（基础数学专业论文）wodzicki留数和双共形不变量.pdf

1 j ， t 哆 气 ， 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的 规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：至刽指导教师签名：学位论文作者签名： 圭：1 2 型 指导教师签名： 日 期：盟f q s 。! ! 日 期： 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 哆甄 伊k 歹眄 、i l p 2 i 、 摘要 对一般流形，在c o n n e s 的框架下用w o d z i c k i 留数我们构造了一个新的双 共形不变量，在2 维的情况下，计算了这个共形不变量另外对复流形，用同样 的方法构造了双共形不变量，并计算出了其2 维情况下的结果 在将0 阶拟微分算子s 作用在紧致无边流形m 的秩r 向量丛b ，而 且扎维微分形式q 竹作用在c 。( m ) c 。( m ) 过程中对于微分形式q n ， 我们利用仉? o d z i c k i1 一密度形式w r e s ( s ，】【s 叫) 的定义式得到，对任意的 ，0 ，h c 。( m ) ， ， w r e s ( f o i s ， 【s ，h i ) = f 0 q 。( ，h ) ，m 其中厶矗q 。( ，h ) 定义了一个代数c ( 肘) 上的h o c h s c h i l d2 - 上闭链 在计算过程中，取特殊情况，令( j e i ，s ) = ( h ，f ) ，其中f 为文章【1 中 c o n n e s 提到的与偶数维紧致共形无界流形相关的f 一模，对双共形不变量进行相 关变换参考文章【1 4 】【1 5 w j u g a l d e 的计算方法，我们得到了双共形不变量的 计算方法，并且计算出其2 维情况下的结果 关键词：双共形不变量拟微分算子w o d z i c k i 留数h o c h s c h i l d2 - 上 闭链f - 模复流形 i i i a b s t r a c t f o rg e n e r a lm a n i f o l d ，w i t h i nt h ef r a m e w o r ko fc o n n e s ，w ec o n s t r u c ta n e wd o u b l ec o n f o r m a li n v a r i a n tu s i n gt h ew o d z i c k ir e s i d u e w ec o m p u t et h i s c o n f o r m a li n v a r i a n ti nt h et w o - d i m e n s i o n a lc a s e i na d d i t i o nt ot h ec o m p l e x m a n i f o l d ，w ec o n s t r u c td o u b l ec o n f o r m a li n v a r i a n t su s i n gt h es a n l cm e t h o d ， a n dc a l c u l a t ei t st w o - d i m e n s i o n a lc a s er e s u l t s i nt h e0 - o r d e rp s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o rsa c t i n go nr a l l krv e c t o r b u n d l ebo ft h ec o m p a c tm a n i f o l dmw i t h o u tb o u n d a r y , a n dn - o r d e rd i f - f e r e n t i a lf o r mq no i lt h ec o 。( m ) c 。