（基础数学专业论文）不同维数空间的线性保持问题.pdf

中文摘要 中文摘要 设f 为特征不为2 或3 的域，g 是复数域设m 。( f ) ( 或；( g ) ) 是f ( 或c ) 上n 阶全矩阵空间，& ( f ) ( 或r ( g ) ) 是f ( 或c ) 上n 阶 对称矩阵空间 本文刻画了从& ( f ) 到m 。( f ) 上和从晶( f ) 到s 。( f ) 上的保矩阵 逆的线性映射又刻画了从尬。( c ) 到 ( g ) 上和从& ( g ) 到蝎，。( g ) 上的保矩阵k 次幂的线性映射 关键词：域；复数域；保逆；保幂；线性映射 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t l e tfb eaf i e l do fc h a r a c t e r i s t i cn o t , 2o r3 cb eae o l n p l e x 盎e l d l e t m n ( f ) ( o r m 。( c ) ) b e t h ev e c t o rs p a c eo f a l l n m a t r i c e so v e r f f o r e ) ，s ( f ) ( o r & ( g ) ) b et h ev e c t o rs p a c eo f 7 s y m n i e t r i cm a t r i e e s o v e rf ( o re 1 w ec h a r a c t e r i z et h el i n e a rm a p sp r e s e r v i n gi n v e r s ef i - o ms 垆) t o ( f ) g i l df r o m 岛( f ) t o | s k ( f ) w ea l s oc h a r a c t e r i z et h el i n e a rm a d s p r e s e r v i n gk - p o w e rf r o m 瞄。( e ) t o 矗( e ja n df r o m 。( g ) t o ( c ) k e y w o r d s ：f i e l d ；c o m p l e xf i e l d ；p r e s e r v i n gi n v e r s e ；p r e s e r v i n gp o w e r ； i m e a rm a p i t 黑龙江大学硕士学位论文 一些符号和术语 设f 为特征不为2 或3 的域，g 是复数域，n 和m 是正整数 k 是固定的自然数，且22 设尬。( f ) ( 或坛( g ) ) 是f ( 或e ) 上n 阶全矩阵空间，岛( f ) ( 或s n ( e ) ) 是f ( 或e ) 上l t 阶对称矩阵空间， g l 。( f ) ( 或g l 。( c ) ) 是f ( 或c ) 上”阶一般线性群 我们定义，。( c ) 为m 。( c ) 中所有的幂等矩阵集合，日，为( 0 ，1 ) 位 置为1 ，其余位置为0 的7 7 , 阶矩阵，d 。记毋，+ e m 厶记阶单位矩 阵，置，记厶一既马j ，o j 记j 阶零矩阵用a b 记矩阵a 与b 的k r o n e c k o r 积，a o b 记矩阵a 与b 的直和设d 1 ，6 2 为非负整数， 且6 l 0 ，且 t ( x ) = p ( x d i a g ( i d ，o r - 5 ) + x d i a g ( 0 6 ，一6 ) ) e o 。i f ，v x 矗( a ) 引理3 2 5 a l ，a c ( g ) 彼此正交，且越= a i ( i = 1 ，q 若t m ，则存在j f 1 ，t 1 使得山= 0 引理3 2 6 设，l ( 尬。( g ) ， ( g ) ) ，且，0 ，则存在p g l 。( g ) 使 ，( e 。) = p i e o d oo 。i f ，v i 【1 ，n 】 其中d = l 。o o “一1 k 。v i 【1 ，n 】，一，“一l 为互不相同的 一1 次单位根，且约定r h = 0 时，相应项不出现 证明由，( 且f ) = ，( 既) 知，口( a ) = 一a 是，( 风) 的化零多项 式困，( 玩) 的最小多项式整除口( a ) ，且g d ) 无重根知，( 最 ) 相似于 对角阵设5 h ，“一1 为一1 次单位根，则存在一个p o g l 。