（基础数学专业论文）非交换图与有限群的结构.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 非交换图与有限群的结构 基础数学专业硕士研究生杨芳平 指导教师陈贵云教授曹洪平副教授 摘要 众所周知，群与图之间有着密切的关联在许多情况下利用群的性质可以得到 一些图的性质，反之亦然例如， g r u e n b e r g 和k e g e l ( 参见文 1 3 】) 引入了有限群 g 的素图r ( g ) 的定义，给出了素图不连通的有限群的性质w i l l i a m s ( 1 3 ) 给出了 散在单群和奇特征的李型单群的素图分支，给出了偶特征的李型单群的素图分支 很多学者利用这些性质来研究某些单群的纯数量刻画，如“群的阶和元素的阶”或用 “元素的阶”来刻画单群 素图的边的定义反映了一个p 阶元与一个q 阶元的交换性对于元素的非交换 性，文【2 中给出其定义如下的非交换图：v ( g ) 的顶点集合是g z ( g ) ，两个顶点 z 与y 有边相连的充分必要条件是z 可y z 2 0 0 6 年，a a b d o l l a h i ，s a k b a r i 以及h r m a i m a n i 在文【1 】1 中提出了如下 猜想： 猜想一设g 和日均为非交换有限群若v ( a ) 笺v ( 日) ，则i g l = i h i 猜想= 设日为有限非交换单群，g 为非交换有限群若v ( a ) 竺v ( 日) ，则 g 型h 近些年来，许多群论学者都在研究有限单群的非交换图，并得到了一些非交换 图与单群一一对应的结论，但是对于非单群的非交换图与其结构之间的联系极少有 人研究本文结合有限群的结构，对非单群也采取了非交换图刻画，建立了某些非 单群和其非交换图之间的对应关系文章分为四节，主要有如下内容： 第一节介绍了本文的研究背景 第二节介绍文中常用的数学符号，基本概念及用到的引理 第三节采用群分类定理研究卸2 阶群的非交换图和其结构之间的关系 西南大学硕士学位论文中文摘要 第四节采用群分类定理研究印阶群的非交换图和其结构之间的关系 采用卸2 ，印阶群的分类定理验证了对于这些群两个猜想是正确的 关键词：有限群；非交换图；中心化子；同构 l l 西南大学硕士学位论文英文摘要 t h en o n c o m m u t i n gg r a p h sa n ds t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s t u t o r ：p r o f g u i y u nc h e na s s o c i a t ep r o f h o n g p i n gc a o a u t h o r ：y a n gf a n g p i n g a b s t r a c t g e n e r a l l y ，t h e r ei sa ni n t i m a t er e l a t i o nb e t w e e nt h eg r o u p sa n dg r a p h s ，a n d i nm a n yo c c a s i o n sp r o p e r t i e so fg r a p h sg i v er i s et os o m ep r o p e r t i e so fg r o u p sa n dv i c e v e r s a f o ri n s t a n c e ，t h ep r i m eg r a p hr ( a ) a s s o c i a t e dw i t haf i n i t eg r o u pgi n t r o - d u c e db yg r u e n b e r ga n dk e g e lw h og i v es o m ep r o p e r t i e so ff i n i t eg r o u p sw i t hn o n - c o n n e c t e dp r i m eg r a p h w i l l i a m sc l a s s i f i e df i n i t es i m p l eg r o u p sw i t hn o n - c o n n e c t e d p r i m eg r a p h e s ( c f 1 3 】) t h e s ep r o p e r t i e sa n dc l a s s i f i c a t i o nu s e di nq u a n t i t a t i v ec h a r - a c t e r i z a t i o n so fs i m p l eg r o u p s ，f o re x a m p l e ，c h a r a c t e r i z a t i o no ff i n i t es i m p l eg r o u p sb y “t h eo r d e ro fg r o u pa n dt h es e to fe l e m e n to r d e r s ”a n d 。