( m ) f o rn - o r d e rd i f f e r e n t i a lf o r m ，w eu s et h ew o d z i c k i1 - d e n s i t yt y p ef o r mw r e s ( s , 川sh i ) ，f o ra n y ，o ，f ，h c 。( m ) ， w r e s ( f o s ， i s ，h i ) = 厶q 。( ，h ) jm w h e r e 厶知q n ( ，h ) d e f i n et h eh o c h s c h i l d2 u p p e rc l o s e dc h a i n i nt h ec a l c u l a t i o np r o c e s s ，w et a k es p e c i a lc i r c u m s t a n c e s ，l e t ( b ，s ) = ( 日，f ) ，w h e r efi st h ea r t i c l e 【1 c o n n e sm e n t i o n e di nc o n n e c t i o nw i t ht h e e v e n d i m e n s i o n a lc o m p a c tc o n f o r m a lm a n i f o l dw i t h o u tb o r d e r r e l a t e df m o d e ， w et r a n s f o r mt h ed o u b l ec o n f o r m a li n v a r i a n t r e f e rt ot h ea r t i c l e 1 4 、【1 5 】 w j u g a l d em e t h o do fc a l c u l a t i o n ，w ec o n s t r u c td o u b l ec o n f o r m a li n v a r i a n t s c a l c u l a t i o no fc a l c u l a t i o nm e t h o d ，a n dc a l c u l a t ei t st w o - d i m e n s i o n a lc a s er e - s u l t s k e yw o r d s ：d o u b l ec o n f o r m a li n v a r i a n t ；p s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ； w o d z i c k ir e s i d u e ；h o c h s c h i l d2 - c o c y c l e ；f m o d e ；c o m p l e xm a n i f o l d i v 目录 1 介绍1 2 拟微分算子和w o d z i c k i 留数概述2 2 1 拟微分算子的基本概念2 2 2w o d z i c k i 留数4 3 双共形不变量的构造7 3 1q 的存在性和唯一性 7 3 2 符号乃的基本形式8 3 3q 。，。在双共形不变量下的基本形式9 3 4 r n c e ( 孝，( f ) 孝。( ，7 ) ) 一般情况下的计算1 0 3 5 待定系数唧，口，6 p ，g 的确定1 2 4 2 维情况下的计算结果1 3 5 复流形双共形不变量的构造1 7 6 r e m a r k ：2 维为0 的情况1 9 参考文献1 9 致谢2 l v j ，l 1 介绍 在文章1 中，c o n n e s 在偶数维紧致共形流形m 与典范f 一模( 日，f ) 之间建立了联系，并且在4 维情况下给出了定义在流形m 上的n 维 微分形式q 。( ，h ) 满足，对任意的如，h c 。( m ) ， 彬r e s ( 如f e 川f ，h i ) = 矗q 。( ，h ) ( 1 1 ) ，m 这种微分形式由两个拟微分算子的全符号内积决定，而且在关系式( 1 1 ) 中两者是共形不变和唯一的在4 维情况下，利用p e n c i t z 算子给出了 这个微分形式的计算公式 rf q 4 ( ，h ) = f p ( h ) jmj m 随着对共形不变微分算子的研究，由位势关系产生了相应的y a m a b c 算子以及p e n c i t z 算子，p c n e i t z 算子又称为临界算子就是q 4 的4 维情况，在礼24 维情况下，对微分形式q 。