 彳1 2 一i c l 2 ) 2 成立的充要条件是：s ， 0 定理l 差分格式( 2 5 ) 的截断误差：e = 丧( r 2 1 ) p + 1 ) 矿等口相( 4 + 矿) 稳定性条件为：一s ， o j 西缸 7 一 。 甜( x ，0 ) = f ( x ) 0 s x l( 1 ) f u ( o ，f ) = g ( ，) t 0 【 本章利用一个含参数s a u l y e v 型非对称格式和一个含参数的盒式格式构造 了一个分组显式格式g e 和一个g e l 、g e r 格式，它们的局部截断误差阶一般为 。p + ，当卢= i 、l 一；c 口c l 时，稳定性条件为， o ；当= l 、l 号= 口 o 且，1 特别当参数口= - 、1= 等时，g e 、g e l 格式的局部截 断误差阶均为“r 2 + 2 ) ，稳定性条件为o o 和空间步长_ i l o 将定解区域划分为网格，节点为q ，t 2 ，其中 x j = j h ( j = o ，l ，j ， = 二) l ；f n - - - - 7 ( 甩= o ，l ，) 在网点( _ ，一) 处的网格函数 u ( x j ，) 记为m e ，其近似值记为甜j 下面针对- ，的奇偶数性，设计如下几种分组并行的计算方法： 2 1g e 格式 当，为偶数时，为了设计分组并行差分格式，用如下的两个格式构造逼近式 ( 1 ) 的并行差分方程组： ( 2 ) 其中，= a f t 于是当l 一，口+ ，o 时，在第行+ l 时间层上的两个函数值可由 第r 时间层上的3 个函数值显式地进行计算： l 嵋“= q 。啄。+ q ：巧+ q ，略。 【唰= a 2 。略，+ 彬+ z 儡 即； = 肌+ 删知 其中： ( 3 ) ( 4 ) 叼= c 吼神7 ；w 叩瑚7 ；n = 暖：l m - 眨2 l ； 钆= 芈等：铲； q 221 + r ( a + 一i ) 一，2 ( 口+ 一2 口) 1 一ro 【七r 8 一竿罢斧； = 端； = 坐鲁掣； = 坠篙掣； ( 5 ) 将式( 3 ) ，( 4 ) 中的巧换为准确值甜( x j ，) 等，并分别在( _ ，) 、( ，) 处进行 t a y l o r 级数展开得它们的局部截断误差分别为： 丝2 卜r + 掣1 鲁铲g 剧i + d ( n 一r 口+ 口。a x 2l 7、” 制雠 吖 吖 婚啊篇 矿+ 譬 弘丛”，+ 篇崭】0 2 u 1 i + o ( h2 21 ro x ) ： 一r 口+厣1 1 7 7 我们可将每一时问层上的节点( 除左边界点外) 按相邻点两两一组分为三组 并对每组都使用g e 格式( 2 ) 则g e 格式有如下矩阵形式： u = 4 u ”+ w( 8 ) 其中： u = u ? u ：u ? t ： 4 ，= m nm nm nm 卵= b - 喵a 2 - 嵋0 吧： 肘、同前所述 ( 9 ) 2 2g e l 格式 当，为奇数时，在左单点处采用式( 2 ) 中的第二式，在其余j 一1 个节点处反复 使用g e 格式( 2 ) ，故g e l 格式的显示形式为： u 川= 彳2 u 4 + 霹， ( 1 0 ) 其中： a 2 ： m o n o m nm nm m = 眭 n o = ：三： 2 。，；笛= r g ，。，。，：，：= 三二；兰；云壁! ； g = 等乎小丹1 ；叭同前脆 ， 2 3 g e r 格式 当，为奇数时，在右单点处采用式( 2 ) 中的第二式，在其余，一1 个节点处反复 使用g e 格式( 2 ) ，故g e r 格式的显示形式为： 1 i l 卜一2竖： 10j 其中： 彳2 = u 川= a 3 u 4 + w ，( 1 2 ) m nm r oq - 1 ；n l = f0 l ； l oc 3 l j 缸： j 1j 1 2 2 口1 3 0 i 口”oi ；巧= a i i u ：，a ：“i i ，o ，o ：，： c 3 3，j u 。吖同前所述，铲器 z = 向= 訾， 综合2 1 、2 2 、2 3 ，可得： 定理1 当取1 - r a + ，p 0 时，g e 格式( 2 ) 、g e l 格式( 1 0 ) 、g e r 格式( 1 2 ) 的 精度为。