t h es e to fc l e m e n t o r d e r s ” t h ee d g e so fap r i m eg r a p hd i s c r i b et h ec o m m u t a t i v er e l a t i o no fa ne l e m a n to f o r d e rpa n da ne l e m a n to fo r d e rq ag r a p ht od i s c r i b et h en o n - c o m m u t a t i v er e l a t i o n s o fc l c m a n t si nag r a p hi sc a l l e dn o n - c o m m u t i n gg r a p hv ( g ) ，w h i c hw a sd e f i n e di n 【2 】a sf o u o w s ：t h ev e r t e xs e to fv ( a ) i sg z ( g ) ，t h e r ei sa ne d g ec o n n e c t i n gt w o v e r t i c e sza n dyi fa n do n l yi fx y y x i n2 0 0 6 ，a a b d o l l a h i ，s a k b a r ia n dh r m a i m a n ip u tf o r w o r dt h ef o l l o w i n g c o n j e c t u r e s ( c f 1 ) ： c o n j e c t u r e1 l e tga n dha r ef i n i t en o n - a b e l i a ng r o u p ss u c ht h a tv ( c 1 型 v ( h ) ，t h e ni g l = i h i c o n j e c t u r e2 l e tgb eaf i n i t en o n - a b e l i a ns i m p l eg r o u p sa n dhaf i n i t e n o n - a b e l i a ng r o u ps a t i s f y i n gv ( c ) 竺v ( 日) ，t h e ng 笺h i n r e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a r ss t u d i e dt h ef i n i t es i m p l eg r o u p sb yi t sn o n - n l 西南大学硕士学位论文英文摘要 c o m m u t i n gg r a p h ，a n da b t a i n e dt h a tt w on o n - c o m m u t i n g so fs o m es i m p l eg r o u p sa r e i s o m o r p h i ci fa n do n l yi ft h et w os i m p l eg r o u p sa r et h es a m e b u t s of a rf e wp e o p l e t os t u d yt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h en o n - c o m m u t i n gg r a p h sa n ds t r u c t u r e so ff i n i t e n o n s i m p l eg r o u p s h e r et h ea u t h o ri n v e s t i g a t e st h et h en o n - c o m m u t i n gg r a p ho f 8 0 m eg r a p h sa n dg e tt h er e l a t i o no fi t ss t r u c t u r ea n di t sn o n - c o m m u t i n gg r a p h t h e p a p e rc o n s i s t so ft h ef o u rf o l l o w i n gs e c t i o n s ： i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c es o m eb a c k g r o u n d so fo u rr e s e a r c h i ns e c t i o n2 ，w ei n t r o d u c es o m es y m b o l s ，b a s i cc o n c e p t su s e di nt h ep a p e r i ns e c t i o n3 ，w es t u d yt