的研究非常重要在这篇 文章中，我们主要研究在这种情况下的微分形式 在第二部分，主要回顾拟微分算子和w o d z i c k i 留数参考文章【6 i s 】， 我们将0 阶拟微分算子s 作用在紧致无边流形m 的秩，向量丛b 上， n 维微分形式q n 作用在c ( m ) c 。o ( j ) 上对于微分形式q 参 考文章【1 2 1 3 】，我们利用w o d z i c k i1 一密度形式w r e s ( s ，川s ，h i ) 的定 义式得到，对任意的如， h c 。( i ，) ， ， w r e s ( y o 【s ， 限h i ) = 如q 。( ，h ) jm 其中厶y o f l n ( 危) 定义了一个代数c o 。( m ) 上的h o c h s c h i l d2 一上闭链 在第三部分，我们取特殊情况，令( b ，s ) = ( h ，f ) ，其中f 为文章 1 中c o n n e s 提到的与偶数维紧致共形无界流形相关的f 模，构造了 双共性不变量，给出了一般计算方法，并且在2 维的情况下，计算出了 这个双共形不变量 在第四部分，我们构造了复流形双共形不变量，并且证明了在2 维 情况下，共形不变量的积分为0 2 拟微分算子和w o d z i c k i 留数概述 2 1 拟微分算子的基本概念 定义2 1 若函数a ( x ，f ) s ”，s m 是函数的分类，s m ( 蝣r ) e e f f ：- 元$ a ( x ， ) 是蝣的c o 。函数，则可以定义l ，( r “) _ 妒( 对) 的线性连续映射a 为： 、 a u ( x ) = e k ， n ( z ，) 缸( ) ( 2 7 r ) ”武 a 称为拟微分算子( 或者更确切地称为皿”类拟微分算子) ，并记a 为 a ( x ，d ) ，称a ( x ，) 为a 的象征( 详细定义见文章 8 】) 定义2 2 若函数n ( z ，可，) s m ，则按 a ( z ) ：厂厂e 扛( z ，! ，) 札( 可) ( 2 7 r ) 一n d y 战( 2 1 ) j r 7 ，r ： 所定义的算子是妒( 舻) 一妒( 础) 的线性连续映射，也称为拟微分算子， 其中a ( z ，y ，) 称为算子a 的振幅 参考文章【8 】，按定义2 1 ，a ( x ，乏) 为a 的象征若a 为按( 2 1 ) 式 定义的拟微分算子，其定义域可以扩充到妒7 ，故取u ( x ) = e 臼， o 时， a 乱有意义，将广义函数的作用仍用积分形式书写，我们有 a ( e k 五如 ) = ，e k 2 f n ( z ，) 6 任一岛) 蜓= e k z ，n ( z 岛) 从而也有 a ( x ，f o ) = e - i a ( e i ) 于是我们给出 定义2 3 对于形式为( 2 1 ) 的拟微分算子，定义 e - i a ( e i 、 为算子a 的象征，记为a a ( x ，f ) 定理2 4 以a ( x ，y ，) 为振幅的拟微分算子a 的象征有渐进展开式 ( z ，) 刍零彤n ( 诣y 洮 在许多应用拟微分算子的问题中都需要考虑微分流形上的拟微分 算子，一个微分流形即许多局部e u c l i d 空间的粘合根据文章8 中所 ， 气 定义的微分流形上的拟微分算子，设m 为一个微分流形，uq a 为m 的开覆盖对每个q a ，映射x q ：吼一x 。( q 口) c 郧为坐标，我们得到 微分流形上的拟微分算子 定义2 5 若a 是c 字( m ) 一c ( m ) 线性连续映射，且对于任意一 坐标区域q 及相应的坐标x ，算子( x - 1 ) ：a x + 是开集x ( q ) c 舻上的 m 阶拟微分算子，则称a 是微分流形m 上的m 阶拟微分算子，记为 a m ”( m ) 微分流形m 上的拟微分算子在m 的每个局部区域上，参考文章 【7 ，通过微分流形的坐标映射对应着一个开集上的拟微分算子，反过 来，我们有如下定理 定理2 6 设微分流形m 有一个图册( ，) ，在每个区域q 口= ( ) 上各有拟微分算子r 霍”( f l q ) ，使得当n 妒时，在 q 口卢= ( n ) 上， p o = ( 妒口妒：1 ) + 昂( 妒。