( f ) ， 使 ，( 蜀i ) = 蜀f 蜀j9 ( j 五，o o 靠一z 厶_ i i ) o ) 豸1 ，( 1 ) 1 2 第3 章矩阵空间之问的保幂线性映射 由引理3 2 1 ( i i ) 和e l i ，e 1 1 ( i 1 ) 彼此正交得厂( 置i ) 和f ( e 1 1 ) 正交 ( i 1 ) 于是，由，( 蜀i ) 取值出发不难证得 ，( 置z ) = p e l i 圆( c l l 。o oe k 一1 一l ，) oo 。 尸一1 ， ( 2 ) 其中，p g l m ( f ) ，对任意的i 1 ，n ，记五。的阶为如，f 1 ，k 1 ， 约定厶= 0 时该项不出现，记矗= 矗且m = 魂+ s 在引理3 2l ( i ) 中，选取a = 蜀。，b = d t i 得 在引理3 2 1 ( i ) 中选取a = 马，b = d l j 得 应用( 2 ) ，并将( 3 ) ，( 4 ) 两式经过分块计算可得 ，( d u ) = p ( i o a ，j + 易；o a j ，) oo 。】p ，( 5 ) 其中a 巧为8 i s j 阶阵，a 一为s j s i 阶阵 设n 为正整数，则h = n 2 l - - in 。+ 篙了弓j + 稿了d 玎为幂等阵，所以 h 。= h 因此，有，( 卅。= f ( h ) 成立，故 ，( 最i ) + n 2 ，( 马j ) + h i ( d , j ) 】。 ( n 2 + 1 ) 一1 ，( 最i ) + ( n 2 + 1 ) 一1 n 2 ，( 弓j ) + ( 礼2 + 1 ) 6 1 n f ( d f j ) 对比两端扎2 卜2 项的系数，并注意，( 岛) ，( 三0 ) = 0 有 ，( 马j ) 9 ，( d 玎) - 厂( 弓j ) a ，( d 。，) ，( 弓，) h 2 一p a o ! p + 口s 一2 ( 6 ) = 一1 ) f ( e z ) + ，( 忍：) 不妨令d i = 1 ，1 。o oe k 一1 h 吐将( 2 ) 和( 5 ) 代入( 6 ) 可得 如谚q 如；= 职， 一1 冀一 呻一 磁 d 醪 ， 删 f f p 户 墨， d ， 尸 巴 八 删 略 d 八 “唧 | 呻 扣 弓八 d v 力岛八 h 脚 黑龙江大学硕士学位论文 即 a l j d j i a j i = d t 又因圩l = 籍置i + 南局，+ 赤d 巧为幂等阵，同理可得a j i d i 功因此a a j 。可逆 ( 7 j l a 0 = ( ) 若k 为偶数，则 ，( 现j ) = ，( 磁) = ，( 题；) + ，( 局j ) 将( 5 ) 代入上式得 ( a 叼4 小) 江d i ，( a j i a 。j ) = 功，( 8 ) 由( 7 ) 及( 8 ) 前式可得 ( a j j a i j ) 一1 = d f l ， 结合( 8 ) 的后一式，可得四一a 豇4 “同理a , j a ”= d ? ，这样我们可得 到 a i 3 琏= d a 扭国1 设a j i 且础2 为i ：阶阵，f c 1 ，一1 由 a 业可逆及( 9 ) 式对比两端，可推出碟) = o ，v l h ，并且f 。：l j , v l f 1 ，一l 】因此d ? = 碍，又因一1 为奇数，故d 。：d ， ( 6 ) 当为奇数时，在引理3 2 1 ( j ) 中选取a = ，且：层i 得 。e ：。f ( d i s ) ”，( 风) ，( d 巧) 。一却= 字，( b ) + 字，( 易j ) = ! 1 ( 毋；o n ) o 叽+ 8 ( 易，圆d ，) o02。 、。| t j o “l j u ”5 下。“，3 w u l 8 将( 2 ) 和( 5 ) 代入得 ( 如a i j ) 。a j i d i ( a 0 冯；) 与p 如：譬 b ，( 1 0 ) p = 2 1 + l ，z f o ，1 尹】 。 