h en o n - c o m m u t i n gg r a p ha n ds t r u c t u r eo ff i n i t en o n s i m p l eg r o u p so fo r d e ro f4 p i ns e c t i o n4 ，w es t u d yt h en o n - c o m m u t i n gg r a p ha n ds t r u c t u r eo ff i n i t en o n - s i m p l eg r o u p so fo r d e ro fs pb y t h ea u t h o rs t u d i e st h en o n - c o m m u t i n gg r a p ha n ds t r u c t u r eo fs o m ef i n i t en o n - s i m p l eg r o u p sb yu s i n gc l a s s i f i c a t i o no fg r a p h so fo r d e r s4 p 2a n ds p ，a n dp r o v et h a t c o n j e c t u r e1a n dc o n j e c t u r e2a r ec o r r e c tf o rt h e s eg r o u p s k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ；n o n c o m m u t i n gg r a p h ；c e n t r a l i z e r ；i s o m o r p h l v 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：寻匆考子 签字日期：易7 。年f 月，2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：张豸智 导师签名： 签字日期：刀乃年上、月，砂日签字日期：年月 日 西南大学硕士学位论文引言 第一节引言 人们研究代数结构时常常考虑到与之有关的图，利用图的性质研究群的结构在近 二十年是一个十分活跃的课题例如g r u e n b e r g 和k e g e l 引进了有限群的素图f ( g ) 的概念a b e 和i i y o r i 提出了有限群的可解图r s ( g ) 的概念此外，有限群的交换 图也引起了广泛的关注，本文研究的非交换图即为交换图的补图，具体定义如下： 设g 为有限群，记它的非交换图为v ( c ) ，v ( c ) 的顶点集v ( c ) = g z ( g ) ， 点x ，y y ( g ) ，z ，y 有一条边连接当且仅当i x ，y 】1 ，记作z y 与之有关的概念和符号如下t 与顶点g 相连的边数称作g 的度数，记为d e g ( g ) 两个非交换图v ( g z ) 和v ( g 2 ) 称作同构的，如果它们的顶点集间存在一个一一映 射：妒：v ( g 1 ) _ y ( g 2 ) ，使得任意的u ，v v ( c 1 ) ，乱一移当且仅当妒( 钍) 一妒( 秽) 这 样的映射妒称作个图同构对于同构的图v ( a 1 ) 和v ( g 2 ) ，记作v ( g 1 ) 竺v ( a 2 ) 显然，若v ( g 1 ) 竺v ( g 2 ) ，则i y ( g 1 ) i = i y ( a 2 ) 1 可见文献【3 】 关于非交换图的研究问题最早由p a u le r d s s 于1 9 7 5 年提出：设群g 的非交换图 没有无限的完全子图，那么它的完全子图的基数是否存在有限上界? b h n e u m a n n 在文【3 中肯定的回答了这个问题，得到了一个十分精彩的定理：群g 是中心被有 限的扩张当且仅当g 的每个无限子集都包含一对可交换的元素 近年来对非交换图的研究主要限于有限群文( 1 】 2 】提出了关于有限群的非交换 图的一系列猜想和问题，非常巧合的是文 1 和f 2 不约而同的提出这样一个猜想， 如下： 猜想一设g 和日均为非交换有限群若v ( a ) 垒v ( ) ，则l g i = i h i 两篇文章均部分的解决了这个猜想，证明当群g 和群日之一为，a ，d 2 。