( f + ) 特别当取口= 兰、 g e 格式的稳定性分析： = 专尹时，它们的精度都为。矿+ 矿) 。 3 3稳定性分析 。l ：2 名- 一4 3 划一魄+ ，“q 如一q 如= o c z 4 ， 其中五为特征值，令 扣屯：= 坐学 i 一，口十， 仁= 鲤巡苇端产 则可得h l 阍 l 押 2 或o o 0 7 ) 4 + r ( - 4 - 4 口+ 8 | 4 时r 2 ( 4 矿一6 p + 3 a - 3 7 p + 1 ) + r 3 ( 2 p i x a j 口) ( 1 一回 o( 1 8 ) 或 ( 1 - 口) 1 - r ( a - 绷o 彬一1 ) ，+ 2 】 0 4 + ，( - 4 4 口+ 8 夕卜r 2 ( 4 妒一6 p + 3 d 一2 q 缪+ 1 ) + r 3 ( 2 f l 一1 x 口一, 6 3 ( i 一叻o ( 1 9 ) 2 + r ( _ 2 + 2 励+ ，2 ( q 目一历o 当取= l 、， 0 时，式( 1 7 ) 显然成立：结合式( 1 6 ) ，令口 1 ，则式( 1 6 ) 成立 式( 1 8 ) 可化为0 l 一了4 ：综合以上可得：当取：l ，l 一三s 口 o r r 。 都有式( 1 6 ) 、( 1 7 ) 、( 1 8 ) 成立。 当取& = 圭、夕= 等时，由式( 1 6 ) 、( 1 7 ) 、( 1 8 ) 可得： 解得：o r 拿。( 2 1 ) 类似可分析不等式( 1 9 ) 。 从而得g e 格式( 3 ) ，( 4 ) 的稳定性条件为； 定理2 当户= l ，l 一砉 口 。；夕= l ，l 一7 4 = 口 。 且，1 ；口= i 1 、夕= 专 ，。 ，1 3 时。g e 格式( 3 ) 和( 4 ) 是稳 定的 完全类似可知：g e l 和g e r 格式的稳定性条件同于g e 格式。 3 4数值例子 q o o ( 2i ”+ 0 - ， ，、 r 3 4 l。“一 考虑双曲型方程初边值问题 导+ 罢一，( o x d h 0 ，t 训一+ 一= f o x0 ) 西良7一 一。 u c x ，o ) = s i n x ，( 0 s x 兰册 u c o , t ) = s i n ( - 0 ，( ，2o ) ( 2 3 ) 它的精确解为： u ( x ，t ) = s i n ( x f ) 以下数值例子取h = 0 0 2 , n = 1 0 0 1 3 , 对g e 格式取，；5 0 。对g e l 、g e r 格式取，：5 1 表1g e 、g e l 、g e r 格式的误差( 口= 0 5 ，p = ( r 一1 ) ( 2 0 ，r = 1 2 ) 0 20 4 0 。6o 81 0 误差 绝对误差 2 2 0 4 8 0 0 71 7 2 l b 0 0 86 0 8 8 b 旬0 7 2 9 5 5 b 62 5 0 5 b _ 0 0 4 g e 相对误差2 2 6 8 肋0 7 1 7 2 2 e 0 0 8 6 1 6 9 e - 0 1 0 73 1 6 0 硼62 9 6 0 咖4 绝对误差2 2 0 4 e 0 0 71 7 2 1 e 加0 86 0 8 4 b d 0 72 9 0 4 b 62 5 2 4 e0 0 4 g e l 相对误差 2 2 6 8 e - 0 0 71 7 2 2 e - 0 0 86 1 6 4 b 旬0 73 1 0 6 e 0 0 62 9 8 3 e 枷4 绝对误差 2 2 0 4 e 国0 71 7 2 1 e - 0 0 86 0 8 8 b d 0 72 9 5 5 e 啪62 5 0 5 b 删 g e r 相对误差 2 2 6 8 e - 0 0 71 7 2 2 e 0 0 86 1 6 9 e 0 0 73 1 6 0 e - 0 0 62 9 6 0 e 删 表2g e 、g e l 、g e r 格式的误差( 口= o 8 ，p = l ，= 4 ) 、j 误差 o 2 0 40 6o 81 o 绝对误差 5 7 0 6 e - 0 0 31 0 4 5 e 0 0 21 3 6 1 b m 0 21 4 5 l e h ) 0 23 5 6 8 e 0 0 2 g e 相对误差5 9 9 3 