一t 4 一 第3 章矩阵空间之间的保幂线性映射 在( 1 0 ) 式左边分别乘a “，( 1 1 ) 右边分别乘a “，两式相减得 d i ( a j i ) 下k - i 如：半叫旷旱a i j d j 又因_ 厂( q ，) = f ( d i j ) 知。1 4 ”) 孚= i ，因此d i a i j = a i j d j 此时， 与k 为偶数时的证明类似，我们同样可得d t = d ， 综合( o ) ，( b ) 我们令d = d i ，v i 【1 ，n ，因此d = g l i r ，o o c k 一1 k 川v i 1 ，竹 ，r h = h i ，v h 【1 ，k 一1 】此时可令8 0 s 1 - = 引理3 2 7 设f l ( 尬：( c | ) ，m m ( g ) ) ，且，0 ，则在引理326 的 基础上有 其中a ，= ，( e j f ) = p ( 易to a j t + 毋joa 坷) oo s 】p 一1 b 扭 s = 仇一2 s o ，b 。( j 。t ) ，c h ( j t ) 为“阶阵 证明在引理3 2 1 ( i ) 中，选取a = e j j ，b = e j f 得 在引理32 1 ( i ) 中选取a = e b = s t t 得 ) = ，( 马c ) ( 1 2 ) 9 ) = ，( 易t )( 1 3 ) 应用引理3 2 6 并将( 1 2 ) ，( 1 3 ) 两式经过分块计算可得 ，( 马t ) = p ( 易t o a 计+ e t j o a t j ) oo 。 p 一1 ， ( 1 4 ) 一1 5 一 d 字 | |宁 山 4d m 字忡 舻 o u e p。l = 玎 a 爵 目 吩 “ h 唧 = 1 晦 旧八 h 删 雌 日 bp 螗 日 八 删 | | p 堍“ 马v 酲 八 脚 黑龙江大学硕士学位论文 其中a f t ，a 坷均为s o 阶阵 考虑坼为互不相同的k 次单位根，且碾1 ( i f l ，k 1 ) 因( 碾弓，+ e “+ z 易t ) 6 = 局，+ e t ，其中。为任意复数，故 h ，( 易j ) + ，( 日c ) + x f ( 易c ) ) 。= ，( 易，) + f ( e u ) 比较z 的系数，可得 k 一1 ( ，l i f ( f , i j ) + f ( e t 。) ) f ( e j t ) ，( 勘) + ，( 玩) ) n 1 。9 = 0 = 0 将引理32 6 及( 1 4 ) 式代入上式可得 考察方程组 z 1 + 叼l z 2 + 卵 z 3 4 - x l + 讯一l x 2 + 耀一1 黝 + 卵 1 z 女= 0 + + k 一- 1 1 z k = 0 ( 1 5 ) k i 注意培= 0 ，易见其全部解满足x l x 2 一x k ( 因系数阵秩为 口= 0 一i ，基础解系为( i ，1 ，1 ) ) ，从而( 1 5 ) 式中鸟，d 冯t d 扛2 ，d a j d 卜3 ， 山t 彼此相等，则有 。 d a j t = a j t d ( 1 6 ) 设a j r = 一b l ( j i o 1 b ，( j t ) l 女一1 b 。u t ) 为“阶阵 0 | | p k da p d 礴 舢 硝；咝 第3 章矩阵空间之间的保幂线性映射 由( 1 6 ) 对比两端可推出口艇= 0 ，v l h ，即a j = 同理a 玎= 碟。 日 定理2 设m ，为正整数，i 厂l ( m n ( c ) ，i r a ( c ) ) 当且仅当下述 之一成立 ( i ) f = o ； ( i i ) n 曼m ，且存在r g l 。( c ) 使 t 一1 ，( x ) = r o ( x o 如0 9 ( 旬如，o p 。一曲) + x 2 圆d i a g ( o d 。，矗，一6 。) ) l e o 。) r ，v x 螈( e ) i = l k l 其中m = 礼鼽+ s ，p i 为非负整数，文 0 ，p i i = l 证明充分性显然，下证必要性 1 ) n m 时，由引理3 2 5 知，( 玩) = o ( 对某个i 【1 ，n ) 再由 引理3 2 2 知f = 0 2 ) 若礼m ，且对某个i 1 ，礼】，f ( e i i ) = 0 由引理3 2 2 知f = 0 3 ) 若对某个i 1 ，n ，( e f ) 0 ，由引理3 2 2 知厂0 因此 7 l 帆对任意x = ( a i j ) a 靠 ) ，由引理3 2 6 ，3 2 。