，散 在单群，素图分支不小于2 的李型单群或不可解a c 一群时猜想成立由于群的非 交换图同构时群未必同构，例如弋7 ( d 8 ) 垒v ( q 8 ) ，但仇与q 8 不同构，所以自然要 问，是否哪些群的图具有独特性，即只要某个群的图与此群的图同构，就能断定这两 个群同构于是进一步文 1 】提出如下猜想： 猜想= 设g 为有限非交换单群，日为非交换有限群若v ( a ) 笺v ( h ) ，则 1 西南大学硕士学位论文 引言 g 竺月 由文献【2 ，8 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 】可知：迄今为止，这方面的成果可以总结 为如下定理 定理假定n 是一个自然数，口是任何素数的方幂设日为有限群，g 为下述单群 之一：a t o ，s u z u k i 单群，p s l ( 2 ，2 n ) ，s z ( 2 2 1 ) ，l 2 ( q ) ，l 3 ( q ) ，u 3 ( 口) ，则v ( h ) 垒v ( g ) 当且仅当h 竺g 显然，猜想二是针对有限非交换单群的，对于非交换非单群是否成立当然也是 有趣的问题文【1 4 】已经证明当非交换群g 为劫阶，卸阶，2 p 2 阶，& 时猜想 二亦成立 本文继续上述研究作者通过计算，将一些固定阶的非单群的非交换图确定出来， 后利用图论基本知识以及群论基本知识确定与非交换图同构的有限群的阶，最后利 用群分类定理将此群的结构确定出来即对有限非单群也采取了非交换图刻画，建 立了某些非单群和其非交换图之间的一一对应关系，即v ( v ) 笺v ( h ) ，则g 垒h 2 西南大学硕士学位论文预备知识 第二节预备知识 我们先对一些符号和术语做下面的说明： 群g 是有限群，v ( c ) 表示群g 的非交换图，v ( g ) 的顶点集v ( g ) = g z ( g ) ， 点x ，y y ( g ) ，x ，y 有一条边连接当且仅当陋，y 】1 ，记作x y 与顶点9 相连的边数称作g 的度数，记为d e g ( g ) 两个非交换图v ( g 1 ) 和v ( g 2 ) 称作同构的，如果它们的顶点集之间存在一个 一一映射； 妒：y ( g 1 ) _ y ( g 2 ) ，使得任意的u ，口y ( g 1 ) ， i t v 当且仅当妒( 让) 一妒( 口) 这 样的映射妒称作个图同构对于同构的图v ( g 1 ) 和v ( g 2 ) ，记作v ( g 1 ) 竺v ( g 2 ) 除特别说明外，小写字母p 总表示一个奇素数其它未解释的名词和术语都是 标准的，参见文 1 】 2 】其中g 的具体定义可见文中各个章节 下面介绍一些文中要用到的一些引理： 引理1 1 2 】设v ( a ) 兰v ( h ) 且z ( a ) = 1 若v ( e ) 中存在顶点g 使d c g ( g ) = l g | _ 2 ，则l g i = l 驯 引理2 1 1 4 1 若v ( g ) 竺v ( ) ，则g 竺瓯 本文的主要结论： 定理3 2 设函为卸2 阶0 为奇素数) 非交换群，i = 1 ，2 ，1 6 ，g 为有限群， 那么 ( 1 ) 若v ( g ) 笺v ( g 1 ) ，则g 型g t ，或g 垒g 2 ，或g 垒g 3 ，或g 型g 4 ； ( 2 ) 若v ( g ) 垡v ( g 5 ) ，则g 垒g 5 ，或g 竺g 6 ，或g 笺g t ； ( 3 ) 若v ( a ) 兰v ( g 8 ) ，则g 垡g s ，或g 垒g o ； ( 4 ) 若v ( v ) 竺v ( g 1 3 ) ，则g 竺g 1 3 ，或g 竺g 1 4 ； ( 5 ) 若v ( g ) 掣弋7 ( g 1 5 ) ，则g 笺g 1 5 ，或g 竺g 1 6 ； ( 6 ) 若v ( a ) 皇v ( g ) ，则g 皇g t 囊= 1 0 ，1 1 ，1 2 3 西南大学硕士学位论文 预备知识 那么 定理4 2 设g 为8 p 阶0 为奇素数) 非交换群，t = 1 ，2 ，1 6 ，g 为有限群， ( 1 ) 若v ( a ) 型v ( g ) ，则g 垡g i ，或g 竺g 件1 ，其中i = l ，3 ，1 0 ； ( 2 ) 若v ( g ) 竺v ( g 5 ) ，则g 笺g 5 ，或g 竺g 6 ，或g 竺g 8 ，或g 竺g 9 ； ( 3 ) 若v ( g ) 竺i 7 ( c 1 4 ) ，则g 竺g 1 4 ，或g 竺g 1 6 ； ( 4 ) 若v ( g ) 笺v ( g t ) ，贝4g 垒g i ，i = 7 ，1 2 ，1 3 ，1 5 4 第三节采用群分类定理用非交换图刻画卸2 阶非单群 引理3 1 1 5 1 设素数p 3 ，则4 p 2 阶非交换群有 ( i ) 当p 三l ( m o d4 ) 时有1 2 个，其构造如下， ( 1 ) g 1 = ( o ，坊，矿= 1 = 铲，b 一1 a b = a - l ； ( 2 ) g 2 ：( 口，b ，c ，9 ) ，a p = b p = c 2 = 9 2 = 1 = 【。，6 】= i t , g l = 陋，c 】= i b , c ，9 1 a 9 = d 一，9 1 b 9 = b - l ； ( 3 ) g 3 ( 4 ) g 4 ( 5 ) g 5 ( 6 ) g 6 ( m o dp ) ) ； ( o ，b ，c ) ，u p = 6 p = c 4 = 1 =【o ，6 】，c 一1 a c = a - 1 c 。1 b c = b - l ； ( 口，b ，c ) ，a p 2 = b 2 = c 2 = b ，6 】= i b , c 】= 1 ，c 一1 口c = 8 。