妒五1 ) + ( m o d 一o 。) ， 则必有拟微分算子a 皿m ( m ) ，使得对每个a ，在q 口上， p 口= ( 芘1 ) a 怯( m o d g j 一。( q 。) ) ， 而且a 在m o d 一( m ) 的意义下是唯一的 根据文章【8 】，对于微分流形m ，其相应的主象征有一定的运算规 则，具体如下 定理2 7 对于微分流形m 上的恰当支拟微分算子a 丑m ( m ) ，b 霍( m ) ，则可以定义转置算子a 皿( m ) 、共轭算子a + 田m ( m ) ， 以及b 与a 的复合boa 皿m + 州( m ) ，它们的主象征满足 盯。( a ) ( z ，) = 盯。( z ，一专) ， ( 以+ ) ，亭) = 盯m ( a ) ( z ，) ， ，( t m + r n i ( b oa ) ( z ，) = o m ，( b ) 盯m ( a ) ， 特别地，当m 为紧流形时，a 为恰当支拟微分算子的条件同时成立， 从而关于主象征的上述运算关系式总是成立的 3 2 2 w o d z i c k i 留数 根据文章 1 2 1 3 】，一般流形上的积分由于拟微分算子上重要函数 的存在可以转换为一种非交换模，称为w o d z i c k i 留数维情况，见 早期的a g r a y 的文章 3 和其他一些相关文章，并且被g u i l l e m i n 深入 研究过在文章【1 3 ，w o d z i c k i 推广到高维情况，并认识到其多元情况作 为唯一迹在经典拟微分算子上的作用 本文的讨论限制在紧致无边流形的情况，根据文章【2 ，辛几何锥 为w o d z i c k i 留数的定义奠定了适当的几何基础 定义2 8 辛几何锥是一种辛几何流形( y p ) ，指的是在紧致基底x 上具有纤维r + 的主丛令p 表示r + 作用，则有 v t o ，菇卢= 卵 ( 2 2 ) 相关例子如，对紧致流形m ，余切丛y = t m 减去零截面，则 具有标准的辛几何形式和扩张p t ( x ，f ) ：= ( z 缮) 若我们取丛扩m 为基 底，如令t ：= e 8 ，则r + 上的李代数生成元为函t d = 赢d ，相应的基向量 场( 爱) y 为所谓的欧拉矢量场r ，满足 袱咄) = 五dl s - 。m 泸白鼍( 玳) 通过以上定义或直接计算得到纽卢= p 实际上，shp e 8 是兄流， 针对式( 2 2 ) 我们有。r 卢= ( 岳) l 。：0 e 8 卢= 卢根据文章【1 1 1 】，这种辛几 何形式用达布坐标表示为p = d 白a d x j ，其中( z 1 ，扩) 是图卡区域的 局部表示，简记为a m x ：= d x la ad x ”令u ：= - - - 卢舰为y 上的体积形 式，且t r i g = n u ，考虑其2 n 一1 形式t r o d ： r u = ( 一1 ) 掣垤( 必1 蠊 扩z ) ：( 一1 ) 掣吒八d n z 注记；吲指的是舻上向量坐标( ，厶) 的欧几里得范数，且 d ( 恤u ) = ( 一1 ) 掣慨 扩z = 舢 4 ( 2 3 )必 八 坞 诞 白 善卜 d卜 = 吒 中 其 这里限制在单的余切空间m 上，为的是验证吸如果将吣看做 r n o ) 上的礼一1 形式，那么叱= 啦扩f 且有r = 岛老又由于对 球面的依赖性，所以这里满足n 2 定义2 9 在融 o 上，光滑函数，是a 阶齐次的，当且仅当对 v t 0 ，( 缝) = a ，( 毒) ，或等价为r f = 入，( 其中a 阶齐次函数的导数是 a 一1 阶齐次函数) 命题2 1 0 对任意的扎阶齐次函数a - n ( f ) ，在r ” o ) 上是闭的 证明：给定懈是分次可微分的，由于 那么 d a na0 r f = d a na 纽d t l = r s d a na 扩= 一n o na 扩 d ( 口一。) = d a 一。a 吒+ a - n & r = 一n n na 扩+ n n na 扩= 0 对于积分b 。一。n 一。