7 知 p - 1 f ( x ) p = p 一1 ( o 玎，( ) ) p 妇= l 黑龙江大学硕士学位论文 o l n l 磁瑞一。 其中磁”1 = 磷“+ 露”，砖1 k ( x ) q 谢砖1 ) o n n e l ， o ? l n 碰豫。 。 一“n n c k 一1 l r 碟”+ 砖”令 越1 l ，v i 1 ，女一1 o l n n c i r 。i 则f ( x ) = p ( f l ( x ) o ，2 ) o o 一i ( x ) o o 。) p ，且因，保次幂 知， 也保女次幂，v i 1 ，一1 】 下证士 为保幂等的线性映射 对任意m 厶( c ) ，由引理3 2 3 ，存在q g l 。( e ) ，使 m = q d i a g ( i , ，o ) q ， 其中r 为m 的秩 令l 。( y ) = e f l ( q y q ) ，v yem 。( g ) ，v i 1 ，k 一1 易见诸丑也保 k 次幂 类似引理326 ，并应用， 的定义可推出 厶( 易，) = ， ( qe j j q ) = p l 马od i a g ( ooe i i , joo ) 】斤1 因此当 ( m ) = l i ( d i a g ( i r ，o ) ) 为幂等阵故击 为保幂等的 应用引理3 2 4 得 兰 ( x ) = 只瞵。d i 叼( ，。一最) + x d i a g ( ，厶。一丑) 】彳l ( b o r a - n p i , v ie 1 , k - 1 一1 8 第3 章矩阵空间之间的保幂线性映射 其中只为r z p 。阶可逆阵 再由f ( x ) = p ( ，1 ( x ) of d x ) o oa 一1 伍) oo s ) p _ 1 可得结论 3 3 对称矩阵空间之间的保幂线性映射 引理3 3 1 1 5 】，是从又( g ) 到m 。( c ) 上的保幂等线性映射，当且 仅当，有下述之一成立 ( i ) f = o ； ( i i ) f ( x ) = 尸( oo 。) p ，矿x s i ( c ，) ，p g l 。( e ) ，m = n r + 8 引理3 3 2 设f l ( ( e ) ，a ( g 1 ) ) 则，( 蜀i ) = o ( 对某个i 1 ，n 】) 当且仅当f = 0 证明充分性显然，下证必要性 在引理3 2 1 ( i ) 中选择a = 局i ，b = d i j ， 1 ，n 】且i j 得 0 ：莹，( 既) ，f ( d o ) f ( e i ；) 一一：k - 1 ，( 瑶巩磁+ ，) ， p = o p = o 于是 f ( d i j ) = ( a ) 当为偶数时，易见 f ( e j j ) = ，( 最i + e j j ) = f ( d k ) = ，( ) = 0 ， ( b ) 当k 为奇数时，在引理3 2 1 ( i ) 中选择a = d i j ，b = e l i ，注意 f ( d i j ) = 0 得 磁酲 脚叫 | | 砖1加库印 擘酗 o | 1 p 一 女 一” d ， 毋 ， 尸一v d ， h 脚 黑龙江大学硕士学位论文 于是有 = 丁k + l ，( 毋1 ) + 字，( 马，) ：k - 1 ，( d 0 日，d 争l - p )= ，( d 0 d 扩 p = u = f ( d i j ) 9 f ( e i i ) f ( d i j ) 卜1 _ p 由女三2 得，( 马j ) = 0 综合( n ) ，( b ) 和j 的任意性，类似于如上证明，可知对任意的h ，z 【1 ，叫都有f ( e h h ) = 0 和f ( d h f ) = 0 成立引理得证 引理3 3 3 设f l ( 晶( g ) ，尬。( a ) ) ，且f 0 ，则存在p g l 。( c ) 使 f ( e i i ) = p f ( 风圆d ) oo 。i f ， f ( d q ) = p ( e i j 圆a 巧+ e , i o a j i ) oo s p 一1 ， 其中d = e l 。o o “一1 k 。