1 ； ( 口，6 ) ，扩= 1 = 5 4b - l a 6 = a r ，其中7 1 2 三一l ( m o d 矿) ； 似，c ) ，扩：b p ：c 4 = 1 = 陋，b ，c - l a c = n r ，c 一1 6 c = 6 r ，( 其中r 2 三一1 ( 7 ) g 7 ：( n ，b ，c ) ，扩= 6 p = c 4 = 1 = a ，6 】，c 一1 。c = b - 1 , c - 1 6 c = 口； ( 8 ) 瓯：( 。，b ，c ) ，矿= 6 p = c 4 = 1 = 【。，6 】，c 一1 a c = b ，c - 1 6 c = 口； ( 9 ) g 9 = ( o ，b ，c ，9 ) ，矿= 6 p 【b ，c 】，g 一1 a g = 6 ，g 。b g = o ； ；c 2 ：夕2 = 1 = 【n ，砩一【c ，g 】= 【n ，c l = ( 1 0 ) g 1 0 ：缸，b , c , g ) ，扩= 6 p = c 2 = 9 2 = 1 = 口，6 】= i v , 夕】，c 。口c 2 a 一1 c i b c = b - 1 , g 一1 a g = 6 ，g 一1 b g = 口； ( 1 1 ) g n ：( 。，6 ，c ) ，a p ：6 p = c 4 = 1 = 【n ，6 】，c 一1 。c = ( a b ) r , c - 1 6 c = ( q 。1 6 ) r ，其 中( 2 r + 1 ) 2 兰- l ( m o dp ) ； ( 1 2 ) g 1 2 = ( 。，6 ，c ) ，扩：6 p = c 4 = 1 一b ，b l ，c 一1 n c = ( 。6 ) - rc - 1 6 c = ( 曲_ 1 ) 7 ，其 中( 2 r + 1 ) 2 篓- l ( m o dp ) ； ( i i ) 当p 三一1 ( m o d4 ) 时，其构造分别为t ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) ，( 8 ) ，( 9 ) ，( 1 0 ) 引理3 2 1 6 】当p ：3 时，3 6 阶非交换群除上面( 2 ) ，( 3 ) ，( 7 ) ，( 8 ) ，( 9 ) ，( 1 0 ) 外还有以 下四种情况： ( 1 3 ) g 1 3 ：( 口，b ) ，0 1 8 = 1 = b 2 , b 一1 a b = a - 1 ( 二面体群) ； ( 1 4 ) g 1 4 ：( n ，6 ) ，a 1 8 = 1 ，b 2 = 。9 ，b - l a b = o 一1 ( 广义四元数群) ； 5 西南大学硕士学位论文 采用群分类定理用非交换图刻画a p 2 阶非单群 ( 1 5 ) g 1 5 = ( a ，b ，c ，9 ) ，a 2 【c ，9 1 ，g - 1 a g = b ，o - l b o = a b ； = 6 2 = c 3 = 9 3 = 1 = 【a ，6 】= a ，c 】= 【b ，c 】= ( 1 6 ) g 1 6 = ( a ，6 ，夕) ，口2 = 6 2 = 9 9 = 1 = 【a ，6 】，g _ 1 a g = 6 ，夕_ 1 b g = a b 为方便起见，我们将引理3 1 和引理3 2 中的群g l 称为( i ) 型群，i = 1 ，1 6 命题3 1 对于( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 型群g ，分别令h = ( a ，6 2 ) ，( a ，b ，c ) ，( a ，b ，c 2 ) ，( a ，6 ) ，g = b ，g ，c ，c ，则下列结论成立： ( a ) h 是g 的2 矿阶交换正规子群，且g = huo h ； ( b ) 对任何h h z ( g ) ，有d e g ( h ) = 2 p 2 ； ( c ) 对任何g h g h ，有d e g ( g h ) = 4 p 2 4 证 以群( 3 ) 为例，其它可类似证明 ( a ) 由定义关系知结论显然成立 ( b ) 由群g 的定义关系知z ( a ) = l ，c 2 ) ，且对任意的h h 有g - * h g = h 对v h h z ( g ) ，有日( ) ，且c v ( h ) g ( 否则h z ( g ) ) ，因此c v ( h ) = h ， 从而 d e g ( h ) = i g i _ i c a ( h ) l = 2 p 2 ( c ) 下面确定d e g ( g h ) ，只需考虑c v ( g h ) 对v h l h z ( g ) ，由于c g ( h 1 ) = h ， 故h i c g ( g h ) ，故日中的元只有1 ，c 2 c v ( g h ) 设o h l c v ( g h ) ，则 ( g h l ) - 1 ( g h ) ( g h l ) = g h 其中夕九1 ，g h g h ，由群的定义关系可知： g h = f l h g h 1 = o ( o 一1 f l h g ) 九1 = g h 