( f ) ki ，根据算式( 2 3 ) ，利用r ”i o ) 上的主丛 可以计算上述积分特别的当n 2 我们可以将球面8 ”1 拉开成柱面 8 俨1 r ，而且是时 o ) 上的闭链，积分不变 下面，因为齐次函数是广义的微分和，根据欧拉定理，如果，是a 阶齐次函数，则 熹警= 熹( n f + r f ) = y r t一 一= 一l rl+= n + 入二 a 已 + a ”。 如果入= 一n ，上述结论不成立；反之入一竹结果正确 引理2 1 1 积分正。一。n 一。( 毒) i 吒i = 0 当且仅当口一。是一个微分和式 证明；因为a f = 0 当且仅当彤= 0 ，如果积分为0 ，给定矿_ 1 上 的函数h ，得到a s n - 1 h = 静而且通过定义 ( ) ：= 一( n - 2 ) ( 南) 我 们可以将函数h 扩充到r ” o ) 上 反之，令口一n ：= 尹，由于6 1 一n 是1 - n 阶齐次的，同时用扩- 2 r 代替q n 一1 ，取叼= ，矗) ，我们计算得 厶r 一钏小士厶一。e 等叫- o 因为b l 一。的齐次性，在趋向。c 时为0 5 那么，根据以上引理和相关命题，以及文章 1 3 ，我们有如下重要 定理 “ 定理2 1 2 ( w o d z i c k i ) 给定一个经典拟微分算子a ，存在m 上的一 个1 一密度形式，记为w r e s a ，其在坐标图卡上的局部表示为： w r e s a ：= ( 口一n ( 5 ) a e i ) d x la ad x “| 这就是( w o d z i c k i ) 留数密度，通过在m 上将其积分，我们得到( w o d z i c k i ) 留数或非交换留数泛函 w r e s a ：= w r e 8 z a( 2 4 ) 证明：对于积分 f l - 。a _ n ( ) 恢l ，取z 定向，在乓的变量中h 是非 奇异线性变换，由式( 2 3 ) 得 + 吒= ( d e t h ) a h 若s 是球面= 1 ，则积分 ao ( 玳) 川= 士( 姚l 如果h 定向，椭球面h ( s ) 与s 同调的；如果h 反向，需要加负号，则 ( z ，) 蚓= 士j 1 h * ( ( z ，专) = i d e t h il i ta-nil=1i 1 = 1 ( z ，k ) 叫 ， 令y = 皿( z ) ，= 皿7 ( z ) 2 7 7 ，我们得到 a n ( z ，) i 唯f l 扩z l = i d e t 霍( z ) l a n ( z ，雪7 ( z ) 。7 7 ) i l l d n z l ，= l j 1 7 1 = 1 = a n ( z ，皿协) ，7 ) 蚓l 扩y i 兑： 厶 5 - n ( z ，皿7 ( z ) 7 ) 1 0 ”i i d “y a - - n ( 可，7 ) i 盯玎| | 扩y f 其中吲= 1 和i r l = 1 在定向z 上是同调的，定理得证 对定义式( 2 3 ) 以及定理2 1 2 作进一步的分析，我们可以得到关于 非交换留数的一条比较有用的性质，详细论证见文章 1 3 】 定理2 1 3 ( w o d z i c k i ) 由式( 2 4 ) 所定义的非交换留数是p ( m ) 上的 迹形式，如果d i m m 1 ，它仅是迹乘以某个常数 6 3 双共形不变量的构造 本文中，除了特殊强调外，m 指的都是定向、紧致、无边流形， 初始条件是具有共形结构在流形m 上，对于作用在向量丛b 上的1 3 阶拟微分算子，令p 表示一2 阶拟微分算子，满足对 v ，0 ，h c 。( m ) ，p = i o i s ， i s ，叫 其中如果p 作用在同一个向量丛b 上，m 上的光滑函数为乘积算子 p 的直到一礼阶的全部符号，可以表示为如下r t ，度量和的形式 盯1 2 + 盯p 3 + + 盯p n 这里向量丛b 的秩为r 根据上面给出的w o d z i c k i 定理( 详见文章【1 3 ) ，我们可以得到如 下关系式 w r e s ( p ) = 厶丘闻t r a c e ( 盯厶( z 煳) 扩一誓出 ( 3 1 ) 其中o - n ( z ，) 是p 的全部符号的一n 阶分支，蚓= 1 表示欧式空间 r ”上向量坐标( f 1 ，靠) 的欧式模，扩1 是蚓= 1 上的标准体积形 式，w r e s ( p ) 与m 上的局部坐标选取无关 3 1 q 。