b ，0 0 3 1 1 9 8 b 旬0 21 7 9 5 e - 0 0 22 3 6 6 e 瑚28 0 3 4 e 枷2 绝对误差 5 7 0 6 e - 0 0 31 0 4 5 e 瑚21 3 6 1 e - 0 0 21 4 5 5 b 舶29 7 8 2 e ) 0 2 g e l 相对误差 5 9 9 3 e 0 31 1 9 8 b 0 0 21 7 9 5 e - 0 0 22 3 7 3 b 22 2 0 3 鼬o l 绝对误差5 7 0 6 e - 0 0 3 1 0 4 5 b d 0 0 21 3 6 1 b 由0 2 l 4 5 1 b 0 0 23 5 6 8 b - 0 0 2 g e r 相对误差 5 9 9 3 b 伽31 1 9 8 8 0 0 21 7 9 5 b 旬0 22 3 6 6 e 0 0 28 0 3 4 e 0 0 2 以上数值例子表明，本文通过适当调节参数，可得到绝对稳定或二阶精度的 并行格式，验证了理论分析。这篇论文也包含了我的另一篇论文 的结果，是该论文的延伸和推广 第四章二维双曲型方程的分组并行格式 设数学模型为： 挈+ 口丝+ 6 塑：0 一十口+ d 一= 8 t瓠a v u ( o ，y ，t ) = f ( o ，y ，r ) u ( x ，0 ，t ) = g ( x ，0 ，f ) u ( x ，y ，o ) = h ( x ，y ，0 ) 4 1 引言 0 x l ，0 y s l ；t 0 ，口 o ，b 0 0 s y l ；t 2 0 ( 1 ) 0 x l ；t 0 0 x s l ；o s y l 本章利用一个二维显格式、两个二维显隐格式和一个二维隐格式构造了一 组分组显式格式，格式的局部截断误差阶一般为d p + ，稳定性条件为 0 r s l 4 2 构造并行差分格式 设问题( 1 ) 的解材伉乃f ) 充分光滑，以x 、缈和f 分别为x 、y 和r 方向的网 络步长，其中：缸：三，缈：吾，珑和行为正整数，在网点“，j，)处的网格函m忍 数”( 而，乃，i ) 记为陋e ，其近似值记为甜i , j 其中而= 胁o ：o ，1 ，小) ； y ，= j h ( j = o ，1 ，疗) ；t k = k r ( k = 0 ，1 ，) 为简单起见，本文取口= 6 且 肌= 则a x = 缈= _ i ，其中h = 三 下面针对，的奇偶性，设计如下几种分组并行的计算方法： 2 1 g e 格式 当，为偶数时，为了设计分组并行差分格式，用如下的四个格式构造逼近式 ( 1 ) 的并行差分方程组： 2 1 r 甜i 1 + r 雄二l 。，+ ( 1 2 r ) u ； 搿糍秀篡 ：= = ；：笔二 + ( 1 + ，) i 二l = r “三i ，p l + ( 1 一，) “i + i 、。7 一r “，k p + l i + ( 1 + 2 r ) “k + + i t ，h l = ”二i ，p l 其中，= 詈于是在第露+ l 时间层上的4 个函数值可由第七时间层上的8 个函数 值显式地进行计算： 吃1 - - r u 州k + r 吐l + ( 1 2 ，) 吒 k + l = 雨r 2u 州k + 者。+ 雨r 2 硅一訾吒+ 等u 略。= 岳九+ 岳+ 专。+ 訾吒十鲁略 k + l 。= 击【鲁叱+ 岳缸。+ 若畦一鬲r 2 硅。洲+ 即： 其中： + 2r2(1+-_2r)uu,+警馥u+r(11+-，r)1rr+ 。 1 + 计“7 1 + ， u = m l u 叫k 2 + m2 【，皇2 ，+ m 嘭“= 【瞄“ m = o 0 0 o 0 0 o 0 以j 蝶。心】7 ； o， o上 。 三 。 窆 ( 1 + 2 r ) ( 1 + ，) 0 ( 5 ) 心+ 。+ ，一。】 ( 6 ) o 0 o o ， l + r o ( 1 + 2 r x l + ，) ( 7 ) = “ 拶豫m 蹦 一。一 一、 圆 瞄 l 一o一+ o o 南上醐 鬲上0 m = 0 1 一r l4 - r 0 r ( 1 一r ) ( 1 + 2 r ) ( 1 4 - r ) oo o 0 l l + 2 r ( 8 ) 椅孔l 。