一1 危； 从而( f 1 ) 2 = 1 由于日是g 的交换子群，故日中的2 阶子群只有z ( g ) ，所 以h - i l h = 1 或c 2 故h l = h 或h l = c 2 九所以 c a ( g h ) = 1 ，c 2 ，g h ，g h c 2 故deg(gh)=4p24 命题3 2 对于( 5 ) ，( 6 ) ，( 7 ) 型群g ，分别令h = ( o ) ，( a ，6 ) ，( a ，6 ) ，c = ( 6 ) ，( c ) ，( c ) 则下列结论成立： ( a ) 群g 是f r o b c n i u s 群，其f r o b e n i u s 核为p 2 阶交换群h ，f r o b e n i u s 补为4 阶循环群c ； 6 西南大学硕士学位论文 采用群分类定理用非交换图刻画劫2 阶非单群 ( b ) 对任何h h 一【l 】，有d e g ( h ) = 3 p 2 ； ( c ) 对任何g g 一日，有d e g ( g ) = 4 矿一4 证 以群( 6 ) 为例，其它可类似证明令g s = g ( a ) 对h = a i b j ，若c - 1 h c = h ，则c - l a b j c = a i b j ，即口一咖= a i 驴，于是 n ( 一1 ) i 6 ( 一1 h = 1 ，从而i = j = 0 ，故c 在日上的作用无不动点，类似地c 2 ，c 3 在h 上的作用无不动点，所以c 在日上的作用无不动点，所以群g 是f r o b c n i u s 群，其f r o b c n i u s 核为h ，f r o b e n i u s 补为c ( b ) 对v 1 h h ，由( a ) 有c a ( h ) = h 所以 d e g ( h ) = i g | _ i c o ( h ) l = s p 2 ( c ) 对v h c i 日，i = 1 ，2 ，3 ，不难得到g 中元的阶是1 ，2 ，4 ，p 又日为g 的 正规s y l o wp - 子群，所以g 的p 阶元全在日中，从而九的阶为2 或4 ，因此九c t 含在某个s y l o w2 一子群q 内，但q 循环，因此c v ( h c i ) 2q ，若c g ( h c i ) q ，则 c g ( h c ) 中含p 阶元，这与c g ( h ) = h 矛盾，故c g ( h c i ) = q ，从而i ( ) i = 4 ， 所以 d e g ( h ) = | g i i c g ( h c i ) i = 铲一4 命题3 3 对于( 8 ) ，( 9 ) 型群g ，分别令h = ( a ，b ，c 2 ) ，( a ，b ，c ) ，g = c ，g ，则下列结论 成立： ( a ) h 为群g 的2 p 2 阶交换正规子群，且g = h ug h ； ( b ) 对任何h h z ( g ) ，有d e g ( h ) = 印2 ； ( c ) 对任何g h g h ，有d e g ( g h ) = a p 2 一a p 证以群( 9 ) 为例，群( 8 ) 可类似证明设g 9 = g ，显然z ( a ) = 1 ，c ，a r 6 r ，o ”6 r c ) ， 其中r = 1 ，p 一1 ，i z ( g ) l = 2 i , ( a ) 由g 的定义关系可知日是g 的2 矿阶交换正规子群，且g = hug h ( b ) 对v h h z ( g ) ，有日c a ( h ) ，而c g ( h ) g ( 否则h z ( g ) ) 对 v h l h z ( g ) ，令h i = a i b i c ，若g - 1 h l g = h i ，即g - x a b j c g = a i b j c 由群的定 义关系可知一扩一j = 1 ，故z ，j = 0 ，从而g 作用在日一z ( a ) 上无不动点，因此 ( 危) = h 所以 d e g ( h ) = i g 卜i c a ( h ) i = 2 p 2 7 西南大学硕士学位论文采用群分类定理用非交换图刻画4 p 2 阶非单群 ( c ) 下面确定d e g ( g h ) ，只需考虑c c ( g h ) 由计算可知i g h l = 2 p 于是( g h ) z ( g ) c c ( g h ) ，又c c ( g h ) g ，因而c c ( g h ) = ( g h ) z ( g ) 不难得到 ( 夕 ) nz ( c ) = 1 ，( g h ) 2 ，( g h ) 2 p 一2 因此 i c c ( g h ) l = = 4 p 所以deg(gh)=4p2一卸 命题3 4 对于( 1 0 ) 型群g ，令h = ( a ，6 ) ，则下列结论成立： ( a ) h 为g 的矿阶交换正规子群，且g = huc hug h uc g h ； ( b ) 对任意的h h 一 1 ) ，有d e g ( h ) = 2 p 2 ，或3 p 2 ； ( c ) 对任意的c h c h ，有d e g ( c h ) = a p 2 4 ； ( d ) 对任意的g h g h ，有d e g ( g h ) = 4 矿一印，或和2 4 p ； ( e ) 对任意的c g h c g h ，有d e g ( c g h ) = 卸2 2 p ，或4 矿一卸 证显然( a ) 成立 ( b ) 由群的定义关系不难得到，c 作用到日上无不动点，而g 作用到日上有不 动点，为a b r ( 其中7 = 1 ，p 一1 ) ，故对予日中的元有 c g ( a 4 b j ) h ( g ) h i = j 0 i j f ( 1 ) 因此 ， 撕： 驴汪殍o ( 2 ) l3 p 2 i j ( c ) 在h c 中：经计算可知i a i b j c l = 2 ，这样的元有p 2 个，所有的2 阶元都在s y l o w 2 子群p 中，因而p c 台( o c ) ，又2 阶元与p 阶元不交换，因此c c ( a b j c ) = p ， 所以d e g c a b j c ) = 4 矿一4 ( d ) 经计算可知，在h g 中 f 2 a i b i g i = l 2 p 、 8 p l ( i + j ) pj ，( i4 - j ) ( 3 ) 西南大学硕士学位论文采用群分类定理用非交换图刻画4 p 2 阶非单群 当i a i g l = 2 时，首先psc a ( a i b i g ) ，又( n ) c a ( a i b g ) ，因而p ( a i b i ) a 夕) ，又c g ( a b i g ) g ，故( q b i g ) = p ( a 驴) ，所以 d e g ( a b j 9 ) = 4 p 2 4 p ( v l i + 歹) 当i a b i g i = 2 p 时，显然( a b i g ) c f g ( n 驴夕) ，若有p 阶元h c a ( o b i g ) ，而所 有的p 阶元都在日中，矛盾。从而c a ( a b j g ) = ( a b j g ) ，因此 d e g ( a b i g ) = 4 矿一2 p 十i - 4 - j ) ( e ) 经计算可知h c g 中 ， a i b i c g i ： 2 江停o ( 4 ) l2 p i 歹 类似于( d ) 的证明可得 d e 9 ( 6 j i c 9 ) ： 4 p 2 4 p = 歹o ( 5 ) i4 p 2 2 p i j 命题3 5 对于( 1 1 ) 型群g ，令日= ( a ，6 ) ，c = ( c ) ，则下列结论成立： ( a ) 对任意的h h 一 1 ) ，有d e g ( h ) = 2 p 2 ，或3 p 2 ； ( b ) 对任意的h c 日c ，危c 3 h c z ，有d e g ( h c ) = d e g ( h c 3 ) = 4 矿一4 ； ( c ) 对任意的危c 2 h c a ，有d e g ( h c 2 ) = 4 矿一卸( 其中( 2 r + 1 ) j 兰i ( m o dp ) ) ，或 卸2 一印 证( a ) 设g 1 l = g ，由g 的定义关系可知日为g 的矿阶交换正规子群，c 为g 的s y l o w 2 - 子群，且为循环群 由群的定义关系可知c ，c 3 在日上的作用无不动点，只需考虑c 2 在日上的作 用 对任意的h ：a i b j h ，若c - 2 a b j c 2 = a i b i ，则有。件2 r 2 j 一2 r 2 = 1 ，即( 2 r + 1 ) j 三 i ( m o dp ) 从而对于h 中的元sc f g ( 护) = h ( c 2 ) ( 其中( 2 7 + 1 ) j 三i ( m o dp ) ) ，此时 d e g ( a q d ) = 2 p 2 ；对其余的i ，j 都有c a ( a b i ) = h ，于是此时d e g ( a ) = 3 p 2 ( b ) 下面考虑日c ，h c 3 中的元，由计算可知i h c l = i c 3 i = 4 在日c 中阶为4 的 元c 有矿个，在h c a 中阶为4 的元护c 3 有矿个于是 9 西南大学硕士学位论文采用群分类定理用非交换图刻面4 矿阶非单群 l ( c ) i = i c c ( a 驴c 3 ) i = 4 所以 d e g ( a 护c ) = d e g ( a c 3 ) = 4 矿一4 ( c ) 考虑h c 2 中的元，由计算可知l h c 2 i = 2 ( 其中( 2 r + 1 ) j 三i ( m o dp ) ) ，或 l h c 2 i = 2 p h c 2 中阶为2 的元a b i c 2 有p 个，阶为印的元0 t 护c 2 有p 2 一p 个又所 有的2 阶元在s y l o w2 子群内，故 i c c ( a i d e 2 ) i = 4 p ( ( 2 t + 1 ) j 兰i ( m o dp ) ) 或i ( o c 2 ) i = 2 p 所以 d e g ( a 驴c 2 ) = 4 矿一4 p ( ( 