v i f 1 ，n 】，e 1 ，一1 为互不相同的k - 1 次单位根a 订= d i n 9 ( b 鲁，b 女( i i ) l 一1 ) ，a j ；= d i n 9 ( d “，。c k k ( j i ) l 一1 ) ，b m ( i j ，g 螺 为阶阵，v i ，j 【1 ，州，h 【1 ，k 一1 证明证明过程与引理3 2 6 的相同，我们都可得到 1 ) d i = d 3 ； 2 ) 当k 为偶数时，有山i d ；= 巧a j i ，a i j 四= d ? a 玎； 3 ) 当k 为奇数时，有a 3 i d i = d j a j i ，a i j 功= d i a i j 由1 ) 可令d = d j ，v j 【1 ，n - 因此d = e l i , 。o o “一1 屯。v i f l ，n 】，“= h i ，v h 1 ，一l 】当为偶数时，由2 ) 中两个式子就可推得 a 。，：d i a g ( b 鼽一，雌l ) ，a j 一出o g ( 碟“，础) ，础，嗽 为“阶阵，v h f 1 ，k 一1 】同理当k 为奇数时，4 玎，a j i 亦为对角块 阵 2 0 第3 章矩阵空间之间的保幂线性映射 定理3 设m ，n 为正整数，fe 三( 岛( e ) ，m m ( a ) ) 当且仅当下述之 一成立 ( i ) f = 0 ， ( i i ) nsm ，且存在re g l 。( g ) 使 ，( x ) = r ( o ( x 。如) j g o 。 兄- - 1 1 v x & ( c ) ， i = l 七一l 其中m = n p i + 8 ，p 为非负整数 证明充分性显然，下证必要性， 1 ) n m 时，由引理3 2 5 知，( 毋。) = o ( 对某个i 1 ，1 ) 再由 引理3 3 ，2 知f = 0 2 ) 若nsm ，且对某个i 1 ，翻，( 蜀 ) = o 。由引理3 , 3 2 知f = o 3 ) 若对某个ie 1 ，叫，( e l i ) 0 ，由引理3 3 2 知f 0 因此 礼m 由引理3 3 3 ，对任意的x = ( a i j ) 品( g ) ，我们有 p 。f t x 、p = 令 ( x ) = 。雄一， b n n n e l l d l l 矗。a l n b ：“ ；堙o e n n 8 i ： 一2 l 一 b ：芄一， v i 【1 ，七一1 】 0 。 黑龙江大学硕士学位论文 易见 f ( x ) = p ( f l ( x ) o ，2 ( x ) o o 一l ( x ) oo 。) p 。( s = m 一礼s ) ( 1 7 ) 五是保次幂的，且e i l y , ( t o ) = 厶。 下证士 为保幂等的线性映射 事实上，对任意的幂等矩阵b = b 2 ，有b = b 2 一= b 2 ，对任 意的t c ，我们有 ( ( + z b ) ) = 馔z 2 ( b ) + 研z 一1 ( b ) + + 磷一2 2 2 ( _ b ) + 罐一1 口五( b ) + c 窖五( ，) 另一方面有 ( ( ，+ 。b ) ) = ( ( ) + x f i ( b ) ) = ( 。f + ，i ( b ) ) = g 2 茁， ( b ) + 矗醭z “一1 ，f ( b ) 一1 + + ：一2 罐一2 。2 ( b ) 2 + e ：一1 磷一1 x k ( b ) + e f c 0 k ( i ) 又因 ( ( ，+ z b ) ) = ( ( ，+ 启) ) 。，对比。2 的系数得( ( b ) ) 2 = 矗，l ( b ) ， 这样一来对每个士 均可引用引理3 3 1 ，然后应用( 1 7 ) 式不难推得本 定理结论 定理4 设m ，礼为正整数，f l ( & ( g ) ，s k ( g ) ) ，则f 有定理3 的 形式，其中r t r = 0 ( ，o k ) o v o ，且k ，k ，t 一，k 均对称可逆 i = 1 tt 证明由f ( x ) 对称知有r r 科 o ( x o s i l p 。1 o 。) = 【o 固矗。】o 0 。