，、l 刨w 、i 叫分别任( 五，y i ，) 、葺+ l ，y j ，t k ) 、( 薯，乃+ l ，) 、l ，知，气) 处迸行t a y l o r 级数展开得它们的局部截断误差分别为： 驴t a h ( r - i ) 蚍a 2 u 1 ，4 - a r h ：8 a 溉2 l t + 掣科，州班一， 2 帮，飘，雨r 2 a h 丽0 2 ui ，+ i 。- i - a h ( ：l - r ) 一孰u 删中) ( 1 。， 2 掣，科川+ 鲁现+ i + 篙铲斜，。州脚 士篱，筑u + 1 + 百2 r a h 百。 ”。a h ( 1 + 3 ，r ) 鲥i * 1 川+ d ( 删) ( 1 z ) 其中：口+ ，= 2 我们可将每一时间层上簟节点( 除左边界点和下边界点外) 按( 薯，) ，气) ( + l ，乃，气) 、( 毛，乃+ - ，气) 、( ，y j + i t ) ( 其中：i , j = l , 3 ，i n 一1 ) 四个相邻点 组成一组，共分为4 组并对每组都使用g e 格式( 2 ) 且可显示表示为： u “1 = 彳l u + 6 j ，( 1 3 ) 其中： u = 【u hu 刍u 乞u ：u 刍u ：。u 毛u ：2u u 矗u b 工u 乞 u bu ：3u & u ：4u ；，u ：3u ：4u ：4 u ：。，u 乞u ：。u ： u k j 1u 2 k j iu 矗u 毛 1 1 3 k i u 4 k j i u ”ku 4 j k uj ki l i l j k - i u j ，l kju b 】r ，万 。鲁舞 一o 力一 力一 二 知一”一即一协一o一o一力一h 墨墨盖呐 a i = q = m 1 m 2 m i 1 。 m 2 m j p = m l m l m 1 = 呲碓碓6 0 t j ：；醴= 瞄砘砘也一k ； 硝= 鹏+ 毗岳吨+ 雨2 吨+ 雨r k 专畦+ 岳吨+ 南2 盛 赢吨+ 赢吨+ 百忑2 而r 3u t k 。+ 石忑轰2 而吨】1 ) c 5 硝- 【k 冉 雨r 2u ；+ 两r u 雨r 2u ；百条吨+ 丽p 2 u k ( i = 3 ，5 ，j - 1 ) 。 嘭= 呲岳吨雨p k ，+ 岳吨百i 而2 缸，+ 百再而2 r 3 吨 0o o 】h ” ( ，= 3 ，5 ，j 一1 ) ( 1 4 ) 2 2 。g e l 格式 当j 为奇数时，在靠近下边界的每两个内点“，y j ，f i ) 、“+ ，乃，t k ) ( i - 2 ，4 ，t t l 1 ) 组成一组，采用式( 2 ) 中的第一式和第二式；在靠近左边界 的每两个内点( t ，乃，气) 、( 薯，乃+ - ，) ( j f f i2 ，4 ，肼一1 ) 组成一组，采用式( 2 ) 中的第一式和第三式；在( 而，乃，) 点采用式( 2 ) 中的第一式：在其余一1 ) x ( j - 1 ) 个节点处反复使用g e 格式( 2 ) ，就得g e l 格式，其矩阵形式为： u “= 彳：u 十6 ：， ( 1 5 ) q q p q 户 q p 其中： u = 【u 矗 u k 2 u k 4 a 2 。 u b 。u 毛，畦u 畦 u 乞u 品u ：。u 乞畦u 畦 吨u 羡u ：u 盖u ：uu 嘉 u u k ju b lu h lu hu ”k u 4 k 川u 牡kl u 4 j k u 甜ku k l lu 矗l u k l j u ：】r e fg hg 日g hg q = 降 e 。 g = f = d o d 2 d i 。 d 3d l d 3d l d 3 d d l s l m m 2 m m 2 m d 2 r r ， d 2 = l ，2i ； 【百；j 。 m 2 m 五= ：r2 d o = 【l 一2 ，】1 x l ； f o， 岛2 io 立l ； l1 + r j a 2 ，0 ，2， l + r1 + r = _ r 一2 0 l + r 2 ，2 ( 1 + 2 r ) 0 + r )o + 2 r x l + ，) h = d 3 m i m l 姑屹吨畦屹岐 心心 畦心屹商如曲进屹咳畦吨吨 。堕m o一+ o o者上醐 ，户一m，雨矿一 6 ；= 跳6 墨6 二虼诤； 砝= 喊+ m 品岳u 嘉+ 南吨m “m ：。