的存在性和唯一性 一般情况下，根据文章 1 4 1 5 】，两个拟微分算子尸1 和恳的全部 符号满足 盯( p ip 2 ) = e 夏1 翠( 仃( 尸) ) d ；( 仃( p 2 ) )( 3 2 ) 其中q = ( q 1 一，) 是多重指标，且n ! = a l ! 口n ! ，霹= ( - i ) o 鳄 引理3 1 设t 为拟微分算子，且，c o 。( m ) ，如果用，表示。，” 作用，那么a ( y t ) = f c r ( t ) ；特别的有w r e s ( f t ) = f w r e s ( t ) ，从而 w r e s ( f o s ， 【s ，叫) = 1 w r e s ( s ， 【s ，纠) 证明：由于( ，) 与无关，从而根据式( 3 2 ) 可以得到a ( f t ) = o ( f ) a ( t ) ，这里盯( ，) = ，表示单位算子作用在丁算子上，也满足 盯一。( y t ) = ，盯一。( 丁) 7 又有式( 3 1 ) 得 w r e s ( f t ) - t r a c e ( a 一。( f t ) d n - 1 ) 如 j = l = 无阻，打伽e ( 盯一n ( t ) ) 扩_ 如= ，r 酬t ) 其中取t = 【s ，川s ，川 引理3 2 若满足总和条件i o 7 l + l i - t - 俐+ 吲+ j + k = n ，且有 蚓1 ，例1 ，则有如下关系式成立 o - n ( i s ，】【s ，纠) = 厕1 d 蟛+ 6 ( h ) ”+ 芦( 口岛) ( 嘲仃轨( 3 3 ) 注：利用l e i b n i z 公式可证，详细论证见文章1 14 】 定义3 3 对于v f ，h c 。( m ) ，定义 q ( ，h ) = u n ，。( ，h ) d x ：= w r e s ( s , f sh i ) 定理3 4 存在一个惟一的礼阶微分形式q 。，对于v ，0 ，h c o 。( m ) ，满足 w r e s ( o s ，川s 纠) = 如q 。，。( ， ) 3 2 符号f d 的基本形式 一般情况下，一个n 维复流形可以看做2 n 维实光滑流形m 设 砂，1 k 礼) 是复流形的局部坐标系，记砂= z 詹+ i y 知，则 【z 七，可2 ，1 k n ) 是实流形m 的局部坐标系，其中 毒，毒，1 k 礼) 给出了流形在坐 标系上的自然基底那么在冗m o c 中， a1 f 8 8 、8 1 7 a j 8 、 一o z k 。互( 万叫研) 面2 互( 万+ 2 酽) 合起来构成瓦mo c 的复基底，分别称为( 1 ，0 ) 型切向量和( 0 ，1 ) 型切 向量 8 羹。 进一步由线性映射d ：a p a p + 1 以及矿：a p + 1 一a p ，我们得到 d z k ：d x k + i d y k ，d _ = d x k i d y 分别称为( 1 ，0 ) 次微分式和( 0 ，1 ) 次 微分式，我们记d z k 生成的空间为t 。1 0 + m ，办生成的空间为砰1 m 那么 e o c = 砭，o mo 霉1 + a z ， a * t x m 。c = 0 p 巧1 o 幸m 9 雩1 m p + q = r 任何复值r 次外微分分解( p ，q ) 次外微分式记为a p 一，而且a ：a p , q a p + 1 w ，否：a p ，口一舻，g + 1 都是线性映射 如果定义砂，叩a 号( 佗= 2 k ) 的内积为 炯= 厶 垂， 则a p ，g 为有内积诱导的范数的线性空间，称为p r e h i l b e r t 空间，关于 这个内积的完备化空间为h l i b e r t 空间，记为l 2 ( a p 棚) 再设万= 爸木矿：a p ，口一a p ，q _ 1 是d 的伴随算子，记d l a p l a c i a n 算子a = 一d d * + 一d * d ，而且7 - 1 = k e r a k 是调和( p ，q ) 一f o r m 的空间 根据文章 8 h o d g e 分解定理，a 2 = 7 - l 七0 3 a 2 1o - d t a 2 + 1 ，又矿 作用在上，d 和度量无关，从而冗2 只依赖于类，是共形不变的 这里f d = 2 p ，旃一i d 是共形不变的0 一阶拟微分算子，其中b m - 是从 l 2 ( a k ) 向，竹历的投射，是共形不变的，所以f d 也是共形不变的，限制 在a k ( m ) e7 - l k 也是共形不变的，而且在( m ) e7 - i 知上算子形式为 f d = 筹蔫 其中， 丽1 在7 - t 七为0 ，在a k ( m ) e7 - l 缸上为d l a p l n c i n 仡算子 x = 一d d * + 丽的逆 3 3 q 。