l 兄t r 成立，因此可推得定理的结论 3 4 本章小结 在本章中，我们通过将映射归结为保幂等的线性映射，再分别利用 【4 ，5 中保幂等的结论，将l ( m n ( c ) ， ( c f ) ) ，三( r ( e ) ，尬n ( e ) ) 和l ( 晶( a ) s 名( g ) ) 中元素的形式刻画出来 结论 结论 本文研究了线性保持问题的两方面的内容一方面刻画了一- ( & ( e ) m m ( c ) ) 和j v 一1 ( s n ( c | ) ，m 。( g ) ) 中元素的形式，另一方面刻画了l ( a ( g ) m m ( c ) ) ，l ( s n 哆) ，m m ( c ) ) 及l ( 艮( g ) ，s 。( g ) ) 中元素的形式本文不 同于【l ，2 ，3 ，9 ，1 0 】中映射的刻画他们均讨论m = 佗的情形，而我们在 此考虑不同维矩阵空间的映射，我们的结论包含了m = 礼的情形 由于我们考虑的映射是线性的，所以我们只需刻画映射，在既，d ：， 和e i 下的像就可以了在保逆映射的刻画中，我们得到了，( e i i ) ，f ( d i j ) 非常具体的像因此通过线性性质，就可刻画出映射形式而在保幂映射 中，我们构造了三个保k 次幂的特殊矩阵嘉l _ 岛+ 禹马j + 元d m 百岛最i + 矗马j 十最了d d 和哺毋j + 最t + 。易这三个矩阵对刻画 f ( d ；j ) 和，( ；f j ) 的像起n t 至关重要的作用，但由于得到的f ( d i j ) 和 ，( 最i ) 的像不够具体，我们通过直和运算将映射归结为保幂等的线性映 射再分别利用 4 ，5 中保幂等的结论将它们刻画出来 从矩阵保幂的证明过程中，我们可以看出幂等保持的重要性而且在 很多不变量保持的映射的刻画中，也可以看出它的重要地位，如 2 ，8 ，2 l ，2 6 等因此除了秩1 保持这一核心问题之外，幂等保持的重要性也日渐突 出 在本文中，构造特殊矩阵和利用k r o n e c h e r 积非常简明地刻画结论 的方法，对线性保持问题的进一步研究有一定的借鉴意义而且在保幂 问题中还有很多o p e n 问题如，不同维上三角矩阵代数之间的线性保 幂和不同维矩阵代数之间的加法保幂还没有结论，是仍待解决的课题 黑龙江大学硕士学位论文 致谢 三年的研究生生活即将结束。回望三年，得失参半。失去的就让它 远去，得到的就让我永远珍藏吧! 曾经是如此的企盼着今天的到来，而今越发感觉恋恋不舍不舍青 草依依的校园，不舍关怀和帮助过我的老师，不舍如此坦诚相见的同窗、 好友，不舍 在这里，我不仅学到了知识，还学到了做人的道理我要感谢我的 导师曹重光教授，他给予了我多方面的关怀和帮助导师学问渊博、治 学严谨、平易近人，在他身上永远散发着老骥伏枥，志在千里的精神风 貌。这些永远值得我学习，将永远激励我前进 我还要由衷地感谢数学科学学院的所有教授，帮助和指导过我的老 师，是他们用爱心和无私的奉献给予了我知识，教会我做人感谢我的 父母，正是由于他们默默无闻的奉献和鼓励，才使我能够很好地完成学 业。感谢同窗、好友在学习上的切磋和指点，使我在学习上有了长足的 进步。 我愿在未来的学习和研究过程中，以更加丰厚的成果来答谢曾经关 心，帮助和支持我的领导、老师、同学和朋友。 一2 4 参考文献 参考文献 1 张显，曹重光，保不变量的矩阵加群同态哈尔滨出版社【m ， 2 0 0 1 2c a oc h o n g g u a n ga n dz h a n gx i a n a d d i t i v eo p e r a t o r sp r e s e r v i n g i d e m p o t e n tm a t r i c e so v e rf i e l d sa n da p p l i c a t i o n s l i n a l g a p p l m 2 4 8 ；3 2 7 3 3 8 ( 1 9 9 6 ) 3 曹重光，张显幂保持加法映射数学进展【j 】 3 3 ：1 0 4 1 0 9 ( 2 0 0 4 ) 4 曹重光某些环上矩阵模的保幂等线性映射黑龙江大学自 然科学学报【j 71 6 ( 3 ) ：1 4 ( 1 9 9 9 ) 5 佟鑫，曹重光域上从对称矩阵空间到全矩阵空间的保幂等 的线性映射黑龙江大学自然科学学报【j ) 2 0 0 3 ，2 0 ( 3 ) ：2 5 2 8 6 曹重光域上对称矩阵保逆的加法映射高等教育科研文萃 【j ) 9 1 