鬲r 2u o 击u ； 磅- 【m m k 雨t 2u k o j 赤u + 未u ；( 1 + 2 r r 2 x l + r ) u 。k w ，+ 赢u k 。 0 o 】 u = 2 ，4 ，一1 ) ； m 、m 、鸩同前所述 ( 1 f i ) 2 3g e r 格式 当，为奇数时，在右边界上的每两个内点( _ ，乃，) 、( 屯，y j “，) ( 其中： ，= l ，3 ，m 一2 ) 组成一组，采用式( 2 ) 中的第一式和第三式；在上边界上的每 两个内点( 而，乃，t k ) ( 一十l ，乃，t k ) ( 其中：i = l ，3 ，肌一2 ) 组成一组，采用式 ( 2 ) 中的第一式和第二式；在( 巧，乃，) 点采用式( 2 ) 中的第一式；在其余 u - 1 ) x ( ，1 ) 个节点处反复使用g e 格式( 2 ) ，就得g e r 格式，其矩阵形式为： u “1 ，一，u + 6 ；， ( 1 7 ) 其中： u = 【u ：u 嘉u 。k ：u 毛u ；。u 射ku ，k ：u 乞u u u u 毛。u 知u b u 矗u 笔u 乞u 矗u 羔u k 3u 盖u ku k ，u b ，u k 。u ：u u 嘉u k u ku u u 知lu u u 圳ku 州k u u ：l 如u b hu ：u u 矗l u bu 知u bu ：ju 知u bu k ju b u 0u b ，u 易u ：uu b r a ，= w 】，z w = m m 2 m m 2 m l id i w x w x w x x = z ； m l m i d l l 2d l m l 工2 l 2d l l 2d i b i d o 厶号仨4 l 1 + rj 6 ：= 【6 三6 姜砖 蜀c 【0 ，】 6 知z b k 】逸： 硝= 【磕砖砖如或】。掣； = 【矗+ m 品 岳u 。岳u 品+ 击u k o j ，= b 2 b 2 r o， 上i ：f ，： r 雨 b 2 r o 0r 垦；i，： 2 卜。南 b l 击u + 三l + ru + 岳u 品 百丽r 2u + 矸丽2 r 3u 矗+ 石丽2 r 3u + 赤u k k 。 _ 【m ：。，鬲r 2u ：+ 两ru ，岳u ： ( i = 3 ，5 ，- ，一2 ) ； 砖= 【m 品鬲r 2u ； 赢u ：+ 万獗r 2 而u k 再丽r 2 晦。+ 而丽2 r 3 吨 砖= 【毗岳u k j 。o 】。：膨、m 、鸠、d o 、叠同前所述 ( 1 8 ) 由( 9 ) 一( 1 2 ) 式可得： o 二m d o o 南 定理1 当1 + ，0 且l + 2 r 0 时，式( 1 3 ) 、式( 1 5 ) 和式( 1 7 ) 的精度 一般为o ( r + ) 4 3稳定性分析 g e 格式的稳定性分析： 由式( 1 3 ) 的增长矩阵的特征方程可得 l i a 。l = 则：1 2 i q i _ 五i - q p 名i - q p 名i - q p 名i q 五i m - m2 a i - m m2a i - m 从而： i ) t l ml = 0 其中： = o ( 1 9 ) =o(20) ( 2 1 ) 1 名一( 1 2 r ) l r ( 1 2 ，) 1 1 一r i - t f 俨而 盯一肘l - j 一r ( 1 - 2 r ) oa 一生 i 1 + r1 + r l 2 r 2 ( 1 2 ，)，( 1 一r ) ，( 1 一，) l ( 1 + 2 r ) ( 1 + ，) ( 1 + 2 r ) ( 1 + ，)( 1 + 2 r ) ( 1 + ，) “ ( a 为特征值) 因i 盯一膨l 是一个下三角行列式，故显然有： 一 1 - 2 r 且f 鲁l t 且l 击l t 解得：0 r 1 ( 2 2 ) 又当r = 1 时。m = 从而： m 2 ：m m ： - i 一三o 2 一j i o o 一三 oo 1 33 一三o 2 一三oo 2 一三oo 1 33 1 l 2 1 2 1 3 o oo 00 i 3 递推可知；m 对v 未有界。 从而可得： 定理2 c , e 格式( 1 3 ) 的稳定性条件为o ，s 1 三 o 2 i 1 oo 三 oo 1 9 。 