在双共形不变量下的基本形式 设 9 e 一口z ( ，丘) 是由定理3 4 决定的一般流形m 上的n 维形 式若满足式( 3 3 ) 在o z 7 = 0 和口= d 的条件，则对于i a l + 俐+ 例= i t , ， 取s 分别为b ，且蚓1 ，1 6 1 1 时，有关系式 盯一。( 乃。，l 】f b ：，尼】) = 熹霹( ) 霹+ 6 ( ，2 ) 簟+ 卢( 盯 1 ) 罐( 盯争) ) 9 其中b ，和局：是共形不变的。一阶拟微分算子，b ，= 2 弓m 石一i d ， 局。= 2 b 。瓦一i d ，这里弓m 否是从l 2 ( a p ，口) 向i r a - 5 的投射 引理3 5 若满足总和条件+ 蚓+ = 礼，且俐1 ，1 时， 有如下关系式成立 q 。舯。r 口f ( ，1 ，尼) = 丘阻t r 口c e ( 丽1 。量( ) 霹+ 6 ( 丘) 笔+ 口( 盯 1 ) a 2 ( 盯孑2 ) ) 扩一1 如 对于以上表达式，参考文章 1 4 我们利用待定系数法考虑关于函数 u ，u 的多项式( 其中是待定系数) 傩川：= 揣讹c e ( 矿( 盯孑- ) ( 盯拗 另外我们设ea a , 6 u 。护= 几i ：l 妒( f ，乱，u ) 扩- 1 乏如，那么 g e 甜( ，办) = a 。，6 磁( ) 磋( f 2 ) d x 注：利用泰勒展开式详细推导t n ，妒的过程见参考文献【1 4 1 5 定理3 6 流形m 上的n 维形式满足 q 。萨n 。，。z ( ，丘) = a 如磁a ( ) 磷( h ) d x 以及 a 口札。秽62 f l ：1 ( z ：妒( ，t + 钉，u ) 一z ：妒( ，口，t ，) ) 其中写妒( ，7 ，t f ) 是函数妒( f ，叩) = t r n c e ( 口子( f ) 仃：( ，7 ) ) 在点( ，叼) 处泰 勒展开式的n 阶形式 3 4 t r a c e ( a - ( ) 盯 。( ，7 ) ) 一般情况下的计算 根据定理3 6 ，为了计算q n ，我们需要计算在余切从m 上当 f ，叼非零时的t r a c e ( a l l 9 ，( 毒) 盯? 。( ，7 ) ) 引理3 7 对任意的f ，叩a o 1 满足 t r a c e ( i v ，口+ 1 ( 而) 勺，口( 享) ) = c 害a n ，g ， 其中a 伽= 碍一铝1 + + ( 一1 ) q 砩，p ，口表示作用在( p ，口) 形式的空间 上 1 0 一 氏 证明：利用迹的性质和关系式 s p ，g 1 ( 毒) 场，口( 面) + p , q - j - 1 ( 巧) e p ，口( 自= 如，q ， ( 3 4 ) 其中易，。是( p ，g ) 形式恒等式，我们得到 t r a c e ( t p ，口( 厅) 和，口一1 ( 自) + 打a c e ( 。p ，什l ( 厅) 勺，g ( 幻) = 铝a 。，g 特别的当口= 0 时，等式变为t r a c e ( t p ，1 ( o ) e p , o ( 享) ) = 锑，从而引 理得证 定理3 8 当口= 1 时。 t r p - ( 圣1 ( f ) 圣2 ( 枷= 锘三垒净+ 锘碟一4 锘 ( 3 5 ) 当g 2 时， t 酬圣讯嘲训鸭。鱼静+ 6 p ，。( 3 6 ) 其中 表示在度量g c ，+ ( g ，而) 下的内积，且有 b p , q - = v c 。n p 、 y v - ? 。q 一2 2 + 铝一2 2 q q - 一2 1 ) ；，口= 三( 嚼铝一6 p ，。) 证明：根据上述p ，i i 口的结果，可以得到 n p ，。( 盯 ，( 毒) 盯孑。( ，7 ) )