0 ( i 9 9 6 ) 7 冯立新，曹重光保逆矩阵的加法算子黑龙江大学自然科 学学报【j ，1 5 ( 3 ) ：3 6 ( 1 9 9 8 ) 8c a oc h o n g g u a n ga n dz h a n gx i a n l i n e a rp r e s e r v e r sb e t w e e nm a , - t r i xm o d u l e so v e rc o n n e c t e dc o m m u t a t i v er i n g s l i n ，a l g a p p l j 】， 3 9 7 ：3 5 5 3 6 6 ( 2 0 0 5 ) 9g i n h e rc h a n ，m i n g - h u a tl i m l i n e a rp r e s e r v e r so np o w e ro fm a t r i c e s l i n a l g a p p l m1 6 2 1 6 4 ：6 1 5 6 2 6 ( 1 9 9 2 ) 1 0m a t e jb r e s a r ，p e t e rs e m r l l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n sp r e s e r v i n gp o t e n t m a t r i c e s a m e r m a t h s o c j 】i1 1 9 ：8 1 8 6 ( 1 9 9 3 ) 11t a n gx i a o m i n l i n e a ro p e r a t o r sp r e s e r v i n ga d j o i n tm a t r i xb e t w e e n m a t r i xs p a c e s l i n a l g a p p l 【j 】，3 7 2 ：1 8 7 2 9 3 ( 2 0 0 3 ) 一2 五一 黑龙江大学硕士学位论文 1 2 曹重光，陈涛保域上立方幂等矩阵的线性映射数学研究 j 】 3 7 ：2 9 9 3 0 3 ( 2 0 0 4 ) 1 3v i c t o rt a n ，f e iw a n go nd e t e r m i n a n tp r e s e r v e rp r o b l e m s j l i n a l g a p p l ，3 6 9 ：3 1 1 - 3 1 7 ( 2 0 0 3 ) 1 4g f r o b e n i u s u b e rd i ed a r s t e l l u n gd e re n d l i c h e ng r u p p e nd u r c hl i n e a r es u b s t u t i o n e n s i t z u n g s b e r d e u t s d l s k a d w i s s ，b e r l i n j ，9 9 4 ， 1 0 1 5 ( 1 8 9 7 ) 1 5s k a n t o rt h e r i ed e ra q u i v a l e n zv o nl i n e a r e n s c h a r e nb i l i n e a r e r f o r m e n s i t z u n g s b e r m u n c h e n e r a k a d 【j j j 3 6 7 - 3 8 1 ( 1 8 9 7 ) 1 6r g r o n e i s o m e t r i c so fm a t r i xa l g e b r a s p h d t h e s i s ，u u i v o fc a l l f o r n i a ，s a n t ab a r b a r a m ，1 9 9 6 1 7m m a r c u s - l i n e a ro p e r a t i o n so nm a t r i c e s a m e r m o n t h m o n t h l y j 6 9 ：8 3 7 - 8 4 7 ( 1 9 6 2 ) 1 8m ，m a r c u s l i n e a rt r a n s f o r