9 类似可得； 定理3 当取0 ，1 时，g e l 格式( 1 5 ) 、g e r 格式( 1 7 ) 以及是稳定的。 4 4数值例子 考虑二维双曲型方程初边值问题 i 詈+ 罢+ 考= o o sz 砌；o s y s j h ；，o u ( o ，y ，f ) = s i n ( 一y4 - 2 t ) 0 y s j h ；f 0 ( 2 3 ) j u ( x ，0 ，) = s i n ( - x + 2 00 s x j h ；r 0 l u ( x ，y ，o ) = s i n ( - x 一 ，) 0 s 鼻s j h ；0 s y s j h 它的精确解为： u ( x ，y ，t ) = s i f t ( 一x y + 2 f ) 以下数值例子取h = o 1 ，甩= 1 0 0 0 ，对g e 格式取j = 1 2 ，对g e l 、g e r 格式取 j = 1 3 g e 、g e l 、g e r 格式的误差( r = 0 9 ) 、逛，y ) ( o - 4 o( o 4 。o。( o 4 。1( 0 8 ，o( o 8 ，o( o 8 _ 1( 1 2 o( 1 2 o( 1 2 1 误差 4 )8 )2 )曲8 )2 )4 )，8 ) 2 ) 绝对误差 2 9 3 5 p3 ，2 7 9 。-2 3 4 5 e w3 2 7 9 e 3 7 2 7 e 1 6 9 4 争2 3 4 5 e -1 6 9 4 e , -1 6 0 1 e - g0 0 口0 0 220 0 20 0 20 0 20 0 222 e3 0 3 l e -3 8 1 8 e -3 7 7 4 e 3 8 1 8 e -6 1 3 3 e -6 0 6 2 0 - 3 7 7 4 e - 6 0 6 2 e -i 9 3 0 e - 相对误差 0 0 220 0 20 0 220 0 20 0 20 0 2i 2 3 3 7 。2 7 8 8 e ，2 0 2 6 e *2 7 8 8 e -3 ，3 9 7 e -1 铭2 p20 2 6 e -1 5 8 2 e -1 4 9 3 e - g绝对误差 20 0 220 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2o 。2 b 2 3 9 9 e -3 2 2 8 e _3 ，2 4 3 e -3 2 2 暑e -5 5 6 0 e -5 6 3 b e -32 4 3 e 5 6 3 8 e -1 7 7 7 e - l 相对误差 220 0 20 0 20 0 20 0 20 0 20 0 2l 1 6 4 8 e -1 9 9 7 e -1 刚e -9 9 2 6 e -3 1 9 6 e _8 5 1 5 e -4 ，0 5 拓4 6 2 6 e -5 0 7 2 。 0 绝对误差 20 0 20 0 20 0 30 0 30 0 40 0 20 0 20 0 2 e l j 6 7 9 e 2 。2 9 i e _ 2 7 0 0 e - 1 _ l o l e - 4 9 3 l e -2 跖5 e - 5 9 1 5 c -1 3 5 0 e - 2 2 7 4 e - r 相对误差 0 0 20 0 20 0 晓20 0 330 0 20 0 ii 以上数值例子验证了理论分析的正确性，表明了本文的格式可行性与有效 致谢 首先感谢我的导师张大凯教授。本文是在张教授的悉心指导下完成的，从本 文的选题、文献的收集到论文的写作以及最终定稿。无不倾注了导师的大量心血 和汗水，张老师渊博的知识、严谨的治学态度、勤恳的工作作风和温和宽厚的性 格让我耳濡目染，受益终生。研究生学习期间，张老师不仅对我的学习、研究悉 心指导，而且在生活方面给予无微不至的关怀和帮助。在此，谨向我最尊敬的导 师致以最崇高的敬意和由衷的感谢! 这里还十分感谢师母对我生活上的关怀和帮 助! 感谢向淑文老师、项筱玲老师、韦维老师、杨辉老师、彭长根老师、舒丹老 师、明祖芬老师、何淦潼老师、王凯老师和袁吴老师等数学系的各位老师给予我 的谆谆教导与热心帮助! 在此，谨向我最尊敬的领导、老师致以最崇高的敬意和 诚挚的谢意! 衷心感谢三年来在生活、学习上给予了我众多帮助的同学们l 最后衷心感谢我的家人