2 7 + t ) j 暑i ( m o dp ) ) ，或d e g ( a b j c 2 ) = 4 p 2 2 p 命题3 6 对于( 1 2 ) 型群g ，令h = ( a 6 ) ，c = ( c ) ，则下列结论成立： ( a ) 对任意的h h ，有d e g ( h ) = 2 p 2 ，或3 p 2 ； ( b ) 对任意的h c h c ，h c 3 h c 3 ，有d e g ( h c ) = d e g ( h c 3 ) = 4 p 2 4 p ； ( c ) 对任意的九c 2 h c 2 ，有d e g ( h c 2 ) = 妒一4 p ( 其中( 2 7 + 1 b 三i ( m o dp ) ) ，或 4 矿一2 p 证 类似于命题3 5 的证明 定理3 1 对( 1 ) 到( 1 6 ) 型群，非交换图v ( g d ，i = 1 ，1 6 ，仅有下列同构关系： ( a ) v ( g 1 ) 竺v ( a d ，i = 2 ，3 ，4 ； ( b ) v ( g 5 ) 皇v ( a d ，i = 6 ，7 ； ( c ) v ( g 8 ) 垡v ( g 9 ) ； ( d ) v ( a 1 3 ) 笺v ( g 1 4 ) ； ( d ) v ( g 1 5 ) 垡v ( g t 6 ) 证我们只证明v ( a 2 ) 笺v ( g 1 ) ，其余的图同构可类似证明 由命题3 1 可知： z ( g 1 ) = 1 ，b 2 ) d e g ( a i b i ) = 2 矿0 = l ，矿一1 ；歹= 0 ，2 ) d e g ( a i b i ) = 4 矿一a ( i = 0 ，矿一1 ；j = 1 ，3 ) z ( g 2 ) = 1 ，c ) 1 n 西南大学硕士学位论文 采用群分类定理用非交换图刻画4 p 2 阶非单群 d e g ( a i b i c k ) = 2 p 2 ( 瓦j = 0 ，p 一1 ；k = 0 ，1 且i ，歹不同时为0 ) d e g ( a b j c k g ) = 4 矿一4 ( i ，j = 0 ，p l ；k = 0 ，1 ) v ( g 1 ) 的顶点集 v ( g 1 ) = o 驴 = 1 ，p 2 1 ；j = 0 ，2 ) ；a b j ( i = 0 ，矿一1 ；j = 1 ，3 ) ) ， v ( g 2 ) 的顶点集 v ( g 2 ) = 【口b j c k ( z ，j = 0 ，p 一1 ；k = 0 ，1 ，且z ，j 不同时为o ) ；口b i c k g ( i ，j = 0 ，p 一1 ；凫= 0 ，1 ) ) 建立一一映射 妒：v ( g 2 ) 一y ( g 1 ) 其中妒：a i b j ，i ，j = 0 ，1 ，2 ，p 一1 ，i ，j 不同时为0 ； a i b i c 叫卅6 2 f ，j = 0 ，1 ，2 ，p 一1 ，i ，歹不同时为0 ； a b 3 9 叫扩+ j bi ，j = 0 ，1 ，2 ，p 一1 ； a i b i c g 叫+ j 6 3t ，j = 0 ，1 ，2 ，p 一1 易知对任意的“，口y ( g 2 ) ，乱一t ，当且仅当妒( u ) 一妒( ”) ，故v ( g 2 ) 垒v ( a 1 ) 定理3 2 设g i 为a p ( p 3 ) 阶非交换群，i = 1 ，2 ，1 6 ，g 为有限群 ( 1 ) 若v ( a ) 竺v ( g 1 ) ，则g 笺g 1 ，或g 掣g 2 ，或g 垡g 3 ，或g 型g 4 ； ( 2 ) 若v ( a ) 垡v ( g 5 ) ，则g 竺g 5 ，或g 竺g 6 ，或g 竺g t ； ( 3 ) 若v ( a ) 竺v ( g 8 ) ，则g 笺g 8 ，或g 兰g 9 ； ( 4 ) 若v ( g ) 垒v ( g 1 3 ) ，贝l jg 兰g 1 3 ，或g 竺g 1 4 ； ( 5 ) 若v ( g ) 竺v ( g 1 5 ) ，则g 竺g 1 5 ，或g 垒g 1 6 ； ( 6 ) 若v ( g ) 竺v ( g i ) ，则g 笺g i ，i = 1 0 ，1 1 ，1 2 证( 1 ) 由于v ( a ) 笺v ( g 1 ) ，因此 l g i i z ( g ) i = i g l i i z ( a 1 ) i = 4 p 2 2 1 1 西南大学硕士学位论文 采用群分类定理用非交换图刻画4 矿阶非单群 由j z ( g ) i | ( i g i i z ( g ) i ) 知 z ( g ) i = 1 2 ( 6 ) m m l ( 2 矿一1 ) ，m 1 2 k 七l ( 2 矿一1 ) ，k 1 ( a ) 若l z ( g ) l = 1 ，则l g i = 4 矿一1 ，由d e g ( a ) = 2 p 2 知，存在h g ，使得 i ( ) l = 2 p 2 1 ，于是( 2 p 2 1 ) i ( 4 矿一1 ) ，即( 2 p 2 1 ) i1 ，而( 2 p 2 1 ) 1 ，矛盾